คำศัพท์และคำจำกัดความของพลศาสตร์ กลศาสตร์เชิงทฤษฎี กลศาสตร์เชิงทฤษฎี

ทฤษฎีบททั่วไปเกี่ยวกับพลศาสตร์ของระบบร่างกาย ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล การเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัม การเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงมุมหลัก การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์ หลักการของดาล็องแบร์และการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ สมการทั่วไปของพลศาสตร์ สมการลากรองจ์

ทฤษฎีบททั่วไปเกี่ยวกับพลศาสตร์ของวัตถุเกร็งและระบบของวัตถุ

ทฤษฎีบททั่วไปของพลศาสตร์- นี่เป็นทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล ระบบเครื่องกลทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงในโมเมนตัมเชิงมุมหลัก (โมเมนตัมจลน์) และทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ของระบบเครื่องกล

ทฤษฎีบทการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลของระบบเครื่องกล

ทฤษฎีบทการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล
ผลคูณของมวลของระบบและความเร่งของจุดศูนย์กลางมวลเท่ากับผลรวมเวกเตอร์ของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อระบบ:
.

โดยที่ M คือมวลของระบบ:
;
a C คือความเร่งของจุดศูนย์กลางมวลของระบบ:
;
v C - ความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลของระบบ:
;
r C - เวกเตอร์รัศมี (พิกัด) ของจุดศูนย์กลางมวลของระบบ:
;
- พิกัด (สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางคงที่) และมวลของจุดที่ประกอบกันเป็นระบบ

ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัม (โมเมนตัม)

ปริมาณการเคลื่อนที่ (แรงกระตุ้น) ของระบบเท่ากับผลคูณของมวลของระบบทั้งหมดด้วยความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลหรือผลรวมของโมเมนตัม (ผลรวมของแรงกระตุ้น) ของแต่ละจุดหรือส่วนที่ประกอบกันเป็นระบบ:
.

ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล
อนุพันธ์ของเวลาของจำนวนการเคลื่อนที่ (โมเมนตัม) ของระบบเท่ากับผลรวมเวกเตอร์ของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อระบบ:
.

ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมในรูปแบบอินทิกรัล
การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม (โมเมนตัม) ของระบบในช่วงเวลาหนึ่งจะเท่ากับผลรวมของแรงกระตุ้นภายนอกในช่วงเวลาเดียวกัน:
.

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม (โมเมนตัม)
ถ้าผลรวมของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อระบบเป็นศูนย์ เวกเตอร์โมเมนตัมของระบบจะคงที่ นั่นคือ เส้นโครงทั้งหมดบนแกนพิกัดจะคงค่าคงที่ไว้

หากผลรวมของเส้นโครงของแรงภายนอกบนแกนใด ๆ เป็นศูนย์ ดังนั้นการฉายภาพปริมาณการเคลื่อนที่ของระบบบนแกนนี้จะคงที่

ทฤษฎีบทว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมหลัก (ทฤษฎีบทของโมเมนตัม)

โมเมนตัมเชิงมุมหลักของระบบสัมพันธ์กับศูนย์กลาง O ที่กำหนด คือปริมาณเท่ากับผลรวมเวกเตอร์ของโมเมนตัมเชิงมุมของจุดทุกจุดของระบบสัมพันธ์กับศูนย์กลางนี้:
.
ในที่นี้วงเล็บเหลี่ยมแสดงถึงผลคูณไขว้

ระบบที่แนบมา

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ใช้กับกรณีที่ระบบกลไกมีจุดหรือแกนคงที่ซึ่งคงที่โดยสัมพันธ์กับกรอบอ้างอิงเฉื่อย ตัวอย่างเช่น ตัวเครื่องถูกยึดด้วยลูกปืนทรงกลม หรือระบบของวัตถุที่เคลื่อนที่ไปรอบจุดศูนย์กลางคงที่ นอกจากนี้ยังอาจเป็นแกนคงที่ซึ่งวัตถุหรือระบบของวัตถุหมุนอยู่ ในกรณีนี้ ควรเข้าใจว่าโมเมนต์เป็นโมเมนต์ของแรงกระตุ้นและแรงสัมพันธ์กับแกนคงที่

ทฤษฎีบทว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมหลัก (ทฤษฎีบทของโมเมนตัม)
อนุพันธ์ของเวลาของโมเมนตัมเชิงมุมหลักของระบบสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางคงที่ O เท่ากับผลรวมของโมเมนต์ของแรงภายนอกทั้งหมดของระบบที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางเดียวกัน

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมหลัก (โมเมนตัมเชิงมุม)
ถ้าผลรวมของโมเมนต์ของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อระบบสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางคงที่ O เท่ากับศูนย์ โมเมนตัมเชิงมุมหลักของระบบที่สัมพันธ์กับศูนย์กลางนี้จะคงที่ นั่นคือ เส้นโครงทั้งหมดบนแกนพิกัดจะคงค่าคงที่ไว้

หากผลรวมของโมเมนต์ของแรงภายนอกที่สัมพันธ์กับแกนคงที่บางแกนเป็นศูนย์ โมเมนตัมเชิงมุมของระบบที่สัมพันธ์กับแกนนี้จะคงที่

ระบบตามอำเภอใจ

ทฤษฎีบทต่อไปนี้มีลักษณะที่เป็นสากล ใช้ได้กับทั้งระบบที่อยู่กับที่และเคลื่อนที่อย่างอิสระ ในกรณีของระบบคงที่ จำเป็นต้องคำนึงถึงปฏิกิริยาของการเชื่อมต่อที่จุดคงที่ด้วย มันแตกต่างจากทฤษฎีบทก่อนหน้านี้ตรงที่แทนที่จะใช้จุดคงที่ O เราควรใช้จุดศูนย์กลางมวล C ของระบบ

ทฤษฎีบทของโมเมนต์เกี่ยวกับจุดศูนย์กลางมวล
อนุพันธ์ของเวลาของโมเมนตัมเชิงมุมหลักของระบบสัมพันธ์กับศูนย์กลางของมวล C เท่ากับผลรวมของโมเมนต์ของแรงภายนอกทั้งหมดของระบบที่สัมพันธ์กับศูนย์กลางเดียวกัน

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
หากผลรวมของโมเมนต์ของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อระบบสัมพันธ์กับศูนย์กลางของมวล C เท่ากับศูนย์ โมเมนตัมหลักของระบบที่สัมพันธ์กับศูนย์กลางนี้จะคงที่ นั่นคือ เส้นโครงทั้งหมดบนแกนพิกัดจะคงค่าคงที่ไว้

โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกาย

หากร่างกายหมุนรอบแกน zด้วยความเร็วเชิงมุม ω z ดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุม (โมเมนตัมจลน์) ที่สัมพันธ์กับแกน z จะถูกกำหนดโดยสูตร:
L z = เจ z ω z ,
โดยที่ J z คือโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายสัมพันธ์กับแกน z

โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายสัมพันธ์กับแกน zกำหนดโดยสูตร:
,
โดยที่ h k คือระยะห่างจากจุดมวล m k ถึงแกน z
สำหรับวงแหวนบางๆ ที่มีมวล M และรัศมี R หรือทรงกระบอกที่มีมวลกระจายไปตามขอบของมัน
เจ แซด = ม อาร์ 2 .
สำหรับวงแหวนหรือทรงกระบอกที่เป็นเนื้อเดียวกันที่เป็นของแข็ง
.

ทฤษฎีบทสไตเนอร์-ไฮเกนส์
ให้ Cz เป็นแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของร่างกาย และ Oz เป็นแกนที่ขนานกับมัน โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายสัมพันธ์กับแกนเหล่านี้สัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์:
เจ ออซ = เจ Cz + ม 2 ,
โดยที่ M คือน้ำหนักตัว a คือระยะห่างระหว่างแกน

ในกรณีทั่วไปมากขึ้น:
,
เทนเซอร์ความเฉื่อยของร่างกายอยู่ที่ไหน
นี่คือเวกเตอร์ที่ลากจากจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายไปยังจุดที่มีมวล m k

ทฤษฎีบทว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์

ปล่อยให้วัตถุที่มีมวล M ทำการเคลื่อนที่แบบแปลนและแบบหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม ω รอบแกน z จากนั้นพลังงานจลน์ของร่างกายจะถูกกำหนดโดยสูตร:
,
โดยที่ v C คือความเร็วการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลของร่างกาย
J Cz คือ โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายสัมพันธ์กับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายขนานกับแกนการหมุน ทิศทางของแกนหมุนสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตลอดเวลา สูตรนี้ให้ค่าพลังงานจลน์ในทันที

ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ของระบบในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล
ส่วนต่าง (ส่วนเพิ่ม) ของพลังงานจลน์ของระบบระหว่างการเคลื่อนไหวบางอย่างจะเท่ากับผลรวมของส่วนต่างของงานกับการเคลื่อนที่ของภายนอกและทั้งหมด กองกำลังภายใน:
.

ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ของระบบในรูปแบบอินทิกรัล
การเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ของระบบระหว่างการเคลื่อนไหวบางอย่างเท่ากับผลรวมของงานกับการเคลื่อนที่ของแรงภายนอกและภายในทั้งหมดที่ใช้กับระบบ:
.

งานที่ทำโดยใช้กำลังเท่ากับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์แรงและการกระจัดเล็กน้อยของจุดประยุกต์:
,
นั่นคือผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของเวกเตอร์ F และ ds โดยโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน

งานที่ทำในช่วงเวลาแห่งแรงเท่ากับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์แรงบิดและมุมการหมุนที่น้อยที่สุด:
.

หลักการของดาล็องแบร์

สาระสำคัญของหลักการของดาล็องแบร์คือการลดปัญหาด้านพลศาสตร์ให้เหลือเพียงปัญหาด้านสถิตยศาสตร์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ สันนิษฐาน (หรือทราบล่วงหน้า) ว่าส่วนต่างๆ ของระบบมีความเร่ง (เชิงมุม) ที่แน่นอน ต่อไป แรงเฉื่อยและ (หรือ) โมเมนต์ของแรงเฉื่อยถูกนำมาใช้ซึ่งมีขนาดเท่ากันและตรงข้ามกับแรงและโมเมนต์ของแรงที่ตามกฎของกลศาสตร์ จะสร้างความเร่งหรือความเร่งเชิงมุมที่กำหนด

ลองดูตัวอย่าง ร่างกายมีการเคลื่อนไหวแบบแปลนและถูกกระทำโดยแรงภายนอก เรายังสันนิษฐานอีกว่าแรงเหล่านี้สร้างความเร่งที่จุดศูนย์กลางมวลของระบบ ตามทฤษฎีบทการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล จุดศูนย์กลางมวลของร่างกายจะมีความเร่งเท่ากันหากมีแรงกระทำต่อร่างกาย ต่อไปเราจะแนะนำพลังแห่งความเฉื่อย:
.
หลังจากนี้ปัญหาไดนามิก:
.
;
.

สำหรับการเคลื่อนที่แบบหมุนให้ดำเนินการในลักษณะเดียวกัน ปล่อยให้วัตถุหมุนรอบแกน z และถูกกระทำโดยแรงภายนอก M e zk เราถือว่าช่วงเวลาเหล่านี้สร้างความเร่งเชิงมุม ε z ต่อไป เราจะแนะนำโมเมนต์ของแรงเฉื่อย M И = - J z ε z หลังจากนี้ปัญหาไดนามิก:
.
กลายเป็นปัญหาทางสถิตยศาสตร์:
;
.

หลักการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้

หลักการของการกระจัดที่เป็นไปได้ใช้เพื่อแก้ปัญหาสถิตยศาสตร์ ในปัญหาบางข้อ จะให้คำตอบที่สั้นกว่าการเขียนสมการสมดุล นี่เป็นเรื่องจริงโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับระบบที่มีการเชื่อมต่อ (เช่น ระบบของเนื้อหาที่เชื่อมต่อกันด้วยเธรดและบล็อก) ที่ประกอบด้วยเนื้อหาจำนวนมาก

หลักการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้.
เพื่อความสมดุลของระบบกลไกที่มีการเชื่อมต่อในอุดมคติ ผลรวมของงานเบื้องต้นของแรงกระทำทั้งหมดที่กระทำต่อการเคลื่อนที่ของระบบที่เป็นไปได้นั้นมีค่าเท่ากับศูนย์ จำเป็นและเพียงพอ

การย้ายระบบที่เป็นไปได้- นี่เป็นการเคลื่อนไหวเล็กน้อยซึ่งการเชื่อมต่อที่กำหนดบนระบบจะไม่ขาดหาย

การเชื่อมต่อในอุดมคติ- การเชื่อมต่อเหล่านี้ไม่ทำงานเมื่อระบบเคลื่อนที่ แม่นยำยิ่งขึ้นปริมาณงานที่ดำเนินการโดยการเชื่อมต่อเมื่อเคลื่อนย้ายระบบจะเป็นศูนย์

สมการพลศาสตร์ทั่วไป (หลักการดาล็องแบร์-ลากรองจ์)

หลักการดาล็องแบร์-ลากรองจ์เป็นการผสมผสานระหว่างหลักการดาล็องแบร์กับหลักการของการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ นั่นคือ เมื่อแก้ไขปัญหาไดนามิก เราจะแนะนำแรงเฉื่อยและลดปัญหาให้เป็นปัญหาคงที่ ซึ่งเราแก้ไขโดยใช้หลักการของการกระจัดที่เป็นไปได้

หลักการดาล็องแบร์-ลากรองจ์.
เมื่อระบบกลไกที่มีการเชื่อมต่อในอุดมคติเคลื่อนที่ ในแต่ละช่วงเวลา ผลรวมของงานเบื้องต้นของแรงกระทำที่ประยุกต์ทั้งหมดและแรงเฉื่อยทั้งหมดต่อการเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้ของระบบจะเป็นศูนย์:
.
สมการนี้เรียกว่า สมการทั่วไปของพลศาสตร์.

สมการลากรองจ์

พิกัด q ทั่วไป 1 , คิว 2 , ..., คิวเอ็น คือเซตของปริมาณ n ที่กำหนดตำแหน่งของระบบโดยไม่ซ้ำกัน

จำนวนพิกัดทั่วไป n เกิดขึ้นพร้อมกับจำนวนระดับความเป็นอิสระของระบบ

ความเร็วทั่วไปเป็นอนุพันธ์ของพิกัดทั่วไปเทียบกับเวลา t

กองกำลังทั่วไป Q 1 , คำถาม 2 , ..., คำถามn .
ให้เราพิจารณาการเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้ของระบบ โดยที่พิกัด q k จะได้รับการเคลื่อนไหว δq k พิกัดที่เหลือยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ให้ δA k เป็นงานที่กระทำโดยแรงภายนอกระหว่างการเคลื่อนที่ดังกล่าว แล้ว
δA k = Q k δq k หรือ
.

หากระบบเคลื่อนที่ไปได้ พิกัดทั้งหมดจะเปลี่ยนไป งานที่ทำโดยแรงภายนอกระหว่างการเคลื่อนที่ดังกล่าวจะมีรูปแบบ:
δA = ถาม 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
แรงทั่วไปนั้นเป็นอนุพันธ์บางส่วนของงานเกี่ยวกับการกระจัด:
.

สำหรับพลังที่มีศักยภาพด้วยศักยภาพ Π
.

สมการลากรองจ์- นี่คือสมการการเคลื่อนที่ของระบบกลไกในพิกัดทั่วไป:

โดยที่ T คือพลังงานจลน์ มันเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไป ความเร็ว และอาจรวมถึงเวลาด้วย ดังนั้นอนุพันธ์ย่อยของมันจึงเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไป ความเร็ว และเวลาด้วย ต่อไป คุณต้องคำนึงว่าพิกัดและความเร็วเป็นฟังก์ชันของเวลา ดังนั้น หากต้องการหาอนุพันธ์ทั้งหมดเทียบกับเวลา คุณต้องใช้กฎการหาอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน:
.

อ้างอิง:
เอส.เอ็ม.ทาร์ก หลักสูตรระยะสั้นกลศาสตร์เชิงทฤษฎี” บัณฑิตวิทยาลัย", 2010.

ให้เราพิจารณาการเคลื่อนที่ของระบบวัตถุวัตถุบางอย่างสัมพันธ์กับระบบพิกัดคงที่ เมื่อระบบไม่ว่างก็ถือว่าเป็นอิสระหากเราละทิ้งการเชื่อมต่อที่กำหนดในระบบและแทนที่การกระทำด้วยปฏิกิริยาที่สอดคล้องกัน

ให้เราแบ่งแรงทั้งหมดที่ใช้กับระบบออกเป็นภายนอกและภายใน ทั้งสองอย่างอาจรวมถึงปฏิกิริยาการทิ้งด้วย

การเชื่อมต่อ อนุญาต และแสดงถึงเวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักของแรงภายนอกที่สัมพันธ์กับจุด A

1. ทฤษฎีบทว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมถ้า คือ ปริมาณการเคลื่อนที่ของระบบ แล้ว (ดู)

นั่นคือทฤษฎีบทนั้นใช้ได้: อนุพันธ์ของเวลาของโมเมนตัมของระบบเท่ากับเวกเตอร์หลักของแรงภายนอกทั้งหมด

โดยการแทนที่เวกเตอร์ผ่านนิพจน์ โดยที่ มวลของระบบ คือความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล สมการ (4.1) สามารถมีรูปแบบอื่นได้:

ความเท่าเทียมกันนี้หมายความว่าจุดศูนย์กลางมวลของระบบเคลื่อนที่เหมือนจุดวัสดุซึ่งมีมวลเท่ากับมวลของระบบและเป็นแรงที่ใช้ซึ่งในเชิงเรขาคณิตเท่ากับเวกเตอร์หลักของแรงภายนอกทั้งหมดของระบบ ข้อความสุดท้ายเรียกว่าทฤษฎีบทการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล (จุดศูนย์กลางความเฉื่อย) ของระบบ

ถ้าจากนั้นจาก (4.1) จะเป็นไปตามว่าเวกเตอร์โมเมนตัมมีค่าคงที่ทั้งขนาดและทิศทาง เมื่อฉายภาพบนแกนพิกัด เราจะได้อินทิกรัลสเกลาร์ตัวแรกสามตัว ซึ่งเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ของดับเบิ้ลแคปของระบบ:

อินทิกรัลเหล่านี้เรียกว่าอินทิกรัลโมเมนตัม เมื่อความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลคงที่ กล่าวคือ มันจะเคลื่อนที่สม่ำเสมอและเป็นเส้นตรง

ถ้าเส้นโครงของเวกเตอร์หลักของแรงภายนอกบนแกนใดแกนหนึ่ง เช่น บนแกน มีค่าเท่ากับศูนย์ เราก็จะมีอินทิกรัลตัวแรกหนึ่งอัน หรือถ้าสองเส้นโครงของเวกเตอร์หลักเท่ากับศูนย์ ก็จะมีสองเส้นโครง อินทิกรัลของโมเมนตัม

2. ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมจลน์ให้ A เป็นจุดใดก็ได้ในอวกาศ (เคลื่อนที่หรือหยุดนิ่ง) ซึ่งไม่จำเป็นต้องตรงกับจุดวัตถุเฉพาะใดๆ ของระบบตลอดเวลาที่มีการเคลื่อนที่ เราแสดงความเร็วของมันในระบบพิกัดคงที่โดยทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาจลน์ของระบบวัสดุสัมพันธ์กับจุด A มีรูปแบบ

หากจุด A ได้รับการแก้ไข ความเท่าเทียมกัน (4.3) จะอยู่ในรูปแบบที่ง่ายกว่า:

ความเท่าเทียมกันนี้เป็นการแสดงออกถึงทฤษฎีบทเกี่ยวกับการแปรผันของโมเมนตัมเชิงมุมของระบบสัมพันธ์กับจุดคงที่: อนุพันธ์ของเวลาของโมเมนตัมเชิงมุมของระบบ ซึ่งคำนวณโดยสัมพันธ์กับจุดคงที่จุดใดจุดหนึ่ง จะเท่ากับโมเมนต์หลักของแรงภายนอกทั้งหมดที่สัมพันธ์กัน ถึงจุดนี้

ถ้าตาม (4.4) เวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุมมีค่าคงที่ทั้งขนาดและทิศทาง เมื่อฉายภาพบนแกนพิกัดเราจะได้อินทิกรัลแรกของสเกลาร์ของสมการเชิงอนุพันธ์ของระบบคู่:

อินทิกรัลเหล่านี้เรียกว่าอินทิกรัลโมเมนตัมหรืออินทิกรัลพื้นที่

ถ้าจุด A ตรงกับจุดศูนย์กลางมวลของระบบ เทอมแรกทางด้านขวาของความเสมอภาค (4.3) จะหายไป และทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมจะมีรูปแบบการเขียนเหมือนกัน (4.4) ในกรณีของ จุดคงที่ A หมายเหตุ (ดูหน้า 4 § 3) ในกรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณา โมเมนตัมเชิงมุมสัมบูรณ์ของระบบทางด้านซ้ายของค่าเท่ากัน (4.4) สามารถถูกแทนที่ด้วยโมเมนตัมเชิงมุมเท่ากันของระบบ ในการเคลื่อนที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางมวล

อนุญาต เป็นแกนคงที่หรือแกนของทิศทางคงที่ที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของระบบ และให้ เป็นโมเมนต์จลน์ของระบบสัมพันธ์กับแกนนี้ จาก (4.4) เป็นไปตามนั้น

โมเมนต์ของแรงภายนอกสัมพันธ์กับแกนอยู่ที่ไหน หากในระหว่างการเคลื่อนไหวทั้งหมด เรามีอินทิกรัลตัวแรก

ในงานของ S.A. Chaplygin ได้มีการสรุปทฤษฎีบทหลายประการเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมจลน์ซึ่งนำไปใช้ในการแก้ปัญหาหลายประการเกี่ยวกับลูกบอลกลิ้ง ลักษณะทั่วไปเพิ่มเติมของทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนต์เชิงกลและการประยุกต์ในปัญหาพลวัตของวัตถุแข็งเกร็งนั้นมีอยู่ในผลงานนี้ ผลลัพธ์หลักของงานเหล่านี้เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมจลน์ที่สัมพันธ์กับการเคลื่อนที่โดยผ่านจุดที่เคลื่อนที่ A อยู่ตลอดเวลา อนุญาต เป็นเวกเตอร์หน่วยที่กำกับตามแกนนี้ การคูณสเกลาร์ด้วยความเท่าเทียมกันทั้งสองด้าน (4.3) และเพิ่มคำลงในสองส่วนที่เราได้รับ

เมื่อตรงตามเงื่อนไขจลนศาสตร์

สมการ (4.5) ตามมาจาก (4.7) และหากเป็นไปตามเงื่อนไข (4.8) ในระหว่างการเคลื่อนไหวทั้งหมด ก็แสดงว่าอินทิกรัลแรก (4.6) ยังคงอยู่

ถ้าการเชื่อมต่อของระบบเหมาะสมที่สุด และยอมให้มีการหมุนของระบบในลักษณะวัตถุแข็งรอบแกน และจากนั้นให้โมเมนต์หลักของปฏิกิริยาสัมพันธ์กับแกนและมีค่าเท่ากับศูนย์ จากนั้นค่าบน ทางด้านขวาของสมการ (4.5) แสดงถึงโมเมนต์หลักของแรงกระทำภายนอกทั้งหมดที่สัมพันธ์กับแกน และ ความเท่าเทียมกันเป็นศูนย์ของช่วงเวลานี้และความถูกต้องของความสัมพันธ์ (4.8) จะอยู่ในกรณีที่พิจารณาเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของอินทิกรัล (4.6)

ถ้าทิศทางของแกน และ คงที่ เงื่อนไข (4.8) จะเขียนอยู่ในรูป

ความเท่าเทียมกันนี้หมายความว่าการฉายภาพความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลและความเร็วของจุด A บนแกนและบนระนาบที่ตั้งฉากกับสิ่งนี้จะขนานกัน ในงานของ S.A. Chaplygin แทนที่จะเป็น (4.9) จำเป็นต้องมีการปฏิบัติตามเงื่อนไขทั่วไปที่น้อยกว่าโดยที่ X คือค่าคงที่ตามอำเภอใจ

โปรดทราบว่าเงื่อนไข (4.8) ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกจุดบน อันที่จริง ให้ P เป็นจุดใดก็ได้บนแกน แล้ว

และดังนั้นจึง

โดยสรุป เราสังเกตการตีความทางเรขาคณิตของสมการ (4.1) และ (4.4) ของ Rézal): เวกเตอร์ความเร็วสัมบูรณ์ของปลายเวกเตอร์และเท่ากันตามลำดับกับเวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักของแรงภายนอกทั้งหมดที่สัมพันธ์กับจุด A .

การใช้ประกันสุขภาพในการแก้ปัญหามีความเกี่ยวข้องกับความยากลำบากบางประการ ดังนั้นจึงมักจะสร้างความสัมพันธ์เพิ่มเติมระหว่างลักษณะของการเคลื่อนที่และแรงซึ่งสะดวกกว่าสำหรับ การประยุกต์ใช้จริง- ความสัมพันธ์ดังกล่าวนั้น ทฤษฎีบททั่วไปลำโพงซึ่งเป็นผลมาจาก OMS ได้สร้างความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วของการเปลี่ยนแปลงของมาตรการการเคลื่อนไหวที่แนะนำเป็นพิเศษและลักษณะของแรงภายนอก

ทฤษฎีบทว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม ให้เราแนะนำแนวคิดของเวกเตอร์โมเมนตัม (R. Descartes) ของจุดวัสดุ (รูปที่ 3.4):

ฉัน ฉัน = เสื้อ V ช (3.9)

ข้าว. 3.4.

สำหรับระบบเราแนะนำแนวคิดนี้ เวกเตอร์หลักของโมเมนตัมของระบบเป็นผลรวมทางเรขาคณิต:

Q = Y, m " V r

ตาม OZMS: Xu, -^=i) หรือ X

อีกครั้ง) .

โดยคำนึงถึงว่า /w, = const เราได้รับ: -Ym,!" = อีกครั้ง)

หรือในรูปแบบสุดท้าย

dO/di = A (E (3.11)

เหล่านั้น. อนุพันธ์อันดับหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับเวลาของเวกเตอร์หลักของโมเมนตัมของระบบจะเท่ากับเวกเตอร์หลักของแรงภายนอก

ทฤษฎีบทการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล จุดศูนย์กลางมวลของระบบเรียกว่าจุดเรขาคณิตซึ่งตำแหน่งขึ้นอยู่กับ ที,ฯลฯ จากการกระจายมวล /g/ ในระบบและถูกกำหนดโดยนิพจน์สำหรับเวกเตอร์รัศมีของจุดศูนย์กลางมวล (รูปที่ 3.5):

ที่ไหน กรัม -เวกเตอร์รัศมีของจุดศูนย์กลางมวล

ข้าว. 3.5.

โทรเลย= กับมวลของระบบหลังจากคูณนิพจน์แล้ว

ใช้ (3.12) กับตัวส่วนและหาอนุพันธ์ทั้งสองด้านของผลลัพธ์

เราจะมีความเท่าเทียมกันอันมีคุณค่า: g s t s = ^t.U. - 0 หรือ 0 = คือคุณ

ดังนั้น เวกเตอร์โมเมนตัมหลักของระบบจึงเท่ากับผลคูณของมวลของระบบและความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล เมื่อใช้ทฤษฎีบทเรื่องการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม (3.11) เราได้รับ:

t s duU s / dі = A (E) ,หรือ

สูตร (3.13) เป็นการแสดงออกถึงทฤษฎีบทการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล: จุดศูนย์กลางมวลของระบบเคลื่อนที่เป็นจุดวัสดุที่มีมวลของระบบ ซึ่งถูกกระทำโดยเวกเตอร์หลักของแรงภายนอก

ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุม ให้เราแนะนำแนวคิดเรื่องโมเมนตัมเชิงมุมของจุดวัสดุเป็นผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์รัศมีและโมเมนตัม:

ถึงโอ้ = บลเอ็กซ์ ที่, (3.14)

ที่ไหน ถึง OI -โมเมนตัมของจุดวัตถุสัมพันธ์กับจุดคงที่ เกี่ยวกับ(รูปที่ 3.6)

ตอนนี้เรากำหนดโมเมนตัมเชิงมุมของระบบเครื่องกลเป็นผลรวมทางเรขาคณิต:

К() = X เกาะ, = ШУ, ? O-15>

การสร้างความแตกต่าง (3.15) เราได้รับ:

Ґ วินาที--- เอ็กซ์ ฉันคือคุณ + คุณเอ็กซ์ Ti

เมื่อพิจารณาแล้วว่า = ยู จี ยู ฉันเอ็กซ์ ฉันคือคุณ= 0 และสูตร (3.2) เราได้รับ:

сіК а /с1ї - 0 0 .

จากนิพจน์ที่สองใน (3.6) เราจะได้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมของระบบในที่สุด:

อนุพันธ์ครั้งแรกของโมเมนตัมของระบบกลไกสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางคงที่ O เท่ากับโมเมนต์หลักของแรงภายนอกที่กระทำต่อระบบนี้สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางเดียวกัน

เมื่อได้ความสัมพันธ์ (3.16) สันนิษฐานว่า เกี่ยวกับ- จุดคงที่ อย่างไรก็ตาม แสดงให้เห็นได้ว่าในหลายกรณี รูปแบบของความสัมพันธ์ (3.16) จะไม่เปลี่ยนแปลง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าในการเคลื่อนที่ของระนาบ จุดโมเมนต์ถูกเลือกที่ศูนย์กลางของมวล ซึ่งเป็นศูนย์กลางของความเร็วหรือความเร่งในขณะนั้น นอกจากนี้หากตรงประเด็น เกี่ยวกับเกิดขึ้นพร้อมกับจุดวัสดุที่กำลังเคลื่อนที่ ความเท่าเทียมกัน (3.16) ที่เขียนสำหรับจุดนี้จะกลายเป็นเอกลักษณ์ 0 = 0

ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ เมื่อระบบกลไกเคลื่อนที่ ทั้งพลังงาน "ภายนอก" และพลังงานภายในของระบบจะเปลี่ยนไป ถ้าลักษณะของแรงภายใน เวกเตอร์หลัก และโมเมนต์หลัก ไม่ส่งผลต่อการเปลี่ยนแปลงในเวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักของจำนวนความเร่ง ดังนั้น แรงภายในสามารถรวมไว้ในการประเมินกระบวนการสถานะพลังงานของระบบได้ดังนั้นเมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลงพลังงานของระบบ จำเป็นต้องพิจารณาการเคลื่อนที่ของแต่ละจุดซึ่งใช้แรงภายในด้วย

พลังงานจลน์ของจุดวัสดุถูกกำหนดให้เป็นปริมาณ

T^tuTsg. (3.17)

พลังงานจลน์ของระบบเครื่องกลเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ของจุดวัสดุของระบบ:

สังเกตว่า ที > 0.

ให้เรานิยามพลังของพลังว่า ผลิตภัณฑ์สเกลาร์แรงเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ความเร็ว:

ทฤษฎีบทการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลสมการเชิงอนุพันธ์การเคลื่อนที่ของระบบเครื่องกล ทฤษฎีบทการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลของระบบเครื่องกล กฎการอนุรักษ์การเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล

ทฤษฎีบทว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมปริมาณการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ แรงกระตุ้นเบื้องต้น แรงกระตุ้นในช่วงเวลาจำกัดและการฉายภาพไปยังแกนพิกัด ทฤษฎีบทว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของจุดวัสดุในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียลและรูปแบบจำกัด

ปริมาณการเคลื่อนที่ของระบบกลไก การแสดงออกผ่านมวลของระบบและความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล ทฤษฎีบทว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของระบบกลในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียลและไฟไนต์ กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมของกล

(แนวคิดเรื่องวัตถุและจุดมวลแปรผัน สมการของเมชเชอร์สกี สูตรของซิโอลคอฟสกี้)

ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมโมเมนตัมของจุดวัตถุสัมพันธ์กับศูนย์กลางและสัมพันธ์กับแกน ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมของจุดวัสดุ อำนาจกลาง. การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมของจุดวัสดุในกรณีของแรงที่ศูนย์กลาง (แนวคิดเรื่องความเร็วของเซกเตอร์ กฎของพื้นที่)

โมเมนต์หลักของโมเมนตัมหรือโมเมนต์จลน์ของระบบกลไกที่สัมพันธ์กับศูนย์กลางและสัมพันธ์กับแกน โมเมนต์จลน์ของวัตถุแข็งเกร็งที่กำลังหมุนรอบแกนการหมุน ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงโมเมนต์จลน์ของระบบกลไก กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมของระบบเครื่องกล (ทฤษฎีบทว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมของระบบกลไกในการเคลื่อนที่สัมพันธ์สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางมวล)

ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์พลังงานจลน์ของจุดวัตถุ งานเบื้องต้นของกำลัง การแสดงเชิงวิเคราะห์ของงานเบื้องต้น งานที่ทำโดยแรงในการเคลื่อนที่ขั้นสุดท้ายของจุดใช้งาน งานของแรงโน้มถ่วง แรงยืดหยุ่น และแรงโน้มถ่วง ทฤษฎีบทว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ของจุดวัตถุในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียลและรูปแบบจำกัด

พลังงานจลน์ของระบบเครื่องกล สูตรสำหรับคำนวณพลังงานจลน์ของวัตถุเกร็งระหว่างการเคลื่อนที่แบบแปลน ระหว่างการหมุนรอบแกนคงที่ และในกรณีทั่วไปของการเคลื่อนที่ (โดยเฉพาะระหว่างการเคลื่อนที่แบบระนาบขนาน) ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ของระบบเครื่องกลในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียลและไฟไนต์ ผลรวมของงานที่ทำโดยแรงภายในในตัวของแข็งมีค่าเท่ากับศูนย์ งานและกำลังของแรงที่กระทำต่อวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนรอบแกนคงที่

แนวคิดเรื่องสนามพลัง สนามแรงศักย์และฟังก์ชันแรง การแสดงออกของเส้นโครงแรงผ่านฟังก์ชันแรง พื้นผิวที่มีศักยภาพเท่ากัน งานของแรงในการกระจัดสุดท้ายของจุดในสนามแรงศักย์ พลังงานศักย์ ตัวอย่างของสนามแรงศักย์: สนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอและสนามโน้มถ่วง กฎการอนุรักษ์พลังงานกล

ไดนามิกของร่างกายที่เข้มงวดสมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่เชิงแปลของวัตถุเกร็ง สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับการหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่ ลูกตุ้มทางกายภาพ สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ระนาบของวัตถุแข็งเกร็ง

หลักการของดาล็องแบร์หลักการของดาล็องแบร์สำหรับจุดวัตถุ แรงเฉื่อย หลักการของดาล็องแบร์สำหรับระบบเครื่องกล นำแรงเฉื่อยของจุดของวัตถุแข็งเกร็งมาสู่ศูนย์กลาง เวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักของแรงเฉื่อย

(การกำหนดปฏิกิริยาไดนามิกของตลับลูกปืนระหว่างการหมุนของวัตถุแข็งรอบแกนคงที่ กรณีที่แกนการหมุนเป็นแกนกลางหลักของความเฉื่อยของร่างกาย)

หลักการเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้และสมการทั่วไปของพลศาสตร์การเชื่อมต่อที่กำหนดให้กับระบบกลไก การเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้ (หรือเสมือน) ของจุดวัสดุและระบบกลไก จำนวนองศาความเป็นอิสระของระบบ การเชื่อมต่อในอุดมคติ หลักการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ สมการทั่วไปของพลศาสตร์

สมการการเคลื่อนที่ของระบบในพิกัดทั่วไป (สมการลากรองจ์)พิกัดทั่วไปของระบบ ความเร็วทั่วไป การแสดงออกของงานเบื้องต้นในพิกัดทั่วไป กองกำลังทั่วไปและการคำนวณ กรณีกองกำลังที่มีศักยภาพ เงื่อนไขสำหรับความสมดุลของระบบในพิกัดทั่วไป สมการเชิงอนุพันธ์การเคลื่อนที่ของระบบในพิกัดทั่วไปหรือสมการลากรองจ์ประเภทที่ 2 สมการลากรองจ์ในกรณีของแรงศักย์ ฟังก์ชันลากรองจ์ (ศักย์จลน์)

แนวคิดเรื่องเสถียรภาพสมดุล การสั่นสะเทือนอิสระเล็กน้อยของระบบกลไกโดยมีอิสระหนึ่งระดับใกล้กับตำแหน่งสมดุลที่มั่นคงของระบบและคุณสมบัติของมัน

องค์ประกอบของทฤษฎีผลกระทบปรากฏการณ์กระแทก แรงกระแทกและแรงกระตุ้นกระแทก การกระทำของแรงกระแทกต่อจุดวัตถุ ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของระบบเครื่องกลเมื่อเกิดการกระแทก การกระแทกตรงกลางของร่างกายโดยตรงบนพื้นผิวที่อยู่นิ่ง ผลกระทบที่ยืดหยุ่นและไม่ยืดหยุ่น ค่าสัมประสิทธิ์การฟื้นตัวของผลกระทบและการพิจารณาทดลอง การกระแทกตรงกลางของวัตถุทั้งสองโดยตรง ทฤษฎีบทของการ์โนต์

บรรณานุกรม

ขั้นพื้นฐาน

Butenin N.V., Lunts Ya-L., Merkin D.R.หลักสูตรกลศาสตร์ทฤษฎี ต. 1, 2. ม., 2528 และฉบับก่อนหน้า

Dobronravov V.V. , Nikitin N.N.หลักสูตรกลศาสตร์ทฤษฎี ม., 1983.

Starzhinsky V. M.กลศาสตร์เชิงทฤษฎี ม., 1980.

ทาร์ก เอส.เอ็ม.หลักสูตรระยะสั้นกลศาสตร์ทฤษฎี ม., 2529 และฉบับก่อนหน้า

Yablonsky A. A. , Nikiforova V. M.หลักสูตรกลศาสตร์ทฤษฎี ตอนที่ 1 ม. 2527 และฉบับก่อนหน้า

ยาบลอนสกี้ เอ.เอ.หลักสูตรกลศาสตร์ทฤษฎี ตอนที่ 2 ม. 2527 และฉบับก่อนหน้า

เมชเชอร์สกี้ ไอ.วี.การรวบรวมปัญหาทางกลศาสตร์เชิงทฤษฎี ม., 2529 และฉบับก่อนหน้า

การรวบรวมปัญหากลศาสตร์ทฤษฎี/อ. เค.เอส. โคเลสนิโควา ม., 1983.

เพิ่มเติม

ค้างคาว M.I., Dzhanelidze G. Yu., เคลซอน A. S.กลศาสตร์เชิงทฤษฎีในตัวอย่างนี้และปัญหา ส่วนที่ 1, 2. ม., 1984 และฉบับก่อนหน้า

การรวบรวมปัญหากลศาสตร์เชิงทฤษฎี/5razhnichen/so N.A., Kan V.L., Mintzberg B.L.และคนอื่นๆ ม., 1987.

Novozhilov I.V., Zatsepin M.F.การคำนวณโดยใช้คอมพิวเตอร์โดยทั่วไปในกลศาสตร์เชิงทฤษฎี ม., 2529,

รวบรวมงานสำหรับ งานหลักสูตรว่าด้วยกลศาสตร์ทฤษฎี / เอ็ด เอ.เอ. ยาบลอนสกี้ M. , 1985 และฉบับก่อนหน้า (มีตัวอย่างการแก้ปัญหา)

ด้วยจุดวัสดุจำนวนมากที่รวมอยู่ในระบบกลไกหรือหากมีวัตถุแข็งอย่างแน่นอน () ดำเนินการเคลื่อนไหวแบบไม่แปลการใช้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ในการแก้ปัญหาหลักของพลวัตของระบบกลไก กลายเป็นว่าเป็นไปไม่ได้ในทางปฏิบัติ อย่างไรก็ตาม ในการแก้ไขปัญหาทางวิศวกรรมหลายๆ ปัญหา ไม่จำเป็นต้องกำหนดการเคลื่อนที่ของแต่ละจุดของระบบกลไกแยกกัน บางครั้งก็เพียงพอที่จะสรุปเกี่ยวกับแง่มุมที่สำคัญที่สุดของกระบวนการเคลื่อนไหวที่กำลังศึกษาโดยไม่ต้องแก้ระบบสมการการเคลื่อนที่อย่างสมบูรณ์ ข้อสรุปเหล่านี้จากสมการเชิงอนุพันธ์การเคลื่อนที่ของระบบเครื่องกลประกอบด้วยเนื้อหาของทฤษฎีบททั่วไปของพลศาสตร์ ประการแรก ทฤษฎีบททั่วไป ทำให้เราเป็นอิสระจากความจำเป็นในการดำเนินการแปลงทางคณิตศาสตร์ที่เกิดขึ้นกับปัญหาที่แตกต่างกันในแต่ละกรณี และดำเนินการครั้งเดียวและทุกครั้งเมื่อได้รับทฤษฎีบทจากสมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ ประการที่สอง ทฤษฎีบททั่วไปให้ความเชื่อมโยงระหว่างลักษณะรวมทั่วไปของการเคลื่อนที่ของระบบกลไก ซึ่งมีความหมายทางกายภาพที่ชัดเจน เหล่านี้ ลักษณะทั่วไปเช่น โมเมนตัม โมเมนตัมเชิงมุม พลังงานจลน์ของระบบเครื่องกล เรียกว่า การวัดการเคลื่อนไหวของระบบเครื่องกล

การวัดการเคลื่อนที่ขั้นแรกคือปริมาณการเคลื่อนที่ของระบบกลไก

ปริมาณการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุคือการวัดเวกเตอร์ของการเคลื่อนที่ เท่ากับผลคูณของมวลของจุดและความเร็ว:

.

ปริมาณการเคลื่อนที่ของระบบกลไกคือการวัดเวกเตอร์ของการเคลื่อนที่ เท่ากับผลรวมของปริมาณการเคลื่อนที่ของจุดต่างๆ:

, (13.1)

มาแปลงทางด้านขวาของสูตร (23.1):

ที่ไหน
- มวลของระบบทั้งหมด
- ความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล

เพราะฉะนั้น, ปริมาณการเคลื่อนที่ของระบบกลไกจะเท่ากับปริมาณการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลถ้ามวลทั้งหมดของระบบมีความเข้มข้นอยู่ในนั้น:

.

แรงกระตุ้น

ผลคูณของแรงและช่วงเวลาเบื้องต้นของการกระทำ
เรียกว่าแรงกระตุ้นเบื้องต้น

แรงกระตุ้นแห่งอำนาจ ในช่วงเวลาหนึ่งเรียกว่าอินทิกรัลของแรงกระตุ้นเบื้องต้น

.

ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของระบบเครื่องกล

ให้แต่ละจุด
ระบบกลไกทำหน้าที่เป็นผลมาจากแรงภายนอก และผลของพลังภายใน .

พิจารณาสมการพื้นฐานของพลศาสตร์ของระบบเครื่องกล

การบวกสมการ (13.2) ทีละเทอม nคะแนนของระบบเราก็ได้

(13.3)

ผลรวมแรกทางด้านขวาเท่ากับเวกเตอร์หลัก แรงภายนอกของระบบ ผลรวมที่สองเท่ากับศูนย์เนื่องจากคุณสมบัติของแรงภายในของระบบ พิจารณาด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน (13.3):

ดังนั้นเราจึงได้รับ:

, (13.4)

หรือในการฉายภาพบนแกนพิกัด

(13.5)

ความเท่าเทียมกัน (13.4) และ (13.5) แสดงทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของระบบกลไก:

อนุพันธ์ของเวลาของโมเมนตัมของระบบเครื่องกลเท่ากับเวกเตอร์หลักของแรงภายนอกทั้งหมดของระบบเครื่องกล

ทฤษฎีบทนี้สามารถนำเสนอในรูปแบบอินทิกรัลได้โดยการบูรณาการทั้งสองด้านของความเสมอภาค (13.4) ในช่วงเวลาหนึ่งภายในช่วงจาก ที 0 ถึง ที:

, (13.6)

ที่ไหน
และอินทิกรัลทางด้านขวาคือแรงกระตุ้นจากแรงภายนอกสำหรับ

เวลา ที-ที 0 .

ความเท่าเทียมกัน (13.6) นำเสนอทฤษฎีบทในรูปแบบอินทิกรัล:

การเพิ่มขึ้นของโมเมนตัมของระบบกลไกในช่วงเวลาจำกัดจะเท่ากับแรงกระตุ้นของแรงภายนอกในช่วงเวลานี้

ทฤษฎีบทนี้เรียกอีกอย่างว่า ทฤษฎีบทโมเมนตัม

ในการฉายภาพบนแกนพิกัด ทฤษฎีบทจะเขียนเป็น:

ข้อพิสูจน์ (กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม)

1). หากเวกเตอร์หลักของแรงภายนอกในช่วงเวลาที่พิจารณามีค่าเท่ากับศูนย์ ปริมาณการเคลื่อนที่ของระบบกลไกจะคงที่ กล่าวคือ ถ้า
,
.

2). หากการฉายภาพเวกเตอร์หลักของแรงภายนอกบนแกนใด ๆ ในช่วงเวลาที่พิจารณาเป็นศูนย์ ดังนั้นการฉายภาพโมเมนตัมของระบบกลไกบนแกนนี้จะคงที่

เหล่านั้น. ถ้า
ที่
.