X y sa rovná 2 grafom lineárnej funkcie. Priama funkcia

Pojem numerickej funkcie. Metódy určenia funkcie. Vlastnosti funkcií.

Číselná funkcia je funkcia, ktorá pôsobí z jedného číselného priestoru (množiny) do iného číselného priestoru (množiny).

Tri hlavné spôsoby definovania funkcie: analytická, tabuľková a grafická.

1. Analytický.

Metóda špecifikácie funkcie pomocou vzorca sa nazýva analytická. Táto metóda je hlavná v podložke. analýzy, ale v praxi to nie je pohodlné.

2. Tabuľkový spôsob určenia funkcie.

Funkciu je možné zadať pomocou tabuľky obsahujúcej hodnoty argumentov a ich zodpovedajúce hodnoty funkcií.

3. Grafický spôsob určenia funkcie.

O funkcii y=f(x) sa hovorí, že je daná graficky, ak je skonštruovaný jej graf. Tento spôsob zadávania funkcie umožňuje určiť hodnoty funkcie iba približne, pretože zostrojenie grafu a nájdenie funkčných hodnôt na ňom je spojené s chybami.

Vlastnosti funkcie, ktoré treba brať do úvahy pri konštrukcii jej grafu:

1) Definičný obor funkcie.

doména funkcie, teda tie hodnoty, ktoré môže nadobudnúť argument x funkcie F =y (x).

2) Intervaly rastúcich a klesajúcich funkcií.

Funkcia sa nazýva zvyšovanie na uvažovanom intervale, ak väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej hodnote funkcie y(x). To znamená, že ak sú z uvažovaného intervalu prevzaté dva ľubovoľné argumenty x 1 a x 2 a x 1 > x 2, potom y(x 1) > y(x 2).

Funkcia sa nazýva klesajúca na uvažovanom intervale, ak väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie y(x). To znamená, že ak sa z uvažovaného intervalu prevezmú dva ľubovoľné argumenty x 1 a x 2 a x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Funkčné nuly.

Body, v ktorých funkcia F = y (x) pretína os x (získame ich riešením rovnice y(x) = 0), sa nazývajú nuly funkcie.

4) Párne a nepárne funkcie.

Funkcia sa nazýva párna, ak pre všetky hodnoty argumentov z rozsahu

y(-x) = y(x).

Graf párnej funkcie je symetrický podľa ordináty.

Funkcia sa nazýva nepárna, ak pre všetky hodnoty argumentu z domény definície

y(-x) = -y(x).

Graf párnej funkcie je symetrický podľa počiatku.

Mnohé funkcie nie sú párne ani nepárne.

5) Periodicita funkcie.

Funkcia sa nazýva periodická, ak existuje číslo P také, že pre všetky hodnoty argumentu z oblasti definície

y(x + P) = y(x).

Lineárna funkcia, jej vlastnosti a graf.

Lineárna funkcia je funkciou formy y = kx + b, definované na množine všetkých reálnych čísel.

k– sklon (skutočné číslo)

b– fiktívny výraz (skutočné číslo)

X- nezávislá premenná.

· V špeciálnom prípade, ak k = 0, dostaneme konštantnú funkciu y = b, ktorej grafom je priamka rovnobežná s osou Ox prechádzajúca bodom so súradnicami (0; b).

· Ak b = 0, potom dostaneme funkciu y = kx, čo je priama úmernosť.

o Geometrický význam koeficientu b je dĺžka segmentu, ktorý priamka odreže pozdĺž osi Oy, počítajúc od začiatku.

o Geometrický význam koeficientu k je uhol sklonu priamky voči kladnému smeru osi Ox, vypočítaný proti smeru hodinových ručičiek.

Vlastnosti lineárnej funkcie:

1) Definičný obor lineárnej funkcie je celá reálna os;

2) Ak k ≠ 0, potom rozsah hodnôt lineárnej funkcie je celá reálna os.

Ak k = 0, potom rozsah hodnôt lineárnej funkcie pozostáva z čísla b;

3) Rovnomernosť a nepárnosť lineárnej funkcie závisí od hodnôt koeficientov k a b.

a) b ≠ 0, k = 0, teda y = b – párne;

b) b = 0, k ≠ 0, teda y = kx – nepárne;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, teda y = kx + b je funkciou všeobecného tvaru;

d) b = 0, k = 0, preto y = 0 je párna aj nepárna funkcia.

4) Lineárna funkcia nemá vlastnosť periodicity;

5) Priesečníky so súradnicovými osami:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, teda (-b/k; 0) je priesečník s osou x.

Oy: y = 0k + b = b, teda (0; b) je priesečník s ordinátou.

Komentujte. Ak b = 0 ak = 0, potom funkcia y = 0 zaniká pre akúkoľvek hodnotu premennej x. Ak b ≠ 0 ak = 0, potom funkcia y = b nezaniká pre žiadnu hodnotu premennej x.

6) Intervaly konštantného znamienka závisia od koeficientu k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – kladné na x od (-b/k; +∞),

y = kx + b – záporné pre x od (-∞; -b/k).

b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – kladné na x od (-∞; -b/k),

y = kx + b – záporné pre x z (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b je kladné v celej oblasti definície,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Intervaly monotónnosti lineárnej funkcie závisia od koeficientu k.

k > 0, preto y = kx + b rastie v celej oblasti definície,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Funkcia y = ax 2 + bx + c, jej vlastnosti a graf.

Funkcia y = ax 2 + bx + c (a, b, c sú konštanty, a ≠ 0) sa nazýva kvadratický. V najjednoduchšom prípade y = ax 2 (b = c = 0) je graf zakrivená čiara prechádzajúca počiatkom. Krivka slúžiaca ako graf funkcie y = ax 2 je parabola. Každá parabola má os symetrie tzv os paraboly. Bod O priesečníka paraboly s jej osou sa nazýva vrchol paraboly.

Graf môžeme zostrojiť podľa nasledujúcej schémy: 1) Nájdite súradnice vrcholu paraboly x 0 = -b/2a; yo = y(x 0). 2) Zostrojíme ešte niekoľko bodov, ktoré patria do paraboly, pri zostrojení môžeme použiť symetrie paraboly voči priamke x = -b/2a. 3) Spojte označené body hladkou čiarou. Príklad. Nakreslite graf funkcie b = x 2 + 2x - 3. Riešenia. Grafom funkcie je parabola, ktorej vetvy smerujú nahor. Súradnica vrcholu paraboly x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, jej ordináty y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Takže vrchol paraboly je bod (-1; -4). Zostavme tabuľku hodnôt pre niekoľko bodov, ktoré sa nachádzajú napravo od osi symetrie paraboly - priamka x = -1. Vlastnosti funkcie.

Uvažujme funkciu y=k/y. Grafom tejto funkcie je priamka, ktorá sa v matematike nazýva hyperbola. Celkový pohľad na hyperbolu je znázornený na obrázku nižšie. (V grafe je znázornená funkcia y sa rovná k delená x, pre ktorú sa k rovná jednej.)

Je vidieť, že graf pozostáva z dvoch častí. Tieto časti sa nazývajú vetvy hyperboly. Za zmienku tiež stojí, že každá vetva hyperboly sa približuje jedným zo smerov bližšie a bližšie k súradnicovým osám. Súradnicové osi sa v tomto prípade nazývajú asymptoty.

Vo všeobecnosti sa akékoľvek priame čiary, ku ktorým sa graf funkcie nekonečne približuje, ale nedosahuje, nazývajú asymptoty. Hyperbola, podobne ako parabola, má osi symetrie. Pre hyperbolu znázornenú na obrázku vyššie je to priamka y=x.

Teraz sa pozrime na dva bežné prípady hyperboly. Grafom funkcie y = k/x pre k ≠0 bude hyperbola, ktorej vetvy sa nachádzajú buď v prvom a treťom súradnicovom uhle, pre k>0, alebo v druhom a štvrtom súradnicovom uhle, vidlička<0.

Základné vlastnosti funkcie y = k/x, pre k>0

Graf funkcie y = k/x, pre k>0

5. y>0 pri x>0; y6. Funkcia klesá na intervale (-∞;0) aj na intervale (0;+∞).

10. Rozsah hodnôt funkcie sú dva otvorené intervaly (-∞;0) a (0;+∞).

Základné vlastnosti funkcie y = k/x, pre k<0

Graf funkcie y = k/x, pri k<0

1. Bod (0;0) je stredom symetrie hyperboly.

2. Súradnicové osi - asymptoty hyperboly.

4. Definičný obor funkcie sú všetky x okrem x=0.

5. y>0 pri x0.

6. Funkcia sa zvyšuje na intervale (-∞;0) aj na intervale (0;+∞).

7. Funkcia nie je obmedzená ani zdola, ani zhora.

8. Funkcia nemá maximálnu ani minimálnu hodnotu.

9. Funkcia je spojitá na intervale (-∞;0) a na intervale (0;+∞). Má medzeru pri x=0.

„Kritické body funkcie“ - Kritické body. Medzi kritickými bodmi sú extrémne body. Nevyhnutná podmienka pre extrém. Odpoveď: 2. Definícia. Ale ak f" (x0) = 0, potom nie je nutné, aby bod x0 bol extrémnym bodom. Extrémne body (opakovanie). Kritické body funkcie. Extrémne body.

„Súradnicová rovina 6. ročník“ - Matematika 6. ročník. 1. X. 1. Nájdite a zapíšte súradnice bodov A, B, C, D: -6. Súradnicová rovina. O. -3. 7. U.

„Funkcie a ich grafy“ - Spojitosť. Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie. Koncept inverznej funkcie. Lineárne. Logaritmický. Monotónne. Ak k > 0, potom je vytvorený uhol ostrý, ak k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

„Funkcie 9. ročníka“ – platné aritmetické operácie s funkciami. [+] – sčítanie, [-] – odčítanie, [*] – násobenie, [:] – delenie. V takýchto prípadoch hovoríme o grafickom špecifikovaní funkcie. Vytvorenie triedy elementárnych funkcií. Mocninná funkcia y=x0,5. Iovlev Maxim Nikolaevič, študent 9. ročníka strednej školy RMOU Radužskaja.

“Lesson Tangent Equation” - 1. Objasnite pojem dotyčnica ku grafu funkcie. Leibniz uvažoval o probléme nakreslenia dotyčnice k ľubovoľnej krivke. ALGORITMUS NA VYTVORENIE ROVNICE PRE TANGENTU KU GRAFKU FUNKCIE y=f(x). Téma lekcie: Test: nájdite deriváciu funkcie. Tangentová rovnica. Fluxion. 10. ročník Dešifrujte to, čo Isaac Newton nazval derivačnou funkciou.

“Zostavte graf funkcie” - Je daná funkcia y=3cosx. Graf funkcie y=m*sin x. Graf funkcie. Obsah: Daná funkcia: y=sin (x+?/2). Roztiahnutie grafu y=cosx pozdĺž osi y. Pre pokračovanie kliknite na l. Tlačidlo myši. Vzhľadom na funkciu y=cosx+1. Posun grafu y=sinx vertikálne. Vzhľadom na funkciu y=3sinx. Horizontálne posunutie grafu y=cosx.

V téme je spolu 25 prezentácií

Definícia lineárnej funkcie

Uveďme definíciu lineárnej funkcie

Definícia

Funkcia v tvare $y=kx+b$, kde $k$ je nenulová, sa nazýva lineárna funkcia.

Graf lineárnej funkcie je priamka. Číslo $k$ sa nazýva sklon priamky.

Keď $b=0$, lineárna funkcia sa nazýva funkcia priamej úmernosti $y=kx$.

Zvážte obrázok 1.

Ryža. 1. Geometrický význam sklonu priamky

Zvážte trojuholník ABC. Vidíme, že $ВС=kx_0+b$. Nájdite priesečník priamky $y=kx+b$ s osou $Ox$:

\ \

Takže $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Nájdite pomer týchto strán:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Na druhej strane $\frac(BC)(AC)=tg\uhol A$.

Môžeme teda vyvodiť nasledujúci záver:

Záver

Geometrický význam koeficientu $k$. Uhlový koeficient priamky $k$ sa rovná dotyčnici uhla sklonu tejto priamky k osi $Ox$.

Štúdium lineárnej funkcie $f\left(x\right)=kx+b$ a jej grafu

Najprv zvážte funkciu $f\left(x\right)=kx+b$, kde $k > 0$.

1. $f"\vľavo(x\vpravo)=(\vľavo(kx+b\vpravo))"=k>0$. V dôsledku toho sa táto funkcia zvyšuje v celej oblasti definície. Neexistujú žiadne extrémne body.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Graf (obr. 2).

Ryža. 2. Grafy funkcie $y=kx+b$, pre $k > 0$.

Teraz zvážte funkciu $f\left(x\right)=kx$, kde $k

1. Definičnou doménou sú všetky čísla.
2. Rozsah hodnôt sú všetky čísla.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Funkcia nie je párna ani nepárna.
4. Pre $x=0,f\vľavo(0\vpravo)=b$. Keď $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Priesečníky so súradnicovými osami: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ a $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\vľavo(x\vpravo)=(\vľavo(kx\vpravo))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Preto funkcia nemá žiadne inflexné body.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Graf (obr. 3).

Uvažujme o probléme. Motorkár, ktorý odišiel z mesta A do v súčasnosti sa nachádza 20 km od neho. V akej vzdialenosti s (km) od A bude motocyklista po t hodinách, ak sa bude pohybovať rýchlosťou 40 km/h?

Je zrejmé, že za t hodín prejde motocyklista 50t km. Následne po t hodinách bude vo vzdialenosti (20 + 50t) km od A, t.j. s = 50 t + 20, kde t ≥ 0.

Každá hodnota t zodpovedá jedinej hodnote s.

Vzorec s = 50t + 20, kde t ≥ 0, definuje funkciu.

Uvažujme ešte o jednom probléme. Za odoslanie telegramu sa účtuje poplatok 3 kopejky za každé slovo a ďalších 10 kopejok. Koľko kopejok (u) by ste mali zaplatiť za odoslanie telegramu obsahujúceho n slov?

Keďže odosielateľ musí zaplatiť 3n kopejok za n slov, náklady na odoslanie telegramu s n slovami možno zistiť pomocou vzorca u = 3n + 10, kde n je ľubovoľné prirodzené číslo.

V oboch uvažovaných úlohách sme sa stretli s funkciami, ktoré sú dané vzorcami v tvare y = kx + l, kde k a l sú nejaké čísla a x a y sú premenné.

Funkcia, ktorá môže byť špecifikovaná vzorcom v tvare y = kx + l, kde k a l sú nejaké čísla, sa nazýva lineárna.

Keďže výraz kx + l dáva zmysel pre ľubovoľné x, definičným oborom lineárnej funkcie môže byť množina všetkých čísel alebo ľubovoľná jej podmnožina.

Špeciálnym prípadom lineárnej funkcie je už skôr diskutovaná priama úmernosť. Pripomeňme, že pre l = 0 a k ≠ 0 má vzorec y = kx + l tvar y = kx a tento vzorec, ako je známe, pre k ≠ 0 určuje priamu úmernosť.

Potrebujeme nakresliť lineárnu funkciu f danú vzorcom
y = 0,5x + 2.

Získajte niekoľko zodpovedajúcich hodnôt premennej y pre niektoré hodnoty x:

Označme body súradnicami, ktoré sme dostali: (-6; -1), (-4; 0); (-2; 1), (0; 2), (2; 3), (4; 4); (6; 5), (8; 6).

Je zrejmé, že zostrojené body ležia na určitej priamke. Z toho nevyplýva, že graf tejto funkcie je priamka.

Aby sme zistili, ako vyzerá graf uvažovanej funkcie f, porovnajme ho so známym grafom priamej úmernosti x – y, kde x = 0,5.

Pre ľubovoľné x je hodnota výrazu 0,5x + 2 väčšia ako zodpovedajúca hodnota výrazu 0,5x o 2 jednotky. Preto je ordináta každého bodu na grafe funkcie f o 2 jednotky väčšia ako zodpovedajúca ordináta na grafe priamej úmernosti.

V dôsledku toho možno graf príslušnej funkcie f získať z grafu priamej úmernosti paralelným posunom o 2 jednotky v smere osi y.

Pretože grafom priamej úmernosti je priamka, potom aj graf uvažovanej lineárnej funkcie f je priamka.

Vo všeobecnosti platí, že graf funkcie danej vzorcom v tvare y = kx + l je priamka.

Vieme, že na zostrojenie priamky stačí určiť polohu jej dvoch bodov.

Napríklad, potrebujete nakresliť funkciu, ktorá je daná vzorcom
y = 1,5x – 3.

Zoberme si dve ľubovoľné hodnoty x, napríklad x 1 = 0 a x 2 = 4. Vypočítajte zodpovedajúce hodnoty funkcie y 1 = -3, y 2 = 3, zostrojte body A (-3; 0) a B (4; 3) a cez tieto body nakreslite priamku. Táto priamka je požadovaný graf.

Ak definičný obor lineárnej funkcie nie je plne zastúpený čísla, potom jeho graf bude podmnožinou bodov na priamke (napríklad lúč, úsečka, množina jednotlivých bodov).

Umiestnenie grafu funkcie špecifikovaného vzorcom y = kx + l závisí od hodnôt la k. Najmä uhol sklonu grafu lineárnej funkcie k osi x závisí od koeficientu k. Ak k je kladné číslo, potom je tento uhol ostrý; ak je k záporné číslo, potom je uhol tupý. Číslo k sa nazýva sklon priamky.

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.