Ako zostrojiť uhol rovný danému. Zostrojenie uhla rovného danému uhlu

Ciele lekcie:

• Formovanie schopnosti analyzovať študovaný materiál a zručnosti jeho použitia pri riešení problémov;
• Ukážte význam študovaných konceptov;
• Rozvoj kognitívnej činnosti a samostatnosti pri získavaní vedomostí;
• Pestovanie záujmu o predmet a zmysel pre krásu.

Ciele lekcie:

• Rozvíjajte zručnosti v konštrukcii uhla rovného danému pomocou mierkového pravítka, kružidla, uhlomeru a kreslenia trojuholníka.
• Otestujte si zručnosti študentov pri riešení problémov.

Plán lekcie:

1. Opakovanie.
2. Zostrojenie uhla rovného danému uhlu.
3. Analýza.
4. Najprv príklad konštrukcie.
5. Konštrukčný príklad dva.

Opakovanie.

Rohový.

Plochý uhol- neobmedzený geometrický útvar tvorený dvoma lúčmi (stranami uhla) vychádzajúcimi z jedného bodu (vrcholu uhla).

Uhol sa tiež nazýva obrazec tvorený všetkými bodmi roviny uzavretými medzi týmito lúčmi (Všeobecne povedané, dva takéto lúče zodpovedajú dvom uhlom, pretože rozdeľujú rovinu na dve časti. Jeden z týchto uhlov sa bežne nazýva vnútorný a iné - vonkajšie.
Niekedy sa pre stručnosť uhol nazýva uhlová miera.

Existuje všeobecne akceptovaný symbol na označenie uhla: , ktorý v roku 1634 navrhol francúzsky matematik Pierre Erigon.

Rohový je geometrický útvar (obr. 1), tvorený dvoma lúčmi OA a OB (strany uhla), vychádzajúcich z jedného bodu O (vrcholu uhla).

Uhol je označený symbolom a tromi písmenami označujúcimi konce lúčov a vrchol uhla: AOB (a písmeno vrcholu je prostredné). Uhly sa merajú veľkosťou rotácie lúča OA okolo vrcholu O, kým sa lúč OA neposunie do polohy OB. Na meranie uhlov sa bežne používajú dve jednotky: radiány a stupne. Pre meranie radiánu uhlov pozri nižšie v odseku „Dĺžka oblúka“, ako aj v kapitole „Trigonometria“.

Systém stupňov na meranie uhlov.

Jednotkou merania je tu stupeň (jeho označenie je °) - ide o otočenie lúča o 1/360 celej otáčky. Úplná rotácia lúča je teda 360 o. Jeden stupeň je rozdelený na 60 minút (symbol '); jednu minútu – respektíve 60 sekúnd (označenie “). Uhol 90° (obr. 2) sa nazýva pravý; uhol menší ako 90° (obr. 3) sa nazýva ostrý; uhol väčší ako 90° (obr. 4) sa nazýva tupý.

Priame čiary, ktoré zvierajú pravý uhol, sa nazývajú navzájom kolmé. Ak sú čiary AB a MK kolmé, potom je to označené: AB MK.

Zostrojenie uhla rovného danému uhlu.

Pred začatím výstavby alebo riešením akéhokoľvek problému, bez ohľadu na predmet, musíte vykonať analýza. Pochopte, čo hovorí zadanie, prečítajte si ho premyslene a pomaly. Ak máte po prvýkrát pochybnosti alebo niečo nebolo jasné alebo jasné, ale nie úplne, odporúča sa prečítať si to znova. Ak v triede robíte úlohu, môžete sa opýtať učiteľa. V opačnom prípade sa môže stať, že vaša úloha, ktorú ste zle pochopili, nebude vyriešená správne, prípadne nájdete niečo, čo nie je od vás požadované, bude to považované za nesprávne a budete to musieť urobiť znova. Pokiaľ ide o mňa - Je lepšie stráviť trochu viac času štúdiom úlohy, ako ju opakovať znova.

Analýza.

Nech a je daný lúč s vrcholom A a uhol (ab) je požadovaný. Vyberme body B a C na lúčoch a a b. Spojením bodov B a C dostaneme trojuholník ABC. IN rovnaké trojuholníky zodpovedajúce uhly sú rovnaké, a preto nasleduje spôsob konštrukcie. Ak po stranách daný uhol nejakým pohodlným spôsobom vyberte body C a B, z tohto lúča V danej polrovine zostrojte trojuholník AB 1 C 1 rovný ABC (a to sa dá, ak poznáte všetky strany trojuholníka), potom bude problém vyriešený.

Pri vykonávaní akýchkoľvek stavby Buďte maximálne opatrní a snažte sa všetky stavby vykonávať opatrne. Pretože akékoľvek nezrovnalosti môžu viesť k určitým chybám, odchýlkam, ktoré môžu viesť k nesprávnej odpovedi. A ak sa úloha tohto typu vykoná prvýkrát, bude veľmi ťažké nájsť a opraviť chybu.

Najprv príklad konštrukcie.

Nakreslíme kružnicu so stredom vo vrchole tohto uhla. Nech B a C sú priesečníky kružnice so stranami uhla. S polomerom AB nakreslíme kružnicu so stredom v bode A 1 – začiatočný bod tohto lúča. Priesečník tejto kružnice s týmto lúčom označme ako B 1 . Opíšme kružnicu so stredom B 1 a polomerom BC. Priesečník C 1 zostrojených kružníc v naznačenej polrovine leží na strane požadovaného uhla.

Trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1 sú rovnaké na troch stranách. Uhly A a A 1 sú zodpovedajúce uhly týchto trojuholníkov. Preto ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1

Pre väčšiu prehľadnosť môžete tie isté konštrukcie podrobnejšie zvážiť.

Konštrukčný príklad dva.

Úlohou zostáva tiež vyčleniť uhol rovný danému uhlu z danej polpriamky do danej polroviny.

Stavebníctvo.

Krok 1. Narysujme kružnicu s ľubovoľným polomerom a stredmi vo vrchole A daného uhla. Nech B a C sú priesečníky kružnice so stranami uhla. A nakreslíme segment BC.

Krok 2. Nakreslíme kružnicu s polomerom AB so stredom v bode O - začiatočnom bode tejto polpriamky. Priesečník kružnice s lúčom označme ako B 1 .

Krok 3. Teraz opíšeme kružnicu so stredom B 1 a polomerom BC. Nech bod C 1 je priesečníkom zostrojených kružníc v naznačenej polrovine.

Krok 4. Nakreslíme lúč z bodu O cez bod C 1. Uhol C 1 OB 1 bude požadovaný.

Dôkaz.

Trojuholníky ABC a OB 1 C 1 sú zhodné trojuholníky so zodpovedajúcimi stranami. A preto sú uhly CAB a C 1 OB 1 rovnaké.

Zaujímavý fakt:

V číslach.

Na objektoch okolitého sveta si v prvom rade všimnete ich individuálne vlastnosti, ktoré odlišujú jeden objekt od druhého.

Množstvo konkrétnych, individuálnych vlastností zakrýva všeobecné vlastnosti, ktoré sú vlastné absolútne všetkým objektom, a preto je vždy ťažšie takéto vlastnosti odhaliť.

Jednou z najdôležitejších všeobecných vlastností predmetov je, že všetky predmety možno spočítať a zmerať. Toto odrážame všeobecný majetok objekty v pojme čísla.

Ľudia si proces počítania, teda pojem čísla, osvojovali veľmi pomaly, po stáročia, v vytrvalom boji o svoju existenciu.

Aby sme mohli počítať, musíme mať nielen predmety, ktoré sa dajú spočítať, ale už aj schopnosť abstrahovať pri posudzovaní týchto predmetov od všetkých ich ostatných vlastností okrem počtu, a táto schopnosť je výsledkom dlhého historického vývoja založeného na skúsenostiach. .

Každý človek sa dnes už v detstve nenápadne učí počítať pomocou čísel, takmer súčasne s tým, ako začne rozprávať, no toto nám známe počítanie prešlo dlhou cestou vývoja a nadobudlo rôzne podoby.

Boli časy, keď sa na počítanie predmetov používali iba dve číslice: jedna a dve. V procese ďalšieho rozširovania číselného systému boli zapojené časti Ľudské telo a v prvom rade prsty, a ak by tento druh „čísel“ nestačil, tak aj palice, kamene a iné.

N. N. Miklouho-Maclay vo svojej knihe "výlety" hovorí o zábavnej metóde počítania, ktorú používajú domorodci z Novej Guiney:

otázky:

1. Definujte uhol?
2. Aké typy uhlov existujú?
3. Aký je rozdiel medzi priemerom a polomerom?

Zoznam použitých zdrojov:

1. Mazur K. I. „Riešenie hlavných súťažných úloh v matematike zo zbierky M. I. Skanavi“
2. Matematicky zdatný. B.A. Kordemský. Moskva.
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina „Geometria, 7 – 9: učebnica pre vzdelávacie inštitúcie“

Na lekcii sa pracovalo:

Levčenko V.S.

Poturnak S.A.

Položte otázku o moderné vzdelávanie, vyjadriť nápad alebo vyriešiť naliehavý problém, môžete Vzdelávacie fórum, kde sa na medzinárodnej úrovni stretáva vzdelávacia rada nových myšlienok a činov. Po vytvorení blog, Zlepšíte si nielen svoj status kompetentného učiteľa, ale výrazne prispejete aj k rozvoju školy budúcnosti. Cech vzdelávacích lídrov otvára dvere špičkovým odborníkom a pozýva ich k spolupráci pri vytváraní najlepších škôl na svete.

Pri stavebných problémoch budeme uvažovať o stavbe geometrický obrazecčo sa dá urobiť pomocou pravítka a kružidla.

Pomocou pravítka môžete:

ľubovoľná priamka;

ľubovoľná priamka prechádzajúca daným bodom;

priamka prechádzajúca dvoma danými bodmi.

Pomocou kompasu môžete opísať kružnicu daného polomeru z daného stredu.

Pomocou kompasu môžete vykresliť segment na danej priamke z daného bodu.

Pozrime sa na hlavné stavebné úlohy.

Úloha 1. Zostrojte trojuholník s danými stranami a, b, c (obr. 1).

Riešenie. Pomocou pravítka nakreslíme ľubovoľnú priamku a zoberieme na ňu ľubovoľný bod B Pomocou kružidla, ktoré sa rovná a, opíšeme kružnicu so stredom B a polomerom a. Nech C je priesečník s priamkou. S otvorom kružidla rovným c opíšeme kružnicu zo stredu B a kružnicovým otvorom rovným b opíšeme kružnicu zo stredu C. Nech A je priesečník týchto kružníc. Trojuholník ABC má strany rovné a, b, c.

Komentujte. Aby tri priame segmenty slúžili ako strany trojuholníka, je potrebné, aby najväčší z nich bol menší ako súčet ostatných dvoch (a< b + с).

Úloha 2.

Riešenie. Tento uhol s vrcholom A a lúčom OM je znázornený na obrázku 2.

Poďme uskutočniť ľubovoľný kruh so stredom vo vrchole A daného uhla. Nech B a C sú priesečníky kružnice so stranami uhla (obr. 3, a). S polomerom AB nakreslíme kružnicu so stredom v bode O - počiatočný bod tohto lúča (obr. 3, b). Priesečník tejto kružnice s týmto lúčom označme ako C 1 . Opíšme kružnicu so stredom C 1 a polomerom BC. Bod B 1 priesečníka dvoch kružníc leží na strane požadovaného uhla. Vyplýva to z rovnosti Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (tretie znamienko rovnosti trojuholníkov).

Úloha 3. Zostrojte os tohto uhla (obr. 4).

Riešenie. Z vrcholu A daného uhla, ako od stredu, nakreslíme kružnicu s ľubovoľným polomerom. Nech B a C sú body jeho priesečníka so stranami uhla. Z bodov B a C opisujeme kružnice s rovnakým polomerom. Nech D je ich priesečník, odlišný od A. Lúč AD pretína uhol A. Vyplýva to z rovnosti Δ ABD = Δ ACD (tretie kritérium pre rovnosť trojuholníkov).

Úloha 4. Nakreslite kolmicu na tento segment (obr. 5).

Riešenie. Pomocou ľubovoľného, ​​ale rovnakého otvoru kružidla (väčšieho ako 1/2 AB) opíšeme dva oblúky so stredmi v bodoch A a B, ktoré sa budú navzájom pretínať v niektorých bodoch C a D. Priamka CD bude požadovaná kolmica. V skutočnosti, ako je možné vidieť z konštrukcie, každý z bodov C a D je rovnako vzdialený od A a B; preto tieto body musia ležať na kolmici na úsečku AB.

Úloha 5. Rozdeľte tento segment na polovicu. Rieši sa rovnako ako úloha 4 (pozri obr. 5).

Úloha 6. Cez daný bod nakreslite priamku kolmú na danú priamku.

Riešenie. Existujú dva možné prípady:

1) daný bod O leží na danej priamke a (obr. 6).

Z bodu O nakreslíme kružnicu s ľubovoľným polomerom, ktorá pretína priamku a v bodoch A a B. Z bodov A a B nakreslíme kružnice s rovnakým polomerom. Nech O 1 je ich priesečník odlišný od O. Získame OO 1 ⊥ AB. V skutočnosti sú body O a O 1 rovnako vzdialené od koncov úsečky AB, a preto ležia na kolmici na túto úsečku.

Zostrojenie uhla rovného danému uhlu. Dané: polpriamka, uhol. Stavebníctvo. V.A.S. 7. Aby sme to dokázali, stačí poznamenať, že trojuholníky ABC a OB1C1 sú zhodné ako trojuholníky s príslušnými rovnakými stranami. Uhly A a O sú zodpovedajúce uhly týchto trojuholníkov. Je potrebné: odložiť z danej polpriamky do danej polroviny uhol rovný danému uhlu. C1. V 1. A. 1. Narysujme ľubovoľnú kružnicu so stredom vo vrchole A daného uhla. 2. Nech B a C sú priesečníky kružnice so stranami uhla. 3. Pomocou polomeru AB nakreslíme kružnicu so stredom v bode O - počiatočnom bode tejto polpriamky. 4. Priesečník tejto kružnice s touto polpriamkou označme ako B1. 5. Opíšme kružnicu so stredom B1 a polomerom BC. 6. Bod C1 priesečníka zostrojených kružníc v naznačenej polrovine leží na strane požadovaného uhla.

Geometria 7. ročník

„Rovnoramenný trojuholník“ - teorém. Trojuholník je najjednoduchší uzavretý priamočiary útvar. Riešenie problémov. Nájdite uhol KBA. Rovnosť trojuholníkov. Hádaj rébus. ABC - rovnoramenné. Uveďte zhodné prvky trojuholníkov. Klasifikácia trojuholníkov podľa strán. V rovnoramennom trojuholníku AMK AM = AK. Klasifikácia trojuholníkov podľa veľkosti ich uhlov. Strany. Trojuholník so všetkými rovnakými stranami. Rovnoramenný trojuholník.

„Meranie segmentov a uhlov“ - Porovnanie segmentov. http://www.physicsdepartment.ru/blog/images/0166.jpg. Ф3 = Ф4. MN > CD. 1 m =. Stred segmentu. 1 km. Prečo najväčší počet diely môžu rozdeliť rovinu 4 rôznymi rovnými čiarami? Iné merné jednotky. Porovnávanie tvarov pomocou prekrytia. Porovnanie uhlov. Strany VM a EÚ sa spojili. Na koľko častí možno rozdeliť rovinu 3 rôznymi priamkami? http://www.robertagor.it/calibro.jpg.

„Pravý trojuholník, jeho vlastnosti“ - Jeden z uhlov správny trojuholník. Riešenie. Ktorý trojuholník sa nazýva pravouhlý trojuholník? Správny trojuholník. Vlastnosti pravouhlého trojuholníka. Zahrejte sa. Rozvoj logického myslenia. Bisector. Noha pravouhlého trojuholníka. Vytvorme rovnicu. Pozrime sa pozorne na výkres. Vlastnosť pravouhlého trojuholníka. Obyvatelia troch domov. Trojuholník.

„Definícia uhla“ - Pojmy uhlov. Nakreslite lúče. Prípravná fáza lekcie. Rohový. Vysvetlenie nového materiálu. Uhol rozdeľuje rovinu. Pojmy vnútorných a vonkajších oblastí uhla. Zaujímajte sa o tému. Lúč na obrázku rozdeľuje uhol. Definícia priameho uhla. Rozvoj logického myslenia. Tupý uhol. Ostrý roh. Úvodné slová. Namaľte vnútornú časť rohu. Uhly. Ray BM rozdeľuje uhol ABC na dva uhly.

„Druhý a tretí znak rovnosti trojuholníkov“ - Strany. Medián v rovnoramennom trojuholníku. Druhý a tretí znak rovnosti trojuholníkov. Riešenie. Tri strany jedného trojuholníka. Základňa. dokázať. Vlastnosti rovnoramenného trojuholníka. Znaky rovnosti trojuholníkov. Riešenie problémov. Matematický diktát. Uhly. Úloha. Obvod rovnoramenného trojuholníka.

„Kartézsky súradnicový systém v rovine“ – Rovina, na ktorej je špecifikovaný karteziánsky súradnicový systém. Súradnice v živote ľudí. systém zemepisné súradnice. Kartézsky súradnicový systém v rovine. Projekt algebry. Vedci, ktorí sú autormi súradníc. Staroveký grécky astronóm Claudius. Bunka na ihrisku. Priesečník osí. Zavedenie jednoduchšej notácie do algebry. Miesto v kine. Význam karteziánskeho súradnicového systému.

Zostrojenie uhla rovného danému uhlu. Daný: uhol A. A Zostrojený uhol O. B C O D E Dokážte: A = O Dôkaz: uvažujme trojuholníky ABC a ODE. 1.AC = OE, ako polomery jedného kruhu. 2.AB=OD, ako polomery jednej kružnice. 3.ВС=DE, ako polomery jedného kruhu. ABC = ODE (3. cena) A = O

Dokážme, že polopriamka AB je osou A P L A N 1.Doplnková konštrukcia. 2. Dokážme rovnosť trojuholníkov ACB a ADB. 3. Závery A B C D 1.AC = AD, ako polomery jednej kružnice. 2.CB=DB, ako polomery jednej kružnice. 3.AB – spoločná strana. ACB = ADB, podľa III kritéria rovnosti trojuholníkov Lúč AB - os Konštrukcia osy uhla.

A N B A C 1 = 2 12 V r/b trojuholníku AMB je úsečka MC osou, a teda výškou. Potom a MN. M Dokážme, že MN Pozrime sa na umiestnenie kompasov. AM=AN=MB=BN, ako rovnaké polomery. MN-spoločná strana. MВN= MAN, na troch stranách Konštrukcia kolmých čiar. M a

Q P BA ARQ = BPQ, na troch stranách = 2 ARV trojuholníka r/b. Segment PO je sektor, a teda medián. Potom je bod O stredom AB. О Dokážme, že O je stred úsečky AB. Zostrojenie stredu segmentu

D C Zostrojenie trojuholníka pomocou dvoch strán a uhla medzi nimi. Uhol hk h 1. Zostrojme lúč a. 2. Odložte úsečku AB rovnajúcu sa P 1 Q 1. 3. Zostrojte uhol rovný tomuto. 4. Odložme segment AC rovný P 2 Q 2. VA Trojuholník ABC je požadovaný. Zdôvodnite pomocou prvého znaku. Dané: segmenty P 1 Q 1 a P 2 Q 2 Q1Q1 P1P1 P2P2 Q2Q2 a k

D C Zostrojenie trojuholníka pomocou strany a dvoch susedných uhlov. Uhol h 1 k 1 h2h2 1. Zostrojte lúč a. 2. Odložte úsečku AB rovnajúcu sa P 1 Q 1. 3. Zostrojte uhol rovnajúci sa danému h 1 k 1. 4. Zostrojte uhol rovný h 2 k 2. BA Trojuholník ABC je požadovaný. Zdôvodnite pomocou druhého znaku. Dané: Segment P 1 Q 1 Q1Q1 P1P1 a k2k2 h1h1 k1k1 N

C 1. Postavme lúč a. 2. Odložte úsečku AB rovnajúcu sa P 1 Q 1. 3. Zostrojte oblúk so stredom v bode A a polomerom P 2 Q 2. 4. Zostrojte oblúk so stredom v bode B a polomerom P 3 Q 3. BA A Trojuholník ABC vyhľadávaný Zdôvodnite použitím tretieho znaku. Dané: úsečky P 1 Q 1, P 2 Q 2, P 3 Q 3. Q1Q1 P1P1 P3P3 Q2Q2 a P2P2 Q3Q3 Zostrojenie trojuholníka pomocou troch strán.