Čo je priamy hranol? Plocha základne hranola: od trojuholníkového po mnohouholníkový

Všeobecné informácie o priamom hranole

Bočná plocha hranola (presnejšie plocha bočnej plochy) sa nazýva súčet oblasti bočných plôch. Celková plocha hranola sa rovná súčtu bočnej plochy a plôch podstavcov.

Veta 19.1. Bočná plocha rovného hranola sa rovná súčinu obvodu základne a výšky hranola, t.j. dĺžke bočnej hrany.

Dôkaz. Bočné strany rovného hranolu sú obdĺžniky. Základňami týchto obdĺžnikov sú strany mnohouholníka ležiace na základni hranola a výšky sa rovnajú dĺžke bočných hrán. Z toho vyplýva, že bočná plocha hranola sa rovná

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

kde a 1 a n sú dĺžky hrán podstavy, p je obvod podstavy hranola a I je dĺžka bočných hrán. Veta bola dokázaná.

Praktická úloha

Problém (22) . V naklonenom hranole sa vykonáva oddiele, kolmo na bočné rebrá a pretínajúce všetky bočné rebrá. Nájdite bočnú plochu hranola, ak obvod rezu je rovný p a bočné hrany sú rovné l.

Riešenie. Rovina ťahaného rezu rozdeľuje hranol na dve časti (obr. 411). Jednu z nich podrobme paralelnému prekladu kombinujúcim základy hranola. V tomto prípade získame rovný hranol, ktorého základňou je prierez pôvodného hranola a bočné hrany sú rovné l. Tento hranol má rovnakú bočnú plochu ako pôvodný. Bočná plocha pôvodného hranola sa teda rovná pl.

Zhrnutie preberanej témy

Teraz sa pokúsme zhrnúť tému, ktorou sme sa zaoberali hranolmi a zapamätať si, aké vlastnosti má hranol.

Vlastnosti hranolov

Po prvé, hranol má všetky svoje základne ako rovnaké polygóny;
Po druhé, v hranole sú všetky jeho bočné strany rovnobežníky;
Po tretie, v takom mnohostrannom obrazci, akým je hranol, sú všetky bočné okraje rovnaké;

Malo by sa tiež pamätať na to, že mnohosteny, ako sú hranoly, môžu byť rovné alebo naklonené.

Ktorý hranol sa nazýva priamy hranol?

Ak je bočná hrana hranola umiestnená kolmo na rovinu jeho základne, potom sa takýto hranol nazýva rovný.

Nebolo by zbytočné pripomenúť, že bočné strany rovného hranolu sú obdĺžniky.

Aký typ hranola sa nazýva šikmý?

Ale ak bočná hrana hranola nie je umiestnená kolmo na rovinu jeho základne, potom môžeme pokojne povedať, že ide o naklonený hranol.

Ktorý hranol sa nazýva správny?

Ak pravidelný mnohouholník leží na základni priameho hranola, potom je takýto hranol pravidelný.

Teraz si spomeňme na vlastnosti, ktoré má bežný hranol.

Vlastnosti pravidelného hranola

Po prvé, pravidelné mnohouholníky vždy slúžia ako základňa pravidelného hranola;
Po druhé, ak vezmeme do úvahy bočné strany pravidelného hranola, sú to vždy rovnaké obdĺžniky;
Po tretie, ak porovnáte veľkosti bočných rebier, potom v bežnom hranole sú vždy rovnaké.
Po štvrté, správny hranol je vždy rovný;
Po piate, ak v pravidelnom hranole majú bočné steny tvar štvorcov, potom sa takýto obrazec zvyčajne nazýva polopravidelný mnohouholník.

Prizmatický prierez

Teraz sa pozrime na prierez hranola:

Domáca úloha

Teraz sa pokúsme upevniť tému, ktorú sme sa naučili, riešením problémov.

Nakreslíme naklonený trojuholníkový hranol, vzdialenosť medzi jeho okrajmi bude rovná: 3 cm, 4 cm a 5 cm a bočná plocha tohto hranola bude rovná 60 cm2. S týmito parametrami nájdite bočnú hranu tohto hranolu.

Viete, že geometrické útvary nás neustále obklopujú, a to nielen na hodinách geometrie, ale aj v každodennom živote existujú predmety, ktoré sa podobajú jednému alebo druhému geometrickému útvaru.

Každá domácnosť, škola alebo práca má počítač, ktorého systémová jednotka má tvar rovného hranola.

Ak vezmete do ruky jednoduchú ceruzku, uvidíte, že hlavnou časťou ceruzky je hranol.

Kráčajúc po centrálnej ulici mesta vidíme, že pod našimi nohami leží dlaždica, ktorá má tvar šesťhranného hranola.

A. V. Pogorelov, Geometria pre ročníky 7-11, Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov v Ruskej federácii – poskytnúť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

1. Najmenší počet hrán má štvorsten - 6.

2. Hranol má n plôch. Aký polygón leží na jeho základni?

(n - 2) - štvorec.

3. Je hranol rovný, ak jeho dve susedné bočné strany sú kolmé na rovinu podstavy?

Áno, je.

4. V ktorom hranole sú bočné hrany rovnobežné s jeho výškou?

V priamom hranole.

5. Je hranol pravidelný, ak sú všetky jeho hrany navzájom rovné?

Nie, nemusí to byť priame.

6. Môže byť výška jednej z bočných plôch šikmého hranola zároveň výškou hranola?

Áno, ak je táto plocha kolmá na základňu.

7. Existuje hranol, v ktorom: a) bočná hrana je kolmá len na jednu hranu podstavy; b) iba jedna bočná plocha je kolmá na základňu?

a) áno. b) č.

8. Pravidelný trojuholníkový hranol je rozdelený na dva hranoly rovinou prechádzajúcou stredovými osami podstav. Aký je pomer bočných plôch týchto hranolov?

Podľa vety 27 zistíme, že bočné plochy sú v pomere 5:3

9. Bude pyramída pravidelná, ak jej bočné strany tvoria pravidelné trojuholníky?

10. Koľko stien kolmých na rovinu podstavy môže mať pyramída?

11. Existuje štvorhranný ihlan, ktorého protiľahlé strany sú kolmé na základňu?

Nie, inak by vrcholom pyramídy prechádzali najmenej dve priame čiary kolmo na základne.

12. Môžu byť všetky strany trojuholníkovej pyramídy pravouhlé trojuholníky?

Áno (obrázok 183).

Video kurz „Získaj A“ obsahuje všetky témy potrebné na úspešné absolvovanie jednotnej štátnej skúšky z matematiky so 60-65 bodmi. Kompletne všetky úlohy 1-13 Profilovej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Vhodné aj na zloženie Základnej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Ak chcete zložiť jednotnú štátnu skúšku s 90-100 bodmi, musíte časť 1 vyriešiť za 30 minút a bezchybne!

Prípravný kurz na Jednotnú štátnu skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti Jednotnej štátnej skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a nezaobíde sa bez nich ani 100-bodový študent, ani študent humanitných vied.

Všetka potrebná teória. Rýchle riešenia, úskalia a tajomstvá Jednotnej štátnej skúšky. Všetky aktuálne úlohy 1. časti z FIPI Task Bank boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám Jednotnej štátnej skúšky 2018.

Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.

Stovky úloh jednotnej štátnej skúšky. Slovné úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov úloh jednotnej štátnej skúšky. Stereometria. Záludné riešenia, užitočné cheat sheets, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly k problému 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Jasné vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklad pre riešenie zložitých problémov 2. časti jednotnej štátnej skúšky.

Rôzne hranoly sa od seba líšia. Zároveň majú veľa spoločného. Ak chcete nájsť oblasť základne hranola, musíte pochopiť, aký typ má.

Všeobecná teória

Hranol je akýkoľvek mnohosten, ktorého strany majú tvar rovnobežníka. Okrem toho môže byť jeho základňou akýkoľvek mnohosten - od trojuholníka po n-uholník. Okrem toho sú základne hranola vždy rovnaké. Čo neplatí pre bočné plochy je, že sa môžu výrazne líšiť vo veľkosti.

Pri riešení problémov sa stretávame nielen s oblasťou základne hranola. Môže to vyžadovať znalosť bočného povrchu, to znamená všetkých plôch, ktoré nie sú základňou. Úplný povrch bude spojením všetkých plôch, ktoré tvoria hranol.

Niekedy sa problémy týkajú výšky. Je kolmá na základne. Uhlopriečka mnohostenu je segment, ktorý v pároch spája ľubovoľné dva vrcholy, ktoré nepatria k tej istej ploche.

Je potrebné poznamenať, že základná plocha rovného alebo nakloneného hranola nezávisí od uhla medzi nimi a bočnými plochami. Ak majú rovnaké čísla na hornej a spodnej strane, ich plochy budú rovnaké.

Trojuholníkový hranol

Vo svojej základni má postavu s tromi vrcholmi, čiže trojuholník. Ako viete, môže to byť inak. Ak áno, stačí si zapamätať, že jeho plocha je určená polovicou súčinu nôh.

Matematický zápis vyzerá takto: S = ½ av.

Na zistenie plochy základne vo všeobecnosti sú užitočné vzorce: Volavka a tá, v ktorej polovicu strany berie výška k nej prikreslená.

Prvý vzorec by mal byť napísaný takto: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Tento zápis obsahuje polobvod (p), teda súčet troch strán delený dvomi.

Po druhé: S = ½ n a * a.

Ak chcete zistiť oblasť základne trojuholníkového hranola, ktorá je pravidelná, trojuholník sa ukáže ako rovnostranný. Existuje na to vzorec: S = ¼ a 2 * √3.

Štvorhranný hranol

Jeho základňou je ktorýkoľvek zo známych štvoruholníkov. Môže to byť obdĺžnik alebo štvorec, rovnobežnosten alebo kosoštvorec. V každom prípade, na výpočet plochy základne hranola, budete potrebovať svoj vlastný vzorec.

Ak je základňou obdĺžnik, jeho obsah sa určí takto: S = ab, kde a, b sú strany obdĺžnika.

Pokiaľ ide o štvoruholníkový hranol, plocha základne bežného hranola sa vypočíta pomocou vzorca pre štvorec. Pretože práve on leží v základoch. S = a 2.

V prípade, že základňou je rovnobežnosten, bude potrebná nasledujúca rovnosť: S = a * n a. Stáva sa, že je daná strana rovnobežnostena a jeden z uhlov. Potom na výpočet výšky budete musieť použiť ďalší vzorec: n a = b * sin A. Okrem toho uhol A susedí so stranou „b“ a výška n je opačná k tomuto uhlu.

Ak je na základni hranola kosoštvorec, potom na určenie jeho plochy budete potrebovať rovnaký vzorec ako pre rovnobežník (pretože ide o jeho špeciálny prípad). Môžete však použiť aj toto: S = ½ d 1 d 2. Tu d 1 a d 2 sú dve uhlopriečky kosoštvorca.

Pravidelný päťuholníkový hranol

V tomto prípade ide o rozdelenie mnohouholníka na trojuholníky, ktorých oblasti sa dajú ľahšie zistiť. Aj keď sa stáva, že obrazce môžu mať rôzny počet vrcholov.

Keďže základom hranola je pravidelný päťuholník, možno ho rozdeliť na päť rovnostranných trojuholníkov. Potom sa plocha základne hranola rovná ploche jedného takého trojuholníka (vzorec je uvedený vyššie), vynásobenej piatimi.

Pravidelný šesťhranný hranol

Pomocou princípu opísaného pre päťuholníkový hranol je možné rozdeliť šesťuholník podstavy na 6 rovnostranných trojuholníkov. Vzorec pre základnú plochu takéhoto hranola je podobný predchádzajúcemu. Len to treba vynásobiť šiestimi.

Vzorec bude vyzerať takto: S = 3/2 a 2 * √3.

Úlohy

1. Daná pravidelná priamka, jej uhlopriečka je 22 cm, výška mnohostenu je 14 cm.. Vypočítajte plochu základne hranola a celého povrchu.

Riešenie. Základom hranola je štvorec, ale jeho strana nie je známa. Jeho hodnotu zistíte z uhlopriečky štvorca (x), ktorá súvisí s uhlopriečkou hranola (d) a jeho výškou (h). x2 = d2 - n2. Na druhej strane, tento segment „x“ je prepona v trojuholníku, ktorého nohy sa rovnajú strane štvorca. To znamená, že x 2 = a 2 + a 2. Ukazuje sa teda, že a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Namiesto d nahraďte číslo 22 a nahraďte „n“ jeho hodnotou - 14, ukáže sa, že strana štvorca je 12 cm. Teraz už len zistite plochu základne: 12 * 12 = 144 cm 2.

Ak chcete zistiť plochu celého povrchu, musíte pridať dvojnásobok základnej plochy a štvornásobok bočnej plochy. Ten možno ľahko nájsť pomocou vzorca pre obdĺžnik: vynásobte výšku mnohostenu a stranu základne. To znamená, že 14 a 12 sa toto číslo bude rovnať 168 cm2. Celková plocha hranola je 960 cm2.

Odpoveď. Plocha základne hranola je 144 cm2. Celková plocha je 960 cm2.

2. Dané Na základni je trojuholník so stranou 6 cm. V tomto prípade je uhlopriečka bočnej plochy 10 cm. Vypočítajte plochy: základňa a bočná plocha.

Riešenie. Keďže hranol je pravidelný, jeho základňou je rovnostranný trojuholník. Preto sa jeho plocha rovná 6 na druhú, vynásobené ¼ a druhou odmocninou z 3. Jednoduchý výpočet vedie k výsledku: 9√3 cm2. Toto je oblasť jednej základne hranola.

Všetky bočné strany sú rovnaké a sú to obdĺžniky so stranami 6 a 10 cm. Na výpočet ich plochy stačí tieto čísla vynásobiť. Potom ich vynásobte tromi, pretože hranol má presne toľko bočných plôch. Potom sa plocha bočného povrchu rany ukáže na 180 cm2.

Odpoveď. Plochy: základňa - 9√3 cm 2, bočná plocha hranola - 180 cm 2.