Praktična primjena direktne i inverzno proporcionalne zavisnosti. Izrada sistema jednačina

Proporcionalnost je odnos između dvije veličine, u kojem promjena jedne od njih povlači promjenu druge za isti iznos.

Proporcionalnost može biti direktna ili inverzna. U ovoj lekciji ćemo pogledati svaki od njih.

Sadržaj lekcije

Direktna proporcionalnost

Pretpostavimo da se automobil kreće brzinom od 50 km/h. Sjećamo se da je brzina put koji se prijeđe u jedinici vremena (1 sat, 1 minut ili 1 sekunda). U našem primjeru, automobil se kreće brzinom od 50 km/h, odnosno za jedan sat će preći put od pedeset kilometara.

Opišimo na slici udaljenost koju je automobil prešao za 1 sat.

Neka auto vozi još sat vremena istom brzinom od pedeset kilometara na sat. Tada se ispostavlja da će automobil putovati 100 km

Kao što se može vidjeti iz primjera, udvostručenje vremena dovelo je do povećanja pređene udaljenosti za isti iznos, odnosno dva puta.

Veličine kao što su vrijeme i udaljenost nazivaju se direktno proporcionalnim. I odnos između takvih veličina se zove direktnu proporcionalnost.

Direktna proporcionalnost je odnos između dvije veličine u kojem povećanje jedne od njih povlači povećanje druge za isti iznos.

i obrnuto, ako se jedna količina smanji za određeni broj puta, onda se i druga smanjuje za isti broj puta.

Pretpostavimo da je prvobitni plan bio da se automobilom odveze 100 km za 2 sata, ali nakon vožnje od 50 km, vozač je odlučio da se odmori. Tada se ispostavlja da će se smanjenjem udaljenosti za polovicu vrijeme smanjiti za isti iznos. Drugim riječima, smanjenje prijeđene udaljenosti će dovesti do smanjenja vremena za isti iznos.

Zanimljiva karakteristika direktno proporcionalnih veličina je da je njihov omjer uvijek konstantan. To jest, kada se vrijednosti direktno proporcionalnih veličina mijenjaju, njihov omjer ostaje nepromijenjen.

U razmatranom primjeru, udaljenost je u početku bila 50 km, a vrijeme jedan sat. Omjer udaljenosti i vremena je broj 50.

No, povećali smo vrijeme putovanja za 2 puta, što ga čini jednakim dva sata. Kao rezultat toga, pređena udaljenost se povećala za isti iznos, odnosno postala je jednaka 100 km. Odnos sto kilometara i dva sata je opet broj 50

Poziva se broj 50 koeficijent direktne proporcionalnosti. Pokazuje kolika je udaljenost po satu kretanja. U ovom slučaju koeficijent igra ulogu brzine kretanja, jer je brzina omjer prijeđenog puta i vremena.

Proporcije se mogu napraviti od direktno proporcionalnih veličina. Na primjer, omjeri čine proporciju:

Pedeset kilometara je jedan sat, kao sto kilometara je dva sata.

Primjer 2. Cijena i količina kupljene robe su direktno proporcionalni. Ako 1 kg slatkiša košta 30 rubalja, onda će 2 kg istih slatkiša koštati 60 rubalja, 3 kg 90 rubalja. Kako cijena kupljenog proizvoda raste, njegova količina se povećava za isti iznos.

Budući da su trošak proizvoda i njegova količina direktno proporcionalni količinama, njihov odnos je uvijek konstantan.

Zapišimo kakav je omjer trideset rubalja prema jednom kilogramu

Zapišimo sada koji je omjer šezdeset rubalja i dva kilograma. Ovaj omjer će opet biti jednak trideset:

Ovdje je koeficijent direktne proporcionalnosti broj 30. Ovaj koeficijent pokazuje koliko je rubalja po kilogramu slatkiša. U ovom primjeru koeficijent igra ulogu cijene jednog kilograma robe, jer je cijena odnos cijene robe i njene količine.

Inverzna proporcionalnost

Razmotrite sljedeći primjer. Udaljenost između dva grada je 80 km. Motociklista je napustio prvi grad i brzinom od 20 km/h stigao do drugog grada za 4 sata.

Ako je brzina motociklista bila 20 km/h, to znači da je svaki sat prelazio razdaljinu od dvadeset kilometara. Opišimo na slici udaljenost koju je prešao motociklista i vrijeme njegovog kretanja:

U povratku je brzina motocikliste bila 40 km/h, a na istom putu proveo je 2 sata.

Lako je primijetiti da se prilikom promjene brzine i vrijeme kretanja mijenja za istu količinu. Štoviše, promijenio se u suprotnom smjeru - to jest, brzina se povećala, ali se vrijeme, naprotiv, smanjilo.

Veličine kao što su brzina i vrijeme nazivaju se obrnuto proporcionalne. I odnos između takvih veličina se zove inverzna proporcionalnost.

Inverzna proporcionalnost je odnos između dvije veličine u kojem povećanje jedne od njih povlači smanjenje druge za isti iznos.

i obrnuto, ako se jedna količina smanji za određeni broj puta, onda se druga povećava za isti broj puta.

Na primjer, ako je na povratku brzina motociklista bila 10 km/h, tada bi prešao istih 80 km za 8 sati:

Kao što se može vidjeti iz primjera, smanjenje brzine dovelo je do povećanja vremena kretanja za isti iznos.

Posebnost obrnuto proporcionalnih veličina je u tome što je njihov proizvod uvijek konstantan. To jest, kada se vrijednosti obrnuto proporcionalnih veličina promijene, njihov proizvod ostaje nepromijenjen.

U razmatranom primjeru, udaljenost između gradova bila je 80 km. Kada su se brzina i vrijeme kretanja motociklista mijenjali, ova udaljenost je uvijek ostala nepromijenjena

Motociklista bi ovu udaljenost mogao preći brzinom od 20 km/h za 4 sata, a brzinom od 40 km/h za 2 sata, a brzinom od 10 km/h za 8 sati. U svim slučajevima proizvod brzine i vremena bio je jednak 80 km

Da li vam se dopala lekcija?
Pridružite se našoj novoj grupi VKontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama

Možemo beskrajno pričati o prednostima učenja pomoću video lekcija. Prvo, jasno i razumljivo, dosljedno i strukturirano iznose svoje misli. Drugo, za njih je potrebno određeno vrijeme i nisu često dugotrajni i dosadni. Treće, oni su za učenike uzbudljiviji od redovnih časova na koje su navikli. Možete ih pogledati u mirnom okruženju.

U mnogim problemima iz predmeta matematika učenici 6. razreda će se susresti sa direktnim i obrnuto proporcionalnim odnosima. Prije nego što počnete proučavati ovu temu, vrijedno je zapamtiti koje su proporcije i koja osnovna svojstva imaju.

Prethodna video lekcija posvećena je temi "Proporcije". Ovo je logičan nastavak. Vrijedi napomenuti da je tema prilično važna i često se susreće. Vrijedi pravilno razumjeti jednom za svagda.

Kako bi se pokazala važnost teme, video lekcija počinje zadatkom. Stanje se pojavljuje na ekranu i najavljuje ga spiker. Snimak podataka je dat u obliku neke vrste dijagrama kako bi učenik koji gleda video snimak što bolje razumio. Bilo bi bolje da se u početku pridržava ovog oblika snimanja.

Nepoznato, kao što je uobičajeno u većini slučajeva, označava se latiničnim slovom x. Da biste ga pronašli, prvo morate pomnožiti vrijednosti unakrsno. Tako će se dobiti jednakost dva omjera. To sugerira da to ima veze s proporcijama i vrijedno je zapamtiti njihovo glavno svojstvo. Imajte na umu da su sve vrijednosti prikazane u istoj mjernoj jedinici. Inače ih je bilo potrebno svesti na jednu dimenziju.

Nakon što pogledate metodu rješenja u videu, ne biste trebali imati poteškoća s takvim problemima. Najavljivač komentira svaki potez, objašnjava sve radnje i prisjeća se proučenog materijala koji se koristi.

Odmah nakon gledanja prvog dijela video lekcije „Direktne i obrnute proporcionalne zavisnosti“, možete zamoliti učenika da riješi isti problem bez nagoveštaja. Nakon toga, možete ponuditi alternativni zadatak.

Ovisno o mentalnim sposobnostima učenika, težina narednih zadataka može se postepeno povećavati.

Nakon prvog razmatranog problema, data je definicija direktno proporcionalnih veličina. Definiciju čita spiker. Glavni koncept je istaknut crvenom bojom.

Zatim se demonstrira još jedan problem na osnovu kojeg se objašnjava obrnuto proporcionalni odnos. Najbolje je da učenik ove pojmove zapiše u svesku. Po potrebi, prije testiranja, učenik može lako pronaći sva pravila i definicije i ponovo ih pročitati.

Nakon gledanja ovog videa, učenik 6. razreda će razumjeti kako koristiti proporcije u određenim zadacima. Ovo je prilično važna tema koju ni u kom slučaju ne treba propustiti. Ako učenik nije u stanju da sagleda gradivo koje je nastavnik prezentirao tokom časa među ostalim učenicima, onda će takvi obrazovni resursi biti veliki spas!

I. Direktno proporcionalne veličine.

Neka vrijednost y zavisi od veličine X. Ako pri povećanju X nekoliko puta veća at povećava za isti iznos, onda takve vrijednosti X I at nazivaju se direktno proporcionalnim.

Primjeri.

1 . Količina kupljene robe i nabavna cijena (uz fiksnu cijenu za jednu jedinicu robe - 1 komad ili 1 kg itd.) Koliko je puta više robe kupljeno, to su više puta više platili.

2 . Prijeđeni put i vrijeme provedeno na njemu (pri konstantnoj brzini). Koliko puta je duži put, koliko puta će više vremena trebati da se završi.

3 . Zapremina tijela i njegova masa. ( Ako je jedna lubenica 2 puta veća od druge, tada će njena masa biti 2 puta veća)

II. Svojstvo direktne proporcionalnosti veličina.

Ako su dvije veličine direktno proporcionalne, tada je omjer dvije proizvoljno uzete vrijednosti prve veličine jednak omjeru dvije odgovarajuće vrijednosti druge veličine.

Zadatak 1. Za džem od malina smo uzeli 12 kg maline i 8 kg Sahara. Koliko šećera će vam trebati ako ga uzmete? 9 kg maline?

Rješenje.

Razmišljamo ovako: neka bude potrebno x kgšećer za 9 kg maline Masa malina i masa šećera su direktno proporcionalne količine: koliko je puta manje malina, toliko je potrebno i šećera. Dakle, omjer uzetih malina (po težini) ( 12:9 ) će biti jednak omjeru uzetog šećera ( 8:x). Dobijamo proporciju:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. odgovor: on 9 kg maline treba uzeti 6 kg Sahara.

Rješenje problema Moglo bi se uraditi ovako:

Pusti 9 kg maline treba uzeti x kg Sahara.

(Strelice na slici su usmjerene u jednom smjeru, a gore ili dolje nije bitno. Značenje: koliko je puta broj 12 više broja 9 , isti broj puta 8 više broja X, tj. ovdje postoji direktna veza).

odgovor: on 9 kg Moram uzeti malo malina 6 kg Sahara.

Zadatak 2. Auto za 3 sata prešao udaljenost 264 km. Koliko će mu trebati da putuje? 440 km, ako vozi istom brzinom?

Rješenje.

Neka za x sati auto će preći put 440 km.

odgovor: auto će proći 440 km za 5 sati.

Koncept direktne proporcionalnosti

Zamislite da planirate da kupite svoje omiljene bombone (ili bilo šta što zaista volite). Slatkiši u radnji imaju svoju cijenu. Recimo 300 rubalja po kilogramu. Što više bombona kupite, više novca plaćate. Odnosno, ako želite 2 kilograma, platite 600 rubalja, a ako želite 3 kilograma, platite 900 rubalja. Čini se da je sve jasno, zar ne?

Ako da, onda vam je sada jasno šta je direktna proporcionalnost - ovo je koncept koji opisuje odnos dve veličine koje su zavisne jedna o drugoj. I omjer ovih veličina ostaje nepromijenjen i konstantan: za koliko se dijelova jedna od njih povećava ili smanjuje, za isti broj dijelova druga se proporcionalno povećava ili smanjuje.

Direktna proporcionalnost se može opisati sljedećom formulom: f(x) = a*x, a a u ovoj formuli je konstantna vrijednost (a = const). U našem primjeru bombona, cijena je konstantna vrijednost, konstanta. Ne povećava se niti smanjuje, bez obzira na to koliko bombona odlučite da kupite. Nezavisna varijabla (argument)x je koliko kilograma slatkiša ćete kupiti. A zavisna varijabla f(x) (funkcija) je koliko novca ćete na kraju platiti za svoju kupovinu. Dakle, možemo zamijeniti brojeve u formulu i dobiti: 600 rubalja. = 300 rub. * 2 kg.

Srednji zaključak je sljedeći: ako se argument povećava, funkcija također raste, ako se argument smanjuje, funkcija također opada

Funkcija i njena svojstva

Direktno proporcionalna funkcija je poseban slučaj linearne funkcije. Ako je linearna funkcija y = k*x + b, onda za direktnu proporcionalnost to izgleda ovako: y = k*x, gdje se k naziva koeficijent proporcionalnosti i uvijek je broj različit od nule. Lako je izračunati k - nalazi se kao količnik funkcije i argumenta: k = y/x.

Da bude jasnije, uzmimo još jedan primjer. Zamislite da se automobil kreće od tačke A do tačke B. Brzina mu je 60 km/h. Ako pretpostavimo da brzina kretanja ostaje konstantna, onda se može uzeti kao konstanta. A onda zapisujemo uslove u obliku: S = 60*t, a ova formula je slična funkciji direktne proporcionalnosti y = k *x. Povučemo paralelu dalje: ako je k = y/x, tada se brzina automobila može izračunati znajući udaljenost između A i B i vrijeme provedeno na putu: V = S /t.

A sada, iz primijenjene primjene znanja o direktnoj proporcionalnosti, vratimo se njenoj funkciji. Svojstva koja uključuju:

njegov domen definicije je skup svih realnih brojeva (kao i njegovih podskupova);

funkcija je neparna;

promjena varijabli je direktno proporcionalna duž cijele dužine brojevne prave.

Direktna proporcionalnost i njen graf

Grafikon funkcije direktne proporcionalnosti je prava linija koja siječe ishodište. Da biste ga izgradili, dovoljno je označiti još samo jednu tačku. I povežite ga i ishodište koordinata pravom linijom.

U slučaju grafa, k je nagib. Ako je nagib manji od nule (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), grafik i x-osa formiraju oštar ugao, a funkcija raste.

I još jedno svojstvo grafa funkcije direktne proporcionalnosti direktno je povezano sa nagibom k. Pretpostavimo da imamo dvije neidentične funkcije i, shodno tome, dva grafa. Dakle, ako su koeficijenti k ovih funkcija jednaki, njihovi grafovi se nalaze paralelno sa koordinatnom osom. A ako koeficijenti k nisu međusobno jednaki, grafovi se sijeku.

Problemi sa uzorcima

Sada da riješimo par problemi direktne proporcionalnosti

Počnimo s nečim jednostavnim.

Problem 1: Zamislite da 5 kokošaka snese 5 jaja za 5 dana. A ako ima 20 kokošaka, koliko će jaja sneti za 20 dana?

Rješenje: Označimo nepoznatu sa kx. A mi ćemo rezonovati na sljedeći način: koliko je puta više pilića postalo? Podijelite 20 sa 5 i saznajte da je to 4 puta. Koliko puta više jaja će sneti 20 kokoši za istih 5 dana? Takođe 4 puta više. Dakle, naše nalazimo ovako: 5*4*4 = 80 jaja će snijeti 20 kokoši za 20 dana.

Sada je primjer malo složeniji, hajde da parafraziramo problem iz Newtonove "Opće aritmetike". Problem 2: Pisac može napisati 14 stranica nove knjige za 8 dana. Da ima pomoćnike, koliko bi ljudi bilo potrebno da napiše 420 stranica za 12 dana?

Rješenje: Smatramo da se broj ljudi (pisci + asistenti) povećava sa obimom posla ako se mora obaviti za isto vrijeme. Ali koliko puta? Ako podijelimo 420 sa 14, saznajemo da se povećava 30 puta. Ali pošto se, prema uslovima zadatka, daje više vremena za rad, broj asistenata se povećava ne za 30 puta, već na ovaj način: x = 1 (pisac) * 30 (puta): 12/8 ( dana). Hajde da transformišemo i saznamo da će x = 20 ljudi napisati 420 stranica za 12 dana.

Hajde da riješimo još jedan problem sličan onima u našim primjerima.

Problem 3: Dva automobila krenula su na isti put. Jedan se kretao brzinom od 70 km/h i prešao istu udaljenost za 2 sata dok je drugom trebalo 7 sati. Pronađite brzinu drugog automobila.

Rješenje: Kao što se sjećate, putanja je određena brzinom i vremenom - S = V *t. Pošto su oba automobila prešla istu udaljenost, možemo izjednačiti dva izraza: 70*2 = V*7. Kako nalazimo da je brzina drugog automobila V = 70*2/7 = 20 km/h.

I još par primjera zadataka s funkcijama direktne proporcionalnosti. Ponekad problemi zahtijevaju pronalaženje koeficijenta k.

Zadatak 4: Za funkcije y = - x/16 i y = 5x/2 odrediti njihove koeficijente proporcionalnosti.

Rješenje: Kao što se sjećate, k = y/x. To znači da je za prvu funkciju koeficijent jednak -1/16, a za drugu k = 5/2.

Također možete naići na zadatak kao što je zadatak 5: Zapišite direktnu proporcionalnost pomoću formule. Njegov graf i graf funkcije y = -5x + 3 nalaze se paralelno.

Rješenje: Funkcija koja nam je data u uvjetu je linearna. Znamo da je direktna proporcionalnost poseban slučaj linearne funkcije. Takođe znamo da ako su koeficijenti k funkcija jednaki, njihovi grafovi su paralelni. To znači da je sve što je potrebno je izračunati koeficijent poznate funkcije i postaviti direktnu proporcionalnost koristeći nam poznatu formulu: y = k *x. Koeficijent k = -5, direktna proporcionalnost: y = -5*x.

Zaključak

Sada ste naučili (ili zapamtili, ako ste već obrađivali ovu temu) kako se to zove direktnu proporcionalnost, i pogledao ga primjeri. Također smo razgovarali o funkciji direktne proporcionalnosti i njenom grafu, te riješili nekoliko primjera problema.

Ako vam je ovaj članak bio koristan i pomogao vam da shvatite temu, recite nam o tome u komentarima. Tako da znamo možemo li vam koristiti.

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je veza do originalnog izvora.

Završio: Čepkasov Rodion

Učenik 6. razreda

MBOU "Srednja škola br. 53"

Barnaul

Rukovodilac: Bulykina O.G.

nastavnik matematike

MBOU "Srednja škola br. 53"

Barnaul

Uvod. 1

Odnosi i proporcije. 3

Direktni i obrnuto proporcionalni odnosi. 4

Primjena direktnog i inverzno proporcionalnog 6

ovisnosti pri rješavanju raznih problema.

Zaključak. jedanaest

Književnost. 12

Uvod.

Riječ proporcija dolazi od latinske riječi proporcija, što općenito znači proporcionalnost, poravnanje dijelova (određeni omjer dijelova jedan prema drugom). U antičko doba pitagorejci su visoko cijenili doktrinu o proporcijama. S proporcijama su povezivali misli o redu i ljepoti u prirodi, o konsonantnim akordima u muzici i harmoniji u svemiru. Neke vrste proporcija nazivali su muzičkim ili harmoničnim.

Čovjek je još u davna vremena otkrio da su sve pojave u prirodi međusobno povezane, da je sve u neprekidnom kretanju, mijenjanju i, kada se izrazi u brojevima, otkriva zadivljujuće obrasce.

Pitagorejci i njihovi sljedbenici tražili su numerički izraz za sve na svijetu. Otkrili su; da su matematičke proporcije u osnovi muzike (odnos dužine žice i visine, odnos između intervala, odnos zvukova u akordima koji daju harmoničan zvuk). Pitagorejci su pokušali matematički potkrijepiti ideju o jedinstvu svijeta i tvrdili da su osnova svemira simetrični geometrijski oblici. Pitagorejci su tražili matematičku osnovu za lepotu.

Slijedeći pitagorejce, srednjovjekovni naučnik Augustin nazvao je ljepotu „numeričkom jednakošću“. Šolastički filozof Bonaventura je napisao: "Nema ljepote i zadovoljstva bez proporcionalnosti, a proporcionalnost postoji prvenstveno u brojevima. Neophodno je da sve bude izbrojivo." Leonardo da Vinci je u svojoj raspravi o slikarstvu pisao o upotrebi proporcije u umetnosti: „Slikar u obliku proporcija utjelovljuje iste obrasce skrivene u prirodi koje naučnik poznaje u obliku numeričkog zakona.

Proporcije su korištene za rješavanje raznih problema kako u antici tako i u srednjem vijeku. Određene vrste problema sada se lako i brzo rješavaju korištenjem proporcija. Proporcije i proporcionalnost koristili su se i koriste se ne samo u matematici, već iu arhitekturi i umjetnosti. Proporcija u arhitekturi i umjetnosti znači održavanje određenih odnosa između veličina različitih dijelova zgrade, figure, skulpture ili drugog umjetničkog djela. Proporcionalnost je u takvim slučajevima uslov za ispravnu i lepu konstrukciju i prikaz

U svom radu pokušao sam da razmotrim upotrebu direktnih i obrnuto proporcionalnih odnosa u različitim oblastima života, da kroz zadatke pratim vezu sa akademskim predmetima.

Odnosi i proporcije.

Zove se količnik dva broja stav ove brojevi.

Stav pokazuje, koliko je puta prvi broj veći od drugog ili koji dio je prvi broj od drugog.

Zadatak.

U prodavnicu je dovezeno 2,4 tone krušaka i 3,6 tona jabuka. Koliki je udeo donetih plodova kruške?

Rješenje . Hajde da nađemo koliko su voća doneli: 2,4+3,6=6(t). Da bismo saznali koji dio donesenih plodova su kruške, pravimo omjer 2,4:6=. Odgovor se može napisati i kao decimalni razlomak ili kao procenat: = 0,4 = 40%.

Uzajamno inverzno pozvao brojevi, čiji su proizvodi jednaki 1. Dakle odnos se naziva inverznim od odnosa.

Razmotrite dva jednaka omjera: 4,5:3 i 6:4. Stavimo znak jednakosti između njih i dobijemo proporciju: 4,5:3=6:4.

Proporcija je jednakost dviju relacija: a : b =c :d ili = , gdje su a i d ekstremne proporcije, c i b – prosječni članovi(svi članovi proporcije su različiti od nule).

Osnovno svojstvo proporcije:

u ispravnoj proporciji, proizvod ekstremnih članova jednak je proizvodu srednjih članova.

Primjenjujući komutativno svojstvo množenja, nalazimo da se u ispravnoj proporciji ekstremni ili srednji članovi mogu zamijeniti. Rezultirajuće proporcije će također biti ispravne.

Koristeći osnovno svojstvo proporcije, možete pronaći njegov nepoznati pojam ako su poznati svi ostali pojmovi.

Da biste pronašli nepoznati ekstremni član proporcije, trebate pomnožiti prosječne članove i podijeliti sa poznatim ekstremnim članom. x : b = c : d , x =

Da biste pronašli nepoznati srednji član proporcije, trebate pomnožiti ekstremne članove i podijeliti sa poznatim srednjim članom. a : b =x : d , x = .

Direktni i obrnuto proporcionalni odnosi.

Vrijednosti dvije različite veličine mogu biti međusobno zavisne jedna o drugoj. Dakle, površina kvadrata zavisi od dužine njegove stranice, i obrnuto - dužina stranice kvadrata zavisi od njegove površine.

Za dvije veličine se kaže da su proporcionalne ako se povećavaju

(smanji) jedan od njih nekoliko puta, drugi se poveća (smanji) isti broj puta.

Ako su dvije veličine direktno proporcionalne, tada su omjeri odgovarajućih vrijednosti ovih veličina jednaki.

Primjer direktno proporcionalna zavisnost .

Na benzinskoj pumpi 2 litre benzina teže 1,6 kg. Koliko će biti teški 5 litara benzina?

Rješenje:

Težina kerozina je proporcionalna njegovoj zapremini.

2l - 1,6 kg

5l - x kg

2:5=1,6:x,

x=5*1,6 x=4

Odgovor: 4 kg.

Ovdje odnos težine i zapremine ostaje nepromijenjen.

Dvije veličine se nazivaju obrnuto proporcionalne ako se, kada se jedna od njih poveća (smanji) nekoliko puta, druga smanji (pove) za isti iznos.

Ako su količine obrnuto proporcionalne, tada je omjer vrijednosti jedne veličine jednak inverznom omjeru odgovarajućih vrijednosti druge veličine.

P primjerobrnuto proporcionalni odnos.

Dva pravougaonika imaju istu površinu. Dužina prvog pravougaonika je 3,6 m, a širina 2,4 m. Dužina drugog pravougaonika je 4,8 m. Nađite širinu drugog pravougaonika.

Rješenje:

1 pravougaonik 3,6 m 2,4 m

2 pravougaonika 4,8 m x m

3,6 m x m

4,8 m 2,4 m

x = 3,6*2,4 = 1,8 m

Odgovor: 1,8 m.

Kao što vidite, problemi koji uključuju proporcionalne veličine mogu se riješiti korištenjem proporcija.

Nisu svake dvije veličine direktno proporcionalne ili obrnuto proporcionalne. Na primjer, visina djeteta raste kako se njegova starost povećava, ali ove vrijednosti nisu proporcionalne, jer kada se starost udvostruči, visina djeteta se ne udvostručuje.

Praktična primjena direktne i inverzno proporcionalne zavisnosti.

Zadatak br. 1

Školska biblioteka raspolaže sa 210 udžbenika matematike, što čini 15% ukupnog fonda biblioteke. Koliko knjiga ima u bibliotečkom fondu?

Rješenje:

Ukupno udžbenika - ? - 100%

Matematičari - 210 -15%

15% 210 akademski.

X = 100* 210 = 1400 udžbenika

100% x račun. 15

Odgovor: 1400 udžbenika.

Problem br. 2

Biciklista prijeđe 75 km za 3 sata. Koliko će biciklistu trebati da pređe 125 km istom brzinom?

Rješenje:

3 h – 75 km

H – 125 km

Stoga su vrijeme i udaljenost direktno proporcionalne veličine

3: x = 75: 125,

x=
,

x=5.

Odgovor: za 5 sati.

Problem br. 3

8 identičnih cijevi napuni bazen za 25 minuta. Koliko će minuta biti potrebno da se bazen napuni sa 10 takvih cijevi?

Rješenje:

8 cijevi – 25 minuta

10 cijevi - ? minuta

Broj cijevi je obrnuto proporcionalan vremenu, dakle

8:10 = x:25,

x =

x = 20

Odgovor: za 20 minuta.

Problem br. 4

Tim od 8 radnika obavi zadatak za 15 dana. Koliko radnika može završiti zadatak za 10 dana radeći s istom produktivnošću?

Rješenje:

8 radnih dana – 15 dana

Radnici - 10 dana

Broj radnika je obrnuto proporcionalan broju dana, dakle

x: 8 = 15: 10,

x=
,

x=12.

Odgovor: 12 radnika.

Problem br. 5

Od 5,6 kg paradajza dobije se 2 litre sosa. Koliko litara sosa se može dobiti od 54 kg paradajza?

Rješenje:

5,6 kg – 2 l

54 kg - ? l

Dakle, broj kilograma paradajza je direktno proporcionalan količini dobijenog sosa

5,6:54 = 2:x,

x =
,

x = 19.

Odgovor: 19 l.

Problem br. 6

Za grijanje školske zgrade ugalj je skladišten 180 dana po stopi potrošnje

0,6 tona uglja dnevno. Koliko će dana trajati ova zaliha ako se dnevno troši 0,5 tona?

Rješenje:

Broj dana

Stopa potrošnje

Dakle, broj dana je obrnuto proporcionalan stopi potrošnje uglja

180: x = 0,5: 0,6,

x = 180*0,6:0,5,

x = 216.

Odgovor: 216 dana.

Problem br. 7

U rudi gvožđa, na svakih 7 delova gvožđa postoje 3 dela nečistoće. Koliko tona nečistoća ima u rudi koja sadrži 73,5 tona gvožđa?

Rješenje:

Broj delova

Težina

Iron

73,5

Nečistoće

Dakle, broj dijelova je direktno proporcionalan masi

7: 73,5 = 3: x.

x = 73,5 * 3:7,

x = 31,5.

Odgovor: 31,5 t

Problem br. 8

Automobil je prešao 500 km, koristeći 35 litara benzina. Koliko će litara benzina biti potrebno da se pređe 420 km?

Rješenje:

Udaljenost, km

Benzin, l

Udaljenost je direktno proporcionalna potrošnji benzina, dakle

500:35 = 420:x,

x = 35*420:500,

x = 29,4.

Odgovor: 29,4 l

Problem br. 9

U 2 sata ulovili smo 12 karasa. Koliko će karaša biti ulovljeno za 3 sata?

Rješenje:

Broj karasa ne zavisi od vremena. Ove količine nisu ni direktno proporcionalne ni obrnuto proporcionalne.

Odgovor: Nema odgovora.

Problem br. 10

Rudarsko preduzeće treba da kupi 5 novih mašina za određeni iznos novca po ceni od 12 hiljada rubalja po jednoj. Koliko ovih mašina može da kupi preduzeće ako cena za jednu mašinu postane 15 hiljada rubalja?

Rješenje:

Broj automobila, kom.

Cijena, hiljada rubalja

Broj automobila je obrnuto proporcionalan cijeni, dakle

5: x = 15: 12,

x=5*12:15,

x=4.

Odgovor: 4 automobila.

Problem br. 11

U gradu N na trgu P nalazi se prodavnica čiji je vlasnik toliko strog da za kašnjenje oduzima 70 rubalja od plate za 1 kašnjenje dnevno. Dvije djevojčice Julia i Natasha rade u jednom odjelu. Njihove plate zavise od broja radnih dana. Julija je za 20 dana dobila 4.100 rubalja, a Nataša je za 21 dan trebala dobiti više, ali je kasnila 3 dana zaredom. Koliko će rubalja dobiti Nataša?

Rješenje:

Radni dani

Plata, rub.

Julia

4100

Natasha

Dakle, plata je direktno proporcionalna broju radnih dana

20:21 = 4100:x,

x=4305.

4305 rub. Nataša ga je trebala primiti.

4305 – 3 * 70 = 4095 (rub.)

Odgovor: Nataša će dobiti 4095 rubalja.

Problem br. 12

Udaljenost između dva grada na karti je 6 cm. Pronađite udaljenost između ovih gradova na tlu ako je razmjer karte 1:250000.

Rješenje:

Označimo udaljenost između gradova na terenu sa x (u centimetrima) i pronađemo omjer dužine segmenta na karti i udaljenosti na tlu, koja će biti jednaka mjerilu karte: 6: x = 1 : 250000,

x = 6*250000,

x = 1500000.

1500000 cm = 15 km

Odgovor: 15 km.

Problem br. 13

4000 g rastvora sadrži 80 g soli. Kolika je koncentracija soli u ovoj otopini?

Rješenje:

Težina, g

Koncentracija, %

Rješenje

4000

Sol

4000: 80 = 100: x,

x =
,

x = 2.

Odgovor: Koncentracija soli je 2%.

Problem br. 14

Banka daje kredit od 10% godišnje. Dobili ste zajam od 50.000 rubalja. Koliko biste trebali vratiti banci za godinu dana?

Rješenje:

50.000 rub.

100%

x rub.

50000: x = 100: 10,

x= 50000*10:100,

x=5000.

5000 rub. iznosi 10%.

50.000 + 5000=55.000 (rub.)

Odgovor: za godinu dana banka će dobiti 55.000 rubalja nazad.

Zaključak.

Kao što možemo vidjeti iz navedenih primjera, direktni i inverzno proporcionalni odnosi su primjenjivi u različitim područjima života:

ekonomija,

Trgovina,

U proizvodnji i industriji,

Školski život,

kuhanje,

Građevinarstvo i arhitektura.

Sport,

Stočarstvo,

topografije,

fizičari,

hemija itd.

U ruskom jeziku postoje i poslovice i izreke koje uspostavljaju direktne i inverzne odnose:

Kako se vrati, tako će i odgovoriti.

Što je panj viši, to je viša senka.

Što više ljudi, to je manje kiseonika.

I spreman je, ali glup.

Matematika je jedna od najstarijih nauka, nastala je na osnovu potreba i želja čovečanstva. Prošavši kroz povijest svog formiranja od antičke Grčke, i dalje ostaje relevantan i neophodan u svakodnevnom životu svake osobe. Koncept direktne i inverzne proporcionalnosti poznat je od davnina, jer su zakoni proporcije motivisali arhitekte prilikom bilo koje konstrukcije ili stvaranja bilo koje skulpture.

Znanje o proporcijama se široko koristi u svim sferama ljudskog života i aktivnosti - bez njega se ne može bez njega pri slikanju (pejzaži, mrtve prirode, portreti itd.), Rasprostranjeno je i među arhitektima i inženjerima - općenito, teško je zamislite da nešto stvarate bez korištenja znanja o proporcijama i njihovim odnosima.

Književnost.

Matematika-6, N.Ya. Vilenkin et al.

Algebra -7, G.V. Dorofejev i drugi.

Matematika-9, GIA-9, urednik F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhova

Matematika-6, didaktički materijali, P.V. Chulkov, A.B. Uedinov

Zadaci iz matematike za 4-5 razred, I.V. Baranova et al., M. "Prosveshchenie" 1988.

Zbirka zadataka i primjera iz matematike 5-6 razreda, N.A. Tereshin,

T.N. Terešina, M. “Akvarijum” 1997