Çubuğun boyuna titreşimleri. Homojen bir çubuğun boyuna titreşimleri

Çubuk derken П=0х[О, /] silindirini kastediyoruz; BEN"çapD. Burada D- Ox 2 x 3 koordinat düzlemindeki alan (Şek. 62). Çubuğun malzemesi homojen ve izotrop olup Ox ekseni kesitin ağırlık merkezinden geçer. D. Dış kütle kuvvetlerinin alanı f(r, BEN)=/(X|, /)e, burada e, Ox ekseninin birim vektörüdür. Silindirin yan yüzeyine etkiyen dış yüzey kuvvetleri sıfıra eşit olsun; ra= 0 açık gdd X

Daha sonra (4.8)'den şu sonuç çıkar: 1=0 eşitlik

Kendi formları Xk(j) fonksiyonun ait olduğu /^() alanının normunu kullanarak normalleştirme yapmak uygundur v(s, ben),Çünkü zamanın her anında kinetik enerji fonksiyoneli mevcuttur ve sınırlıdır.

Nerede S- bölgenin alanı D. Sahibiz

X*(s) = Jj- hız uzayında sin^-l I 0 = ji)(s, /): vs,t)e

Sonuç olarak |l r *(^)| birimdik tabanını elde ederiz. ,

Nerede b'den „'ye- Kronecker sembolü: Fonksiyonlar X k *(s), k= 1,2 doğal titreşimlerin normal modlarıdır ve ω*, k= 1, 2, ..., - sonsuz sayıda serbestlik derecesine sahip bir sistemin salınımlarının doğal frekansları.

Sonuç olarak, u(s, /) fonksiyonunun H sisteminin konfigürasyon uzayına ait olduğunu not ediyoruz, = (v(s, t): v(s, t)) e e ^(), u(0, 1) = o(1, /) = 0), burada U^"OO, / ]), aralıktaki birinci türevlerin kareleriyle birlikte toplanabilen fonksiyonların Sobolev uzayıdır. I uzayı, potansiyel enerjinin fonksiyonelinin tanım alanıdır elastik deformasyonların

ve ele alınan soruna genelleştirilmiş çözümler içerir.

ISSN: 2310-7081 (çevrimiçi), 1991-8615 (baskı) doi: http://dx.doi UDC 517.956.3

ELASTİK OLARAK SABİT YÜKLÜ BİR ÇUBUNUN BOYUNA TİTREŞİMLERİ İLE İLGİLİ SORUN

AB Beilin

Samara Devlet Teknik Üniversitesi, Rusya, 443100, Samara, st. Molodogvardeyskaya, 244.

dipnot

Uçlarından konsantre kütleler ve yaylar kullanılarak sabitlenen kalın kısa bir çubuğun tek boyutlu boyuna titreşimleri dikkate alınmıştır. Dördüncü dereceden hiperbolik bir denklem için dinamik sınır koşullarına sahip bir başlangıç ​​sınır değeri problemi matematiksel model olarak kullanılır. Bu özel modelin seçimi, çubuğun enine yöndeki deformasyonunun etkilerini dikkate alma ihtiyacından kaynaklanmaktadır; Rayleigh tarafından gösterildiği gibi ihmal edilmesi, modern yerel olmayan kavram tarafından onaylanan bir hataya yol açmaktadır. katı cisimlerin titreşimlerini incelemek. İncelenen problemin yüke dik bir özfonksiyon sisteminin varlığı kanıtlanır ve temsilleri elde edilir. Özfonksiyonların belirlenmiş özellikleri, değişkenlerin ayrılması yönteminin uygulanmasını ve ortaya çıkan problemin benzersiz bir çözümünün varlığını kanıtlamayı mümkün kılmıştır.

Anahtar kelimeler: dinamik sınır koşulları, boyuna titreşimler, yükle diklik, Rayleigh modeli.

Giriiş. Çalışan herhangi bir mekanik sistemde, çeşitli nedenlerden kaynaklanabilecek salınımlı süreçler meydana gelir. Salınımlı süreçler, sistemin tasarım özelliklerinin veya normal çalışan bir yapının çeşitli elemanları arasında yüklerin yeniden dağıtılmasının bir sonucu olabilir.

Mekanizmada salınımlı süreç kaynaklarının varlığı, durumunun teşhis edilmesini zorlaştırabilir ve hatta çalışma modunun bozulmasına ve bazı durumlarda yıkıma yol açabilir. Bazı elemanlarının titreşimi sonucu mekanik sistemlerin doğruluğunun ve performansının bozulmasıyla ilgili çeşitli problemler genellikle pratikte deneysel olarak çözülür.

Aynı zamanda salınımlı işlemler, örneğin malzemelerin işlenmesi, bağlantıların montajı ve sökülmesi için çok yararlı olabilir. Ultrasonik titreşimler, yalnızca yüksek sertliğe sahip malzemelerin (tungsten içeren çelikler, titanyum karbür çelikler vb.) kesme işlemlerinin (delme, frezeleme, taşlama vb.) yoğunlaştırılmasını mümkün kılmakla kalmaz, aynı zamanda

© 2016 Samara Devlet Teknik Üniversitesi. Alıntı şablonu

Beilin A. B. Elastik olarak sabit yüklü bir çubuğun boyuna titreşim sorunu // Vestn. Kendim. durum teknoloji. un-ta. Ser. Fizik-matematik. Sciences, 2016. T. 20, No. 2. P. 249258. doi: 10.14498/vsgtu1474. Yazar hakkında

Alexander Borisovich Beilin (Doktora, Doçent; [e-posta korumalı]), doçent, bölüm. otomatik makine ve takım sistemleri.

ancak bazı durumlarda kırılgan malzemelerin (germanyum, silikon, cam vb.) işlenmesi için mümkün olan tek yöntem haline gelebilir. Ultrasonik titreşimleri kaynaktan (vibratör) alete ileten cihaz elemanına (dalga kılavuzu) yoğunlaştırıcı denir ve farklı şekillerde olabilir: silindirik, konik, kademeli, üstel vb. Amacı gerekli genlikteki titreşimleri cihaza iletmektir.

Bu nedenle, salınımlı süreçlerin ortaya çıkmasının sonuçları ve bunlara neden olan sebepler farklı olabilir, bu nedenle salınım süreçlerinin teorik olarak incelenmesine duyulan ihtiyaç doğal olarak ortaya çıkar. İkinci dereceden dalga denklemine dayanan, nispeten uzun ve ince katı çubuklardaki dalga yayılımının matematiksel modeli iyi çalışılmış ve uzun zamandır klasik haline gelmiştir. Bununla birlikte, Rayleigh tarafından gösterildiği gibi, bu model, kalın, kısa bir çubuğun titreşimleri üzerine yapılan çalışmaya tam olarak karşılık gelmemektedir; oysa gerçek mekanizmaların birçok detayı, kısa ve kalın çubuklar olarak yorumlanabilir. Bu durumda çubuğun enine yöndeki deformasyonu da dikkate alınmalıdır. Kalın bir kısa çubuğun boyuna titreşimlerinin, çubuğun enine hareketinin etkilerini hesaba katan matematiksel modeline Rayleigh çubuğu denir ve dördüncü dereceden hiperbolik denklemi temel alır.

^ ^- IX (a(x) e)- dx (b(x))=; (xL (1)

katsayılarının fiziksel bir anlamı olan:

d(x) = p(x)A(x), a(x) = A(x)E(x), b(x) = p(x)u2(x)1p (x),

burada A(x) kesit alanıdır, p(x) çubuğun kütle yoğunluğudur, E(x) Young modülüdür, V(x) Poisson oranıdır, IP(x) kutupsal atalet momentidir , u(x,b) - boyuna yer değiştirmeler belirlenecek.

Rayleigh'in fikirleri, onaylarını ve gelişmelerini, salınım süreçlerine ve plastiklik teorisine adanmış modern çalışmalarda buldu. İnceleme makalesi, katı cisimlerin yük altındaki durumunu ve davranışını tanımlayan ve cismin önceden ideal bir süreklilik olarak kabul edildiği klasik modellerin eksikliklerini doğrulamaktadır. Doğa bilimlerinin mevcut gelişme düzeyi, incelenen süreçleri yeterince tanımlayan yeni modellerin oluşturulmasını gerektirmektedir ve son birkaç on yılda geliştirilen matematiksel yöntemler bu fırsatı sağlamaktadır. Bu yolda, geçtiğimiz yüzyılın son çeyreğinde, yukarıda bahsedilenler de dahil olmak üzere birçok fiziksel sürecin incelenmesine yönelik, yerel olmama kavramına dayalı yeni bir yaklaşım önerildi (makaleye ve içindeki referans listesine bakınız) . Yazarlar tarafından belirlenen yerel olmayan model sınıflarından birine "zayıf yerel olmayan" adı verilmektedir. Bu sınıfa ait matematiksel modeller, belirli bir süreci tanımlayan denklem içine, çalışma nesnesinin iç elemanlarının etkileşimini bir miktar yaklaşımla dikkate almayı mümkün kılan yüksek dereceli türevlerin eklenmesiyle uygulanabilir. Bu nedenle Rayleigh'in modeli bugün hala geçerlidir.

1. Sorunun beyanı. x = 0, x = I çubuklarının uçları, L\, M2 konsantre kütleleri ve rijitlikleri K\ ve K2 olan yaylar yardımıyla sabit bir tabana bağlansın. Çubuğun 0x ekseni etrafında dönen bir cisim olduğunu ve zamanın ilk anında denge konumunda hareketsiz olduğunu varsayacağız. Daha sonra aşağıdaki başlangıç-sınır değer problemine geliyoruz.

Görev. Qt = ((0,1) x (0, T) : 1,T alanında bulun< те} "решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным

u(x, 0) = (p(x), u(x, 0) = φ(x) ve sınır koşulları

a(0)ikh(0, r) + b(0)il(0, r) - k^(0, r) - M1ui(0, r) = 0, a(1)ih(1, r) + b(1)uxy(1, r) + K2u(1, r) + M2uy(1, r) = 0. ()

Makale (1)-(2) probleminin bazı özel durumlarını incelemekte ve denklemin katsayılarının açık bir forma sahip olduğu ve M\ = M2 = 0 olduğu örnekler vermektedir. Makale, problemin benzersiz zayıf çözülebilirliğini kanıtlamaktadır. Genel dava.

Koşullar (2), çubuğun sabitlenmesi yöntemiyle belirlenir: uçları, sırasıyla M\, M2 kütlelerine sahip bazı cihazlar ve K1, K2 sertliklerine sahip yaylar kullanılarak sabit tabanlara bağlanır. Kütlelerin varlığı ve enine yer değiştirmelerin hesaba katılması, zamana göre türevleri içeren (2) formunun koşullarına yol açar. Zaman türevlerini içeren sınır koşullarına dinamik denir. En basitleri ders kitabında açıklanan ve çok daha karmaşık olanları monografide açıklanan çeşitli durumlarda ortaya çıkabilirler.

2. Çubuğun doğal titreşimlerinin incelenmesi. Denklem (1)'e karşılık gelen homojen bir denklemi ele alalım. Katsayılar sadece x'e bağlı olduğundan değişkenleri u(x,r) = X(x)T(r) yazarak ayırabiliriz. İki denklem elde ederiz:

t""(g) + \2t(g) = 0,

((a(x) - A2b(x))X"(x))" + A2dX(x) = 0. (3)

Denklem (3) sınır koşullarıyla birlikte verilmektedir

(a(0) - \2Ъ(0))Х"(0) - (К1 - \2М1)Х(0) = 0,

(a(1) - \2Ъ(1))Х"(1) + (К2 - \2М2)Х(I) = 0. (4)

Böylece klasik problemden farklı olarak spektral parametre A'nın denklemin en yüksek türevinin katsayısına ve sınır koşullarına dahil edilmesiyle farklılaşan Sturm-Liouville problemine geldik. Bu durum literatürden bilinen sonuçlara başvurmamıza izin vermiyor, dolayısıyla acil hedefimiz (3), (4) problemini incelemektir. Değişken ayırma yöntemini başarılı bir şekilde uygulamak için özdeğerlerin varlığı ve konumu, niteliksel özellikleri hakkında bilgiye ihtiyacımız var.

Özfonksiyonların özellikleri: diklik özelliğine sahipler mi?

A2 > 0 olduğunu gösterelim. Durumun böyle olmadığını varsayalım. X(x), A = 0 değerine karşılık gelen (3), (4) probleminin özfonksiyonu olsun. (3)'ü X(x) ile çarpın ve elde edilen eşitliği (0,1) aralığına entegre edin. Parçalara göre integrasyon ve sınır koşullarını (4) uygulayarak, temel dönüşümlerden sonra elde ederiz

1(0) - L2Ъ(0))(a(1) - L2Ъ(1)) I (dX2 + bX"2)yx+

N\X 2(0) + M2X 2(1)

ben aX"2<1х + К\Х2(0) + К2Х2(1). Jo

a(x), b(x), d(x) fonksiyonlarının fiziksel anlamından pozitif, Kr, Mg'nin ise negatif olmadığına dikkat edin. Ancak sonuçta ortaya çıkan eşitlikten X"(x) = 0, X(0) = X(1) = 0, dolayısıyla X(x) = 0 sonucu çıkar ve bu da yapılan varsayımla çelişir. (3) probleminin özdeğeri sıfırdır, (4) yanlıştır.

Denklemin (3) çözümünün temsili a(x) - - A2b(x) ifadesinin işaretine bağlıdır. a(x) - A2b(x) > 0 Vx e (0,1) olduğunu gösterelim. x e (0,1)'i keyfi olarak sabitleyelim ve a(x), b(x), d(x) fonksiyonlarının bu noktadaki değerlerini bulalım. Denklem (3)’ü formda yazalım.

X"(x) + VX(x) = 0, (5)

nereye belirledik

seçilen sabit noktada ve forma koşulları (4) yazıyoruz

X"(0) - aX (0) = 0, X"(1) + vX (I) = 0, (6)

burada a, b'nin hesaplanması kolaydır.

Bilindiği gibi, klasik Sturm-Liouville problemi (5), (6), V > 0 için sayılabilir bir özfonksiyonlar kümesine sahiptir; x keyfi olduğundan gerekli eşitsizlik buradan gelir.

Problem (3), (4)'ün özfonksiyonları, ilişkiyle ifade edilen yükle dik olma özelliğine sahiptir.

I (dХт(х)Хп(х) + БХ"т(х)Х"п(х))<х+ ■)о

M1Xt(0)Xn(0) + M2Xt(1)Xn (I) = 0, (7)

standart bir şekilde elde edilebilen (örneğin bakınız), söz konusu problem durumunda uygulanması basit ama özenli hesaplamalarla ilişkilidir. Zahmetten kaçınmak için Xr(x) fonksiyonlarının argümanını atlayarak, türetilmesini kısaca sunalım.

Am, An farklı özdeğerler olsun, Xm, Xn problem (3), (4)'ün karşılık gelen özfonksiyonları olsun. Daha sonra

((a - L2tb)X"t)" + L2tdXt = 0, ((a - L2pb)X"p)" + L2pdXp = 0.

Bu denklemlerden birincisini Xn, ikincisini Xm ile çarpıp ikinciyi birinciden çıkaralım. Temel dönüşümlerden sonra eşitliği elde ederiz

(Lt - Lp)YХtХп = (аХтХП)" - ЛП(БХтХ"п)" - (аХ"тХп)" + Lt(БХтХп)",

(0,1) aralığı boyunca integralini alıyoruz. Sonuç olarak (4)'ü dikkate alarak ve (Lm - Ln) oranında azaltarak (7) ilişkisini elde ederiz.

Sturm-Liouville probleminin (3), (4) özdeğerlerinin ve özfonksiyonlarının özelliklerine ilişkin kanıtlanmış ifadeler, soruna çözüm bulmak için değişkenlerin ayrılması yönteminin uygulanmasını mümkün kılar.

3. Sorunun çözülebilirliği. Haydi belirtelim

C(ST) = (u: u e C(St) P C2(St), uikh e C^t)).

Teorem 1. a, b e C1, d e C olsun. O halde (1), (2) probleminin en fazla bir çözümü vardır: e C^t).

Kanıt. (1), (2), u1(x,z) ve u2(x,z) probleminin iki farklı çözümü olduğunu varsayalım. O halde, problemin doğrusallığından dolayı, bunların farkı u = u1 - u2, (1), (2)'ye karşılık gelen homojen problemin çözümüdür. Çözümünün önemsiz olduğunu gösterelim. Öncelikle denklemin katsayılarının ve sınır koşullarının fiziksel anlamından, a, b, d fonksiyonlarının Qm'nin her yerinde pozitif olduğunu ve M^, K^'nin negatif olmadığını belirtelim.

Eşitliği (1) u ile çarpmak ve te'nin keyfi olduğu Qt bölgesi üzerinde integral almak, basit dönüşümlerden sonra elde ettiğimiz

/ (di2(x,t) + ai2x(x,t) + biHl(x,t))yx+ ./o

K1u2(0, t) + M1u2(0, t) + K2u2(1, t) + M2u2(1, t) = 0,

m'nin keyfiliği nedeniyle teoremin geçerliliği hemen buradan gelir. □

Sabit katsayılar durumu için bir çözümün varlığını kanıtlayacağız.

Teorem 2. Let<р е С2, <р(0) = <р(1) = (0) = ц>"(\) = 0, (0.1)'de üçüncü dereceden parçalı sürekli türevi vardır, φ ε 1, φ(0) = φ(1) = 0 ve (0.1)'de ikinci dereceden parçalı sürekli türevi vardır , f e C(C^m) ise, o zaman (1), (2) probleminin bir çözümü vardır ve bir dizi özfonksiyonun toplamı olarak elde edilebilir.

Kanıt. Her zamanki gibi soruna toplam şeklinde bir çözüm arayacağız.

burada birinci terim (1)'e karşılık gelen homojen bir denklem için ortaya konan problemin çözümüdür, ikincisi ise sıfır başlangıç ​​ve sınır koşullarını karşılayan denklem (1)'in çözümüdür. Önceki paragrafta yaptığımız araştırmanın sonuçlarını kullanalım ve denklem (3)'ün genel çözümünü yazalım:

X(x) = Cr cos A J-+ C2 sin Aw-^rrx.

\¡ a - A2b \¡ a - A2b

Sınır koşullarını (4) uygulayarak Cj için bir denklem sistemine ulaşırız!

(a - A2b)c2 - (Ki - A2Mi)ci = 0,

(-A(a - A2b) sin Ayja-A¡bl + (K - A2M2) cos A^O-A^l) ci+

Determinantını sıfıra eşitleyerek spektral denklemi elde ederiz.

ctg= (a - A4)A2" - (K - A?Mí)(K2 - A"M). (8)

b Va - A2b A^q(a - A2b)(Ki + K2 - A2(Mi + M2))

Bu aşkın denklemin bir çözümü olup olmadığını öğrenelim. Bunu yapmak için sol ve sağ taraftaki fonksiyonları göz önünde bulundurun ve davranışlarını inceleyin. Genelliği çok fazla sınırlamadan şunu belirtelim.

Mi = M2 = M, Kg = K2 = K,

bu, gerekli hesaplamaları biraz basitleştirecektir. Denklem (8) şu formu alır

x I q ​​​​, Aja - A2b Jq K - A2M ctg A\Z-^l =

a - A2b 2(K - A2M) 2A^^0-A2b"'yi gösterelim.

ve spektral denklemi yeni gösterimle yazın!

aqlß Kql2 + ß2 (Kb - aM)

2Kql2 + 2^2(Kb - aM) 2/j.aql

Son denklemin sol ve sağ taraflarındaki fonksiyonların analizi, Sturm-Liouville probleminin sayılabilir bir kökleri kümesinin ve dolayısıyla sayılabilir bir özfonksiyon kümesinin olduğunu belirtmemizi sağlar (3), (4), sistemden c3'e göre elde edilen ilişki dikkate alınarak yazılabilir

v / l l ben q K - x2pm. ben ben q

Xn(x) = COS XnJ-gutx + ----sin XnJ-gutX.

Va - A2b AnVa - ftb^q Va - A2b

Şimdi başlangıç ​​koşullarını da sağlayan bir çözüm bulmaya geçelim. Artık seri formundaki homojen bir denklem için problemin çözümünü kolaylıkla bulabiliriz.

u(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x),

normu ilişki (7)'den elde edilebilen Xn(x) fonksiyonlarının ortogonallik özelliği kullanılarak katsayıları ilk verilerden bulunabilir:

||X||2 = f (qX2 + bX%dx + MiX2(0) + M2x2(l). ■Jo

v(x,t) fonksiyonunu bulma süreci de aslında standarttır, ancak yine de geleneksel formda bir çözüm aramanın gerektiğini not ediyoruz.

v(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x),

iki denklem elde ederiz. Aslında özfonksiyonların türünü dikkate alarak çözüm aradığımız serinin yapısını netleştirelim:

j(x,t) = ^ (Vn(t)cos Xn^J a b x+

Wn(t) K-XnM~ sin X^HAarx). (9)

v JXnVa - xnb^q V a - xn "

Sıfır başlangıç ​​koşullarını sağlamak için y(x, 0) = y^x, 0) = 0, Vn(0) = Vn(0) = 0, Wn(0) = W(0) = 0 olmasını gerektirir. f( x,r)'yi Fourier serisine Xn(x) özfonksiyonları cinsinden eklersek, ¡n(b) ve dn(b) katsayılarını buluruz. (9)'u y(x, b'ye göre yazılan denklem (1)'de yerine koyarsak, bir dizi dönüşümden sonra Yn(b) ve Wn(b)'yi bulmak için denklemler elde ederiz:

yts® + >&pYu =

™ + xn Wn (<) = Xn (-a-iKrW g

Vn(0) = Y, (0) = 0, Wn(0) = W, (0) = 0 başlangıç ​​koşullarını hesaba katarak, Vn(b) ve Wn( fonksiyonlarının her biri için Cauchy problemlerine ulaşırız. b) benzersiz çözülebilirliği teoremin koşulları tarafından garanti edilen. Teoremde formüle edilen ilk verilerin özellikleri, araştırmamız sırasında ortaya çıkan tüm serilerin yakınsaması ve dolayısıyla ortaya çıkan problemin bir çözümünün varlığı konusunda hiçbir şüpheye yer bırakmıyor. □

Çözüm. İncelenen problemin yüke dik bir özfonksiyon sisteminin varlığı kanıtlanır ve temsilleri elde edilir.

Özfonksiyonların belirlenen özellikleri, ortaya çıkan problemin benzersiz bir çözümünün varlığını kanıtlamayı mümkün kıldı. Makalede elde edilen sonuçların hem dinamik sınır koşullarıyla ilgili problemlerin daha ileri teorik çalışmaları için hem de pratik amaçlar için, yani çok çeşitli teknik nesnelerin boyuna titreşimlerinin hesaplanması için kullanılabileceğini unutmayın.

Alexander Borisovich Beilin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860

BİBLİYOGRAFİK LİSTE

1. Nerubay M.S., Shtrikov B.L., Kalashnikov V.V. Ultrasonik işleme ve montaj. Samara: Samara Kitap Yayınevi, 1995. 191 s.

2. Khmelev V.N., Barsukov R.V., Tsyganok S.N. Malzemelerin ultrasonik boyutlu işlenmesi. Barnaul: Altay Teknik Üniversitesi'nin adını almıştır. I.I. Polzunova, 1997. 120 s.

3. Kumabe D. Titreşimle kesme. M.: Makine Mühendisliği, 1985. 424 s.

4. Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Matematiksel fizik denklemleri. M.: Nauka, 2004. 798 s.

5. Strett J.V. Ses teorisi. T. 1. M.: GITTL, 1955. 504 s.

6. Rao J. S. İleri Titreşim Teorisi: Doğrusal Olmayan Titreşim ve Tek Boyutlu Yapılar. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1992. 431 s.

7. Fedotov I. A., Polyanin A. D., Shatalov M. Yu Rayleigh modeline dayalı katı bir çubuğun serbest ve zorlanmış titreşim teorisi // DAN, 2007. T. 417, No. 1. s. 56-61.

8. Bazant Z., Jirasek M. Plastisite ve Hasarın Yerel Olmayan İntegral Formülasyonları: İlerleme Araştırması // J. Eng. Mech., 2002. cilt.128, no. 11. s. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE)0733-9399(2002)128:11(1119).

9. Beilin A. B., Pulkina L. S. Dinamik sınır koşullarına sahip bir çubuğun boyuna titreşimleri problemi // Vestn. SamSU. Doğal bilim ser., 2014. No.3(114). s. 9-19.

10. Korpusov M. O. Klasik olmayan dalga denklemlerinde yıkım. M.: URSS, 2010. 237 s.

Editörün eline geçtiği tarih: 10/II/2016; son versiyonda - 18/V/2016; yayına kabul edildi - 27/V/2016.

Vestn. Samar. Gos. Tekn. Un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki

2016, cilt. 20, hayır. 2, s. 249-258 ISSN: 2310-7081 (çevrimiçi), 1991-8615 (baskı) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1474

MSC: 35L35, 35Q74

ELASTİK SABİTLEMELİ BİR ÇUBUNUN BOYUNA TİTREŞİMİNE İLİŞKİN BİR SORUN

Samara Devlet Teknik Üniversitesi,

244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Rusya Federasyonu.

Bu makalede, noktasal kuvvetler ve yaylarla sabitlenen kalın kısa bir çubuğun boyuna titreşimini inceliyoruz. Matematiksel model için, dördüncü dereceden kısmi diferansiyel denklem için dinamik sınır koşullarına sahip bir sınır değer problemini ele alıyoruz. Bu modelin seçimi enine şekil değiştirme sonucunun dikkate alınması zorunluluğuna bağlıdır. Rayleigh enine gerinimin ihmal edilmesinin hataya yol açtığını gösterdi. Bu, modern yerel olmayan titreşim teorisi ile doğrulanmaktadır. Yük özfonksiyonları ile ortogonalin varlığını kanıtlıyor ve bunların temsilini türetiyoruz. Özfonksiyonların belirlenmiş özellikleri, değişkenlerin ayrılması yönteminin kullanılmasını ve problemin benzersiz bir çözümünün bulunmasını mümkün kılar.

Anahtar Kelimeler: dinamik sınır koşulları, boyuna titreşim, yüklü diklik, Rayleigh modeli.

Alexander B. Beylin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860

1. Nerubai M.S., Shtrikov B.L., Kalashnikov V.V. Ul "trazvukovaia mekhanicheskaia obrabotka i sborka. Samara, Samara Book Publ., 1995, 191 s. (Rusça)

2. Khmelev V.N., Barsukov R.V., Tsyganok S.N. Ul "trazvukovaia razmernaia obrabotka materyalov. Barnaul, 1997, 120 s. (Rusça)

3. Kumabe J. Titreşimle Kesme. Tokyo, Jikkyou Publishing Co., Ltd., 1979 (Japonca).

4. Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Uravneniia matematicheskoi fiziki. Moskova, Nauka, 2004, 798 s. (İngilizce)

5. Strutt J. W. Ses teorisi, cilt. 1. London, Macmillan and Co., 1945, xi+326 s.

6. Rao J. S. İleri Titreşim Teorisi: Doğrusal Olmayan Titreşim ve Tek Boyutlu Yapılar. New York, John Wiley & Sons, Inc., 1992, 431 s.

Beylin A.B. Vestn, elastik sabitlemeli bir çubuğun boyuna titreşimiyle ilgili bir problem. Samar. Gos. Tekn. Üniv., Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2016, cilt. 20, hayır. 2, s. 249-258. doi: 10.14498/vsgtu1474. (Rusça) Yazar Detayları:

Alexander B. Beylin (Cand. Techn. Sci.; [e-posta korumalı]), Doçent, Bölüm. Otomasyon Takım Tezgahları ve Takım Sistemleri.

7. Fedotov I. A., Polyanin A.D., Shatalov M. Yu. Rayleigh modeli Dokl'a dayanan sert bir çubuğun serbest ve zorlanmış titreşimleri teorisi. Phys., 2007, cilt.52, no. 11, s. 607-612. doi: 10.1134/S1028335807110080.

8. Bazant Z., Jirasek M. Plastisite ve Hasarın Yerel Olmayan İntegral Formülasyonları: İlerleme Araştırması, J. Eng. Mech., 2002, cilt.128, no. 11, s. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE)0733-9399(2002)128:11(1119).

9. Beylin A. B., Pulkina L. S. Dinamik sınır koşullarına sahip bir çubuğun boyuna titreşimleri üzerine bir problem, Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 2014, no. 3(114), s. 919 (Rusça).

10. Korpusov M. O. Razrushenie v neklassicheskikh volnovykh uravneniiakh. Moskova, URSS, 2010, 237 s. (İngilizce)

Alınma tarihi: 10/II/2016;

18/V/2016 revize edilmiş haliyle alınmıştır;

1

Kademeli değişken kesitli çubukların uzunlamasına titreşimleri sorununu, sert bir engele çarpma sırasında enerji kaybını hesaba katarak veya hesaba katmadan çözmek için bir frekans yöntemi önerilmiştir. Çubuğun boyuna titreşim denklemi, sıfır olmayan başlangıç ​​koşullarının varlığında Laplace'a göre dönüştürülür. Laplace ile dönüştürülmüş kenar boyuna kuvvetlerinin kenar yer değiştirmelerinin fonksiyonu olarak bulunmasını içeren bir sınır değeri problemi çözülmüştür. Daha sonra düğümler için bir denge denklemleri sistemi derlenir ve çözülerek ilgilenilen çubuğun bölümleri için genlik-faz-frekans özellikleri (APFC) oluşturulur. Ters Laplace dönüşümü gerçekleştirilerek bir geçiş süreci oluşturulur. Bir test örneği olarak, sonlu uzunluktaki sabit kesitli bir çubuk ele alınmıştır. Bilinen dalga çözümüyle bir karşılaştırma verilmiştir. Sert bir engelle çarpışma durumunda bir çubuğun dinamik olarak hesaplanması için önerilen yöntem, sınırsız sayıda elastik olarak bağlanmış kütlelerin varlığında, uçlara ve çubuğun uzunluğu boyunca isteğe bağlı bir kuvvetin uygulandığı isteğe bağlı bir çubuk sistemine genellemeye izin verir. kamış.

Frekans yöntemi

çubuğun boyuna titreşimleri

1. Biderman, V.L. Uygulamalı mekanik titreşim teorisi / V.L. Biderman. – M.: Yüksekokul, 1972. – 416 s.

2. Lavrentiev, M.A. Karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisinin yöntemleri / M.A. Lavrentyev, B.V. Şabat. – M.: Nauka, 1973. – 736 s.

3. Sankin, Yu.N. Dağıtılmış parametrelere sahip viskoelastik sistemlerin dinamik özellikleri / Yu.N. Sankin. – Saratov: Sarat yayınevi. Üniversite, 1977. – 312 s.

4. Sankin, Yu.N. Bir engelle çarpışma durumunda çubuk sistemlerinin kararsız titreşimleri / Yu.N. Sankin, N.A. Yuganova; genel altında ed. Yu.N. Sankina. – Ulyanovsk: Ulyanovsk Devlet Teknik Üniversitesi, 2010. – 174 s.

5. Sankin, Y.N. Rijit bir engelle çarpışan kademeli değişken kesitli elastik çubukların boyuna titreşimleri \ Yu. N. Sankin ve N.A. Yuganova, J. Appl. Matematik Mechs, Cilt. 65, sayı 3, s. 427–433, 2001.

Adım değişken kesitli çubukların uzunlamasına titreşim problemini, katı bir engele çarpma sırasında enerji kaybını hesaba katarak veya hesaba katmadan çözmek için, bilinen dalga çözümü ve çözümle karşılaştıracağımız frekans yöntemini ele alalım. bir dizi titreşim modu (14) şeklindedir.

Çubuğun boyuna titreşimleri için iç direnç kuvvetlerini hesaba katan diferansiyel denklem şu şekildedir:

Aşağıdaki sınır ve başlangıç ​​koşullarını oluşturalım:

. (2)

Verilen başlangıç ​​koşulları (2) için denklem (1) ve sınır koşullarını (2) Laplace'a göre dönüştürelim. Daha sonra denklem (2) ve sınır koşulları (2) şu şekilde yazılacaktır:

; (3)

,

çubuğun noktalarının Laplace ile dönüştürülmüş yer değiştirmeleri nerede; p, Laplace dönüşüm parametresidir.

Denklem (3), enerji kaybı dikkate alınmadan (=0'da) şu şekli alacaktır:

. (4)

Ortaya çıkan homojen olmayan diferansiyel denklem için, Laplace ile dönüştürülmüş kenar boyuna kuvvetlerinin kenar yer değiştirmelerinin fonksiyonu olarak bulunmasını içeren bir sınır değeri problemi çözülür.

Bunu yapmak için, enerji kaybını hesaba katarak çubuğun uzunlamasına titreşimlerinin homojen denklemini göz önünde bulundurun

(5)

Belirleme

ve yeni bir değişkene geçerek (5) yerine şunu elde ederiz:

(6)

Frekans parametresi nerede ise, o zaman

.

Homojen denklemin (6) çözümü şu şekildedir:

İntegral sabitleri c1 ve c2'yi başlangıç ​​koşullarından buluyoruz:

sen = u0; N = N0,

Onlar. ;

Bu çözüm aşağıdaki transfer matrisine karşılık gelir:

. (7)

Transfer matrisinin elemanları için elde edilen ifadeleri yer değiştirme yönteminin formüllerinde değiştirerek şunu elde ederiz:

; (8)

;

n ve k endeksleri sırasıyla çubuk bölümünün başlangıcını ve sonunu gösterir. Ve nk ve kn endeksli geometrik ve fiziksel sabitler çubuğun belirli bir bölümünü ifade eder.

Çubuğu elemanlara bölerek formül (8)'i kullanarak düğümlerin dinamik dengesi için denklemler oluşturacağız. Bu denklemler bilinmeyen düğüm yer değiştirmeleri için bir denklem sistemini temsil eder. Karşılık gelen katsayılar tam entegrasyonla elde edildiğinden çubuk bölümlerinin uzunluğu sınırlı değildir.

Ortaya çıkan denklem sistemini çözerek çubuğun bizi ilgilendiren bölümleri için genlik-faz-frekans özelliklerini oluşturuyoruz. Bu AFC'ler, darbeli etkiler altında Laplace dönüşümüyle örtüşen tek yönlü Fourier dönüşümünün grafiksel bir görüntüsü olarak düşünülebilir. Karşılık gelen ifadelerin tüm tekil noktaları hayali eksenin solunda yer aldığından, ters dönüşüm şu varsayımla gerçekleştirilebilir: Oluşturulan AFC'leri kullanarak. Başlangıç ​​hızları alanının çubuğun yoğunluğuyla çarpımının bir kuvvet etkisi olarak göründüğü bir AFC oluşturma görevi yardımcıdır. Tipik olarak, AFC'ler rahatsız edici kuvvetlerin etkisiyle oluşturulur, daha sonra ters Laplace dönüşümü sayısal entegrasyon veya başka bir yöntemle gerçekleştirilir.

Basit bir örnek olarak, V0 hızıyla sert bir engelle uzunlamasına çarpışan l uzunluğunda düz bir çubuğu düşünün (Şekil 1).

Çarpma sonrasında çubuğun noktalarının yer değiştirmesini belirleyelim. Çarpma sonrasında engel ile çubuk arasındaki temasın devam ettiğini varsayacağız; çubuğun geri tepmesi yoktur. Eğer bağlantı kapsayıcı değilse problem parçalı doğrusal olarak düşünülebilir. Başka bir çözüm seçeneğine geçmenin kriteri, temas noktasındaki hızın işaretinin değişmesidir.

Lavrentyev M.A.'nın monografisinde Shabat B.V. Denklemin (4) dalga çözümü verilmiştir:

ve aslı bulundu

, (9)

birim adım fonksiyonu nerede.

Bu sorunu çözmeye yönelik başka bir yaklaşım, yukarıda açıklanan frekans yöntemiyle gerçekleştirilebilir. Bu sorunla ilgili olarak elimizde şunlar olacak:

; ;

; ;

; ;

. (10)

Orijinalini bulalım (11)

Aynı problemi frekans yöntemini kullanarak çözelim. 1. düğümün denge denkleminden:

(12)

çubuğun ucunu hareket ettirmek için bir formül elde ederiz.

Şimdi, eğer sabit kesitli bir test çubuğu uzunlukları l1 ve l2 olan iki isteğe bağlı bölüme ayrılırsa (bkz. Şekil 1), o zaman düğümler için denge koşulları aşağıdaki gibi olacaktır:

(13)

Sistemin (13) çözülmesi sonucunda 1. ve 2. kısımlardaki (sırasıyla U1 ve U2) yer değiştirmeler için faz-frekans tepkisinin grafiklerini elde ederiz. Böylece, (12) ve (13) durumunda enerji dağılımını hesaba katarak kapalı formdaki kenar yer değiştirmesinin görüntüsü çakışır ve şu forma sahiptir:

. (14)

Çubuğun ucundaki sonuçların çakışmasını kontrol edelim. İncirde. Şekil 2'de çözüm (10)'un x = 10.1'deki ve çözüm sistemi (13) sonucundaki grafikleri gösterilmektedir. Tamamen aynılar.

Geçici süreci elde etmek için ayrık Fourier dönüşümü kullanılabilir. Sonuç, aşağıdaki formül kullanılarak t=0... noktasında sayısal entegrasyon yapılarak elde edilebilir.

. (15)

AFC'de (bkz. Şekil 2), yalnızca bir görünür dönüş önemli ölçüde kendini gösterir. Bu nedenle serinin bir terimi (15) alınmalıdır. Şekil 3'teki grafikler, çözümün (9) ve titreşim modları çözümünün (11) önerilen frekans çözümüyle ne kadar doğru örtüştüğünü göstermektedir. Hata %18'i geçmiyor. Ortaya çıkan tutarsızlık, çözümlerin (9) ve (11) çubuk malzemesindeki enerji dağılımını hesaba katmamasıyla açıklanmaktadır.

Pirinç. 3. Çubuğun ucuna yönelik geçici süreç; 1, 2, 3 - formüller (9), (11), (15)'e göre oluşturulmuş grafikler.

Daha karmaşık bir örnek olarak, ucunda bir yük bulunan, V0 hızına sahip sert bir engelle çarpışan kademeli bir çubuğun (Şekil 4) boyuna titreşimleri problemini düşünün ve yükün kütlesinin kütleye eşit olduğunu varsayalım. çubuğun bitişik bölümünün:.

Pirinç. 4. Ucunda yük bulunan kademeli bir çubuğun boyuna titreşimlerinin hesaplama şeması

Yer değiştirmeleri hesaplayacağımız çubuğun 1,2,3 karakteristik kesitlerini tanıtalım. Denklemleri çözmek için bir sistem oluşturalım:

(16)

Sistemin (16) çözülmesinin bir sonucu olarak, ikinci ve üçüncü bölümlerdeki (sırasıyla U2() ve U3()) yer değiştirmeler için faz-frekans tepkisinin grafiklerini (Şekil 5) elde ederiz. Hesaplamalar aşağıdaki sabit değerlerle gerçekleştirildi: l = 2 m; E = 2,1×1011 Pa; F = 0,06 m2; = 7850 kg/m3; V = 10 m/sn. Elde edilen AFC'lerde yalnızca iki görünür dönüş önemli ölçüde kendini göstermektedir. Bu nedenle seçilen bölümlerde geçiş sürecini oluştururken serinin iki terimini alıyoruz (16). Bunu yapmak için öncelikle belirlemelisiniz

Pirinç. 5. Kademeli çubuğun ikinci ve üçüncü bölümlerindeki yer değiştirmelerin AFC'si (bkz. Şekil 4)

Geçiş süreci benzer şekilde formül (15) kullanılarak oluşturulur.

Sonuç: Çubukların bir engele çarpması durumunda boyuna titreşimlerini hesaplamak için bir yöntem geliştirilmiştir.

İnceleyenler:

Lebedev A.M., Teknik Bilimler Doktoru, Doçent, Ulyanovsk Yüksek Havacılık Okulu (Enstitü) Profesörü, Ulyanovsk.

Antonets I.V., Teknik Bilimler Doktoru, Ulyanovsk Devlet Teknik Üniversitesi Profesörü, Ulyanovsk.

Bibliyografik bağlantı

Yuganova N.A. SERT BİR ENGEL İLE ÇARPIŞMADA ÇUBUKLARIN BOYUNA TİTREŞİMLERİ // Modern bilim ve eğitim sorunları. – 2014. – Sayı 2.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=12054 (erişim tarihi: 15.01.2020). "Doğa Bilimleri Akademisi" yayınevinin yayınladığı dergileri dikkatinize sunuyoruz

Çubuk, boylamasına adı verilen boyutlarından biri, uzunlamasına yöne dik bir düzlemdeki boyutlarını önemli ölçüde aşan bir gövdedir; enine boyutlar. Çubuğun ana özelliği, uzunlamasına sıkıştırmaya (gerilmeye) ve bükülmeye karşı sağladığı dirençtir. Bu özellik temel olarak çubuğu, esnemeyen ve bükülmeye karşı direnç göstermeyen bir ipten ayırır. Çubuğun malzemesinin yoğunluğu tüm noktalarda aynıysa, o zaman çubuğa homojen denir.

Tipik olarak kapalı bir silindirik yüzeyle sınırlanan uzatılmış gövdeler çubuk olarak kabul edilir. Bu durumda kesit alanı sabit kalır. Bu kadar düzgün uzunluktaki bir çubuğun davranışını inceleyeceğiz. ben Hooke yasasına uygun olarak yalnızca sıkıştırma veya çekme etkisine maruz kaldığını varsayarak. Bir çubuğun küçük boyuna deformasyonlarını incelerken, sözde Düzlem kesitlerin hipotezi.Çubuk boyunca sıkıştırma veya gerilim altında hareket eden kesitlerin düz ve birbirine paralel kalması gerçeğinde yatmaktadır.

Ekseni yönlendirelim Xçubuğun uzunlamasına ekseni boyunca (Şekil 19) ve zamanın ilk anında çubuğun uçlarının belirli noktalarda olduğunu varsayacağız. x=0 Ve x=l. Çubuğun koordinatı ile keyfi bir bölümünü alalım X. ile belirtelim sen(X,T) bu bölümün o anki yer değiştirmesi T, daha sonra kesitin koordinatla yer değiştirmesi aynı anda eşit olacak

Daha sonra çubuğun kesitteki bağıl uzaması X eşit olacak

Hooke kanununa göre bu uzamaya karşı direnç kuvveti şuna eşit olacaktır:

Nerede e– çubuk malzemesinin elastik modülü (Young modülü) ve S - kesit alanı. Uzunluğu olan bir çubuğun bir bölümünün sınırlarında dx kuvvetler ona etki ediyor T x Ve T x + dx, eksen boyunca yönlendirilmiş X. Bu kuvvetlerin sonucu şuna eşit olacaktır:

,

ve söz konusu çubuğun bölümünün ivmesi eşittir , o zaman çubuğun bu bölümünün hareket denklemi şu şekilde olacaktır:

, (67)

Nerede ρ – çubuk malzemesinin yoğunluğu. Eğer bu yoğunluk ve Young modülü sabitse, denklemin her iki tarafını da bölerek miktarı girebiliriz. Sdx sonunda al çubuğun boyuna titreşimlerinin denklemi dış güçlerin yokluğunda

(68)

Bu denklem şu şekilde aynı forma sahiptir: enine sicim titreşimleri denklemi ve bunun için çözüm yöntemleri aynıdır ancak katsayı A Bu denklemler farklı miktarları temsil eder. Sicim denkleminde miktar bir 2 payı ipin sabit gerilim kuvveti olan bir kesri temsil eder - T ve paydada doğrusal yoğunluk ρ , ve dize denkleminde paylar Young modülünü ve paydayı içerir – hacimselçubuk malzeme yoğunluğu ρ . Dolayısıyla miktarın fiziksel anlamı A bu denklemlerde farklıdır. Bir sicim için bu katsayı, küçük bir enine yer değiştirmenin yayılma hızı ise, o zaman bir çubuk için, küçük bir uzunlamasına gerilmenin veya sıkışmanın yayılma hızıdır ve denir. Sesin hızıçünkü sesi temsil eden küçük boylamasına titreşimler bu hızda çubuk boyunca yayılacaktır.

Denklem (68) için, çubuğun herhangi bir bölümünün başlangıç ​​zamanında yer değiştirmesini ve yer değiştirme hızını belirleyen başlangıç ​​koşulları ayarlanır:

Sınırlı bir çubuğun uçlarına bağlanması veya kuvvet uygulanmasına ilişkin koşullar, 1., 2. ve 3. tür sınır koşulları şeklinde belirtilir.

Birinci türden sınır koşulları, çubuğun uçlarındaki boylamasına yer değiştirmeyi belirtir:

Çubuğun uçları hareketsiz olarak sabitlenmişse, o zaman (6) koşulları altında . Bu durumda, kenetlenmiş bir ipin salınımı probleminde olduğu gibi, değişkenlerin ayrılması yöntemini uyguluyoruz.

İkinci tür sınır koşullarında, Hooke kanununa göre zamana bağlı deformasyondan kaynaklanan, çubuğun uçlarında elastik kuvvetler belirlenir. Formül (66)'ya göre, bu kuvvetler sabit bir faktöre kadar türevlere eşittir. sen x bu nedenle uçlarda bu türevler zamanın fonksiyonları olarak belirtilir:

Çubuğun bir ucu serbest ise bu uçta sen x = 0.

Üçüncü türden sınır koşulları, çubuğun her iki ucuna bir yayın bağlandığı, diğer ucunun belirli bir zaman yasasına göre eksen boyunca hareket ettiği koşullar olarak temsil edilebilir. θ (T), Şekil 2'de gösterildiği gibi. 20. Bu koşullar aşağıdaki gibi yazılabilir

, (72)

Nerede k 1 ve k 2 – yay sertliği.

Çubuğa eksen boyunca bir dış kuvvet de etki ediyorsa P(X,T), birim hacim başına hesaplanırsa, denklem (50) yerine homojen olmayan denklem yazılmalıdır.

,

Bölündükten sonra şu formu alır:

, (73)

Nerede . Denklem (73), ipin zorlanmış titreşimleri denklemine benzetilerek çözülen, çubuğun zorlanmış boyuna titreşimlerinin denklemidir.

Yorum. Hem ipin hem de çubuğun, gerçekte bulundukları koşullara bağlı olarak hem ipin hem de çubuğun özelliklerini sergileyebilen gerçek cisimlerin modelleri olduğu unutulmamalıdır. Ek olarak, ortaya çıkan denklemler çevresel direnç kuvvetlerini ve iç sürtünme kuvvetlerini hesaba katmaz; bunun sonucunda bu denklemler sönümsüz salınımları tanımlar. Sönümleme etkisini hesaba katmak için, en basit durumda, hıza orantılı ve harekete ters yönde yönlendirilen bir enerji tüketen kuvvet kullanılır; hız. Sonuç olarak denklem (73) şu şekli alır:

(74)

Belirli bir kuvvetin uygulanması gereken, esnemesi veya bükülmesi için eşit uzunlukta bir çubuğu, yani silindirik veya başka bir şekle sahip bir gövdeyi ele alalım. İkinci durum, en ince çubuğu bile bildiğimiz gibi serbestçe bükülen bir ipten ayırır.

Bu bölümde, karakteristikler yöntemini bir çubuğun boyuna titreşimlerinin incelenmesine uygulayacağız ve kendimizi yalnızca çubuğun ekseni boyunca hareket eden kesitlerin düz ve paralel kaldığı titreşimleri incelemekle sınırlayacağız. (Şekil 6). Böyle bir varsayım, çubuğun enine boyutlarının uzunluğuna kıyasla küçük olması durumunda haklı çıkar.

Çubuk uzunlamasına eksen boyunca hafifçe gerilir veya sıkıştırılırsa ve daha sonra kendi başına bırakılırsa, içinde uzunlamasına titreşimler ortaya çıkacaktır. Ekseni çubuğun ekseni boyunca yönlendirelim ve hareketsiz durumda çubuğun uçlarının, çubuğun belirli bir bölümünün hareketsiz durumdayken apsisinin Let noktalarında olduğunu varsayalım. Bu bölümün o andaki yer değiştirmesi ile gösterelim, o zaman apsisli bölümün yer değiştirmesi şuna eşit olacaktır:

Buradan çubuğun apsis x ile kesitindeki bağıl uzamasının türev ile ifade edildiği açıktır.

Şimdi çubuğun küçük salınımlara maruz kaldığını varsayarak bu bölümdeki gerilimi hesaplayabiliriz.Aslında Hooke yasasını uygulayarak şunu buluruz:

çubuk malzemesinin elastik modülü nerede, kesit alanı. Kapalı bir çubuk elemanını alalım

Dinlenme halindeki apsisleri sırasıyla eşit olan iki bölüm arasında, bu bölümlere uygulanan ve eksen boyunca yönlendirilen çekme kuvvetleri bu elemana etki eder.Bu kuvvetlerin bileşkesi şu büyüklüktedir:

ve aynı zamanda yönlendirilir. Öte yandan elemanın ivmesi eşittir, bunun sonucunda eşitliği yazabiliriz.

çubuğun hacimsel yoğunluğu nerede. Koyarak

ve homojen bir çubuğun boyuna titreşimlerinin diferansiyel denklemini elde ederek azaltarak

Bu denklemin şekli, çubuğun boyuna titreşimlerinin dalga niteliğinde olduğunu ve boyuna dalgaların yayılma hızının formül (4) ile belirlendiğini gösterir.

Eğer çubuğa hacminin birimi başına hesaplanan bir dış kuvvet de etki ediyorsa, o zaman (3) yerine şunu elde ederiz:

Bu, çubuğun zorlanmış boyuna titreşimlerinin denklemidir. Genel olarak dinamikte olduğu gibi, hareket denklemi (6) tek başına çubuğun hareketini tam olarak belirlemek için yeterli değildir. Başlangıç ​​koşullarını ayarlamak gerekir, yani çubuğun bölümlerinin yer değiştirmelerini ve hızlarını zamanın ilk anında ayarlamak

nerede ve aralıktaki fonksiyonlar verilmiştir (

Ayrıca çubuğun uçlarındaki sınır koşulları da belirtilmelidir. Örneğin.