Matris antagonistik oyunların çözümü için ilkeler. Matris oyunları: problem çözme örnekleri

Hizmet ataması. Çevrimiçi hizmeti kullanarak şunları yapabilirsiniz:

• matris oyununun fiyatını belirlemek (alt ve üst sınırlar), bir eyer noktasının varlığını kontrol etmek, karma stratejiye çözüm bulmak, oyuncuların minimax stratejisini bulmak;
• bir çift ikili doğrusal programlama probleminin matematiksel modelini yazın, bir matris oyununu şu yöntemleri kullanarak çözün: minimaks, simpleks yöntemi, grafiksel (geometrik) yöntem, Brown yöntemi.

Talimat. Matrisin boyutunu seçin ve İleri'ye tıklayın. Yeni iletişim kutusunda matris oyununu çözmek için bir yöntem seçin. Örnek doldurun. Hesaplama sonuçları Word formatında bir rapor halinde sunulur.

Bir oyun gerçek bir çatışma durumunun matematiksel bir modelidir. İki oyuncu arasındaki çatışma durumuna çift oyun denir. Bir matris biçiminde tanımlanırsa, sıfır toplamlı bir çift oyununu incelemek uygundur. Böyle bir oyunun adı matris; a ij sayılarından oluşan matrise getiri denir. Tablo, kazanç matrisi A tarafından verilen oyunu çözme seçeneklerini göstermektedir.

Algoritmanın açıklaması:

1. Kazanç matrisinin analizine dayanarak, içinde domine edilen stratejilerin olup olmadığının belirlenmesi ve bunların hariç tutulması gerekir.
2. Oyunun üst ve alt fiyatlarını bulun ve verilen oyunun eyer noktası olup olmadığını belirleyin (oyunun alt fiyatı, oyunun üst fiyatına eşit olmalıdır).
3. Eğer bir eyer noktası mevcutsa, oyuncuların oyunun çözümü olan optimal stratejileri, eyer noktasına karşılık gelen saf stratejileri olacaktır. Oyunun fiyatı, oyunun birbirine eşit olan üst ve alt fiyatlarına eşittir.
4. Oyunun bir eyer noktası yoksa bu durumda oyunun çözümü karma stratejilerde aranmalıdır. M × n oyunlarda optimal karma stratejileri belirlemek için, oyun problemini doğrusal programlama problemine yeniden formüle ettikten sonra simpleks yöntemi kullanılmalıdır.

Bir matris oyununu çözmek için kullanılan algoritmayı grafiksel olarak sunalım.

Şekil - Bir matris oyununu çözme şeması.

Karma stratejilerde bir matris oyununu çözme yöntemleri

Yani eyer noktası yoksa oyunun çözümü karma stratejilerle gerçekleştirilir ve aşağıdaki yöntemlerle çözülür:

1. Oyunu bir denklem sistemiyle çözme.
   Eğer bir kare matris nxn (n=m) verilirse, olasılık vektörü bir denklem sistemi çözülerek bulunabilir. Bu yöntem her zaman kullanılmaz ve yalnızca bazı durumlarda uygulanabilir (matris 2x2 ise oyunun çözümü neredeyse her zaman elde edilir). Çözümde negatif olasılıklar elde edilirse bu sistem simpleks yöntemiyle çözülür.
2. Oyunun grafiksel yöntemle çözümü.
   n=2 veya m=2 olduğu durumlarda matris oyunu grafiksel olarak çözülebilir.
3. Bir matris oyununun simpleks yöntemiyle çözümü.
   Bu durumda matris oyunu şuna indirgenir:

Matris oyunlarını çözme yaklaşımı, oyuncuların getirisinin sürekli bir fonksiyon (sonsuz bir antagonist oyun) olarak verildiği antagonistik oyunlar durumuna genelleştirilebilir.

Böyle bir oyun, 1. oyuncunun bir sayı seçtiği iki oyunculu bir oyun olarak temsil edilir. X birçoktan X, 2. oyuncu 7. setten bir y sayısını seçer ve bundan sonra 1. ve 2. oyuncular sırasıyla kazançları alır. U(x, y) ve -U(x, y). Bir oyuncunun belirli bir sayıyı seçmesi, bu sayıya karşılık gelen saf stratejisini uygulaması anlamına gelir.

Matris oyunlarına benzetilerek, bir oyunun net düşük fiyatı denilebilir. v(= maksimum minimum U(x, y), net en iyi oyun fiyatı -v2 =

en az en çok U(x, y). O halde, benzetme yoluyla şunu varsayabiliriz: eğer bazıları için

en *

ya da bitmek bilmeyen düşmanca bir büyüklük oyunu V Ve v2 vardır ve birbirine eşittir (“i \u003d v 2 \u003d v), o zaman böyle bir oyunun saf stratejilerde bir çözümü vardır, yani, Oyuncu 1'in optimal stratejisi sayıyı seçmektir x° e X, ve oyuncu 2 - sayılar 0'da e 7, bu noktada Wx ( 0'da) -v.

Bu durumda v oyunun saf değeri denir ve (x°, y 0) sonsuz antagonistik oyunun eyer noktasıdır.

Matris oyunları için miktarlar v x Ve v2 her zaman vardır, ancak sonsuz düşmanca oyunlarda var olmayabilirler, yani. sonsuz düşmanlık oyunu her zaman çözülemez.

Gerçek bir durumu sonsuz bir düşmanca oyun biçiminde resmileştirirken, genellikle tek bir stratejik aralık seçilir; oyuncuların seçim yapabileceği tek bir aralık. (X - 1. oyuncu tarafından seçilen sayı (strateji); -

Oyuncu 2 tarafından seçilen sayı (strateji). Teknik olarak bu, çözümü basitleştirir, çünkü basit bir dönüşümle herhangi bir aralık bir birime dönüştürülebilir veya bunun tersi de geçerlidir. Böyle bir oyunun adı Birim karede düşmanca bir oyun.

Örneğin, 1. oyuncunun sayıyı seçtiğini varsayalım. X birçoktan X= 2. oyuncu kümeden bir y sayısını seçer Y=. Bundan sonra, 2. oyuncu, 1. oyuncuya tutarı öder. Wx, y) -2x 2 -y 2. Oyuncu 2, Oyuncu 1'in getirisini en aza indirmeye çalıştığından min ( 2x 2 - y 2) = 2x 2- 1, yani bu durumda = 1. Oyuncu 1 mak-tag yapmaya çalışır

Ödemenizi simüle edin, böylece maksimum minimum tutarı belirler Ne, y)1 =

xGX ve

- maksimum (2x 2 - 1) = 2- 1 = 1, bu şu şekilde elde edilir: X = 1.

Yani oyunun alt net fiyatı vx- 1. Üstü temiz

oyun fiyatıv2 =dk - dk (2 - y 2) = 2 - 1 = 1, yani. bunda

>örneğinhehe evet

oyun v l \u003d v 2 \u003d l. Yani oyunun net fiyatı v= 1, eyer noktası ise (x° = 1; y°=1).

Şimdi varsayalım ki Hee Y... açık aralıklar, yani 1. oyuncu xeA"=(0; 1)'i seçer, 2. oyuncu ise ye 7= (0; 1)'i seçer. Bu durumda, X, 1'e yeterince yakınsa, 1. oyuncu "=1;"e yakın bir sayıdan daha az olmayan bir getiri alacağından emin olacaktır; y'yi 1'e yakın seçerek, oyuncu 2, Oyuncu 1'in getirisinin oyunun net değerinden çok daha fazla olmasına izin vermeyecektir v= 1.

Oyunun fiyatına yakınlık derecesi ?>0 sayısıyla karakterize edilebilir. Dolayısıyla anlatılan oyunda saf stratejilerin optimalliğinden bahsedebiliriz. x°= 1, 0 = 1, sırasıyla oyuncular 1 ve 2'ye kadar keyfi bir sayı?>0. Nokta (X", y E), nerede x e e X, y (. eY, sonsuz düşmanca oyunda denir z-denge noktası (s.-semer noktası), herhangi bir xTiger 1 ve Tigger 2 stratejisi için aşağıdaki eşitsizlik geçerliyse: Ne, sen) - ? W x r , y (.) U(x t., y) + ?. Bu durumda stratejiler x k. ve. isminde -optimal stratejilerle. Bu stratejiler ne kadar optimaldir? yani eğer optimal stratejiden sapma oyuncuya herhangi bir fayda sağlayamıyorsa, o zaman c-optimal stratejiden sapmanın getirisini e'den fazla artıramayacağı anlamındadır.

Oyunun eyer noktası yoksa (c-semer noktası), ör. Saf stratejilerdeki çözümler, daha sonra oyuncular tarafından saf stratejilerin kullanımının olasılık dağılımının fonksiyonu olarak kullanılan karma stratejiler arasından en uygun stratejiler aranabilir.

İzin vermek F(x) 1. oyuncunun saf stratejileri kullanımının olasılık dağılım fonksiyonudur. E sayısı, 1. oyuncunun saf stratejisi ise, o zaman F(x) = P(q burada P(q -X)- rastgele seçilen bir saf strateji E'nin aşılmama olasılığı X. Saf stratejilerin uygulanmasının olasılık dağılım fonksiyonu r| oyuncu 2: Q(y) = P(g.

Fonksiyonlar F(x) Ve S(y) isminde karma stratejiler sırasıyla 1. ve 2. oyuncular. döviz) Ve S(y) türevlenebilirse, türevleri sırasıyla mevcut olur ve şu şekilde gösterilir: f(x) Ve q(y)(dağıtım yoğunluğunun fonksiyonları).

Genel olarak dağılım fonksiyonunun diferansiyeli dF(x) stratejinin olasılığını ifade eder İle, arada xE, Benzer şekilde oyuncu 2 için: dQ(y) p stratejisinin aralıkta olma olasılığı anlamına gelir g|'da y + dy. O zaman Oyuncu 1'in getirisi Wx, y) dF(x), ve oyuncu 2'nin getirisi Wx, y) dQ(y).

Oyuncu 2'nin saf stratejisi dikkate alındığında Oyuncu 1'in ortalama getirisi sen,ödemelerin olası tüm değerler üzerinden entegre edilmesiyle elde edilebilir X, onlar. tek bir aralıkta:

Her iki oyuncunun da kendi karma stratejilerini kullandığı göz önüne alındığında, Oyuncu 1'in ortalama getirisi F(x) Ve S(y), eşit olacak

Matris oyunlarına benzetilerek, oyuncuların optimal karma stratejileri ve oyunun fiyatı belirlenir: eğer bir çift karma strateji varsa F*(x) Ve S*(y) sırasıyla 1. ve 2. oyuncular için optimaldir, daha sonra herhangi bir karma strateji için F(x) Ve S(y) aşağıdaki oranlar geçerlidir:

Eğer oyuncu 1 stratejisinden saparsa F*(x), o zaman ortalama getirisi artamaz ancak 2. oyuncunun rasyonel eylemleri nedeniyle azalabilir. Eğer 2. oyuncu karma stratejisinden geri çekilirse S*(y), o zaman Oyuncu 1'in ortalama getirisi, Oyuncu 1'in daha makul eylemleri nedeniyle artabilir ancak azalamaz. E(F*, Q*), Oyuncular optimal karma stratejiler kullandığında 1. oyuncu tarafından alınan tutar oyunun fiyatına karşılık gelir.

O halde karma stratejilerle çözülen sonsuz bir düşmanca oyunun daha düşük maliyeti şu şekilde tanımlanabilir: v x= kontrol et

dk. e(FQ), ve oyunun en yüksek fiyatı v2 = en az en çok E(F, Q).

Q Q f

Böyle karma stratejiler varsa F*(x) Ve Q*(y) Oyunun alt ve üst fiyatları aynı olan sırasıyla 1. ve 2. oyuncular için, o zaman F*(x) Ve S*(y) karşılık gelen oyuncuların optimal karma stratejilerini bir terim olarak adlandırmak doğaldır. v=vx=v2- oyunun fiyatı.

Matris oyunlarından farklı olarak sonsuz antagonistik oyunun çözümü her fonksiyon için mevcut değildir. Şşşt, y). Ancak teorem, sürekli bir getiri fonksiyonuna sahip herhangi bir sonsuz düşmanca oyunun kanıtlandığı kanıtlanmıştır. Neden) Sürekli oyunlar da dahil olmak üzere sonsuz düşmanca oyunları çözmek için genel bir yöntem olmamasına rağmen, birim karede bir çözümü vardır (oyuncular optimal karma stratejilere sahiptir). Bununla birlikte, dışbükey ve içbükey sürekli getiri fonksiyonlarına sahip antagonistik sonsuz oyunlar oldukça basit bir şekilde çözülür (bunlara sırasıyla denir) dışbükey Ve içbükey oyunlar).

Oyunları dışbükey getiri fonksiyonuyla çözmeyi düşünün. İçbükey getiri fonksiyonuna sahip oyunların çözümü simetriktir.

dışbükey fonksiyon/değişken X aralıkta ( A; B) eşitsizliğin olduğu böyle bir fonksiyon denir

Nerede xx Ve x 2 -(a;) aralığındaki herhangi iki nokta B);

X.1, A.2 > 0 ve +X.2= 1.

Eğer / h * 0 D 2 * 0 için katı eşitsizlik her zaman geçerlidir

daha sonra / işlevi çağrılır kesinlikle dışbükey(a; B).

Geometrik olarak dışbükey bir fonksiyon, grafiği onu destekleyen akorun altında bulunan bir yayı tasvir eder. Analitik olarak, iki kez türevlenebilir bir fonksiyonun dışbükeyliği, ikinci türevinin negatif olmamasına (ve tam dışbükeylik durumunda pozitifliğine) karşılık gelir.

İçbükey fonksiyonlar için özellikler zıttır; onlar için eşitsizlik /(/4X1 + A.2X2) > Kf(xi) +)-eğer(x 2) (> katı içbükeylikle) ve ikinci türev / "(x)

Kapalı bir aralıkta sürekli ve tam dışbükey bir fonksiyonun, aralığın yalnızca bir noktasında minimum değer aldığı kanıtlanmıştır. Eğer Ne, y) birim karede oyuncu 1'in sürekli bir ödeme fonksiyonudur ve kesinlikle dışbükey en herhangi bir x için benzersiz bir optimal saf strateji vardır y=y° e 2. oyuncu için oyunun fiyatı formüle göre belirlenir

ve değer 0'da aşağıdaki denklemin çözümü olarak tanımlanır:

Eğer fonksiyon Ne, y) y'de tam olarak dışbükey değilse, bu durumda Oyuncu 2'nin benzersiz bir optimal saf stratejisi olmayacaktır.

Simetrik özellik aynı zamanda tam içbükey fonksiyonlar için de geçerlidir. Eğer fonksiyon Ne, y) her iki argümanda da sürekliyse ve herhangi bir y için x'te kesinlikle içbükeyse, o zaman Oyuncu 1'in benzersiz bir optimal stratejisi vardır.

Oyunun fiyatı formüle göre belirlenir

ve 1. oyuncunun saf optimal stratejisi x 0 denklemden belirlenir

Dışbükey veya içbükey getiri fonksiyonlarına sahip sonsuz antagonistik oyunların bu özelliklerine dayanarak, bu tür oyunları birim karede (х e, y e) çözmek için genel bir şema inşa edilir. Bu şemayı yalnızca dışbükey oyunlar için sunuyoruz çünkü içbükey oyunlar için simetriktir.

1. İşlevi kontrol edin Ne, y) y'deki dışbükeylik (ikinci kısmi türev 0'dan büyük veya ona eşit olmalıdır).

2. İlişkiden y 0'ı belirleyin v- en az en çok Neden) değer olarak

sen, Minimax'a ulaşıldığı yer.

3. Denklemin çözümünü bulun v = U(x, y 0) ve çözümlerinin çiftlerini oluşturun X Ve x 2, hangisi için

4. Parametreyi bulun A denklemden

Parametre A Oyuncu 1'in optimal stratejisini belirler ve onun saf stratejisini seçme olasılığı anlamına gelir. x x. 1 - a değeri, 1. oyuncunun saf stratejisini seçme olasılığı anlamına gelir x 2.

Bu tür bir oyunu çözmek için bu şemanın kullanımını bir örnekle gösterelim. Sonsuz bir antagonistik oyundaki getiri fonksiyonu birim karede verilsin ve şuna eşit olsun: Wx, y) = =(x - y) 2 \u003d x 2 - 2 ha h-y 2.

1. Bu fonksiyon süreklidir X Ve sen, ve bu oyunun bir çözümü var. İşlev Neden) kesinlikle dışbükey sen,Çünkü

Bu nedenle, oyuncu 2 tek saf optimal stratejiye y 0'a sahiptir.

2. Bizde v= minimum maksimum (x - e) 2. Maksimumu belirlemek için (x 2 - 2xy X-y 2)

getiri fonksiyonunun x'e göre birinci ve ikinci kısmi türevlerini sırayla bulun:

Yani fonksiyon sen x=y için herhangi bir y'nin minimumu vardır. Bu, xy - arttığında ve maksimumunun x=0 veya x= 1 uç noktalarından birinde elde edilmesi gerektiği anlamına gelir. Fonksiyonun değerlerini belirleyelim. sen bu noktalarda:

Ardından (x - y) 2 \u003d maksimum (y 2; 1 - 2y + y 2) seçeneğini kontrol edin. "Dahili" karşılaştırması

süslü parantez içindeki maksimumları görmek kolaydır 2'de > 1 - - 2y+y 2 , Eğer y >*/ 2 ve y 2 1 - 2 y+y 2 , Eğer y "/ 2. Bu, bir grafikle daha açık bir şekilde temsil edilir (Şekil 2.5).

Pirinç. 2.5. Kazanç fonksiyonunun iç maksimumları U(x, y) = (x- en) 2

Bu nedenle (x -) ifadesi y) 2 x=0'da maksimum değerine ulaşırsa y > 7 2 ve x= 1 eğer U 2'de:

Buradan, v= dk ( dk y 2; dk (1 - y) 2 ). Her biri

sabahın en düşük seviyelerine ulaşıldı y=*/2 olup Y 4 değerini alır. Dolayısıyla oyunun fiyatı r = Y 4'tür ve oyuncu 2 için en uygun strateji şu şekildedir:

3. Denklemden 1. oyuncunun optimal stratejisini belirleyin U(x, y 0)= v, onlar. bu oyun için (x - Y 2) 2 \u003d Y 4. Bu denklemin çözümü X| \u003d 0, x 2 \u003d 1.

Şartları sağlıyorlar

4. a parametresini tanımlayın, ör. Oyuncu 1'in kendi saf stratejisini kullanma olasılığı X] = 0. Denklemi a-1 + (1 - a) (-1)=0 yapalım, dolayısıyla a = Y 2 . Bu nedenle, 1. oyuncunun optimal stratejisi, saf stratejileri 0 ve 1'i olasılıkla seçmektir. 1 / 2 her biri. Sorun çözüldü.

Oyun teorisinde ayrıntılı olarak açıklanan en basit durum, sıfır toplamlı sonlu çift oyunudur (iki kişi veya iki koalisyondan oluşan düşmanca bir oyun). Zıt çıkarlara sahip iki A ve B oyuncusunun katıldığı bir G oyunu düşünün: birinin kazancı diğerinin kaybına eşittir. A oyuncusunun getirisi zıt işaretli B oyuncusunun getirisine eşit olduğundan, yalnızca a oyuncusunun getirisiyle ilgilenebiliriz. Doğal olarak A, a'yı maksimuma çıkarmak istiyor ve B, a'yı minimuma indirmek istiyor.

Basitleştirmek için, kendimizi zihinsel olarak oyunculardan biriyle (A olsun) tanımlayalım ve ona "biz", B oyuncusuna da "rakip" diyelim (tabii ki, A için bunun hiçbir gerçek avantajı yoktur). Olası stratejilere ve rakibin olası stratejilerine sahip olalım (böyle bir oyuna oyun denir). Eğer biz stratejiyi kullanırsak ve rakip de stratejiyi kullanırsa, kazancımızı gösterelim.

Tablo 26.1

Her bir strateji çifti için getiri (veya ortalama getiri) a'nın tarafımızdan bilindiğini varsayalım. Daha sonra prensip olarak oyuncuların stratejilerini ve karşılık gelen getirileri listeleyen dikdörtgen bir tablo (matris) hazırlamak mümkündür (bkz. Tablo 26.1).

Eğer böyle bir tablo derlenirse, G oyununun bir matris formuna indirgendiği söylenir (oyunu böyle bir forma getirmek zaten zor bir iş olabilir ve çok sayıda strateji nedeniyle bazen neredeyse imkansız olabilir) ). Eğer oyun bir matris formuna indirgenirse, çok hamleli oyun aslında tek hamlelik bir oyuna indirgenir; oyuncunun yalnızca tek bir hamle yapması gerekir: bir strateji seçmek. Oyun matrisini kısaca belirteceğiz

Matris formundaki bir G (4X5) oyununun örneğini düşünün. Elimizde (aralarından seçim yapabileceğimiz) dört strateji var, düşmanın ise beş stratejisi var. Oyun matrisi tablo 26.2'de verilmiştir.

Bizim (A oyuncusu) hangi stratejiyi kullandığımızı düşünelim mi? Matrix 26.2'nin cazip getirisi "10"dur; bu "haber"i elde edeceğimiz bir strateji seçmeye çekiliyoruz.

Ama durun, düşman da aptal değil! Eğer biz stratejiyi seçersek, o da bize inat stratejiyi seçecek ve biz de sefil bir "1" getirisi alacağız. Hayır, bir strateji seçemezsiniz! Nasıl olunur? Açıkçası, dikkatli olma ilkesinden yola çıkarak (ki bu oyun teorisinin temel ilkesidir), minimum kazancımızın maksimum olacağı stratejiyi seçmeliyiz.

Tablo 26.2

Buna "mini-maksimum prensibi" denir: Rakibinizin en kötü davranışıyla maksimum kazancı elde edecek şekilde hareket edin.

Tablo 26.2'yi yeniden yazalım ve sağdaki ek sütuna, ödülün minimum değerini her satıra yazacağız (minimum bir satır); bunu a satırı için gösterelim (bkz. tablo 26.3).

Tablo 26.3

Tüm değerlerden (sağ sütun) en büyüğü (3) seçilir. Stratejiye uyuyor. Bu stratejiyi seçtikten sonra her durumda (düşmanın herhangi bir davranışı için) en az 3 kazanacağımızdan emin olabiliriz. Bu değer bizim garantili kazancımızdır; Dikkatli davranırsak bundan daha azını alamayız, daha fazlasını alabiliriz).

Bu getiriye oyunun düşük fiyatı (veya "maximin" - minimum getirilerin maksimumu) adı verilir. olarak belirteceğiz. Bizim durumumuzda

Şimdi düşmanın bakış açısını ele alalım ve onun adına tartışalım. O bir tür piyon değil ama aynı zamanda mantıklı! Bir strateji seçerek daha az vermek ister ama bizim davranışlarımıza güvenmek zorundadır ki bu onun için en kötüsüdür. Bir strateji seçerse ona cevap vereceğiz ve o 10 verecek; eğer seçerse ona cevap vereceğiz ve o da geri verecek vb. Tablo 26.3'e bir alt satır daha ekliyoruz ve sütunların maksimumlarını buraya yazıyoruz.Açıkçası, dikkatli bir rakip bu değere uygun stratejiyi seçmelidir. minimum (karşılık gelen değer 5, tablo 26.3'te vurgulanmıştır) . Bu P değeri, makul bir rakibin bize kesinlikle vermeyeceği kazanç değeridir. Buna oyunun üst fiyatı denir (veya "mi-nimax" - maksimum kazancın minimumu). Örneğimizde ve rakibin stratejisiyle elde edilir

Bu nedenle, ihtiyat ilkesine dayanarak ("her zaman en kötüsüne güvenin" reasürans kuralı!), A stratejisini ve düşman stratejisini seçmeliyiz. Bu tür stratejilere "minimax" adı verilir (minimax ilkesinden yola çıkarak). Örneğimizdeki her iki taraf da minimaks stratejilerine sadık kaldığı sürece getirisi şu olacaktır:

Şimdi bir an için düşmanın strateji izlediğini öğrendiğimizi hayal edin. Hadi, bunun için onu cezalandırıyoruz ve bir strateji seçiyoruz, 5 alıyoruz ve bu o kadar da kötü değil. Ama sonuçta düşman da bir ıskalama değil; stratejimizin olduğunu öğrenmesine izin verin, o da seçmek için acele edecek, getirimizi 2'ye düşürecek vb. (ortaklar "stratejiler konusunda acele ettiler"). Kısacası örneğimizdeki minimax stratejileri karşı tarafın davranışına ilişkin bilgi açısından istikrarsızdır; bu stratejiler denge özelliğine sahip değildir.

Her zaman böyle mi olur? Hayır her zaman değil. Tablo 26.4'te verilen matris ile bir örneği düşünün.

Bu örnekte oyunun alt fiyatı üst fiyatına eşittir: . Bundan ne sonuç çıkıyor? A ve B oyuncularının minimax stratejileri istikrarlı olacaktır. Her iki oyuncu da onlara sadık kaldığı sürece getiri 6'dır. Bakalım (A) rakibin (B) B stratejisine sadık kaldığını öğrenirsek ne olacak?

Tablo 26.4

Ve kesinlikle hiçbir şey değişmeyecek. Çünkü stratejiden herhangi bir sapma durumumuzu daha da kötüleştirmekten başka işe yaramaz. Aynı şekilde rakibin aldığı bilgi de onun stratejisinden geri çekilmesine neden olmayacaktır. Bir eyer noktasının ve dengeli bir strateji çiftinin varlığının işareti, oyunun alt ve üst fiyatlarının eşitliğidir; toplam değere oyunun fiyatı denir. Onu etiketleyeceğiz

Bu kazancın elde edildiği stratejilere (bu durumda ) optimal saf stratejiler denir ve bunların kombinasyonu oyunun bir çözümüdür. Bu durumda oyunun kendisinin saf stratejilerle çözüldüğü söyleniyor. A ve B taraflarına, konumlarının mümkün olan en iyi olduğu optimal stratejiler verilebilir. Ve A oyuncusu 6 kazanır ve B oyuncusu kaybeder, işte oyunun koşulları bunlar: A için faydalı, B için dezavantajlı.

Okuyucunun bir sorusu olabilir: Neden optimal stratejilere “saf” deniyor? Biraz ileriye baktığımızda, şu soruyu cevaplayalım: Oyuncunun bir değil, birkaç stratejiyi rastgele değiştirerek kullanması gerçeğinden oluşan "karma" stratejiler vardır. Dolayısıyla, saf stratejilere ek olarak karma stratejileri de kabul edersek, her sonlu oyunun bir çözümü vardır - bir denge noktası. Ancak bu konuda daha fazlası henüz gelecek.

Oyunda bir eyer noktasının varlığı kural olmaktan çok uzaktır; daha ziyade istisnadır. Çoğu oyunda eyer noktası yoktur. Ancak her zaman bir eyer noktası olan ve bu nedenle saf stratejilerle çözülen çeşitli oyunlar vardır. Bunlar sözde "tam bilgi içeren oyunlardır". Eksiksiz bilgiye sahip bir oyun, her oyuncunun her kişisel hamlede gelişiminin tüm tarihöncesini bildiği, yani hem kişisel hem de rastgele önceki tüm hamlelerin sonuçlarını bildiği bir oyundur. Eksiksiz bilgi içeren oyunlara örnek olarak dama, satranç, tic-tac-toe vb. gösterilebilir.

Oyun teorisinde, tam bilgiye sahip her oyunun bir eyer noktası olduğu ve dolayısıyla saf stratejilerle çözülebileceği kanıtlanmıştır. Mükemmel bilgiye sahip her oyunda, oyunun fiyatına eşit istikrarlı getiri sağlayan bir çift optimal strateji vardır. Eğer böyle bir oyun yalnızca kişisel hamlelerden oluşuyorsa, o zaman her oyuncu kendi optimal stratejisini uyguladığında, oyun oldukça kesin bir şekilde, oyunun fiyatına eşit bir getiriyle sonuçlanmalıdır. Yani oyunun çözümü bilinirse oyunun kendisi anlamını yitirir!

Tam bilgi içeren bir oyunun temel bir örneğini ele alalım: iki oyuncu, madeni paranın merkezinin konumunu keyfi olarak seçerek, dönüşümlü olarak yuvarlak bir masaya nikel yerleştirir (paraların karşılıklı olarak üst üste gelmesine izin verilmez). Kazanan, son kuruşunu koyan kişidir (başkalarına yer olmadığında). Bu oyunun sonucunun aslında kaçınılmaz bir sonuç olduğunu görmek kolaydır. Parayı ilk koyan oyuncunun kazanmasını sağlayan belli bir strateji vardır.

Yani ilk defa masanın ortasına bir nikel koymalı, ardından rakibin her hamlesine simetrik bir hamle ile karşılık vermelidir. Açıkçası rakip nasıl davranırsa davransın kaybetmekten kurtulamaz. Genel olarak satranç ve tam bilgi içeren oyunlarda durum tamamen aynıdır: matris biçiminde yazılanlardan herhangi birinin bir eyer noktası vardır ve dolayısıyla çözüm saf stratejilerdedir ve bu nedenle yalnızca bu çözüm geçerli olduğu sürece anlamlıdır. bulunamadı. Diyelim ki bir satranç oyunu ya her zaman Beyaz'ın galibiyetiyle ya da her zaman Siyah'ın galibiyetiyle ya da her zaman beraberlikle bitiyor, ama tam olarak ne olduğunu henüz bilmiyoruz (neyse ki satranç severler için). Bir şey daha ekleyelim: öngörülebilir gelecekte bunu pek bilemeyeceğiz, çünkü stratejilerin sayısı o kadar çok ki, oyunu bir matris formuna indirgemek ve içinde bir eyer noktası bulmak (imkansız olmasa da) son derece zor.

Şimdi kendimize, oyunun bir eyer noktası yoksa ne yapacağımızı soralım: Her oyuncu tek bir saf strateji seçmek zorunda kalırsa, o zaman yapacak hiçbir şey kalmaz: minimaks ilkesine göre yönlendirilmeliyiz. Başka bir şey de, stratejilerinizi "karıştırabilirseniz", bunları bazı olasılıklarla rastgele değiştirebilirsiniz. Karma stratejilerin kullanımı şu şekilde tasarlanmıştır: Oyun birçok kez tekrarlanır; Oyunun her oyunundan önce, oyuncuya kişisel bir hamle verildiğinde, seçimini şansa "emanet eder", "kura atar" ve ortaya çıkan stratejiyi alır (önceki bölümden kurayı nasıl organize edeceğimizi zaten biliyorduk) ).

Oyun teorisindeki karma stratejiler, oyuncuların hiçbirinin belirli bir oyunda rakibinin nasıl davranacağını bilmediği, değiştirilebilir, esnek taktiklerin bir modelidir. Bu taktik (genellikle herhangi bir matematiksel gerekçesi olmasa da) genellikle kart oyunlarında kullanılır. Aynı zamanda davranışınızı düşmandan saklamanın en iyi yolunun ona rastgele bir karakter vermek ve dolayısıyla ne yapacağınızı önceden bilmemek olduğunu da belirtelim.

Öyleyse karma stratejilerden bahsedelim. Sırasıyla A ve B oyuncularının karma stratejilerini göstereceğiz

Belirli bir durumda, biri hariç tüm olasılıklar sıfıra eşit olduğunda ve bu da bire eşit olduğunda, karma strateji saf bir stratejiye dönüşür.

Oyun teorisinin temel bir teoremi vardır: herhangi iki oyunculu sonlu sıfır toplamlı oyunun en az bir çözümü vardır - genellikle karışık bir çift optimal strateji ve buna karşılık gelen bir fiyat.

Oyunun çözümünü oluşturan bir çift optimal strateji şu özelliğe sahiptir: eğer oyunculardan biri kendi optimal stratejisine bağlı kalırsa, diğerinin kendi optimal stratejisinden sapması karlı olamaz. Bu strateji çifti oyunda bir tür denge oluşturur: Bir oyuncu getiriyi maksimuma, diğeri ise minimuma çevirmek ister, her biri kendi yönüne çeker ve her ikisinin de makul davranışıyla bir denge ve bir denge oluşur. istikrarlı getiri v belirlendi. O zaman oyun bizim için faydalıysa, eğer düşman içinse; oyun "adil" olduğunda, her iki katılımcı için de eşit derecede faydalıdır.

Eyer noktası olmayan bir oyun örneğini düşünün ve çözümünü (kanıt olmadan) verin. Oyun şu şekildedir: İki oyuncu A ve B aynı anda ve tek bir kelime söylemeden bir, iki veya üç parmağını gösterir. Kazanma, toplam parmak sayısına göre belirlenir: eğer çift ise, A kazanır ve B'den bu sayıya eşit bir miktar alır; tek ise, tam tersine, A, B'ye bu sayıya eşit bir miktar öder. Oyuncular ne yapmalı?

Bir oyun matrisi oluşturalım. Bir oyunda her oyuncunun üç stratejisi vardır: bir, iki veya üç parmağını göster. 3x3 matrisi Tablo 26.5'te verilmiştir; ekstra sağ sütun satır minimumunu gösterir ve ekstra alt satır sütun maksimumunu gösterir.

Oyunun düşük fiyatı stratejiyle tutarlıdır.Bu, makul ve temkinli bir davranışla 3'ten fazla kaybetmeyeceğimizi garanti ettiğimiz anlamına gelir.Küçük bir teselli ama yine de örneğin kazanmaktan daha iyi - 5, bazılarında bulunur matrisin hücreleri. Bu bizim için kötü, oyuncu L... Ama kendimizi teselli edelim: rakibin konumu daha da kötü görünüyor: oyunun fiyatı daha düşük. Makul davranışta bulunursak bize en az 4 verecek.

Sistem yaklaşımı çerçevesinde ele alınan karar verme problemi üç ana bileşeni içermektedir: sistem, kontrol alt sistemi ve içinde tanımlanan çevre. Şimdi sistemin bir değil, her biri kendi hedeflerine ve eylem olasılıklarına sahip olan birkaç kontrol alt sisteminden etkilendiği karar verme problemlerinin incelenmesine dönüyoruz. Karar verme konusundaki bu yaklaşıma oyun teorisi adı verilir ve karşılık gelen etkileşimlerin matematiksel modellerine oyun teorisi denir. oyunlar. Kontrol alt sistemlerinin hedeflerindeki farklılık ve aralarında bilgi alışverişi olasılığına ilişkin belirli kısıtlamalar nedeniyle, bu etkileşimler çatışma niteliğindedir. Bu nedenle her oyun çatışmanın matematiksel bir modelidir. Kendimizi iki kontrol alt sisteminin olduğu durumla sınırlıyoruz. Sistemlerin amaçları zıt ise çatışmaya antagonistik, böyle bir çatışmanın matematiksel modeline ise çatışma denir. düşmanca oyun..

Oyun teorik terminolojisinde 1. kontrol alt sistemine denir oyuncu 1, 2. kontrol alt sistemi - oyuncu 2, setler

alternatif eylemlerine denir strateji setleri bu oyuncular. İzin vermek X- 1. oyuncunun stratejileri seti, e- birçok strateji

oyuncu 2. Sistemin durumu, alt sistemler 1 ve 2'nin kontrol eylemlerinin seçimi, yani stratejilerin seçimi ile benzersiz bir şekilde belirlenir.

X∈X Ve sen∈e. İzin vermek F(X,sen) - o eyaletteki 1. oyuncu için fayda tahmini

Oyuncu 1 bir strateji seçtiğinde geçtiği sistem X Ve

oyuncu 2 stratejisi en. Sayı F(X,sen) denir kazanan durumdaki oyuncu 1 ( X,sen) ve fonksiyon F- oyuncu 1 ödeme fonksiyonu. Oyuncu galibiyeti

1 aynı zamanda oyuncu 2'nin kaybıdır, yani ilk oyuncunun artırmaya, ikincisinin ise düşürmeye çalıştığı değerdir. İşte bu

çatışmanın düşmanca doğasının tezahürü: oyuncuların çıkarları tamamen zıttır (biri kazanırsa diğeri kaybeder).

Düşmanca bir oyun doğal olarak sistem tarafından kurulur g=(X,Y,F).

Resmî olarak düşmanca oyunun aslında belirsizlik altında karar verme problemiyle aynı şekilde kurulduğuna dikkat edin.

Kontrol alt sistemi 2'yi çevreyle tanımlayın. Kontrol alt sistemi ile çevre arasındaki temel fark şudur:

İlkinin davranışı amaçlıdır. Gerçek bir çatışmanın matematiksel modelini derlerken, çevreyi bir düşman olarak görmek için bir nedenimiz (veya niyetimiz) varsa, bunun amacı

Bize maksimum zarar verirse, böyle bir durum düşmanca bir oyun olarak temsil edilebilir. Başka bir deyişle, düşmanca oyun, belirsizlik koşulları altında ZPR'nin aşırı bir örneği olarak yorumlanabilir,

çevrenin hedefi olan bir düşman olarak görülmesiyle karakterize edilir. Aynı zamanda çevrenin davranışına ilişkin hipotez türlerini de sınırlandırmalıyız.

Burada en çok kanıtlanan şey, bir karar verirken çevrede hareket etmek için mümkün olan en kötü senaryoya güvendiğimizde aşırı dikkatli olma hipotezidir.

Tanım. Eğer X Ve e sonluysa, bu durumda antagonistik oyuna matris denir. Matris oyununda şunu varsayabiliriz: X={1,…,N},

e={1,…,M) ve koy aij=F(ben, j). Böylece matris oyunu tamamen matris tarafından belirlenir. bir=(aij), Ben=1,…,n, j=1,…,M.

Örnek 3.1. İki parmakla oyun.

İki kişi aynı anda bir veya iki parmağını gösterir ve konuşmacıya göre sayı anlamına gelen 1 veya 2 sayısını söyler.

başkalarına gösterilen parmaklar. Parmaklar gösterilip sayılar adlandırıldıktan sonra kazançlar aşağıdaki kurallara göre dağıtılır:

eğer her ikisi de rakibinin kaç parmağını gösterdiğini tahmin ederse veya her ikisi de tahmin etmezse, her birinin getirisi sıfıra eşittir; Yalnızca biri doğru tahmin ederse, rakip tahminciye gösterilen toplam sayıyla orantılı para miktarını öder.

Bu, düşmanca bir matris oyunudur. Her oyuncunun dört stratejisi vardır: 1- 1 parmağı gösterip 1 demek, 2- 1 parmağı gösterip 2 demek, 3-

2 parmağınızı gösterip 1 deyin, 4 - 2 parmağınızı gösterip 2 deyin. Sonra getiri matrisi A=(aij), i= 1,…, 4, j= 1,…, 4 şu şekilde tanımlanır:

a12= 2, a21 = – 2, a13=a42=–3, a24=a31= 3, a34 = – 4, a43= 4,aij= 0 aksi takdirde.

Örnek 3.2. Ayrık düello tipi oyun.

Düello tipi görevler, örneğin iki oyuncunun mücadelesini anlatır.

her biri tek seferlik bir eylem (bir mal sevkiyatının piyasaya sürülmesi, açık artırmada satın alma başvurusu) gerçekleştirmek istiyor ve bunun için bir zaman seçiyor. Oyuncuların birbirlerine doğru ilerlemesine izin verin N adımlar. Atılan her adımdan sonra oyuncu rakibe ateş edebilir veya etmeyebilir. Her kişi yalnızca bir atış hakkına sahiptir. İlerlerseniz düşmanı vurma ihtimalinin olduğuna inanılıyor k n =5 formu vardır

İyi çalışmanızı bilgi tabanına göndermek basittir. Aşağıdaki formu kullanın

Bilgi tabanını çalışmalarında ve çalışmalarında kullanan öğrenciler, lisansüstü öğrenciler, genç bilim insanları size çok minnettar olacaklardır.

giriiş

1. Teorik kısım

1.3 Oyun sırası 2v2

1.4 Cebirsel yöntem

1.5 Grafiksel yöntem

1.6 Oyunlar 2xn veya mx2

1.7 Oyunları matris yöntemiyle çözme

2. Pratik kısım

2.2 2xn ve mx2 oyunları

2.3 Matris yöntemi

2.4 Kahverengi yöntem

Sonuçların analizi

giriiş

Antagonistik oyun sıfır toplamlı bir oyundur. Antagonistik oyun, getirileri zıt olan iki oyuncunun katıldığı, işbirlikçi olmayan bir oyundur.

Resmi olarak, düşmanca bir oyun üçlü bir oyunla temsil edilebilir. burada X ve Y sırasıyla birinci ve ikinci oyuncuların strateji kümeleridir; F, her bir strateji çiftini (x, y) ilişkilendiren birinci oyuncunun kazanç fonksiyonudur; burada faydaya karşılık gelen gerçek bir sayıdır. bu durumu fark eden ilk oyuncu.

Oyuncuların çıkarları zıt olduğundan F fonksiyonu aynı anda ikinci oyuncunun kaybını temsil eder.

Tarihsel olarak, düşmanca oyunlar, kumarın tanımlandığı oyun teorisinin matematiksel modellerinin birinci sınıfıdır. Bu araştırma konusu sayesinde oyun teorisinin adını aldığına inanılıyor. Şu anda, düşmanca oyunlar, işbirlikçi olmayan oyunların daha geniş bir sınıfının parçası olarak kabul edilmektedir.

1. Teorik kısım

1.1 Oyunun temel tanımları ve hükümleri

Oyun, oyuna katılanların sayısını, olası eylemlerini ve davranışlarına ve sonuçlarına bağlı olarak kazançların dağıtımını belirleyen bir kurallar sistemi ile karakterize edilir. Bir oyuncu, oyundaki diğer grupların çıkarlarıyla örtüşmeyen bazı ortak çıkarları olan bir katılımcı veya bir grup katılımcı olarak kabul edilir. Bu nedenle her katılımcı oyuncu sayılmaz.

Oyunun kuralları veya koşulları, oyunun gelişiminin herhangi bir aşamasında oyuncuların olası davranışlarını, seçimlerini ve hamlelerini belirler. Oyuncu için bir seçim yapmak, onun davranış olasılıklarından birinde durmak anlamına gelir. Oyuncu daha sonra bu seçimi hamlelerle yapar. Hamle yapmak, oyunun belirli bir aşamasında, oyun kurallarının sağladığı olanaklara bağlı olarak seçimin tamamını veya bir kısmını aynı anda yapmak anlamına gelir. Oyunun belirli bir aşamasında her oyuncu yaptığı seçime göre bir hamle yapar. İlk oyuncunun seçimini bilen veya bilmeyen diğer oyuncu da bir hamle yapar. Oyunun kuralları böyle bir olasılığa izin veriyorsa, oyuncuların her biri oyunun geçmiş gelişimi hakkındaki bilgileri dikkate almaya çalışır.

Oyunun sonucunda gelişen duruma bağlı olarak oyuncuya her hamlede hangi seçimi yapması gerektiğini açıkça söyleyen bir dizi kurala oyuncunun stratejisi denir. Oyun teorisinde strateji, oyuncu için oyunun gelişiminin tüm olası durumlarında nasıl davranması gerektiğini gösteren belirli bir tam eylem planı anlamına gelir. Strateji, oyunun gelişiminin herhangi bir aşamasında oyuncunun kullanabileceği herhangi bir bilgi durumuna ilişkin tüm göstergelerin toplamı anlamına gelir. Bu zaten stratejilerin iyi ve kötü, başarılı ve başarısız vb. olabileceğini gösteriyor.

Her bir oyundaki tüm oyuncuların getirilerinin toplamı sıfır olduğunda sıfır toplamlı bir oyun olacaktır; yani sıfır toplamlı bir oyunda, tüm oyuncuların toplam sermayesi değişmez ancak oyuncular arasında yeniden dağıtılır. Ortaya çıkan sonuçlara bağlı olarak. Bu nedenle birçok ekonomik ve askeri durum sıfır toplamlı oyunlar olarak görülebilir.

Özellikle, iki oyuncunun sıfır toplamlı oyununa, oyuncuların hedefleri doğrudan zıt olduğu için, düşmanlık denir: bir oyuncunun kazancı yalnızca diğerinin kaybı pahasına gerçekleşir.

1.1.1 Saf stratejilerde matris oyunlarının tanımı, örnekleri ve çözümleri

İki oyunculu sıfır toplamlı matris oyunu, aşağıdaki soyut iki oyunculu oyun olarak görülebilir.

İlk oyuncunun m stratejisi i =1, 2,…, m, ikinci oyuncunun n stratejisi vardır j = 1, 2,…, n. Her bir strateji çiftine (i, j), bir ij numarası atanır ve bu sayı şu şekilde ifade edilir: İlk oyuncunun i'inci stratejisini uygulaması durumunda birinci oyuncunun kazancı ikinci oyuncuya, ikincisi ise j'inci stratejisine göre elde edilir.

Oyuncuların her biri bir hamle yapar: İlk oyuncu i'inci stratejisini seçer (i = 1, 2,…, m), ikinci oyuncu j'inci stratejisini seçer (j = 1, 2,…, n), bundan sonra ilk oyuncu ikinci oyuncunun zararına a ij getirisi alır (eğer a ij ise)< 0, то это значит, что первый игрок платит второму сумму a ij). На этом игра заканчивается.

Oyuncunun her stratejisi i = 1, 2,…, t; j = 1, 2,…, n genellikle saf strateji olarak adlandırılır.

İki oyuncunun sıfır toplamlı matris oyununa basitçe matris oyunu adı verilecektir. Açıkçası, matris oyunu antagonistik oyunlara aittir. Tanımından, bir matris oyununu tanımlamak için, ilk oyuncunun getirilerinin m mertebesinde bir A = (a ij) matrisini belirtmenin yeterli olduğu sonucu çıkar.

Getiri matrisi dikkate alındığında

daha sonra matris oyununun her oyununun matris A ile yürütülmesi, birinci oyuncu tarafından i'inci satırın ve ikinci oyuncu ve birinci oyuncunun (ikinci oyuncu pahasına) j'inci sütunun seçimine indirgenir. ) i'inci satır ve j-sütununun kesişimindeki A matrisinde yer alan getiriyi almak.

Gerçek bir çatışma durumunu bir matris oyunu biçiminde resmileştirmek için, her oyuncunun saf stratejilerini tanımlayıp yeniden numaralandırmak ve bir kazanç matrisi derlemek gerekir.

Bir sonraki adım, oyuncuların optimal stratejilerini ve getirilerini belirlemektir.

Oyunların incelenmesindeki en önemli şey, oyuncular için en uygun strateji kavramıdır. Bu kavram sezgisel olarak şu anlama gelir: Bir oyuncunun stratejisi, eğer bu stratejinin uygulanması ona diğer oyuncunun tüm olası stratejileri için en yüksek garantili getiriyi sağlıyorsa optimaldir. Bu pozisyonlara dayanarak, ilk oyuncu kendi getirilerinin A matrisini formül (1.1)'e göre aşağıdaki şekilde inceler: her i değeri için (i = 1, 2, ..., m), minimum getiri değeri buna bağlı olarak belirlenir. ikinci oyuncunun kullandığı stratejiler hakkında

(i = 1, 2,..., m) (1,2)

yani, ilk oyuncunun i'inci saf stratejisini uygulaması koşuluyla minimum getirisi belirlenir, daha sonra bu minimum getirilerden, bu minimum getirinin maksimum olacağı bir i=i 0 stratejisi bulunur, yani bulunur.

Tanım. Formül (1.3) ile belirlenen b sayısına oyunun en düşük net maliyeti denir ve birinci oyuncunun, ikinci oyuncunun tüm olası eylemleri için saf stratejilerini uygulayarak kendisine garanti edebileceği minimum getiriyi gösterir.

İkinci oyuncu, optimal davranışıyla, eğer mümkünse, stratejileri pahasına birinci oyuncunun getirisini en aza indirmeye çalışmalıdır. Bu nedenle ikinci oyuncu için şunu buluruz:

yani, ikinci oyuncunun j'inci saf stratejisini uygulaması koşuluyla, birinci oyuncunun maksimum getirisi belirlenir, daha sonra ikinci oyuncu, birinci oyuncunun minimum getiriyi alacağı j = j 1 stratejisini bulur, yani şunu bulur:

Tanım. Formül (1.5) ile belirlenen β sayısına oyunun net üst maliyeti denir ve ilk oyuncunun stratejileri nedeniyle kendine garanti edebileceği maksimum kazancı gösterir. Başka bir deyişle, birinci oyuncu saf stratejilerini uygulayarak en az b tutarında bir getiri elde edebilir, ikinci oyuncu ise saf stratejilerini uygulayarak birinci oyuncunun c'den daha fazla kazanmasını engelleyebilir.

Tanım. A matrisli bir oyunda oyunun alt ve üst net fiyatları çakışıyorsa, yani b = c ise, o zaman bu oyunun saf stratejilerde bir eyer noktasına ve net oyun fiyatına sahip olduğu söylenir:

n = b = c (1,6)

Eyer noktası, eşitliğin sağlandığı, sırasıyla birinci ve ikinci oyuncuların bir çift saf stratejisidir ()

Eyer noktası kavramı şu anlama gelir: Eğer oyunculardan biri eyer noktasına karşılık gelen stratejiye bağlı kalırsa, diğer oyuncu eyer noktasına karşılık gelen stratejiye bağlı kalmaktan daha iyisini yapamaz. Oyuncunun en iyi davranışının getirisinde bir azalmaya yol açmaması gerektiği, en kötü davranışının ise getirisinde bir azalmaya yol açabileceği akılda tutulursa, bu koşullar matematiksel olarak aşağıdaki ilişkiler şeklinde yazılabilir:

burada i, j sırasıyla birinci ve ikinci oyuncuların herhangi bir saf stratejisidir; (i 0 , j 0) -- eyer noktası oluşturan stratejiler. Aşağıda bir eyer noktası tanımının koşullara (1.8) eşdeğer olduğunu göstereceğiz.

Dolayısıyla (1.8)'e göre eyer elemanı A matrisinin i 0'ıncı satırındaki minimum ve j 0'ıncı sütunundaki maksimumdur. A matrisinin eyer noktasını bulmak kolaydır: matriste A, her satırda sırasıyla minimum elemanı bulun ve bu elemanın kendi sütununda maksimum olup olmadığını kontrol edin. Eğer böyleyse o zaman bir eyer elemanıdır ve ona karşılık gelen strateji çifti bir eyer noktası oluşturur. Birinci ve ikinci oyuncuların bir eyer noktası ve bir eyer elemanı oluşturan bir çift saf stratejisine (i 0, j 0) oyunun çözümü denir.

Bir eyer noktası oluşturan i 0 ve j 0 saf stratejilerine sırasıyla birinci ve ikinci oyuncuların optimal saf stratejileri denir.

Teorem 1. f (x, y) iki değişken x A ve y B'nin gerçek bir fonksiyonu olsun ve var olsun

o zaman b = c.

Kanıt. Minimum ve maksimum tanımından şu sonuç çıkar:

(1.11) denkleminin sol tarafında x keyfi olduğundan, o zaman

Eşitsizliğin (1.12) sağ tarafında, y keyfidir, dolayısıyla

Q.E.D.

Özellikle, matris () f (x, y) fonksiyonunun özel bir durumudur, yani x = i, y = j, = f (x, y) koyarsak, o zaman Teorem 1'den daha düşük olanı elde ederiz. Matrix oyununda net fiyat oyunun üst net değerini aşamaz.

Tanım. f(x, y), x A ve y B olmak üzere iki değişkenin gerçel bir fonksiyonu olsun. Aşağıdaki eşitsizlikler sağlanırsa, bir (x 0, y 0) noktasına f (x, y) fonksiyonu için eyer noktası denir:

f (x, y 0) f (x 0, y 0) f (x 0, y) (1.14)

herhangi bir x A ve y B için.

1.2 Optimal karma stratejiler ve özellikleri

Bir matris oyununun incelenmesi saf stratejilerdeki eyer noktasını bulmakla başlar. Bir matris oyununun saf stratejilerde bir eyer noktası varsa, bu noktayı bulmak oyunun çalışmasını bitirir. Eğer matris oyununda saf stratejilerde eyer noktası yoksa, o zaman bu oyunun alt ve üst saf fiyatlarını bulabiliriz, bu da ilk oyuncunun oyunun üst fiyatından daha yüksek bir getiri ummaması gerektiğini gösterir ve Oyunun düşük fiyatından daha az olmayan bir kazanç alacağınızdan emin olabilirsiniz. Saf stratejilerde eyer noktası olmayan bir matris oyununda oyuncuların davranışlarına ilişkin bu tür öneriler araştırmacıları ve uygulayıcıları tatmin etmemektedir. Saf stratejilerin uygulanmasının gizliliğinin kullanılmasında ve oyunların partiler halinde tekrar tekrar tekrarlanma ihtimalinde matris oyunlarının çözümünde bir iyileştirme aranmalıdır. Örneğin, bir dizi satranç, dama, futbol oyunu oynanır ve oyuncular her seferinde stratejilerini rakiplerinin içeriklerinin farkında olmayacak şekilde uygularlar ve yol boyunca ortalama olarak belirli getiriler elde ederler. tüm oyun serilerini oynayarak. Bu getiriler ortalama olarak oyunun alt fiyatından daha fazla ve üst fiyatından daha azdır. Bu ortalama değer ne kadar büyük olursa oyuncunun kullandığı strateji de o kadar iyi olur. Bu nedenle, saf stratejilerin belirli bir olasılıkla rastgele uygulanması fikri ortaya çıktı. Bu, kullanımlarının gizliliğini tamamen sağlar. Her oyuncu kendi saf stratejilerini uygulama olasılığını, ortalama getirisini maksimuma çıkaracak ve yol boyunca en uygun stratejileri elde edecek şekilde değiştirebilir. Bu fikir karma strateji kavramına yol açtı.

Tanım. Bir oyuncunun karma stratejisi, onun saf stratejilerini uygulama olasılıklarının tam kümesidir.

Dolayısıyla, eğer ilk oyuncunun m saf stratejisi 1, 2, … i, … m varsa, o zaman onun karma stratejisi x, tatmin edici bir x = (x 1, x 2, ..., x i,…, x t) sayıları kümesidir. ilişkiler

x ben 0 (i = 1, 2, ... , m), = 1. (1,15)

Benzer şekilde, n saf stratejisi olan ikinci oyuncu için, karma strateji y, ilişkileri sağlayan y = (y 1,…, y j, … y n) sayıları kümesidir.

y j 0 (j = 1, 2, ... , n), = 1. (1,16)

Bir oyuncunun her defasında bir saf stratejiyi kullanması diğerinin kullanımını engellediğinden, saf stratejiler uyumsuz olaylardır. Ayrıca bunlar mümkün olan tek olaylardır.

Açıkçası saf strateji, karma stratejinin özel bir durumudur. Aslında, eğer bir karma stratejide herhangi bir i-inci saf strateji bir olasılıkla uygulanırsa, o zaman diğer tüm saf stratejiler uygulanmaz. Ve bu i'inci saf strateji, karma stratejinin özel bir durumudur. Gizliliği korumak için her oyuncu, diğer oyuncunun seçimine bakılmaksızın kendi stratejilerini uygular.

Tanım. Matris A ile matris oyunundaki ilk oyuncunun ortalama getirisi, getirilerinin matematiksel beklentisi olarak ifade edilir.

E(A,x,y) = (1,20)

Açıkçası, ilk oyuncunun ortalama kazancı x ve y değişkenlerinin iki kümesinin bir fonksiyonudur. İlk oyuncu, karma stratejileri x'i değiştirerek ortalama getirisini E (A, x, y) maksimuma çıkarmayı hedefler ve ikinci oyuncu, karma stratejileri aracılığıyla E (A, x, y)'yi minimum hale getirmeye çalışır, yani e. Oyunu çözmek için oyunun üst fiyatına ulaşılan x, y'yi bulmak gerekir.

1.3 Sipariş 22 oyunu

22. mertebeden bir matris oyunu, ilk oyuncu için aşağıdaki kazanç matrisiyle verilir:

Bu oyunun çözümü saf stratejilerde bir eyer noktası bulmakla başlamalıdır. Bunun için ilk satırdaki minimum elemanı bulun ve sütununda maksimum olup olmadığını kontrol edin. Böyle bir eleman bulunamazsa ikinci satır da aynı şekilde kontrol edilir. Eğer ikinci satırda böyle bir eleman bulunuyorsa bu bir eyer elemanıdır.

Bir eyer elemanı bularak, eğer varsa, çözümünü bulma süreci sona erer, çünkü bu durumda oyunun fiyatı bulunur - bir eyer elemanı ve bir eyer noktası, yani birinci ve ikinci için bir çift saf strateji Optimum saf stratejiler oluşturan oyuncular. Saf stratejilerde eyer noktası yoksa, matris oyunlarının ana teoremine göre mutlaka var olan karma stratejilerde bir eyer noktası bulmak gerekir.

Birinci ve ikinci oyuncuların karma stratejilerini sırasıyla x=(x 1 ,x 2), y=(y 1 ,y 2) ile belirtin. X 1'in ilk oyuncunun ilk stratejisini kullanma olasılığı anlamına geldiğini ve x 2 \u003d 1 - x 1'in ikinci stratejisini kullanma olasılığı anlamına geldiğini hatırlayın. Benzer şekilde ikinci oyuncu için: 1 - ilk stratejiyi kullanma olasılığı, y 2 = 1 - 1 - ikinci stratejiyi kullanma olasılığı.

Teoremin sonucuna göre, x ve y karma stratejilerinin optimalliği için, negatif olmayan x 1 , x 2 , y 1 , y 2 için aşağıdaki ilişkilerin geçerli olması gerekli ve yeterlidir:

Şimdi saf stratejilerde matris oyununun eyer noktası yoksa bu eşitsizliklerin eşitliğe dönüşmesi gerektiğini gösterelim:

Aslında. Saf stratejilerde oyunun eyer noktası olmamasına izin verin, o zaman karma stratejilerin optimal değerleri eşitsizlikleri karşılar

0<<1, 0<< 1,

0< <1, 01. (1.25)

(1.22)'deki her iki eşitsizliğin de katı olduğunu varsayalım.

bu durumda teoreme göre y 1 = y 2 = 0 olur, bu da (1.25) koşullarıyla çelişir.

Benzer şekilde (1.23)'teki her iki eşitsizliğin de tam eşitsizlikler olamayacağı kanıtlanmıştır.

Şimdi eşitsizliklerden birinin (1.22) katı olabileceğini varsayalım; örneğin ilki.

Bu, y 1 = 0 teoremine göre y 2 =1 anlamına gelir. Bu nedenle (1.23)'ten şunu elde ederiz:

Her iki eşitsizlik de (1.24) katı ise, o zaman x 1 = x 2 = 0 teoremine göre, bu da (1.25) ile çelişir. Ancak a 12 a 22 ise, o zaman eşitsizliklerden biri (1.27) katı, diğeri ise eşitliktir. Üstelik eşitlik, a 12 ve a 22'den daha büyük olan eleman için geçerli olacaktır, yani (1.27)'deki eşitsizliklerden biri kesin olmalıdır. Örneğin bir 12< а 22 . Тогда справедливо а 12 < v, а это равносильно тому, что первое неравенство из (1.24) строгое. Тогда согласно теореме должно х 1 = 0, что противоречит условию (1.25). Если а 12 = а 22 , то оба неравенства (1.27) превращаются в равенства и тогда можно положить х 1 = 0, что противоречит (1.25). Итак, предположение о том, что первое неравенство из (1.22) может быть строгим, не справедливо. Аналогично можно показать, что второе неравенство из (1.22) также не может быть строгим.

Böylece, saf stratejilerde matris oyununun eyer noktası yoksa, eşitsizliklerin (1.22) birinci oyuncunun optimal stratejileri için eşitliğe dönüştüğü gösterilmiştir. Eşitsizlikler (1.23) ile ilgili benzer argümanlar, bu durumda eşitsizliklerin (1.23) eşitlik olması gerektiği gerçeğine yol açacaktır.

Yani, eğer 22. mertebeden bir matris oyununun eyer noktası yoksa, o zaman oyuncuların optimal karma stratejileri ve oyunun fiyatı denklem sisteminin (1.24) çözülmesiyle belirlenebilir. Ayrıca, 2x2'lik bir matris oyununda oyunculardan birinin optimal saf stratejisi varsa diğer oyuncunun da optimal saf stratejisinin olduğu tespit edilmiştir.

Dolayısıyla bir matris oyununun saf stratejilerde bir eyer noktası yoksa, karma stratejilerde (1.24) denklemlerinden belirlenen bir çözümü olması gerekir. Sistem çözümü (1.25)

1.4 Cebirsel yöntem

Cebirsel yöntemle problemleri çözmek için iki durum vardır:

1. Matrisin bir eyer noktası vardır;

2. Matrisin bir eyer noktası yoktur.

İlk durumda çözüm, oyunun eyer noktasını oluşturan bir çift stratejidir. İkinci durumu ele alalım. Buradaki çözümler karma stratejilerde aranmalıdır:

Stratejileri bulun ve İlk oyuncu kendi optimal stratejisini kullandığında, ikinci oyuncu örneğin iki saf stratejiyi uygulayabilir.

Aynı zamanda, özellik nedeniyle, eğer oyunculardan biri optimal karma stratejiyi kullanıyorsa ve diğeri - herhangi bir saf, kendi optimal karma stratejisine sıfır olmayan bir olasılıkla dahil edilmişse, o zaman getiriye ilişkin matematiksel beklenti her zaman değişmeden kalır ve oyunun fiyatına eşit kalır;

Bu durumların her birinde getiri, V oyununun değerine eşit olmalıdır. Bu durumda aşağıdaki ilişkiler geçerlidir:

İkinci oyuncunun optimal stratejisi için (2.5), (2.6)'ya benzer bir denklem sistemi de oluşturulabilir:

Normalleştirme koşulu dikkate alındığında:

(1.37) - (1.41) denklemini bilinmeyenlere göre birlikte çözelim ve hepsi birden değil, üçer birer: ayrı ayrı (1.36), (1.38), (1.40) ve (1.37), (1.39) , (1.41). Çözümün sonucunda şunu elde ederiz:

1.5 Grafiksel yöntem

Oyunun 22 yaklaşık çözümü, grafik yöntemi kullanılarak oldukça kolay bir şekilde elde edilebilir. Özü aşağıdaki gibidir:

Şekil 1.1 - birim uzunlukta bir kesitin bulunması

Apsis ekseninde birim uzunlukta bir bölüm seçin. Sol ucu ilk oyuncunun ilk stratejisini, sağ ucu ise ikinci oyuncunun stratejisini gösterecektir. Tüm ara noktalar, ilk oyuncunun karma stratejilerine karşılık gelir ve noktanın sağındaki bölümün uzunluğu, ilk stratejiyi kullanma olasılığına eşittir ve soldaki bölümün uzunluğu, kullanma olasılığıdır. birinci oyuncunun ikinci stratejisi.

İki eksen I-I ve II-II gerçekleştirilir. I-I'de, ilk oyuncu ilk stratejiyi kullandığında, II-II'de ise ikinci stratejiyi kullandığında getiriyi erteleyeceğiz. Örneğin, ikinci oyuncunun ilk stratejisini uyguladığını varsayalım, o zaman değer I-I eksenine ve değer II-II eksenine çizilmelidir.

İlk oyuncunun herhangi bir karma stratejisi için getirisi segmentin büyüklüğüne göre belirlenecektir. Satır I-I, birinci stratejinin ikinci oyuncu tarafından uygulanmasına karşılık gelir, buna ikinci oyuncunun ilk stratejisi diyeceğiz. İkinci oyuncunun ikinci stratejisi de benzer şekilde oluşturulabilir. Daha sonra genel olarak oyun matrisinin grafiksel gösterimi aşağıdaki formu alacaktır:

Şekil 1.2 - Oyunun fiyatını bulma

Ancak bu yapının ilk oyuncu için yapıldığını da belirtelim. Burada segmentin uzunluğu V oyununun değerine eşittir.

1N2 çizgisine alt kazanç çizgisi denir. Burada N noktasının ilk oyuncunun garanti edilen getirisinin maksimum değerine karşılık geldiği açıkça görülmektedir.

Genel olarak konuşursak, ikinci oyuncunun stratejisi de bu rakamdan örneğin şu şekillerde belirlenebilir. I-I ekseninde:

veya II-II ekseninde

Ancak ikinci oyuncunun stratejisi de birinci oyuncu için yapıldığı gibi tanımlanabilir. böyle bir grafik oluşturun.

Şekil 1.3 - İkinci oyuncunun stratejisinin tanımı

Burada 1N2 çizgisi kaybın üst sınırıdır. N noktası ikinci oyuncunun mümkün olan minimum kaybına karşılık gelir ve stratejiyi belirler.

Katsayıların belirli değerlerine bağlı olarak grafik matrisleri, örneğin aşağıdaki gibi farklı bir forma da sahip olabilir:

Şekil 1.4 - İlk oyuncunun optimal stratejisini belirler

Böyle bir durumda ilk oyuncunun optimal stratejisi saftır:

1.6 Oyunlar 2n veya m2

2n dereceli oyunlarda, birinci oyuncunun 2 saf stratejisi, ikinci oyuncunun ise n saf stratejisi vardır; İlk oyuncunun kazanç matrisi:

Böyle bir oyunun bir eyer noktası varsa onu bulmak ve çözüm elde etmek kolaydır.

Oyunun eyer noktaları olduğunu varsayalım. Daha sonra bu tür karışık stratejileri ve sırasıyla birinci ve ikinci oyuncuları ve oyunun fiyatını v ilişkilerini karşılayan bulmak gerekir:

Oyunda eyer noktası olmadığından (1.54) eşitsizliğinin yerini eşitsizlikler alır.

(1.56), (1.55), (1.53) sistemlerini çözmek için grafik yönteminin kullanılması uygundur. Bu amaçla eşitsizliğin sol tarafı için (1.53) gösterimini tanıtıyoruz.

matris oyunu matematiksel modeli

veya (1.55)'ten ayarlayıp basit dönüşümler uygulayarak şunu elde ederiz:

karma stratejisini kullanması koşuluyla ilk oyuncunun ve j'inci saf stratejisini kullanması koşuluyla ikinci oyuncunun ortalama getirisi nerede?

İfadeye göre her j=1, 2, …, n değeri dikdörtgen koordinat sisteminde bir doğruya karşılık gelir.

İkinci oyuncunun amacı stratejilerini seçerek birinci oyuncunun kazancını en aza indirmektir. Bu nedenle hesaplıyoruz

kısıtlama kümesinin alt sınırı nerede. Şekil 1.6'da fonksiyonun grafiği kalın çizgiyle gösterilmiştir.

http://www.allbest.ru/ adresinde barındırılmaktadır.

Şekil 1.6 - fonksiyon grafiği

İlk oyuncunun amacı seçim yoluyla kazancını maksimuma çıkarmaktır, yani. hesaplamak

Şekil 1.6'da nokta, elde edilen maksimum değeri ifade etmektedir. Oyunun fiyatı, çünkü:

Böylece, birinci oyuncunun optimal karma stratejisi ve ikinci oyuncunun bir çift saf stratejisi, kesişme noktasında bir nokta oluşturan grafiksel olarak belirlenir Şekil 1.6, ikinci oyuncunun 2. ve 3. stratejilerini göstermektedir. Bu tür stratejiler için eşitsizlikler (1.53) eşitliğe dönüşür. Şekil 1.6'da bunlar j=2, j=3 stratejileridir.

Artık denklem sistemini çözebiliriz

ve değerlerini kesin olarak belirleyin (grafiksel olarak yaklaşık olarak belirlenirler). Daha sonra tüm değerleri bir nokta oluşturmadıkları j'ye koyarak denklem sistemini çözeriz (1.56). Şekil 1.6'da gösterilen örnek için bu aşağıdaki sistemdir:

ve geri kalanı Bu sistem eğim vererek çözülebilir. Eğer bazı j=j 0 için ikinci oyuncunun stratejileri bir M 0 noktası oluşturuyorsa ve bu durumda kısıtlama setlerinin alt sınırının maksimum değeri buna paralel bir parça ile temsil edilir. eksen Bu durumda ilk oyuncunun sonsuz sayıda optimal değeri vardır ve oyunun fiyatı Şekil 1.7'de gösterilen bu durumda MN segmenti üst limiti temsil eder, optimal değerler limitler dahilindedir. ikinci oyuncunun saf optimal stratejisi j=j 0'dır.

m2 mertebesindeki matris oyunları da grafiksel yöntem kullanılarak çözülür. Bu durumda ilk oyuncunun kazanç matrisi şu şekildedir:

Sırasıyla birinci ve ikinci oyuncuların karma stratejileri, 2n mertebesindeki oyunlarda olduğu gibi tanımlanır. 0'dan 1'e kadar olan değer yatay eksen boyunca çizilsin, ilk oyuncunun kendi saf i'inci stratejisini (i=1, 2, ..., m), ikincisi - onun karma stratejisi (y 1 , 1- y 1) =y. Örneğin grafiksel olarak m=4 olduğunda) Şekil 1.7'deki gibi gösterilebilir.

Şekil 1.7 - fonksiyon grafiği)

İlk oyuncu ortalama getirisini maksimuma çıkarmaya çalışır, bu yüzden bulmaya çalışır.

Fonksiyon kalın bir çizgiyle gösterilir ve kısıtlama kümesinin üst sınırını temsil eder. İkinci oyuncu kendi stratejisini seçerek küçültmeye çalışır; değer karşılık gelir

Şekilde değer nokta ile gösterilmiştir. Başka bir deyişle, birinci oyuncunun bu iki stratejisi ve ikinci oyuncunun olasılığı tanımlanır ve bunlarda eşitlik sağlanır

Şekilden oyunun fiyatının noktanın ordinatı olduğunu, olasılığın ise noktanın apsisi olduğunu görüyoruz. Geriye kalan saf stratejiler için ilk oyuncunun optimal karma stratejide olması gerekir ().

Böylece (1.69) sistemini çözerek ikinci oyuncunun optimal stratejisini ve oyunun değerini elde ederiz. Aşağıdaki denklem sistemini çözerek ilk oyuncu için en uygun karma stratejiyi buluyoruz:

1.7 Oyunları çözmek için matris yöntemi

Tanımlar:

Sıra matrisinin herhangi bir kare alt matrisi

Matris (1);

Matrisin aktarımı;

B'ye eklenen matris;

- (1) alındığında silinen satırlara karşılık gelen elemanların silinmesiyle X'ten elde edilen bir matris;

- (1) Alındığında silinen satırlara karşılık gelen elemanların silinmesinden elde edilen bir matris.

Algoritma:

1. Sıra matrisinin () kare alt matrisini seçin ve hesaplayın

2. Eğer veya ise, bulunan matrisi atın ve başka bir matris deneyin.

3. Eğer (), (), X'i hesaplar ve oluştururuz ve uygun yerlere sıfır ekleriz.

Eşitsizliklerin sağlanıp sağlanmadığının kontrol edilmesi

her biri için (1,75)

ve eşitsizlikler

her biri için (1,76)

Oranlardan biri karşılanmazsa diğerini deneriz. Tüm ilişkiler geçerliyse, o zaman X ve istenen çözümler.

1.8 Oyunun fiyatına ardışık yaklaşım yöntemi

Oyun durumlarının incelenmesinde, genellikle oyuna kesin bir çözüm elde etmenin gerekli olmadığı veya bazı nedenlerden dolayı oyun maliyetinin ve optimal karma stratejilerin tam değerini bulmanın imkansız veya çok zor olduğu durumlar ortaya çıkabilir. Daha sonra matris oyununu çözmek için yaklaşık yöntemleri kullanabilirsiniz.

Bu yöntemlerden birini, yani oyun fiyatının ardışık olarak tahmin edilmesi yöntemini tanımlayalım. Yöntem kullanılarak hesaplanan getirilerin sayısı, yaklaşık olarak getiri matrisinin satır ve sütun sayısıyla orantılı olarak artar.

Yöntemin özü şu şekildedir: Zihinsel olarak oyun birçok kez oynanır, yani. Sırayla, her oyun oyununda oyuncu kendisine en büyük genel (toplam) getiriyi sağlayacak stratejiyi seçer.

Bazı oyunlarda böyle bir uygulama yapıldıktan sonra, birinci oyuncunun kazancı ve ikinci oyuncunun kaybının ortalama değeri hesaplanır ve bunların aritmetik ortalaması, oyun fiyatının yaklaşık değeri olarak alınır. Yöntem, her iki oyuncunun optimal karma stratejilerinin yaklaşık değerini bulmayı mümkün kılar: her bir saf stratejinin uygulama sıklığını hesaplamak ve bunu karşılık gelen oyuncunun optimal karma stratejisinde yaklaşık bir değer olarak almak gerekir.

Programlı oyun sayısının sınırsız artmasıyla birinci oyuncunun ortalama kazancının ve ikinci oyuncunun ortalama kaybının süresiz olarak oyunun fiyatına yaklaşacağı ve karma stratejilerin yaklaşık değerlerinin Oyunun çözümünün benzersiz olduğu durum, her oyuncunun optimal karma stratejilerine yönelecektir. Genel anlamda belirtilen değerlerin üzerindeki değerlerin gerçek değerlere yaklaştırılması yavaştır. Bununla birlikte, bu süreç kolayca mekanize edilebilir ve böylece nispeten büyük düzeydeki getiri matrisleriyle bile oyuna gerekli doğruluk derecesinde bir çözüm elde edilmesine yardımcı olabilir.

2. Pratik kısım

Çift, ikisinin yararına nerede yürüyüş yapacaklarına ve vakit geçireceklerine karar verir.

Kız biraz temiz hava almak için parkta yürüyüşe çıkmaya, akşam ise en yakın sinemaya film izlemeye karar verir.

Adam, yerel kulübün futbolcularının merkez stadyumdaki maçını izledikten sonra teknoparka gitmeyi teklif ediyor.

Buna göre oyunculardan birinin hedefine ne kadar sürede ulaşılacağını bulmanız gerekiyor. Kazanç matrisi şöyle görünecek:

Tablo 1. Kazanç Matrisi

Stratejiler

1 2'den bu yana, saf stratejilerde bu oyunda açıkça eyer noktası yoktur. Bu nedenle aşağıdaki formülleri kullanırız ve şunu elde ederiz:

http://www.allbest.ru/ adresinde barındırılmaktadır.

2.2 2xn ve mx2'yi oynatma

Problem 1(2xn)

Kuru ve nemli iklimler için iki ürün yetiştirilmektedir.

Ve doğanın durumu şu şekilde düşünülebilir: kuru, ıslak, orta.

http://www.allbest.ru/ adresinde barındırılmaktadır.

M()'ın maksimum değerine j=1, j"=2'ye karşılık gelen doğruların kesişmesiyle oluşan M noktasında ulaşılır. Bu nedenle şunu varsayıyoruz: ,

Problem 2(mx2)

Adam ve kız hafta sonu nereye gideceklerine dair seçenekleri düşünüyorlar.

Dinlenme yerinin seçimi şu şekilde temsil edilebilir: park, sinema, restoran.

http://www.allbest.ru/ adresinde barındırılmaktadır.

M()'ın maksimum değerine j=1, j"=2'ye karşılık gelen doğruların kesişmesiyle oluşan E noktasında ulaşılır. Bu nedenle şunu varsayıyoruz: ,

V değerini belirlemek için aşağıdaki denklemleri çözmeniz gerekir:

2.5 Matris yöntemi

İki rakip restoran (catering işletmesi) aşağıdaki hizmet gruplarını sağlamaktadır. İlk restoran şehrin merkezinde, diğeri ise şehrin eteklerinde yer alıyor.

Merkezi restoran aşağıdaki hizmetleri içerir:

1) daha pahalı ve daha iyi müşteri hizmetleri;

2) yemekler Fransız mutfağına odaklanmıştır;

İkinci restoran şunları sağlar:

1) pahalı değil ve kaliteli hizmet;

2) menü dünyanın çeşitli ünlü mutfaklarını birleştiriyor;

3) ayrıca düzenli promosyonlar ve indirimler;

4) teslimatı gerçekleştirir ve eve teslimat için siparişleri kabul eder.

Göreve uygun olarak iki restoran arasında bir günlük kar şu şekilde dağıtılacak:

Tablo 2. Kazanç Matrisi

Stratejiler

Formdaki bir oyunu matris yoluyla çözmek:

Altı alt matris vardır ve:

Matrisi düşünün:

x 1 =? 0,x2=? 0

x 2 = olduğundan< 0, то мы отбрасываем.

Şimdi matrisi düşünün:

x 1 =? 0,x2=? 0

Oyun fiyatı.

Bu oran gereksinime aykırı olduğundan uygun değildir.

Şimdi matrisi düşünün:

x 1 = , x 2 = ? 0,

y 1 =< 0, y 2 = ? 0.

y 1 = olduğundan< 0, то мы отбрасываем и.

Şimdi matrisi düşünün:

x 1 \u003d, x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0 olduğundan, o zaman atarız ve.

Şimdi matrisi düşünün:

x 1 = , x 2 = ? 0. x 1 \u003d 0 olduğundan, atıyoruz ve.

Şimdi matrisi düşünün:

x 1 = , x 2 =, y 1 = , y 2 =, sonra devam ederiz:

x 1 = , x 2 =, y 1 = , y 2 = veya

Oyun fiyatı.

Şimdi ana ilişkiler kontrol edildi:

http://www.allbest.ru/ adresinde barındırılmaktadır.

Cevap: x 1 =, x 2 =, y 1 =, y 2 =, y 3 =0, y 4 =0,.

Kahverengi yöntem

Belirli bir şirketin çalışanlarının talebi üzerine sendika, masrafları şirkete ait olmak üzere sıcak yemek organizasyonu konusunda yönetimiyle görüşüyor. İşçilerin çıkarlarını temsil eden sendika, yemeğin mümkün olan en yüksek kalitede ve dolayısıyla daha pahalı olmasını sağlar. Şirketin yönetimi çatışan çıkarlara sahiptir. Sonunda taraflar aşağıdaki konularda anlaştılar. Sendika (oyuncu 1) sıcak yemek sağlayan üç firmadan (A 1, A 2, A 3) birini seçer ve şirket yönetimi (oyuncu 2) üç olası seçenekten (B 1 , B 2 , A 3) bir yemek seti seçer. B3) . Sözleşmeyi imzaladıktan sonra sendika, unsurları bir dizi yemeğin maliyetini temsil eden aşağıdaki ödeme matrisini oluşturur:

Oyunun aşağıdaki getiri matrisi ile verilebilmesine izin verin:

İkinci oyuncunun 2. stratejisini seçtiğini varsayalım, o zaman ilk oyuncu şunu elde edecek:

2 eğer 1. stratejisini kullanırsa,

3. stratejisini kullanırsa 3.

Elde edilen değerler Tablo 1'de özetlenmiştir.

Tablo 3. İkinci oyuncunun stratejisi

parti numarası	2. oyuncu stratejisi	1. oyuncu kazanır

Tablo 3, ikinci oyuncunun 2. stratejisiyle, ilk oyuncunun 2. veya 3. stratejisini kullanarak en büyük getiriyi 3 alacağını göstermektedir. Birinci oyuncu maksimum getiriyi almak istediğinden ikinci oyuncunun 2. stratejisine 2. stratejisiyle karşılık verir. İlk oyuncunun 2. stratejisiyle ikinci oyuncu kaybedecek:

1. stratejisini uygularsa,

3. 2. stratejisini kullanırsa,

3. stratejisini kullanırsa 4.

Tablo 4. İlk oyuncunun stratejisi

parti numarası	1 Oyuncu Stratejisi	2. oyuncunun kaybı

Tablo 2'de birinci oyuncunun 2. stratejisinde ikinci oyuncunun 1. stratejisini uyguladığı takdirde en az 1 kayıpla karşılaşacağı görülmektedir. İkinci oyuncu daha az kaybetmek istediğinden birinci oyuncunun 2. stratejisine karşılık 1. stratejisini uygulayacaktır. Elde edilen sonuçlar Tablo 5'te özetlenmiştir.

Tablo 5. Sırasıyla birinci ve ikinci oyuncuların stratejileri

parti numarası

2. oyuncu stratejisi

1. oyuncunun toplam kazancı

1 Oyuncu Stratejisi

Masada. İkinci satırdaki ikinci oyuncunun stratejisi sütunundaki 5 rakamı 1 rakamıdır, bu da ikinci oyunda ikinci oyuncunun 1. stratejisini kullanmasının faydalı olduğunu gösterir; sütununda ve ilk oyuncunun ilk oyunda aldığı en büyük ortalama getiri 3'tür; w sütunu, ilk oyunda ikinci oyuncunun aldığı en küçük ortalama kaybı 1 içerir; v sütunu, v = (u + w) aritmetik ortalamasını, yani oyunun bir oyununun oynanması sonucunda elde edilen, oyunun fiyatının yaklaşık değerini içerir. İkinci oyuncu 1. stratejisini kullanırsa, ilk oyuncu 1., 2., 3. stratejileriyle sırasıyla 3, 1, 2 elde edecek ve ilk oyuncunun her iki oyun için toplam getirisi şöyle olacaktır:

1. stratejisiyle 2 + 3=5,

2. stratejisiyle 3 + 1=4,

3. stratejisiyle 3 + 2=5.

Bu toplam kazançlar tablonun ikinci satırına kaydedilir. 3 ve ilk oyuncunun stratejilerine karşılık gelen sütunlarda: 1, 2, 3.

Toplam getirilerden en büyüğü 5'tir. İlk oyuncunun 1. ve 3. stratejileriyle elde edilir, ardından bunlardan herhangi birini seçebilir; diyelim ki, iki (veya daha fazla) aynı toplam getiri olduğu durumlarda, en küçük sayıya sahip strateji seçilir (bizim durumumuzda, 1. stratejiyi seçmemiz gerekir).

Birinci oyuncunun 1. stratejisiyle ikinci oyuncu 1., 2., 3. stratejilerine sırasıyla 3, 2, 3 kaybedecek ve ikinci oyuncunun her iki oyundaki toplam kaybı şu şekilde olacaktır:

1. stratejisiyle 1 + 3=4,

2. stratejisiyle 3 + 2=5,

3. stratejisiyle 4 + 3=7.

Bu toplam kayıplar tablonun ikinci satırına kaydedilir. 5 ve ikinci oyuncunun 1., 2., 3. stratejilerine karşılık gelen sütunlarda.

İkinci oyuncunun toplam kayıplarından en küçüğü 4'tür. Bu onun 1. stratejisiyle elde edilir, dolayısıyla üçüncü oyunda ikinci oyuncunun 1. stratejisini uygulaması gerekir. İlk oyuncunun iki oyundaki en yüksek toplam kazancının oyun sayısına bölümü, yani; w sütunu, ikinci oyuncunun iki oyundaki en küçük toplam kaybını oyun sayısına bölerek içerir; bu değerlerin aritmetik ortalaması v sütununa konur, yani = Bu sayı, iki "oynanan" oyunla oyunun fiyatının yaklaşık değeri olarak alınır.

Böylece oyunun iki seti için aşağıdaki tablo 4 elde edilir.

Tablo 6. Oynanan iki maçta oyuncuların toplam kazanç ve kayıpları

2. oyuncu stratejisi

1. oyuncunun toplam kazancı

1 Oyuncu Stratejisi

2. oyuncunun toplam kaybı

Tablo 6'nın üçüncü satırında ikinci oyuncunun strateji sütununda 1 rakamı bulunmaktadır, bu da üçüncü oyunda ikinci oyuncunun 1. stratejisini uygulaması gerektiğini gösterir. Bu durumda, ilk oyuncu sırasıyla 1., 2., 3. stratejilerini kullanarak 3, 1, 2 kazanır ve üç oyun için toplam getirisi şöyle olur:

1. stratejisinde 3 + 5 = 8,

2. stratejisiyle 1 +4 = 5,

3. stratejisi için 2 + 5 = 7.

İlk oyuncunun bu toplam getirileri, tablo 6'nın üçüncü satırına ve stratejilerine (1, 2, 3) karşılık gelen sütunlara kaydedilir. İlk oyuncunun en büyük toplam getirisi 8, 1. stratejiyle elde edildiğinden, buna göre 1. stratejiyi seçer. .

Birinci oyuncunun 1. stratejisinde ikinci oyuncu 1., 2., 3. stratejilere sırasıyla 3, 1, 2 kaybedecek ve ikinci oyuncunun her iki oyundaki toplam kaybı şu şekilde olacaktır:

1. stratejisiyle 3 + 4=7,

2. stratejisiyle 2 + 5=7,

3. stratejisiyle 3 + 7=10.

Bu toplam kayıplar tablonun üçüncü satırına kaydedilir. 6 ve ikinci oyuncunun 1., 2., 3. stratejilerine karşılık gelen sütunlarda. Toplam kayıpların 7'si en küçüğüdür ve 1. ve 2. stratejileriyle elde edilir, daha sonra ikinci oyuncunun 1. stratejisini uygulaması gerekir.

Masada. Sütunun üçüncü satırında 6 ve ilk oyuncunun üç oyundaki en büyük toplam kazancının oyun sayısına bölümü, yani; w sütunu, ikinci oyuncunun üç oyundaki en küçük toplam kaybını oyun sayısına bölerek içerir; v sütununa aritmetik ortalamalarını koyun

Böylece tabloyu elde etmiş oluyoruz. Üç parti için 7.

Tablo 7. Oyuncuların oynanan üç maçtaki toplam kazanç ve kayıpları

parti numarası

2. oyuncu stratejisi

1. oyuncunun toplam kazancı

1 Oyuncu Stratejisi

2. oyuncunun toplam kaybı

Tablo 8. Oynanan yirmi oyunlu final masası

parti numarası

2. oyuncu stratejisi

1. oyuncunun toplam kazancı

1 Oyuncu Stratejisi

2. oyuncunun toplam kaybı

Tablodan. Şekil 7 ve 8'de, kaybedilen 20 oyunda ilk oyuncu için 1, 2, 3 stratejilerinin sırasıyla 12, 3, 5 kez gerçekleştiği, dolayısıyla göreceli sıklıklarının sırasıyla eşit olduğu görülmektedir; ikinci oyuncu için 1, 2, 3 stratejileri sırasıyla 7, 11,2 kez gerçekleşir, dolayısıyla göreceli sıklıkları sırasıyla eşittir; Oyunun fiyatının yaklaşık değeri. Bu yaklaşım yeterince iyidir.

Sonuç olarak, oyunun birden fazla çözümü varsa, o zaman oyunun maliyetinin yaklaşık değerlerinin yine de süresiz olarak oyunun gerçek maliyetine yaklaşacağını ve stratejilerin ortaya çıkışının göreceli sıklıklarının olacağını not ediyoruz. oyuncular artık oyuncuların gerçek optimal karma stratejilerine mutlaka yaklaşmayacaktır.

Sonuçların analizi

Bu ders çalışmasında, düşmanca oyunlara çözüm bulmaya yönelik materyal, oyunun fiyatının ardışık olarak tahmin edilmesi yöntemi olan grafiksel, matris yöntemiyle incelenmektedir. Birinci ve ikinci oyuncuların optimal stratejileri ile 2x2, 2xn ve mx2 oyunlarında ve ayrıca matris yöntemi ve Brown yönteminin kullanıldığı oyunlarda oyunun maliyeti bulunur.

Bir çift örneğinde cebirsel ve grafiksel yöntemle çözülen 2x2'lik bir oyun modellendi. Oyunu cebirsel yöntemle çözen çözüm, birinci ve ikinci oyuncuların optimal karma stratejilerini uygulayarak birlikte 4,6 saat geçireceklerini gösteriyor. Sorunun grafik çözümü küçük bir hatayla sonuçlandı ve 4,5 saat sürdü.

Ayrıca 2xn ve mx2 olmak üzere iki görev modellendi. 2xn probleminde tarım kültürü dikkate alındı ​​ve strateji, tarlayı 50'ye 50 ekmenin daha iyi olduğunu gösteriyor ve oyunun fiyatı 3,75 milyon ruble oldu. Ve mx2 probleminde, stratejisi parka ve sinemaya gitmenin daha ucuz olduğunu ve fiyat ve maliyetin 4,3 ruble olacağını gösteren bir çift dikkate alındı.

İki restoranın dikkate alındığı matris yöntemi için bir problem modellendi, problemin çözümü, optimal karma stratejisi uygulandığında, ilk restoranın kârının 15,6 milyon ruble olacağını ve optimal karma stratejisi kullanıldığında, ikinci restoran, ilkinin 15,6 milyon rubleden fazla kazanmasına izin vermeyecek. Grafiksel yöntemle çözüm hata verdi ve oyunun fiyatı 14,9 milyon ruble oldu.

Brown yöntemi için sendika ve şirket yönetiminin dikkate alındığı bir görev hazırlandı, görevleri işçilere yiyecek sağlamaktır. Her iki oyuncu da optimal stratejilerini kullandığında kişi başı yiyecek 2,45 bin ruble olacak.

Kullanılan kaynakların listesi

1) Vilisov V.Ya. Ders notları "Oyun Teorisi ve İstatistiksel Çözümler", - Şube - "Voskhod" MAI. 1979. 146 s.

2) Krushevsky A.V. Oyun teorisi, - Kiev: Vishcha okulu, 1977. - 216 s.

3) Cherchmen U., Akof R., Arnof L., Yöneylem Araştırmasına Giriş. - M.: Bilim. 1967. - 488 s.

4) http://www.math-pr.com/exampl_gt2.htm

5) http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D1% 82%D0%B0%D0 %B3%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D1%81 %D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80%D0%B0

Allbest.ru'da barındırılıyor

Benzer Belgeler

Özel bir insan faaliyeti olarak karar verme. Oyun matrisinin rasyonel gösterimi. Saf ve karma stratejilerdeki matris oyunlarına örnekler. Yöneylem araştırması: doğrusal programlama problemlerinin oyun teorik modeliyle ilişkisi.

dönem ödevi, eklendi 05/05/2010


Birçok kez tekrarlanan oyunlar, kendine özgü özellikleri ve aşamaları. Uygulamada kullanımlarına yönelik karma stratejiler, koşullar ve fırsatlar. 2 x 2'lik bir oyunu çözmek için analitik bir yöntem. Dikdörtgen oyunlar için temel teoremler. Cebirsel çözümler.

sunum, 23.10.2013 eklendi


Bimatris oyunları teorisinin temel tanımları. Bimatris oyunu "Öğrenci-Öğretmen" örneği. Bimatris oyunlarında karma stratejiler. "Denge durumu" ifadesini arayın. Her oyuncunun iki stratejisinin olduğu duruma yönelik 2x2 bimatris oyunları ve formülleri.

özet, eklendi: 02/13/2011


Matris ve antagonistik oyunlar hakkında genel bilgilerin incelenmesi. Konumsal oyun kavramı, ağaç, bilgi seti. Maksim ilkesinin ve denge ilkesinin dikkate alınması. Pareto optimalliği. Konumsal, düşmanca olmayan oyun, özellikleri.

dönem ödevi, eklendi: 10/17/2014


Oyun teorisi, konusu bir çatışma durumunda en uygun kararları vermek için matematiksel modellerin incelenmesi olan bir matematik dalıdır. Yinelemeli Brown-Robinson yöntemi. Matris oyunlarını çözmek için monoton yinelemeli algoritma.

tez, eklendi: 08/08/2007


Kazanç matrisinin derlenmesi, oyunun alt ve üst net fiyatlarının araştırılması, oyuncuların maksimin ve minimaks stratejileri. Ödeme matrisinin basitleştirilmesi. Doğrusal programlama problemine indirgeme ve "Çözüm ara" eklentisini kullanarak bir matris oyununu çözme.

test, 11/10/2014 eklendi


Oyun teorisi, çatışma durumlarının matematiksel bir teorisidir. İki kişilik sıfır toplamlı bir oyunun matematiksel modelinin geliştirilmesi, bunun program kodları şeklinde uygulanması. Sorun çözme yöntemi. Giriş ve çıkış verileri. Program, kullanım kılavuzu.

dönem ödevi, eklendi 08/17/2013


Simpleks yöntemi hakkında temel bilgiler, doğrusal programlamadaki rolü ve öneminin değerlendirilmesi. Geometrik yorum ve cebirsel anlam. Doğrusal bir fonksiyonun maksimum ve minimumunu bulma, özel durumlar. Problemin matris simpleks yöntemiyle çözümü.

tez, eklendi: 06/01/2015


İşleyişlerinin yapısını ve süreçlerini yansıtan bilgi işlem sistemlerinin matematiksel modellerini oluşturma teknikleri. Ortalama görev sırasında dosya erişimi sayısı. Dosyaları harici bellek sürücülerine yerleştirme olasılığının belirlenmesi.

laboratuvar çalışması, 21.06.2013 eklendi


Matematiksel bir model tasarlama. Tic-tac-toe oyununun açıklaması. Boolean cebirine dayalı mantıksal oyun modeli. Dijital elektronik cihazlar ve matematiksel modellerinin geliştirilmesi. Oyun konsolu, oyun kumandası, oyun tahtası dizisi.