การเอาดีกรีออกจากลอการิทึม การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อแจ้งข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้นได้ไม่ซ้ำใคร
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเรา
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

(จากภาษากรีก γόγος - "คำ", "ความสัมพันธ์" และ ἀριθμός - "ตัวเลข") ขขึ้นอยู่กับ ก(บันทึก α ข) เรียกว่าตัวเลขดังกล่าว ค, และ ข= คนั่นคือ บันทึกบันทึก α ข=คและ ข=กคเทียบเท่ากัน ลอการิทึมสมเหตุสมผลถ้า a > 0, a ≠ 1, b > 0

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลอการิทึมตัวเลข ขขึ้นอยู่กับ กกำหนดเป็นเลขยกกำลังที่ต้องยกจำนวนขึ้น กเพื่อรับหมายเลข ข(ลอการิทึมมีอยู่เฉพาะสำหรับจำนวนบวกเท่านั้น)

จากสูตรนี้ จะได้ว่าการคำนวณ x= log α ขเทียบเท่ากับการแก้สมการ a x =b

ตัวอย่างเช่น:

บันทึก 2 8 = 3 เพราะ 8 = 2 3

ให้เราเน้นว่าการกำหนดลอการิทึมที่ระบุทำให้สามารถกำหนดได้ทันที ค่าลอการิทึมเมื่อตัวเลขใต้เครื่องหมายลอการิทึมทำหน้าที่เป็นกำลังหนึ่งของฐาน ที่จริงแล้ว การกำหนดลอการิทึมทำให้สามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้า ข=คแล้วตามด้วยลอการิทึมของตัวเลข ขขึ้นอยู่กับ กเท่ากับ กับ- เป็นที่ชัดเจนว่าหัวข้อของลอการิทึมมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับหัวข้อ พลังของตัวเลข.

เรียกว่าการคำนวณลอการิทึม ลอการิทึม- ลอการิทึมคือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของการหาลอการิทึม เมื่อพิจารณาลอการิทึม ผลคูณของปัจจัยจะถูกแปลงเป็นผลรวมของพจน์

ศักยภาพคือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ผกผันของลอการิทึม ในระหว่างการเพิ่มศักยภาพ ฐานที่กำหนดจะถูกยกขึ้นตามระดับของการแสดงออกซึ่งจะดำเนินการเพิ่มศักยภาพ ในกรณีนี้ ผลรวมของพจน์จะเปลี่ยนเป็นผลคูณของปัจจัย

บ่อยครั้ง ลอการิทึมจริงใช้กับฐาน 2 (ไบนารี่) เลขออยเลอร์ e mut 2.718 (ลอการิทึมธรรมชาติ) และ 10 (ทศนิยม)

ในขั้นตอนนี้ขอแนะนำให้พิจารณา ตัวอย่างลอการิทึมบันทึก 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

และรายการ lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 ไม่สมเหตุสมผลเนื่องจากในตอนแรกจะมีจำนวนลบอยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึมในวินาทีจะมีจำนวนลบ ในฐาน และตัวที่สามจะมีจำนวนลบอยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึมและมีหน่วยอยู่ที่ฐาน

เงื่อนไขในการกำหนดลอการิทึม

ควรพิจารณาแยกเงื่อนไข a > 0, a ≠ 1, b > 0 ภายใต้สิ่งที่เราได้รับ คำจำกัดความของลอการิทึมลองพิจารณาว่าเหตุใดจึงมีการใช้ข้อจำกัดเหล่านี้ ความเท่าเทียมกันของรูปแบบ x = log α จะช่วยเราในเรื่องนี้ ขเรียกว่าเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน ซึ่งตามมาจากคำจำกัดความของลอการิทึมที่ระบุข้างต้นโดยตรง

เอาล่ะเอาเงื่อนไข ก≠1- เนื่องจากหนึ่งยกกำลังใด ๆ เท่ากับหนึ่ง ดังนั้นความเท่าเทียมกัน x=log α ขจะอยู่ได้ก็ต่อเมื่อเท่านั้น ข=1แต่บันทึก 1 1 จะเป็นจำนวนจริงใดๆ เราดำเนินการเพื่อขจัดความคลุมเครือนี้ ก≠1.

ให้เราพิสูจน์ความจำเป็นของเงื่อนไข ก>0- ที่ ก=0ตามสูตรของลอการิทึม จะมีได้ก็ต่อเมื่อเท่านั้น ข=0- และตามนั้น เข้าสู่ระบบ 0 0สามารถเป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ได้ เนื่องจากศูนย์ถึงกำลังที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ จะเป็นศูนย์ ความคลุมเครือนี้สามารถกำจัดได้ตามเงื่อนไข ก≠0- และเมื่อ ก<0 เราจะต้องปฏิเสธการวิเคราะห์ค่าลอการิทึมที่เป็นตรรกยะและอตรรกยะ เนื่องจากระดับที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะและอตรรกยะถูกกำหนดไว้สำหรับฐานที่ไม่เป็นลบเท่านั้น ด้วยเหตุนี้จึงมีการกำหนดเงื่อนไขไว้ ก>0.

และเงื่อนไขสุดท้าย ข>0ตามมาด้วยความไม่เท่าเทียมกัน ก>0เนื่องจาก x=log α ขและค่าของดีกรีที่มีฐานบวก กคิดบวก.

คุณสมบัติของลอการิทึม

ลอการิทึมโดดเด่นด้วยความโดดเด่น คุณสมบัติซึ่งนำไปสู่การใช้อย่างแพร่หลายเพื่ออำนวยความสะดวกในการคำนวณที่ต้องใช้ความอุตสาหะอย่างมาก เมื่อย้าย "เข้าสู่โลกแห่งลอการิทึม" การคูณจะเปลี่ยนเป็นการบวกที่ง่ายกว่ามาก การหารจะเปลี่ยนเป็นการลบ และการยกกำลังและการแยกรากจะถูกเปลี่ยนตามลำดับเป็นการคูณและการหารด้วยเลขชี้กำลัง

การกำหนดลอการิทึมและตารางค่า (สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ) ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 1614 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวสก็อต John Napier ตารางลอการิทึมที่ขยายและให้รายละเอียดโดยนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการคำนวณทางวิทยาศาสตร์และทางวิศวกรรม และยังคงมีความเกี่ยวข้องจนกระทั่งมีการใช้เครื่องคิดเลขอิเล็กทรอนิกส์และคอมพิวเตอร์

ความหมายของลอการิทึม

ลอการิทึมของ b ถึงฐาน a คือเลขชี้กำลังที่ต้องยก a เพื่อให้ได้ b

หมายเลขจในวิชาคณิตศาสตร์ เป็นเรื่องปกติที่จะต้องแสดงถึงขีดจำกัดที่นิพจน์ต้องต่อสู้ดิ้นรน

หมายเลขจเป็น จำนวนอตรรกยะ- ตัวเลขที่ไม่สามารถเทียบได้กับ 1 ไม่สามารถแสดงเป็นจำนวนเต็มหรือเศษส่วนได้อย่างแม่นยำ มีเหตุผลตัวเลข.

จดหมาย จ- อักษรตัวแรกของคำภาษาละติน อธิบาย- เพื่ออวดอ้างจึงเป็นชื่อในวิชาคณิตศาสตร์ เอ็กซ์โปเนนเชียล- ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ตัวเลข จใช้กันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์และในวิทยาศาสตร์ทั้งหมดที่ใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์ตามความต้องการไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง

ลอการิทึม คุณสมบัติของลอการิทึม

คำจำกัดความ: ลอการิทึมของจำนวนบวก b ถึงฐานคือเลขชี้กำลัง c ซึ่งจะต้องยกจำนวน a ขึ้นเพื่อให้ได้ตัวเลข b

ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมพื้นฐาน:

7) สูตรการย้ายฐานใหม่:

lna = บันทึก อี ก, อี หยาบคาย 2.718…

ปัญหาและการทดสอบในหัวข้อ “ลอการิทึม คุณสมบัติของลอการิทึม"

• ลอการิทึม - หัวข้อสำคัญสำหรับการทบทวนการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์

เพื่อให้งานในหัวข้อนี้เสร็จสมบูรณ์ คุณต้องทราบคำจำกัดความของลอการิทึม คุณสมบัติของลอการิทึม อัตลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน คำจำกัดความของลอการิทึมทศนิยมและลอการิทึมธรรมชาติ ปัญหาประเภทหลักในหัวข้อนี้คือปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณและการแปลงนิพจน์ลอการิทึม ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาโดยใช้ตัวอย่างต่อไปนี้

สารละลาย:เราได้โดยใช้คุณสมบัติของลอการิทึม

สารละลาย:เราได้โดยใช้คุณสมบัติขององศา

1) (2 2) บันทึก 2 5 =(2 บันทึก 2 5) 2 =5 2 =25

คุณสมบัติของลอการิทึม สูตร และการพิสูจน์

ลอการิทึมมีคุณสมบัติเฉพาะหลายประการ ในบทความนี้เราจะดูที่หลัก คุณสมบัติของลอการิทึม- ที่นี่เราจะให้สูตร เขียนคุณสมบัติของลอการิทึมในรูปแบบของสูตร แสดงตัวอย่างการใช้งาน และยังแสดงหลักฐานคุณสมบัติของลอการิทึมอีกด้วย

การนำทางหน้า

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม สูตร

เพื่อความสะดวกในการจดจำและการใช้งานลองจินตนาการดู คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึมในรูปแบบของรายการสูตร ในย่อหน้าถัดไป เราจะให้สูตร หลักฐาน ตัวอย่างการใช้งาน และคำอธิบายที่จำเป็น

คุณสมบัติของลอการิทึมของผลหาร: โดยที่ a>0, a≠1, x>0, y>0

ผลที่ตามมา: โดยที่ a>0, a≠1, n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1, b>0

ข้อพิสูจน์ที่ 1: , ก>0 , ก≠1 , b>0 , b≠1 .

ข้อพิสูจน์ 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p และ q เป็นจำนวนจริง q≠0 โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ b=a ที่เรามี .

สูตรและการพิสูจน์คุณสมบัติ

เราดำเนินการกำหนดและการพิสูจน์คุณสมบัติที่เป็นลายลักษณ์อักษรของลอการิทึม คุณสมบัติทั้งหมดของลอการิทึมได้รับการพิสูจน์โดยอาศัยคำจำกัดความของลอการิทึมและเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานที่ตามมา รวมถึงคุณสมบัติของดีกรีด้วย

เริ่มต้นด้วย คุณสมบัติของลอการิทึมของหนึ่ง- สูตรของมันคือดังนี้: ลอการิทึมของเอกภาพเท่ากับศูนย์นั่นคือ เข้าสู่ระบบ 1=0สำหรับ a>0, a≠1 ใดๆ การพิสูจน์ไม่ใช่เรื่องยาก เนื่องจาก 0 =1 สำหรับเงื่อนไขใดๆ ที่เป็นไปตามเงื่อนไขข้างต้น a>0 และ a≠1 ดังนั้นบันทึกความเท่าเทียมกัน 1=0 ที่จะพิสูจน์จะตามมาทันทีจากคำจำกัดความของลอการิทึม

ให้เรายกตัวอย่างการประยุกต์ใช้คุณสมบัติที่พิจารณา: log 3 1=0, log1=0 และ

มาดูคุณสมบัติถัดไปกันดีกว่า: ลอการิทึมของตัวเลขเท่ากับฐานเท่ากับหนึ่ง, นั่นคือ, เข้าสู่ระบบ a=1สำหรับ a>0, a≠1 อันที่จริง เนื่องจาก 1 =a สำหรับ a ใดๆ ดังนั้นตามนิยามของบันทึกลอการิทึม aa=1

ตัวอย่างของการใช้คุณสมบัติของลอการิทึมนี้คือบันทึกความเท่าเทียมกัน 5 5=1, บันทึก 5.6 5.6 และ lne=1

ลอการิทึมของกำลังของตัวเลขเท่ากับฐานของลอการิทึมเท่ากับเลขชี้กำลัง- คุณสมบัติของลอการิทึมนี้สอดคล้องกับสูตรของแบบฟอร์ม บันทึก a a p = pโดยที่ a>0, a≠1 และ p – จำนวนจริงใดๆ คุณสมบัตินี้เป็นไปตามคำจำกัดความของลอการิทึมโดยตรง โปรดทราบว่าช่วยให้คุณสามารถระบุค่าลอการิทึมได้ทันที หากเป็นไปได้ที่จะแสดงตัวเลขภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมเป็นกำลังของฐาน เราจะพูดถึงเรื่องนี้เพิ่มเติมในบทความเกี่ยวกับการคำนวณลอการิทึม

ตัวอย่างเช่น บันทึก 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 และ .

ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ของจำนวนบวกสองตัว x และ y เท่ากับผลคูณของลอการิทึมของตัวเลขเหล่านี้: log a (x y)=บันทึก x+บันทึก a y, ก>0 , ก≠1 . ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ เนื่องจากคุณสมบัติของระดับ a log a x+log a y =a log a x ·a log a y และเนื่องจากโดยเอกลักษณ์ลอการิทึมหลัก บันทึก a x =x และบันทึก a y =y จากนั้นบันทึก a x ·a บันทึก a y =x·ย. ดังนั้น บันทึก a x+log a y =x·y ซึ่งตามนิยามของลอการิทึม ความเท่าเทียมกันที่พิสูจน์ได้จะเป็นดังนี้

ลองแสดงตัวอย่างการใช้คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 และ .

คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถสรุปได้ทั่วไปกับผลคูณของจำนวนจำกัด n ของจำนวนบวก x 1 , x 2 , …, x n เช่น log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= บันทึก a x 1 +บันทึก a x 2 +…+บันทึก a x n- ความเท่าเทียมกันนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยไม่มีปัญหาโดยใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมธรรมชาติของผลิตภัณฑ์สามารถถูกแทนที่ด้วยผลรวมของลอการิทึมธรรมชาติสามตัวของตัวเลข 4, e และ

ลอการิทึมของผลหารของจำนวนบวกสองตัว x และ y เท่ากับผลต่างระหว่างลอการิทึมของตัวเลขเหล่านี้ คุณสมบัติของลอการิทึมของผลหารสอดคล้องกับสูตรของแบบฟอร์ม โดยที่ a>0, a≠1, x และ y เป็นจำนวนบวก ความถูกต้องของสูตรนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วเช่นเดียวกับสูตรสำหรับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์: เนื่องจาก แล้วตามนิยามของลอการิทึม .

นี่คือตัวอย่างการใช้คุณสมบัติของลอการิทึม: .

เรามาต่อกันที่ คุณสมบัติของลอการิทึมของกำลัง- ลอการิทึมของดีกรีเท่ากับผลคูณของเลขชี้กำลังและลอการิทึมของโมดูลัสของฐานของดีกรีนี้ ให้เราเขียนคุณสมบัติของลอการิทึมของกำลังเป็นสูตร: บันทึก a b p =p·บันทึก a |b|โดยที่ a>0, a≠1, b และ p เป็นตัวเลขที่ทำให้ระดับ b p สมเหตุสมผล และ b p >0

ก่อนอื่น เราพิสูจน์คุณสมบัตินี้ว่าเป็นบวก b อัตลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานช่วยให้เราสามารถแทนจำนวน b เป็นบันทึก a b จากนั้น b p =(a log a b) p และผลลัพธ์ที่ได้เนื่องจากคุณสมบัติของกำลัง เท่ากับ a p·log a b ดังนั้นเราจึงมาถึงความเท่าเทียมกัน b p =a p·log a b โดยจากนิยามของลอการิทึม เราจะสรุปได้ว่า log a b p =p·log a b

ยังคงต้องพิสูจน์คุณสมบัตินี้สำหรับลบ b ตรงนี้เราสังเกตว่านิพจน์ log a b p สำหรับลบ b เหมาะสมสำหรับเลขชี้กำลังคู่ p เท่านั้น (เนื่องจากค่าของดีกรี b p ต้องมากกว่าศูนย์ มิฉะนั้นลอการิทึมจะไม่สมเหตุสมผล) และในกรณีนี้ b p =|b| พี จากนั้น b p =|b| p =(บันทึก a |b|) p =a p·บันทึก a |b| จากที่ log a b p =p·log a |b| -

ตัวอย่างเช่น, และ ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3

มันต่อเนื่องจากคุณสมบัติก่อนหน้า คุณสมบัติของลอการิทึมจากราก: ลอการิทึมของรากที่ n เท่ากับผลคูณของเศษส่วน 1/n ด้วยลอการิทึมของนิพจน์ราก นั่นคือ โดยที่ a>0, a≠1, n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1, b>0 .

การพิสูจน์จะขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกัน (ดูคำจำกัดความของเลขชี้กำลังกับเลขชี้กำลังเศษส่วน) ซึ่งใช้ได้กับ b ใดๆ ที่เป็นบวก และคุณสมบัติของลอการิทึมของเลขชี้กำลัง: .

นี่คือตัวอย่างการใช้คุณสมบัตินี้: .

ตอนนี้เรามาพิสูจน์กัน สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานลอการิทึมใหม่ใจดี - เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ความถูกต้องของบันทึกความเท่าเทียมกัน c b=log a b·log c a ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมพื้นฐานช่วยให้เราสามารถแทนจำนวน b เป็นบันทึก a b จากนั้นให้บันทึก c b=log c a log a b ยังคงใช้คุณสมบัติของลอการิทึมของดีกรี: log c a log a b =log a b·log c a นี่เป็นการพิสูจน์บันทึกความเท่าเทียมกัน c b=log a b·log c a ซึ่งหมายความว่าสูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่ของลอการิทึมก็ได้รับการพิสูจน์เช่นกัน .

เรามาแสดงตัวอย่างการใช้คุณสมบัติของลอการิทึมกัน: และ .

สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ช่วยให้คุณสามารถดำเนินการกับลอการิทึมที่มีฐาน "สะดวก" ได้ ตัวอย่างเช่น สามารถใช้เปลี่ยนเป็นลอการิทึมธรรมชาติหรือทศนิยม เพื่อให้คุณสามารถคำนวณค่าลอการิทึมจากตารางลอการิทึมได้ สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานลอการิทึมใหม่ยังช่วยให้ในบางกรณีสามารถค้นหาค่าของลอการิทึมที่กำหนดเมื่อทราบค่าของลอการิทึมบางตัวที่มีฐานอื่น

มักใช้กรณีพิเศษของสูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานลอการิทึมใหม่สำหรับ c=b ของแบบฟอร์ม นี่แสดงว่า log a b และ log b a เป็นตัวเลขผกผันกัน เช่น, .

มักใช้สูตรนี้ซึ่งสะดวกในการค้นหาค่าลอการิทึม เพื่อยืนยันคำพูดของเรา เราจะแสดงให้เห็นว่าสามารถใช้เพื่อคำนวณค่าลอการิทึมของแบบฟอร์มได้อย่างไร เรามี - เพื่อพิสูจน์สูตร ก็เพียงพอที่จะใช้สูตรเพื่อย้ายไปยังฐานใหม่ของลอการิทึม a: .

ยังคงต้องพิสูจน์คุณสมบัติของการเปรียบเทียบลอการิทึม

ลองใช้วิธีตรงกันข้าม สมมติว่าสำหรับ 1 >1, a 2 >1 และ a 1 2 และสำหรับ 0 1 บันทึก a 1 b≤log a 2 b เป็นจริง ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของลอการิทึม อสมการเหล่านี้สามารถเขียนใหม่ได้เป็น และ ตามลำดับ และจากนั้นจะเป็นไปตามนั้น log b a 1 ≤log b a 2 และ log b a 1 ≥log b a 2 ตามลำดับ จากนั้น ตามคุณสมบัติของกำลังที่มีฐานเดียวกัน ความเท่าเทียมกัน b log b a 1 ≥b log b a 2 และ b log b a 1 ≥b log b a 2 จะต้องคงอยู่ นั่นคือ a 1 ≥a 2 เราเลยขัดแย้งกับเงื่อนไข a 1 2. เป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

• วัสดุสำหรับบทเรียน
• ดาวน์โหลดสูตรทั้งหมด

ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถบวก ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดาเสียทีเดียว จึงมีกฎที่เรียกว่า คุณสมบัติหลัก.

คุณจำเป็นต้องรู้กฎเหล่านี้อย่างแน่นอน - หากไม่มีกฎเหล่านี้ก็จะไม่สามารถแก้ไขปัญหาลอการิทึมร้ายแรงได้แม้แต่ข้อเดียว นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - คุณสามารถเรียนรู้ทุกสิ่งได้ภายในวันเดียว มาเริ่มกันเลย

การบวกและการลบลอการิทึม

พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: บันทึก a x และบันทึก a y จากนั้นจึงสามารถบวกและลบได้ และ:

ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างเท่ากับลอการิทึมของผลหาร โปรดทราบ: ประเด็นสำคัญที่นี่คือ บริเวณที่เหมือนกัน- หากเหตุผลแตกต่าง กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!

สูตรเหล่านี้จะช่วยคุณคำนวณนิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าจะไม่ได้พิจารณาแต่ละส่วนก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ดูตัวอย่างและดู:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 6 4 + log 6 9

เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
บันทึก 6 4 + บันทึก 6 9 = บันทึก 6 (4 9) = บันทึก 6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 2 48 − log 2 3

ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
บันทึก 2 48 - บันทึก 2 3 = บันทึก 2 (48: 3) = บันทึก 2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 3 135 − log 3 5

ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
บันทึก 3 135 - บันทึก 3 5 = บันทึก 3 (135: 5) = บันทึก 3 27 = 3

อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึมที่ "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้คำนวณแยกกัน แต่หลังจากการแปลงจะได้ตัวเลขปกติโดยสมบูรณ์ การทดสอบจำนวนมากขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงนี้ ใช่ สำนวนที่เหมือนการทดสอบมีการนำเสนออย่างจริงจังทุกประการ (บางครั้งแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ) ในการสอบ Unified State

แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:

• บันทึก x n = n · บันทึก x ;
• 
• 

จะเห็นได้ง่ายว่ากฎข้อสุดท้ายเป็นไปตามสองข้อแรก แต่ยังไงก็ดีกว่าที่จะจำไว้ - ในบางกรณีมันจะลดจำนวนการคำนวณลงอย่างมาก

แน่นอนว่า กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: a > 0, a ≠ 1, x > 0 และอีกอย่างหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมดไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวาเท่านั้น แต่ยังในทางกลับกันอีกด้วย , เช่น. คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนที่ลอการิทึมจะลงชื่อเข้าใช้ลอการิทึมได้ นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 7 49 6 .

กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
บันทึก 7 49 6 = 6 บันทึก 7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

[คำบรรยายภาพ]

โปรดทราบว่าตัวส่วนประกอบด้วยลอการิทึม ฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังที่แน่นอน: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. เรามี:

[คำบรรยายภาพ]

ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้ายที่เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"

ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและส่วนมีตัวเลขเดียวกัน: log 2 7 เนื่องจากบันทึก 2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎของเลขคณิตแล้วทั้งสี่สามารถโอนไปยังตัวเศษซึ่งเป็นสิ่งที่ทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นย้ำเป็นพิเศษว่ากฎเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น จะทำอย่างไรถ้าเหตุผลต่างกัน? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่เลขยกกำลังที่เท่ากัน?

สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้รากฐานใหม่มาช่วยเหลือ ให้เรากำหนดพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:

ให้ลอการิทึมบันทึก a x ให้ได้ ดังนั้น สำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่ากันจะเป็นจริง:

[คำบรรยายภาพ]

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราตั้งค่า c = x เราจะได้:

[คำบรรยายภาพ]

จากสูตรที่สองเป็นไปตามว่าสามารถสลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมได้ แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมดจะ "พลิกกลับ" เช่น ลอการิทึมจะปรากฏในตัวส่วน

สูตรเหล่านี้ไม่ค่อยพบในนิพจน์ตัวเลขทั่วไป มีความเป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการเท่านั้น

แต่มีปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลยนอกจากการย้ายฐานรากใหม่ ลองดูสองสามสิ่งเหล่านี้:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 5 16 log 2 25

โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองมีกำลังที่แน่นอน มาดูตัวบ่งชี้กันดีกว่า: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; บันทึก 2 25 = บันทึก 2 5 2 = 2 บันทึก 2 5;

ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:

[คำบรรยายภาพ]

เนื่องจากผลคูณไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ เราจึงคูณสี่และสองอย่างใจเย็น จากนั้นจึงจัดการกับลอการิทึม

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 9 100 lg 3

ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกคือกำลังที่แน่นอน มาเขียนสิ่งนี้และกำจัดตัวบ่งชี้:

[คำบรรยายภาพ]

ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยการย้ายไปยังฐานใหม่:

[คำบรรยายภาพ]

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด ในกรณีนี้สูตรต่อไปนี้จะช่วยเรา:

1. n = บันทึก a a n

2. ในกรณีแรก ตัวเลข n จะกลายเป็นเลขชี้กำลังในอาร์กิวเมนต์ จำนวน n สามารถเป็นอะไรก็ได้ เพราะมันเป็นเพียงค่าลอการิทึม

   สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมพื้นฐาน

   อันที่จริง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเลข b ยกกำลังจนเลข b ยกกำลังนี้ให้เลข a? ถูกต้อง: ผลลัพธ์คือเลข a เดียวกัน อ่านย่อหน้านี้อย่างละเอียดอีกครั้ง หลายๆ คนอาจติดอยู่กับเรื่องนี้

   เช่นเดียวกับสูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานก็เป็นวิธีแก้ปัญหาเดียวที่เป็นไปได้

   [คำบรรยายภาพ]

   โปรดทราบว่าบันทึก 25 64 = บันทึก 5 8 - เราแค่เอากำลังสองจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม เมื่อคำนึงถึงกฎในการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้รับ:

   [คำบรรยายภาพ]

   ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)

   หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

   โดยสรุป ฉันจะให้สองตัวตนที่แทบจะเรียกได้ว่าเป็นคุณสมบัติไม่ได้ - แต่เป็นผลสืบเนื่องมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม สิ่งเหล่านี้มักเกิดปัญหาอยู่เสมอ และน่าประหลาดใจที่ยังสร้างปัญหาให้กับนักเรียน "ขั้นสูง" อีกด้วย

   1. log a a = 1 เป็นหน่วยลอการิทึม จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆ a ของฐานนั้นจะเท่ากับ 1
   2. log a 1 = 0 คือศูนย์ลอการิทึม ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีหนึ่งค่า ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ 0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากคำจำกัดความ

   นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนการนำไปปฏิบัติจริง! ดาวน์โหลดเอกสารสรุปตอนต้นบทเรียน พิมพ์ออกมา และแก้ไขปัญหา

   ลอการิทึม. คุณสมบัติของลอการิทึม (การบวกและการลบ)

   คุณสมบัติของลอการิทึมติดตามจากคำจำกัดความของมัน แล้วก็ลอการิทึมของจำนวนนั้น ขขึ้นอยู่กับ กถูกกำหนดให้เป็นเลขยกกำลังที่ต้องยกจำนวนขึ้น กเพื่อรับหมายเลข ข(ลอการิทึมมีอยู่เฉพาะสำหรับจำนวนบวกเท่านั้น)

   จากสูตรนี้จึงเป็นไปตามการคำนวณ x=ล็อก ก ขเทียบเท่ากับการแก้สมการ ก x =ขตัวอย่างเช่น, บันทึก 2 8 = 3เพราะ 8 = 2 3 - การกำหนดลอการิทึมทำให้สามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้า ข=คแล้วตามด้วยลอการิทึมของตัวเลข ขขึ้นอยู่กับ กเท่ากับ กับ- เป็นที่ชัดเจนว่าหัวข้อลอการิทึมมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับหัวข้อกำลัง

   ด้วยลอการิทึมเช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ คุณสามารถทำได้ การดำเนินการบวก ลบและเปลี่ยนแปลงในทุกวิถีทางที่เป็นไปได้ แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดาทั้งหมด จึงมีการใช้กฎพิเศษของตัวเองที่เรียกว่า คุณสมบัติหลัก.

   การบวกและการลบลอการิทึม

   ลองใช้ลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: เข้าสู่ระบบ xและ เข้าสู่ระบบ y- จากนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะดำเนินการบวกและการลบ:

   อย่างที่เราเห็น ผลรวมของลอการิทึมเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และ ความแตกต่าง ลอการิทึม- ลอการิทึมของผลหาร ยิ่งไปกว่านั้น นี่จะเป็นจริงหากเป็นตัวเลข ก, เอ็กซ์และ ที่เชิงบวกและ ก ≠ 1

   สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าลักษณะหลักในสูตรเหล่านี้เป็นฐานเดียวกัน หากเหตุผลแตกต่าง กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!

   กฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึมที่มีฐานเดียวกันนั้นไม่เพียงอ่านจากซ้ายไปขวาเท่านั้น แต่ยังอ่านในทางกลับกันด้วย เป็นผลให้เรามีทฤษฎีบทสำหรับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์และลอการิทึมของผลหาร

   ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์จำนวนบวกสองตัวจะเท่ากับผลรวมของลอการิทึม ; การใช้ทฤษฎีบทนี้ใหม่เราจะได้สิ่งต่อไปนี้หากเป็นตัวเลข ก, xและ ที่เชิงบวกและ ก ≠ 1, ที่:

   ลอการิทึมของผลหารจำนวนบวกสองตัวเท่ากับผลต่างระหว่างลอการิทึมของเงินปันผลและตัวหาร กล่าวอีกนัยหนึ่งหากเป็นตัวเลข ก, เอ็กซ์และ ที่เชิงบวกและ ก ≠ 1, ที่:

   ให้เราใช้ทฤษฎีบทข้างต้นเพื่อแก้โจทย์ ตัวอย่าง:

   ถ้าเป็นตัวเลข xและ ที่เป็นลบแล้ว สูตรลอการิทึมผลิตภัณฑ์กลายเป็นสิ่งไร้ความหมาย ดังนั้นจึงห้ามเขียนว่า:

   เนื่องจากไม่ได้กำหนดนิพจน์บันทึก 2 (-8) และบันทึก 2 (-4) เลย (ฟังก์ชันลอการิทึม ที่= บันทึก 2 เอ็กซ์กำหนดไว้สำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวกเท่านั้น เอ็กซ์).

   ทฤษฎีบทผลิตภัณฑ์ใช้ได้ไม่เพียงแต่สำหรับสองเท่านั้น แต่ยังใช้ได้กับปัจจัยจำนวนไม่จำกัดด้วย ซึ่งหมายความว่าสำหรับทุกธรรมชาติ เคและจำนวนบวกใดๆ x 1 , x 2 , . . . ,เอ็กซ์เอ็นมีตัวตน:

   จาก ทฤษฎีบทผลหารลอการิทึมสามารถรับคุณสมบัติของลอการิทึมได้อีกหนึ่งรายการ เป็นความรู้ทั่วไปที่บันทึก ก 1= 0 ดังนั้น

   ซึ่งหมายความว่ามีความเท่าเทียมกัน:

   ลอการิทึมของจำนวนกลับกันสองตัวด้วยเหตุผลเดียวกันจะแตกต่างกันโดยสัญญาณเท่านั้น ดังนั้น:

   ลอการิทึม. คุณสมบัติของลอการิทึม

   ลอการิทึม. คุณสมบัติของลอการิทึม

   ลองพิจารณาความเท่าเทียมกัน แจ้งให้เราทราบค่าของ และ และเราต้องการหาค่าของ .

   นั่นคือเรากำลังมองหาเลขชี้กำลังที่เราต้องง้างมันเพื่อให้ได้

   อนุญาต ตัวแปรสามารถรับค่าจริงใดๆ ได้ จากนั้นจะมีการบังคับใช้ข้อจำกัดต่อไปนี้กับตัวแปร: o" title="a>o"/> , 1″ title="a1″/>, 0″ title="b>0″ />

   หากเรารู้ค่าของ และ และเรากำลังเผชิญกับภารกิจในการค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก ดังนั้นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์จึงถูกนำมาใช้เพื่อจุดประสงค์นี้ซึ่งเรียกว่า ลอการิทึม.

   เพื่อค้นหาคุณค่าที่เราได้รับ ลอการิทึมของตัวเลขโดย พื้นฐาน :

   ลอการิทึมของตัวเลขถึงฐานคือเลขชี้กำลังที่ต้องยกขึ้นเพื่อให้ได้

   นั่นคือ เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน:

   o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>

   โดยพื้นฐานแล้วคือสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ คำจำกัดความของลอการิทึม.

   การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของลอการิทึมเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับการดำเนินการของการยกกำลัง ดังนั้น คุณสมบัติของลอการิทึมมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับคุณสมบัติของระดับ

   เรามาแสดงรายการหลักกัน คุณสมบัติของลอการิทึม:

   (o" title="a>o"/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>, 0,

   d>0″/>, 1″ title=”d1″/>

   4.

   5.

   กลุ่มคุณสมบัติต่อไปนี้ช่วยให้คุณสามารถแสดงเลขชี้กำลังของนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมหรือยืนอยู่ที่ฐานของลอการิทึมในรูปแบบของสัมประสิทธิ์หน้าเครื่องหมายลอการิทึม:

   6.

   7.

   8.

   9.

   กลุ่มสูตรถัดไปช่วยให้คุณสามารถย้ายจากลอการิทึมที่มีฐานที่กำหนดไปเป็นลอการิทึมที่มีฐานที่กำหนดเองได้ และเรียกว่า สูตรการเปลี่ยนไปสู่ฐานใหม่:

   10.

   12. (ข้อพิสูจน์จากทรัพย์สินที่ 11)

   

   คุณสมบัติสามประการต่อไปนี้ไม่เป็นที่รู้จักกันดี แต่มักใช้เมื่อแก้สมการลอการิทึม หรือเมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่มีลอการิทึม:

   13.

   14.

   15.

   กรณีพิเศษ:

   — ลอการิทึมทศนิยม

   — ลอการิทึมธรรมชาติ

   เมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่มีลอการิทึม จะใช้แนวทางทั่วไป:

   1. เราแสดงเศษส่วนทศนิยมเป็นเศษส่วนสามัญ

   2. เราแทนจำนวนคละเป็นเศษส่วนเกิน

   3. เราแยกตัวเลขที่ฐานของลอการิทึมและใต้เครื่องหมายลอการิทึมให้เป็นปัจจัยง่ายๆ

   4. เราพยายามลดลอการิทึมทั้งหมดให้เป็นฐานเดียวกัน

   5. ใช้คุณสมบัติของลอการิทึม

   มาดูตัวอย่างการลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่มีลอการิทึม

   ตัวอย่างที่ 1

   คำนวณ:

   มาลดความซับซ้อนของเลขชี้กำลังทั้งหมดกัน: งานของเราคือลดให้เหลือลอการิทึม ซึ่งฐานของจำนวนนั้นจะเป็นจำนวนเดียวกันกับฐานของเลขชี้กำลัง

   ==(โดยคุณสมบัติ 7)=(โดยคุณสมบัติ 6) =

   ลองแทนที่ตัวบ่งชี้ที่เราได้รับในนิพจน์ดั้งเดิม เราได้รับ:

   คำตอบ: 5.25

   ตัวอย่างที่ 2 คำนวณ:

   

   ลองลดลอการิทึมทั้งหมดให้เป็นฐาน 6 (ในกรณีนี้ ลอการิทึมจากตัวส่วนของเศษส่วนจะ "ย้าย" ไปยังตัวเศษ):

   ลองแยกตัวเลขใต้เครื่องหมายลอการิทึมออกเป็นปัจจัยง่ายๆ:

   ลองใช้คุณสมบัติ 4 และ 6:

   เรามาแนะนำการเปลี่ยนกัน

   เราได้รับ:

   คำตอบ: 1

   ลอการิทึม . เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

   คุณสมบัติของลอการิทึม ลอการิทึมทศนิยม ลอการิทึมธรรมชาติ

   ลอการิทึม จำนวนบวก N ถึงฐาน (ข > 0, ข 1) คือเลขชี้กำลัง x ที่ต้องยก b ขึ้นจึงจะได้ N .

   รายการนี้เทียบเท่ากับสิ่งต่อไปนี้: ขx = ยังไม่มีข้อความ .

   ตัวอย่าง: บันทึก 3 81 = 4 เนื่องจาก 3 4 = 81;

   บันทึก 1/3 27 = – 3 เนื่องจาก (1/3) - 3 = 3 3 = 27

   คำจำกัดความของลอการิทึมข้างต้นสามารถเขียนได้เป็นเอกลักษณ์:

   

   คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

   2) บันทึก 1 = 0 เนื่องจาก ข 0 = 1 .

   3) ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึมของปัจจัย:

   4) ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างระหว่างลอการิทึมของเงินปันผลและตัวหาร:

   5) ลอการิทึมของกำลังเท่ากับผลคูณของเลขชี้กำลังและลอการิทึมของฐาน:

   ผลที่ตามมาของทรัพย์สินนี้คือ: ลอการิทึมของราก เท่ากับลอการิทึมของจำนวนรากหารด้วยกำลังของราก:

   

   6) ถ้าฐานของลอการิทึมเป็นองศา ก็จะเป็นค่านั้น ค่าผกผันของเลขชี้กำลังสามารถนำออกมาเป็นสัมผัสล็อกได้:

   

   คุณสมบัติสองรายการสุดท้ายสามารถรวมกันเป็นหนึ่งเดียว:

   

   7) สูตรโมดูลัสการเปลี่ยน (เช่น การเปลี่ยนจากฐานลอการิทึมหนึ่งไปยังอีกฐานหนึ่ง):

   

   ในกรณีพิเศษเมื่อ ไม่มี=กเรามี:

   

   ลอการิทึมทศนิยม เรียกว่า ลอการิทึมฐาน 10. กำหนดให้เป็น lg เช่น บันทึก 10 เอ็น= บันทึก เอ็น- ลอการิทึมของตัวเลข 10, 100, 1,000, . p คือ 1, 2, 3, … ตามลำดับ นั่นคือ มีแง่บวกมากมาย

   หน่วย มีเลขศูนย์กี่ตัวในเลขลอการิทึมหลังหนึ่ง ลอการิทึมของตัวเลข 0.1, 0.01, 0.001, . p คือ –1, –2, –3, … ตามลำดับ นั่นคือ มีค่าลบมากเท่ากับจำนวนลอการิทึมที่มีศูนย์อยู่หน้าหนึ่ง (รวมจำนวนเต็มศูนย์ด้วย) ลอการิทึมของตัวเลขอื่นมีส่วนที่เรียกว่าเศษส่วน แมนทิสซา- ส่วนจำนวนเต็มของลอการิทึมเรียกว่า ลักษณะเฉพาะ- สำหรับการใช้งานจริง ลอการิทึมฐานสิบจะสะดวกที่สุด

   ลอการิทึมธรรมชาติ เรียกว่า ลอการิทึมฐาน จ- มันเขียนแทนด้วย ln นั่นคือ บันทึก จ เอ็น= บันทึก เอ็น- ตัวเลข จไม่ลงตัว โดยมีค่าประมาณ 2.718281828 เป็นขีดจำกัดที่ตัวเลขมีแนวโน้ม (1 + 1 / n) nโดยเพิ่มขึ้นไม่จำกัด n(ซม. ขีดจำกัดอันมหัศจรรย์ครั้งแรกในหน้า "การจำกัดลำดับหมายเลข")
   อาจดูแปลก แต่ลอการิทึมธรรมชาติกลับกลายเป็นว่าสะดวกมากเมื่อดำเนินการประเภทต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์ฟังก์ชัน การคำนวณลอการิทึมเป็นฐาน จดำเนินการได้เร็วกว่าเหตุผลอื่นมาก

• สิ่งที่จำเป็นในวันนี้เพื่อรับเลี้ยงเด็กในรัสเซีย? การรับเลี้ยงบุตรบุญธรรมในรัสเซีย นอกเหนือจากการตัดสินใจส่วนบุคคลที่มีความรับผิดชอบแล้ว ยังเกี่ยวข้องกับขั้นตอนหลายประการในการตรวจสอบผู้สมัครโดยรัฐ การคัดเลือกอย่างเข้มงวดในขั้นตอนการเตรียมการมีส่วนช่วย […]
• ข้อมูลฟรีเกี่ยวกับ TIN หรือ OGRN จากทะเบียนภาษีทั่วรัสเซีย - ออนไลน์บน Unified Tax Services Portal ข้อมูลเกี่ยวกับการลงทะเบียนสถานะของนิติบุคคล ผู้ประกอบการแต่ละราย […]
• การลงโทษสำหรับการขับรถโดยไม่มีเอกสาร (ใบขับขี่, ประกันภัย, STS) บางครั้งเนื่องจากความหลงลืมผู้ขับขี่จึงอยู่หลังพวงมาลัยโดยไม่มีใบอนุญาตและได้รับค่าปรับจากการขับรถโดยไม่มีเอกสาร เราขอเตือนคุณว่าผู้ที่ชื่นชอบรถจำเป็นต้องมี […]
• ดอกไม้สำหรับผู้ชาย ผู้ชายให้ดอกไม้อะไรได้บ้าง? ผู้ชายให้ดอกไม้อะไรได้บ้าง? ดอกไม้ "ตัวผู้" มีไม่มากนัก แต่มีบ้างที่มอบให้กับผู้ชาย รายชื่อดอกไม้เล็กๆ ตรงหน้าคุณ: ดอกเบญจมาศ กุหลาบ. ดอกคาร์เนชั่น -
• บันทึกภายในเป็นเอกสารรูปแบบพิเศษที่ใช้ในสภาพแวดล้อมภายในขององค์กรและทำหน้าที่แก้ไขปัญหาการผลิตในปัจจุบันอย่างรวดเร็ว โดยทั่วไปแล้วเอกสารนี้จัดทำขึ้นเพื่อจุดประสงค์ในการแนะนำ […]
• จะได้รับเงินบำนาญของคุณจาก Sberbank เมื่อใดและอย่างไร? Sberbank เป็นธนาคารพันธมิตรของกองทุนบำเหน็จบำนาญของรัฐ จากนี้ พลเมืองที่ลงทะเบียนเพื่อรับเงินบำนาญสามารถโอนส่วนที่ได้รับทุน […]
• สิทธิประโยชน์สำหรับเด็กใน Ulyanovsk และภูมิภาค Ulyanovsk ในปี 2561 นอกจากนี้ โปรแกรมที่ได้รับอนุมัติโดยกฎหมายของรัฐบาลกลางยังดำเนินการในทุกภูมิภาค มาดูกันว่าใครจะนับได้ประโยชน์อะไรบ้าง เจ้าหน้าที่ระดับภูมิภาคเป็นอย่างไร […]
• คำแนะนำโดยละเอียดเกี่ยวกับวิธีการจัดทำหนังสือมอบอำนาจเพื่อแสดงผลประโยชน์ของบุคคลในศาล ในการเรียกร้องทางแพ่งหรืออนุญาโตตุลาการในคดีปกครองหรืออาญา ทนายความสามารถเป็นตัวแทนผลประโยชน์ของทั้งโจทก์และจำเลยได้: […]

ลอการิทึมของตัวเลข เอ็น ขึ้นอยู่กับ ก เรียกว่าเลขชี้กำลัง เอ็กซ์ ที่คุณต้องสร้าง ก เพื่อรับหมายเลข เอ็น

โดยมีเงื่อนไขว่า
,
,

จากคำจำกัดความของลอการิทึมจะได้ดังนี้
, เช่น.
- ความเท่าเทียมกันนี้คืออัตลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

ลอการิทึมถึงฐาน 10 เรียกว่าลอการิทึมทศนิยม แทน
เขียน
.

ลอการิทึมถึงฐาน จ เรียกว่าเป็นธรรมชาติและถูกกำหนดไว้
.

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

ลอการิทึมของ 1 เท่ากับศูนย์สำหรับฐานใดๆ

ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึมของปัจจัย

3) ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างของลอการิทึม

ปัจจัย
เรียกว่าโมดูลัสของการเปลี่ยนผ่านจากลอการิทึมเป็นฐาน ก เป็นลอการิทึมที่ฐาน ข .

การใช้คุณสมบัติ 2-5 มักจะเป็นไปได้ที่จะลดลอการิทึมของนิพจน์ที่ซับซ้อนให้เป็นผลจากการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายกับลอการิทึม

ตัวอย่างเช่น,

การแปลงลอการิทึมดังกล่าวเรียกว่าลอการิทึม การแปลงผกผันกับลอการิทึมเรียกว่าศักยภาพ

บทที่ 2 องค์ประกอบของคณิตศาสตร์ชั้นสูง

1. ข้อจำกัด

ขีดจำกัดของฟังก์ชัน
เป็นจำนวนจำกัด A ถ้า เช่น xx 0 สำหรับแต่ละที่กำหนดไว้ล่วงหน้า
มีจำนวนดังกล่าว
ทันทีที่
, ที่
.

ฟังก์ชันที่มีขีดจำกัดจะแตกต่างจากฟังก์ชันนี้ด้วยจำนวนที่น้อยมาก:
ที่ไหน- b.m.v. เช่น
.

ตัวอย่าง. พิจารณาฟังก์ชัน
.

เมื่อมุ่งมั่น
, การทำงาน ย มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์:

1.1. ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับขีดจำกัด

ขีดจำกัดของค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่นี้

.

ขีดจำกัดของผลรวม (ผลต่าง) ของจำนวนฟังก์ชันที่มีจำกัดจะเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของขีดจำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้

ขีดจำกัดของผลคูณของฟังก์ชันจำนวนจำกัดจะเท่ากับผลคูณของขีดจำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้

ขีดจำกัดของผลหารของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลหารของขีดจำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้ ถ้าขีดจำกัดของตัวส่วนไม่เป็นศูนย์

ขีดจำกัดอันมหัศจรรย์

,
, ที่ไหน

1.2. ตัวอย่างการคำนวณขีดจำกัด

อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกขีดจำกัดจะคำนวณได้ง่ายนัก บ่อยครั้งที่การคำนวณขีดจำกัดลงมาเพื่อเผยให้เห็นความไม่แน่นอนของประเภท: หรือ .

.

2. อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ให้เรามีหน้าที่
ต่อเนื่องในส่วนนี้
.

การโต้แย้ง เพิ่มขึ้นบ้าง
- จากนั้นฟังก์ชันจะได้รับการเพิ่มขึ้น
.

ค่าอาร์กิวเมนต์ สอดคล้องกับค่าฟังก์ชัน
.

ค่าอาร์กิวเมนต์
สอดคล้องกับค่าฟังก์ชัน

เพราะฉะนั้น, .

ให้เราหาลิมิตของอัตราส่วนนี้กันที่
- หากมีขีดจำกัดนี้จะเรียกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด

คำจำกัดความ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด
โดยการโต้แย้ง เรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ เมื่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์โดยพลการ

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
สามารถกำหนดได้ดังนี้:

; ; ; .

คำจำกัดความที่ 4 เรียกว่าการดำเนินการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ความแตกต่าง

2.1. ความหมายทางกลของอนุพันธ์

ลองพิจารณาการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงของวัตถุแข็งเกร็งหรือจุดวัสดุ

ปล่อยให้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง จุดเคลื่อนที่
อยู่ในระยะไกล จากตำแหน่งเริ่มต้น
.

หลังจากนั้นช่วงระยะเวลาหนึ่ง
เธอขยับไปไกล
- ทัศนคติ =- ความเร็วเฉลี่ยของจุดวัสดุ
- ให้เราหาขีดจำกัดของอัตราส่วนนี้โดยคำนึงถึงสิ่งนั้น
.

ดังนั้น การกำหนดความเร็วทันทีของการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุจะลดลงเหลือเพียงการค้นหาอนุพันธ์ของเส้นทางตามเวลา

2.2. ค่าเรขาคณิตของอนุพันธ์

ขอให้เรามีฟังก์ชันที่กำหนดไว้แบบกราฟิก
.

ข้าว. 1. ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

ถ้า
แล้วชี้
,จะเคลื่อนที่ไปตามโค้งเข้าใกล้จุดนั้น
.

เพราะฉะนั้น
, เช่น. มูลค่าของอนุพันธ์สำหรับมูลค่าที่กำหนดของการโต้แย้ง เป็นตัวเลขเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมที่เกิดจากแทนเจนต์ ณ จุดที่กำหนดโดยมีทิศทางบวกของแกน
.

2.3. ตารางสูตรหาอนุพันธ์พื้นฐาน

ฟังก์ชั่นพลังงาน

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันลอการิทึม

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

2.4. กฎของความแตกต่าง

อนุพันธ์ของ

อนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) ของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน

2.5. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

ปล่อยให้ฟังก์ชันได้รับ
จึงสามารถแสดงออกมาในรูปได้

และ
โดยที่ตัวแปร ก็เป็นข้อโต้แย้งระดับกลางแล้ว

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด เทียบกับอาร์กิวเมนต์ตัวกลางและอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางเทียบกับ x

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างที่ 2

3. ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล

ให้มีอยู่
, หาอนุพันธ์ได้ในบางช่วง
ปล่อยมันไป ที่ ฟังก์ชันนี้มีอนุพันธ์

,

แล้วเราก็สามารถเขียนได้

(1),

ที่ไหน - ปริมาณที่ไม่มีที่สิ้นสุด

ตั้งแต่เมื่อไหร่

คูณเงื่อนไขความเท่าเทียมกันทั้งหมด (1) ด้วย
เรามี:

ที่ไหน
- บีเอ็มวี การสั่งซื้อสินค้าที่สูงขึ้น.

ขนาด
เรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน
และถูกกำหนดไว้

.

3.1. ค่าเรขาคณิตของส่วนต่าง

ปล่อยให้ฟังก์ชันได้รับ
.

รูปที่ 2. ความหมายทางเรขาคณิตของดิฟเฟอเรนเชียล

.

แน่นอนว่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน
เท่ากับการเพิ่มขึ้นของพิกัดของแทนเจนต์ที่จุดที่กำหนด

3.2. อนุพันธ์และส่วนต่างของคำสั่งต่างๆ

ถ้ามี
, แล้ว
เรียกว่าอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

อนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับ 1 เรียกว่าอนุพันธ์อันดับ 2 และเขียนเป็นลายลักษณ์อักษร
.

อนุพันธ์ลำดับที่ n ของฟังก์ชัน
เรียกว่าอนุพันธ์ลำดับที่ (n-1) และเขียนว่า:

.

ดิฟเฟอเรนเชียลของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลอันดับสองหรือดิฟเฟอเรนเชียลลำดับที่สอง

.

.

3.3 การแก้ปัญหาทางชีววิทยาโดยใช้ความแตกต่าง

ภารกิจที่ 1 การศึกษาพบว่าการเจริญเติบโตของอาณานิคมของจุลินทรีย์เป็นไปตามกฎหมาย
, ที่ไหน เอ็น – จำนวนจุลินทรีย์ (เป็นพัน) ที – เวลา (วัน)

b) ประชากรในอาณานิคมจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงในช่วงเวลานี้?

คำตอบ. ขนาดของอาณานิคมจะเพิ่มขึ้น

ภารกิจที่ 2 น้ำในทะเลสาบได้รับการทดสอบเป็นระยะเพื่อติดตามปริมาณแบคทีเรียที่ทำให้เกิดโรค ผ่าน ที วันหลังจากการทดสอบ ความเข้มข้นของแบคทีเรียจะถูกกำหนดโดยอัตราส่วน

.

ทะเลสาบจะมีความเข้มข้นของแบคทีเรียขั้นต่ำเมื่อใดและจะสามารถว่ายน้ำได้หรือไม่?

วิธีแก้ไข: ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดหรือต่ำสุดเมื่ออนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นศูนย์

,

มาดูกันว่าค่าสูงสุดหรือต่ำสุดจะอยู่ที่ 6 วัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ลองใช้อนุพันธ์อันดับสองกัน

คำตอบ: หลังจากผ่านไป 6 วัน แบคทีเรียจะมีความเข้มข้นน้อยที่สุด

ดังนั้นเราจึงมีพลังของทั้งสอง หากคุณนำตัวเลขมาจากบรรทัดล่างสุด คุณจะพบพลังที่คุณจะต้องยกสองขึ้นเพื่อให้ได้ตัวเลขนี้ได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างเช่น หากต้องการได้ 16 คุณต้องยกสองยกกำลังสี่ และเพื่อให้ได้ 64 คุณต้องยกสองยกกำลังหก ดังที่เห็นได้จากตาราง

และตอนนี้ - จริงๆ แล้ว คำจำกัดความของลอการิทึม:

ฐานลอการิทึมของ x คือกำลังที่ต้องยก a เพื่อให้ได้ x

ชื่อ: log a x = b โดยที่ a คือฐาน x คืออาร์กิวเมนต์ b คือค่าลอการิทึมที่เท่ากับจริง

ตัวอย่างเช่น 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (ลอการิทึมฐาน 2 ของ 8 คือ 3 เพราะ 2 3 = 8) ด้วยบันทึกความสำเร็จเดียวกัน 2 64 = 6 เนื่องจาก 2 6 = 64

การดำเนินการค้นหาลอการิทึมของตัวเลขจากฐานที่กำหนดเรียกว่าลอการิทึม เรามาเพิ่มบรรทัดใหม่ให้กับตารางของเรา:

น่าเสียดายที่ไม่ใช่ทุกลอการิทึมจะคำนวณได้ง่ายนัก เช่น ลองค้นหาบันทึก 2 5 เลข 5 ไม่ได้อยู่ในตาราง แต่ตรรกะกำหนดว่าลอการิทึมจะอยู่ที่ไหนสักแห่งบนเซกเมนต์ เพราะ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ: ตัวเลขที่อยู่หลังจุดทศนิยมสามารถเขียนได้ไม่จำกัด และจะไม่มีวันซ้ำกัน หากลอการิทึมกลายเป็นแบบไม่ลงตัว ก็ควรปล่อยไว้อย่างนั้นดีกว่า: log 2 5, log 3 8, log 5 100

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าลอการิทึมคือนิพจน์ที่มีตัวแปรสองตัว (ฐานและอาร์กิวเมนต์) ในตอนแรก หลายคนสับสนว่าอะไรเป็นพื้นฐานและข้อโต้แย้งอยู่ที่ไหน เพื่อหลีกเลี่ยงความเข้าใจผิดที่น่ารำคาญ เพียงแค่ดูภาพ:

ก่อนหน้าเราไม่มีอะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของลอการิทึม จดจำ: ลอการิทึมคือกำลังซึ่งจะต้องสร้างฐานเพื่อให้ได้ข้อโต้แย้ง เป็นฐานที่ยกกำลังขึ้น - ในภาพเน้นด้วยสีแดง ปรากฎว่าฐานอยู่ด้านล่างเสมอ! ฉันบอกกฎที่ยอดเยี่ยมนี้แก่นักเรียนในบทเรียนแรก - และไม่มีความสับสนเกิดขึ้น

เราได้ทราบคำจำกัดความแล้ว - สิ่งที่เหลืออยู่คือการเรียนรู้วิธีนับลอการิทึม เช่น กำจัดเครื่องหมาย "บันทึก" อันดับแรก เราสังเกตว่ามีข้อเท็จจริงสำคัญสองประการตามคำจำกัดความนี้:

1. อาร์กิวเมนต์และฐานต้องมากกว่าศูนย์เสมอ สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความของระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ซึ่งคำจำกัดความของลอการิทึมจะลดลง
2. ฐานจะต้องแตกต่างจากฐานหนึ่ง เนื่องจากระดับหนึ่งถึงระดับใดยังคงเป็นหนึ่ง ด้วยเหตุนี้ คำถามที่ว่า “คนๆ หนึ่งจะต้องเพิ่มพลังเท่าใดจึงจะได้สอง” จึงไม่มีความหมาย ไม่มีปริญญาขนาดนั้น!

ข้อจำกัดดังกล่าวเรียกว่า ช่วงของค่าที่ยอมรับได้(ODZ). ปรากฎว่า ODZ ของลอการิทึมมีลักษณะดังนี้: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1

โปรดทราบว่าไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับจำนวน b (ค่าของลอการิทึม) ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมอาจเป็นลบ: log 2 0.5 = −1 เพราะ 0.5 = 2 −1

อย่างไรก็ตาม ตอนนี้เรากำลังพิจารณาเฉพาะนิพจน์ตัวเลข โดยไม่จำเป็นต้องทราบ VA ของลอการิทึม ผู้เขียนงานได้คำนึงถึงข้อจำกัดทั้งหมดแล้ว แต่เมื่อสมการลอการิทึมและอสมการเข้ามามีบทบาท ข้อกำหนด DL จะกลายเป็นข้อบังคับ ท้ายที่สุดแล้ว พื้นฐานและการโต้แย้งอาจมีโครงสร้างที่แข็งแกร่งมากซึ่งไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับข้อจำกัดข้างต้น

ตอนนี้เรามาดูรูปแบบทั่วไปสำหรับการคำนวณลอการิทึม ประกอบด้วยสามขั้นตอน:

1. เขียนฐาน a และอาร์กิวเมนต์ x เป็นกำลังโดยมีฐานขั้นต่ำที่เป็นไปได้มากกว่า 1 ระหว่างทางควรกำจัดทศนิยมออกไปจะดีกว่า
2. แก้สมการของตัวแปร b: x = a b ;
3. ผลลัพธ์หมายเลข b จะเป็นคำตอบ

นั่นคือทั้งหมด! หากลอการิทึมกลายเป็นจำนวนตรรกยะ สิ่งนี้จะมองเห็นได้ในขั้นตอนแรก ข้อกำหนดที่ว่าฐานต้องมากกว่าหนึ่งมีความสำคัญมาก ซึ่งจะช่วยลดโอกาสที่จะเกิดข้อผิดพลาดและทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก เช่นเดียวกับเศษส่วนทศนิยม: หากคุณแปลงเป็นเศษส่วนธรรมดาทันที จะมีข้อผิดพลาดน้อยลงมาก

มาดูกันว่าโครงร่างนี้ทำงานอย่างไรโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ:

งาน. คำนวณลอการิทึม: บันทึก 5 25

1. ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังของห้า: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

มาสร้างและแก้สมการกัน:
บันทึก 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. เราได้รับคำตอบ: 2.

งาน. คำนวณลอการิทึม:

งาน. คำนวณลอการิทึม: บันทึก 4 64

1. ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. มาสร้างและแก้สมการกัน:
   บันทึก 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. เราได้รับคำตอบ: 3.

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 16 1

1. ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. มาสร้างและแก้สมการกัน:
   บันทึก 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. เราได้รับคำตอบ: 0.

งาน. คำนวณลอการิทึม: บันทึก 7 14

1. ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังของเจ็ด: 7 = 7 1 ; 14 ไม่สามารถแสดงเป็นกำลังของ 7 ได้ เนื่องจาก 7 1< 14 < 7 2 ;
2. จากย่อหน้าก่อนหน้า ตามมาว่าไม่นับลอการิทึม
3. คำตอบคือไม่มีการเปลี่ยนแปลง: บันทึก 7 14

หมายเหตุเล็ก ๆ เกี่ยวกับตัวอย่างสุดท้าย คุณจะแน่ใจได้อย่างไรว่าตัวเลขนั้นไม่ใช่กำลังที่แน่นอนของอีกจำนวนหนึ่ง? ง่ายมาก - แค่แยกตัวประกอบเป็นปัจจัยเฉพาะ หากการขยายตัวมีปัจจัยที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองปัจจัย ตัวเลขจะไม่ใช่กำลังที่แน่นอน

งาน. ค้นหาว่าตัวเลขนั้นเป็นเลขยกกำลังที่แน่นอนหรือไม่: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - องศาที่แน่นอน เพราะ มีตัวคูณเพียงตัวเดียวเท่านั้น
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ไม่ใช่กำลังที่แน่นอน เนื่องจากมีปัจจัยสองประการ: 3 และ 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ระดับที่แน่นอน;
35 = 7 · 5 - ไม่ใช่กำลังที่แน่นอนอีกครั้ง
14 = 7 · 2 - ไม่ใช่ระดับที่แน่นอนอีกครั้ง

โปรดสังเกตด้วยว่าจำนวนเฉพาะนั้นมักจะเป็นกำลังที่แน่นอนของตัวมันเองเสมอ

ลอการิทึมทศนิยม

ลอการิทึมบางตัวเป็นเรื่องธรรมดามากจนมีชื่อและสัญลักษณ์พิเศษ

ลอการิทึมฐานสิบของ x คือลอการิทึมของฐาน 10 กล่าวคือ เลขยกกำลังที่ต้องยกเลข 10 เพื่อให้ได้เลข x ชื่อ: lg x.

ตัวอย่างเช่น บันทึก 10 = 1; บันทึก 100 = 2; lg 1,000 = 3 - ฯลฯ

จากนี้ไป เมื่อวลีเช่น "Find lg 0.01" ปรากฏในหนังสือเรียน โปรดทราบว่านี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด นี่คือลอการิทึมทศนิยม อย่างไรก็ตาม หากคุณไม่คุ้นเคยกับสัญกรณ์นี้ คุณสามารถเขียนใหม่ได้ตลอดเวลา:
บันทึก x = บันทึก 10 x

ทุกอย่างที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมธรรมดาก็เป็นจริงสำหรับลอการิทึมฐานสิบเช่นกัน

ลอการิทึมธรรมชาติ

มีลอการิทึมอื่นที่มีการกำหนดของตัวเอง ในบางแง่ มันสำคัญกว่าทศนิยมด้วยซ้ำ เรากำลังพูดถึงลอการิทึมธรรมชาติ

ลอการิทึมธรรมชาติของ x คือลอการิทึมของฐาน e เช่น เลขยกกำลังที่ต้องยกกำลัง e เพื่อให้ได้เลข x ชื่อ: ln x .

หลายคนจะถามว่า: ตัวเลข e คืออะไร? นี่เป็นจำนวนอตรรกยะ ไม่สามารถหาค่าที่แน่นอนและจดบันทึกไว้ได้ ฉันจะให้เฉพาะตัวเลขแรกเท่านั้น:
อี = 2.718281828459...

เราจะไม่ลงรายละเอียดว่าหมายเลขนี้คืออะไรและเหตุใดจึงต้องมี เพียงจำไว้ว่า e เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ:
ln x = บันทึก อี x

ดังนั้น ln e = 1 ; ใน อี 2 = 2; ใน อี 16 = 16 - เป็นต้น ในทางกลับกัน ln 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยทั่วไป ลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนตรรกยะใดๆ จะเป็นจำนวนตรรกยะ ยกเว้น อย่างหนึ่ง: ln 1 = 0

สำหรับลอการิทึมธรรมชาติ กฎทั้งหมดที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมสามัญนั้นใช้ได้