Tabuľka prvočísel od 1 do 10000. Tabuľka prvočísel od 1 do 1000

Nižšie je uvedená tabuľka prvočísel od 2 do 10000 (1229 kusov). Jednotka nie je zahrnutá, prepáčte. Niektorí veria, že jednotka nie je zahrnutá, pretože... ona tam nemôže byť. " Prvočíslo je číslo, ktoré má dvoch deliteľov: jedného a samotné číslo."A číslo 1 má len jedného deliteľa, neplatí to ani pre prvočísla, ani pre zložené čísla." (rozumná poznámka Oľgy 21.9.2012) Pamätáme si však, že prvočísla sa niekedy zadávajú takto: " Prvočíslo je číslo, ktoré je deliteľné jednou a samo sebou.„V tomto prípade je jednoznačné prvočíslo.

Tabuľka prvočísel od 2 do 1000. Tabuľka prvočísel od 2 do 1000 je zvýraznená sivou farbou.

Hodnotenie článku:

Článok pojednáva o pojmoch prvočíselných a zložených čísel. Definície takýchto čísel sú uvedené s príkladmi. Poskytujeme dôkaz, že počet prvočísel je neobmedzený a zaznamenáme ho do tabuľky prvočísel Eratosthenovou metódou. Bude poskytnutý dôkaz na určenie, či je číslo prvočíslo alebo zložené.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prvočísla a zložené čísla – definície a príklady

Prvočísla a zložené čísla sú klasifikované ako kladné celé čísla. Musia byť väčšie ako jedna. Deliče sa tiež delia na jednoduché a zložené. Aby ste pochopili pojem zložených čísel, musíte si najprv preštudovať pojmy deliteľov a násobkov.

Definícia 1

Prvočísla sú celé čísla, ktoré sú väčšie ako jedna a majú dvoch kladných deliteľov, teda samy seba a 1.

Definícia 2

Zložené čísla sú celé čísla, ktoré sú väčšie ako jedna a majú aspoň troch kladných deliteľov.

Jedna nie je ani prvočíslo, ani zložené číslo. Má iba jedného kladného deliteľa, takže sa líši od všetkých ostatných kladných čísel. Všetky kladné celé čísla sa nazývajú prirodzené čísla, to znamená, že sa používajú pri počítaní.

Definícia 3

základné čísla sú prirodzené čísla, ktoré majú iba dvoch kladných deliteľov.

Definícia 4

Zložené číslo je prirodzené číslo, ktoré má viac ako dvoch kladných deliteľov.

Každé číslo väčšie ako 1 je buď prvočíslo, alebo zložené. Z vlastnosti deliteľnosti máme, že 1 a číslo a bude vždy deliteľom pre ľubovoľné číslo a, čiže bude deliteľné samo sebou a 1. Uveďme definíciu celých čísel.

Definícia 5

Prirodzené čísla, ktoré nie sú prvočísla, sa nazývajú zložené čísla.

Prvočísla: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Sú deliteľné len samy sebou a 1. Zložené čísla: 6, 63, 121, 6697. To znamená, že číslo 6 možno rozložiť na 2 a 3 a 63 na 1, 3, 7, 9, 21, 63 a 121 na 11, 11, to znamená, že jeho deliteľmi budú 1, 11, 121. Číslo 6697 je rozložené na 37 a 181. Všimnite si, že koncepty prvočísel a druhých čísel sú odlišné pojmy.

Aby bolo používanie prvočísel jednoduchšie, musíte použiť tabuľku:

Tabuľka pre všetky existujúce prirodzené čísla je nereálna, keďže ich je nekonečne veľa. Keď čísla dosiahnu veľkosť 10 000 alebo 1 000 000 000, mali by ste zvážiť použitie Eratosthenovho sita.

Zoberme si vetu, ktorá vysvetľuje posledné tvrdenie.

Veta 1

Najmenší kladný deliteľ prirodzeného čísla väčšieho ako jedna je prvočíslo.

Dôkaz 1

Predpokladajme, že a je prirodzené číslo väčšie ako 1, b je najmenším nejednotným deliteľom a. Je potrebné dokázať, že b je prvočíslo pomocou metódy kontradikcie.

Predpokladajme, že b je zložené číslo. Odtiaľto máme, že existuje deliteľ pre b, ktorý je odlišný od 1 aj od b. Takýto deliteľ sa označuje ako b 1. Je potrebné splniť podmienku 1< b 1 < b bol dokončený.

Z podmienky je zrejmé, že a je delené b, b je delené b 1, čo znamená, že pojem deliteľnosti je vyjadrený takto: a = b q a b = b 1 · q 1 , odkiaľ a = b 1 · (q 1 · q), kde q a q 1 sú celé čísla. Podľa pravidla násobenia celých čísel máme, že súčin celých čísel je celé číslo s rovnosťou tvaru a = b 1 · (q 1 · q) . Je vidieť, že b 1 je deliteľ čísla a. Nerovnosť 1< b 1 < b nie zodpovedá, pretože zistíme, že b je najmenší kladný a ne-1 deliteľ a.

Veta 2

Existuje nekonečné množstvo prvočísel.

Dôkaz 2

Pravdepodobne vezmeme konečný počet prirodzených čísel n a označíme ich ako p 1, p 2, …, p n. Uvažujme o možnosti nájsť iné prvočíslo, ako je uvedené.

Zoberme do úvahy číslo p, ktoré sa rovná p 1, p 2, ..., p n + 1. Nerovná sa každému z čísel zodpovedajúcich prvočíslam v tvare p 1, p 2, ..., p n. Číslo p je prvočíslo. Potom sa teorém považuje za dokázaný. Ak je zložený, musíte použiť zápis p n + 1 a ukážte, že deliteľ sa nezhoduje so žiadnym z p 1, p 2, ..., p n.

Ak by to tak nebolo, potom na základe vlastnosti deliteľnosti súčinu p 1, p 2, ..., p n , zistíme, že by to bolo deliteľné pn + 1. Všimnite si, že výraz p n + 1 delenie čísla p sa rovná súčtu p 1, p 2, ..., p n + 1. Dostaneme, že výraz p n + 1 Druhý člen tohto súčtu, ktorý sa rovná 1, sa musí rozdeliť, ale to nie je možné.

Je vidieť, že medzi ľubovoľným počtom daných prvočísel možno nájsť akékoľvek prvočíslo. Z toho vyplýva, že prvočísel je nekonečne veľa.

Keďže prvočísel je veľa, tabuľky sú obmedzené na čísla 100, 1000, 10000 atď.

Pri zostavovaní tabuľky prvočísel by ste mali vziať do úvahy, že takáto úloha vyžaduje postupnú kontrolu čísel od 2 do 100. Ak nie je deliteľ, zapíše sa do tabuľky, ak je zložený, do tabuľky sa nezapíše.

Pozrime sa na to postupne.

Ak začnete s číslom 2, potom má iba 2 deliteľov: 2 a 1, čo znamená, že ho možno zadať do tabuľky. To isté s číslom 3. Číslo 4 je zložené, treba ho rozložiť na 2 a 2. Číslo 5 je prvočíslo, čo znamená, že ho možno zaznamenať do tabuľky. Urobte to až do čísla 100.

Táto metóda je nepohodlná a časovo náročná. Je možné vytvoriť stôl, ale budete musieť stráviť veľa času. Je potrebné použiť kritériá deliteľnosti, ktoré urýchlia proces hľadania deliteľov.

Metóda využívajúca Eratosthenovo sito sa považuje za najvhodnejšiu. Pozrime sa ako príklad na nižšie uvedené tabuľky. Na začiatok sa zapíšu čísla 2, 3, 4, ..., 50.

Teraz musíte prečiarknuť všetky čísla, ktoré sú násobkami 2. Vykonajte postupné prečiarknutie. Dostaneme tabuľku ako:

Prejdeme k vyčiarknutiu čísel, ktoré sú násobkami 5. Dostaneme:

Prečiarknite čísla, ktoré sú násobkami 7, 11. Nakoniec stôl vyzerá takto

Prejdime k formulácii vety.

Veta 3

Najmenší kladný a ne-1 deliteľ základného čísla a nepresahuje a, kde a je aritmetický koreň daného čísla.

Dôkaz 3

Je potrebné označiť b najmenšieho deliteľa zloženého čísla a. Existuje celé číslo q, kde a = b · q, a máme, že b ≤ q. Nerovnosti formy sú neprijateľné b > q, pretože je porušená podmienka. Obe strany nerovnosti b ≤ q by sa mali vynásobiť akýmkoľvek kladným číslom b, ktoré sa nerovná 1. Dostaneme, že b · b ≤ b · q, kde b 2 ≤ a a b ≤ a.

Z overenej vety je zrejmé, že prečiarknutie čísel v tabuľke vedie k tomu, že je potrebné začať s číslom, ktoré sa rovná b 2 a spĺňa nerovnosť b 2 ≤ a. To znamená, že ak prečiarknete čísla, ktoré sú násobkami 2, proces začína 4 a násobky 3 9 a tak ďalej až do 100.

Zostavenie takejto tabuľky pomocou Eratosthenovho teorému naznačuje, že keď sa prečiarknu všetky zložené čísla, zostanú prvočísla, ktoré nepresiahnu n. V príklade, kde n = 50, máme, že n = 50. Odtiaľto dostávame, že Eratosthenovo sito preosieva všetky zložené čísla, ktorých hodnota nie je väčšia ako hodnota odmocniny 50. Vyhľadávanie čísel prebieha preškrtávaním.

Pred riešením musíte zistiť, či je číslo prvočíslo alebo zložené. Často sa používajú kritériá deliteľnosti. Pozrime sa na to v príklade nižšie.

Príklad 1

Dokážte, že číslo 898989898989898989 je zložené.

Riešenie

Súčet číslic daného čísla je 9 8 + 9 9 = 9 17. To znamená, že číslo 9 · 17 je deliteľné 9 na základe testu deliteľnosti 9. Z toho vyplýva, že je zložený.

Takéto znaky nie sú schopné dokázať prvoradosť čísla. Ak je potrebné overenie, mali by sa vykonať iné opatrenia. Najvhodnejším spôsobom je vyčísliť čísla. Počas procesu možno nájsť prvočísla a zložené čísla. To znamená, že čísla by nemali prekročiť hodnotu a. To znamená, že číslo a sa musí rozložiť na prvočísla. ak je toto splnené, potom číslo a možno považovať za prvočíslo.

Príklad 2

Určte zložené alebo prvočíslo 11723.

Riešenie

Teraz musíte nájsť všetkých deliteľov pre číslo 11723. Treba vyhodnotiť 11723 .

Odtiaľ vidíme, že 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 a 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

Pre presnejší odhad čísla 11723 je potrebné napísať výraz 108 2 = 11 664 a 109 2 = 11 881 , To 108 2 < 11 723 < 109 2 . Z toho vyplýva, že 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

Pri rozširovaní zistíme, že 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 sú všetky prvočísla. Celý tento proces možno znázorniť ako rozdelenie podľa stĺpca. To znamená, že 11723 vydeľte 19. Číslo 19 je jedným z jeho faktorov, keďže dostávame delenie bezo zvyšku. Predstavme rozdelenie ako stĺpec:

Z toho vyplýva, že 11723 je zložené číslo, pretože okrem seba a 1 má aj deliteľa 19.

odpoveď: 11723 je zložené číslo.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

V tomto článku budeme skúmať prvočísla a zložené čísla. Najprv uvedieme definície prvočísel a zložených čísel a tiež uvedieme príklady. Potom dokážeme, že prvočísel je nekonečne veľa. Ďalej si napíšeme tabuľku prvočísel a zvážime metódy na zostavenie tabuľky prvočísel, pričom osobitnú pozornosť venujeme metóde nazývanej Eratosthenovo sito. Na záver poukážeme na hlavné body, ktoré je potrebné vziať do úvahy pri dokazovaní, že dané číslo je prvočíslo alebo zložené.

Navigácia na stránke.

Prvočísla a zložené čísla – definície a príklady

Koncepty prvočísel a zložených čísel sa vzťahujú na čísla, ktoré sú väčšie ako jedna. Takéto celé čísla sa v závislosti od počtu ich kladných deliteľov delia na prvočísla a zložené čísla. Takže pochopiť definície prvočísel a zložených čísel, musíte mať dobrú predstavu o tom, čo to je deliteľov a násobkov.

Definícia.

základné čísla sú celé čísla, veľké jednotky, ktoré majú iba dvoch kladných deliteľov, konkrétne seba a 1.

Definícia.

Zložené čísla sú celé čísla, veľké, ktoré majú aspoň troch kladných deliteľov.

Samostatne si všimneme, že číslo 1 sa nevzťahuje na prvočísla ani na zložené čísla. Jednotka má iba jedného kladného deliteľa, ktorým je samotné číslo 1. Toto odlišuje číslo 1 od všetkých ostatných kladných celých čísel, ktoré majú aspoň dvoch kladných deliteľov.

Vzhľadom na to, že kladné celé čísla sú , a že jedno má iba jedného kladného deliteľa, môžeme uviesť iné formulácie uvedených definícií prvočísel a zložených čísel.

Definícia.

základné čísla sú prirodzené čísla, ktoré majú iba dvoch kladných deliteľov.

Definícia.

Zložené čísla sú prirodzené čísla, ktoré majú viac ako dvoch kladných deliteľov.

Všimnite si, že každé kladné celé číslo väčšie ako jedna je buď prvočíslo, alebo zložené číslo. Inými slovami, neexistuje jediné celé číslo, ktoré by nebolo ani prvočíslo, ani zložené. Vyplýva to z vlastnosti deliteľnosti, ktorý hovorí, že čísla 1 a a sú vždy deliteľmi ľubovoľného celého čísla a.

Na základe informácií v predchádzajúcom odseku môžeme uviesť nasledujúcu definíciu zložených čísel.

Definícia.

Voláme prirodzené čísla, ktoré nie sú prvočísla zložený.

Dajme si príklady prvočísel a zložených čísel.

Príklady zložených čísel zahŕňajú 6, 63, 121 a 6 697. Toto vyhlásenie si tiež vyžaduje objasnenie. Číslo 6 má okrem kladných deliteľov 1 a 6 aj deliteľov 2 a 3, keďže 6 = 2 3, preto je 6 skutočne zložené číslo. Pozitívne faktory 63 sú čísla 1, 3, 7, 9, 21 a 63. Číslo 121 sa rovná súčinu 11·11, takže jeho kladnými deliteľmi sú 1, 11 a 121. A číslo 6 697 je zložené, keďže jeho kladnými deliteľmi sú okrem 1 a 6 697 aj čísla 37 a 181.

Na záver tohto bodu by som chcel ešte upozorniť na skutočnosť, že prvočísla a coprime čísla- to zďaleka nie je to isté.

Tabuľka prvočísel

Prvočísla sú pre pohodlie ich ďalšieho použitia zaznamenané v tabuľke nazývanej tabuľka prvočísel. Nižšie je tabuľka prvočísel do 1000.

Vynára sa logická otázka: „Prečo sme naplnili tabuľku prvočísel len do 1000, nie je možné vytvoriť tabuľku všetkých existujúcich prvočísel“?

Najprv odpovedzme na prvú časť tejto otázky. Pre väčšinu problémov, ktoré vyžadujú použitie prvočísel, budú postačovať prvočísla do tisícky. V iných prípadoch sa s najväčšou pravdepodobnosťou budete musieť uchýliť k niektorým špeciálnym riešeniam. Hoci tabuľku prvočísel môžeme určite vytvoriť až do ľubovoľne veľkého konečného kladného čísla, či už je to 10 000 alebo 1 000 000 000, v ďalšom odseku si povieme o metódach vytvárania tabuliek prvočísel, najmä sa pozrieme na metódu volal.

Teraz sa pozrime na možnosť (alebo skôr nemožnosť) zostaviť tabuľku všetkých existujúcich prvočísel. Nemôžeme vytvoriť tabuľku všetkých prvočísel, pretože prvočísel je nekonečne veľa. Posledné tvrdenie je veta, ktorú dokážeme po nasledujúcej pomocnej vete.

Veta.

Najmenší kladný deliteľ prirodzeného čísla väčšieho ako jedna je prvočíslo.

Dôkaz.

Nechaj a je prirodzené číslo väčšie ako jedna a b je najmenší kladný deliteľ iného ako jedna. Dokážme, že b je prvočíslo kontradikciou.

Predpokladajme, že b je zložené číslo. Potom existuje deliteľ čísla b (označme ho b 1), ktorý je odlišný od 1 aj b. Ak zoberieme do úvahy aj to, že absolútna hodnota deliteľa nepresahuje absolútnu hodnotu dividendy (vieme to z vlastností deliteľnosti), potom musí byť splnená podmienka 1

Keďže číslo a je deliteľné b podľa podmienky a povedali sme, že b je deliteľné b 1, pojem deliteľnosti nám umožňuje hovoriť o existencii celých čísel q a q 1 takých, že a=b q a b=b 1 q 1 , odkiaľ a= b 1 · (q 1 · q) . Z toho vyplýva, že súčin dvoch celých čísel je celé číslo, potom rovnosť a=b 1 ·(q 1 ·q) udáva, že b 1 je deliteľ čísla a. Berúc do úvahy vyššie uvedené nerovnosti 1

Teraz môžeme dokázať, že prvočísel je nekonečne veľa.