Inštrukcie

Aritmetická postupnosť je postupnosť tvaru a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Číslo d krok progresie.Je zrejmé, že všeobecný ľubovoľný n-tý člen aritmetiky progresie má tvar: An = A1+(n-1)d. Potom poznať jedného z členov progresie, člen progresie a krok progresie, môžete, teda číslo postupujúceho člena. Je zrejmé, že bude určená vzorcom n = (An-A1+d)/d.

Nech je teraz známy m-tý výraz progresie a ďalší člen progresie- n-tý, ale n , ako v predchádzajúcom prípade, ale je známe, že n a m sa nezhodujú progresie možno vypočítať pomocou vzorca: d = (An-Am)/(n-m). Potom n = (An-Am+md)/d.

Ak je známy súčet viacerých prvkov aritmetickej rovnice progresie, ako aj jeho prvý a posledný, potom je možné určiť aj počet týchto prvkov progresie sa bude rovnať: S = ((A1+An)/2)n. Potom n = 2S/(A1+An) - chdenov progresie. Na základe skutočnosti, že An = A1+(n-1)d, možno tento vzorec prepísať ako: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Z toho môžeme vyjadriť n riešením kvadratickej rovnice.

Aritmetická postupnosť je usporiadaná množina čísel, ktorej každý člen, okrem prvého, sa líši od predchádzajúceho o rovnakú hodnotu. Táto konštantná hodnota sa nazýva rozdiel progresie alebo jej krok a možno ju vypočítať zo známych členov aritmetickej progresie.

Inštrukcie

Ak sú hodnoty prvého a druhého alebo akéhokoľvek iného páru susedných členov známe z podmienok problému, na výpočet rozdielu (d) jednoducho odčítajte predchádzajúci od nasledujúceho člena. Výsledná hodnota môže byť kladné alebo záporné číslo – záleží na tom, či sa progresia zvyšuje. Vo všeobecnej forme napíšte riešenie pre ľubovoľnú dvojicu (aᵢ a aᵢ₊₁) susedných členov postupnosti takto: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Pre dvojicu členov takejto progresie, z ktorých jeden je prvý (a₁) a druhý ľubovoľný iný ľubovoľne zvolený, je tiež možné vytvoriť vzorec na nájdenie rozdielu (d). V tomto prípade však musí byť známe poradové číslo (i) ľubovoľne vybraného člena postupnosti. Ak chcete vypočítať rozdiel, spočítajte obe čísla a výsledný výsledok vydeľte poradovým číslom ľubovoľného výrazu zníženým o jednotku. Vo všeobecnosti napíšte tento vzorec takto: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Ak je okrem ľubovoľného člena aritmetickej postupnosti s poradovým číslom i známy ďalší člen s poradovým číslom u, zmeňte zodpovedajúcim spôsobom vzorec z predchádzajúceho kroku. V tomto prípade bude rozdiel (d) progresie súčtom týchto dvoch členov delený rozdielom ich radových čísel: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Vzorec na výpočet rozdielu (d) sa trochu skomplikuje, ak problémové podmienky dávajú hodnotu jeho prvého člena (a₁) a súčet (Sᵢ) daného čísla (i) prvých členov aritmetickej postupnosti. Ak chcete získať požadovanú hodnotu, vydeľte súčet počtom členov, ktoré ho tvoria, odčítajte hodnotu prvého čísla v poradí a zdvojnásobte výsledok. Výslednú hodnotu vydeľte počtom členov, ktoré tvoria súčet znížený o jeden. Vo všeobecnosti napíšte vzorec na výpočet diskriminantu takto: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Súčet aritmetického postupu.

Súčet aritmetickej progresie je jednoduchá vec. Aj vo význame, aj vo vzorci. Ale na túto tému sú všelijaké úlohy. Od základných až po celkom pevné.

Najprv pochopme význam a vzorec sumy. A potom sa rozhodneme. Pre vlastné potešenie.) Význam sumy je jednoduchý ako buchot. Ak chcete nájsť súčet aritmetickej progresie, stačí opatrne pridať všetky jej členy. Ak je týchto výrazov málo, môžete pridať bez akýchkoľvek vzorcov. Ale ak je veľa, alebo veľa... pridávanie je otravné.) V tomto prípade prichádza na pomoc vzorec.

Vzorec na výpočet sumy je jednoduchý:

Poďme zistiť, aké písmená sú zahrnuté vo vzorci. Tým sa veci veľa vyjasnia.

S n - súčet aritmetického postupu. Výsledok sčítania každýčlenov, s najprv Autor: posledný. To je dôležité. Presne sa sčítajú Všetkyčlenov v rade, bez preskakovania alebo preskakovania. A presne od začiatku najprv. V problémoch, ako je nájdenie súčtu tretieho a ôsmeho členu alebo súčtu piateho až dvadsiateho členu, priame použitie vzorca sklame.)

1 - najprvčlen progresu. Všetko je tu jasné, je to jednoduché najprvčíslo riadku.

a n- poslednýčlen progresu. Posledné číslo série. Nie je to veľmi známy názov, ale pri aplikácii na množstvo je veľmi vhodný. Potom uvidíte sami.

n - číslo posledného člena. Je dôležité pochopiť, že vo vzorci toto číslo sa zhoduje s počtom pridaných výrazov.

Definujme pojem poslednýčlenom a n. Záludná otázka: ktorý člen to bude posledný ak je daný nekonečné aritmetický postup?)

Ak chcete s istotou odpovedať, musíte pochopiť základný význam aritmetického postupu a... pozorne si prečítajte úlohu!)

V úlohe nájsť súčet aritmetickej progresie sa vždy objaví posledný člen (priamo alebo nepriamo), ktorý by mal byť obmedzený. V opačnom prípade konečná, konkrétna suma jednoducho neexistuje. Pri riešení nezáleží na tom, či je daná postupnosť: konečná alebo nekonečná. Nezáleží na tom, ako je to dané: rad čísel alebo vzorec pre n-tý člen.

Najdôležitejšie je pochopiť, že vzorec funguje od prvého členu postupnosti po člen s číslom n. V skutočnosti celý názov vzorca vyzerá takto: súčet prvých n členov aritmetickej progresie. Počet týchto úplne prvých členov, t.j. n, je určená výlučne úlohou. V úlohe sú všetky tieto cenné informácie často zašifrované, áno... Ale nevadí, v príkladoch nižšie tieto tajomstvá odhalíme.)

Príklady úloh na súčte aritmetického postupu.

V prvom rade užitočné informácie:

Hlavná ťažkosť v úlohách zahŕňajúcich súčet aritmetickej progresie spočíva v správnom určení prvkov vzorca.

Autori úloh zašifrujú práve tieto prvky s bezhraničnou predstavivosťou.) Hlavná vec je nebáť sa. Aby sme pochopili podstatu prvkov, stačí ich jednoducho dešifrovať. Pozrime sa na niekoľko príkladov podrobne. Začnime úlohou založenou na skutočnom GIA.

1. Aritmetická postupnosť je daná podmienkou: a n = 2n-3,5. Nájdite súčet jeho prvých 10 výrazov.

Dobrá práca. Jednoduché.) Čo potrebujeme vedieť, aby sme určili množstvo pomocou vzorca? Prvý člen 1, posledný termín a n, áno číslo posledného člena n.

Kde získam číslo posledného člena? n? Áno, priamo tam, pod podmienkou! Hovorí: nájdite sumu prvých 10 členov. No a s akým číslom to bude? posledný, desiaty člen?) Neuveríte, jeho číslo je desiate!) Preto namiesto a n Dosadíme do vzorca 10 a namiesto toho n- desať. Opakujem, číslo posledného člena sa zhoduje s počtom členov.

Zostáva určiť 1 A 10. Toto sa ľahko vypočíta pomocou vzorca pre n-tý člen, ktorý je uvedený v probléme. Neviete ako na to? Navštívte predchádzajúcu lekciu, bez toho to nejde.

1= 21 - 3,5 = -1,5

10= 2,10 - 3,5 = 16,5

S n = S 10.

Zistili sme význam všetkých prvkov vzorca pre súčet aritmetickej progresie. Zostáva ich len nahradiť a spočítať:

To je všetko. odpoveď: 75.

Ďalšia úloha založená na GIA. Trochu komplikovanejšie:

2. Daná aritmetická progresia (a n), ktorej rozdiel je 3,7; a1 = 2,3. Nájdite súčet jeho prvých 15 výrazov.

Okamžite napíšeme vzorec súčtu:

Tento vzorec nám umožňuje nájsť hodnotu ľubovoľného termínu podľa jeho čísla. Hľadáme jednoduchú náhradu:

a15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Zostáva nahradiť všetky prvky do vzorca pre súčet aritmetickej progresie a vypočítať odpoveď:

Odpoveď: 423.

Mimochodom, ak vo vzorci súčtu namiesto a n Jednoducho dosadíme vzorec za n-tý člen a dostaneme:

Ukážeme si podobné a získame nový vzorec pre súčet členov aritmetickej postupnosti:

Ako vidíte, n-tý termín sa tu nevyžaduje a n. Pri niektorých problémoch tento vzorec veľmi pomáha, áno... Tento vzorec si môžete zapamätať. Alebo ho môžete jednoducho zobraziť v správnom čase, ako tu. Koniec koncov, vždy si musíte zapamätať vzorec pre súčet a vzorec pre n-tý člen.)

Teraz úloha vo forme krátkeho šifrovania):

3. Nájdite súčet všetkých kladných dvojciferných čísel, ktoré sú násobkami troch.

Wow! Ani tvoj prvý člen, ani tvoj posledný, už vôbec nie postup... Ako žiť!?

Budete musieť premýšľať hlavou a vytiahnuť všetky prvky súčtu aritmetického postupu z podmienky. Vieme, čo sú dvojciferné čísla. Pozostávajú z dvoch čísel.) Aké bude dvojciferné číslo najprv? 10, pravdepodobne.) A posledná vec dvojciferné číslo? 99, samozrejme! Trojciferné ho budú nasledovať...

Násobky troch... Hm... To sú čísla, ktoré sú deliteľné tromi, tu! Desať nie je deliteľné tromi, 11 nie je deliteľné... 12... je deliteľné! Niečo sa teda objavuje. Už si môžete zapísať sériu podľa podmienok problému:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Bude táto séria aritmetickým postupom? Určite! Každý termín sa od predchádzajúceho líši striktne tromi. Ak k termínu pridáte 2 alebo 4, povedzme výsledok, t.j. nové číslo už nie je deliteľné 3. Môžete okamžite určiť rozdiel aritmetického postupu: d = 3. Bude sa to hodiť!)

Takže si môžeme bezpečne zapísať niektoré parametre postupu:

Aké to bude číslo? n posledný člen? Kto si myslí, že 99 sa fatálne mýli... Čísla idú vždy za sebou, no naši členovia preskakujú tri. Nezhodujú sa.

Tu sú dve riešenia. Jedna cesta je pre super pracovitých. Môžete si zapísať postup, celý rad čísel a prstom spočítať počet členov.) Druhý spôsob je pre premýšľavých. Musíte si zapamätať vzorec pre n-tý člen. Ak použijeme vzorec na náš problém, zistíme, že 99 je tridsiaty člen progresie. Tie. n = 30.

Pozrime sa na vzorec pre súčet aritmetickej progresie:

Pozeráme a radujeme sa.) Z výpisu problému sme vytiahli všetko potrebné na výpočet sumy:

1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

Zostáva len elementárna aritmetika. Dosadíme čísla do vzorca a vypočítame:

Odpoveď: 1665

Ďalší typ populárnej hádanky:

4. Daný aritmetický postup:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Nájdite súčet pojmov od dvadsiateho do tridsiateho štvrtého.

Pozeráme sa na vzorec sumy a... rozčúlime sa.) Vzorec, pripomínam, vypočíta sumu od prvéhočlenom. A v úlohe musíte vypočítať súčet od dvadsiateho... Vzorec nebude fungovať.

Môžete, samozrejme, napísať celý priebeh v sérii a pridať výrazy od 20 do 34. Ale... je to trochu hlúpe a trvá to dlho, však?)

Existuje elegantnejšie riešenie. Rozdeľme náš seriál na dve časti. Prvá časť bude od prvého funkčného obdobia do devätnásteho. Druhá časť - od dvadsať do tridsaťštyri. Je jasné, že ak spočítame súčet členov prvej časti S 1-19, pripočítajme to súčtom pojmov druhej časti S 20-34, dostaneme súčet postupu od prvého termínu do tridsiateho štvrtého S 1-34. Páči sa ti to:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Z toho môžeme vidieť, že nájdite súčet S 20-34 možno vykonať jednoduchým odčítaním

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Zohľadňujú sa obe sumy na pravej strane od prvéhočlen, t.j. štandardný sumárny vzorec je pre nich celkom použiteľný. Začnime?

Extrahujeme parametre progresie z výpisu problému:

d = 1,5.

1= -21,5.

Na výpočet súčtu prvých 19 a prvých 34 termínov budeme potrebovať 19. a 34. termín. Vypočítame ich pomocou vzorca pre n-tý člen, ako v úlohe 2:

19= -21,5 + (19-1) 1,5 = 5,5

34= -21,5 + (34-1) 1,5 = 28

Nič nezostalo. Od súčtu 34 výrazov odpočítajte súčet 19 výrazov:

S20-34 = S1-34 - S1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Odpoveď: 262,5

Jedna dôležitá poznámka! Pri riešení tohto problému existuje veľmi užitočný trik. Namiesto priamej kalkulácie čo potrebujete (S 20-34), počítali sme niečo, čo sa zdá byť nepotrebné - S 1-19. A potom sa rozhodli S 20-34, vyradenie nepotrebného z kompletného výsledku. Tento druh „finty s vašimi ušami“ vás často zachráni pred zlými problémami.)

V tejto lekcii sme sa zamerali na problémy, pri ktorých stačí pochopiť význam súčtu aritmetickej progresie. No, musíte poznať pár vzorcov.)

Praktické rady:

Pri riešení akéhokoľvek problému so súčtom aritmetickej progresie odporúčam okamžite napísať dva hlavné vzorce z tejto témy.

Vzorec pre n-tý termín:

Tieto vzorce vám okamžite povedia, čo hľadať a akým smerom myslieť, aby ste problém vyriešili. Pomáha.

A teraz úlohy na samostatné riešenie.

5. Nájdite súčet všetkých dvojciferných čísel, ktoré nie sú deliteľné tromi.

V pohode?) Nápoveda je ukrytá v poznámke k problému 4. No, problém 3 pomôže.

6. Aritmetická postupnosť je daná podmienkou: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Nájdite súčet jeho prvých 24 výrazov.

Nezvyčajné?) Toto je opakujúci sa vzorec. Môžete si o tom prečítať v predchádzajúcej lekcii. Neignorujte odkaz, takéto problémy sa často vyskytujú v Štátnej akadémii vied.

7. Vasya si našetril peniaze na dovolenku. Až 4550 rubľov! A rozhodla som sa, že svojmu obľúbenému človeku (sebe) doprajem pár dní šťastia). Žite krásne bez toho, aby ste si čokoľvek odopierali. Strávte 500 rubľov v prvý deň a každý nasledujúci deň miňte o 50 rubľov viac ako predchádzajúci! Kým sa neminú peniaze. Koľko dní šťastia mala Vasya?

Ťažké?) Pomôže dodatočný vzorec z úlohy 2.

Odpovede (v neporiadku): 7, 3240, 6.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Prvá úroveň

Aritmetický postup. Podrobná teória s príkladmi (2019)

Poradie čísel

Tak si sadnime a začnime písať nejaké čísla. Napríklad:
Môžete napísať ľubovoľné čísla a môže ich byť toľko, koľko chcete (v našom prípade ich je). Bez ohľadu na to, koľko čísel napíšeme, vždy vieme povedať, ktoré je prvé, ktoré druhé a tak ďalej až do posledného, ​​čiže ich vieme očíslovať. Toto je príklad číselnej postupnosti:

Poradie čísel
Napríklad pre našu postupnosť:

Priradené číslo je špecifické len pre jedno číslo v poradí. Inými slovami, v poradí nie sú žiadne tri sekundové čísla. Druhé číslo (ako te číslo) je vždy rovnaké.
Číslo s číslom sa nazýva tý člen postupnosti.

Celú postupnosť zvyčajne nazývame nejakým písmenom (napríklad) a každý člen tejto postupnosti je rovnaké písmeno s indexom rovným číslu tohto člena: .

V našom prípade:

Povedzme, že máme číselnú postupnosť, v ktorej je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovnaký.
Napríklad:

atď.
Táto postupnosť čísel sa nazýva aritmetická progresia.
Pojem „progresia“ zaviedol rímsky autor Boethius ešte v 6. storočí a v širšom zmysle bol chápaný ako nekonečná číselná postupnosť. Názov „aritmetika“ bol prenesený z teórie spojitých proporcií, ktorú študovali starí Gréci.

Ide o číselnú postupnosť, ktorej každý člen sa rovná predchádzajúcemu pripočítanému k rovnakému číslu. Toto číslo sa nazýva rozdiel aritmetickej progresie a označuje sa.

Pokúste sa určiť, ktoré postupnosti čísel sú aritmetickým postupom a ktoré nie:

a)
b)
c)
d)

Mám to? Porovnajme naše odpovede:
Je aritmetická progresia - b, c.
Nie je aritmetická progresia - a, d.

Vráťme sa k danej postupnosti () a skúsme nájsť hodnotu jej tého členu. Existuje dva spôsob, ako to nájsť.

1. Spôsob

Číslo progresie môžeme pripočítať k predchádzajúcej hodnote, kým nedosiahneme tý člen postupu. Je dobré, že nemáme veľa čo zhrnúť - iba tri hodnoty:

Čiže tý člen opísanej aritmetickej progresie sa rovná.

2. Metóda

Čo keby sme potrebovali nájsť hodnotu tého člena progresie? Sčítanie by nám zabralo viac ako jednu hodinu a nie je pravda, že by sme sa pri sčítaní čísel nemýlili.
Samozrejme, matematici prišli na spôsob, pri ktorom nie je potrebné pripočítať k predchádzajúcej hodnote rozdiel aritmickej progresie. Pozrite sa bližšie na nakreslený obrázok... Určite ste si už všimli istý vzor, ​​a to:

Pozrime sa napríklad, z čoho pozostáva hodnota druhého člena tejto aritmetickej progresie:


Inými slovami:

Skúste sami takto nájsť hodnotu člena danej aritmetickej postupnosti.

Počítal si? Porovnajte svoje poznámky s odpoveďou:

Upozorňujeme, že ste dostali presne rovnaké číslo ako v predchádzajúcej metóde, keď sme k predchádzajúcej hodnote postupne pridali podmienky aritmetickej progresie.
Pokúsme sa „depersonalizovať“ tento vzorec - dajme to všeobecne a získajme:

Aritmetická progresívna rovnica.

Aritmetické progresie sa môžu zvyšovať alebo znižovať.

Zvyšovanie- postupnosti, v ktorých každá nasledujúca hodnota členov je väčšia ako predchádzajúca.
Napríklad:

Zostupne- postupnosti, v ktorých každá nasledujúca hodnota členov je menšia ako predchádzajúca.
Napríklad:

Odvodený vzorec sa používa pri výpočte členov v rastúcom aj klesajúcom člene aritmetickej progresie.
Overme si to v praxi.
Dostali sme aritmetickú postupnosť pozostávajúcu z nasledujúcich čísel: Pozrime sa, aké bude te číslo tejto aritmetickej postupnosti, ak na jej výpočet použijeme náš vzorec:

Odvtedy:

Preto sme presvedčení, že vzorec funguje v klesajúcom aj rastúcom aritmetickom postupe.
Pokúste sa sami nájsť th a th term tohto aritmetického postupu.

Porovnajme výsledky:

Vlastnosť aritmetického postupu

Zkomplikujme problém – odvodíme vlastnosť aritmetickej progresie.
Povedzme, že máme nasledujúcu podmienku:
- aritmetický postup, nájsť hodnotu.
Jednoducho, poviete a začnete počítať podľa vzorca, ktorý už poznáte:

Nechaj, ah, potom:

Úplnú pravdu. Ukazuje sa, že najprv nájdeme, potom ho pridáme k prvému číslu a dostaneme to, čo hľadáme. Ak je progresia reprezentovaná malými hodnotami, tak na tom nie je nič zložité, ale čo ak dostaneme v podmienke čísla? Súhlasím, existuje možnosť urobiť chybu vo výpočtoch.
Teraz sa zamyslite nad tým, či je možné vyriešiť tento problém v jednom kroku pomocou akéhokoľvek vzorca? Samozrejme, že áno, a to sa teraz pokúsime ukázať.

Označme požadovaný člen aritmetickej progresie, pretože vzorec na jeho nájdenie je nám známy - ide o rovnaký vzorec, ktorý sme odvodili na začiatku:
, Potom:

• predchádzajúci termín postupu je:
• ďalší termín postupu je:

Zhrňme si predchádzajúce a nasledujúce podmienky postupu:

Ukazuje sa, že súčet predchádzajúcich a nasledujúcich členov progresie je dvojnásobkom hodnoty člena progresie nachádzajúceho sa medzi nimi. Inými slovami, ak chcete nájsť hodnotu progresívneho člena so známymi predchádzajúcimi a nasledujúcimi hodnotami, musíte ich pridať a vydeliť.

Presne tak, máme rovnaké číslo. Zabezpečme materiál. Vypočítajte si hodnotu progresie sami, nie je to vôbec ťažké.

Výborne! O progresii viete takmer všetko! Zostáva zistiť iba jeden vzorec, ktorý podľa legendy ľahko odvodil jeden z najväčších matematikov všetkých čias, „kráľ matematikov“ - Karl Gauss...

Keď mal Carl Gauss 9 rokov, učiteľ, zaneprázdnený kontrolou práce študentov v iných triedach, zadal v triede nasledujúcu úlohu: „Vypočítajte súčet všetkých prirodzených čísel od do (podľa iných zdrojov po) vrátane.“ Predstavte si prekvapenie učiteľa, keď jeden z jeho študentov (to bol Karl Gauss) o minútu neskôr dal správnu odpoveď na úlohu, zatiaľ čo väčšina spolužiakov odvážlivca po dlhých výpočtoch dostala nesprávny výsledok...

Mladý Carl Gauss si všimol istý vzor, ​​ktorý si môžete ľahko všimnúť aj vy.
Povedzme, že máme aritmetickú progresiu pozostávajúcu z -tých členov: Potrebujeme nájsť súčet týchto členov aritmetickej progresie. Samozrejme, všetky hodnoty môžeme sčítať manuálne, ale čo ak úloha vyžaduje nájsť súčet jej členov, ako to hľadal Gauss?

Predstavme si pokrok, ktorý nám bol daný. Pozrite sa bližšie na zvýraznené čísla a skúste s nimi vykonávať rôzne matematické operácie.


Skúšali ste to? čo si si všimol? Správny! Ich sumy sú rovnaké

Teraz mi povedzte, koľko takýchto párov je celkovo v postupe, ktorý nám bol daný? Samozrejme, presne polovica všetkých čísel, tj.
Na základe skutočnosti, že súčet dvoch členov aritmetickej progresie je rovnaký a podobné dvojice sú rovnaké, dostaneme, že celkový súčet sa rovná:
.
Vzorec pre súčet prvých členov akejkoľvek aritmetickej progresie teda bude:

V niektorých problémoch nepoznáme tý člen, ale poznáme rozdiel v progresii. Pokúste sa nahradiť vzorec tého členu do súčtového vzorca.
Čo si dostal?

Výborne! Teraz sa vráťme k problému, ktorý bol položený Carlovi Gaussovi: vypočítajte si sami, čomu sa rovná súčet čísel začínajúcich od th a súčtu čísel začínajúcich od th.

Koľko ste dostali?
Gauss zistil, že súčet členov sa rovná a súčet členov sa rovná. Rozhodli ste sa tak?

V skutočnosti vzorec na súčet členov aritmetickej postupnosti dokázal už v 3. storočí staroveký grécky vedec Diophantus a počas tejto doby vtipní ľudia naplno využívali vlastnosti aritmetického postupu.
Predstavte si napríklad Staroveký Egypt a najväčší stavebný projekt tej doby – stavbu pyramídy... Na obrázku je jedna jej strana.

Kde je tu progres, hovoríte? Pozrite sa pozorne a nájdite vzor v počte pieskových blokov v každom rade steny pyramídy.


Prečo nie aritmetický postup? Vypočítajte, koľko blokov je potrebných na stavbu jednej steny, ak sú blokové tehly umiestnené na základni. Dúfam, že nebudete počítať pri pohybe prstom po monitore, pamätáte si posledný vzorec a všetko, čo sme povedali o aritmetickom postupe?

V tomto prípade priebeh vyzerá takto: .
Rozdiel aritmetického postupu.
Počet členov aritmetického postupu.
Dosadíme naše údaje do posledných vzorcov (počet blokov vypočítame 2 spôsobmi).

Metóda 1.

Metóda 2.

A teraz môžete vypočítať na monitore: porovnajte získané hodnoty s počtom blokov, ktoré sú v našej pyramíde. Mám to? Výborne, zvládli ste súčet n-tých členov aritmetického postupu.
Samozrejme, nemôžete postaviť pyramídu z blokov na základni, ale z? Skúste si vypočítať, koľko pieskových tehál je potrebných na stavbu steny s týmto stavom.
Zvládli ste to?
Správna odpoveď je bloky:

Školenie

Úlohy:

1. Máša sa dostáva do letnej formy. Každý deň zvyšuje počet drepov. Koľkokrát urobí Máša drepy za týždeň, ak na prvom tréningu urobila drepy?
2. Aký je súčet všetkých nepárnych čísel obsiahnutých v.
3. Pri ukladaní guľatiny ich drevorubači ukladajú tak, aby každá vrchná vrstva obsahovala o jedno poleno menej ako predchádzajúca. Koľko guľatiny je v jednom murive, ak základom muriva sú guľatiny?

Odpovede:

1. Definujme parametre aritmetickej progresie. V tomto prípade
   (týždne = dni).

   odpoveď: Za dva týždne by Masha mala robiť drepy raz denne.

2. Prvé nepárne číslo, posledné číslo.
   Rozdiel aritmetického postupu.
   Počet nepárnych čísel je polovičný, skontrolujme však túto skutočnosť pomocou vzorca na nájdenie tého člena aritmetickej postupnosti:

   Čísla obsahujú nepárne čísla.
   Nahraďte dostupné údaje do vzorca:

   odpoveď: Súčet všetkých nepárnych čísel obsiahnutých v je rovnaký.

3. Spomeňme si na problém o pyramídach. V našom prípade a , keďže každá vrchná vrstva je zmenšená o jeden log, tak celkovo existuje veľa vrstiev, tj.
   Dosadíme údaje do vzorca:

   odpoveď: V murive sú guľatiny.

Poďme si to zhrnúť

1. - číselný rad, v ktorom je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovný. Môže sa zvyšovať alebo znižovať.
2. Hľadanie vzorcaČlen aritmetickej postupnosti je zapísaný vzorcom - , kde je počet čísel v postupnosti.
3. Vlastnosť členov aritmetického postupu- - kde je počet čísel v postupnosti.
4. Súčet členov aritmetickej progresie možno nájsť dvoma spôsobmi:
   
   , kde je počet hodnôt.

ARITMETICKÝ POSTUP. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

Poradie čísel

Sadneme si a začneme písať nejaké čísla. Napríklad:

Môžete napísať ľubovoľné čísla a môže ich byť toľko, koľko chcete. Ale vždy môžeme povedať, ktorý je prvý, ktorý druhý atď., čiže ich vieme očíslovať. Toto je príklad číselnej postupnosti.

Poradie čísel je množina čísel, z ktorých každému možno priradiť jedinečné číslo.

Inými slovami, každé číslo môže byť spojené s určitým prirodzeným číslom, a to jedinečným. A toto číslo nepriradíme žiadnemu inému číslu z tejto sady.

Číslo s číslom sa nazýva tý člen postupnosti.

Celú postupnosť zvyčajne nazývame nejakým písmenom (napríklad) a každý člen tejto postupnosti je rovnaké písmeno s indexom rovným číslu tohto člena: .

Je veľmi výhodné, ak môže byť tý člen postupnosti špecifikovaný nejakým vzorcom. Napríklad vzorec

nastaví postupnosť:

A vzorec je nasledujúca postupnosť:

Napríklad aritmetická progresia je postupnosť (prvý člen je tu rovnaký a rozdiel je). Alebo (rozdiel).

vzorec n-tého členu

Vzorec nazývame rekurentný, v ktorom na zistenie tého výrazu potrebujete poznať predchádzajúci alebo niekoľko predchádzajúcich:

Aby sme našli napríklad tý člen progresie pomocou tohto vzorca, budeme musieť vypočítať predchádzajúcich deväť. Napríklad, nechajte to. potom:

Je už jasné, aký je vzorec?

V každom riadku sčítame, vynásobíme nejakým číslom. Ktorý? Veľmi jednoduché: toto je číslo aktuálneho člena mínus:

Teraz je to oveľa pohodlnejšie, však? Kontrolujeme:

Rozhodnite sa sami:

V aritmetickej postupnosti nájdite vzorec pre n-tý člen a nájdite stý člen.

Riešenie:

Prvý termín je rovnaký. V čom je rozdiel? Tu je čo:

(Preto sa to nazýva rozdiel, pretože sa rovná rozdielu po sebe nasledujúcich členov postupu).

Takže vzorec:

Potom sa stý člen rovná:

Aký je súčet všetkých prirodzených čísel od do?

Podľa legendy túto sumu vypočítal veľký matematik Carl Gauss ako 9-ročný chlapec za pár minút. Všimol si, že súčet prvého a posledného čísla je rovnaký, súčet druhého a predposledného je rovnaký, súčet tretieho a 3. od konca je rovnaký atď. Koľko je takých párov celkovo? Presne tak, presne polovičný počet všetkých čísel, tj. takže,

Všeobecný vzorec pre súčet prvých členov akejkoľvek aritmetickej progresie bude:

Príklad:
Nájdite súčet všetkých dvojciferných násobkov.

Riešenie:

Prvé takéto číslo je toto. Každé nasledujúce číslo sa získa pripočítaním k predchádzajúcemu číslu. Čísla, ktoré nás zaujímajú, teda tvoria aritmetickú postupnosť s prvým členom a rozdielom.

Vzorec druhého členu pre túto postupnosť:

Koľko výrazov je v postupe, ak všetky musia byť dvojciferné?

Veľmi ľahké: .

Posledný termín postupu bude rovnaký. Potom suma:

Odpoveď: .

Teraz sa rozhodnite sami:

1. Každý deň prebehne športovec viac metrov ako predchádzajúci deň. Koľko kilometrov celkovo nabehá za týždeň, ak prvý deň zabehol km m?
2. Cyklista prejde každý deň viac kilometrov ako predchádzajúci deň. Prvý deň precestoval km. Koľko dní potrebuje na cestu, aby prešiel kilometer? Koľko kilometrov prejde počas posledného dňa svojej cesty?
3. Cena chladničky v obchode každým rokom klesá o rovnakú sumu. Zistite, o koľko sa cena chladničky každý rok znížila, ak bola ponúknutá na predaj za ruble a o šesť rokov neskôr bola predaná za ruble.

Odpovede:

1. Tu je najdôležitejšie rozpoznať aritmetickú progresiu a určiť jej parametre. V tomto prípade (týždne = dni). Musíte určiť súčet prvých podmienok tohto postupu:
   .
   odpoveď:
2. Tu je uvedené: , musí sa nájsť.
   Je zrejmé, že musíte použiť rovnaký sumárny vzorec ako v predchádzajúcom probléme:
   .
   Nahraďte hodnoty:

   Koreň zjavne nesedí, takže odpoveď je.
   Vypočítajme cestu prejdenú za posledný deň pomocou vzorca tého členu:
   (km).
   odpoveď:

3. Vzhľadom na to: . Nájsť: .
   Jednoduchšie to už nemôže byť:
   (drhnúť).
   odpoveď:

ARITMETICKÝ POSTUP. STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH

Ide o číselnú postupnosť, v ktorej je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovnaký.

Aritmetický postup môže byť rastúci () a klesajúci ().

Napríklad:

Vzorec na nájdenie n-tého člena aritmetickej postupnosti

sa zapisuje vzorcom, kde je počet čísel v postupnosti.

Vlastnosť členov aritmetického postupu

Umožňuje vám ľahko nájsť člen postupu, ak sú známe jeho susedné členy - kde je počet čísel v postupnosti.

Súčet členov aritmetickej progresie

Sumu možno zistiť dvoma spôsobmi:

Kde je počet hodnôt.

Kde je počet hodnôt.

Koncept číselnej postupnosti znamená, že každé prirodzené číslo zodpovedá nejakej skutočnej hodnote. Takáto séria čísel môže byť ľubovoľná alebo môže mať určité vlastnosti - progresiu. V druhom prípade možno každý nasledujúci prvok (člen) sekvencie vypočítať pomocou predchádzajúceho.

Aritmetický postup je postupnosť číselných hodnôt, v ktorých sa susedné členy navzájom líšia rovnakým číslom (všetky prvky série, počnúc 2., majú podobnú vlastnosť). Toto číslo - rozdiel medzi predchádzajúcimi a nasledujúcimi členmi - je konštantné a nazýva sa progresívny rozdiel.

Rozdiel v postupe: definícia

Uvažujme postupnosť pozostávajúcu z j hodnôt A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j patrí do množiny prirodzených čísel N. Aritmetika progresia je podľa svojej definície postupnosť, v ktorej a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Hodnota d je požadovaný rozdiel tejto progresie.

d = a(j) – a(j-1).

Zlatý klinec:

• Rastúca progresia, v tomto prípade d > 0. Príklad: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Klesajúca progresia, potom d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progresia rozdielov a jej arbitrárne prvky

Ak sú známe 2 ľubovoľné členy progresie (i-tá, k-tá), potom rozdiel pre danú postupnosť možno určiť na základe vzťahu:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, čo znamená d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Rozdiel progresie a jej prvý termín

Tento výraz pomôže určiť neznámu hodnotu iba v prípadoch, keď je známe číslo prvku sekvencie.

Postupový rozdiel a jeho súčet

Súčet progresie je súčtom jej členov. Na výpočet celkovej hodnoty jeho prvých j prvkov použite príslušný vzorec:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ale keďže a(j) = a(1) + d(j – 1), potom S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Čo je hlavnou podstatou vzorca?

Tento vzorec vám umožňuje nájsť akýkoľvek PODĽA JEHO ČÍSLA" n" .

Samozrejme, treba poznať aj prvý pojem 1 a rozdiel v postupe d, no, bez týchto parametrov nemôžete zapísať konkrétny postup.

Zapamätať si (alebo oslniť) tento vzorec nestačí. Musíte pochopiť jeho podstatu a aplikovať vzorec v rôznych problémoch. A tiež nezabudnúť v pravú chvíľu, áno...) Ako nezabudnúť- Neviem. A tu ako si zapamätať V prípade potreby vám určite poradím. Pre tých, ktorí dokončia lekciu až do konca.)

Pozrime sa teda na vzorec pre n-tý člen aritmetickej progresie.

Čo je to vzorec vo všeobecnosti? Mimochodom, pozrite sa, ak ste to nečítali. Všetko je tam jednoduché. Zostáva zistiť, čo to je n-tý termín.

Progresiu vo všeobecnosti možno zapísať ako sériu čísel:

1, 2, 3, 4, 5, .....

1- označuje prvý člen aritmetického postupu, a 3- tretí člen, a 4- štvrtý a tak ďalej. Ak máme záujem o piaty termín, povedzme, že pracujeme s a 5, ak stodvadsiate - s 120.

Ako to môžeme definovať všeobecne? akýkoľvek termín aritmetického postupu, s akýkoľvekčíslo? Veľmi jednoduché! Páči sa ti to:

a n

Tak to je n-tý člen aritmetického postupu. Písmeno n skryje všetky čísla členov naraz: 1, 2, 3, 4 atď.

A čo nám takýto rekord dáva? Len si pomyslite, namiesto čísla napísali písmeno...

Tento zápis nám poskytuje výkonný nástroj na prácu s aritmetickou progresiou. Použitie notácie a n, môžeme rýchlo nájsť akýkoľvekčlenom akýkoľvek aritmetická progresia. A vyriešiť kopu ďalších problémov s progresiou. Ďalej uvidíte sami.

Vo vzorci pre n-tý člen aritmetickej postupnosti:

a n = a1 + (n-1)d

1- prvý člen aritmetického postupu;

n- členské číslo.

Vzorec spája kľúčové parametre akejkoľvek progresie: a n; a 1; d A n. Všetky problémy s progresiou sa točia okolo týchto parametrov.

Vzorec n-tého členu možno použiť aj na napísanie konkrétneho postupu. Problém môže napríklad povedať, že postup je určený podmienkou:

a n = 5 + (n-1) 2.

Takýto problém môže byť slepou uličkou... Neexistuje ani séria, ani rozdiel... Ale pri porovnaní podmienky so vzorcom je ľahké pochopiť, že v tomto postupe ai = 5 a d = 2.

A môže to byť ešte horšie!) Ak vezmeme rovnakú podmienku: a n = 5 + (n-1) 2,Áno, otvoriť zátvorky a priniesť podobné? Dostávame nový vzorec:

a n = 3 + 2n.

Toto Len nie všeobecne, ale pre konkrétny postup. Tu sa skrýva úskalia. Niektorí ľudia si myslia, že prvý termín je trojka. Aj keď v skutočnosti je prvý termín päť... O niečo nižšie budeme pracovať s takto upraveným vzorcom.

V problémoch s progresiou existuje iná notácia - a n+1. Toto je, ako ste uhádli, „n plus prvý“ člen postupu. Jeho význam je jednoduchý a neškodný.) Ide o člen postupnosti, ktorého číslo je o jednu väčšie ako číslo n. Napríklad, ak v nejakom probléme vezmeme a n teda piate volebné obdobie a n+1 bude šiestym členom. Atď.

Najčastejšie označenie a n+1 nachádza vo vzorcoch opakovania. Nebojte sa tohto strašidelného slova!) Toto je len spôsob vyjadrenia člena aritmetického postupu cez predchádzajúci. Povedzme, že máme aritmetickú progresiu v tejto forme pomocou opakujúceho sa vzorca:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

Štvrtý - cez tretí, piaty - cez štvrtý atď. Ako môžeme okamžite počítať, povedzme, dvadsiaty termín? 20? Ale neexistuje!) Kým nezistíme 19. termín, nemôžeme počítať 20. Toto je základný rozdiel medzi opakujúcim sa vzorcom a vzorcom n-tého členu. Opakované funguje iba cez predchádzajúcečlen a vzorec n-tého členu je cez najprv a umožňuje hneď nájsť ľubovoľného člena podľa jeho čísla. Bez počítania celého radu čísel v poradí.

V aritmetickej progresii je ľahké zmeniť opakujúci sa vzorec na pravidelný. Spočítajte pár po sebe idúcich výrazov, vypočítajte rozdiel d, v prípade potreby nájdite prvý termín 1, napíšte vzorec v jeho obvyklom tvare a pracujte s ním. S takýmito úlohami sa v Štátnej akadémii vied často stretávame.

Aplikácia vzorca pre n-tý člen aritmetickej postupnosti.

Najprv sa pozrime na priamu aplikáciu vzorca. Na konci predchádzajúcej lekcie sa vyskytol problém:

Je daná aritmetická progresia (a n). Nájdite 121, ak a 1 = 3 a d = 1/6.

Tento problém možno vyriešiť bez akýchkoľvek vzorcov, jednoducho na základe významu aritmetickej progresie. Pridajte a pridajte... Hodinu alebo dve.)

A podľa vzorca bude riešenie trvať menej ako minútu. Môžete si to načasovať.) Poďme sa rozhodnúť.

Podmienky poskytujú všetky údaje na použitie vzorca: ai = 3, d = 1/6. Zostáva zistiť, čo sa rovná n.Žiaden problém! Musíme nájsť 121. Takže píšeme:

Venujte prosím pozornosť! Namiesto indexu n objavilo sa konkrétne číslo: 121. Čo je celkom logické.) Zaujíma nás člen aritmetickej postupnosti číslo sto dvadsať jeden. Toto bude naše n. Toto je zmysel n= 121 dosadíme ďalej do vzorca, v zátvorkách. Všetky čísla dosadíme do vzorca a vypočítame:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

To je všetko. Rovnako rýchlo by sa dal nájsť päťsto desiaty výraz a tisíc a tretí ľubovoľný. Dali sme namiesto toho n požadované číslo v indexe písmena " a" a v zátvorkách a počítame.

Dovoľte mi pripomenúť vám bod: tento vzorec vám umožňuje nájsť akýkoľvekčlen aritmetického postupu PODĽA JEHO ČÍSLA" n" .

Vyriešme problém prefíkanejším spôsobom. Poďme sa stretnúť s nasledujúcim problémom:

Nájdite prvý člen aritmetickej postupnosti (a n), ak a 17 = -2; d = -0,5.

Ak máte nejaké ťažkosti, poviem vám prvý krok. Napíšte vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti!Áno áno. Zapíšte si rukami priamo do zošita:

a n = a1 + (n-1)d

A teraz, keď sa pozrieme na písmená vzorca, chápeme, aké údaje máme a čo nám chýba? Dostupné d=-0,5, je tu sedemnásty člen... Je to tak? Ak si myslíš, že je to tak, potom problém nevyriešiš, áno...

Stále máme číslo n! V stave a 17 = -2 skryté dva parametre. Ide o hodnotu sedemnásteho členu (-2), ako aj o jeho číslo (17). Tie. n=17. Táto „maličkosť“ často prekĺzne cez hlavu a bez nej (bez „maličkosti“, nie hlavy!) sa problém vyriešiť nedá. Aj keď... a tiež bez hlavy.)

Teraz môžeme jednoducho hlúpo nahradiť naše údaje do vzorca:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Ó áno, 17 vieme, že je to -2. Dobre, nahradíme:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

To je v podstate všetko. Zostáva vyjadriť prvý člen aritmetického postupu zo vzorca a vypočítať ho. Odpoveď bude: a 1 = 6.

Táto technika – zapisovanie vzorca a jednoduché nahradenie známych údajov – je skvelým pomocníkom pri jednoduchých úlohách. Samozrejme, musíte byť schopní vyjadriť premennú zo vzorca, ale čo robiť!? Bez tejto zručnosti sa matematika vôbec nedá študovať...

Ďalšia populárna hádanka:

Nájdite rozdiel aritmetickej progresie (a n), ak a 1 = 2; a 15 = 12.

Čo robíme? Budete prekvapení, píšeme vzorec!)

a n = a1 + (n-1)d

Zamyslime sa nad tým, čo vieme: ai=2; a15=12; a (obzvlášť vyzdvihnem!) n=15. Neváhajte to nahradiť do vzorca:

12=2 + (15-1)d

Robíme aritmetiku.)

12 = 2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Toto je správna odpoveď.

Takže úlohy pre a n, a 1 A d rozhodol. Zostáva len naučiť sa nájsť číslo:

Číslo 99 je členom aritmetickej postupnosti (a n), kde a 1 = 12; d=3. Nájdite číslo tohto člena.

Nám známe množstvá dosadíme do vzorca n-tého člena:

a n = 12 + (n-1) 3

Na prvý pohľad sú tu dve neznáme veličiny: a n a n. ale a n- toto je nejaký člen progresie s číslom n...A tohto člena progresu poznáme! Je to 99. Nepoznáme jej číslo. n, Takže toto číslo je to, čo potrebujete nájsť. Člen progresie 99 dosadíme do vzorca:

99 = 12 + (n-1) 3

Vyjadrujeme zo vzorca n, my si myslíme. Dostávame odpoveď: n=30.

A teraz problém na rovnakú tému, ale kreatívnejší):

Určte, či číslo 117 je členom aritmetickej postupnosti (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Opäť napíšeme vzorec. Čo, nie sú tam žiadne parametre? Hm... Prečo máme oči?) Vidíme prvý termín progresie? Vidíme. Toto je -3,6. Pokojne môžete napísať: a1 = -3,6. Rozdiel d viete určiť zo série? Je to jednoduché, ak viete, aký je rozdiel medzi aritmetickou progresiou:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Takže sme urobili najjednoduchšiu vec. Zostáva sa vysporiadať s neznámym číslom n a nezrozumiteľné číslo 117. V predchádzajúcom probléme sa aspoň vedelo, že bol daný termín postupu. Ale tu ani nevieme... Čo robiť!? No, čo robiť, čo robiť... Zapnúť Tvorivé schopnosti!)

my predpokladaťže 117 je predsa členom našej progresie. S neznámym číslom n. A rovnako ako v predchádzajúcom probléme, skúsme nájsť toto číslo. Tie. napíšeme vzorec (áno, áno!)) a dosadíme naše čísla:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Opäť vyjadrujeme zo vzorcan, spočítame a dostaneme:

Ojoj! Číslo vyšlo zlomkové! Sto jeden a pol. A zlomkové čísla v postupnosti nemôže byť. Aký záver môžeme vyvodiť? Áno! Číslo 117 nie ječlenom našej progresie. Je to niekde medzi sto prvým a sto druhým termínom. Ak by počet dopadol prirodzene, t.j. je kladné celé číslo, potom by číslo bolo členom progresie s nájdeným číslom. A v našom prípade bude odpoveď na problém: Nie

Úloha založená na skutočnej verzii GIA:

Aritmetická progresia je daná podmienkou:

a n = -4 + 6,8 n

Nájdite prvý a desiaty termín postupu.

Tu je postup nastavený nezvyčajným spôsobom. Nejaký vzorec... Stáva sa to.) Avšak tento vzorec (ako som napísal vyššie) - tiež vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti! Tiež povoľuje nájdite ľubovoľného člena postupu podľa jeho čísla.

Hľadáme prvého člena. Ten, kto si myslí. že prvý člen je mínus štyri sa fatálne mýli!) Pretože vzorec v úlohe je upravený. Prvý člen aritmetického postupu v ňom skryté. Nevadí, teraz to nájdeme.)

Rovnako ako v predchádzajúcich problémoch, nahrádzame n=1 do tohto vzorca:

a1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Tu! Prvý termín je 2,8, nie -4!

Rovnakým spôsobom hľadáme desiaty výraz:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

To je všetko.

A teraz, pre tých, ktorí dočítali tieto riadky, sľúbený bonus.)

Predpokladajme, že v zložitej bojovej situácii štátnej skúšky alebo jednotnej štátnej skúšky ste zabudli na užitočný vzorec pre n-tý termín aritmetického postupu. Niečo si pamätám, ale akosi neisto... Alebo n tam, resp n+1, príp n-1... Ako byť!?

Pokojne! Tento vzorec sa dá ľahko odvodiť. Nie je to veľmi striktné, ale určite to stačí na dôveru a správne rozhodnutie!) Aby sme urobili záver, stačí si zapamätať základný význam aritmetického postupu a mať pár minút času. Stačí si nakresliť obrázok. Pre prehľadnosť.

Nakreslite číselnú os a označte na nej prvú. druhý, tretí atď. členov. A všimneme si rozdiel d medzi členmi. Páči sa ti to:

Pozrieme sa na obrázok a pomyslíme si: čo znamená druhý výraz? Po druhé jeden d:

a 2 = a 1 + 1 d

Aký je tretí termín? Po tretie termín sa rovná prvému termínu plus dva d.

a 3 = a 1 + 2 d

Máš to? Nie nadarmo niektoré slová zvýrazním tučným písmom. Dobre, ešte jeden krok).

Aký je štvrtý termín? Po štvrté termín sa rovná prvému termínu plus tri d.

a 4 = a 1 + 3 d

Je načase si uvedomiť, že počet medzier, t.j. d, Vždy o jeden menej ako je počet člena, ktorého hľadáte n. Teda do počtu n, počet medzier bude n-1. Vzorec teda bude (bez variácií!):

a n = a1 + (n-1)d

Vo všeobecnosti sú vizuálne obrázky veľmi užitočné pri riešení mnohých problémov v matematike. Nezanedbávajte obrázky. Ale ak je ťažké nakresliť obrázok, potom ... iba vzorec!) Okrem toho vzorec n-tého termínu vám umožňuje pripojiť k riešeniu celý silný arzenál matematiky - rovnice, nerovnice, systémy atď. Do rovnice sa nedá vložiť obrázok...

Úlohy na samostatné riešenie.

Zohriať sa:

1. V aritmetickej postupnosti (a n) a 2 = 3; a5 = 5,1. Nájdite 3.

Pomôcka: podľa obrázku sa dá problém vyriešiť za 20 sekúnd... Podľa vzorca to vychádza ťažšie. Ale na zvládnutie vzorca je to užitočnejšie.) V časti 555 je tento problém vyriešený pomocou obrázka aj vzorca. Cítiť rozdiel!)

A toto už nie je zahrievanie.)

2. V aritmetickej progresii (a n) a 85 = 19,1; a 236 = 49, 3. Nájdite 3 .

Čo, nechceš nakresliť obrázok?) Samozrejme! Lepšie podľa vzorca, áno...

3. Aritmetický postup je daný podmienkou:ai = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Nájdite stodvadsiaty piaty termín tohto postupu.

V tejto úlohe je postup špecifikovaný opakujúcim sa spôsobom. Ale rátať do stodvadsiateho piateho termínu... Nie každý je toho schopný.) Ale vzorec n-tého termínu je v moci každého!

4. Daná aritmetická progresia (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Nájdite číslo najmenšieho kladného člena progresie.

5. Podľa podmienok úlohy 4 nájdite súčet najmenších kladných a najväčších záporných členov postupu.

6. Súčin piateho a dvanásteho členu rastúcej aritmetickej progresie sa rovná -2,5 a súčet tretieho a jedenásteho členu sa rovná nule. Nájdite 14.

Nie je to najjednoduchšia úloha, áno...) Metóda „končekov prstov“ tu nebude fungovať. Budete musieť písať vzorce a riešiť rovnice.

Odpovede (v neporiadku):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Stalo? Je to pekné!)

Nevychádza všetko? Stáva sa. Mimochodom, v poslednej úlohe je jeden jemný bod. Pri čítaní problému bude potrebná opatrnosť. A logika.

Riešenie všetkých týchto problémov je podrobne popísané v časti 555. A prvok fantázie pre štvrtý a jemný bod pre šiesty a všeobecné prístupy k riešeniu akýchkoľvek problémov zahŕňajúcich vzorec n-tého člena - všetko je opísané. Odporúčam.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.