U paralelogramu su kutovi pri osnovici jednaki. Paralelogram i njegova svojstva

Paralelogram je četverokut čije su nasuprotne stranice u parovima paralelne. Također, paralelogram ima sljedeća svojstva: nasuprotne stranice su jednake, nasuprotni kutovi su jednaki, a zbroj svih kutova je 360 ​​stupnjeva.

Trebat će vam

• Poznavanje geometrije.

upute

1. Zamislimo da je jedan od kutova paralelograma dan i da je jednak A. Nađimo vrijednosti preostala 3. Prema svojstvu paralelograma suprotni kutovi su jednaki. To znači da je kut nasuprot zadanom jednak zadanom i da mu je vrijednost jednaka A.

2. Pronađimo preostala dva ugla. Budući da je zbroj svih kutova u paralelogramu jednak 360 stupnjeva, a nasuprotni kutovi su međusobno jednaki, ispada da je kut koji pripada istoj stranici kao i zadana jednak (360 - 2A)/2. Pa, ili nakon reforme dobivamo 180 - A. Dakle, u paralelogramu su dva kuta jednaka A, a druga dva kuta jednaka su 180 - A.

Bilješka!
Vrijednost jednog kuta ne smije biti veća od 180 stupnjeva. Dobivene vrijednosti kuta mogu se lako provjeriti. Da biste to učinili, zbrojite ih i, ako je zbroj 360, sve je točno izračunato.

Koristan savjet
Pravokutnik i romb su posebni slučajevi paralelograma, stoga na njih vrijede sva svojstva i načini izračunavanja kutova.

Paralelogram je četverokut čije su nasuprotne stranice u parovima paralelne. Već je ova definicija dovoljna, jer iz nje slijede ostala svojstva paralelograma i dokazuju se u obliku teorema.

Glavna svojstva paralelograma su:

• paralelogram je konveksni četverokut;
• Paralelogram ima nasuprotne stranice koje su u parovima jednake;
• U paralelogramu su suprotni kutovi jednaki u parovima;
• Dijagonale paralelograma dijele se popola točkom presjeka.

Paralelogram - konveksni četverokut

Dokažimo prvo teorem da paralelogram je konveksni četverokut. Mnogokut je konveksan ako koja god njegova strana bude produžena do ravne crte, sve ostale strane poligona bit će na istoj strani te ravne crte.

Neka je dan paralelogram ABCD u kojem je AB suprotna stranica CD, a BC suprotna stranica AD. Tada iz definicije paralelograma slijedi da je AB || CD, BC || OGLAS.

Paralelni segmenti nemaju zajedničkih točaka i ne sijeku se. To znači da CD leži na jednoj strani od AB. Budući da dužica BC spaja točku B dužine AB s točkom C dužice CD, a dužica AD povezuje ostale točke AB i CD, dužice BC i AD također leže na istoj strani pravca AB na kojoj leži CD. Dakle, sve tri stranice - CD, BC, AD - leže na istoj strani od AB.

Slično se dokazuje da u odnosu na ostale stranice paralelograma ostale tri stranice leže na istoj strani.

Nasuprotne stranice i kutovi su jednaki

Jedno od svojstava paralelograma je da U paralelogramu su nasuprotne stranice i nasuprotni kutovi jednaki u parovima. Na primjer, ako je dan paralelogram ABCD, tada ima AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Ovaj se teorem dokazuje na sljedeći način.

Paralelogram je četverokut. To znači da ima dvije dijagonale. Budući da je paralelogram konveksni četverokut, bilo koji od njih dijeli ga na dva trokuta. U paralelogramu ABCD razmotrite trokute ABC i ADC dobivene povlačenjem dijagonale AC.

Ovi trokuti imaju jednu zajedničku stranicu - AC. Kut BCA jednak je kutu CAD, kao i okomit kad su BC i AD paralelni. Kutovi BAC i ACD također su jednaki okomitim kutovima kada su AB i CD paralelni. Stoga je ∆ABC = ∆ADC kod dvaju kutova i stranice između njih.

U tim trokutima stranica AB odgovara stranici CD, a stranica BC stranici AD. Dakle, AB = CD i BC = AD.

Kut B odgovara kutu D, tj. ∠B = ∠D. Kut A paralelograma je zbroj dvaju kutova - ∠BAC i ∠CAD. Kut C jednak je ∠BCA i ∠ACD. Kako su parovi kutova međusobno jednaki, tada je ∠A = ∠C.

Dakle, dokazano je da su u paralelogramu nasuprotne stranice i kutovi jednaki.

Dijagonale su podijeljene na pola

Kako je paralelogram konveksan četverokut, on ima dvije dijagonale koje se sijeku. Neka je dan paralelogram ABCD čije se dijagonale AC i BD sijeku u točki E. Promotrimo trokute ABE i CDE koje oni čine.

Ovi trokuti imaju stranice AB i CD jednake suprotnim stranicama paralelograma. Kut ABE jednak je kutu CDE koji poprečno leži na paralelnim pravcima AB i CD. Iz istog razloga je ∠BAE = ∠DCE. To znači ∆ABE = ∆CDE na dva kuta i stranice između njih.

Također možete primijetiti da su kutovi AEB i CED okomiti i stoga također međusobno jednaki.

Kako su trokuti ABE i CDE međusobno jednaki, onda su im i svi pripadni elementi jednaki. Stranica AE prvog trokuta odgovara stranici CE drugog, što znači AE = CE. Slično BE = DE. Svaki par jednakih odsječaka čini dijagonalu paralelograma. Tako je dokazano da Dijagonale paralelograma raspolavljaju svojom sjecišnom točkom.

Videotečaj "Get A" uključuje sve teme potrebne za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike sa 60-65 bodova. Potpuno svi zadaci 1-13 profilnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Prikladno i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite položiti Jedinstveni državni ispit s 90-100 bodova, trebate riješiti 1. dio za 30 minuta i bez grešaka!

Pripremni tečaj za Jedinstveni državni ispit za razrede 10-11, kao i za učitelje. Sve što vam je potrebno za rješavanje prvog dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 problema) i problema 13 (trigonometrija). A ovo je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa 100 bodova ni student humanističkih znanosti.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI Banke zadataka. Tečaj je u potpunosti u skladu sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.

Tečaj sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je dana od nule, jednostavno i jasno.

Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Varljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto natrpavanja. Jasna objašnjenja složenih pojmova. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i izvod. Osnova za rješavanje složenih problema 2. dijela Jedinstvenog državnog ispita.

Paralelogram je četverokut čije su suprotne stranice paralelne, odnosno leže na paralelnim pravcima (slika 1).

Teorem 1. O svojstvima stranica i kutova paralelograma. U paralelogramu su nasuprotne stranice jednake, nasuprotni kutovi su jednaki, a zbroj kutova uz jednu stranicu paralelograma je 180°.

Dokaz. U tom paralelogramu ABCD nacrtamo dijagonalu AC i dobijemo dva trokuta ABC i ADC (slika 2).

Ti su trokuti jednaki jer je ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (križni kutovi za paralelne pravce), a stranica AC je zajednička. Iz jednakosti Δ ABC = Δ ADC slijedi da je AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Zbroj kutova koji priliježu jednoj stranici, na primjer kutovi A i D, jednaki su 180° kao jednostrani. za paralelne pravce. Teorem je dokazan.

Komentar. Jednakost suprotnih stranica paralelograma znači da su odsječci paralela odsječeni paralelnima jednaki.

Posljedica 1. Ako su dva pravca paralelna, tada su sve točke na jednom pravcu jednako udaljene od drugog pravca.

Dokaz. Doista, neka || b (slika 3).

Povucimo okomice BA i CD na pravac a iz neke dvije točke B i C pravca b. Budući da je AB || CD, tada je lik ABCD paralelogram, pa je prema tome AB = CD.

Udaljenost između dva paralelna pravca je udaljenost proizvoljne točke na jednom od pravaca do drugog pravca.

Prema onome što je dokazano, jednaka je duljini okomice povučene iz neke točke jednog od usporednih pravaca na drugi pravac.

Primjer 1. Opseg paralelograma je 122 cm. Jedna mu je stranica 25 cm veća od druge. Odredite stranice paralelograma.

Riješenje. Prema teoremu 1, suprotne stranice paralelograma su jednake. Označimo jednu stranu paralelograma s x, a drugu s y. Zatim, prema uvjetu $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ Rješavajući ovaj sustav, dobivamo x = 43, y = 18 Dakle, stranice paralelograma su 18, 43, 18 i 43 cm.

Primjer 2.

Riješenje. Neka slika 4 ispunjava uvjete zadatka.

Označimo AB s x, a BC s y. Prema uvjetu, opseg paralelograma je 10 cm, tj. 2(x + y) = 10, odnosno x + y = 5. Opseg trokuta ABD je 8 cm. A kako je AB + AD = x + y = 5 zatim BD = 8 - 5 = 3. Dakle, BD = 3 cm.

Primjer 3. Odredite kutove paralelograma, znajući da je jedan od njih za 50° veći od drugog.

Riješenje. Neka slika 5 ispunjava uvjete zadatka.

Označimo stupanjsku mjeru kuta A s x. Tada je stupanjska mjera kuta D x + 50°.

Kutovi BAD i ADC su jednostrani unutarnji kutovi s paralelnim pravcima AB i DC i sekantom AD. Tada će zbroj ovih imenovanih kutova biti 180°, tj.
x + x + 50° = 180°, ili x = 65°. Dakle, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Primjer 4. Stranice paralelograma su 4,5 dm i 1,2 dm. Iz vrha oštrog kuta povučena je simetrala. Na koje dijelove dijeli veću stranicu paralelograma?

Riješenje. Neka slika 6 ispunjava uvjete zadatka.

AE je simetrala šiljastog kuta paralelograma. Stoga je ∠ 1 = ∠ 2.

Problem 1. Jedan od kutova paralelograma je 65°. Odredite preostale kutove paralelograma.

∠C =∠A = 65° kao suprotni kutovi paralelograma.

∠A +∠B = 180° kao kutovi uz jednu stranicu paralelograma.

∠B = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°.

∠D =∠B = 115° kao suprotni kutovi paralelograma.

Odgovor: ∠A =∠C = 65°; ∠B =∠D = 115°.

Zadatak 2. Zbroj dvaju kutova paralelograma je 220°. Odredite kutove paralelograma.

Kako paralelogram ima 2 jednaka oštra kuta i 2 jednaka tupa kuta, dan nam je zbroj dvaju tupih kutova, tj. ∠B +∠D = 220°. Tada je ∠B =∠D = 220° : 2 = 110°.

∠A + ∠B = 180° kao kutovi uz jednu stranicu paralelograma, pa je ∠A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°. Tada je ∠C =∠A = 70°.

Odgovor: ∠A =∠C = 70°; ∠B =∠D = 110°.

Zadatak 3. Jedan od kutova paralelograma je 3 puta veći od drugog. Odredite kutove paralelograma.

Neka je ∠A =x. Tada je ∠B = 3x. Znajući da je zbroj kutova paralelograma uz jednu od njegovih stranica 180°, napravit ćemo jednadžbu.

x = 180 : 4;

Dobivamo: ∠A = x = 45°, i ∠B = 3x = 3 ∙ 45° = 135°.

Nasuprotni kutovi paralelograma su jednaki, dakle,

∠A =∠C = 45°; ∠B =∠D = 135°.

Odgovor: ∠A =∠C = 45°; ∠B =∠D = 135°.

Zadatak 4. Dokažite da ako četverokut ima dvije paralelne i jednake stranice, onda je taj četverokut paralelogram.

Dokaz.

Nacrtajmo dijagonalu BD i razmotrimo Δ ADB i Δ CBD.

AD = BC prema uvjetu. BD strana je uobičajena. ∠1 = ∠2 kao unutarnje poprečno leže s paralelnim (po uvjetu) pravcima AD i BC i sekantom BD. Dakle, Δ ADB = Δ CBD na dvije stranice i kut između njih (1. znak jednakosti trokuta). U sukladnim trokutima pripadni su kutovi jednaki, što znači ∠3 =∠4. A ovi kutovi su unutarnji kutovi koji leže poprečno s ravnim linijama AB i CD i sekantom BD. To znači da su pravci AB i CD paralelni. Dakle, u ovom četverokutu ABCD nasuprotne stranice su paralelne u parovima, dakle, po definiciji je ABCD paralelogram, što je i trebalo dokazati.

Zadatak 5. Dvije stranice paralelograma su u omjeru 2 : 5, a opseg je 3,5 m. Odredite stranice paralelograma.

∙ (AB + AD).

Označimo jedan dio s x. tada je AB = 2x, AD = 5x metara. Znajući da je opseg paralelograma 3,5 m, stvaramo jednadžbu:

2 ∙ (2x + 5x) = 3,5;

2 ∙ 7x = 3,5;

x = 3,5 : 14;

Jedan dio je 0,25 m. Tada je AB = 2 ∙ 0,25 = 0,5 m; AD = 5 ∙ 0,25 = 1,25 m.

Ispitivanje.

Opseg paralelograma P ABCD = 2 ∙ (AB + AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 = 3,5 (m).

Kako su nasuprotne stranice paralelograma jednake, onda je CD = AB = 0,25 m; BC = AD = 1,25 m.

Odgovor: CD = AB = 0,25 m; BC = AD = 1,25 m.