Sustav je homogen. Homogeni sustavi linearnih jednadžbi

Linearni sustav naziva se homogena ako su svi njegovi slobodni termini 0.

U matričnom obliku homogeni sustav je zapisan:
.

Homogeni sustav (2) uvijek je konzistentan . Očito je da skup brojeva
,
, …,
zadovoljava svaku jednadžbu sustava. Riješenje
nazvao nula ili trivijalno odluka. Dakle, homogeni sustav uvijek ima nulto rješenje.

Pod kojim uvjetima će homogeni sustav (2) imati različita od nule (netrivijalna) rješenja?

Teorem 1.3 Homogeni sustav (2) ima rješenja različita od nule ako i samo ako rang r svoju glavnu matricu manje nepoznanica n .

Sustav (2) - neodređeno
.

Posljedica 1. Ako je broj jednadžbi m homogeni sustav je manji od broja varijabli
, tada je sustav neodređen i ima skup rješenja različitih od nule.

Posljedica 2. Kvadratni homogeni sustav
ima rješenja različita od nule ako i ako je glavna matrica ovog sustava je degeneriran, tj. determinanta
.

Inače, ako odrednica
, kvadratni homogeni sustav ima jedina stvar nulto rješenje
.

Neka je rang sustava (2)
tj. sustav (2) ima netrivijalna rješenja.

Neka I - pojedinačna rješenja ovog sustava, tj.
I
.

Svojstva otopina homogenog sustava

Stvarno,.

Stvarno,.

Kombinirajući svojstva 1) i 2), možemo reći da ako

…,
- rješenja homogenog sustava (2), onda je svaka njihova linearna kombinacija ujedno i njegovo rješenje. Ovdje
su proizvoljni realni brojevi.

Može se naći
linearno neovisna partikularna rješenja homogeni sustav (2), pomoću kojeg se može dobiti bilo koje drugo posebno rješenje ovog sustava, tj. dobiti opće rješenje sustava (2).

Definicija 2.2 Agregat
linearno neovisna partikularna rješenja

…,
homogeni sustav (2) takav da se svako rješenje sustava (2) može prikazati kao njihova linearna kombinacija naziva se temeljni sustav odlučivanja (FSR) homogenog sustava (2).

Neka

…,
je temeljni sustav rješenja, tada se opće rješenje homogenog sustava (2) može prikazati kao:

Gdje

.

Komentar. Da biste dobili FSR, morate pronaći privatna rješenja

…,
, dajući zauzvrat bilo kojoj slobodnoj varijabli vrijednost "1", a svim ostalim slobodnim varijablama - vrijednost "0".

Dobiti ,, …,- FSR.

Primjer. Nađite opće rješenje i temeljni sustav rješenja homogenog sustava jednadžbi:

Riješenje. Zapišimo proširenu matricu sustava, prvo stavljajući posljednju jednadžbu sustava na prvo mjesto, te je svedimo na stepenasti oblik. Budući da se desne strane jednadžbi ne mijenjaju kao rezultat elementarnih transformacija, ostaje nula, stupac

ne smije se ispisati.

̴
̴
̴

Sistemski rang gdje
- broj varijabli. Sustav je nesiguran i ima mnogo rješenja.

Bazisni minor s varijablama
različito od nule:
izabrati
kao osnovne varijable, ostalo
- slobodne varijable (uzimaju bilo koje realne vrijednosti).

Posljednja matrica u lancu odgovara stupnjevitom sustavu jednadžbi:

(3)

Izrazite osnovne varijable
kroz slobodne varijable
(obrnuti tijek Gaussove metode).

Iz posljednje jednadžbe izražavamo :
i zamijenite u prvu jednadžbu. Primit ćemo. Otvaramo zagrade, dajemo slične i izražavamo :
.

Pretpostavljajući
,
,
, Gdje
, napiši

je opće rješenje sustava.

Pronađimo temeljni sustav rješenja

,,.

Tada se opće rješenje homogenog sustava može napisati kao:

Komentar. FSR se može pronaći na drugi način, bez prethodnog pronalaženja općeg rješenja sustava. Da bi se to postiglo, rezultirajući sustav koraka (3) morao se riješiti tri puta, uz pretpostavku za :
; Za :
; Za :
.

Homogeni sustavi linearnih algebarskih jednadžbi

U okviru nastave Gaussova metoda I Nekompatibilni sustavi/sustavi sa zajedničkim rješenjem smatrali smo nehomogenih sustava linearnih jednadžbi, Gdje slobodan član(koji je obično s desne strane) najmanje jedan jednadžbi različito od nule.
A sada, nakon dobrog zagrijavanja sa rang matrice, nastavit ćemo brusiti tehniku elementarne transformacije na homogeni sustav linearnih jednadžbi.
Prema prvim odlomcima gradivo može djelovati dosadno i obično, ali taj dojam je varljiv. Osim daljnjeg razvoja tehnika, bit će puno novih informacija, stoga pokušajte ne zanemariti primjere u ovom članku.

Što je homogeni sustav linearnih jednadžbi?

Odgovor se nameće sam od sebe. Sustav linearnih jednadžbi je homogen ako slobodni član svatko jednadžba sustava je nula. Na primjer:

Sasvim je jasno da homogeni sustav je uvijek konzistentan, odnosno uvijek ima rješenje. I to, prije svega, tzv trivijalno riješenje . Trivijalno, za one koji uopće ne razumiju značenje pridjeva, znači bespontovoe. Ne akademski, naravno, ali razumljivo =) ... Zašto se dvoumiti, saznajmo ima li ovaj sustav još rješenja:

Primjer 1

Riješenje: za rješavanje homogenog sustava potrebno je pisati matrica sustava te ga uz pomoć elementarnih transformacija dovesti do stepenastog oblika. Imajte na umu da ovdje nema potrebe pisati okomitu crtu i stupac nula besplatnih članova - uostalom, što god učinili s nulama, one će ostati nule:

(1) Prvi red je dodan drugom retku, pomnožen s -2. Prvi red je dodan trećem retku, pomnožen s -3.

(2) Drugi red je dodan trećem retku, pomnožen s -1.

Dijeljenje trećeg reda s 3 nema previše smisla.

Kao rezultat elementarnih transformacija dobiva se ekvivalentan homogeni sustav , a primjenom obrnutog poteza Gaussove metode, lako je provjeriti da je rješenje jedinstveno.

Odgovor:

Formulirajmo očigledan kriterij: homogeni sustav linearnih jednadžbi ima samo trivijalno rješenje, Ako rang matrice sustava(u ovom slučaju 3) jednako je broju varijabli (u ovom slučaju 3 kom.).

Zagrijavamo i ugađamo naš radio na val elementarnih transformacija:

Primjer 2

Riješite homogeni sustav linearnih jednadžbi

Iz članka Kako pronaći rang matrice? prisjetimo se racionalne metode usputnog smanjivanja brojeva matrice. U protivnom ćete morati klati velike i često grizljive ribe. Primjer zadatka na kraju lekcije.

Nule su dobre i zgodne, ali u praksi je mnogo češći slučaj kada su redovi matrice sustava linearno ovisna. I tada je pojava općeg rješenja neizbježna:

Primjer 3

Riješite homogeni sustav linearnih jednadžbi

Riješenje: napišemo matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija je dovedemo do stupnjevitog oblika. Prva radnja usmjerena je ne samo na dobivanje jedne vrijednosti, već i na smanjenje brojeva u prvom stupcu:

(1) Treći red je dodan prvom retku, pomnožen s -1. Treći redak je dodan drugom retku, pomnožen s -2. Gore lijevo sam dobio jedinicu s "minusom", što je često puno zgodnije za daljnje transformacije.

(2) Prva dva retka su ista, jedan od njih je uklonjen. Iskreno, nisam prilagodio odluku - dogodilo se. Ako izvršite transformacije u predlošku, onda linearna ovisnost linije bi se pojavile malo kasnije.

(3) Trećem retku dodajte drugi redak pomnožen s 3.

(4) Promijenjen je predznak prvog reda.

Kao rezultat elementarnih transformacija dobiva se ekvivalentni sustav:

Algoritam radi potpuno isto kao i za heterogeni sustavi. Varijable koje "sjede na stepenicama" su glavne, varijabla koja nije dobila "korake" je slobodna.

Izražavamo osnovne varijable u terminima slobodne varijable:

Odgovor: zajednička odluka:

Trivijalno rješenje je uključeno u opću formulu i nije ga potrebno posebno pisati.

Provjera se također provodi prema uobičajenoj shemi: dobiveno opće rješenje mora se zamijeniti u lijevu stranu svake jednadžbe sustava i za sve zamjene dobiva se legitimna nula.

Ovome bi se tiho moglo stati na kraj, ali često treba prikazati rješenje homogenog sustava jednadžbi u vektorskom obliku pomoću temeljni sustav odlučivanja. Molimo vas da privremeno zaboravite analitička geometrija, budući da ćemo sada govoriti o vektorima u općem algebarskom smislu, što sam malo otvorio u članku o tome rang matrice. Terminologiju nije potrebno zasjeniti, sve je vrlo jednostavno.

Sustavi linearnih homogenih jednadžbi- ima oblik ∑a k i x i = 0. gdje je m > n ili m Homogeni sustav linearnih jednadžbi je uvijek konzistentan, budući da je rangA = rangB . Sigurno ima rješenje koje se sastoji od nula, što se zove trivijalno.

Dodjela usluge. Mrežni kalkulator dizajniran je za pronalaženje netrivijalnog i temeljnog rješenja za SLAE. Dobiveno rješenje sprema se u Word datoteku (pogledajte primjer rješenja).

Uputa. Odaberite dimenziju matrice:

Svojstva sustava linearnih homogenih jednadžbi

Da bi sustav imao netrivijalna rješenja, potrebno je i dovoljno da rang njegove matrice bude manji od broja nepoznanica.

Teorema. Sustav u slučaju m=n ima netrivijalno rješenje ako i samo ako je determinanta tog sustava jednaka nuli.

Teorema. Svaka linearna kombinacija rješenja sustava također je rješenje tog sustava.
Definicija. Skup rješenja sustava linearnih homogenih jednadžbi naziva se temeljni sustav odlučivanja ako se ta zbirka sastoji od linearno neovisnih rješenja i svako rješenje sustava je linearna kombinacija tih rješenja.

Teorema. Ako je rang r matrice sustava manji od broja nepoznanica n, tada postoji temeljni sustav rješenja koji se sastoji od (n-r) rješenja.

Algoritam za rješavanje sustava linearnih homogenih jednadžbi

1. Odredite rang matrice.
2. Odabiremo osnovni minor. Odabiremo zavisne (bazične) i slobodne nepoznanice.
3. Precrtavamo one jednadžbe sustava čiji koeficijenti nisu uvršteni u osnovni minor, jer su one posljedice ostalih (prema teoremu osnovnog minora).
4. Članovi jednadžbi koje sadrže slobodne nepoznanice bit će prebačeni na desnu stranu. Kao rezultat dobivamo sustav od r jednadžbi s r nepoznanica, ekvivalentan zadanoj, čija je determinanta različita od nule.
5. Dobiveni sustav rješavamo eliminacijom nepoznanica. Pronalazimo relacije koje izražavaju zavisne varijable u terminima slobodnih.
6. Ako rang matrice nije jednak broju varijabli, tada nalazimo temeljno rješenje sustava.
7. U slučaju rang = n, imamo trivijalno rješenje.

Primjer. Odredite bazu sustava vektora (a 1 , a 2 ,...,a m), rangirajte i izrazite vektore preko baze. Ako je 1 =(0,0,1,-1) i 2 =(1,1,2,0) i 3 =(1,1,1,1) i 4 =(3,2,1 ,4) , i 5 =(2,1,0,3).
Zapisujemo glavnu matricu sustava:

Pomnožite 3. red s (-3). Dodajmo 4. redak 3.:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Pomnožite 4. red s (-2). Pomnožite 5. red s (3). Dodajmo 5. redak 4.:
Dodajmo 2. redak 1.:
Odredite rang matrice.
Sustav s koeficijentima ove matrice je ekvivalentan izvornom sustavu i ima oblik:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x1 + x2 = - 3x4
Metodom eliminacije nepoznanica nalazimo netrivijalno rješenje:
Dobili smo relacije koje izražavaju zavisne varijable x 1, x 2, x 3 kroz slobodne x 4, odnosno našli smo opće rješenje:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

Sustav m linearne jednadžbe c n nepoznato se zove sustav linearnih homogenih jednadžbi ako su svi slobodni članovi jednaki nuli. Takav sustav izgleda ovako:

Gdje i ij (ja = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - zadani brojevi; x i- nepoznato.

Sustav linearnih homogenih jednadžbi je uvijek konzistentan, jer r(A) = r(). Uvijek ima barem nulu ( trivijalno) rješenje (0; 0; ...; 0).

Razmotrimo pod kojim uvjetima homogeni sustavi imaju rješenja različita od nule.

Teorem 1. Sustav linearnih homogenih jednadžbi ima rješenja različita od nule ako i samo ako je rang njegove glavne matrice r manje nepoznanica n, tj. r < n.

□ 1). Neka sustav linearnih homogenih jednadžbi ima rješenje različito od nule. Budući da rang ne može premašiti veličinu matrice, očito je da r ≤ n. Neka r = n. Zatim jedan od minora veličine n n različit od nule. Stoga odgovarajući sustav linearnih jednadžbi ima jedinstveno rješenje: , , . Dakle, nema drugih rješenja osim trivijalnih. Dakle, ako postoji netrivijalno rješenje, onda r < n.

2). Neka r < n. Tada je homogeni sustav, budući da je konzistentan, neodređen. Dakle, ima beskonačan broj rješenja, tj. također ima rješenja različita od nule. ■

Razmotrimo homogeni sustav n linearne jednadžbe c n nepoznato:

(2)

Teorem 2. homogeni sustav n linearne jednadžbe c n nepoznanice (2) ima rješenja različita od nule ako i samo ako je njegova determinanta jednaka nuli: = 0.

□ Ako sustav (2) ima rješenje različito od nule, tada je = 0. Za pri , sustav ima samo jedinstveno nulto rješenje. Ako je = 0, tada je rang r glavna matrica sustava je manja od broja nepoznanica, tj. r < n. I, dakle, sustav ima beskonačan broj rješenja, tj. također ima rješenja različita od nule. ■

Označimo rješenje sustava (1) x 1 = k 1 , x 2 = k 2 , …, x n = k n kao niz .

Rješenja sustava linearnih homogenih jednadžbi imaju sljedeća svojstva:

1. Ako niz je rješenje sustava (1), onda je niz također rješenje sustava (1).

2. Ako linije i su rješenja sustava (1), tada za bilo koje vrijednosti S 1 i S 2 njihova linearna kombinacija također je rješenje sustava (1).

Valjanost ovih svojstava možete provjeriti izravnom zamjenom u jednadžbe sustava.

Iz formuliranih svojstava proizlazi da je svaka linearna kombinacija rješenja sustava linearnih homogenih jednadžbi ujedno i rješenje tog sustava.

Sustav linearno neovisnih rješenja e 1 , e 2 , …, e r nazvao temeljni, ako je svako rješenje sustava (1) linearna kombinacija tih rješenja e 1 , e 2 , …, e r.

Teorem 3. Ako rang r matrica koeficijenata za varijable sustava linearnih homogenih jednadžbi (1) manja je od broja varijabli n, tada se svaki temeljni sustav rješenja sustava (1) sastoji od n–r rješenja.

Zato zajednička odluka sustav linearnih homogenih jednadžbi (1) ima oblik:

Gdje e 1 , e 2 , …, e r je bilo koji temeljni sustav rješenja sustava (9), S 1 , S 2 , …, sa str- proizvoljni brojevi, R = n–r.

Teorem 4. Opće sustavno rješenje m linearne jednadžbe c n nepoznanica jednak je zbroju općeg rješenja odgovarajućeg sustava linearnih homogenih jednadžbi (1) i proizvoljnog partikularnog rješenja tog sustava (1).

Primjer. Riješite sustav

Riješenje. Za ovaj sustav m = n= 3. Odrednica

prema teoremu 2, sustav ima samo trivijalno rješenje: x = g = z = 0.

Primjer. 1) Pronađite opća i partikularna rješenja sustava

2) Pronađite temeljni sustav rješenja.

Riješenje. 1) Za ovaj sustav m = n= 3. Odrednica

prema teoremu 2, sustav ima rješenja različita od nule.

Budući da u sustavu postoji samo jedna nezavisna jednadžba

x + g – 4z = 0,

onda iz njega izražavamo x =4z- g. Odakle dobivamo beskonačan skup rješenja: (4 z- g, g, z) je opće rješenje sustava.

Na z= 1, g= -1, dobivamo jedno određeno rješenje: (5, -1, 1). Stavljanje z= 3, g= 2, dobivamo drugo posebno rješenje: (10, 2, 3), itd.

2) U općem rješenju (4 z- g, g, z) varijable g I z su slobodni, a varijabilni x- ovisno o njima. Da bismo pronašli temeljni sustav rješenja, slobodnim varijablama dodjeljujemo vrijednosti: prvo g = 1, z= 0, tada g = 0, z= 1. Dobivamo partikularna rješenja (-1, 1, 0), (4, 0, 1) koja čine temeljni sustav rješenja.

Ilustracije:

Riža. 1. Klasifikacija sustava linearnih jednadžbi

Riža. 2 Proučavanje sustava linearnih jednadžbi

Prezentacije:

Rješavanje metode SLAE_matrica

Rješenje SLAU_Cramerova metoda

Rješenje SLAE_Gaussova metoda

· Paketi za rješavanje matematičkih zadataka Mathematica: traženje analitičkog i numeričkog rješenja sustava linearnih jednadžbi

Kontrolna pitanja:

1. Definirajte linearnu jednadžbu

2. Kakav sustav radi m linearne jednadžbe sa n nepoznato?

3. Što se naziva rješenjem sustava linearnih jednadžbi?

4. Koji se sustavi nazivaju ekvivalentnim?

5. Koji se sustav naziva nekompatibilnim?

6. Koji sustav nazivamo zglobom?

7. Koji se sustav naziva definiranim?

8. Koji se sustav naziva neodređenim

9. Navedite elementarne transformacije sustava linearnih jednadžbi

10. Nabrojite elementarne transformacije matrica

11. Formulirajte teorem o primjeni elementarnih transformacija na sustav linearnih jednadžbi

12. Koji se sustavi mogu riješiti matričnom metodom?

13. Koji se sustavi mogu riješiti Cramerovom metodom?

14. Koji se sustavi mogu riješiti Gaussovom metodom?

15. Navedite 3 moguća slučaja koji se javljaju pri rješavanju sustava linearnih jednadžbi Gaussovom metodom

16. Opišite matričnu metodu za rješavanje sustava linearnih jednadžbi

17. Opišite Cramerovu metodu za rješavanje sustava linearnih jednadžbi

18. Opišite Gaussovu metodu za rješavanje sustava linearnih jednadžbi

19. Koji se sustavi mogu riješiti pomoću inverzne matrice?

20. Navedite 3 moguća slučaja koji se javljaju pri rješavanju sustava linearnih jednadžbi Cramerovom metodom

Književnost:

1. Viša matematika za ekonomiste: Udžbenik za sveučilišta / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Fridman. ur. N.Sh. Kremer. - M.: UNITI, 2005. - 471 str.

2. Opći tečaj visoke matematike za ekonomiste: Udžbenik. / Ed. U I. Ermakov. -M.: INFRA-M, 2006. - 655 str.

3. Zbirka zadataka iz više matematike za ekonomiste: Udžbenik / Uredio V.I. Ermakov. M.: INFRA-M, 2006. - 574 str.

4. V. E. Gmurman, Vodič za rješavanje problema u teoriji vjerojatnosti i magmatskoj statistici. - M.: Viša škola, 2005. - 400 str.

5. Gmurman. VE Teorija vjerojatnosti i matematička statistika. - M.: Viša škola, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Viša matematika u vježbama i zadacima. Dio 1, 2. - M .: Oniks 21. stoljeća: Svijet i obrazovanje, 2005. - 304 str. 1. dio; – 416 str. 2. dio

7. Matematika u ekonomiji: Udžbenik: U 2 sata / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaitsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. - M.: Financije i statistika, 2006.

8. Shipachev V.S. Viša matematika: udžbenik za studente. sveučilišta - M .: Viša škola, 2007. - 479 str.

Slične informacije.

Smatrati homogeni sustav m linearnih jednadžbi s n varijabli:

(15)

Sustav homogenih linearnih jednadžbi uvijek je kompatibilan jer uvijek ima nulto (trivijalno) rješenje (0,0,…,0).

Ako je u sustavu (15) m=n i , tada sustav ima samo nulto rješenje, što proizlazi iz teorema i Cramerovih formula.

Teorem 1. Homogeni sustav (15) ima netrivijalno rješenje ako i samo ako je rang njegove matrice manji od broja varijabli, tj. . r(A)< n.

Dokaz. Postojanje netrivijalnog rješenja sustava (15) ekvivalentno je linearnoj ovisnosti stupaca matrice sustava (tj. postoje takvi brojevi x 1 , x 2 ,…,x n , koji nisu svi jednaki nuli, da su jednakosti ( 15) važe).

Prema osnovnom malom teoremu, stupci matrice su linearno ovisni , kada nisu svi stupci ove matrice bazični, tj.  kada je red r baznog minora matrice manji od broja n njezinih stupaca. Ch.t.d.

Posljedica. Kvadratni homogeni sustav ima netrivijalna rješenja  kada je |A|=0.

Teorem 2. Ako su stupci x (1), x (2), ..., x (s) rješenja homogenog sustava AX=0, tada je svaka njihova linearna kombinacija također rješenje tog sustava.

Dokaz. Razmotrite bilo koju kombinaciju rješenja:

Tada je AX=A()===0. h.t.d.

Posljedica 1. Ako homogeni sustav ima netrivijalno rješenje, tada ima beskonačno mnogo rješenja.

Da. potrebno je pronaći takva rješenja x (1), x (2), ..., x (s) sustava Ax = 0, tako da se svako drugo rješenje tog sustava može prikazati kao njihova linearna kombinacija i , štoviše, na jedinstven način.

Definicija. Sustav k=n-r (n je broj nepoznanica u sustavu, r=rg A) linearno neovisnih rješenja x (1) ,x (2) ,…,x (k) sustava Ax=0 naziva se temeljni sustav odlučivanja ovaj sustav.

Teorem 3. Neka je zadan homogeni sustav Ax=0 s n nepoznanica i r=rg A. Tada postoji skup od k=n-r rješenja x (1) ,x (2) ,…,x (k) ovog sustava koji tvore temeljni sustav rješenja.

Dokaz. Bez gubitka općenitosti, možemo pretpostaviti da se bazni minor matrice A nalazi u gornjem lijevom kutu. Zatim, prema teoremu o baznom minoru, preostali redovi matrice A su linearne kombinacije baznih redaka. To znači da ako vrijednosti x 1 ,x 2 ,…,x n zadovoljavaju prve r jednadžbe, tj. jednadžbe koje odgovaraju redovima osnovnog minora), tada one zadovoljavaju i druge jednadžbe. Stoga se skup rješenja sustava neće promijeniti ako se odbace sve jednadžbe počevši od (r + 1)-te. Dobivamo sustav:

Premjestimo slobodne nepoznanice x r +1, x r +2 ,…,x n na desnu stranu, a osnovne x 1 , x 2 ,…, x r ostavimo na lijevoj strani:

(16)

Jer u ovom slučaju, sve b i =0, tada umjesto formula

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), dobivamo:

c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)

Ako su slobodne nepoznanice h r +1 , h r +2 ,…,x n postavljene na proizvoljne vrijednosti, tada u odnosu na osnovne nepoznanice dobivamo kvadratni SLAE s nesingularnom matricom koja ima jedinstveno rješenje. Dakle, svako rješenje homogenog SLAE je jedinstveno određeno vrijednostima slobodnih nepoznanica h r +1 , h r +2 ,…,x n . Razmotrimo sljedeći k=n-r niz vrijednosti slobodnih nepoznanica:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(Broj serije označen je superskriptom u zagradama, a nizovi vrijednosti ispisani su u stupcima. U svakom nizu =1 ako je i=j i =0 ako je ij.

i-ti niz vrijednosti slobodnih nepoznanica jednoznačno odgovara vrijednostima ,,…, osnovnih nepoznanica. Vrijednosti slobodne i osnovne nepoznanice zajedno daju rješenja sustava (17).

Pokažimo da su stupci e i =,i=1,2,…,k (18)

tvore temeljni sustav rješenja.

Jer ovi stupci po konstrukciji su rješenja homogenog sustava Ax=0 i njihov broj je jednak k, tada ostaje dokazati linearnu neovisnost rješenja (16). Neka postoji linearna kombinacija rješenja e 1 , e 2 ,…, e k(x (1) , x (2) ,…, x (k)), jednako stupcu nula:

 1 e 1 +  2 e 2 +…+ k e k ( 1 x (1) + 2 x(2) +…+ k x(k) = 0)

Tada je lijeva strana te jednakosti stupac čije su komponente s brojevima r+1,r+2,…,n jednake nuli. Ali (r+1)-ta komponenta je jednaka  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 . Slično, (r+2)-ta komponenta je jednaka  2 ,…, k-ta komponenta je jednaka  k . Stoga  1 =  2 = …= k =0, što znači linearnu neovisnost rješenja e 1 , e 2 ,…, e k ( x (1) , x (2) ,…, x (k)).

Konstruirani temeljni sustav rješenja (18) naziva se normalan. Na temelju formule (13) ima sljedeći oblik:

(20)

Posljedica 2. Neka e 1 , e 2 ,…, e k-normalni fundamentalni sustav rješenja homogenog sustava, tada se skup svih rješenja može opisati formulom:

x=c 1 e 1 + od 2 e 2 +…+s k e k (21)

gdje s 1 ,s 2 ,…,s k – uzimaju proizvoljne vrijednosti.

Dokaz. Prema teoremu 2, stupac (19) je rješenje homogenog sustava Ax=0. Preostaje dokazati da se svako rješenje ovog sustava može prikazati u obliku (17). Razmotrimo stupac x=y r +1 e 1 +…+in e k. Ovaj stupac koincidira s y stupcem u smislu elemenata s brojevima r+1,…,n i rješenje je (16). Stoga stupci x I na utakmica, jer rješenja sustava (16) jednoznačno su određena skupom vrijednosti njegovih slobodnih nepoznanica x r +1 ,…,x n , a stupci na I x ovi skupovi odgovaraju. Stoga, na=x= y r +1 e 1 +…+in e k, tj. riješenje na je linearna kombinacija stupaca e 1 ,…,y n normalan FSR. Ch.t.d.

Dokazana tvrdnja vrijedi ne samo za normalni FSR, već i za proizvoljan FSR homogenog SLAE.

X=c 1 x 1 + c 2 x 2 +…+s n - r x n - r - zajednička odluka sustavi linearnih homogenih jednadžbi

Gdje je H 1 ,H 2 ,…,H n - r bilo koji temeljni sustav rješenja,

c 1 ,c 2 ,…,s n - r su proizvoljni brojevi.

Primjer. (str. 78)

Uspostavimo vezu između rješenja nehomogenog SLAE (1) i odgovarajući homogeni SLAE (15)

Teorem 4. Zbroj bilo kojeg rješenja nehomogenog sustava (1) i odgovarajućeg homogenog sustava (15) je rješenje sustava (1).

Dokaz. Ako je c 1 ,…,c n rješenje sustava (1), a d 1 ,…,d n rješenje sustava (15), tada zamjenom u bilo koju (na primjer, i-tu) jednadžbu sustava (1) umjesto nepoznatih brojeva c 1 +d 1 ,…,c n +d n, dobivamo:

B i +0=b i

Teorem 5. Razlika dva proizvoljna rješenja nehomogenog sustava (1) je rješenje homogenog sustava (15).

Dokaz. Ako su c 1 ,…,c n i c 1 ,…,c n rješenja sustava (1), tada zamjenom u bilo koju (na primjer, i-tu) jednadžbu sustava (1) umjesto nepoznatih brojeva c 1 -s 1 ,…,c n -s n , dobivamo:

B i -b i \u003d 0 h.t.d.

Iz dokazanih teorema slijedi da je opće rješenje sustava od m linearnih homogenih jednadžbi s n varijabli jednako zbroju općeg rješenja odgovarajućeg sustava homogenih linearnih jednadžbi (15) i proizvoljnog broja partikularnih rješenja te sustav (15).

x neod. =X ukupno jedan +X učestalo više od jednog (22)

Kao posebno rješenje nehomogenog sustava prirodno je uzeti njegovo rješenje koje se dobije ako se u formulama c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13) postaviti jednake nuli sve brojeve c r +1 ,…,c n , tj.

H 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Dodavanje ovog posebnog rješenja općem rješenju X=c 1 x 1 + c 2 x 2 +…+s n - r x n - r odgovarajućeg homogenog sustava, dobivamo:

x neod. =X 0 +C 1 x 1 +C 2 x 2 +…+C n - r x n - r (24)

Razmotrimo sustav dviju jednadžbi s dvije varijable:

u kojoj je barem jedan od koeficijenata aij 0.

Za rješavanje izuzimamo x 2 množenjem prve jednadžbe s a 22, a druge s (-a 12) i njihovim zbrajanjem: Eliminiramo x 1 množenjem prve jednadžbe s (-a 21), a druge s 11 i dodajući ih: Izraz u zagradi - odrednica

Označavanje ,, tada će sustav imati oblik:, tj. ako, tada sustav ima jedinstveno rješenje:,.

Ako je Δ=0, a (ili), tada je sustav nekonzistentan, jer svodi se na oblik Ako je Δ=Δ 1 =Δ 2 =0, tada je sustav nesiguran, jer donio pameti