El problema de encontrar la derivada de una función dada es uno de los principales en el curso de matemáticas en la escuela secundaria y en las instituciones de educación superior. Es imposible explorar completamente una función, construir su gráfico sin tomar su derivada. La derivada de una función se puede encontrar fácilmente si conoce las reglas básicas de diferenciación, así como la tabla de derivadas de las funciones principales. Averigüemos cómo encontrar la derivada de una función.

La derivada de una función se llama el límite de la razón del incremento de la función al incremento del argumento cuando el incremento del argumento tiende a cero.

Es bastante difícil entender esta definición, ya que el concepto de límite no se estudia completamente en la escuela. Pero para encontrar las derivadas de varias funciones, no es necesario entender la definición, dejémoslo en manos de los matemáticos y pasemos directamente a encontrar la derivada.

El proceso de encontrar la derivada se llama diferenciación. Al diferenciar una función, obtendremos una nueva función.

Para su designación utilizaremos las letras latinas f, g, etc.

Hay muchas notaciones diferentes para los derivados. Usaremos trazo. Por ejemplo, la entrada g" significa que encontraremos la derivada de la función g.

tabla de derivadas

Para responder a la pregunta de cómo encontrar la derivada, es necesario proporcionar una tabla de derivadas de las funciones principales. Para calcular las derivadas de funciones elementales, no es necesario realizar cálculos complejos. Basta con mirar su valor en la tabla de derivados.

1. (senx)"=cosx
2. (cos x)"= -sen x
3. (xn)"=nxn-1
4. (ex)"= ex
5. (lnx)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= - 1/sen 2 x
10. (arcosen x)"= 1/√(1-x 2)
11. (arcos x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (arco x)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Ejemplo 1. Hallar la derivada de la función y=500.

Vemos que es una constante. Según la tabla de derivadas, se sabe que la derivada de la constante es igual a cero (fórmula 1).

Ejemplo 2. Hallar la derivada de la función y=x 100 .

Esta es una función de potencia cuyo exponente es 100, y para encontrar su derivada, necesitas multiplicar la función por el exponente y bajarlo en 1 (fórmula 3).

(x100)"=100x99

Ejemplo 3. Hallar la derivada de la función y=5 x

Esta es una función exponencial, calculamos su derivada usando la fórmula 4.

Ejemplo 4. Hallar la derivada de la función y= log 4 x

Encontramos la derivada del logaritmo usando la fórmula 7.

(log 4 x)"=1/x log 4

Reglas de diferenciación

Ahora averigüemos cómo encontrar la derivada de una función si no está en la tabla. La mayoría de las funciones investigadas no son elementales, sino combinaciones de funciones elementales utilizando las operaciones más simples (suma, resta, multiplicación, división y multiplicación por un número). Para encontrar sus derivadas, necesitas conocer las reglas de diferenciación. Además, las letras f y g denotan funciones y C es una constante.

1. Del signo de la derivada se puede sacar un coeficiente constante

Ejemplo 5. Encuentra la derivada de la función y= 6*x 8

Sacamos el coeficiente constante 6 y diferenciamos solo x 4 . Esta es una función potencia, cuya derivada encontramos según la fórmula 3 de la tabla de derivadas.

(6*x8)" = 6*(x8)"=6*8*x7 =48*x7

2. La derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas

(f + g)"=f" + g"

Ejemplo 6. Hallar la derivada de la función y= x 100 + sen x

La función es la suma de dos funciones cuyas derivadas podemos encontrar en la tabla. Ya que (x 100)"=100 x 99 y (sen x)"=cos x. La derivada de la suma será igual a la suma de estas derivadas:

(x 100 + sen x)"= 100 x 99 + cos x

3. La derivada de la diferencia es igual a la diferencia de las derivadas

(f – g)"=f" – g"

Ejemplo 7. Hallar la derivada de la función y= x 100 - cos x

Esta función es la diferencia de dos funciones cuyas derivadas también podemos encontrar en la tabla. Entonces la derivada de la diferencia es igual a la diferencia de las derivadas y no olvides cambiar el signo, ya que (cos x)"= - sen x.

(x 100 - cos x) "= 100 x 99 + sen x

Ejemplo 8. Hallar la derivada de la función y=e x +tg x– x 2 .

Esta función tiene tanto una suma como una diferencia, encontramos las derivadas de cada término:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Entonces la derivada de la función original es:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Derivado de un producto

(f * g)"=f" * g + f * g"

Ejemplo 9. Hallar la derivada de la función y= cos x *e x

Para hacer esto, primero encuentra la derivada de cada factor (cos x)"=–sen x y (e x)"=e x . Ahora sustituyamos todo en la fórmula del producto. Multiplica la derivada de la primera función por la segunda y suma el producto de la primera función por la derivada de la segunda.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sen x

5. Derivada del cociente

(f / g) "= f" * g - f * g "/ g 2

Ejemplo 10. Hallar la derivada de la función y= x 50 / sen x

Para encontrar la derivada del cociente, primero encuentra la derivada del numerador y el denominador por separado: (x 50)"=50 x 49 y (sin x)"= cos x. Sustituyendo en la fórmula la derivada del cociente obtenemos:

(x 50 / sen x) "= 50x 49 * sen x - x 50 * cos x / sen 2 x

Derivada de una función compleja

Una función compleja es una función representada por una composición de varias funciones. Para encontrar la derivada de una función compleja, también hay una regla:

(u(v))"=u"(v)*v"

Veamos cómo encontrar la derivada de tal función. Sea y= u(v(x)) una función compleja. La función u se llamará externa yv - interna.

Por ejemplo:

y=sen (x 3) es una función compleja.

Entonces y=sin(t) es la función exterior

t=x 3 - interno.

Intentemos calcular la derivada de esta función. Según la fórmula, es necesario multiplicar las derivadas de las funciones interior y exterior.

(sin t)"=cos (t) - derivada de la función exterior (donde t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - derivada de la función interna

Entonces (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 es la derivada de la función compuesta.

Definición. Deje que la función \(y = f(x) \) esté definida en algún intervalo que contenga el punto \(x_0 \) dentro. Incrementemos \(\Delta x \) al argumento para no salirnos de este intervalo. Encuentra el incremento correspondiente de la función \(\Delta y \) (al pasar del punto \(x_0 \) al punto \(x_0 + \Delta x \)) y compone la relación \(\frac(\Delta y )(\Deltax)\). Si hay un límite de esta relación en \(\Delta x \rightarrow 0 \), entonces el límite especificado se llama función derivada\(y=f(x) \) en el punto \(x_0 \) y denota \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

El símbolo y se usa a menudo para denotar la derivada. Tenga en cuenta que y" = f(x) es una función nueva, pero naturalmente asociada con la función y = f(x), definida en todos los puntos x en los que existe el límite anterior. Esta función se llama así: derivada de la función y \u003d f (x).

El significado geométrico de la derivada. consta de lo siguiente. Si se puede dibujar una tangente que no es paralela al eje y en el gráfico de la función y \u003d f (x) en un punto con la abscisa x \u003d a, entonces f (a) expresa la pendiente de la tangente:
\(k = f"(a)\)

Como \(k = tg(a) \), la igualdad \(f"(a) = tg(a) \) es verdadera.

Y ahora interpretamos la definición de la derivada en términos de igualdades aproximadas. Sea la función \(y = f(x) \) tener una derivada en un punto particular \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Esto significa que cerca del punto x, la igualdad aproximada \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), es decir, \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). El significado significativo de la igualdad aproximada obtenida es el siguiente: el incremento de la función es “casi proporcional” al incremento del argumento, y el coeficiente de proporcionalidad es el valor de la derivada en un punto dado x. Por ejemplo, para la función \(y = x^2 \) la igualdad aproximada \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) es verdadera. Si analizamos cuidadosamente la definición de la derivada, encontraremos que contiene un algoritmo para encontrarla.

Vamos a formularlo.

¿Cómo encontrar la derivada de la función y \u003d f (x)?

1. Fijar valor \(x \), encontrar \(f(x) \)
2. Incrementar \(x \) argumento \(\Delta x \), mover a un nuevo punto \(x+ \Delta x \), encontrar \(f(x+ \Delta x) \)
3. Encuentra el incremento de la función: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Componga la relación \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Calcula $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Este límite es la derivada de la función en x.

Si la función y = f(x) tiene una derivada en el punto x, entonces se llama derivable en el punto x. El procedimiento para encontrar la derivada de la función y \u003d f (x) se llama diferenciación funciones y = f(x).

Analicemos la siguiente pregunta: ¿cómo se relacionan la continuidad y la diferenciabilidad de una función en un punto?

Sea la función y = f(x) diferenciable en el punto x. Entonces se puede dibujar una tangente al gráfico de la función en el punto M (x; f (x)) y, recuerde, la pendiente de la tangente es igual a f "(x). Tal gráfico no puede "romperse" en el punto M, es decir, la función debe ser continua en x.

Estaba razonando "en los dedos". Presentemos un argumento más riguroso. Si la función y = f(x) es diferenciable en el punto x, entonces la igualdad aproximada \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) se cumple. cero, entonces \(\Delta y \ ) también tenderá a cero, y esta es la condición para la continuidad de la función en un punto.

Entonces, si una función es diferenciable en un punto x, entonces también es continua en ese punto.

Lo contrario no es cierto. Por ejemplo: función y = |x| es continua en todas partes, en particular en el punto x = 0, pero la tangente a la gráfica de la función en el "punto de unión" (0; 0) no existe. Si en algún punto es imposible trazar una tangente a la función gráfica, entonces no hay derivada en ese punto.

Un ejemplo más. La función \(y=\sqrt(x) \) es continua en toda la recta numérica, incluso en el punto x = 0. Y la tangente a la gráfica de la función existe en cualquier punto, incluso en el punto x = 0 Pero en este punto la tangente coincide con el eje y, es decir, es perpendicular al eje de abscisas, su ecuación tiene la forma x \u003d 0. No hay pendiente para tal línea recta, lo que significa que \ ( f"(0)\) tampoco existe

Entonces, nos familiarizamos con una nueva propiedad de una función: la diferenciabilidad. ¿Cómo puedes saber si una función es derivable de la gráfica de una función?

La respuesta en realidad se da arriba. Si en algún punto se puede dibujar una tangente a la gráfica de una función que no es perpendicular al eje x, entonces en ese punto la función es diferenciable. Si en algún punto la tangente a la gráfica de la función no existe o es perpendicular al eje x, entonces en ese punto la función no es diferenciable.

Reglas de diferenciación

La operación de encontrar la derivada se llama diferenciación. Al realizar esta operación, a menudo hay que trabajar con cocientes, sumas, productos de funciones, así como con "funciones de funciones", es decir, funciones complejas. Con base en la definición de la derivada, podemos derivar reglas de diferenciación que facilitan este trabajo. Si C es un número constante y f=f(x), g=g(x) son algunas funciones diferenciables, entonces lo siguiente es cierto reglas de diferenciación:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg"))(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg"))(g^2) $$ Derivada de función compuesta:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabla de derivadas de algunas funciones

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsen x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ ps

Es absolutamente imposible resolver problemas físicos o ejemplos matemáticos sin conocimientos sobre la derivada y los métodos para calcularla. La derivada es uno de los conceptos más importantes del análisis matemático. Decidimos dedicar el artículo de hoy a este tema fundamental. ¿Qué es una derivada, cuál es su significado físico y geométrico, cómo calcular la derivada de una función? Todas estas preguntas se pueden combinar en una: ¿cómo entender la derivada?

Significado geométrico y físico de la derivada

Sea una función f(x) , dado en algún intervalo (a,b) . Los puntos x y x0 pertenecen a este intervalo. Cuando x cambia, la función misma cambia. Cambio de argumento - diferencia de sus valores x-x0 . Esta diferencia se escribe como delta x y se llama incremento de argumento. El cambio o incremento de una función es la diferencia entre los valores de la función en dos puntos. Definición de derivada:

La derivada de una función en un punto es el límite de la razón del incremento de la función en un punto dado al incremento del argumento cuando este último tiende a cero.

De lo contrario, se puede escribir así:

¿Cuál es el punto de encontrar tal límite? Pero cual:

la derivada de una función en un punto es igual a la tangente del ángulo entre el eje OX y la tangente a la gráfica de la función en un punto dado.

El significado físico de la derivada: la derivada temporal de la trayectoria es igual a la velocidad del movimiento rectilíneo.

De hecho, desde la época escolar, todo el mundo sabe que la velocidad es un camino privado. x=f(t) y tiempo t . Velocidad media durante un cierto período de tiempo:

Para saber la velocidad de movimiento a la vez t0 necesitas calcular el límite:

Regla uno: sacar la constante

La constante se puede sacar del signo de la derivada. Además, hay que hacerlo. Al resolver ejemplos en matemáticas, tome como regla: si puedes simplificar la expresión, asegúrate de simplificar .

Ejemplo. Calculemos la derivada:

Regla dos: derivada de la suma de funciones

La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de estas funciones. Lo mismo es cierto para la derivada de la diferencia de funciones.

No daremos una demostración de este teorema, sino que consideraremos un ejemplo práctico.

Encuentra la derivada de una función:

Regla tres: la derivada del producto de funciones

La derivada del producto de dos funciones diferenciables se calcula mediante la fórmula:

Ejemplo: encontrar la derivada de una función:

Solución:

Aquí es importante decir sobre el cálculo de derivadas de funciones complejas. La derivada de una función compleja es igual al producto de la derivada de esta función con respecto al argumento intermedio por la derivada del argumento intermedio con respecto a la variable independiente.

En el ejemplo anterior, encontramos la expresión:

En este caso, el argumento intermedio es 8x elevado a la quinta potencia. Para calcular la derivada de tal expresión, primero consideramos la derivada de la función externa con respecto al argumento intermedio y luego multiplicamos por la derivada del propio argumento intermedio con respecto a la variable independiente.

Regla Cuatro: La derivada del cociente de dos funciones

Fórmula para determinar la derivada de un cociente de dos funciones:

Intentamos hablar de derivados para tontos desde cero. Este tema no es tan simple como parece, así que tenga cuidado: a menudo hay errores en los ejemplos, así que tenga cuidado al calcular derivadas.

Ante cualquier duda sobre este y otros temas, puedes ponerte en contacto con el servicio de atención al estudiante. En poco tiempo, lo ayudaremos a resolver las tareas de control y manejo más difíciles, incluso si nunca antes se ha ocupado del cálculo de derivadas.

Fecha: 10/05/2015

¿Cómo encontrar la derivada?

Reglas de diferenciación.

Para encontrar la derivada de cualquier función, necesitas dominar solo tres conceptos:

2. Reglas de diferenciación.

3. Derivada de una función compleja.

Es en ese orden. Es una pista.)

Por supuesto, sería bueno tener una idea sobre la derivada en general). Acerca de qué es un derivado y cómo trabajar con una tabla de derivados: se puede acceder en la lección anterior. Aquí nos ocuparemos de las reglas de diferenciación.

La diferenciación es la operación de encontrar una derivada. No hay nada más detrás de este término. Aquellos. expresiones "encontrar la derivada de una función" Y "función diferenciada"- Es lo mismo.

Expresión "reglas de diferenciación" se refiere a encontrar la derivada de operaciones aritméticas. Esta comprensión ayuda mucho a evitar las papillas en la cabeza.

Concentrémonos y recordemos todas las operaciones aritméticas. Hay cuatro de ellos). Adición (suma), resta (diferencia), multiplicación (producto) y división (cociente). Aquí están, las reglas de diferenciación:

La placa muestra cinco reglas sobre cuatro operaciones aritmeticas. No calculé mal). Es solo que la regla 4 es un corolario elemental de la regla 3. Pero es tan popular que tiene sentido escribirla (¡y recordar!) como una fórmula independiente.

Bajo la notación tu Y V algunas funciones (¡absolutamente cualquiera!) están implícitas u(x) Y V(x).

Veamos algunos ejemplos. Primero, los más simples.

Encuentra la derivada de la función y=senx - x 2

Aquí tenemos diferencia dos funciones elementales. Aplicamos la regla 2. Supondremos que senx es una función tu, y x 2 es una función v. Tenemos todo el derecho de escribir:

y" = (senx - x 2)" = (senx)"- (x 2)"

Ya mejor, ¿no?) Queda por encontrar las derivadas del seno y el cuadrado de x. Hay una tabla de derivadas para esto. Solo buscamos en la tabla las funciones que necesitamos ( senx Y x2), mira sus derivadas y escribe la respuesta:

y" = (senx)" - (x 2)" = cosx - 2x

Eso es todo al respecto. La regla 1 de diferenciar la suma funciona exactamente de la misma manera.

¿Qué pasa si tenemos varios términos? Está bien.) Descomponemos la función en términos y buscamos la derivada de cada término, independientemente de los demás. Por ejemplo:

Encuentra la derivada de la función y=senx - x 2 +cosx - x +3

Siéntete libre de escribir:

y" = (senx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

Al final de la lección, daré consejos para hacer la vida más fácil al diferenciar).

Consejos prácticos:

1. Antes de derivar, miramos si es posible simplificar la función original.

2. En ejemplos confusos, pintamos la solución en detalle, con todos los corchetes y trazos.

3. Al diferenciar fracciones con un número constante en el denominador, convertimos la división en multiplicación y usamos la regla 4.

La operación de encontrar una derivada se llama diferenciación.

Como resultado de resolver problemas de encontrar derivadas de las funciones más simples (y no muy simples) definiendo la derivada como el límite de la relación del incremento al incremento del argumento, apareció una tabla de derivadas y reglas de diferenciación definidas con precisión. . Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) fueron los primeros en trabajar en el campo de la búsqueda de derivadas.

Por lo tanto, en nuestro tiempo, para encontrar la derivada de cualquier función, no es necesario calcular el límite mencionado anteriormente de la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento, sino que solo es necesario usar la tabla de derivadas y las reglas de diferenciación. El siguiente algoritmo es adecuado para encontrar la derivada.

Para encontrar la derivada, necesitas una expresión debajo del signo de trazo desglosar funciones simples y determinar qué acciones (producto, suma, cociente) estas funciones están relacionadas. Además, encontramos las derivadas de funciones elementales en la tabla de derivadas y las fórmulas para las derivadas del producto, la suma y el cociente, en las reglas de diferenciación. La tabla de derivadas y las reglas de derivación se dan después de los dos primeros ejemplos.

Ejemplo 1 Encontrar la derivada de una función

Solución. A partir de las reglas de derivación encontramos que la derivada de la suma de funciones es la suma de las derivadas de funciones, es decir

De la tabla de derivadas, encontramos que la derivada de "X" es igual a uno, y la derivada del seno es coseno. Sustituimos estos valores en la suma de derivadas y encontramos la derivada requerida por la condición del problema:

Ejemplo 2 Encontrar la derivada de una función

Solución. Deriva como derivada de la suma, en la que el segundo término con un factor constante, se puede sacar del signo de la derivada:

Si todavía hay preguntas sobre de dónde viene algo, por regla general, se aclaran después de leer la tabla de derivadas y las reglas de diferenciación más simples. Vamos a ellos ahora mismo.

Tabla de derivadas de funciones simples

1. Derivada de una constante (número). Cualquier número (1, 2, 5, 200...) que esté en la expresión de la función. Siempre cero. Es muy importante recordar esto, ya que se requiere muy a menudo
2. Derivada de la variable independiente. Más a menudo "x". Siempre igual a uno. Esto también es importante recordar
3. Derivada de grado. Al resolver problemas, debe convertir las raíces no cuadradas en una potencia.
4. Derivada de una variable a la potencia de -1
5. Derivada de la raíz cuadrada
6. Derivada del seno
7. Derivada del coseno
8. Derivada tangente
9. Derivada de cotangente
10. Derivada del arcoseno
11. Derivada del arco coseno
12. Derivada del arco tangente
13. Derivada de la tangente inversa
14. Derivada del logaritmo natural
15. Derivada de una función logarítmica
16. Derivada del exponente
17. Derivada de función exponencial

Reglas de diferenciación

1. Derivada de la suma o diferencia
2. Derivado de un producto
2a. Derivada de una expresión multiplicada por un factor constante
3. Derivada del cociente
4. Derivada de una función compleja

Regla 1si funciones

son diferenciables en algún punto, entonces en el mismo punto las funciones

y

aquellos. la derivada de la suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de estas funciones.

Consecuencia. Si dos funciones derivables difieren en una constante, entonces sus derivadas son, es decir.

Regla 2si funciones

son diferenciables en algún punto, entonces su producto también es diferenciable en el mismo punto

y

aquellos. la derivada del producto de dos funciones es igual a la suma de los productos de cada una de estas funciones y la derivada de la otra.

Consecuencia 1. El factor constante se puede sacar del signo de la derivada:

consecuencia 2. La derivada del producto de varias funciones diferenciables es igual a la suma de los productos de la derivada de cada uno de los factores y todos los demás.

Por ejemplo, para tres multiplicadores:

regla 3si funciones

diferenciable en algún punto Y , entonces en este punto su cociente también es derivable.u/v, y

aquellos. la derivada de un cociente de dos funciones es igual a una fraccion cuyo numerador es la diferencia entre los productos del denominador y la derivada del numerador y el numerador y la derivada del denominador, y el denominador es el cuadrado del numerador anterior .

Dónde buscar en otras páginas

Al encontrar la derivada del producto y el cociente en problemas reales, siempre es necesario aplicar varias reglas de diferenciación a la vez, por lo que hay más ejemplos de estas derivadas en el artículo."La derivada de un producto y un cociente".

Comentario.¡No debe confundir una constante (es decir, un número) como un término en la suma y como un factor constante! En el caso de un término, su derivada es igual a cero, y en el caso de un factor constante, se saca del signo de las derivadas. Este es un error típico que ocurre en la etapa inicial del estudio de las derivadas, pero a medida que el estudiante promedio resuelve varios ejemplos de uno y dos componentes, el estudiante promedio ya no comete este error.

Y si al derivar un producto o un cociente tienes un término tu"v, en el cual tu- un número, por ejemplo, 2 o 5, es decir, una constante, entonces la derivada de este número será igual a cero y, por lo tanto, todo el término será igual a cero (tal caso se analiza en el ejemplo 10) .

Otro error común es la solución mecánica de la derivada de una función compleja como derivada de una función simple. Es por eso derivada de una función compleja dedicado a un artículo aparte. Pero primero aprenderemos a encontrar derivadas de funciones simples.

En el camino, no puedes prescindir de las transformaciones de expresiones. Para hacer esto, es posible que deba abrir en nuevos manuales de Windows Acciones con potencias y raíces. Y Acciones con fracciones .

Si está buscando soluciones para derivadas con potencias y raíces, es decir, cuando la función se ve como , luego siga la lección " Derivado de la suma de fracciones con potencias y raíces".

Si tienes una tarea como , entonces estás en la lección "Derivadas de funciones trigonométricas simples".

Ejemplos paso a paso: cómo encontrar la derivada

Ejemplo 3 Encontrar la derivada de una función

Solución. Determinamos las partes de la expresión de la función: la expresión completa representa el producto, y sus factores son sumas, en la segunda de las cuales uno de los términos contiene un factor constante. Aplicamos la regla de diferenciación del producto: la derivada del producto de dos funciones es igual a la suma de los productos de cada una de estas funciones y la derivada de la otra:

A continuación, aplicamos la regla de derivación de la suma: la derivada de la suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de estas funciones. En nuestro caso, en cada suma, el segundo término con signo menos. En cada suma vemos tanto una variable independiente, cuya derivada es igual a uno, como una constante (número), cuya derivada es igual a cero. Entonces, "x" se convierte en uno, y menos 5, en cero. En la segunda expresión, "x" se multiplica por 2, entonces multiplicamos dos por la misma unidad que la derivada de "x". Obtenemos los siguientes valores de derivadas:

Sustituimos las derivadas encontradas en la suma de productos y obtenemos la derivada de toda la función requerida por la condición del problema:

Ejemplo 4 Encontrar la derivada de una función

Solución. Estamos obligados a encontrar la derivada del cociente. Aplicamos la fórmula para diferenciar un cociente: la derivada de un cociente de dos funciones es igual a una fracción cuyo numerador es la diferencia entre los productos del denominador y la derivada del numerador y el numerador y la derivada del denominador, y el denominador es el cuadrado del numerador anterior. Obtenemos:

Ya hemos encontrado la derivada de los factores en el numerador en el Ejemplo 2. Tampoco olvidemos que el producto, que es el segundo factor en el numerador en el ejemplo actual, se toma con un signo menos:

Si está buscando soluciones a problemas en los que necesita encontrar la derivada de una función, donde hay una pila continua de raíces y grados, como, por ejemplo, entonces bienvenido a clase "La derivada de la suma de fracciones con potencias y raíces" .

Si necesitas aprender más sobre las derivadas de senos, cosenos, tangentes y otras funciones trigonométricas, es decir, cuando la función se ve como , entonces tienes una lección "Derivadas de funciones trigonométricas simples" .

Ejemplo 5 Encontrar la derivada de una función

Solución. En esta función vemos un producto, uno de cuyos factores es la raíz cuadrada de la variable independiente, con cuya derivada nos familiarizamos en la tabla de derivadas. De acuerdo con la regla de diferenciación del producto y el valor tabular de la derivada de la raíz cuadrada, obtenemos:

Ejemplo 6 Encontrar la derivada de una función

Solución. En esta función vemos el cociente, cuyo dividendo es la raíz cuadrada de la variable independiente. Según la regla de derivación del cociente, que repetimos y aplicamos en el ejemplo 4, y el valor tabular de la derivada de la raíz cuadrada, obtenemos.