El sistema es homogéneo. Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales.

El sistema lineal se llama homogéneo , si todos sus términos libres son iguales a 0.

En forma matricial, un sistema homogéneo se escribe:
.

El sistema homogéneo (2) es siempre consistente. . Obviamente, el conjunto de números
,
, …,
satisface todas las ecuaciones del sistema. Solución
llamado cero o trivial decisión. Por tanto, un sistema homogéneo siempre tiene solución cero.

¿En qué condiciones el sistema homogéneo (2) tendrá soluciones distintas de cero (no triviales)?

Teorema 1.3 Sistema homogéneo (2) tiene soluciones distintas de cero si y sólo si el rango r su matriz principal menos incógnitas norte .

Sistema (2) – incierto
.

Corolario 1. Si el número de ecuaciones metro Un sistema homogéneo tiene menos variables.
, entonces el sistema es incierto y tiene muchas soluciones distintas de cero.

Corolario 2. Sistema cuadrado homogéneo
tiene soluciones distintas de cero si y cuando la matriz principal de este sistema degenerar, es decir determinante
.

De lo contrario, si el determinante
, un sistema cuadrado homogéneo tiene la única cosa solución cero
.

Sea el rango del sistema (2)
es decir, el sistema (2) tiene soluciones no triviales.

Dejar Y - soluciones particulares de este sistema, es decir
Y
.

Propiedades de las soluciones de un sistema homogéneo.

En realidad, .

En realidad, .

Combinando las propiedades 1) y 2), podemos decir que si

…,
- soluciones de un sistema homogéneo (2), entonces cualquier combinación lineal de ellos también es su solución. Aquí
- números reales arbitrarios.

Puede ser encontrado
soluciones parciales linealmente independientes sistema homogéneo (2), con la ayuda del cual se puede obtener cualquier otra solución particular de este sistema, es decir obtener una solución general al sistema (2).

Definición 2.2 Totalidad
soluciones parciales linealmente independientes

…,
sistema homogéneo (2) tal que cada solución del sistema (2) se puede representar como una combinación lineal de ellos se llama sistema fundamental de soluciones (FSR) de un sistema homogéneo (2).

Dejar

…,
es un sistema fundamental de soluciones, entonces la solución general del sistema homogéneo (2) se puede representar como:

Dónde

.

Comentario. Para obtener el FSR es necesario buscar soluciones privadas.

…,
, dando a una variable libre el valor "1" a su vez, y a todas las demás variables libres el valor "0".

Obtenemos ,, …,- FSR.

Ejemplo. Encuentre la solución general y el sistema fundamental de soluciones del sistema homogéneo de ecuaciones:

Solución. Escribamos la matriz extendida del sistema, habiendo previamente puesto en primer lugar la última ecuación del sistema, y ​​la llevemos a una forma escalonada. Dado que los lados derechos de las ecuaciones no cambian como resultado de transformaciones elementales, quedando cero, la columna

no puede escribirse.

̴
̴
̴

Rango del sistema donde
- número de variables. El sistema es incierto y tiene muchas soluciones.

Menor básico para variables.
distinto de cero:
elegir
como variables básicas, el resto
- variables libres (tomar cualquier valor real).

La última matriz de la cadena corresponde a un sistema escalonado de ecuaciones:

(3)

Expresemos las variables básicas.
a través de variables libres
(inverso del método gaussiano).

De la última ecuación expresamos :
y sustitúyelo en la primera ecuación. Lo conseguiremos. Abramos los corchetes, demos otros similares y expresemos :
.

Creyendo
,
,
, Dónde
, vamos a escribir

- solución general del sistema.

Encontremos un sistema fundamental de soluciones.

,,.

Entonces la solución general del sistema homogéneo se puede escribir como:

Comentario. El FSR podría haberse encontrado de otra manera, sin encontrar primero una solución general al sistema. Para hacer esto, el sistema de pasos resultante (3) tuvo que resolverse tres veces, suponiendo para :
; Para :
; Para :
.

Sistemas homogéneos de ecuaciones algebraicas lineales.

Como parte de las lecciones método gaussiano Y Sistemas/sistemas incompatibles con una solución común nosotros consideramos sistemas no homogéneos de ecuaciones lineales, Dónde miembro gratuito(que suele estar a la derecha) al menos uno de las ecuaciones era diferente de cero.
Y ahora, después de un buen calentamiento con rango de matriz, seguiremos puliendo la técnica transformaciones elementales en sistema homogéneo de ecuaciones lineales.
A juzgar por los primeros párrafos, el material puede parecer aburrido y mediocre, pero esta impresión es engañosa. Además de un mayor desarrollo de las técnicas, habrá mucha información nueva, así que trate de no descuidar los ejemplos de este artículo.

¿Qué es un sistema homogéneo de ecuaciones lineales?

La respuesta se sugiere por sí sola. Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si el término libre todos la ecuación del sistema es cero. Por ejemplo:

Es absolutamente claro que un sistema homogéneo es siempre consistente, es decir, siempre tiene solución. Y, antes que nada, lo que llama la atención es el llamado trivial solución . Trivial, para aquellos que no entienden en absoluto el significado del adjetivo, significa sin alarde. No académicamente, por supuesto, pero sí inteligiblemente =) ...Para qué andarse con rodeos, averigüemos si este sistema tiene otras soluciones:

Ejemplo 1

Solución: para resolver un sistema homogéneo es necesario escribir matriz del sistema y con la ayuda de transformaciones elementales llévelo a una forma escalonada. Tenga en cuenta que aquí no es necesario escribir la barra vertical y la columna cero de términos libres; después de todo, no importa lo que haga con los ceros, seguirán siendo ceros:

(1) La primera línea se agregó a la segunda línea, multiplicada por –2. La primera línea se agregó a la tercera línea, multiplicada por –3.

(2) La segunda línea se agregó a la tercera línea, multiplicada por –1.

Dividir la tercera línea entre 3 no tiene mucho sentido.

Como resultado de transformaciones elementales, se obtiene un sistema homogéneo equivalente. y, utilizando el inverso del método gaussiano, es fácil verificar que la solución es única.

Respuesta:

Formulemos un criterio obvio.: un sistema homogéneo de ecuaciones lineales tiene solo una solución trivial, Si rango de la matriz del sistema(en este caso 3) es igual al número de variables (en este caso – 3 piezas).

Calentamos y sintonizamos nuestra radio con la ola de transformaciones elementales:

Ejemplo 2

Resolver un sistema homogéneo de ecuaciones lineales.

Del artículo ¿Cómo encontrar el rango de una matriz? Recordemos la técnica racional de disminuir simultáneamente los números de la matriz. De lo contrario, tendrás que cortar pescado grande y que a menudo muerde. Un ejemplo aproximado de una tarea al final de la lección.

Los ceros son buenos y convenientes, pero en la práctica es mucho más común cuando las filas de la matriz del sistema linealmente dependiente. Y entonces es inevitable que surja una solución general:

Ejemplo 3

Resolver un sistema homogéneo de ecuaciones lineales.

Solución: escribamos la matriz del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevemos a una forma escalonada. La primera acción tiene como objetivo no solo obtener un valor único, sino también disminuir los números de la primera columna:

(1) Se agregó una tercera línea a la primera línea, multiplicada por –1. La tercera línea se agregó a la segunda línea, multiplicada por –2. En la parte superior izquierda tengo una unidad con un "menos", que suele ser mucho más conveniente para futuras transformaciones.

(2) Las dos primeras líneas son iguales, una de ellas fue eliminada. Honestamente, no presioné por la solución, así resultó. Si realiza transformaciones en forma de plantilla, entonces dependencia lineal Las líneas se habrían revelado un poco más tarde.

(3) La segunda línea se sumó a la tercera línea, multiplicada por 3.

(4) Se cambió el signo de la primera línea.

Como resultado de transformaciones elementales se obtuvo un sistema equivalente:

El algoritmo funciona exactamente igual que para sistemas heterogéneos. Las variables “sentado en los escalones” son las principales, la variable que no consiguió “escalón” queda libre.

Expresemos las variables básicas mediante una variable libre:

Respuesta: decisión común:

La solución trivial está incluida en la fórmula general y no es necesario anotarla por separado.

La verificación también se realiza según el esquema habitual: la solución general resultante se debe sustituir en el lado izquierdo de cada ecuación del sistema y se debe obtener un cero legal para todas las sustituciones.

Sería posible terminar esto tranquila y pacíficamente, pero a menudo es necesario representar la solución de un sistema homogéneo de ecuaciones. en forma vectorial mediante el uso sistema fundamental de soluciones. Por favor olvídalo por ahora. geometría analítica, ya que ahora hablaremos de vectores en el sentido algebraico general, que abrí un poco en el artículo sobre rango de matriz. No es necesario pasar por alto la terminología, todo es bastante sencillo.

Sistemas de ecuaciones lineales homogéneas.- tiene la forma ∑a k i x i = 0. donde m > n o m Un sistema homogéneo de ecuaciones lineales siempre es consistente, ya que rangA = rangB. Obviamente tiene una solución formada por ceros, que se llama trivial.

Objeto del servicio. La calculadora en línea está diseñada para encontrar una solución fundamental y no trivial al SLAE. La solución resultante se guarda en un archivo de Word (ver solución de ejemplo).

Instrucciones. Seleccionar dimensión de matriz:

Propiedades de sistemas de ecuaciones lineales homogéneas.

Para que el sistema tenga soluciones no triviales, es necesario y suficiente que el rango de su matriz sea menor que el número de incógnitas.

Teorema. Un sistema en el caso m=n tiene una solución no trivial si y sólo si el determinante de este sistema es igual a cero.

Teorema. Cualquier combinación lineal de soluciones a un sistema también es una solución a ese sistema.
Definición. El conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneas se llama sistema fundamental de soluciones, si este conjunto consta de soluciones linealmente independientes y cualquier solución del sistema es una combinación lineal de estas soluciones.

Teorema. Si el rango r de la matriz del sistema es menor que el número n de incógnitas, entonces existe un sistema fundamental de soluciones que consta de (n-r) soluciones.

Algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales homogéneas.

1. Encontrar el rango de la matriz.
2. Seleccionamos el menor básico. Distinguimos incógnitas dependientes (básicas) y libres.
3. Tachamos aquellas ecuaciones del sistema cuyos coeficientes no están incluidos en la base menor, ya que son consecuencias de las demás (según el teorema de la base menor).
4. Movemos los términos de las ecuaciones que contienen incógnitas libres hacia el lado derecho. Como resultado, obtenemos un sistema de r ecuaciones con r incógnitas, equivalente a la dada, cuyo determinante es distinto de cero.
5. Resolvemos el sistema resultante eliminando incógnitas. Encontramos relaciones que expresan variables dependientes a través de libres.
6. Si el rango de la matriz no es igual al número de variables, entonces encontramos la solución fundamental del sistema.
7. En el caso rang = n tenemos una solución trivial.

Ejemplo. Encontrar la base del sistema de vectores (a 1, a 2,...,am), clasificar y expresar los vectores en función de la base. Si a 1 =(0,0,1,-1), y 2 =(1,1,2,0), y 3 =(1,1,1,1), y 4 =(3,2,1 ,4) y 5 =(2,1,0,3).
Anotemos la matriz principal del sistema:

Multiplica la tercera línea por (-3). Agreguemos la cuarta línea a la tercera:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Multiplica la cuarta línea por (-2). Multipliquemos la quinta línea por (3). Agreguemos la quinta línea a la cuarta:
Agreguemos la segunda línea a la primera:
Encontremos el rango de la matriz.
El sistema con los coeficientes de esta matriz es equivalente al sistema original y tiene la forma:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2 x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Utilizando el método de eliminación de incógnitas, encontramos una solución no trivial:
Obtuvimos relaciones que expresan las variables dependientes x 1 , x 2 , x 3 a través de las libres x 4 , es decir, encontramos una solución general:
x3 = x4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

Sistema metro ecuaciones lineales c norte llamados desconocidos sistema de lineal homogéneo ecuaciones si todos los términos libres son iguales a cero. Un sistema así se parece a:

Dónde y yo (yo = 1, 2, …, metro; j = 1, 2, …, norte) - números dados; xyo- desconocido.

Un sistema de ecuaciones lineales homogéneas siempre es consistente, ya que r(A) = r(). Siempre tiene al menos cero ( trivial) solución (0; 0;…; 0).

Consideremos bajo qué condiciones los sistemas homogéneos tienen soluciones distintas de cero.

Teorema 1. Un sistema de ecuaciones lineales homogéneas tiene soluciones distintas de cero si y sólo si el rango de su matriz principal es r menos incógnitas norte, es decir. r < norte.

□ 1). Sea un sistema de ecuaciones lineales homogéneas una solución distinta de cero. Dado que el rango no puede exceder el tamaño de la matriz, entonces, obviamente, r ≤ norte. Dejar r = norte. Entonces uno de los tamaños menores. nn diferente de cero. Por tanto, el correspondiente sistema de ecuaciones lineales tiene solución única: . Esto significa que no existen más soluciones que las triviales. Entonces, si hay una solución no trivial, entonces r < norte.

2). Dejar r < norte. Entonces el sistema homogéneo, al ser consistente, es incierto. Esto significa que tiene un número infinito de soluciones, es decir. tiene soluciones distintas de cero. ■

Considere un sistema homogéneo norte ecuaciones lineales c norte desconocido:

(2)

Teorema 2. Sistema homogéneo norte ecuaciones lineales c norte las incógnitas (2) tienen soluciones distintas de cero si y sólo si su determinante es igual a cero: = 0.

□ Si el sistema (2) tiene una solución distinta de cero, entonces = 0. Porque cuando el sistema tiene una sola solución cero. Si = 0, entonces el rango r la matriz principal del sistema es menor que el número de incógnitas, es decir r < norte. Y, por tanto, el sistema tiene un número infinito de soluciones, es decir. tiene soluciones distintas de cero. ■

Denotemos la solución del sistema (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, xn = kn como una cuerda .

Las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneas tienen las siguientes propiedades:

1. si la linea es una solución al sistema (1), entonces la línea es una solución al sistema (1).

2. si las lineas y son soluciones del sistema (1), entonces para cualquier valor Con 1 y Con 2 su combinación lineal también es una solución al sistema (1).

La validez de estas propiedades se puede verificar sustituyéndolas directamente en las ecuaciones del sistema.

De las propiedades formuladas se deduce que cualquier combinación lineal de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneas también es una solución de este sistema.

Sistema de soluciones linealmente independientes. mi 1 , mi 2 , …, e r llamado fundamental, si cada solución del sistema (1) es una combinación lineal de estas soluciones mi 1 , mi 2 , …, e r.

Teorema 3. Si rango r matrices de coeficientes para variables del sistema de ecuaciones lineales homogéneas (1) son menores que el número de variables norte, entonces cualquier sistema fundamental de soluciones al sistema (1) consta de n – r decisiones.

Es por eso decisión común El sistema de ecuaciones lineales homogéneas (1) tiene la forma:

Dónde mi 1 , mi 2 , …, e r– cualquier sistema fundamental de soluciones al sistema (9), Con 1 , Con 2 , …, Con p– números arbitrarios, R = n – r.

Teorema 4. Solución general del sistema. metro ecuaciones lineales c norte incógnitas es igual a la suma de la solución general del correspondiente sistema de ecuaciones lineales homogéneas (1) y una solución particular arbitraria de este sistema (1).

Ejemplo. resolver el sistema

Solución. Para este sistema metro = norte= 3. Determinante

Según el teorema 2, el sistema sólo tiene una solución trivial: X = y = z = 0.

Ejemplo. 1) Encontrar soluciones generales y particulares del sistema.

2) Encuentre el sistema fundamental de soluciones.

Solución. 1) Para este sistema metro = norte= 3. Determinante

Según el teorema 2, el sistema tiene soluciones distintas de cero.

Como sólo hay una ecuación independiente en el sistema

X + y – 4z = 0,

entonces a partir de ello expresaremos X =4z- y. ¿De dónde obtenemos un número infinito de soluciones: (4 z- y, y, z) – esta es la solución general del sistema.

En z= 1, y= -1, obtenemos una solución particular: (5, -1, 1). Poniendo z= 3, y= 2, obtenemos la segunda solución parcial: (10, 2, 3), etc.

2) En la solución general (4 z- y, y, z) variables y Y z son libres y la variable X- dependiente de ellos. Para encontrar un sistema fundamental de soluciones, asignemos valores a las variables libres: primero y = 1, z= 0, entonces y = 0, z= 1. Obtenemos soluciones parciales (-1, 1, 0), (4, 0, 1), que forman el sistema fundamental de soluciones.

Ilustraciones:

Arroz. 1 Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales.

Arroz. 2 Estudio de sistemas de ecuaciones lineales.

Presentaciones:

· Solución método SLAE_matrix

· Solución del método SLAE_Cramer

· Solución método SLAE_Gauss

· Paquetes para la resolución de problemas matemáticos. Matemática, MathCad: búsqueda de soluciones analíticas y numéricas a sistemas de ecuaciones lineales

Preguntas de control:

1. Definir una ecuación lineal

2. ¿Qué tipo de sistema parece? metro ecuaciones lineales con norte¿desconocido?

3. ¿Qué se llama resolver sistemas de ecuaciones lineales?

4. ¿Qué sistemas se llaman equivalentes?

5. ¿Qué sistema se llama incompatible?

6. ¿Qué sistema se llama articulación?

7. ¿Qué sistema se llama definido?

8. ¿Qué sistema se llama indefinido?

9. Enumere las transformaciones elementales de sistemas de ecuaciones lineales.

10. Enumere las transformaciones elementales de matrices.

11. Formule un teorema sobre la aplicación de transformaciones elementales a un sistema de ecuaciones lineales.

12. ¿Qué sistemas se pueden resolver usando el método matricial?

13. ¿Qué sistemas se pueden resolver con el método de Cramer?

14. ¿Qué sistemas se pueden resolver con el método de Gauss?

15. Enumere 3 posibles casos que surgen al resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss.

16. Describe el método matricial para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

17. Describe el método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

18. Describe el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

19. ¿Qué sistemas se pueden resolver usando una matriz inversa?

20. Enumere 3 posibles casos que surgen al resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Cramer.

Literatura:

1. Matemáticas superiores para economistas: libro de texto para universidades / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, MN Friedman. Ed. n.sh. Kremer. – M.: UNIDAD, 2005. – 471 p.

2. Curso general de matemáticas superiores para economistas: Libro de texto. / Ed. Y EN. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 p.

3. Colección de problemas de matemáticas superiores para economistas: Libro de texto / Editado por V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. – 574 p.

4. Gmurman V. E. Guía para la resolución de problemas en teoría de probabilidad y estadística magmática. - M.: Escuela Superior, 2005. – 400 p.

5. Gmurman. V.E Teoría de la probabilidad y estadística matemática. - M.: Escuela Superior, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Matemáticas superiores en ejercicios y problemas. Parte 1, 2. – M.: Onyx Siglo XXI: Paz y Educación, 2005. – 304 p. Parte 1; – 416 p. Parte 2.

7. Matemáticas en economía: Libro de texto: En 2 partes / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Finanzas y Estadística, 2006.

8. Shipachev V.S. Matemáticas superiores: libro de texto para estudiantes. universidades - M.: Escuela Superior, 2007. - 479 p.

Información relacionada.

Consideremos sistema homogéneo m ecuaciones lineales con n variables:

(15)

Un sistema de ecuaciones lineales homogéneas siempre es consistente, porque siempre tiene una solución cero (trivial) (0,0,…,0).

Si en el sistema (15) m=n y , entonces el sistema sólo tiene solución cero, lo que se desprende del teorema y las fórmulas de Cramer.

Teorema 1. El sistema homogéneo (15) tiene una solución no trivial si y solo si el rango de su matriz es menor que el número de variables, es decir . r(A)< norte.

Prueba. La existencia de una solución no trivial al sistema (15) es equivalente a una dependencia lineal de las columnas de la matriz del sistema (es decir, hay números x 1, x 2,...,x n, no todos iguales a cero, tales que las igualdades (15) son verdaderas).

Según el teorema de la base menor, las columnas de una matriz son linealmente dependientes  cuando no todas las columnas de esta matriz son básicas, es decir  cuando el orden r de la base menor de la matriz es menor que el número n de sus columnas. Etc.

Consecuencia. Un sistema cuadrado homogéneo tiene soluciones no triviales  cuando |A|=0.

Teorema 2. Si las columnas x (1), x (2),..., x (s) son soluciones de un sistema homogéneo AX = 0, entonces cualquier combinación lineal de ellas también es una solución de este sistema.

Prueba. Considere cualquier combinación de soluciones:

Entonces AX=A()===0. etc.

Corolario 1. Si un sistema homogéneo tiene una solución no trivial, entonces tiene infinitas soluciones.

Eso. es necesario encontrar tales soluciones x (1), x (2),..., x (s) del sistema Ax = 0, de modo que cualquier otra solución de este sistema se represente en forma de su combinación lineal y , además, de una forma única.

Definición. El sistema k=n-r (n es el número de incógnitas en el sistema, r=rg A) de soluciones linealmente independientes x (1), x (2),…, x (k) del sistema Ах=0 se llama sistema fundamental de soluciones este sistema.

Teorema 3. Sea un sistema homogéneo Ах=0 con n incógnitas y r=rg A. Entonces hay un conjunto de k=n-r soluciones x (1), x (2),…, x (k) de este sistema, formando un. sistema fundamental de soluciones.

Prueba. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que la base menor de la matriz A se ubica en la esquina superior izquierda. Entonces, según el teorema menor de la base, las filas restantes de la matriz A son combinaciones lineales de las filas de la base. Esto significa que si los valores x 1, x 2,…, x n satisfacen las primeras r ecuaciones, es decir ecuaciones correspondientes a las filas de la base menor), entonces también satisfacen otras ecuaciones. En consecuencia, el conjunto de soluciones del sistema no cambiará si descartamos todas las ecuaciones comenzando por la (r+1)ésima. Obtenemos el sistema:

Muevamos las incógnitas libres x r +1 , x r +2 ,…, x n al lado derecho, y dejemos las básicas x 1 , x 2 ,…, x r a la izquierda:

(16)

Porque en este caso todo b i =0, entonces en lugar de las fórmulas

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), obtenemos:

c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)

Si establecemos las incógnitas libres x r +1 , x r +2 ,…, x n en valores arbitrarios, entonces con respecto a las incógnitas básicas obtenemos un SLAE cuadrado con una matriz no singular para la que existe una solución única. Por tanto, cualquier solución de un SLAE homogéneo está determinada únicamente por los valores de las incógnitas libres x r +1, x r +2,…, x n. Considere la siguiente serie k=n-r de valores de incógnitas libres:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(El número de serie se indica mediante un superíndice entre paréntesis, y las series de valores se escriben en forma de columnas. En cada serie =1 si i=j y =0 si ij.

La i-ésima serie de valores de incógnitas libres corresponden únicamente a los valores de,,...,incógnitas básicas. Los valores de las incógnitas libres y básicas juntos dan soluciones al sistema (17).

Demostremos que las columnas e i =,i=1,2,…,k (18)

Forman un sistema fundamental de soluciones.

Porque Estas columnas, por construcción, son soluciones del sistema homogéneo Ax=0 y su número es igual a k, entonces queda por demostrar la independencia lineal de las soluciones (16). Sea una combinación lineal de soluciones. mi 1 , mi 2 ,…, mi k(x (1) , x (2) ,…, x (k)), igual a la columna cero:

 1 mi 1 +  2 mi 2 +…+  k mi k ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+k X(k) = 0)

Entonces el lado izquierdo de esta igualdad es una columna cuyos componentes con números r+1,r+2,…,n son iguales a cero. Pero el (r+1)ésimo componente es igual a  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 . De manera similar, el (r+2)ésimo componente es igual a  2 ,…, el késimo componente es igual a  k. Por lo tanto  1 =  2 = …= k =0, lo que significa independencia lineal de soluciones mi 1 , mi 2 ,…, mi k ( x (1), x (2),…, x (k)).

El sistema fundamental construido de soluciones (18) se llama normal. En virtud de la fórmula (13), tiene la siguiente forma:

(20)

Corolario 2. Dejar mi 1 , mi 2 ,…, mi k-sistema fundamental normal de soluciones de un sistema homogéneo, entonces el conjunto de todas las soluciones se puede describir mediante la fórmula:

x=c 1 mi 1 +s 2 mi 2 +…+ñ k mi k (21)

donde с 1,с 2,…,с k – tomar valores arbitrarios.

Prueba. Según el teorema 2, la columna (19) es una solución del sistema homogéneo Ax=0. Queda por demostrar que cualquier solución a este sistema se puede representar en la forma (17). Considere la columna X=y r +1 mi 1 +…+s n mi k. Esta columna coincide con la columna y en elementos con números r+1,...,n y es una solución a (16). Por lo tanto las columnas X Y en coincidir, porque las soluciones del sistema (16) están determinadas únicamente por el conjunto de valores de sus incógnitas libres x r +1 ,…,x n , y las columnas en Y X Estos conjuntos son iguales. Por eso, en=X= y r +1 mi 1 +…+s n mi k, es decir. solución en es una combinación lineal de columnas mi 1 ,…,y n FSR normal. Etc.

La afirmación demostrada es cierta no sólo para un FSR normal, sino también para un FSR arbitrario de un SLAE homogéneo.

x=C 1 X 1 + C 2 X 2 +…+s norte - r X norte - r - decisión común sistemas de ecuaciones lineales homogéneas

Donde X 1, X 2,…, X n - r – cualquier sistema fundamental de soluciones,

c 1 ,c 2 ,…,c n - r son números arbitrarios.

Ejemplo. (pág. 78)

Establezcamos una conexión entre las soluciones del SLAE no homogéneo. (1) y la correspondiente SLAE homogénea (15)

Teorema 4. La suma de cualquier solución del sistema no homogéneo (1) y el correspondiente sistema homogéneo (15) es una solución del sistema (1).

Prueba. Si c 1 ,…,c n es una solución del sistema (1), y d 1 ,…,d n es una solución del sistema (15), entonces sustituir los números desconocidos c en cualquier (por ejemplo, i-ésima) ecuación de sistema (1) 1 +d 1 ,…,c n +d n , obtenemos:

B i +0=b i h.t.d.

Teorema 5. La diferencia entre dos soluciones arbitrarias del sistema no homogéneo (1) es una solución del sistema homogéneo (15).

Prueba. Si c 1 ,…,c n y c 1 ,…,c n son soluciones del sistema (1), entonces sustituyendo los números desconocidos c en cualquier (por ejemplo, i-ésima) ecuación del sistema (1 ) 1 -с 1 ,…,c n -с n , obtenemos:

B i -b i =0 ptd.

De los teoremas probados se deduce que la solución general de un sistema de m ecuaciones lineales homogéneas con n variables es igual a la suma de la solución general del correspondiente sistema de ecuaciones lineales homogéneas (15) y un número arbitrario de una solución particular de este sistema (15).

X neod. =X total uno +X frecuente mas de una vez (22)

Como solución particular a un sistema no homogéneo, es natural tomar la solución que se obtiene si en las fórmulas c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13) establezca todos los números c r +1 ,…,c n iguales a cero, es decir

X 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Agregar esta solución particular a la solución general x=C 1 X 1 + C 2 X 2 +…+s norte - r X norte - r correspondiente sistema homogéneo, obtenemos:

X neod. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+C norte - r X norte - r (24)

Considere un sistema de dos ecuaciones con dos variables:

en el que al menos uno de los coeficientes a ij 0.

Para resolver eliminamos x 2 multiplicando la primera ecuación por a 22, y la segunda por (-a 12) y sumándolas: Eliminamos x 1 multiplicando la primera ecuación por (-a 21), y la segunda por a 11 y agregándolos: La expresión entre paréntesis es el determinante.

habiendo designado ,, entonces el sistema tomará la forma:, es decir, si, entonces el sistema tiene una solución única:,.

Si Δ=0, y (o), entonces el sistema es inconsistente, porque reducido a la forma Si Δ=Δ 1 =Δ 2 =0, entonces el sistema es incierto, porque reducido a forma