Rješavanje nejednačina s jednom promjenljivom i njihovim sistemima. Sistemi nejednakosti - osnovne informacije

Tema časa “Rješavanje nejednačina i njihovih sistema” (matematika 9. razred)

Vrsta lekcije:čas sistematizacije i generalizacije znanja i vještina

Tehnologija lekcije: tehnologija za razvoj kritičkog mišljenja, diferencirano učenje, IKT tehnologije

Svrha lekcije: ponoviti i sistematizovati znanja o svojstvima nejednačina i metodama za njihovo rešavanje, stvoriti uslove za razvijanje veština primene ovih znanja pri rešavanju standardnih i kreativnih zadataka.

Zadaci.

edukativni:

promicati razvoj vještina učenika za uopštavanje stečenog znanja, analizu, sintezu, poređenja i donošenje potrebnih zaključaka

organizovati aktivnosti studenata na primeni stečenog znanja u praksi

promovirati razvoj vještina primjene stečenog znanja u nestandardnim uslovima

edukativni:

nastaviti formiranje logičkog mišljenja, pažnje i pamćenja;

unaprediti veštine analize, sistematizacije, generalizacije;

stvaranje uslova koji osiguravaju razvoj sposobnosti samokontrole kod učenika;

promoviraju sticanje potrebnih vještina za aktivnosti samostalnog učenja.

edukativni:

Neguju disciplinu i prisebnost, odgovornost, samostalnost, kritički odnos prema sebi i pažnju.

Planirani obrazovni rezultati.

Lični: odgovoran odnos prema učenju i komunikativna kompetencija u komunikaciji i saradnji sa vršnjacima u procesu vaspitno-obrazovnih aktivnosti.

kognitivni: sposobnost definisanja pojmova, kreiranja generalizacija, samostalnog odabira osnova i kriterijuma za klasifikaciju, izgradnje logičkog zaključivanja i zaključaka;

Regulatorno: sposobnost prepoznavanja potencijalnih poteškoća prilikom rješavanja obrazovnog i kognitivnog zadatka i pronalaženja sredstava za njihovo otklanjanje, evaluacije nečijih postignuća

Komunikativna: sposobnost donošenja sudova koristeći matematičke termine i koncepte, formulisanje pitanja i odgovora tokom zadatka, razmjenu znanja između članova grupe za donošenje efikasnih zajedničkih odluka.

Osnovni pojmovi i pojmovi: linearna nejednakost, kvadratna nejednakost, sistem nejednakosti.

Oprema

Projektor, laptop za nastavnike, nekoliko netbooka za učenike;

Prezentacija;

Kartice sa osnovnim znanjima i vještinama na temu lekcije (Prilog 1);

Kartice sa samostalnim radom (Prilog 2).

Plan lekcije

Spisak korišćene literature: Algebra. Udžbenik za 9. razred. / Yu.N.Makrychev, N.G. Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorova. - M.: Obrazovanje, 2014

Tema časa: Rješavanje sistema linearnih nejednačina sa jednom promjenljivom

Datum: _______________

Klasa: 6a, 6b, 6c

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva i primarno učvršćivanje.

Didaktički cilj: stvoriti uslove za osvještavanje i razumijevanje bloka novih obrazovnih informacija.

Ciljevi: 1) Obrazovni: upoznati pojmove: rješenja sistema nejednačina, ekvivalentni sistemi nejednačina i njihova svojstva; naučiti kako primijeniti ove koncepte pri rješavanju jednostavnih sistema nejednačina sa jednom varijablom.

2) Razvojni: promicati razvoj elemenata kreativne, samostalne aktivnosti učenika; razvijati govor, sposobnost razmišljanja, analiziranja, generalizacije, jasno i koncizno izražavanje svojih misli.

3) obrazovne: negovanje međusobnog poštovanja i odgovornog odnosa prema vaspitno-obrazovnom radu.

Zadaci:

ponoviti teoriju na temu numeričkih nejednakosti i numeričkih intervala;

dati primjer problema koji se može riješiti sistemom nejednakosti;

razmotriti primjere rješavanja sistema nejednačina;

obavljati samostalan rad.

Oblici organizovanja obrazovnih aktivnosti:- frontalni – kolektivni – individualni.

Metode: objašnjavajuće - ilustrativno.

Plan lekcije:

1. Organizacioni momenat, motivacija, postavljanje ciljeva

2. Ažuriranje proučavanja teme

3. Učenje novog gradiva

4. Primarna konsolidacija i primjena novog materijala

5. Samostalan rad

7. Sumiranje lekcije. Refleksija.

Tokom nastave:

1. Organizacioni momenat

Nejednakost može biti dobra pomoć. Samo trebate znati kada mu se obratiti za pomoć. Formulisanje problema u mnogim primenama matematike često je formulisano jezikom nejednakosti. Na primjer, mnogi ekonomski problemi se svode na proučavanje sistema linearnih nejednakosti. Stoga je važno znati rješavati sisteme nejednakosti. Šta znači “riješiti sistem nejednakosti”? Ovo ćemo danas pogledati na času.

2. Ažuriranje znanja.

Usmeni rad sa klasom, tri učenika rade koristeći individualne kartice.

Da bismo sagledali teoriju teme „Nejednakosti i njihova svojstva“, izvršićemo testiranje, nakon čega slijedi provjera i razgovor o teoriji ove teme. Svaki testni zadatak zahtijeva odgovor "Da" - slika, "Ne" - slika ____

Rezultat testa bi trebao biti neka vrsta figure.

(odgovor: ).

Uspostavite korespondenciju između nejednakosti i numeričkog intervala

1. (– ; – 0,3)

2. (3; 18)

3. [ 12; + )

4. (– 4; 0]

5. [ 4; 12]

6. [ 2,5; 10)

“Matematika vas uči da prevaziđete poteškoće i ispravite sopstvene greške.” Pronađite grešku u rješavanju nejednačine, objasnite zašto je greška napravljena, zapišite tačno rješenje u svoju bilježnicu.

2x<8-6

x>-1

3. Proučavanje novog gradiva.

Šta mislite da se zove rješenje za sistem nejednakosti?

(Rješenje sistema nejednačina s jednom promjenljivom je vrijednost varijable za koju je svaka od nejednačina u sistemu tačna)

Šta znači “Rješiti sistem nejednakosti”?

(Rješavanje sistema nejednačina znači pronaći sva njegova rješenja ili dokazati da rješenja nema)

Ono što treba uraditi da bi se odgovorilo na pitanje „je dat broj

rješenje sistema nejednakosti?

(Zamenite ovaj broj u obe nejednačine sistema, ako su nejednakosti tačne, tada je dati broj rešenje sistema nejednačina, ako su nejednakosti netačne, onda dati broj nije rešenje sistema nejednačina)

Formulirati algoritam za rješavanje sistema nejednačina

1. Riješite svaku nejednakost sistema.

2. Grafički prikažite rješenja svake nejednačine na koordinatnoj liniji.

3. Naći presjek rješenja nejednačina na koordinatnoj liniji.

4. Odgovor napišite kao brojčani interval.

Razmotrimo primjere:

odgovor:

Odgovor: nema rješenja

4. Osiguravanje teme.

Rad sa udžbenikom br. 1016, br. 1018, br. 1022

5. Samostalan rad prema opcijama (kartice sa zadacima za učenike na stolovima)

Samostalan rad

Opcija 1

Riješite sistem nejednačina:

Ovaj članak pruža početne informacije o sistemima nejednakosti. Ovdje je definicija sistema nejednakosti i definicija rješenja za sistem nejednakosti. Navedene su i glavne vrste sistema sa kojima se najčešće mora raditi na časovima algebre u školi i dati primjeri.

Navigacija po stranici.

Šta je sistem nejednakosti?

Pogodno je definisati sisteme nejednačina na isti način kao što smo uveli definiciju sistema jednačina, odnosno po vrsti zapisa i značenju koje je u njega ugrađeno.

Definicija.

Sistem nejednakosti je zapis koji predstavlja određeni broj nejednačina ispisanih jedna ispod druge, objedinjene s lijeve strane vitičastom zagradom, i označava skup svih rješenja koja su istovremeno rješenja svake nejednakosti sistema.

Navedimo primjer sistema nejednakosti. Uzmimo dva proizvoljna, na primjer, 2 x−3>0 i 5−x≥4 x−11, napiši ih jedno ispod drugog
2 x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
i ujediniti se sa sistemskim znakom - vitičastom zagradom, kao rezultat dobijamo sistem nejednakosti sljedećeg oblika:

Slična ideja je data o sistemima nejednakosti u školskim udžbenicima. Vrijedi napomenuti da su njihove definicije date uže: za nejednakosti s jednom varijablom ili sa dvije varijable.

Glavne vrste sistema nejednakosti

Jasno je da je moguće stvoriti beskonačno mnogo različitih sistema nejednakosti. Kako se ne biste izgubili u ovoj raznolikosti, preporučljivo je razmotriti ih u grupama koje imaju svoje karakteristične karakteristike. Svi sistemi nejednakosti mogu se podijeliti u grupe prema sljedećim kriterijima:

• prema broju nejednakosti u sistemu;
• prema broju varijabli uključenih u snimanje;
• prema vrsti samih nejednakosti.

Na osnovu broja nejednakosti uključenih u evidenciju razlikuju se sistemi dva, tri, četiri, itd. nejednakosti U prethodnom pasusu dali smo primjer sistema, koji je sistem od dvije nejednakosti. Pokažimo još jedan primjer sistema od četiri nejednakosti .

Odvojeno, reći ćemo da nema smisla govoriti samo o sistemu nejednakosti, u suštini, govorimo o samoj nejednakosti, a ne o sistemu;

Ako pogledate broj varijabli, onda postoje sistemi nejednakosti sa jednom, dvije, tri, itd. varijable (ili, kako još kažu, nepoznate). Pogledajte posljednji sistem nejednakosti napisan u dva pasusa iznad. To je sistem sa tri varijable x, y i z. Imajte na umu da njene prve dvije nejednakosti ne sadrže sve tri varijable, već samo jednu od njih. U kontekstu ovog sistema, treba ih shvatiti kao nejednakosti sa tri varijable oblika x+0·y+0·z≥−2 i 0·x+y+0·z≤5, respektivno. Imajte na umu da se škola fokusira na nejednakosti sa jednom varijablom.

Ostaje da razgovaramo o tome koje vrste nejednakosti su uključene u sisteme snimanja. U školi uglavnom razmatraju sisteme dvije nejednakosti (rjeđe - tri, još rjeđe - četiri ili više) sa jednom ili dvije varijable, a same nejednakosti su najčešće čitave nejednakosti prvi ili drugi stepen (rjeđe - viši stepeni ili frakciono racionalni). Ali nemojte se iznenaditi ako u pripremnom materijalu za Jedinstveni državni ispit naiđete na sisteme nejednakosti koji sadrže iracionalne, logaritamske, eksponencijalne i druge nejednakosti. Kao primjer dajemo sistem nejednakosti , preuzeto je iz .

Koje je rješenje za sistem nejednakosti?

Hajde da uvedemo još jednu definiciju vezanu za sisteme nejednakosti - definiciju rešenja sistema nejednačina:

Definicija.

Rješavanje sistema nejednačina sa jednom promjenljivom naziva se takva vrijednost varijable koja svaku od nejednakosti sistema pretvara u istinitu, drugim riječima, ona je rješenje svake nejednakosti sistema.

Objasnimo na primjeru. Uzmimo sistem od dvije nejednakosti sa jednom promjenljivom. Uzmimo vrijednost varijable x jednaku 8, ona je rješenje našeg sistema nejednačina po definiciji, pošto njena zamjena u nejednakosti sistema daje dvije ispravne numeričke nejednačine 8>7 i 2−3·8≤0. Naprotiv, jedinica nije rješenje za sistem, jer kada se zamijeni varijabla x, prva nejednakost će se pretvoriti u netačnu numeričku nejednakost 1>7.

Slično, možete uvesti definiciju rješenja u sistem nejednakosti s dvije, tri ili više varijabli:

Definicija.

Rješavanje sistema nejednačina sa dva, tri itd. varijable zove se par, trojka, itd. vrijednosti ovih varijabli, što je ujedno rješenje svake nejednakosti sistema, odnosno svaku nejednakost sistema pretvara u ispravnu numeričku nejednakost.

Na primjer, par vrijednosti x=1, y=2 ili u drugoj notaciji (1, 2) je rješenje za sistem nejednakosti sa dvije varijable, budući da je 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Sistemi nejednačina možda nemaju rješenja, mogu imati konačan broj rješenja ili mogu imati beskonačan broj rješenja. Ljudi često govore o skupu rješenja za sistem nejednakosti. Kada sistem nema rješenja, tada postoji prazan skup njegovih rješenja. Kada postoji konačan broj rješenja, tada skup rješenja sadrži konačan broj elemenata, a kada postoji beskonačno mnogo rješenja, tada se skup rješenja sastoji od beskonačnog broja elemenata.

Neki izvori uvode definicije posebnog i opšteg rešenja sistema nejednakosti, kao, na primer, u Mordkovičevim udžbenicima. Ispod privatno rješenje sistema nejednakosti razumeti njenu jedinu odluku. Zauzvrat opšte rešenje sistema nejednakosti- sve su to njene privatne odluke. Međutim, ovi pojmovi imaju smisla samo kada je potrebno posebno naglasiti o kakvom je rješenju riječ, ali to je obično već jasno iz konteksta, pa mnogo češće govore jednostavno „rješenje sistema nejednakosti“.

Iz definicija sistema nejednačina i njegovih rješenja iznesenih u ovom članku, proizlazi da je rješenje sistema nejednačina presjek skupova rješenja svih nejednačina ovog sistema.

Bibliografija.

1. algebra: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. algebra: 9. razred: obrazovni. za opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2009. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A. G. Algebra. 9. razred. U 2 dijela, dio 1. Udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Mordkovich A. G. Algebra i početak matematičke analize. 11. razred. U 2 sata Dio 1. Udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova (profilni nivo) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. Jedinstveni državni ispit-2013. Matematika: standardne opcije ispita: 30 opcija / ur. A. L. Semenova, I. V. Yashchenko. – M.: Izdavačka kuća „Narodno obrazovanje”, 2012. – 192 str. – (Jedinstveni državni ispit 2013. FIPI - škola).

1. Koncept nejednakosti sa jednom varijablom

2. Ekvivalentne nejednakosti. Teoreme o ekvivalenciji nejednačina

3. Rješavanje nejednačina s jednom varijablom

4. Grafičko rješenje nejednačina sa jednom varijablom

5. Nejednakosti koje sadrže varijablu pod predznakom modula

6. Glavni zaključci

Nejednakosti sa jednom varijablom

Ponude 2 X + 7 > 10, x 2 +7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 se nazivaju nejednakosti s jednom promjenljivom.

Općenito, ovaj koncept je definiran na sljedeći način:

Definicija. Neka su f(x) i g(x) dva izraza s promjenljivom x i domenom X. Tada je nejednakost oblika f(x) > g(x) ili f(x)< g(х) называется неравенством с одной переменной. Мно­жество X называется областью его определения.

Varijabilna vrijednost x od mnogih X, u kojoj se nejednakost pretvara u pravu numeričku nejednakost naziva se odluka. Rješavanje nejednakosti znači pronalaženje mnogih rješenja za nju.

Dakle, rješavanjem nejednakosti 2 x + 7 > 10 -x, x? R je broj x= 5, pošto je 2 5 + 7 > 10 - 5 prava numerička nejednakost. A skup njegovih rješenja je interval (1, ∞), koji se nalazi izvođenjem transformacije nejednakosti: 2 x + 7 > 10-x => 3x >3 => x >1.

Ekvivalentne nejednakosti. Teoreme o ekvivalenciji nejednačina

Osnova za rješavanje nejednačina sa jednom varijablom je koncept ekvivalencije.

Definicija. Za dvije nejednačine se kaže da su ekvivalentne ako su njihovi skupovi rješenja jednaki.

Na primjer, nejednakosti 2 x+ 7 > 10 i 2 x> 3 su ekvivalentni, jer su njihovi skupovi rješenja jednaki i predstavljaju interval (2/3, ∞).

Teoreme o ekvivalenciji nejednačina i posljedice iz njih slične su odgovarajućim teoremama o ekvivalenciji jednačina. Njihov dokaz koristi svojstva pravih numeričkih nejednačina.

Teorema 3. Neka nejednakost f(x) > g(x) definisano na setu X I h(x) je izraz definiran na istom skupu. Zatim nejednakosti f(x) > g(x) i f(x)+ h(x) > g(x) + h(x) su ekvivalentni na setu X.

Iz ove teoreme proizlaze posljedice koje se često koriste pri rješavanju nejednačina:

1) Ako na obje strane nejednakosti f(x) > g(x) dodati isti broj d, tada dobijamo nejednakost f(x) + d > g(x)+ d, ekvivalentno originalnom.

2) Ako se bilo koji pojam (numerički izraz ili izraz sa promjenljivom) prenese iz jednog dijela nejednakosti u drugi, mijenjajući predznak pojma u suprotan, onda dobijamo nejednakost ekvivalentnu datoj.

Teorema 4. Neka nejednakost f(x) > g(x) definisano na setu X I h(X X od mnogih X izraz h(x) uzima pozitivne vrednosti. Zatim nejednakosti f(x) > g(x) i f(x) h(x) > g(x) h(x) su ekvivalentni na setu X.

f(x) > g(x) pomnožite sa istim pozitivnim brojem d, tada dobijamo nejednakost f(x) d > g(x) d, ekvivalentno ovome.

Teorema 5. Neka nejednakost f(x) > g(x) definisano na setu X I h(X) - izraz definiran na istom skupu i za sve X ima ih mnogo X izraz h(X) uzima negativne vrijednosti. Zatim nejednakosti f(x) > g(x) i f(x) h(x) > g(x) h(x) su ekvivalentni na setu X.

Iz ove teoreme slijedi posljedica: ako su obje strane nejednakosti f(x) > g(x) pomnožite sa istim negativnim brojem d i promijenimo znak nejednakosti u suprotan, dobićemo nejednakost f(x) d > g(x) d, ekvivalentno ovome.

Rješavanje nejednačina s jednom varijablom

Rešimo nejednačinu 5 X - 5 < 2х - 16, X? R, a mi ćemo opravdati sve transformacije koje ćemo izvršiti u procesu rješavanja.

Rješavanje nejednakosti X < 7 является промежуток (-∞, 7) и, сле­довательно, множеством решений неравенства 5X - 5 < 2x + 16 je interval (-∞, 7).

Vježbe

1. Odredite koji od sljedećih unosa su nejednakosti s jednom promjenljivom:

a) -12 - 7 X< 3x+ 8; d) 12 x + 3(X- 2);

b) 15( x+ 2)>4; e) 17-12·8;

c) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2x 2+ 3x-4> 0.

2. Da li je broj 3 rješenje nejednakosti 6(2x + 7) < 15(X + 2), X? R? Šta je sa brojem 4.25?

3. Da li su sljedeći parovi nejednačina ekvivalentni na skupu realnih brojeva:

a) -17 X< -51 и X > 3;

b) (3 x-1)/4 >0 i 3 X-1>0;

c) 6-5 x>-4 i X<2?

4. Koje od sljedećih izjava su istinite:

a) -7 X < -28 => x>4;

b) x < 6 => x < 5;

V) X< 6 => X< 20?

5. Riješite nejednačinu 3( x - 2) - 4(X + 1) < 2(х - 3) - 2 i opravdajte sve transformacije koje ćete izvršiti.

6. Dokažite to rješavanjem nejednakosti 2(x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2X) je bilo koji realan broj.

7. Dokažite da ne postoji realan broj koji bi bio rješenje nejednakosti 3(2 - X) - 2 > 5 - 3X.

8. Jedna strana trougla je 5 cm, a druga 8 cm Kolika može biti dužina treće strane ako je obim trougla:

a) manje od 22 cm;

b) više od 17 cm?

GRAFIČKO RJEŠENJE NEJEDINAČINA SA JEDNOM Varijablom. Grafički riješiti nejednakost f (x) > g (x) potrebno je napraviti grafove funkcija

y = f (x) = g (x) i odaberite one intervale apscisne ose na kojima je graf funkcije y = f(x) nalazi se iznad grafika funkcije y = g(x).

Primjer 17.8. Riješite grafički nejednačinu x 2- 4 > 3X.

Rješenje. Napravimo grafove funkcija u jednom koordinatnom sistemu

y = x 2 - 4 i y = Zx (sl. 17.5). Slika pokazuje da su grafovi funkcija at= x 2- 4 se nalazi iznad grafika funkcije y = 3 X at X< -1 i x > 4, tj. skup rješenja izvorne nejednakosti je skup

(- ¥; -1) È (4; + oo) .

Odgovor: x O(- oo; -1) i ( 4; + oo).

Grafikon kvadratne funkcije at= ax 2 + bx + c je parabola s granama usmjerenim prema gore if a > 0, i dolje ako A< 0. U ovom slučaju moguća su tri slučaja: parabola siječe osu Oh(tj. jednačina ah 2+ bx+ c = 0 ima dva različita korijena); parabola dodiruje osu X(tj. jednačina sjekira 2 + bx+ c = 0 ima jedan korijen); parabola ne siječe osu Oh(tj. jednačina ah 2+ bx+ c = 0 nema korijena). Dakle, postoji šest mogućih položaja parabole, koja služi kao graf funkcije y = ah 2+b x + c(Sl. 17.6). Koristeći ove ilustracije, možete riješiti kvadratne nejednačine.

Primjer 17.9. Riješite nejednačinu: a) 2 x g+ 5x - 3 > 0; b) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.

rješenje, a) Jednačina 2x 2 + 5x -3 = 0 ima dva korijena: x, = -3, x 2 = 0.5. Parabola koja služi kao graf funkcije at= 2x 2+ 5x -3, prikazano na sl. A. Nejednakost 2x 2+ 5x -3 > 0 je zadovoljeno za te vrijednosti X, za koje tačke parabole leže iznad ose Oh: to će biti u X< х х ili kada X> x g> one. at X< -3 ili u x > 0.5. To znači da je skup rješenja izvorne nejednakosti skup (- ¥; -3) i (0,5; + ¥).

b) Jednačina -Zh 2 + 2x- 6 = 0 nema pravih korijena. Parabola koja služi kao graf funkcije at= - 3x 2 - 2x - 6, prikazano na sl. 17.6 Nejednakost -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях X, za koje tačke parabole leže ispod ose Oh. Pošto cijela parabola leži ispod ose Oh, tada je skup rješenja izvorne nejednakosti skup R .

NEJEDNAKOSTI KOJE SADRŽE Varijablu POD ZNAKOM MODULA. Prilikom rješavanja ovih nejednakosti treba imati na umu da:

|f(x) | =

f(x), Ako f(x) ³ 0,

- f(x), Ako f(x) < 0,

U ovom slučaju, raspon dopuštenih vrijednosti nejednakosti treba podijeliti na intervale, na svakom od kojih izrazi pod znakom modula zadržavaju svoj predznak. Zatim, proširivanjem modula (uzimajući u obzir predznake izraza), potrebno je riješiti nejednakost na svakom intervalu i kombinirati rezultirajuća rješenja u skup rješenja izvorne nejednakosti.

Primjer 17.10. Riješite nejednačinu:

|x -1| + |2- x| > 3+x.

Rješenje. Tačke x = 1 i x = 2 dijele numeričku osu (ODZ nejednakosti (17.9) na tri intervala: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. Riješimo ovu nejednakost za svaku od njih. Ako je x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; dakle |x -1| = - (x - I), |2 - x | = 2 - x. To znači da nejednakost (17.9) ima oblik: 1- x + 2 - x > 3 + x, tj. X< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.

Ako je 1 £ x £.2, tada je x - 1 ³ 0 i 2 – x ³ 0; dakle | x- 1| = x - 1, |2 - x| = 2 – x. To znači da sistem drži:

x – 1 + 2 – x > 3 + x,

Rezultirajući sistem nejednačina nema rješenja. Dakle, na intervalu [ 1; 2] skup rješenja nejednakosti (17.9) je prazan.

Ako je x > 2, tada je x - 1 >0 i 2 – x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:

x -1 + x – 2 > 3+x,

x > 6 ili

Kombinirajući rješenja koja se nalaze na svim dijelovima ODZ nejednačine (17.9), dobijamo njeno rješenje - skup (-¥; 0) È (6; +oo).

Ponekad je korisno koristiti geometrijsku interpretaciju modula realnog broja, prema kojoj | a | označava udaljenost tačke a koordinatne prave od početka O, a | a - b | označava rastojanje između tačaka a i b na koordinatnoj liniji. Alternativno, možete koristiti metodu kvadriranja obje strane nejednakosti.

Teorema 17.5. Ako izrazi f(x) i g(x) za bilo koji x uzimaju samo nenegativne vrijednosti, onda nejednakosti f (x) > g (x) I f (x) ² > g (x) ² su ekvivalentni.

58. Glavni zaključci § 12

U ovom dijelu definirali smo sljedeće koncepti:

Numerički izraz;

Vrijednost numeričkog izraza;

Izraz koji nema značenje;

Izraz sa varijablama;

Opseg definicije izraza;

Identično jednaki izrazi;

identitet;

Identična transformacija izraza;

Brojčana jednakost;

Numerička nejednakost;

Jednačina sa jednom promenljivom;

Korijen jednadžbe;

Šta znači riješiti jednačinu;

Ekvivalentne jednadžbe;

Nejednakost sa jednom varijablom;

Rješavanje nejednakosti;

Šta znači riješiti nejednakost;

Ekvivalentne nejednakosti.

Osim toga, ispitali smo teoreme o ekvivalenciji jednačina i nejednačina, koje su osnova za njihovo rješavanje.

Poznavanje definicija svih navedenih pojmova i teorema o ekvivalenciji jednačina i nejednačina neophodan je uslov za metodološki kompetentno proučavanje algebarskog gradiva sa učenicima osnovne škole.