Kako konstruisati ugao jednak datom. Konstruisanje ugla jednakog datom

Ciljevi lekcije:

• Formiranje sposobnosti analize proučenog gradiva i vještina njegove primjene u rješavanju problema;
• Pokažite značaj pojmova koji se proučavaju;
• Razvoj kognitivne aktivnosti i samostalnosti u sticanju znanja;
• Negovanje interesovanja za temu i osećaja za lepo.

Ciljevi lekcije:

• Razvijati vještine konstruiranja ugla jednakog zadanom pomoću ravnala, šestara, kutomjera i trokuta za crtanje.
• Testirajte učenikove vještine rješavanja problema.

Plan lekcije:

1. Ponavljanje.
2. Konstruisanje ugla jednakog datom.
3. Analiza.
4. Prvo primjer izgradnje.
5. Drugi primjer konstrukcije.

Ponavljanje.

Ugao.

Ravni ugao- neograničena geometrijska figura koju čine dvije zrake (stranice ugla) koje izlaze iz jedne tačke (vrh ugla).

Ugao se također naziva figura koju čine sve tačke ravni zatvorene između ovih zraka (Uopšteno govoreći, dvije takve zrake odgovaraju dva ugla, jer dijele ravan na dva dijela. Jedan od ovih uglova se konvencionalno naziva unutrašnjim, a ostalo - eksterno.
Ponekad se, radi sažetosti, ugao naziva ugaona mjera.

Postoji općeprihvaćeni simbol za označavanje ugla: , koji je 1634. predložio francuski matematičar Pjer Erigon.

Ugao je geometrijska figura (slika 1), koju čine dvije zrake OA i OB (strane ugla), koje izlaze iz jedne tačke O (vrh ugla).

Ugao je označen simbolom i tri slova koja označavaju krajeve zraka i vrh ugla: AOB (a slovo vrha je srednje). Uglovi se mjere količinom rotacije zraka OA oko temena O dok se zraka OA ne pomjeri u poziciju OB. Postoje dvije široko korištene jedinice za mjerenje uglova: radijani i stepeni. Za radijansko mjerenje uglova pogledajte dolje u paragrafu „Dužina luka“, kao i u poglavlju „Trigonometrija“.

Sistem stepena za merenje uglova.

Ovdje je mjerna jedinica stepen (njegova oznaka je °) - ovo je rotacija zraka za 1/360 pune revolucije. Dakle, puna rotacija grede je 360 ​​o. Jedan stepen je podijeljen na 60 minuta (simbol '); jedan minut – odnosno 60 sekundi (oznaka “). Ugao od 90° (slika 2) naziva se pravim; ugao manji od 90° (slika 3) naziva se oštar; ugao veći od 90° (slika 4) naziva se tup.

Prave linije koje formiraju pravi ugao nazivaju se međusobno okomite. Ako su prave AB i MK okomite, to se označava: AB MK.

Konstruisanje ugla jednakog datom.

Prije početka izgradnje ili rješavanja bilo kojeg problema, bez obzira na temu, potrebno je izvršiti analiza. Shvatite šta piše u zadatku, pročitajte ga zamišljeno i polako. Ako nakon prvog puta imate nedoumice ili nešto nije bilo jasno ili jasno, ali ne u potpunosti, preporučuje se da pročitate ponovo. Ako radite zadatak na času, možete pitati nastavnika. U suprotnom, vaš zadatak, koji ste pogrešno shvatili, možda neće biti pravilno riješen ili ćete pronaći nešto što nije ono što se od vas traži, pa će se smatrati netačnim i morat ćete to ponoviti. Što se mene tiče - Bolje je potrošiti malo više vremena na proučavanje zadatka nego da ga ponavljate iznova.

Analiza.

Neka je a data zraka sa vrhom A, a ugao (ab) je željeni. Odaberimo tačke B i C na zrakama a i b, redom. Spajanjem tačaka B i C dobijamo trougao ABC. IN jednakih trouglova odgovarajući uglovi su jednaki, pa stoga sledi način konstrukcije. Ako sa strane dati ugao na neki pogodan način izaberite tačke C i B, iz ove grede U datoj poluravni konstruirajte trokut AB 1 C 1 jednak ABC (a to se može učiniti ako znate sve strane trougla), tada će problem biti riješen.

Prilikom izvođenja bilo koje konstrukcije Budite izuzetno oprezni i pokušajte pažljivo izvoditi sve konstrukcije. Budući da svaka nedosljednost može rezultirati nekom vrstom grešaka, odstupanja, što može dovesti do pogrešnog odgovora. A ako se zadatak ove vrste izvodi prvi put, grešku će biti vrlo teško pronaći i popraviti.

Prvo primjer izgradnje.

Nacrtajmo krug sa središtem u vrhu ovog ugla. Neka su B i C tačke preseka kružnice sa stranicama ugla. Radijusom AB nacrtamo kružnicu sa centrom u tački A 1 – početnoj tački ovog zraka. Označimo tačku preseka ove kružnice sa ovom zrakom kao B 1 . Opišimo kružnicu sa centrom u B 1 i poluprečnikom BC. Presek C 1 konstruisanih kružnica u naznačenoj poluravni leži na strani željenog ugla.

Trouglovi ABC i A 1 B 1 C 1 su jednaki na tri strane. Uglovi A i A 1 su odgovarajući uglovi ovih trouglova. Dakle, ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1

Za veću jasnoću, možete detaljnije razmotriti iste konstrukcije.

Drugi primjer konstrukcije.

Ostaje zadatak da se od date poluprave u datu poluravninu odvoji ugao jednak zadatom uglu.

Izgradnja.

Korak 1. Nacrtajmo kružnicu proizvoljnog polumjera i centara u vrhu A zadanog ugla. Neka su B i C tačke preseka kružnice sa stranicama ugla. I nacrtajmo segment BC.

Korak 2. Nacrtajmo kružnicu poluprečnika AB sa centrom u tački O - početnoj tački ove poluprave. Označimo točku presjeka kružnice sa zrakom kao B 1 .

Korak 3. Sada opisujemo kružnicu sa centrom B 1 i poluprečnikom BC. Neka je tačka C 1 presek konstruisanih kružnica u naznačenoj poluravni.

Korak 4. Nacrtajmo zrak od tačke O kroz tačku C1. Ugao C 1 OB 1 će biti željeni.

Dokaz.

Trouglovi ABC i OB 1 C 1 su podudarni trouglovi sa odgovarajućim stranicama. Stoga su uglovi CAB i C 1 OB 1 jednaki.

Zanimljiva činjenica:

U brojevima.

U objektima okolnog svijeta prije svega primjećujete njihova pojedinačna svojstva koja razlikuju jedan objekt od drugog.

Obilje posebnih, pojedinačnih svojstava zamagljuje opća svojstva svojstvena apsolutno svim objektima, pa je stoga uvijek teže otkriti takva svojstva.

Jedno od najvažnijih općih svojstava objekata je da se svi objekti mogu prebrojati i izmjeriti. Mi to odražavamo opšta imovina objekata u konceptu broja.

Ljudi su proces brojanja, odnosno pojma broja, savladavali veoma sporo, vekovima, u upornoj borbi za svoju egzistenciju.

Da bi se prebrojavalo, ne samo da se moraju posjedovati objekti koji se mogu prebrojati, već mora imati i sposobnost apstrahiranja pri razmatranju ovih objekata od svih njihovih drugih svojstava osim broja, a ta sposobnost je rezultat dugog istorijskog razvoja zasnovanog na iskustvu. .

Svaki čovjek sada u djetinjstvu neprimjetno uči da broji uz pomoć brojeva, gotovo istovremeno sa progovorom, ali ovo nama poznato brojanje prošlo je dug put razvoja i poprimilo različite oblike.

Bilo je vremena kada su se za brojanje predmeta koristila samo dva broja: jedan i dva. U procesu daljeg proširenja brojevnog sistema uključeni su dijelovi ljudsko tijelo i prije svega prsti, a ako ovakvi "brojevi" nisu bili dovoljni, onda i štapovi, kamenje i ostalo.

N. N. Miklouho-Maclay u svojoj knjizi "Putovanja" govori o smiješnoj metodi brojanja koju koriste starosjedioci Nove Gvineje:

pitanja:

1. Definisati ugao?
2. Koje vrste uglova postoje?
3. Koja je razlika između prečnika i radijusa?

Spisak korištenih izvora:

1. Mazur K. I. “Rješavanje glavnih takmičarskih zadataka iz matematike zbirke koju je uredio M. I. Skanavi”
2. Matematička pamet. B.A. Kordemsky. Moskva.
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina “Geometrija, 7 – 9: udžbenik za obrazovne ustanove”

Radili na lekciji:

Levchenko V.S.

Poturnak S.A.

Postavite pitanje o savremeno obrazovanje, možete izraziti ideju ili riješiti hitan problem Obrazovni forum, gdje se obrazovno vijeće svježe misli i djelovanja sastaje na međunarodnom nivou. Nakon što je stvorio blog, Ne samo da ćete poboljšati svoj status kompetentnog nastavnika, već ćete dati značajan doprinos razvoju škole budućnosti. Guild obrazovnih lidera otvara vrata vrhunskim stručnjacima i poziva ih na saradnju u stvaranju najboljih škola na svijetu.

U građevinskim problemima ćemo razmotriti konstrukciju geometrijska figurašto se može uraditi pomoću ravnala i šestara.

Koristeći ravnalo možete:

proizvoljna prava linija;

proizvoljna prava linija koja prolazi kroz datu tačku;

prava linija koja prolazi kroz dvije date tačke.

Koristeći kompas, možete opisati krug određenog polumjera iz datog centra.

Koristeći kompas možete iscrtati segment na datoj liniji od date tačke.

Razmotrimo glavne građevinske zadatke.

Zadatak 1. Konstruisati trougao sa datim stranicama a, b, c (slika 1).

Rješenje. Koristeći ravnalo, nacrtajte proizvoljnu pravu liniju i na njoj uzmite proizvoljnu tačku B Koristeći otvor šestara koji je jednak a, opišemo kružnicu sa centrom B i poluprečnikom a. Neka je C tačka njenog preseka sa pravom. Sa otvorom kompasa jednakim c, opisujemo kružnicu iz centra B, a sa otvorom kompasa jednakim b, opisujemo kružnicu iz centra C. Neka je A tačka preseka ovih kružnica. Trougao ABC ima stranice jednake a, b, c.

Komentar. Da bi tri ravna segmenta služila kao stranice trokuta, potrebno je da najveći od njih bude manji od zbira druga dva (i< b + с).

Zadatak 2.

Rješenje. Ovaj ugao sa vrhom A i zrakom OM prikazani su na slici 2.

Hajde da izvedemo proizvoljan krug sa centrom u vrhu A datog ugla. Neka su B i C tačke preseka kružnice sa stranicama ugla (slika 3, a). Radijusom AB nacrtamo kružnicu sa centrom u tački O - početnoj tački ovog zraka (slika 3, b). Označimo tačku preseka ove kružnice sa ovom zrakom kao C 1 . Opišimo kružnicu sa centrom C 1 i poluprečnikom BC. Tačka B 1 presjeka dvije kružnice leži na strani željenog ugla. To proizilazi iz jednakosti Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (treći znak jednakosti trouglova).

Zadatak 3. Konstruirajte simetralu ovog ugla (slika 4).

Rješenje. Iz vrha A datog ugla, kao iz centra, povlačimo kružnicu proizvoljnog poluprečnika. Neka su B i C tačke njegovog preseka sa stranama ugla. Iz tačaka B i C opisujemo kružnice istog polumjera. Neka je D njihova presječna tačka, različita od A. Zrak AD prepolovi ugao A. To proizilazi iz jednakosti Δ ABD = Δ ACD (treći kriterij za jednakost trouglova).

Zadatak 4. Na ovaj segment nacrtajte okomitu simetralu (slika 5).

Rješenje. Koristeći proizvoljan, ali identičan otvor kompasa (veći od 1/2 AB), opisujemo dva luka sa centrima u tačkama A i B, koji će se sijeći u nekim tačkama C i D. Prava linija CD će biti željena okomica. Zaista, kao što se može vidjeti iz konstrukcije, svaka od tačaka C i D je podjednako udaljena od A i B; dakle, ove tačke moraju ležati na simetrali okomite na segment AB.

Zadatak 5. Podijelite ovaj segment na pola. Rešava se na isti način kao i problem 4 (vidi sliku 5).

Zadatak 6. Kroz datu tačku povucite pravu okomitu na datu pravu.

Rješenje. Postoje dva moguća slučaja:

1) data tačka O leži na datoj pravoj a (slika 6).

Iz tačke O povlačimo kružnicu proizvoljnog poluprečnika koja seče pravu a u tačkama A i B. Iz tačaka A i B crtamo kružnice istog poluprečnika. Neka je O 1 tačka njihovog preseka, različita od O. Dobijamo OO 1 ⊥ AB. U stvari, tačke O i O 1 jednako su udaljene od krajeva segmenta AB i, prema tome, leže na simetrali okomite na ovaj segment.

Konstruisanje ugla jednakog datom. Zadato: poluprava, ugao. Izgradnja. V.A.S. 7. Da bismo to dokazali, dovoljno je napomenuti da su trouglovi ABC i OB1C1 podudarni kao trouglovi sa jednakim stranicama. Uglovi A i O su odgovarajući uglovi ovih trouglova. Potrebno je: od date poluprave odložiti u datu poluravninu ugao jednak datom uglu. C1. U 1. A. 1. Nacrtajmo proizvoljan krug sa centrom u vrhu A datog ugla. 2. Neka su B i C tačke preseka kružnice sa stranicama ugla. 3. Koristeći radijus AB nacrtamo kružnicu sa centrom u tački O - početnoj tački ove poluprave. 4. Označimo točku presjeka ove kružnice sa ovom polupravom kao B1. 5. Opišimo kružnicu sa centrom B1 i poluprečnikom BC. 6. Tačka C1 preseka konstruisanih kružnica u naznačenoj poluravni leži na strani željenog ugla.

Geometrija 7. razred

“Jednakokraki trougao” - Teorema. Trokut je najjednostavnija zatvorena pravolinijska figura. Rješavanje problema. Pronađite ugao KBA. Jednakost trouglova. Pogodi rebus. ABC - jednakokraki. Navedite kongruentne elemente trouglova. Klasifikacija trouglova po stranicama. U jednakokračnom trouglu AMK AM = AK. Klasifikacija trokuta prema veličini njihovih uglova. Strane. Trougao sa svim stranama jednakim. Jednakokraki trougao.

“Mjerenje segmenata i uglova” - Poređenje segmenata. http://www.physicsdepartment.ru/blog/images/0166.jpg. F3 = F4. MN > CD. 1m =. Sredina segmenta. 1km. Za što najveći broj dijelovi mogu podijeliti ravan sa 4 različite prave linije? Druge mjerne jedinice. Poređenje oblika pomoću preklapanja. Poređenje uglova. Strane VM i EU su se okupile. Na koliko dijelova se ravan može podijeliti sa 3 različite prave? http://www.robertagor.it/calibro.jpg.

“Pravougli trokut, njegova svojstva” - Jedan od uglova pravougaonog trougla. Rješenje. Koji trougao se naziva pravougli trougao? Pravokutni trokut. Svojstva pravouglog trougla. Zagrijavanje. Razvoj logičkog mišljenja. Simetrala. Noga pravouglog trougla. Napravimo jednačinu. Pogledajmo pažljivo crtež. Svojstvo pravouglog trougla. Stanovnici tri kuće. Trougao.

“Definicija ugla” - Koncepti uglova. Nacrtajte zrake. Pripremna faza lekcije. Ugao. Objašnjenje novog materijala. Ugao dijeli ravan. Koncepti unutrašnje i spoljašnje površine ugla. Zainteresujte se za temu. Zraka na slici dijeli ugao. Definicija pravog ugla. Razvoj logičkog mišljenja. Tupi ugao. Oštar ugao. Uvodne riječi. Obojite unutrašnjost ugla. Uglovi. Ray BM dijeli ugao ABC na dva ugla.

“Drugi i treći znak jednakosti trokuta” - Stranice. Medijan u jednakokračnom trokutu. Drugi i treći znak jednakosti trokuta. Rješenje. Tri strane jednog trougla. Baza. Dokazati. Svojstva jednakokračnog trougla. Znakovi jednakosti trouglova. Rješavanje problema. Matematički diktat. Uglovi. Zadatak. Perimetar jednakokračnog trougla.

“Kartezijanski koordinatni sistem na ravni” - Ravan na kojoj je specificiran Dekartov koordinatni sistem. Koordinate u životima ljudi. Sistem geografske koordinate. Dekartov koordinatni sistem na ravni. Algebra projekat. Naučnici koji su autori koordinata. Starogrčki astronom Klaudije. Ćelija na igralištu. Tačka presjeka osi. Uvođenje jednostavnije notacije u algebru. Mesto u bioskopu. Značenje kartezijanskog koordinatnog sistema.

Konstruisanje ugla jednakog datom. Dato je: ugao A. A Konstruisani ugao O. B C O D E Dokažite: A = O Dokaz: razmotrite trouglove ABC i ODE. 1.AC = OE, kao poluprečnici jednog kruga. 2.AB=OD, kao radijusi jedne kružnice. 3.VS=DE, kao poluprečnici jedne kružnice. ABC = ODE (3. nagrada) A = O

Dokažimo da je zraka AB simetrala A P L A N 1. Dodatna konstrukcija. 2. Dokažimo jednakost trouglova ACB i ADB. 3. Zaključci A B C D 1.AC = AD, kao poluprečnici jedne kružnice. 2.CB=DB, kao radijusi jedne kružnice. 3.AB – zajednička strana. ACB = ADB, prema III kriterijumu jednakosti trouglova Zrak AB - simetrala Konstrukcija simetrale ugla.

A N B A C 1 = 2 12 U r/b trouglu AMB, segment MC je simetrala, a samim tim i visina. Zatim, i MN. M Dokažimo da je a MN Pogledajmo lokaciju kompasa. AM=AN=MB=BN, kao jednaki radijusi. MN-zajednička strana. MVN= MAN, sa tri strane Konstrukcija okomitih linija. M a

Q P BA ARQ = BPQ, na tri strane = 2 Trougao ARV r/b. Segment PO je simetrala, a samim tim i medijana. Tada je tačka O sredina AB. O Dokažimo da je O središte segmenta AB. Izrada sredine segmenta

D C Konstruisanje trougla koristeći dve stranice i ugao između njih. Ugao hk h 1. Konstruirajmo zrak a. 2. Odvojiti segment AB jednak P 1 Q 1. 3. Konstruisati ugao jednak ovom. 4. Odvojimo segment AC jednak P 2 Q 2. VA Trougao ABC je željeni. Obrazložite prvim znakom. Dato: segmenti P 1 Q 1 i P 2 Q 2 Q1Q1 P1P1 P2P2 Q2Q2 a k

D C Konstruisanje trougla koristeći stranu i dva susedna ugla. Ugao h 1 k 1 h2h2 1. Konstruisati zraku a. 2. Odvojiti segment AB jednak P 1 Q 1. 3. Konstruisati ugao jednak datom h 1 k 1. 4. Konstruisati ugao jednak h 2 k 2. BA Trougao ABC je željeni. Obrazložite drugim znakom. Dato: Segment P 1 Q 1 Q1Q1 P1P1 a k2k2 h1h1 k1k1 N

C 1. Napravimo zrak a. 2. Odvojiti segment AB jednak P 1 Q 1. 3. Konstruisati luk sa centrom u tački A i poluprečnikom P 2 Q 2. 4. Konstruisati luk sa centrom u tački B i poluprečnikom P 3 Q 3. BA Traženi trougao ABC Obrazložite koristeći treći znak. Dati su: segmenti P 1 Q 1, P 2 Q 2, P 3 Q 3. Q1Q1 P1P1 P3P3 Q2Q2 a P2P2 Q3Q3 Konstrukcija trougla pomoću tri stranice.