Противоположните числа са равни. Отрицателни числа

В тази статия ще се опитаме да разберем какво представляват противоположните числа. Ще обясним какво представляват те като цяло, ще покажем какви конкретни обозначения се използват за тях и ще разгледаме няколко примера. В последната част на материала ще изброим основните свойства на противоположните числа.

За да обясним самата концепция за противоположностите, първо трябва да изобразим координатна линия. Нека вземем точка М върху него (но не в самото начало на обратното броене). Неговото разстояние до нула ще бъде равно на определен брой единични сегменти, които от своя страна могат да бъдат разделени на десети и стотни. Ако измерим същото разстояние от началото в посока, обратна на тази, в която се намира M, тогава можем да стигнем до друга подобна точка. Нека го наречем N. Например от M до нула е разстоянието от 2,4 единични сегмента, а от N до нула е същото. Разгледайте снимката:

Нека си припомним, че всяка точка от координатна права може да бъде свързана само с едно реално число. В този случай нашите точки M и N съответстват на определени числа, които се наричат ​​противоположни. Всяко число има противоположно число, освен нула. Тъй като това е началото на обратното броене, то се счита за обратното на себе си.

Нека запишем дефиницията на противоположните числа:

Определение 1

Отсрещанаричат ​​се числа, които съответстват на такива точки на координатната линия, до които ще стигнем, ако маркираме същото разстояние от началото в различни посоки (положителни и отрицателни). Нулата е в началото и е противоположна на себе си.

Как се обозначават противоположните числа?

В този раздел ще въведем основни означения за такива числа. Ако имаме определено число и трябва да запишем обратното на него, тогава използваме минус за това.

Пример 1

Да кажем, че нашето число е а, следователно неговата противоположност е а (минус а). Точно по същия начин за 0,26 обратното е - 0,26, а за 145 ще бъде - 145. Ако самото оригинално число е отрицателно, например - 9, тогава записваме обратното като – (- 9).

Какви други примери за противоположни числа можете да дадете? Нека вземем целите числа: 12 и - 12. Противоположните рационални числа са 3 2 11 и - 3 2 11, както и 8, 128 и − 8, 128, 0, (18901) и − 0, (18901) и т.н. Ирационалните числа също могат да бъдат противоположни, напр. стойностите на числови изрази 2 + 1 и - 2 + 1.

Противоположните ирационални числа също ще бъдат e и - e.

Основни свойства на противоположните числа

Такива числа имат определени свойства. По-долу ще дадем техен списък с обяснения.

Определение 2

1. Ако първоначалното число е положително, то обратното му ще бъде отрицателно.

Това твърдение е очевидно и следва от графиката по-горе: такива числа са разположени от противоположните страни на референтната линия. Ако сте забравили понятията за положителни и отрицателни числа, вижте материала, който публикувахме по-рано.

Друго много важно твърдение може да бъде изведено от това правило. В буквална форма записът му изглежда така: за всяко положително a ще бъде вярно − (− a) = a. Нека покажем с пример защо това е важно.

Да вземем числото 5. Използвайки координатната линия, можете да видите, че противоположното число е 5 и обратно. Използвайки обозначението, което посочихме по-горе, записваме числото срещу - 5 като – (- 5) . Оказва се, че – (- 5) = 5. Оттук и заключението: противоположните числа се различават едно от друго само по наличието на знак минус.

2. Следното свойство обикновено се нарича свойство на симетрия. Може да се извлече и от самата дефиниция на противоположните числа. Звучи така:

Определение 3

Ако някое число a е противоположно на b, то b е противоположно на a.

Очевидно това твърдение не се нуждае от допълнителни доказателства.

3. Третото свойство на противоположните числа гласи:

Определение 4

Всяко реално число има само едно противоположно число.

Това твърдение следва от факта, че точките на координатната линия не могат да съответстват на много числа едновременно.

Определение 5

4. Модулите на противоположните числа са равни.

Това следва от дефиницията на модула. Логично е точките на линия, съответстващи на всякакви противоположни числа, да са на същото разстояние от референтната точка.

Определение 6

5. Ако съберем противоположни числа, получаваме 0.

Буквално това твърдение изглежда като + (− a) = 0.

Пример 2

Ето примери за такива изчисления:

890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0

Както можете да видите, това правило работи за всички числа - цели, рационални, ирационални и т.н.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Нека разгледаме този пример. Трябва да броите последователно: .

Можете да пренаредите числата, които трябва да добавите, и след това да извадите останалите: .

Но това не винаги е удобно. Например, можем да изчислим баланса на нещата в някакъв склад и трябва да знаем междинния резултат.

Можете да извършвате действия подред: .

Знаем, че следователно резултатът ще бъде изваждане от числото. Това означава, че трябва да извадим , но все още не от нищо. Когато имаме от какво да извадим, изваждаме:

Но можем да „излъжем“ и да обозначим . Така че ще представим нов обект - отрицателни числа.

Вече сме извършили такава операция - в природата, например, числото "" също не съществуваше, но въведохме такъв обект, за да улесним записването на действията.

Представете си, че в спортен склад бяхме натоварени да издаваме и получаваме топки. Трябва да водим записи. Можете да напишете с думи:

Издадено, прието, издадено, прието, … (Вижте Фиг. 1.)

Ориз. 1. Счетоводство

Съгласете се, ако трябва да издавате и получавате много пъти на ден, тогава записът не е много удобен.

Можете да разделите листа на две колони, едната - Прието, другата - Издадено. (Вижте Фигура 2.)

Ориз. 2. Опростено записване

Записът стана по-кратък. Но тук е проблемът: как да разберем колко топки са взети (или дадени) във всеки конкретен момент?

Можете да използвате следното съображение за записване: когато издаваме топки от склада, тяхното количество в склада намалява, а когато ги приемаме, се увеличава.

Но как да напиша „подаде топката“? Можете да въведете следния обект: .

Този обект ни позволява да направим математически запис на движението на топките в реда, в който се е случило:

Нека да разгледаме друг пример.

В телефонната ви сметка има рубли. Отидохте онлайн и струваше рубли. Резултатът беше дълг от рубли. Операторът можеше да напише: „клиентът дължи рубли“. Влагате рубли. Операторът удържа дълга. Оказа се за сметка на рубли.

Но е удобно да записвате както транзакции, така и пари в сметката, като използвате знаците „“ и „“. (Вижте Фигура 3.)

Ориз. 3. Удобен запис

Въвеждаме отрицателно число, за да напишем резултата от изваждането на по-голямо число от по-малко число: .

Добавянето на отрицателно число е еквивалентно на изваждане: .

За да различим отрицателните числа от положителните числа, с които се занимавахме по-рано, се съгласихме да поставим знак минус пред тях: .

Бихте ли могли без тях? Да, можеш. Във всяка дадена ситуация бихме използвали думите „назад“, „заем“ и т.н. Но те, тези думи, биха били други.

И така имаме универсален, удобен инструмент. Един за всички подобни случаи.

Можем да направим аналогия с автомобил. Състои се от голям брой части, много от които не са необходими поотделно, но заедно ви позволяват да шофирате. По същия начин отрицателните числа са инструмент, който заедно с други математически инструменти улеснява изчисляването и опростява решаването и писането на много задачи.

И така, въведохме нов обект - отрицателни числа. За какво се използват в живота?

Първо, нека си припомним ролите на положителните числа:

Количество: например дърва, литър мляко. (Вижте Фигура 4.)

Ориз. 4. Количество

Подреждане: Например къщите са номерирани с положителни числа. (Вижте Фигура 5.)

Ориз. 5. Организирайте

Име: например номер на футболист. (Вижте Фигура 6.)

Ориз. 6. Числото като име

Сега нека разгледаме функциите на отрицателните числа:

Индикация за липсващото количество. Количеството никога не е отрицателно. Но се използва отрицателно число, за да се покаже, че дадено количество се изважда. Например, можем да излеем от бутилка и да го напишем като . (Вижте Фигура 7.)

Ориз. 7. Индикация за липсващо количество

Аранжиране. Понякога при номериране се избира нула и трябва да номерирате обекти от двете страни на нулата. Например етажите, разположени под th, в сутерена. (Вижте Фигура 8.) Или температура, която е под избраната нула. (Вижте Фигура 9.)

Ориз. 8. Етаж намиращ се под ти, в сутерен

Ориз. 9. Отрицателни числа на скалата на термометъра

Но все пак основната цел на отрицателните числа е като инструмент за опростяване на математическите изчисления.

Но за да станат отрицателните числа толкова удобен инструмент, трябва:

Отрицателна температура е тази, която е под нулата, температура под нулата. Но какво е нулева температура? За да измерите и запишете температурата, трябва да изберете мерна единица и референтна точка. И двете са споразумения. Ние използваме скалата на Целзий на името на учения, който я е предложил. (Вижте Фиг. 10.)

Ориз. 10. Андерс Целзий

Точката на замръзване на водата е избрана като референтна точка тук. Всичко по-долу се обозначава с отрицателна стойност. (Вижте Фигура 11.)

Ориз. единадесет.

Но е ясно, че ако вземем друга референтна точка, друга нула, тогава отрицателна температура в Целзий може да бъде положителна в тази друга скала. Това се случва. Скалата на Келвин се използва широко във физиката. Подобна е на скалата на Целзий, само стойността на най-ниската възможна температура е избрана като нула (не може да бъде по-ниска). Тази стойност се нарича "абсолютна нула". По Целзий това е приблизително . (Вижте Фигура 12.)

Ориз. 12. Две везни

Тоест в скалата на Келвин изобщо няма отрицателни стойности.

И така, нашето лято .

И мразовитите .

Тоест отрицателната температура е условност, споразумение между хората да я наричат ​​така.

Да започнем от нулата. Нулата заема специално място сред числата.

Както вече обсъдихме, за наше удобство можем да обозначим изваждането на седем като отрицателно число. Тъй като означава изваждане, оставяме знака "" като негов знак. Нека назовем нов номер.

Тоест, “” е число, което в сбора е нула: . И в произволен ред. Това е определението за отрицателно (или противоположно) число.

За всяко число, което изучавахме по-рано, ще въведем ново число, отрицателно, чийто знак е знакът минус пред него. Тоест за всяко предишно число се появи неговият отрицателен близнак. Ние наричаме такива близнаци противоположни числа. (Вижте Фигура 13.)

Ориз. 13. Противоположни числа

И така, определението: противоположни числа са две числа, чиято сума е равна на нула.

Външно те се различават само по знака "".

Ако една променлива е предшествана от знак "", например, какво означава това? Това не означава, че тази стойност е отрицателна. Знакът минус означава, че тази стойност е противоположна на числото: . Не знаем кое от тези числа е положително и кое отрицателно.

Ако, тогава.

Ако (отрицателно число), тогава (положително число).

Кое число е противоположно на нулата? Ние вече знаем това.

Ако нула се добави към което и да е число, включително нула, първоначалното число няма да се промени. Тоест сумата от две нули е нула: . Но числата, чиято сума е нула, са противоположни. Така нулата е противоположна на себе си.

И така, ние дадохме дефиницията на отрицателните числа и разбрахме защо са необходими.

Сега нека отделим малко време на технологията. Засега трябва да се научим как да намираме неговата противоположност за всяко число:

В последната част на урока ще говорим за нови имена и означения за множества, които се появяват след въвеждането на отрицателните числа.

Определение на противоположни числа

Дефиниция на противоположни числа:

Две числа се наричат ​​противоположни, ако се различават само по знаци.

Примери за противоположни числа

Примери за противоположни числа.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

От тук е ясно как да намерите обратното на дадено число: просто сменете знака на числото.

Числото, противоположно на 3, е числото минус три.

Пример. Числата са противоположни на данните.

Дадени са: числата 1; 5; 8; 9.

Намерете противоположните числа на данните.

За да решите тази задача, просто сменете знаците на дадените числа:

Нека направим таблица с противоположни числа:

Обратното на нулата

Обратното на нулата е самото число нула.

Така че числото, противоположно на 0, е 0.

Противоположни цели числа

Противоположните цели числа се различават само по знак.

Примери за противоположни цели числа.

10 -10
20 -20
125 -125

Двойка противоположни числа

Когато говорят за противоположни числа, те винаги имат предвид двойка противоположни числа.

Едно число е противоположно на друго число. И всяко число има само едно противоположно число.

Числа, противоположни на естествените числа

Обратното на естествените числа са отрицателните цели числа.

Нека направим таблица на противоположните числа за първите пет естествени числа:

Сума от противоположни числа

Сборът на противоположните числа е нула. В крайна сметка противоположните числа се различават само по знак.

Предмет

Тип урок

• изучаване и първично усвояване на нов материал

Цели на урока

Научете дефинициите на положителни, отрицателни и противоположни числа.

Намиране на противоположни числа при решаване на задачи, при решаване на уравнения

Развитие - развива вниманието, постоянството, постоянството, логическото мислене, математическата реч на учениците.

Образователни - чрез урока култивирайте внимателно отношение един към друг, внушавайте способността да слушате другарите, взаимопомощта и независимостта.

Цели на урока

Разберете какво представляват противоположните числа

Научете се да използвате тази концепция, когато решавате проблеми

Проверете уменията на учениците за решаване на проблеми.

План на урока

1. Въведение.

2. Теоретична част

3. Практическа част.

4. Домашна работа.

5. Интересни факти

Въведение

Разгледайте снимките и опишете с една дума какво е различното в тях.

Снимките показват противоположности.

– това са две числа, които са еднакви по абсолютна стойност, но имат различни знаци, например. 5 и -5.

Теоретична част

Първо, нека си спомним какво представлява отрицателни числа. Виж видео:

Точките с координати 5 и -5 са еднакво отдалечени от точка O и са разположени от противоположните й страни. За да стигнете от точка O до тези точки, трябва да изминете същите разстояния, но в противоположни посоки. Извикват се числата 5 и -5 противоположни числа: 5 е обратното на -5, а -5 е обратното на 5.

Извикват се две числа, които се различават едно от друго само по знаци противоположни числа.

Например противоположните числа биха били 35 и -35, тъй като числото 35 = +35, което означава, че числата 35 и -35 се различават само по знаци. Противоположните числа също ще бъдат 0,8 и -0,8, ¾ и -¾.

Свойства на противоположните числа

1). За всяко число има само едно срещуположно число.

2). Числото 0 е обратното на себе си.

3). Противоположното число на a се обозначава с -a. Ако a = -7,8, тогава -a = 7,8; ако a = 8,3, тогава -a = -8,3; ако a = 0, тогава -a = 0.

4). Нотацията "-(-15)" означава обратното число на -15. Тъй като обратното на -15 е 15, тогава -(-15) = 15. Като цяло -(-a) = a.

Естествените числа, техните противоположности и нула се наричат цели числа.

Противоположно число n" по отношение на числото n е число, което, когато се добави към n, дава нула.

n + n" = 0

Това равенство може да се пренапише по следния начин:

n + n" − n = 0 − nили n" = − n

По този начин, противоположни числаимат еднакви модули, но противоположни знаци.

Съответно, противоположното число на n се обозначава с − n. Когато едно число е положително, противоположното му число ще бъде отрицателно и обратно.

1. Дайте примери за противоположни числа.

2. Начертайте ги на координатна линия.

3. Назовете числото срещу -3,6; 7; 0; 8/9; -1/2

Практическа част

Пример

1) Маркирайте на координатната линия точки A(2), B(-2), C(+4), D(-3), E(-5.2), F(5.2), G(-6) , H( 7). 2) Сред тези точки намерете и посочете тези, които са симетрични спрямо точката O(0). Какво може да се каже за координатите на симетрични точки?

Точки, симетрични по отношение на точка O(0): A(2) и B(-2), E(- 5.2) и F(5.2)

Координати на симетрични точкиса числа, които се различават само по знак. Такива номера се наричат противоположност.

Маркирайте точките A(-3), B(+6), C(+4.2), D(+3), E(-4.2), F(-6) на координатната права Какво можете да кажете за тези числа ??

От числата 15; 2,5; – 2,5; - 18; 0; 45; – 45 изберете: а) естествени числа; б) цели числа; в) отрицателни числа; г) положителни числа; д) срещуположни числа.

1) Запишете противоположното число на a.

2) Посочете числото срещу числото a, ако:

а=5, а=-3, а=0, а=-2/5;

A = 6, -a = - 2, -a = 3,4.

1) Запомнете какво означава записът: - (- a).

2) Поставете число вместо *, за да получите правилното равенство: а) - (- 5) = *; б) 3 = – *.

Домашна работа

1). Попълнете таблицата:

2). Намерете: а) -m,

ако m = -8,

ако m = -16

ако -k = 27

ако -k = -35

ако c = 41

ако c = -3,6

3). Колко двойки противоположни числа се намират между числата -7,2 и 3,6. Маркирайте върху координатната линия.

4). Разберете името на изключителния френски учен:

Знаете ли къде в ежедневието срещаме положителни и отрицателни числа?

Списък на използваните източници

1. Математическа енциклопедия (в 5 тома). - М.: Съветска енциклопедия, 2002. - Т. 1.
2. „Най-новият справочник за ученици” „КЪЩА XXI век” 2008 г.
3. Обобщение на урока по темата „Противоположни числа“ Автор: Петрова В.П., учител по математика (5-9 клас), Киев
4. Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В. И. Жохов, Математика за 6 клас, Учебник за гимназия

В тази статия ще проучим противоположни числа. Тук ще отговорим на въпроса кои числа се наричат ​​противоположни, ще покажем как се обозначава противоположното на дадено число и ще дадем примери. Ще изброим и основните резултати, характерни за противоположните числа.

Навигация в страницата.

Определяне на противоположни числа

Това ще ни помогне да добием представа за противоположните числа.

Нека отбележим някаква точка M на координатната права, различна от началото. Можем да стигнем до точка M чрез последователно отлагане на единична отсечка, както и нейната десета, стотна и така нататък от началото по посока на точка M. Ако нанесем същия брой единични сегменти и дяловете му в обратна посока, тогава ще стигнем до друга точка, означена с буквата N. Нека дадем пример, за да илюстрираме нашите действия (вижте фигурата по-долу). За да стигнем до точка M на координатната права, ние отделихме два единични сегмента и 4 сегмента, съставляващи една десета от единицата, в отрицателна посока. Сега нека поставим два единични сегмента и 4 сегмента, съставляващи една десета от единицата, в положителна посока. Това ще ни даде точка N.

Почти сме готови да разберем дефиницията на противоположните числа; остава само да обсъдим няколко нюанса.

Знаем, че всяка точка от координатната права съответства на едно реално число, следователно и точка M, и точка N съответстват на някои реални числа. Така че числата, съответстващи на точки M и N, се наричат ​​противоположни.

Отделно е необходимо да се каже за точка О - произхода. Точка O съответства на числото 0. Числото нула се счита за противоположно на себе си.

Сега можем да гласуваме определяне на противоположни числа.

Определение.

Две числа се наричат ​​противоположни, ако точките на координатната линия, съответстващи на тези числа, могат да бъдат достигнати чрез отлагане на същия брой единични сегменти от началото в противоположни посоки, както и части от единичен сегмент, числото 0 е противоположно на себе си.

Запис на противоположни числа и примери

Време е да влезете символи на противоположни числа.

За да посочите обратното на дадено число, използвайте знака минус, който се изписва пред даденото число. Тоест, числото, противоположно на числото a, се записва като −a. Например противоположното число 0,24 е −0,24, а противоположното число −25 е −(−25).

Да дадем примери за противоположни числа. Двойката числа 17 и −17 (или −17 и 17) е пример за противоположни цели числа. Числата и са противоположни рационални числа. Други примери за противоположни рационални числа са двойките числа 5,126 и −5,126. както и 0,(1201) и −0,(1201) . Остава да дадем няколко примера за обратното