Призма, чиито странични ръбове са перпендикулярни на основата. Въпроси към глава III

Многоъгълниците ABCDE и FHKMP, лежащи в успоредни равнини, се наричат ​​основи на призмата, перпендикулярът OO 1, спуснат от всяка точка на основата към равнината на друга, се нарича височина на призмата. Успоредници ABHF, BCKH и др. се наричат ​​странични стени на призмата, а техните страни SC, DM и т.н., свързващи съответните върхове на основите, се наричат ​​странични ръбове. В призмата всички странични ръбове са равни един на друг като сегменти от успоредни прави линии, затворени между успоредни равнини.
Призма се нарича права линия ( Фиг. 282, б) или косо ( Фиг.282,c) в зависимост от това дали страничните му ребра са перпендикулярни или наклонени спрямо основите. Правата призма има правоъгълни странични стени. Страничният ръб може да се приеме като височина на такава призма.
Правата призма се нарича правилна, ако нейните основи са правилни многоъгълници. В такава призма всички странични лица са равни правоъгълници.
За да изобразите призма в сложен чертеж, трябва да знаете и да можете да изобразите елементите, от които се състои (точка, права линия, плоска фигура).
и тяхното изображение в сложния чертеж (фиг. 283, a - i)

а) Комплексен чертеж на призма. Основата на призмата е разположена на проекционната равнина P 1; една от страничните повърхности на призмата е успоредна на проекционната равнина P 2.
б) Долната основа на призмата DEF е плоска фигура - правилен триъгълник, разположен в равнината P 1; страната на триъгълника DE е успоредна на оста x 12 - Хоризонталната проекция се слива с дадената основа и следователно е равна на нейния естествен размер; Фронталната проекция се слива с оста x 12 и е равна на страната на основата на призмата.
в) Горната основа на призмата ABC е плоска фигура - триъгълник, разположен в хоризонтална равнина. Хоризонталната проекция се слива с проекцията на долната основа и я покрива, тъй като призмата е права; челна проекция - права, успоредна на оста х 12, на разстояние от височината на призмата.
г) Страничната страна на призмата ABED е плоска фигура - правоъгълник, разположен във фронталната равнина. Фронтална проекция - правоъгълник, равен на естествения размер на лицето; хоризонталната проекция е права линия, равна на страната на основата на призмата.
д) и е) Страничните стени на призмите ACFD и CBEF са плоски фигури - правоъгълници, лежащи в хоризонтални проекционни равнини, разположени под ъгъл от 60 ° спрямо проекционната равнина P 2. Хоризонталните проекции са прави линии, разположени спрямо оста х 12 под ъгъл 60° и са равни на естествения размер на страните на основата на призмата; фронталните проекции са правоъгълници, чиито изображения са по-малки от реалния размер: двете страни на всеки правоъгълник са равни на височината на призмата.
g) Ръбът AD на призмата е права линия, перпендикулярна на равнината на проекция P 1. Хоризонтална проекция - точка; фронтална - права, перпендикулярна на оста х 12, равна на страничния ръб на призмата (височина на призмата).
з) Страната AB на горната основа е права, успоредна на равнините P 1 и P 2. Хоризонталните и фронталните проекции са прави, успоредни на оста x 12 и равни на страната на дадената основа на призмата. Фронталната проекция е отдалечена от оста x 12 на разстояние, равно на височината на призмата.
и) Върховете на призмата. Точка E - върхът на долната основа се намира в равнината P 1. Хоризонталната проекция съвпада със самата точка; фронтална - лежи на оста х 12. Точка С - върхът на горната основа - се намира в пространството. Хоризонталната проекция има дълбочина; фронтална - височина, равна на височината на тази призма.
Това предполага: Когато проектирате всеки полиедър, трябва да го разделите мислено на съставните му елементи и да определите реда на тяхното представяне, състоящ се от последователни графични операции.Фигури 284 и 285 показват примери за последователни графични операции при извършване на сложен чертеж и визуално представяне (аксонометрия) на призми.
(фиг. 284).

дадени:
1. Основата е разположена на проекционната равнина P 1.
2. Нито една страна на основата не е успоредна на оста x 12.
I. Сложна рисунка.
аз, а. Проектираме долната основа - многоъгълник, който по условие лежи в равнината P1.
аз, б. Проектираме горната основа - многоъгълник, равен на долната основа със страни, съответно успоредни на долната основа, отдалечен от долната основа с височината H на дадената призма.
Интегрална схема. Проектираме страничните ръбове на призмата - сегменти, разположени успоредно; техните хоризонтални проекции са точки, сливащи се с проекциите на върховете на основите; фронтални - сегменти (успоредни), получени от свързване с прави линии на проекциите на върховете на едноименните основи. Фронталните проекции на ребрата, изтеглени от проекциите на върховете B и C на долната основа, са изобразени с пунктирани линии като невидими.
аз, ж. Дадени са: хоризонтална проекция F 1 на точка F върху горната основа и фронтална проекция K 2 на точка K върху страничната повърхност. Необходимо е да се определят местата на вторите им проекции.
За точка F. Втората (фронтална) проекция F 2 на точка F ще съвпадне с проекцията на горната основа, като точка, лежаща в равнината на тази основа; мястото му се определя от вертикалната съобщителна линия.
За точка K - Втората (хоризонтална) проекция K 1 на точка K ще съвпадне с хоризонталната проекция на страничната повърхност, като точка, лежаща в равнината на лицето; мястото му се определя от вертикалната съобщителна линия.
II. Развитие на повърхността на призмата- плоска фигура, съставена от странични стени - правоъгълници, в които две страни са равни на височината на призмата, а другите две са равни на съответните страни на основата и от две равни една на друга основи - неправилни многоъгълници .
На проекциите се разкриват естествените размери на основите и страните на лицата, необходими за изграждане на застройката; надграждаме върху тях; На права линия начертаваме последователно страните AB, BC, CD, DE и EA на многоъгълника - основите на призмата, взети от хоризонталната проекция. Върху перпендикулярите, изтеглени от точки A, B, C, D, E и A, нанасяме височината H на тази призма, взета от предната проекция, и начертаваме права линия през маркировките. В резултат на това получаваме сканиране на страничните повърхности на призмата.
Ако прикрепим основите на призмата към тази разработка, получаваме разработка на пълната повърхност на призмата. Основите на призмата трябва да бъдат прикрепени към съответната странична повърхност чрез метода на триангулация.
На горната основа на призмата, използвайки радиуси R и R 1, определяме местоположението на точка F, а на страничната повърхност, използвайки радиус R 3 и H 1, определяме точка K.
III. Визуално представяне на призма в диметрия.
III, а. Изобразяваме долната основа на призмата според координатите на точките A, B, C, D и E (фиг. 284 I, a).
III, б. Изобразяваме горната основа успоредна на долната, на разстояние от нея с височината H на призмата.
III, c. Изобразяваме страничните ръбове, като свързваме съответните върхове на основите с прави линии. Определяме видимите и невидимите елементи на призмата и ги очертаваме със съответните линии,
III, г. Определяме точки F и K на повърхността на призмата - Точка F - на горната основа се определя с помощта на размери i и e; точка K - на страничната повърхност, използвайки i 1 и H" .
За изометрично изображение на призмата и определяне на местоположението на точки F и K трябва да се следва същата последователност.
Фиг.285).

дадени:
1. Основата е разположена в равнината P 1.
2. Страничните ребра са успоредни на равнината P 2.
3. Нито една страна на основата не е успоредна на оста x 12
I. Сложна рисунка.
аз, а. Проектираме според това условие: долната основа е многоъгълник, лежащ в равнината P1, а страничният ръб е сегмент, успореден на равнината P2 и наклонен към равнината P1.
аз, б. Проектираме останалите странични ръбове - сегменти, равни и успоредни на първия ръб SE.
Интегрална схема. Проектираме горната основа на призмата като многоъгълник, равен и успореден на долната основа, и получаваме сложен чертеж на призмата.
Идентифицираме невидими елементи на проекции. Фронталната проекция на ръба на VM и хоризонталната проекция на страната на основния CD са изобразени с пунктирани линии като невидими.
I, g. Като се има предвид челната проекция Q 2 на точката Q върху проекцията A 2 K 2 F 2 D 2 на страничната повърхност; трябва да намерите неговата хоризонтална проекция. За да направите това, начертайте спомагателна линия през точка Q 2 в проекцията A 2 K 2 F 2 D 2 на лицето на призмата, успоредна на страничните ръбове на това лице. Намираме хоризонталната проекция на спомагателната линия и върху нея, използвайки вертикална свързваща линия, определяме местоположението на желаната хоризонтална проекция Q 1 на точка Q.
II. Развитие на повърхността на призмата.
Имайки естествените размери на страните на основата върху хоризонталната проекция и размерите на ребрата върху челната проекция, е възможно да се конструира пълно развитие на повърхността на дадена призма.
Ще завъртим призмата, като я въртим всеки път около страничния ръб, след което всяка странична повърхност на призмата върху равнината ще остави следа (успоредник), равна на нейния естествен размер. Ще конструираме страничното сканиране в следния ред:
а) от точки A 2, B 2, D 2. . . E 2 (фронтални проекции на върховете на основите) изчертаваме спомагателни прави линии, перпендикулярни на проекциите на ребрата;
б) с радиус R (равен на страната на основата CD), правим прорез в точка D на спомагателна права линия, изтеглена от точка D2; чрез свързване на прави точки C 2 и D и начертаване на прави линии, успоредни на E 2 C 2 и C 2 D, получаваме страничната повърхност CEFD;
в) тогава, като подредим по подобен начин следните странични стени, получаваме развитие на страничните стени на призмата. За да получим пълно развитие на повърхността на тази призма, ние я прикрепяме към съответните лица на основата.
III. Визуално представяне на призма в изометрия.
III, а. Изобразяваме долната основа на призмата и ръба CE, използвайки координати според (

Видео курсът „Вземи A“ включва всички теми, необходими за успешно полагане на Единния държавен изпит по математика с 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профилния единен държавен изпит по математика. Подходящ и за полагане на основния единен държавен изпит по математика. Ако искате да издържите Единния държавен изпит с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за Единния държавен изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от Единния държавен изпит по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със 100 точки, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи решения, клопки и тайни на Единния държавен изпит. Анализирани са всички текущи задачи от част 1 от банката задачи на FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на Единния държавен изпит 2018 г.

Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици задачи за единен държавен изпит. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочни материали, анализ на всички видове задачи от Единния държавен изпит. Стереометрия. Хитри решения, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата до задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Ясни обяснения на сложни концепции. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основа за решаване на сложни задачи от част 2 на Единния държавен изпит.

1. Тетраедърът има най-малък брой ръбове - 6.

2. Призмата има n лица. Какъв многоъгълник лежи в основата му?

(n - 2) - квадрат.

3. Права ли е призмата, ако двете й съседни странични стени са перпендикулярни на равнината на основата?

Да, така е.

4. В коя призма страничните ръбове са успоредни на нейната височина?

В права призма.

5. Правилна ли е призмата, ако всичките й ръбове са равни?

Не, може да не е директно.

6. Може ли височината на една от страничните стени на наклонена призма да бъде и височината на призмата?

Да, ако това лице е перпендикулярно на основата.

7. Има ли призма, при която: а) страничният ръб е перпендикулярен само на единия ръб на основата; б) само една страна е перпендикулярна на основата?

а) да. б) не.

8. Правилна триъгълна призма е разделена на две призми от равнина, минаваща през средните линии на основите. Какво е отношението на страничните повърхности на тези призми?

По теорема 27 намираме, че страничните повърхности са в съотношение 5:3

9. Ще бъде ли правилна пирамидата, ако страничните й стена са правилни триъгълници?

10. Колко лица, перпендикулярни на равнината на основата, може да има една пирамида?

11. Има ли четириъгълна пирамида, чиито срещуположни страни са перпендикулярни на основата?

Не, в противен случай ще има поне две прави линии, минаващи през върха на пирамидата, перпендикулярни на основите.

12. Могат ли всички лица на триъгълна пирамида да бъдат правоъгълни триъгълници?

Да (Фигура 183).

Общи сведения за правата призма

Страничната повърхност на призмата (по-точно площта на страничната повърхност) се нарича сумаобласти на страничните лица. Общата повърхност на призмата е равна на сумата от страничната повърхност и площите на основите.

Теорема 19.1. Страничната повърхност на права призма е равна на произведението от периметъра на основата и височината на призмата, т.е. дължината на страничния ръб.

Доказателство. Страничните стени на права призма са правоъгълници. Основите на тези правоъгълници са страните на многоъгълника, лежащ в основата на призмата, а височините са равни на дължината на страничните ръбове. От това следва, че страничната повърхност на призмата е равна на

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

където a 1 и n са дължините на основните ръбове, p е периметърът на основата на призмата, а I е дължината на страничните ръбове. Теоремата е доказана.

Практическа задача

Проблем (22) . В наклонена призма се извършва раздел, перпендикулярна на страничните ребра и пресичаща всички странични ребра. Намерете страничната повърхност на призмата, ако периметърът на сечението е равен на p, а страничните ръбове са равни на l.

Решение. Равнината на начертаното сечение разделя призмата на две части (фиг. 411). Нека подложим една от тях на паралелен превод, комбинирайки основите на призмата. В този случай получаваме права призма, чиято основа е напречното сечение на оригиналната призма, а страничните ръбове са равни на l. Тази призма има същата странична повърхност като оригиналната. По този начин страничната повърхност на оригиналната призма е равна на pl.

Обобщение на засегнатата тема

Сега нека се опитаме да обобщим темата, която разгледахме за призмите и да си спомним какви свойства притежава призмата.

Свойства на призмата

Първо, призмата има всички свои основи като равни многоъгълници;
Второ, в призмата всички нейни странични лица са успоредници;
Трето, в такава многостранна фигура като призма всички странични ръбове са равни;

Също така трябва да се помни, че полиедри като призми могат да бъдат прави или наклонени.

Коя призма се нарича права призма?

Ако страничният ръб на призмата е разположен перпендикулярно на равнината на нейната основа, тогава такава призма се нарича права.

Не би било излишно да припомним, че страничните стени на права призма са правоъгълници.

Какъв тип призма се нарича наклонена?

Но ако страничният ръб на призмата не е разположен перпендикулярно на равнината на нейната основа, тогава можем спокойно да кажем, че това е наклонена призма.

Коя призма се нарича правилна?

Ако правилен многоъгълник лежи в основата на права призма, тогава такава призма е правилна.

Сега нека си припомним свойствата, които има правилната призма.

Свойства на правилната призма

Първо, правилните многоъгълници винаги служат като основи на правилна призма;
Второ, ако разгледаме страничните стени на правилна призма, те винаги са равни правоъгълници;
Трето, ако сравните размерите на страничните ребра, тогава в обикновена призма те винаги са равни.
Четвърто, правилната призма винаги е права;
Пето, ако в правилната призма страничните лица имат формата на квадрати, тогава такава фигура обикновено се нарича полуправилен многоъгълник.

Напречно сечение на призмата

Сега нека да разгледаме напречното сечение на призмата:

Домашна работа

Сега нека се опитаме да затвърдим темата, която сме научили, като решаваме задачи.

Нека начертаем наклонена триъгълна призма, разстоянието между ръбовете й ще бъде равно на: 3 cm, 4 cm и 5 cm, а страничната повърхност на тази призма ще бъде равна на 60 cm2. Имайки тези параметри, намерете страничния ръб на тази призма.

Знаете ли, че геометричните фигури постоянно ни заобикалят, не само в уроците по геометрия, но и в ежедневието има предмети, които приличат на една или друга геометрична фигура.

Всеки дом, училище или работа има компютър, чийто системен блок е с форма на права призма.

Ако вземете обикновен молив, ще видите, че основната част на молива е призма.

Разхождайки се по централната улица на града, виждаме, че под краката ни лежи плочка, която има формата на шестоъгълна призма.

А. В. Погорелов, Геометрия за 7-11 клас, Учебник за учебни заведения

Лекция: Призма, нейните основи, странични ребра, височина, странична повърхност; права призма; правилна призма

Призма

Ако сте научили плоски фигури с нас от предишните въпроси, значи сте напълно готови да изучавате триизмерни фигури. Първото тяло, което ще научим, ще бъде призма.

Призмае триизмерно тяло, което има голям брой лица.

Тази фигура има два многоъгълника в основите, които са разположени в успоредни равнини, а всички странични лица имат формата на успоредник.

И така, нека да разберем от какво се състои призмата. За да направите това, обърнете внимание на фиг.1

Както споменахме по-рано, призмата има две основи, които са успоредни една на друга - това са петоъгълниците ABCEF и GMNJK. Освен това тези полигони са равни един на друг.

Всички останали лица на призмата се наричат ​​странични лица - те се състоят от успоредници. Например BMNC, AGKF, FKJE и др.

Общата повърхност на всички странични лица се нарича странична повърхност.

Всяка двойка съседни лица има обща страна. Тази обща страна се нарича ръб. Например MV, SE, AB и др.

Ако горната и долната основа на призмата са свързани с перпендикуляр, тогава това ще се нарича височина на призмата. На фигурата височината е отбелязана като права линия OO 1.

Има два основни типа призма: наклонена и права.

Ако страничните ръбове на призмата не са перпендикулярни на основите, тогава такава призма се нарича наклонен.

Ако всички ръбове на призмата са перпендикулярни на основите, тогава такава призма се нарича прав.

Ако основите на призмата съдържат правилни многоъгълници (такива с еднакви страни), тогава такава призма се нарича правилно.

Ако основите на призмата не са успоредни една на друга, тогава ще се нарече такава призма пресечен.

Можете да го видите на фиг. 2

Формули за намиране на обема и площта на призма

Има три основни формули за намиране на обем. Те се различават един от друг по приложение:

Подобни формули за намиране на повърхността на призма: