Как се построява ъгъл, равен на даден. Как се построява ъгъл, равен на даден

Често е необходимо да се начертае („конструира“) ъгъл, който би бил равен на даден ъгъл, като конструкцията трябва да се извърши без помощта на транспортир, а само с пергел и линийка. Знаейки как да построим триъгълник от три страни, можем да решим този проблем. Нека е на права линия MN(фиг. 60 и 61) е необходимо да се изгради в точката Къгъл равен на ъгъл б. Това означава, че е необходимо от точката Кначертайте права линия с компонент MNъгъл, равен на б.

За да направите това, маркирайте точка от всяка страна на даден ъгъл, например АИ СЪСи се свържете АИ СЪСправа. Получаваме триъгълник ABC. Нека сега построим по права линия MNтози триъгълник, така че неговият връх INбеше в точката ДА СЕ: тогава в тази точка ще бъде построен ъгъл, равен на ъгъла IN. Построете триъгълник, като използвате три страни VS, VAИ ACзнаем как: отлагаме (фиг. 62) от точката ДА СЕлинейна отсечка KL,равен слънце; получаваме точка Л; наоколо К, като близо до центъра, описваме окръжност с радиус Вирджиния, и около L –радиус SA. Точка Рсвързваме пресечните точки на кръговете с ДА СЕи Z, получаваме триъгълник KPL,равен на триъгълник ABC; в него има ъгъл ДА СЕ= ug. IN.

Тази конструкция се изпълнява по-бързо и по-удобно, ако е отгоре INпоставете равни сегменти (с едно разтваряне на компаса) и, без да движите краката му, опишете кръг около точката със същия радиус ДА СЕ,като близо до центъра.

Как да разделим ъгъл наполовина

Да предположим, че трябва да разделим ъгъл А(фиг. 63) на две равни части с помощта на пергел и линийка, без да използвате транспортир. Ще ви покажем как да го направите.

От върха Апоставете равни сегменти на страните на ъгъла ABИ AC(Диаграма 64; това се прави чрез просто разтваряне на компаса). След това поставяме върха на компаса в точките INИ СЪСи описват дъги с равни радиуси, пресичащи се в точката Д.Право свързване Аи D разделя ъгъла Ана половина.

Нека обясним защо е така. Ако точката дсвържете се с INи C (фиг. 65), тогава получавате два триъгълника ADCИ ADB, yкоито имат обща страна AD; страна ABравен на страната AC, А ВDравна на CD.Триъгълниците са равни по три страни, което означава, че ъглите са равни. ЛОШОИ DAC,лежащи срещу равни страни ВDИ CD. Следователно, направо ADразделя ъгъла ВИЕна половина.

Приложения

12. Построете ъгъл 45° без транспортир. На 22°30’. На 67°30'.

Решение: Разделяйки правия ъгъл наполовина, получаваме ъгъл от 45°. Разделяйки ъгъла от 45° наполовина, получаваме ъгъл от 22°30’. Като съставим сумата от ъглите 45° + 22°30’, получаваме ъгъл от 67°30’.

Как да построим триъгълник, използвайки две страни и ъгъла между тях

Да предположим, че трябва да откриете на земята разстоянието между два етапа АИ IN(Дявол 66), разделени от непроходимо блато.

Как да го направим?

Можем да направим това: изберете точка далеч от блатото СЪС, откъдето се виждат и двата етапа и могат да се измерват разстояния ACИ слънцеЪгъл СЪСние измерваме с помощта на специално гониометрично устройство (наречено str o l b i e). Според тези данни, т.е. според измерените страни A.C.И слънцеи ъгъл СЪСмежду тях, нека изградим триъгълник ABCнякъде на удобен терен, както следва. След измерване на една известна страна в права линия (фиг. 67), например AC, изградете с него в точката СЪСъгъл СЪС; от другата страна на този ъгъл се измерва известната страна слънцеКраищата на познатите страни, т.е. точки АИ INсвързани с права линия. Резултатът е триъгълник, в който двете страни и ъгълът между тях имат предварително зададените размери.

От метода на конструиране става ясно, че може да се построи само един триъгълник, като се използват две страни и ъгълът между тях. следователно, ако две страни на един триъгълник са равни на две страни на друг и ъглите между тези страни са еднакви, тогава такива триъгълници могат да бъдат насложени един върху друг от всички точки, т.е. третите им страни и другите ъгли също трябва да бъдат равни. Това означава, че равенството на двете страни на триъгълниците и ъгълът между тях може да служи като знак за пълното равенство на тези триъгълници. Накратко:

Триъгълниците са равни от двете страни и в ъгъла между тях.

В задачите за конструиране ще разгледаме построяването на геометрична фигура, което може да се направи с линийка и пергел.

С помощта на линийка можете:

произволна права линия;

произволна права, минаваща през дадена точка;

права, минаваща през две дадени точки.

С помощта на компас можете да опишете окръжност с даден радиус от даден център.

С помощта на компас можете да начертаете отсечка на дадена линия от дадена точка.

Нека разгледаме основните строителни задачи.

Задача 1.Построете триъгълник с дадени страни a, b, c (фиг. 1).

Решение. С помощта на линийка начертайте произволна права линия и върху нея вземете произволна точка B. С помощта на пергел, равен на a, описваме окръжност с център B и радиус a. Нека C е точката на нейното пресичане с правата. С отвор на компаса, равен на c, описваме окръжност от центъра B, а с отвор на компаса, равен на b, описваме окръжност от центъра C. Нека A е пресечната точка на тези окръжности. Триъгълник ABC има страни, равни на a, b, c.

Коментирайте. За да могат три прави отсечки да служат като страни на триъгълник, е необходимо най-голямата от тях да е по-малка от сбора на другите две (и< b + с).

Задача 2.

Решение. Този ъгъл с върха A и лъча OM са показани на фигура 2.

Нека начертаем произволна окръжност с център във върха А на дадения ъгъл. Нека B и C са точките на пресичане на окръжността със страните на ъгъла (фиг. 3, а). С радиус AB начертаваме окръжност с център в точка O - началната точка на този лъч (фиг. 3, b). Нека означим пресечната точка на тази окръжност с този лъч като C 1 . Нека опишем окръжност с център C 1 и радиус BC. Точка B 1 на пресечната точка на две окръжности лежи от страната на желания ъгъл. Това следва от равенството Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (третият знак за равенство на триъгълниците).

Задача 3.Построете ъглополовящата на този ъгъл (фиг. 4).

Решение. От връх A на даден ъгъл, като от центъра, начертаваме окръжност с произволен радиус. Нека B и C са точките на неговото пресичане със страните на ъгъла. От точки B и C описваме окръжности с еднакъв радиус. Нека D е тяхната пресечна точка, различна от A. Лъч AD разполовява ъгъл A. Това следва от равенството Δ ABD = Δ ACD (третият критерий за равенство на триъгълниците).

Задача 4.Начертайте перпендикулярна ъглополовяща към този сегмент (фиг. 5).

Решение. Използвайки произволен, но идентичен отвор на компас (по-голям от 1/2 AB), ние описваме две дъги с центрове в точки A и B, които ще се пресичат в някои точки C и D. Правата CD ще бъде желаният перпендикуляр. Наистина, както се вижда от конструкцията, всяка от точките C и D е еднакво отдалечена от A и B; следователно тези точки трябва да лежат на ъглополовящата на отсечката AB.

Задача 5.Разделете този сегмент наполовина. Решава се по същия начин като задача 4 (виж фиг. 5).

Задача 6.През дадена точка начертайте права, перпендикулярна на дадената права.

Решение. Има два възможни случая:

1) дадена точка O лежи на дадена права a (фиг. 6).

От точка O начертаваме окръжност с произволен радиус, пресичаща права a в точки A и B. От точки A и B начертайте окръжности със същия радиус. Нека O 1 е точката на тяхното пресичане, различна от O. Получаваме OO 1 ⊥ AB. Всъщност точките O и O 1 са на еднакво разстояние от краищата на сегмента AB и следователно лежат на ъглополовящата на този сегмент.

Построяване на ъгъл, равен на даден. Даден е: ъгъл A. A Построен ъгъл O. B C COD E Докажете: A = O Доказателство: разгледайте триъгълниците ABC и ODE. 1.AC = OE, като радиусите на една окръжност. 2.AB=OD, като радиусите на една окръжност. 3.ВС=DE, като радиусите на една окръжност. ABC = ODE (3-та награда) A = O

Нека докажем, че лъчът AB е ъглополовяща A P L A N 1. Допълнително построение. 2. Нека докажем равенството на триъгълниците ACB и ADB. 3. Изводи A B C D 1.AC = AD, като радиусите на една окръжност. 2.CB=DB, като радиусите на една окръжност. 3.AB – обща страна. ACB = ADB, съгласно III критерий за равенство на триъгълници Лъч AB - ъглополовяща Построяване на ъглополовяща на ъгъл.

A N B A C 1 = 2 12 В r/b триъгълника AMB отсечката MC е ъглополовяща и следователно височина. Тогава и MN. M Нека докажем, че a MN Нека разгледаме местоположението на компаса. AM=AN=MB=BN, като равни радиуси. MN-обща страна. MВN= MAN, тристранно Построяване на перпендикулярни линии. М а

Q P BA ARQ = BPQ, от трите страни = 2 Триъгълник ARV r/b. Отсечката PO е ъглополовяща и следователно медиана. Тогава точка O е средата на AB. О Нека докажем, че O е средата на отсечката AB. Построяване на средата на отсечка

D C Построяване на триъгълник по двете страни и ъгъла между тях. Ъгъл hk h 1. Да построим лъч a. 2. Отстрани отсечка AB, равна на P 1 Q 1. 3. Построи ъгъл, равен на този. 4. Нека отделим отсечката AC, равна на P 2 Q 2. VA Триъгълник ABC е търсеният. Обосновете използването на първия знак. Дадени са: Отсечки P 1 Q 1 и P 2 Q 2 Q1Q1 P1P1 P2P2 Q2Q2 a k

D C Построяване на триъгълник с помощта на страна и два съседни ъгъла. Ъгъл h 1 k 1 h2h2 1. Построете лъч a. 2. Отделяме отсечка AB, равна на P 1 Q 1. 3. Построяваме ъгъл, равен на дадения h 1 k 1. 4. Построяваме ъгъл, равен на h 2 k 2. BA A Триъгълник ABC е търсеният. Обосновете използването на втория знак. Дадено е: Отсечка P 1 Q 1 Q1Q1 P1P1 a k2k2 h1h1 k1k1 N

C 1. Да построим лъч a. 2. Отделяме отсечка AB, равна на P 1 Q 1. 3. Построяваме дъга с център в точка A и радиус P 2 Q 2. 4. Построяваме дъга с център в точка B и радиус P 3 Q 3. BA A Триъгълник ABC търсен Обосновете използването на третия знак. Дадени са: отсечки P 1 Q 1, P 2 Q 2, P 3 Q 3. Q1Q1 P1P1 P3P3 Q2Q2 a P2P2 Q3Q3 Построяване на триъгълник с три страни.

Цел на урока: Да се ​​развие умението да се построява ъгъл, равен на даден. Задача: Създайте условия за усвояване на алгоритъма за построяване на ъгъл, равен на даден, с помощта на пергел и линийка; създават условия за усвояване на последователността от действия при решаване на конструктивен проблем (анализ, конструиране, доказателство); подобряване на умението за използване на свойствата на окръжност, знаци за равенство на триъгълници за решаване на проблем с доказателство; предоставят възможност за използване на нови умения при решаване на проблеми

В геометрията има строителни задачи, които могат да бъдат решени само с помощта на два инструмента: пергел и линийка без мащабни деления. Линийката ви позволява да начертаете произволна права линия, както и да построите права линия, минаваща през две дадени точки; С помощта на компас можете да начертаете окръжност с произволен радиус, както и окръжност с център в дадена точка и радиус, равен на даден сегмент. I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I

Дадено е: ъгъл A. A Построено: ъгъл O. B C CO D E Докажете: A = O Доказателство: разгледайте триъгълниците ABC и ODE. 1.AC = OE, като радиусите на една окръжност. 2.AB=OD, като радиусите на една окръжност. 3.ВС=DE, като радиусите на една окръжност. ABC = ODE (3-та награда) A = O Задача 2. Заделяне на ъгъл от даден лъч, равен на даден

Нека докажем, че лъч AB е ъглополовяща A 3. Доказателство: Допълнителна конструкция (свържете точка B с точки D и C). Нека разгледаме ACB и ADB: A B C D 1.AC = AD като радиусите на една окръжност. 2.CB=DB, като радиусите на една окръжност. 3. AB – обща страна. ACB = ADB, според III критерий за равенство на триъгълници Лъч AB е ъглополовяща 4. Изследване: Задачата винаги има единствено решение.

Схема за решаване на конструктивни задачи: Анализ (начертаване на желаната фигура, установяване на връзки между дадените и търсените елементи, план на конструкцията). Застрояване по предвиден план. Доказателство, че тази фигура удовлетворява условията на проблема. Проучване (кога и колко решения има проблемът?).