Как да решаваме системи от уравнения с помощта на метода на заместване. Решаване на системи от уравнения по метода на заместване

Решаване на системи от уравнения по метода на заместване

Нека си припомним какво е система от уравнения.

Система от две уравнения с две променливи е две уравнения, написани едно под друго, съединени с къдрава скоба. Решаването на система означава намирането на двойка числа, които ще решат едновременно първото и второто уравнение.

В този урок ще се запознаем с такъв метод за решаване на системи като метода на заместване.

Нека да разгледаме системата от уравнения:

Можете да решите тази система графично. За да направим това, ще трябва да изградим графики на всяко от уравненията в една координатна система, трансформирайки ги във формата:

След това намерете координатите на пресечната точка на графиките, което ще бъде решението на системата. Но графичният метод не винаги е удобен, т.к се различава в ниска точност или дори недостъпност. Нека се опитаме да разгледаме по-отблизо нашата система. Сега изглежда така:

Можете да забележите, че левите страни на уравненията са равни, което означава, че десните страни също трябва да са равни. Тогава получаваме уравнението:

Това е познато уравнение с една променлива, което можем да решим. Нека преместим непознатите членове вляво, а познатите вдясно, като не забравяме да сменим знаците + и - при прехвърляне. Получаваме:

Сега нека заместим намерената стойност на x във всяко уравнение на системата и да намерим стойността на y. В нашата система е по-удобно да използваме второто уравнение y = 3 - x, след заместване получаваме y = 2. Сега нека анализираме свършената работа. Първо, в първото уравнение изразихме променливата y чрез променливата x. След това полученият израз - 2x + 4 беше заменен във второто уравнение вместо променливата y. След това решихме полученото уравнение с една променлива x и намерихме нейната стойност. И накрая, използвахме намерената стойност на x, за да намерим друга променлива y. Тук възниква въпросът: необходимо ли е да се изрази променливата y от двете уравнения наведнъж? Разбира се, че не. Можем да изразим една променлива чрез друга само в едно уравнение на системата и да я използваме вместо съответната променлива във второто. Освен това можете да изразите всяка променлива от всяко уравнение. Тук изборът зависи единствено от удобството на акаунта. Математиците нарекоха тази процедура алгоритъм за решаване на системи от две уравнения с две променливи чрез метода на заместване. Ето как изглежда.

1. Изразете една от променливите чрез друга в едно от уравненията на системата.

2. Заместете получения израз вместо съответната променлива в друго уравнение на системата.

3. Решете полученото уравнение с една променлива.

4. Заместете намерената стойност на променливата в израза, получен в стъпка едно, и намерете стойността на друга променлива.

5. Напишете отговора под формата на двойка числа, открити в третата и четвъртата стъпка.

Нека да разгледаме друг пример. Решете системата от уравнения:

Тук е по-удобно да изразим променливата y от първото уравнение. Получаваме y = 8 - 2x. Полученият израз трябва да бъде заменен с y във второто уравнение. Получаваме:

Нека напишем това уравнение отделно и го решим. Първо, нека отворим скобите. Получаваме уравнението 3x - 16 + 4x = 5. Нека съберем неизвестните членове от лявата страна на уравнението и известните отдясно и да представим подобни членове. Получаваме уравнението 7x = 21, следователно x = 3.

Сега, използвайки намерената стойност на x, можете да намерите:

Отговор: двойка числа (3; 2).

Така в този урок се научихме да решаваме системи от уравнения с две неизвестни по аналитичен, точен начин, без да прибягваме до съмнителни графични методи.

Списък на използваната литература:

1. Мордкович А.Г., Алгебра 7 клас в 2 части, Част 1, Учебник за общообразователни институции / А.Г. Мордкович. – 10 изд., преработено – Москва, „Мнемозина”, 2007 г.
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 клас в 2 части, Част 2, Проблемник за учебни заведения / [А.Г. Мордкович и др.]; редактиран от A.G. Мордкович - 10-то издание, преработено - Москва, "Мнемозина", 2007 г.
3. НЕЯ. Тулчинская, Алгебра 7 клас. Блиц анкета: наръчник за ученици от общообразователни институции, 4-то издание, преработено и разширено, Москва, Мнемозина, 2008 г.
4. Александрова Л.А., Алгебра 7 клас. Тематични тестове в нова форма за ученици от общообразователни институции, редактирани от A.G. Мордкович, Москва, "Мнемозина", 2011 г.
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 клас. Самостоятелни работи за ученици от общообразователни институции, под редакцията на A.G. Мордкович - 6-то издание, стереотипно, Москва, "Мнемозина", 2010 г.

1 . ПЪЛНО ИМЕ. учители: ____Ткачук Наталия Петровна _________________________________________________________________________________________________

2. Клас: _8 Дата: .11.03________Предмет_-математика, урок № 71 по график:

3. Тема на урока Решаване на системи чрез заместване 4 . Мястото и ролята на урока в изучаваната тема :. Урок за консолидиране на знанията. Целта на урока :

Образователни: развиват знания за решаване на системи от уравнения с помощта на метода на заместване. Знам/разбирам: ако графиките имат общи точки, то системата има решения; ако графиките нямат общи точки, то системата няма решения; алгоритъм за решаване на системи от уравнения.Бъдете в състояние да решаване на системи чрез заместване Насърчаване на развитието на умения за прилагане на придобитите знания в нестандартни (стандартни) условияРазвитие: Да насърчава развитието на уменията на учениците да обобщават придобитите знания, да извършват анализ, синтез, сравнения и да правят необходимите заключения. Да насърчава развитието на умения за прилагане на придобитите знания в нестандартни и стандартни условия.Образователни: Насърчаване на развитието на творческо отношение към учебните дейности

Характеристики на етапите на урока

студенти

Самоопределение.

Активирайте когнитивната дейност

Решете системата

глаголен

Фронтален

Поздрав към учениците. извършване. Създаване на ситуация на готовност за урока, успех в предстоящия урок.

Проверете готовността за урока.

2. Актуализиране на знанията.

Определете качеството и нивото на овладяване на знанията и уменията, придобити в предишни уроци по темата

Разберете дали двойка числа е решение на системата. x=5 y=9

Какви операции могат да се извършват с уравнения?

(умножете двете страни на уравнението по едно и също число, разделете на число, което не е равно на нула....)

Групова работа

Фронтален. Guppovaya - анализ на алгоритми за решаване на проблеми;

Задава насочващи въпроси, когато е необходимо.

Отговарят на поставените въпроси.

3. Постановка на образователната задача, цели на урока.

Формиране

и развитие на умения

дефинира и формулира

проблем, цел и тема

за изучаване на линии

Как се решава система от уравнения чрез събиране, чрез заместване.

Кой метод е подходящо да се използва при решаване. тази система?

Групова работа.

Индивидуален.

Фронтален.

Какви стъпки предприехме, за да разберем покупната цена?

Каква тема ще изучаваме?

Те говорят.

4. Етап на актуализиране на знанията по темата

Да насърчава развитието на умения за разграничаване и сравняване на линии. Осигурете условия за развитие на уменията да изразявате мислите си компетентно, ясно и точно.

№ 621

Разберете относителните позиции на линиите

2x+0,5y= 1,2 и x- 4y=0

Възможно ли е да се определи дали линиите се пресичат или не по техните коефициенти?

2. създайте уравнения на прави, които са успоредни една на друга.

Работа с ученик

Работа по двойки със самопроверка

Фронтален, индивидуален. работилница за решаване на проблеми

Задава насочващи въпроси, когато е необходимо. Прави паралели с предварително изучен материал.

Осигурява мотивация за изпълнение на предложените задачи.

Води учениците до извода за съществуването на формули.

Решаване на задачи, отговаряне на въпроси на учителя, ако е необходимо.Направете упражнението в тетрадка.

Редувайте се в коментари, анализи, идентифициране на причини и решения.

5. Работете самостоятелно

прилагане на придобитите знания. Актуализиране на знания и умения за решаване на проблеми.

Формиране и развитие на умения за четене на числа.Планиране на вашите дейности за решаване на дадена задача, наблюдение на получения резултат, коригиране на получения резултат, саморегулация

1 променлива –

2 вар

Самостоятелна работа. Проверка на вашия съсед.

"мозъчна атака",

Следи за изпълнението на работата.

Осигурява: индивидуален контрол; селективен контрол.

Насърчава ви да изразите мнението си.

Решавам проблеми. Извършват: самооценка;взаимна проверка; дават предварителна оценка.

6. Оценка на урока, самооценка.

Формиране и развитие на способността за анализиране и разбиране на постиженията.

Способността да се определи нивото на овладяване на учебния материал.

Оценка на междинните резултати и саморегулация за повишаване на мотивацията за учебна дейност

Оценка на всеки етап

1. Можете ли да чертаете линейни уравнения?

2. Можете ли да определите дали се пресичат или не?

3. Знаете ли алгоритъм за решаване на системи от уравнения?

4. какви методи знаете за решаване на системи от уравнения?

Групова работа.

Групови и индивидуални...

Насърчава ви да изразите мнението си.

Извършете: самооценка и оценка на приятел.

7. Обобщение на урока. Домашна работа.

Способността да се съпоставят целите и резултатите от собствените дейности. Поддържане на здрав дух на състезание за поддържане на мотивация за учебна дейност; участие в колективно обсъждане на проблеми.

стр. 4.4 № 623

Групова работа.

Фронтален - Идентифициране и формулиране на познавателна цел, размисъл върху методите и условията на действие

Анализ и синтез на обекти

Насърчава ви да изразите мнението си.

Дава коментари по домашните; задача за търсене на характеристики в текста...

Децата участват в дискусията, анализират, говорят. Отразете и запишете техните постижения.

Днес в час научих...

Днес в час научих...

Назад напред

внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представят всички характеристики на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Място на урока в урочната система:трети урок на тема „Системи от две линейни уравнения с две променливи”

Тип урок:усвояване на нови знания

Образователна технология:развиване на критично мислене чрез четене и писане

Метод на обучение:проучване

Цели на урока:овладяват друг начин за решаване на системи от линейни уравнения с две променливи - методът на добавяне

Задачи:

• предмет: формиране на практически умения за решаване на системи от линейни уравнения чрез метода на заместване;
• метасубект: развиват мисленето, съзнателното възприемане на учебния материал;
• лични: насърчаване на познавателна активност, култура на общуване и внушаване на интерес към предмета.

В резултат на това студентът:

• Познава дефиницията на система от линейни уравнения с две променливи;
• Знае какво означава да се реши система от линейни уравнения с две променливи;
• Умее да напише система от линейни уравнения с две променливи;
• Разбира колко решения може да има система от линейни уравнения с две променливи;
• Може да определи дали дадена система има решения и ако има, колко;
• Познава алгоритъма за решаване на системи от линейни уравнения чрез заместване, алгебрично събиране и графични методи.

Проблемен въпрос:„Как да решим система от линейни уравнения с две променливи?“

Ключови въпроси:Как и защо използваме уравненията в живота?

Оборудване:презентация; мултимедиен проектор; екран; компютър, учебна тетрадка по алгебра: 7. клас: към учебника на А.Г. Мордкович и др. “Алгебра – 7” 2012г

Ресурси (откъде идва информацията по темата: книги, учебници, интернет и др.):учебник “Алгебра – 7” 2012 г., А.Г. Мордкович

Форми на организиране на учебната дейност на учениците (група, двойка-група, фронтална и др.):индивидуална, частично фронтална, частично парна баня

Критерии за оценяване:

• А – знание и разбиране +
• Б – приложение и разсъждение
• C – съобщение +
• Г – рефлексия и оценка

Области на взаимодействие:

• ATL - Умейте да използвате времето ефективно, да планирате дейностите си в съответствие с вашите цели и задачи и да определяте най-рационалната последователност от дейности. Способност да отговаря на въпроси, да аргументира, да аргументира. Умейте да анализирате и оценявате собствените си образователни и познавателни дейности, да намирате начини за решаване на проблеми.
• Студентите по HI изследват последствията от човешките дейности

По време на часовете

I. Организация на урока

II. Проверка на самоподготовката

a) № 12.2 (b, c).

Отговор: (5; 3). Отговор: (2; 3).

Отговор: (4;2)

Изразете една променлива по отношение на друга:

• p = p /(g * h) – плътност на течността
• p = g * p * h - налягане на течността на дъното на съда
• h = p /(g * p) – височина
• p = m / V - плътност
• m = V * p -маса
• p = m / V – плътност

Алгоритъм за решаване на система от две уравнения с две променливи чрез метода на заместване:

1. Изразете y чрез x от първото (или второто) уравнение на системата.
2. Заместете израза, получен в първата стъпка, вместо y във второто (първо) уравнение на системата.
3. Решете полученото във втората стъпка уравнение за x.
4. Заместете стойността x, намерена в третата стъпка, в израза y по отношение на x, получена в първата стъпка.
5. Напишете отговора като двойка стойности (x; y), които са намерени съответно в третата и четвъртата стъпка.

Самостоятелна работа:

В учебната тетрадка с. 46 – 47.

• към „3“ № 6(а);
• към “4” № 6(b);
• до "5" № 7.

III. Актуализиране на справочните знания

Какво е система от линейни уравнения с две променливи?

Система от уравнения е две или повече уравнения, за които е необходимо да се намерят всички техни общи решения.

Какво е решението на система от уравнения с две променливи?

Решение на система от две уравнения с две неизвестни е двойка числа (x,y), така че ако заместим тези числа в уравненията на системата, тогава всяко от уравненията на системата се превръща в истинско равенство.

Колко решения може да има система от линейни уравнения с две променливи?

Ако наклоните са равни, тогава линиите са успоредни и няма корени.

Ако ъгловите коефициенти не са равни, тогава линиите се пресичат, един корен (координати на пресечната точка).

Ако наклоните са равни, тогава линиите съвпадат и коренът е безкрайно голям.

IV. Учене на нов материал

Попълнете празните места: Приложение 1 (последвано от самопроверка на слайдовете)

V. Работа по темата на урока

В клас: № 13.2(a,d), 13.3(a,d).

VI. Домашна работа

Параграф 13 – учебник; речник; № 13.2(b,c), 13.3(b,c).

VII. Обобщение на урока

• Ура!!! Разбирам всичко!
• Има някои неща, върху които трябва да работя!
• Имаше неуспехи, но ще преодолея всичко!

VIII. Решаване на проблеми с военен компонент

Основен боен танк Т-80.

Приет на въоръжение през 1976 г. Първият в света сериен танк с основна силова установка, базирана на газотурбинен двигател.

Основни тактико-технически данни (ТТД):

Тегло, т – 46

Скорост, км/ч – 70

Обхват на плаване, км – 335-370

Въоръжение: 125 мм гладкоцевно оръдие (40 боеприпаса);

12,7 мм картечница (300 броя боеприпаси);

7,62-мм картечница ПКТ (боекомплект 2000 бр.)

Колко дълго танкът Т-80 може да остане в движение без презареждане?

Използването на уравнения е широко разпространено в живота ни. Те се използват в много изчисления, изграждане на конструкции и дори спорт. Човекът е използвал уравнения в древни времена и оттогава употребата им само се е увеличила. Методът на заместване ви позволява лесно да решавате системи от линейни уравнения с всякаква сложност. Същността на метода е, че използвайки първия израз на системата, ние изразяваме „y“ и след това заместваме получения израз във второто уравнение на системата вместо „y“. Тъй като уравнението вече съдържа не две неизвестни, а само едно, можем лесно да намерим стойността на тази променлива и след това да я използваме, за да определим стойността на втората.

Да предположим, че ни е дадена система от линейни уравнения със следната форма:

\[\left\(\begin(matrix) 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \end(matrix)\right.\]

нека изразим \

\[\left\(\begin(matrix) 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \end(matrix)\right.\]

Нека заместим получения израз в уравнение 2:

\[\left\(\begin(matrix) y=3x-10\\ x+4(3x-10)-12=0 \end(matrix)\right.\]

Нека намерим стойността \

Нека опростим и решим уравнението, като отворим скоби и вземем предвид правилата за прехвърляне на термини:

Сега знаем стойността \ Нека използваме това, за да намерим стойността \

Отговор: \[(4;2).\]

Къде мога да реша система от уравнения онлайн, използвайки метода на заместване?

Можете да решите системата от уравнения на нашия уебсайт. Безплатният онлайн решаващ инструмент ще ви позволи да решавате онлайн уравнения с всякаква сложност за няколко секунди. Всичко, което трябва да направите, е просто да въведете данните си в решаващия инструмент. Можете също да разберете как да решите уравнението на нашия уебсайт. И ако все още имате въпроси, можете да ги зададете в нашата група VKontakte.