การลดเศษส่วน การลดเศษส่วนหมายความว่าอย่างไร เครื่องคิดเลขออนไลน์สำหรับการลดเศษส่วนพีชคณิตพร้อมวิธีแก้ปัญหาแบบละเอียดช่วยให้คุณลดเศษส่วนและแปลงเศษส่วนเกินให้เป็นเศษส่วนที่เหมาะสม

หากเราต้องหาร 497 ด้วย 4 เมื่อหารเราจะพบว่า 497 หารด้วย 4 ไม่เท่ากัน กล่าวคือ ส่วนที่เหลือของการแบ่งยังคงอยู่ ในกรณีเช่นนี้ว่ากันว่าเสร็จสมบูรณ์แล้ว การหารด้วยเศษและวิธีแก้ปัญหาเขียนได้ดังนี้:
497: 4 = 124 (เหลือ 1 รายการ)

องค์ประกอบการหารทางด้านซ้ายของค่าเท่ากัน เรียกว่าเหมือนกับการหารโดยไม่มีเศษ: 497 - เงินปันผล, 4 - ตัวแบ่ง- ผลการหารเมื่อหารด้วยเศษจึงเรียกว่า ส่วนตัวไม่สมบูรณ์- ในกรณีของเรา นี่คือเลข 124 และสุดท้าย องค์ประกอบสุดท้ายซึ่งไม่อยู่ในการหารแบบธรรมดาก็คือ ส่วนที่เหลือ- ในกรณีที่ไม่มีเศษเหลือ ถือว่าจำนวนหนึ่งถูกหารด้วยอีกจำนวนหนึ่ง ไร้ร่องรอยหรือโดยสิ้นเชิง- เชื่อกันว่าด้วยการหารเช่นนี้ ส่วนที่เหลือจะเป็นศูนย์ ในกรณีของเรา เศษคือ 1

เศษจะน้อยกว่าตัวหารเสมอ

การหารสามารถตรวจสอบได้ด้วยการคูณ ตัวอย่างเช่น หากมีความเท่าเทียมกัน 64: 32 = 2 การตรวจสอบสามารถทำได้ดังนี้: 64 = 32 * 2

บ่อยครั้งในกรณีที่ทำการหารด้วยเศษ การใช้ความเท่าเทียมกันจะสะดวก
ก = ข * n + r
โดยที่ a คือเงินปันผล b คือตัวหาร n คือผลหารที่ไม่สมบูรณ์ r คือเศษที่เหลือ

ผลหารของจำนวนธรรมชาติสามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้

ตัวเศษของเศษส่วนคือเงินปันผล และตัวส่วนคือตัวหาร

เนื่องจากตัวเศษของเศษส่วนคือเงินปันผล และตัวส่วนคือตัวหาร เชื่อว่าเส้นเศษส่วนหมายถึงการกระทำของการหาร- บางครั้งการเขียนการหารเป็นเศษส่วนโดยไม่ต้องใช้เครื่องหมาย /// ก็สะดวก

ผลหารของการหารจำนวนธรรมชาติ m และ n สามารถเขียนเป็นเศษส่วน \(\frac(m)(n)\) โดยที่ตัวเศษ m คือเงินปันผล และตัวส่วน n คือตัวหาร:
\(ม:n = \frac(ม)(n)\)

กฎต่อไปนี้เป็นจริง:

ในการหาเศษส่วน \(\frac(m)(n)\) คุณต้องแบ่งหน่วยออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กัน (หุ้น) และนำ m ส่วนนั้นมา

หากต้องการหาเศษส่วน \(\frac(m)(n)\) คุณต้องหารตัวเลข m ด้วยจำนวน n

ในการค้นหาส่วนหนึ่งของผลรวม คุณต้องหารตัวเลขที่ตรงกับผลรวมด้วยตัวส่วนแล้วคูณผลลัพธ์ด้วยตัวเศษของเศษส่วนที่แสดงส่วนนี้

ในการค้นหาผลรวมจากส่วนของมัน คุณต้องหารตัวเลขที่ตรงกับส่วนนี้ด้วยตัวเศษ และคูณผลลัพธ์ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่แสดงส่วนนี้

หากทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนคูณด้วยจำนวนเดียวกัน (ยกเว้นศูนย์) ค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

หากทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนถูกหารด้วยจำนวนเดียวกัน (ยกเว้นศูนย์) ค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
คุณสมบัตินี้มีชื่อว่า คุณสมบัติหลักของเศษส่วน.

เรียกว่าการเปลี่ยนแปลงสองครั้งล่าสุด ลดเศษส่วน.

หากจำเป็นต้องแสดงเศษส่วนเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน การกระทำนี้จะถูกเรียก การลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม.

เศษส่วนแท้และเศษส่วนเกิน. ตัวเลขผสม

คุณรู้อยู่แล้วว่าเศษส่วนสามารถหาได้โดยการแบ่งจำนวนทั้งหมดออกเป็นส่วนเท่า ๆ กันและแยกส่วนดังกล่าวหลาย ๆ ส่วน ตัวอย่างเช่น เศษส่วน \(\frac(3)(4)\) หมายถึงสามในสี่ของหนึ่ง ในปัญหาหลายๆ ข้อในย่อหน้าก่อนหน้านี้ เศษส่วนถูกใช้เพื่อแทนส่วนของทั้งหมด สามัญสำนึกบอกว่าส่วนนั้นควรจะน้อยกว่าส่วนทั้งหมดเสมอ แต่เศษส่วนเช่น \(\frac(5)(5)\) หรือ \(\frac(8)(5)\) ล่ะ? เป็นที่ชัดเจนว่านี่ไม่ใช่ส่วนหนึ่งของหน่วยอีกต่อไป นี่อาจเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงเรียกเศษส่วนที่มีตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน เศษส่วนที่ไม่เหมาะสม- เศษส่วนที่เหลือ เช่น เศษส่วนที่มีตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วนจะถูกเรียก เศษส่วนที่ถูกต้อง.

ดังที่คุณทราบ เศษส่วนร่วมใดๆ ทั้งถูกและไม่เหมาะสมนั้นสามารถคิดได้เป็นผลจากการหารตัวเศษด้วยตัวส่วน ดังนั้น ในทางคณิตศาสตร์ คำว่า "เศษส่วนเกิน" ต่างจากภาษาทั่วไปไม่ได้หมายความว่าเราทำอะไรผิด แต่เพียงแต่ว่าตัวเศษของเศษส่วนนี้มากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วนเท่านั้น

ถ้าตัวเลขประกอบด้วยจำนวนเต็มและเศษส่วนแล้ว เศษส่วนเรียกว่าผสม.

ตัวอย่างเช่น:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 เป็นส่วนจำนวนเต็ม และ \(\frac(2)(3) \) เป็นส่วนที่เป็นเศษส่วน

ถ้าตัวเศษของเศษส่วน \(\frac(a)(b)\) หารด้วยจำนวนธรรมชาติ n ลงตัว ดังนั้นเพื่อที่จะหารเศษส่วนนี้ด้วย n ตัวเศษจะต้องหารด้วยจำนวนนี้:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

หากตัวเศษของเศษส่วน \(\frac(a)(b)\) หารด้วยจำนวนธรรมชาติ n ลงตัวไม่ได้ ดังนั้นในการหารเศษส่วนนี้ด้วย n คุณจะต้องคูณตัวส่วนด้วยจำนวนนี้:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

โปรดทราบว่ากฎข้อที่สองก็เป็นจริงเช่นกันเมื่อตัวเศษหารด้วย n ลงตัว ดังนั้นเราจึงสามารถใช้มันเมื่อเป็นเรื่องยากที่จะระบุตั้งแต่แรกเห็นว่าตัวเศษของเศษส่วนหารด้วย n ลงตัวหรือไม่

การกระทำที่มีเศษส่วน การบวกเศษส่วน

คุณสามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์ด้วยจำนวนเศษส่วนได้ เช่นเดียวกับจำนวนธรรมชาติ มาดูการบวกเศษส่วนกันก่อน การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกันเป็นเรื่องง่าย ตัวอย่างเช่น ให้เราหาผลรวมของ \(\frac(2)(7)\) และ \(\frac(3)(7)\) มันง่ายที่จะเข้าใจว่า \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

หากต้องการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณต้องบวกตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม

การใช้ตัวอักษร กฎในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกันสามารถเขียนได้ดังนี้:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

หากคุณต้องการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน จะต้องลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วมก่อน ตัวอย่างเช่น:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

สำหรับเศษส่วน สำหรับจำนวนธรรมชาติ คุณสมบัติการสับเปลี่ยนและการเชื่อมโยงของการบวกนั้นใช้ได้

การบวกเศษส่วนคละ

สัญกรณ์เช่น \(2\frac(2)(3)\) จะถูกเรียก เศษส่วนผสม- ในกรณีนี้จะเรียกว่าหมายเลข 2 ทั้งส่วนเศษส่วนผสม และจำนวน \(\frac(2)(3)\) คือค่าของมัน ส่วนที่เป็นเศษส่วน- รายการ \(2\frac(2)(3)\) อ่านได้ดังนี้: “สองและสองในสาม”

เมื่อหารเลข 8 ด้วยเลข 3 คุณจะได้คำตอบสองคำตอบ: \(\frac(8)(3)\) และ \(2\frac(2)(3)\) พวกเขาแสดงจำนวนเศษส่วนเดียวกัน นั่นคือ \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

ดังนั้น เศษส่วนเกิน \(\frac(8)(3)\) จึงแสดงเป็นเศษส่วนผสม \(2\frac(2)(3)\) ในกรณีเช่นนี้ พวกเขาบอกว่ามาจากเศษส่วนเกิน เน้นส่วนทั้งหมด.

การลบเศษส่วน (จำนวนเศษส่วน)

การลบจำนวนเศษส่วน เช่นเดียวกับจำนวนธรรมชาติ ถูกกำหนดบนพื้นฐานของการกระทำของการบวก การลบอีกจำนวนหนึ่งจากจำนวนหนึ่งหมายถึงการค้นหาจำนวนที่เมื่อบวกเข้ากับจำนวนที่สองแล้วจะได้จำนวนแรก ตัวอย่างเช่น:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) เนื่องจาก \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

กฎสำหรับการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกันจะคล้ายกับกฎสำหรับการบวกเศษส่วนดังนี้:
หากต้องการค้นหาความแตกต่างระหว่างเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณต้องลบตัวเศษของวินาทีออกจากตัวเศษของเศษส่วนแรก และปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม

การใช้ตัวอักษรกฎนี้เขียนดังนี้:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

การคูณเศษส่วน

ในการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณทั้งเศษและส่วนแล้วเขียนผลคูณแรกเป็นตัวเศษ และตัวที่สองเป็นตัวส่วน

การใช้ตัวอักษร กฎการคูณเศษส่วนสามารถเขียนได้ดังนี้:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

เมื่อใช้กฎที่กำหนด คุณสามารถคูณเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ ด้วยเศษส่วนคละ และยังคูณเศษส่วนคละได้ด้วย ในการทำเช่นนี้ คุณต้องเขียนจำนวนธรรมชาติเป็นเศษส่วนโดยมีตัวส่วนเป็น 1 ซึ่งเป็นเศษส่วนคละ - เป็นเศษส่วนเกิน

ผลลัพธ์ของการคูณควรทำให้ง่ายขึ้น (ถ้าเป็นไปได้) โดยการลดเศษส่วนและแยกส่วนของเศษส่วนเกินออกทั้งหมด

สำหรับเศษส่วน สำหรับจำนวนธรรมชาติ สมบัติการสับเปลี่ยนและการรวมกันของการคูณนั้นใช้ได้ เช่นเดียวกับสมบัติการแจกแจงของการคูณที่สัมพันธ์กับการบวก

การหารเศษส่วน

ลองใช้เศษส่วน \(\frac(2)(3)\) แล้ว "พลิก" โดยสลับตัวเศษและส่วน เราได้เศษส่วน \(\frac(3)(2)\) เศษส่วนนี้เรียกว่า ย้อนกลับเศษส่วน \(\frac(2)(3)\)

ถ้าเรา "ย้อนกลับ" เศษส่วน \(\frac(3)(2)\) เราจะได้เศษส่วนเดิม \(\frac(2)(3)\) ดังนั้น เศษส่วนเช่น \(\frac(2)(3)\) และ \(\frac(3)(2)\) จึงถูกเรียกว่า ผกผันซึ่งกันและกัน.

ตัวอย่างเช่น เศษส่วน \(\frac(6)(5) \) และ \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) และ \(\frac (18) )(7)\)

การใช้ตัวอักษร เศษส่วนกลับสามารถเขียนได้ดังนี้: \(\frac(a)(b) \) และ \(\frac(b)(a) \)

เป็นที่ชัดเจนว่า ผลคูณของเศษส่วนกลับเท่ากับ 1- ตัวอย่างเช่น: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

การใช้เศษส่วนกลับทำให้คุณสามารถลดการหารเศษส่วนเป็นการคูณได้

กฎสำหรับการหารเศษส่วนด้วยเศษส่วนคือ:
หากต้องการหารเศษส่วนหนึ่งด้วยอีกเศษส่วนหนึ่ง คุณต้องคูณเงินปันผลด้วยส่วนกลับของตัวหาร

การใช้ตัวอักษร กฎการหารเศษส่วนสามารถเขียนได้ดังนี้:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

ถ้าเงินปันผลหรือตัวหารเป็นจำนวนธรรมชาติหรือเศษส่วนคละ ในการใช้กฎการหารเศษส่วนนั้น จะต้องแสดงเป็นเศษส่วนเกินก่อน

บทความนี้ยังคงพูดถึงการแปลงเศษส่วนพีชคณิต: พิจารณาการกระทำเช่นการลดเศษส่วนพีชคณิต มานิยามคำศัพท์กัน กำหนดกฎการลด และวิเคราะห์ตัวอย่างเชิงปฏิบัติ

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

ความหมายของการลดเศษส่วนพีชคณิต

ในวัสดุเกี่ยวกับเศษส่วนร่วม เราดูที่การลดลง เรากำหนดให้การลดเศษส่วนเป็นการหารทั้งเศษและส่วนด้วยตัวประกอบร่วม

การลดเศษส่วนพีชคณิตก็มีการดำเนินการที่คล้ายกัน

คำจำกัดความ 1

การลดเศษส่วนพีชคณิตคือการหารทั้งเศษและส่วนด้วยตัวประกอบร่วม ในกรณีนี้ ตรงกันข้ามกับการลดเศษส่วนสามัญ (ตัวส่วนร่วมสามารถเป็นตัวเลขได้เท่านั้น) ตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตสามารถเป็นพหุนามได้ โดยเฉพาะ monomial หรือตัวเลข

ตัวอย่างเช่น เศษส่วนพีชคณิต 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 สามารถลดลงได้ด้วยจำนวน 3 ผลลัพธ์คือ: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2. เราสามารถลดเศษส่วนเดียวกันได้ด้วยตัวแปร x และจะได้นิพจน์ 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 นอกจากนี้ยังสามารถลดเศษส่วนที่กำหนดด้วย monomial ได้อีกด้วย 3 ครั้งหรือพหุนามใดๆ x + 2 ปี, 3 x + 6 ปี , x 2 + 2 xy หรือ 3 x 2 + 6 x ย.

เป้าหมายสูงสุดของการลดเศษส่วนพีชคณิตคือเศษส่วนในรูปแบบที่ง่ายกว่า และดีที่สุดคือเศษส่วนที่ลดไม่ได้

เศษส่วนพีชคณิตทั้งหมดมีการลดลงหรือไม่?

อีกครั้ง จากวัสดุที่มีเศษส่วนธรรมดา เรารู้ว่ามีเศษส่วนที่ลดได้และลดไม่ได้ เศษส่วนที่ลดไม่ได้คือเศษส่วนที่ไม่มีตัวเศษและตัวส่วนร่วมนอกจาก 1

เศษส่วนพีชคณิตก็เช่นเดียวกัน: พวกมันอาจมีตัวประกอบในตัวเศษและตัวส่วนร่วมหรืออาจมีตัวประกอบร่วมกันก็ได้ การมีตัวประกอบร่วมทำให้เศษส่วนดั้งเดิมลดรูปลงได้ เมื่อไม่มีปัจจัยร่วมกัน จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะปรับเศษส่วนที่กำหนดให้เหมาะสมโดยใช้วิธีการลดขนาด

ในกรณีทั่วไป เมื่อพิจารณาจากประเภทของเศษส่วนแล้ว ค่อนข้างยากที่จะเข้าใจว่าสามารถลดขนาดลงได้หรือไม่ แน่นอน ในบางกรณี การมีอยู่ของตัวประกอบร่วมระหว่างตัวเศษและตัวส่วนนั้นชัดเจน ตัวอย่างเช่น ในเศษส่วนพีชคณิต 3 x 2 3 y ค่อนข้างชัดเจนว่าตัวประกอบร่วมคือเลข 3

ในเศษส่วน - x · y 5 · x · y · z 3 เราก็เข้าใจทันทีว่าสามารถลดลงได้ด้วย x หรือ y หรือ x · y และบ่อยครั้งที่มีตัวอย่างเศษส่วนพีชคณิตอยู่บ่อยครั้ง เมื่อตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนนั้นมองเห็นได้ไม่ง่ายนัก และบ่อยครั้งที่ตัวประกอบขาดไป

ตัวอย่างเช่น เราสามารถลดเศษส่วน x 3 - 1 x 2 - 1 ด้วย x - 1 ในขณะที่ไม่มีตัวประกอบร่วมที่ระบุในรายการ แต่เศษส่วน x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 ไม่สามารถลดได้ เนื่องจากตัวเศษและตัวส่วนไม่มีตัวประกอบร่วมกัน

ดังนั้น คำถามในการกำหนดความสามารถในการลดของเศษส่วนพีชคณิตจึงไม่ใช่เรื่องง่าย และมักจะทำงานกับเศษส่วนของรูปแบบที่กำหนดได้ง่ายกว่าการพยายามค้นหาว่าสามารถลดได้หรือไม่ ในกรณีนี้ การแปลงดังกล่าวเกิดขึ้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งทำให้สามารถระบุตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนได้ หรือหาข้อสรุปเกี่ยวกับการลดไม่ได้ของเศษส่วน เราจะตรวจสอบปัญหานี้โดยละเอียดในย่อหน้าถัดไปของบทความ

กฎสำหรับการลดเศษส่วนพีชคณิต

กฎสำหรับการลดเศษส่วนพีชคณิตประกอบด้วยการดำเนินการตามลำดับสองรายการ:

• การหาตัวประกอบร่วมของทั้งเศษและส่วน
• หากพบจะดำเนินการลดเศษส่วนโดยตรง

วิธีที่สะดวกที่สุดในการหาตัวส่วนร่วมคือการแยกตัวประกอบพหุนามที่อยู่ในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตที่กำหนด สิ่งนี้ช่วยให้คุณเห็นได้ชัดเจนทันทีว่ามีปัจจัยร่วมหรือไม่

การดำเนินการลดเศษส่วนพีชคณิตนั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติหลักของเศษส่วนพีชคณิต ซึ่งแสดงด้วยความเท่าเทียมกันที่ไม่ได้กำหนด โดยที่ a, b, c เป็นพหุนามบางส่วน และ b และ c ไม่ใช่ศูนย์ ขั้นตอนแรกคือการลดเศษส่วนให้อยู่ในรูปแบบ a · c b · c ซึ่งเราจะสังเกตเห็นปัจจัยร่วม c ทันที ขั้นตอนที่สองคือการลดขนาด เช่น เปลี่ยนเป็นเศษส่วนของรูปแบบ a b

ตัวอย่างทั่วไป

แม้จะมีความชัดเจนอยู่บ้าง ขอให้เราชี้แจงกรณีพิเศษเมื่อตัวเศษและส่วนของเศษส่วนพีชคณิตเท่ากัน เศษส่วนที่คล้ายกันจะเท่ากับ 1 ใน ODZ ทั้งหมดของตัวแปรของเศษส่วนนี้:

5 5 = 1 ; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · ปี 1 2 · x - x 2 · ปี ;

เนื่องจากเศษส่วนธรรมดาเป็นกรณีพิเศษของเศษส่วนพีชคณิต เรามาดูกันว่าเศษส่วนเหล่านี้ลดลงอย่างไร จำนวนธรรมชาติที่เขียนด้วยตัวเศษและส่วนจะถูกแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะแล้วตัวประกอบร่วมจะถูกยกเลิก (ถ้ามี)

เช่น 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

ผลคูณของตัวประกอบที่เหมือนกันอย่างง่ายสามารถเขียนเป็นกำลังได้ และในกระบวนการลดเศษส่วน ให้ใช้คุณสมบัติของการหารยกกำลังด้วยฐานที่เหมือนกัน จากนั้นวิธีแก้ปัญหาข้างต้นจะเป็น:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(ตัวเศษและส่วนหารด้วยตัวประกอบร่วม 2 2 3- หรือเพื่อความชัดเจน โดยพิจารณาจากคุณสมบัติของการคูณและการหาร เราจะให้คำตอบในรูปแบบต่อไปนี้:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

โดยการเปรียบเทียบ การลดเศษส่วนพีชคณิตจะดำเนินการโดยที่ตัวเศษและส่วนมี monomials ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

ตัวอย่างที่ 1

เศษส่วนพีชคณิตจะได้รับ - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z มันจำเป็นต้องลดลง

สารละลาย

เป็นไปได้ที่จะเขียนเศษและส่วนของเศษส่วนที่กำหนดเป็นผลคูณของตัวประกอบและตัวแปรอย่างง่าย จากนั้นจึงดำเนินการลด:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · ก · ก · ข · ข · ค · ค · ค · ค · ค · ค · ค · z = = - 3 · 3 · ก · ก · ก 2 · ค · ค · ค · ค · ค · ค = - 9 ก 3 2 ค 6

อย่างไรก็ตาม วิธีที่มีเหตุผลมากกว่าคือเขียนคำตอบเป็นนิพจน์ที่มีพลัง:

27 · ก 5 · ข 2 · ค · z 6 · ก 2 · ข 2 · ค 7 · z = - 3 3 · ก 5 · ข 2 · ค · z 2 · 3 · ก 2 · ข 2 · ค 7 · ซี = - 3 3 2 · 3 · ก 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · ก 5 - 2 1 · 1 · 1 ค 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · ก 3 2 · ค 6 = · - 9 · ก 3 2 · ค 6 .

คำตอบ:- 27 ก 5 ข 2 ค z 6 ก 2 ข 2 ค 7 z = - 9 ก 3 2 ค 6

เมื่อตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตมีค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขที่เป็นเศษส่วน จะมีวิธีดำเนินการต่อไปได้สองวิธี: หารค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนเหล่านี้แยกกัน หรือกำจัดค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนออกก่อนด้วยการคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติบางตัว การแปลงครั้งสุดท้ายเกิดขึ้นเนื่องจากคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนพีชคณิต (คุณสามารถอ่านเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ในบทความ "การลดเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นตัวส่วนใหม่")

ตัวอย่างที่ 2

เศษส่วนที่กำหนดคือ 2 5 x 0, 3 x 3 มันจำเป็นต้องลดลง

สารละลาย

เป็นไปได้ที่จะลดเศษส่วนด้วยวิธีนี้:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

เรามาลองแก้ปัญหาให้แตกต่างออกไป โดยกำจัดสัมประสิทธิ์เศษส่วนออกไปก่อน - คูณตัวเศษและส่วนด้วยตัวคูณร่วมน้อยของตัวส่วนของสัมประสิทธิ์เหล่านี้ เช่น บน LCM (5, 10) = 10 จากนั้นเราจะได้รับ:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2

คำตอบ: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

เมื่อเราลดเศษส่วนพีชคณิตทั่วไป ซึ่งตัวเศษและส่วนสามารถเป็นได้ทั้ง monomials หรือพหุนาม ก็อาจเกิดปัญหาที่ตัวประกอบร่วมไม่สามารถมองเห็นได้ในทันทีเสมอไป หรือยิ่งกว่านั้น มันก็ไม่มีอยู่จริง จากนั้น เพื่อกำหนดปัจจัยร่วมหรือบันทึกข้อเท็จจริงของการไม่มีอยู่ ตัวเศษและส่วนของเศษส่วนพีชคณิตจะถูกแยกตัวประกอบ

ตัวอย่างที่ 3

ให้เศษส่วนตรรกยะ 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 มันจำเป็นต้องลดลง

สารละลาย

ลองแยกตัวประกอบพหุนามในตัวเศษและส่วน. เอามันออกจากวงเล็บ:

2 ก 2 ข 2 + 28 ก ข 2 + 98 ข 2 ก 2 ข 3 - 49 ข 3 = 2 ข 2 (ก 2 + 14 ก + 49) ข 3 (ก 2 - 49)

เราเห็นว่านิพจน์ในวงเล็บสามารถแปลงได้โดยใช้สูตรการคูณแบบย่อ:

2 b 2 (ก 2 + 14 ก + 49) ข 3 (ก 2 - 49) = 2 ข 2 (ก + 7) 2 ข 3 (ก - 7) (ก + 7)

เห็นได้ชัดว่ามีความเป็นไปได้ที่จะลดเศษส่วนด้วยตัวประกอบร่วม ข 2 (ก + 7)- มาทำการลดกันเถอะ:

2 ข 2 (ก + 7) 2 ข 3 (ก - 7) (ก + 7) = 2 (ก + 7) ข (ก - 7) = 2 ก + 14 ก ข - 7 ข

ให้เราเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ โดยไม่มีคำอธิบายว่าเป็นลูกโซ่แห่งความเท่าเทียมกัน:

2 ก 2 ข 2 + 28 ก ข 2 + 98 ข 2 ก 2 ข 3 - 49 ข 3 = 2 ข 2 (ก 2 + 14 ก + 49) ข 3 (ก 2 - 49) = = 2 ข 2 (ก + 7) 2 ข 3 (ก - 7) (ก + 7) = 2 (ก + 7) ข (ก - 7) = 2 ก + 14 ก - 7 ข

คำตอบ: 2 ก 2 ข 2 + 28 ก ข 2 + 98 ข 2 ก 2 ข 3 - 49 ข 3 = 2 ก + 14 ก ข - 7 ข

มันเกิดขึ้นที่ปัจจัยทั่วไปถูกซ่อนไว้ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข จากนั้น เมื่อลดเศษส่วน จะเป็นการดีที่สุดที่จะนำตัวประกอบที่เป็นตัวเลขที่มีกำลังสูงกว่าของตัวเศษและตัวส่วนออกจากวงเล็บ

ตัวอย่างที่ 4

ให้เศษส่วนพีชคณิต 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 จำเป็นต้องลดถ้าเป็นไปได้

สารละลาย

เมื่อมองแวบแรก ตัวเศษและส่วนไม่มีตัวส่วนร่วมกัน อย่างไรก็ตาม เรามาลองแปลงเศษส่วนที่กำหนดกัน ลองหาตัวประกอบ x ในตัวเศษออกมา:

1 5 x - 2 7 x 3 ปี 5 x 2 ปี - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 ปี 5 x 2 ปี - 3 1 2

ตอนนี้คุณสามารถเห็นความคล้ายคลึงกันระหว่างนิพจน์ในวงเล็บและนิพจน์ในตัวส่วนเนื่องจาก x 2 y . ให้เราหาค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขของกำลังที่สูงกว่าของพหุนามเหล่านี้:

x 1 5 - 2 7 x 2 ปี 5 x 2 ปี - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 ปี 5 x 2 ปี - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 ปี 5 x 2 ปี - 7 10

ตอนนี้มองเห็นปัจจัยร่วมได้แล้ว เราจะดำเนินการลด:

2 7 x - 7 10 + x 2 ปี 5 x 2 ปี - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

คำตอบ: 1 5 x - 2 7 x 3 ปี 5 x 2 ปี - 3 1 2 = - 2 35 x .

ให้เราเน้นย้ำว่าทักษะในการลดเศษส่วนที่เป็นตรรกยะนั้นขึ้นอยู่กับความสามารถในการแยกตัวประกอบพหุนาม

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

การเรียนพีชคณิตในโรงเรียนเป็นเรื่องยากมากโดยไม่รู้ว่าจะลดเศษส่วนและมีทักษะที่มั่นคงในการแก้ตัวอย่างดังกล่าวได้อย่างไร ยิ่งคุณไปไกลเท่าไร ข้อมูลใหม่ ๆ ก็จะถูกซ้อนทับกับความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับการลดเศษส่วนสามัญมากขึ้นเท่านั้น ประการแรก กำลังปรากฏ จากนั้นตัวประกอบ ซึ่งต่อมากลายเป็นพหุนาม

คุณจะหลีกเลี่ยงความสับสนที่นี่ได้อย่างไร? รวบรวมทักษะในหัวข้อก่อนหน้าอย่างละเอียด และค่อยๆ เตรียมความรู้เกี่ยวกับวิธีลดเศษส่วนซึ่งมีความซับซ้อนมากขึ้นทุกปี

ความรู้พื้นฐาน

หากไม่มีพวกเขาคุณจะไม่สามารถรับมือกับงานในทุกระดับได้ เพื่อให้เข้าใจ คุณต้องเข้าใจสองประเด็นง่ายๆ ประการแรก: คุณสามารถลดปัจจัยได้เท่านั้น ความแตกต่างนี้มีความสำคัญมากเมื่อพหุนามปรากฏในตัวเศษหรือตัวส่วน จากนั้นคุณจะต้องแยกแยะให้ชัดเจนว่าตัวคูณอยู่ที่ไหนและตัวบวกอยู่ที่ไหน

ประเด็นที่สองบอกว่าจำนวนใดๆ สามารถแสดงในรูปของตัวประกอบได้ นอกจากนี้ผลลัพธ์ของการลดลงคือเศษส่วนที่ตัวเศษและส่วนไม่สามารถลดได้อีกต่อไป

กฎเกณฑ์ในการลดเศษส่วนร่วม

ขั้นแรก คุณควรตรวจสอบว่าตัวเศษหารด้วยตัวส่วนลงตัวหรือในทางกลับกัน ถ้าอย่างนั้นก็ต้องลดจำนวนนี้ลง นี่เป็นตัวเลือกที่ง่ายที่สุด

ประการที่สองคือการวิเคราะห์ รูปร่างตัวเลข หากทั้งคู่ลงท้ายด้วยศูนย์ตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป ก็สามารถย่อให้สั้นลงได้ 10, 100 หรือหนึ่งพัน ที่นี่คุณสามารถสังเกตได้ว่าตัวเลขเป็นเลขคู่หรือไม่ ถ้าใช่ คุณก็ตัดมันออกเป็นสองส่วนได้อย่างปลอดภัย

กฎข้อที่สามในการลดเศษส่วนคือการแยกตัวเศษและส่วนให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ ในเวลานี้ คุณต้องใช้ความรู้ทั้งหมดของคุณเกี่ยวกับเครื่องหมายหารตัวเลขอย่างแข็งขัน หลังจากการสลายตัวนี้ สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือการค้นหาสิ่งที่ซ้ำกันทั้งหมด คูณพวกมันและลดจำนวนลงด้วยจำนวนผลลัพธ์

จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามีนิพจน์พีชคณิตเป็นเศษส่วน?

นี่คือจุดที่ปัญหาแรกปรากฏขึ้น เพราะนี่คือที่ที่เงื่อนไขปรากฏซึ่งสามารถเหมือนกันกับปัจจัยได้ ฉันอยากจะลดมันลงจริงๆ แต่ก็ทำไม่ได้ ก่อนที่คุณจะสามารถลดเศษส่วนพีชคณิตได้ จะต้องแปลงเศษส่วนนั้นเพื่อให้มีตัวประกอบเสียก่อน

ในการดำเนินการนี้ คุณจะต้องดำเนินการหลายขั้นตอน คุณอาจต้องผ่านทั้งหมดหรือบางทีอันแรกอาจมีตัวเลือกที่เหมาะสม

ตรวจสอบว่าตัวเศษและส่วนหรือนิพจน์ใดๆ ในนั้นแตกต่างกันตามเครื่องหมายหรือไม่ ในกรณีนี้ คุณเพียงแค่ต้องใส่ลบหนึ่งออกจากวงเล็บ สิ่งนี้ทำให้เกิดปัจจัยเท่ากันที่สามารถลดลงได้

ดูว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะเอาตัวประกอบร่วมออกจากพหุนามออกจากวงเล็บ บางทีนี่อาจส่งผลให้เกิดวงเล็บซึ่งสามารถย่อให้สั้นลงได้หรืออาจเป็น monomial ที่ถูกลบออก

พยายามจัดกลุ่ม monomials เพื่อเพิ่มปัจจัยร่วมเข้าไป หลังจากนี้ปรากฎว่าจะมีปัจจัยที่สามารถลดลงได้หรือจะมีการทำซ้ำการถ่ายคร่อมองค์ประกอบทั่วไปอีกครั้ง

ลองพิจารณาสูตรคูณแบบย่อเป็นลายลักษณ์อักษร ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา คุณสามารถแปลงพหุนามให้เป็นตัวประกอบได้อย่างง่ายดาย

ลำดับการดำเนินการที่มีเศษส่วนมีอำนาจ

เพื่อให้เข้าใจคำถามของวิธีลดเศษส่วนด้วยกำลังได้อย่างง่ายดายคุณต้องจำการดำเนินการพื้นฐานไว้อย่างแน่นหนา ประการแรกเกี่ยวข้องกับการคูณอำนาจ ในกรณีนี้ หากฐานเหมือนกัน จะต้องเพิ่มตัวบ่งชี้เข้าไป

ประการที่สองคือการแบ่งแยก ขอย้ำอีกครั้งว่าสำหรับผู้ที่มีเหตุผลเดียวกัน จะต้องลบตัวบ่งชี้ออก ยิ่งกว่านั้น คุณต้องลบออกจากจำนวนที่อยู่ในเงินปันผล ไม่ใช่ในทางกลับกัน

ประการที่สามคือการยกกำลัง ในสถานการณ์เช่นนี้ ตัวชี้วัดจะถูกคูณกัน

การลดลงที่ประสบความสำเร็จจะต้องอาศัยความสามารถในการลดพลังให้เป็นฐานที่เท่ากัน นั่นคือจะเห็นว่าสี่เป็นสองกำลังสอง หรือ 27 - ลูกบาศก์ของสาม เพราะการลด 9 กำลังสอง และ 3 ลูกบาศก์เป็นเรื่องยาก แต่ถ้าเราแปลงนิพจน์แรกเป็น (3 2) 2 การลดจะสำเร็จ

มาทำความเข้าใจว่าการลดเศษส่วนคืออะไร ทำไมจึงลดเศษส่วนได้อย่างไร และให้กฎในการลดเศษส่วนและตัวอย่างการใช้งาน

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

“การลดเศษส่วน” คืออะไร

การลดเศษส่วนคือการหารทั้งเศษและส่วนด้วยตัวประกอบร่วมที่เป็นบวกและแตกต่างจากเศษส่วน

จากผลของการกระทำนี้ จะได้เศษส่วนที่มีทั้งเศษและส่วนใหม่เท่ากับเศษส่วนเดิม

ตัวอย่างเช่น ลองหาเศษส่วนร่วม 6 24 แล้วลดมันลง หารทั้งเศษและส่วนด้วย 2 จะได้ 6 24 = 6 ۞ 2 24 ۞ 2 = 3 12. ในตัวอย่างนี้ เราลดเศษส่วนเดิมลง 2

การลดเศษส่วนให้อยู่ในรูปลดไม่ได้

ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราลดเศษส่วน 6 24 ด้วย 2 ทำให้ได้เศษส่วน 3 12 เห็นได้ง่ายว่าเศษส่วนนี้สามารถลดลงได้อีก โดยปกติแล้ว เป้าหมายของการลดเศษส่วนคือการได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ จะลดเศษส่วนให้อยู่ในรูปแบบที่ลดไม่ได้ได้อย่างไร?

ซึ่งสามารถทำได้โดยการลดตัวเศษและส่วนด้วยตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (GCD) จากนั้น ด้วยคุณสมบัติของตัวหารร่วมมาก ตัวเศษและส่วนจะมีจำนวนเฉพาะร่วมกัน และเศษส่วนจะลดไม่ได้

a b = a ۞ N O D (a , b) b ۞ N O D (a , b)

การลดเศษส่วนให้เหลือรูปแบบที่ลดไม่ได้

ในการลดเศษส่วนให้เหลือรูปแบบที่ลดไม่ได้ คุณต้องหารทั้งเศษและส่วนด้วย gcd

ลองกลับไปสู่เศษส่วน 6 24 จากตัวอย่างแรกและทำให้มันอยู่ในรูปแบบที่ลดไม่ได้ ตัวหารร่วมมากของตัวเลข 6 และ 24 คือ 6 มาลดเศษส่วนกัน:

6 24 = 6 ۞ 6 24 ۞ 6 = 1 4

การลดเศษส่วนนั้นสะดวกในการใช้งานเพื่อไม่ให้ทำงานกับตัวเลขจำนวนมาก โดยทั่วไปแล้ว มีกฎที่ไม่ได้พูดในทางคณิตศาสตร์: หากคุณสามารถทำให้นิพจน์ใดๆ ง่ายขึ้นได้ คุณก็ต้องทำสิ่งนั้น การลดเศษส่วนส่วนใหญ่มักหมายถึงการลดให้เหลือรูปแบบที่ลดไม่ได้ และไม่ใช่แค่การลดเศษส่วนด้วยตัวหารร่วมของตัวเศษและตัวส่วนเท่านั้น

กฎสำหรับการลดเศษส่วน

หากต้องการลดเศษส่วน เพียงจำกฎซึ่งประกอบด้วยสองขั้นตอน

กฎสำหรับการลดเศษส่วน

เพื่อลดเศษส่วนคุณต้องมี:

1. ค้นหา gcd ของทั้งเศษและส่วน
2. หารทั้งเศษและส่วนด้วย gcd

ลองดูตัวอย่างที่เป็นประโยชน์

ตัวอย่างที่ 1 ลองลดเศษส่วนกัน

เมื่อพิจารณาเศษส่วน 182 195 มาย่อให้สั้นลง

ลองหา gcd ของทั้งเศษและส่วน. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ในกรณีนี้ จะสะดวกที่สุดในการใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 ไม่มี OD (182, 195) = 13

หารทั้งเศษและส่วนด้วย 13. เราได้รับ:

182 195 = 182 ۞ 13 195 ۞ 13 = 14 15

พร้อม. เราได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ซึ่งเท่ากับเศษส่วนเดิม

คุณจะลดเศษส่วนได้อย่างไร? ในบางกรณี จะสะดวกในการแยกตัวเศษและส่วนให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ แล้วเอาตัวประกอบร่วมทั้งหมดออกจากส่วนบนและส่วนล่างของเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 2 ลดเศษส่วน

เมื่อพิจารณาเศษส่วน 360 2940 มาย่อให้สั้นลง

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้จินตนาการถึงเศษส่วนดั้งเดิมในรูปแบบ:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7

กำจัดตัวประกอบร่วมทั้งตัวเศษและตัวส่วนออกไป ผลลัพธ์ที่ได้คือ:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

สุดท้าย เรามาดูวิธีอื่นในการลดเศษส่วนกัน นี่คือสิ่งที่เรียกว่าการลดตามลำดับ เมื่อใช้วิธีนี้ การลดลงจะดำเนินการในหลายขั้นตอน โดยในแต่ละขั้นตอนนั้นเศษส่วนจะลดลงตามปัจจัยทั่วไปบางอย่างที่ชัดเจน

ตัวอย่างที่ 3 ลดเศษส่วน

มาลดเศษส่วนกัน 2000 4400.

เห็นได้ชัดเจนว่าทั้งเศษและส่วนมีตัวประกอบร่วมกันคือ 100. เราลดเศษส่วนลง 100 และรับ:

2000 4400 = 2000 ۞ 100 4400 ۞ 100 = 20 44

20 44 = 20 ۞ 2 44 ۞ 2 = 10 22

เราลดผลลัพธ์ผลลัพธ์อีกครั้ง 2 และรับเศษส่วนที่ลดไม่ได้:

10 22 = 10 ۞ 2 22 ۞ 2 = 5 11

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

เพื่อให้เข้าใจถึงวิธีลดเศษส่วน เรามาลองดูตัวอย่างกันก่อน

การลดเศษส่วนหมายถึงการหารทั้งเศษและส่วนด้วยสิ่งเดียวกัน ทั้ง 360 และ 420 ลงท้ายด้วยตัวเลข เราจึงสามารถลดเศษส่วนนี้ลง 2 ได้ ในเศษส่วนใหม่ ทั้ง 180 และ 210 ก็หารด้วย 2 ลงตัวเช่นกัน ดังนั้นเราจึงลดเศษส่วนนี้ลง 2 ในตัวเลข 90 และ 105 ผลรวม ของหลักหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น ตัวเลขทั้งสองนี้หารด้วย 3 ลงตัว เราจึงลดเศษส่วนด้วย 3 ในเศษส่วนใหม่ 30 และ 35 ลงท้ายด้วย 0 และ 5 ซึ่งหมายความว่าตัวเลขทั้งสองหารด้วย 5 ลงตัว เราจึงลด เศษส่วนคูณ 5 ผลลัพธ์เศษส่วนของหกในเจ็ดจะลดไม่ได้ นี่คือคำตอบสุดท้าย

เราสามารถได้คำตอบเดียวกันด้วยวิธีที่ต่างออกไป

ทั้ง 360 และ 420 ลงท้ายด้วย 0 ซึ่งหมายความว่าหารด้วย 10 ลงตัว เราลดเศษส่วนด้วย 10 ในเศษส่วนใหม่ ทั้งตัวเศษ 36 และตัวส่วน 42 หารด้วย 2 เราลดเศษส่วนด้วย 2 ใน เศษส่วนถัดไปทั้งเศษ 18 และส่วน 21 หารด้วย 3 ซึ่งหมายความว่าเราลดเศษส่วนลง 3 เรามาถึงผลลัพธ์ - หกในเจ็ด

และอีกหนึ่งวิธีแก้ปัญหา

คราวหน้าเราจะมาดูตัวอย่างการลดเศษส่วนกัน