มุมผสมมีค่าเท่ากัน มุมที่อยู่ติดกันและมุมแนวตั้ง

มุมที่ด้านหนึ่งเป็นมุมร่วม และอีกด้านอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (ในรูป มุมที่ 1 และ 2 อยู่ติดกัน) ข้าว. ถึงศิลปะ มุมที่อยู่ติดกัน... สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต

มุมที่อยู่ติดกัน- มุมที่มีจุดยอดร่วมและมีด้านร่วมและมีด้านอีกสองมุมอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน... สารานุกรมโพลีเทคนิคขนาดใหญ่

ดูมุม... พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

มุมที่อยู่ติดกัน คือ มุมสองมุมที่ผลรวมเป็น 180° แต่ละมุมจะเสริมมุมอื่นให้เต็ม... พจนานุกรมสารานุกรมวิทยาศาสตร์และเทคนิค

ดูมุม * * * มุมที่อยู่ติดกัน มุมที่อยู่ติดกัน ดูมุม (ดูมุม) ... พจนานุกรมสารานุกรม

- (มุมที่อยู่ติดกัน) ผู้ที่มีจุดยอดร่วมและด้านร่วม ส่วนใหญ่ชื่อนี้หมายถึงมุม C. ซึ่งอีกสองด้านอยู่ในทิศทางตรงกันข้ามกับเส้นตรงเส้นหนึ่งที่ลากผ่านจุดยอด ... พจนานุกรมสารานุกรม F.A. บร็อคเฮาส์ และ ไอ.เอ. เอฟรอน

ดูมุม... วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ. พจนานุกรมสารานุกรม

เส้นตรงสองเส้นตัดกันเพื่อสร้างมุมแนวตั้งคู่กัน คู่หนึ่งประกอบด้วยมุม A และ B อีกมุมของ C และ D ในเรขาคณิต มุมสองมุมจะเรียกว่าแนวตั้งหากถูกสร้างขึ้นโดยจุดตัดของสองมุม ... Wikipedia

มุมคู่เสริมที่เสริมซึ่งกันและกันจนถึง 90 องศา ถ้ามุมคู่ตรงข้ามสองมุมอยู่ติดกัน (เช่น มุมทั้งสองมีจุดยอดร่วมและแยกจากกันเท่านั้น... ... วิกิพีเดีย

มุมเสริมคู่หนึ่งที่เสริมซึ่งกันและกันจนถึงมุม 90 องศา มุมเสริมคือมุมคู่ที่เสริมซึ่งกันและกันจนถึง 90 องศา ถ้ามุมคู่ตรงข้ามสองมุมอยู่กับ... วิกิพีเดีย

หนังสือ

• เกี่ยวกับการพิสูจน์ทางเรขาคณิต A.I. Fetisov หนังสือเล่มนี้จะผลิตตามคำสั่งซื้อของคุณโดยใช้เทคโนโลยีการพิมพ์ตามต้องการ วันหนึ่ง เมื่อต้นปีการศึกษา ฉันได้ยินบทสนทนาระหว่างเด็กผู้หญิงสองคน ลูกคนโตของพวกเขา...
• สมุดบันทึกที่ครอบคลุมสำหรับการควบคุมความรู้ เรขาคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 มาตรฐานการศึกษาของรัฐบาลกลาง, Babenko Svetlana Pavlovna, Markova Irina Sergeevna คู่มือนี้นำเสนอวัสดุควบคุมและการวัด (CMM) ในเรขาคณิตสำหรับดำเนินการควบคุมคุณภาพความรู้ในปัจจุบัน เนื้อหาเฉพาะเรื่อง และขั้นสุดท้ายของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เนื้อหาของคู่มือ...

มุมประชิดคืออะไร

มุมเป็นรูปทรงเรขาคณิต (รูปที่ 1) ซึ่งเกิดจากรังสีสองดวง OA และ OB (ด้านข้างของมุม) ซึ่งเล็ดลอดออกมาจากจุดหนึ่ง O (จุดยอดของมุม)

มุมที่อยู่ติดกัน- มุมสองมุมที่ผลรวมเป็น 180° แต่ละมุมเหล่านี้จะเสริมมุมอื่นให้เต็มมุม

มุมที่อยู่ติดกัน- (Agles adjacets) พวกที่มียอดร่วมกันและด้านร่วม ส่วนใหญ่ชื่อนี้หมายถึงมุมที่ด้านทั้งสองที่เหลืออยู่ในทิศทางตรงกันข้ามกับเส้นตรงเส้นหนึ่งที่ลากผ่าน

มุมสองมุมจะเรียกว่าอยู่ติดกันหากมีด้านหนึ่งเหมือนกัน และอีกด้านของมุมเหล่านี้จะเป็นเส้นครึ่งเสี้ยวคู่ขนานกัน

ข้าว. 2

ในรูปที่ 2 มุม a1b และ a2b อยู่ติดกัน พวกมันมีด้าน b ร่วมกัน และด้าน a1, a2 เป็นเส้นครึ่งเส้นเพิ่มเติม

ข้าว. 3

รูปที่ 3 แสดงเส้นตรง AB จุด C อยู่ระหว่างจุด A และ B จุด D คือจุดที่ไม่วางอยู่บน AB เส้นตรง ปรากฎว่ามุม BCD และ ACD อยู่ประชิดกัน มีแผ่นซีดีด้านร่วม และด้าน CA และ CB เป็นเส้นตรงเพิ่มเติมอีกครึ่งเส้นของ AB เนื่องจากจุด A, B ถูกคั่นด้วยจุดเริ่มต้น C

ทฤษฎีบทมุมที่อยู่ติดกัน

ทฤษฎีบท:ผลรวมของมุมประชิดคือ 180°

การพิสูจน์:
มุม a1b และ a2b อยู่ติดกัน (ดูรูปที่ 2) รังสี b เคลื่อนผ่านระหว่างด้าน a1 และ a2 ของมุมที่กางออก ดังนั้น ผลรวมของมุม a1b และ a2b จึงเท่ากับมุมที่พัฒนาแล้ว ซึ่งก็คือ 180° ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

มุมที่เท่ากับ 90° เรียกว่ามุมฉาก จากทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมที่อยู่ติดกัน มุมที่อยู่ติดกับมุมขวาก็เป็นมุมฉากเช่นกัน มุมที่น้อยกว่า 90° เรียกว่ามุมแหลม และมุมที่มากกว่า 90° เรียกว่า มุมป้าน เนื่องจากผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันคือ 180° ดังนั้นมุมที่อยู่ติดกับมุมแหลมจึงเป็นมุมป้าน มุมที่อยู่ติดกับมุมป้านเป็นมุมแหลม

มุมที่อยู่ติดกัน- มุมสองมุมที่มีจุดยอดร่วม โดยมุมหนึ่งมีด้านร่วมกัน และด้านที่เหลืออยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (ไม่ตรงกัน) ผลรวมของมุมประชิดคือ 180°

คำจำกัดความ 1.มุมเป็นส่วนหนึ่งของระนาบที่ล้อมรอบด้วยรังสีสองเส้นซึ่งมีจุดกำเนิดร่วมกัน

คำจำกัดความ 1.1มุมคือรูปที่ประกอบด้วยจุด - จุดยอดของมุม - และเส้นครึ่งเส้นสองเส้นที่แตกต่างกันซึ่งเล็ดลอดออกมาจากจุดนี้ - ด้านข้างของมุม
ตัวอย่างเช่น มุม BOC ในรูปที่ 1 ให้เราพิจารณาเส้นตัดกันสองเส้นก่อน เมื่อเส้นตรงตัดกันจะเกิดเป็นมุม มีกรณีพิเศษ:

คำจำกัดความ 2ถ้าด้านข้างของมุมเป็นครึ่งเส้นเพิ่มเติมจากเส้นตรงเส้นเดียว มุมนั้นเรียกว่าพัฒนาแล้ว

คำจำกัดความ 3มุมฉากคือมุมที่มีขนาด 90 องศา

คำจำกัดความที่ 4มุมที่น้อยกว่า 90 องศาเรียกว่ามุมแหลม

คำจำกัดความที่ 5มุมที่มากกว่า 90 องศาและน้อยกว่า 180 องศา เรียกว่า มุมป้าน
เส้นตัดกัน

คำนิยาม 6มุมสองมุม ด้านหนึ่งเป็นมุมร่วมและอีกมุมหนึ่งอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เรียกว่า มุมที่อยู่ติดกัน

คำนิยาม 7มุมที่ด้านต่อเนื่องกันเรียกว่ามุมแนวตั้ง
ในรูปที่ 1:
ที่อยู่ติดกัน: 1 และ 2; 2 และ 3; 3 และ 4; 4 และ 1
แนวตั้ง: 1 และ 3; 2 และ 4
ทฤษฎีบท 1ผลรวมของมุมประชิดคือ 180 องศา
เพื่อเป็นหลักฐานพิจารณาในรูป 4 มุมติดกัน AOB และ BOC ผลรวมของพวกเขาคือมุม AOC ที่พัฒนาแล้ว ดังนั้น ผลรวมของมุมประชิดเหล่านี้คือ 180 องศา

ข้าว. 4

ความเชื่อมโยงระหว่างคณิตศาสตร์และดนตรี

“เมื่อคิดถึงศิลปะและวิทยาศาสตร์ เกี่ยวกับความเชื่อมโยงและความขัดแย้งระหว่างกัน ฉันได้ข้อสรุปว่าคณิตศาสตร์และดนตรีอยู่ที่ขั้วสุดขั้วของจิตวิญญาณมนุษย์ กิจกรรมทางจิตวิญญาณที่สร้างสรรค์ทั้งหมดของมนุษย์ถูกจำกัดและถูกกำหนดโดยผู้ต่อต้านทั้งสองนี้ และนั่น ทุกสิ่งอยู่ระหว่างพวกเขา สิ่งที่มนุษยชาติสร้างขึ้นในสาขาวิทยาศาสตร์และศิลปะ”
ก. นอยเฮาส์
ดูเหมือนว่าศิลปะจะเป็นพื้นที่ที่เป็นนามธรรมมากจากคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม ความเชื่อมโยงระหว่างคณิตศาสตร์และดนตรีถูกกำหนดทั้งในอดีตและภายใน แม้ว่าคณิตศาสตร์จะเป็นวิทยาศาสตร์ที่เป็นนามธรรมมากที่สุด และดนตรีก็เป็นศิลปะที่เป็นนามธรรมมากที่สุด
ความสอดคล้องจะเป็นตัวกำหนดเสียงที่น่าพึงพอใจของสาย
ระบบดนตรีนี้มีพื้นฐานมาจากกฎสองข้อที่ใช้ชื่อของนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่สองคน ได้แก่ พีทาโกรัสและอาร์คีทัส เหล่านี้คือกฎหมาย:
1. สายที่มีเสียงสองสายจะกำหนดความสอดคล้องกันหากความยาวของสายสัมพันธ์กันเป็นจำนวนเต็มซึ่งประกอบเป็นตัวเลขสามเหลี่ยม 10=1+2+3+4 กล่าวคือ เช่น 1:2, 2:3, 3:4 ยิ่งไปกว่านั้น ยิ่งตัวเลข n ในอัตราส่วน n:(n+1) (n=1,2,3) มีค่าน้อยเท่าใด ช่วงเวลาผลลัพธ์ก็จะยิ่งพยัญชนะมากขึ้นเท่านั้น
2. ความถี่การสั่นสะเทือน w ของสายทำให้เกิดเสียงจะแปรผกผันกับความยาวของสาย l
W = ก:ล,
โดยที่ a คือสัมประสิทธิ์ที่แสดงคุณลักษณะทางกายภาพของสตริง

ฉันจะเสนอเรื่องตลกล้อเลียนเกี่ยวกับการโต้แย้งระหว่างนักคณิตศาสตร์สองคนด้วย =)

เรขาคณิตรอบตัวเรา

เรขาคณิตในชีวิตของเรามีความสำคัญไม่น้อย เพราะเมื่อมองไปรอบๆ ก็สังเกตได้ไม่ยากว่ารายล้อมไปด้วยรูปทรงเรขาคณิตต่างๆ เราพบพวกมันได้ทุกที่ บนถนน ในห้องเรียน ที่บ้าน ในสวนสาธารณะ ในโรงยิม ในโรงอาหารของโรงเรียน หรือโดยพื้นฐานแล้ว ไม่ว่าเราจะอยู่ที่ไหนก็ตาม แต่หัวข้อบทเรียนวันนี้คือถ่านหินที่อยู่ติดกัน ลองมองไปรอบๆ แล้วลองหามุมในสภาพแวดล้อมนี้ หากคุณมองดูหน้าต่างอย่างใกล้ชิด คุณจะเห็นว่ากิ่งไม้บางกิ่งเป็นมุมที่อยู่ติดกัน และในฉากกั้นบนประตู คุณจะเห็นมุมแนวตั้งหลายมุม ยกตัวอย่างมุมที่อยู่ติดกันที่คุณสังเกตเห็นในสภาพแวดล้อมของคุณ

แบบฝึกหัดที่ 1

1. มีหนังสืออยู่บนโต๊ะบนชั้นวางหนังสือ มันสร้างมุมอะไร?
2. แต่นักเรียนกำลังทำงานโดยใช้แล็ปท็อป คุณเห็นมุมไหนที่นี่?
3. กรอบรูปบนขาตั้งทำมุมอะไร?
4. คุณคิดว่าเป็นไปได้ไหมที่มุมสองมุมที่อยู่ติดกันจะเท่ากัน?

ภารกิจที่ 2

ข้างหน้าคุณคือรูปทรงเรขาคณิต มันคือร่างอะไรเอ่ยชื่อมัน? ตั้งชื่อมุมที่อยู่ติดกันทั้งหมดที่คุณเห็นบนรูปทรงเรขาคณิตนี้

ภารกิจที่ 3

นี่คือภาพของการวาดภาพและการวาดภาพ ดูพวกมันให้ดีแล้วบอกฉันว่าคุณเห็นปลาชนิดไหนในภาพและมุมที่คุณเห็นในภาพ

การแก้ปัญหา

1) ให้มุมสองมุมสัมพันธ์กันเป็น 1: 2 และอยู่ติดกันเป็น 7: 5 คุณต้องค้นหามุมเหล่านี้
2) เป็นที่ทราบกันว่ามุมหนึ่งที่อยู่ติดกันมีขนาดใหญ่กว่าอีกมุมหนึ่งถึง 4 เท่า มุมประชิดเท่ากับเท่าไร?
3) จำเป็นต้องค้นหามุมที่อยู่ติดกัน โดยที่หนึ่งในนั้นมีค่ามากกว่ามุมที่สอง 10 องศา

การเขียนตามคำบอกทางคณิตศาสตร์เพื่อทบทวนเนื้อหาที่เรียนรู้ก่อนหน้านี้

1) วาดภาพให้สมบูรณ์: เส้นตรง a I b ตัดกันที่จุด A ทำเครื่องหมายมุมที่เล็กกว่าด้วยหมายเลข 1 และมุมที่เหลือ - ตามลำดับด้วยตัวเลข 2,3,4; รังสีคู่ขนานของเส้น a ลากผ่าน a1 และ a2 และเส้น b ลากผ่าน b1 และ b2
2) ใช้ภาพวาดที่เสร็จสมบูรณ์แล้ว ป้อนความหมายและคำอธิบายที่จำเป็นลงในช่องว่างของข้อความ:
ก) มุมที่ 1 และมุม…. ติดกันเพราะว่า...
b) มุม 1 และมุม…. แนวตั้ง เพราะ...
c) ถ้ามุม 1 = 60° แล้วมุม 2 = ... เพราะ...
d) ถ้ามุม 1 = 60° แล้วมุม 3 = ... เพราะ...

แก้ปัญหา:

1. ผลรวมของมุม 3 มุมที่เกิดจากจุดตัดของเส้นตรง 2 เส้นจะเท่ากับ 100° ได้หรือไม่ 370°?
2. จากรูป จงหามุมที่อยู่ติดกันทุกคู่ และตอนนี้มุมแนวตั้ง ตั้งชื่อมุมเหล่านี้

3. คุณต้องหามุมเมื่อมันใหญ่กว่ามุมที่อยู่ติดกันสามเท่า
4. เส้นตรงสองเส้นตัดกัน จากทางแยกนี้ จึงมีมุมทั้งสี่เกิดขึ้น กำหนดมูลค่าของสิ่งใดสิ่งหนึ่งโดยมีเงื่อนไขว่า:

ก) ผลรวมของ 2 มุมจากสี่มุมคือ 84°;
b) ความแตกต่างระหว่าง 2 มุมคือ 45°;
c) มุมหนึ่งเล็กกว่ามุมที่สอง 4 เท่า
d) ผลรวมของมุมทั้งสามคือ 290°

สรุปบทเรียน

1. ตั้งชื่อมุมที่เกิดขึ้นเมื่อเส้นตรง 2 เส้นตัดกัน?
2. ตั้งชื่อคู่ของมุมที่เป็นไปได้ทั้งหมดในรูปและกำหนดประเภทของมุมเหล่านั้น

การบ้าน:

1. ค้นหาอัตราส่วนของการวัดองศาของมุมที่อยู่ติดกัน โดยที่มุมใดมุมหนึ่งมีค่ามากกว่ามุมที่สอง 54°
2. ค้นหามุมที่เกิดขึ้นเมื่อเส้นตรง 2 เส้นตัดกัน โดยที่มุมใดมุมหนึ่งจะเท่ากับผลรวมของอีก 2 มุมที่อยู่ติดกัน
3. จำเป็นต้องค้นหามุมที่อยู่ติดกันเมื่อเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่สองสร้างมุมโดยด้านของมุมที่สองนั้นมากกว่ามุมที่สอง 60°
4. ผลต่างระหว่างมุม 2 มุมที่อยู่ติดกันมีค่าเท่ากับหนึ่งในสามของผลรวมของมุมทั้งสองนี้ กำหนดค่าของมุม 2 มุมที่อยู่ติดกัน
5. ผลต่างและผลรวมของมุม 2 มุมที่อยู่ติดกันมีอัตราส่วน 1:5 ตามลำดับ ค้นหามุมที่อยู่ติดกัน
6. ความแตกต่างระหว่างสองอันที่อยู่ติดกันคือ 25% ของผลรวม ค่าของมุม 2 มุมที่อยู่ติดกันเกี่ยวข้องกันอย่างไร? กำหนดค่าของมุม 2 มุมที่อยู่ติดกัน

คำถาม:

1. มุมคืออะไร?
2. มีมุมประเภทใดบ้าง?
3. คุณสมบัติของมุมประชิดคืออะไร?

วิชา > คณิตศาสตร์ > คณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7

1. มุมที่อยู่ติดกัน

หากเราขยายด้านของมุมใดๆ ออกไปเลยจุดยอด เราจะได้มุมสองมุม (รูปที่ 72): ∠ABC และ ∠CBD ซึ่งด้าน BC เป็นเรื่องธรรมดา และอีกสองมุม AB และ BD ก่อตัวเป็นเส้นตรง

มุมสองมุมที่มีด้านหนึ่งเป็นมุมร่วมและอีกสองมุมเป็นเส้นตรง เรียกว่า มุมที่อยู่ติดกัน

มุมที่อยู่ติดกันสามารถหาได้ด้วยวิธีนี้: ถ้าเราวาดรังสีจากจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นตรง (ไม่ได้นอนอยู่บนเส้นที่กำหนด) เราจะได้มุมที่อยู่ติดกัน

ตัวอย่างเช่น ∠ADF และ ∠FDB เป็นมุมที่อยู่ติดกัน (รูปที่ 73)

มุมที่อยู่ติดกันสามารถมีตำแหน่งได้หลากหลาย (รูปที่ 74)

มุมที่อยู่ติดกันจะรวมกันเป็นมุมตรง ดังนั้น ผลรวมของมุมสองมุมที่อยู่ติดกันคือ 180°

ดังนั้น มุมฉากจึงสามารถกำหนดเป็นมุมเท่ากับมุมที่อยู่ติดกันได้

เมื่อทราบขนาดของมุมที่อยู่ติดกันมุมใดมุมหนึ่ง เราก็สามารถหาขนาดของมุมอีกมุมที่อยู่ติดกันได้

ตัวอย่างเช่น ถ้ามุมใดมุมหนึ่งที่อยู่ติดกันเป็น 54° มุมที่สองจะเท่ากับ:

180° - 54° = ลิตร 26°

2. มุมแนวตั้ง

ถ้าเราขยายด้านข้างของมุมเกินจุดยอด เราจะได้มุมแนวตั้ง ในรูปที่ 75 มุม EOF และ AOC เป็นแนวตั้ง มุม AOE และ COF ก็เป็นแนวตั้งเช่นกัน

มุมสองมุมจะเรียกว่าแนวตั้ง ถ้าด้านของมุมหนึ่งอยู่ต่อจากด้านของอีกมุมหนึ่ง

ให้ ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(รูปที่ 76) ∠2 ที่อยู่ติดกันจะเท่ากับ 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° เช่น 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถคำนวณได้ว่า ∠3 และ ∠4 มีค่าเท่ากับเท่าใด

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (รูปที่ 77)

เราจะเห็นว่า ∠1 = ∠3 และ ∠2 = ∠4

คุณสามารถแก้ไขปัญหาเดียวกันได้อีกหลายอย่าง และแต่ละครั้งคุณจะได้ผลลัพธ์เดียวกัน: มุมแนวตั้งจะเท่ากัน

อย่างไรก็ตาม เพื่อให้แน่ใจว่ามุมแนวตั้งจะเท่ากันเสมอ การพิจารณาตัวอย่างตัวเลขแต่ละรายการนั้นไม่เพียงพอ เนื่องจากบางครั้งข้อสรุปที่ดึงมาจากตัวอย่างใดตัวอย่างหนึ่งอาจมีข้อผิดพลาดได้

จำเป็นต้องตรวจสอบความถูกต้องของคุณสมบัติของมุมแนวตั้งด้วยการพิสูจน์

การพิสูจน์สามารถทำได้ดังนี้ (รูปที่ 78):

∠+∠ค= 180°;

∠ข+∠ค= 180°;

(เนื่องจากผลรวมของมุมประชิดคือ 180°)

∠+∠ค = ∠ข+∠ค

(เนื่องจากด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันนี้เท่ากับ 180° และด้านขวาก็เท่ากับ 180° เช่นกัน)

ความเท่าเทียมกันนี้รวมถึงมุมเดียวกันด้วย กับ.

ถ้าเราลบจำนวนที่เท่ากันจากจำนวนที่เท่ากัน จำนวนที่เท่ากันก็จะยังคงอยู่ ผลลัพธ์จะเป็น: ∠ก = ∠ขคือมุมแนวตั้งจะเท่ากัน

3. ผลรวมของมุมที่มีจุดยอดร่วม

ในการวาด 79, ∠1, ∠2, ∠3 และ ∠4 จะอยู่ที่ด้านหนึ่งของเส้นและมีจุดยอดร่วมบนเส้นนี้ โดยสรุป มุมเหล่านี้ประกอบเป็นมุมตรง กล่าวคือ

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°

ในรูปที่ 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 และ ∠5 มีจุดยอดร่วม มุมเหล่านี้รวมกันเป็นมุมเต็ม นั่นคือ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°

วัสดุอื่นๆ

คำถามที่ 1.มุมใดที่เรียกว่ามุมประชิด?
คำตอบ.มุมสองมุมจะเรียกว่าอยู่ติดกันหากมีด้านหนึ่งเหมือนกัน และอีกด้านของมุมเหล่านี้จะเป็นเส้นครึ่งเสี้ยวคู่ขนานกัน
ในรูปที่ 31 มุม (a 1 b) และ (a 2 b) อยู่ประชิดกัน มีด้าน b เหมือนกัน และด้าน 1 และ 2 เป็นเส้นครึ่งเส้นเพิ่มเติม

คำถามที่ 2.พิสูจน์ว่าผลรวมของมุมประชิดคือ 180°
คำตอบ. ทฤษฎีบท 2.1ผลรวมของมุมประชิดคือ 180°
การพิสูจน์.ให้มุม (a 1 b) และมุม (a 2 b) เป็นมุมที่อยู่ติดกัน (ดูรูปที่ 31) รังสี b เคลื่อนผ่านระหว่างด้าน 1 และ 2 ของมุมตรง ดังนั้น ผลรวมของมุม (a 1 b) และ (a 2 b) จึงเท่ากับมุมที่กางออก นั่นคือ 180° Q.E.D.

คำถามที่ 3.พิสูจน์ว่าถ้ามุมสองมุมเท่ากัน มุมที่อยู่ติดกันก็จะเท่ากันด้วย
คำตอบ.

จากทฤษฎีบท 2.1 ตามมาว่าถ้ามุมสองมุมเท่ากัน มุมที่อยู่ติดกันก็จะเท่ากัน
สมมติว่ามุม (a 1 b) และ (c 1 d) เท่ากัน เราต้องพิสูจน์ว่ามุม (a 2 b) และ (c 2 d) เท่ากัน
ผลรวมของมุมประชิดคือ 180° จากนี้ไป a 1 b + a 2 b = 180° และ c 1 d + c 2 d = 180° ดังนั้น a 2 b = 180° - a 1 b และ c 2 d = 180° - c 1 d เนื่องจากมุม (a 1 b) และ (c 1 d) เท่ากัน เราจะได้ว่า a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d โดยสมบัติการผ่านของเครื่องหมายเท่ากับ จะได้ว่า a 2 b = c 2 d Q.E.D.

คำถามที่ 4.มุมใดที่เรียกว่าขวา (เฉียบพลัน, ป้าน)?
คำตอบ.มุมที่เท่ากับ 90° เรียกว่ามุมฉาก
มุมที่น้อยกว่า 90° เรียกว่ามุมแหลม
มุมที่มากกว่า 90° และน้อยกว่า 180° เรียกว่า มุมป้าน

คำถามที่ 5.พิสูจน์ว่ามุมที่อยู่ติดกับมุมฉากเป็นมุมฉาก
คำตอบ.จากทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมที่อยู่ติดกัน มุมที่อยู่ติดกับมุมขวาจะเป็นมุมฉาก: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°

คำถามที่ 6.มุมใดที่เรียกว่าแนวตั้ง?
คำตอบ.มุมสองมุมจะเรียกว่าแนวตั้ง ถ้าด้านของมุมหนึ่งเป็นเส้นครึ่งเส้นประกอบกันของอีกมุมหนึ่ง

คำถามที่ 7.พิสูจน์ว่ามุมแนวตั้งเท่ากัน
คำตอบ. ทฤษฎีบท 2.2 มุมแนวตั้งจะเท่ากัน
การพิสูจน์.ให้ (a 1 b 1) และ (a 2 b 2) เป็นมุมแนวตั้งที่กำหนด (รูปที่ 34) มุม (a 1 b 2) อยู่ติดกับมุม (a 1 b 1) และมุม (a 2 b 2) จากตรงนี้ เมื่อใช้ทฤษฎีบทกับผลรวมของมุมที่อยู่ติดกัน เราจะสรุปได้ว่าแต่ละมุม (a 1 b 1) และ (a 2 b 2) เป็นส่วนเสริมของมุม (a 1 b 2) ถึง 180° กล่าวคือ มุม (a 1 b 1) และ (a 2 b 2) เท่ากัน Q.E.D.

คำถามที่ 8.พิสูจน์ว่าหากเส้นตรงสองเส้นตัดกัน มุมหนึ่งตั้งตรง แล้วอีกสามมุมที่เหลือก็ตั้งฉากด้วย
คำตอบ.สมมติว่าเส้น AB และ CD ตัดกันที่จุด O สมมติว่ามุม AOD คือ 90° เนื่องจากผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันคือ 180° เราจึงได้ AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90° มุม COB เป็นแนวตั้งกับมุม AOD ดังนั้นจึงเท่ากัน นั่นคือ มุมซัง = 90° มุม COA เป็นแนวตั้งกับมุม BOD ดังนั้นจึงเท่ากัน นั่นคือ มุม BOD = 90° ดังนั้น มุมทุกมุมจะเท่ากับ 90° นั่นคือทุกมุมเป็นมุมฉาก Q.E.D.

คำถามที่ 9.เส้นใดเรียกว่าตั้งฉาก? เครื่องหมายใดใช้ระบุความตั้งฉากของเส้น?
คำตอบ.เส้นตรงสองเส้นเรียกว่าตั้งฉากหากตัดกันเป็นมุมฉาก
ความตั้งฉากของเส้นแสดงด้วยเครื่องหมาย \(\perp\) รายการ \(a\perp b\) อ่านว่า: “เส้น a ตั้งฉากกับเส้น b”

คำถามที่ 10.พิสูจน์ว่าผ่านจุดใดก็ได้บนเส้นตรง คุณสามารถลากเส้นตั้งฉากกับจุดนั้นได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้น
คำตอบ. ทฤษฎีบท 2.3ในแต่ละบรรทัดคุณสามารถวาดเส้นตั้งฉากกับมันได้และมีเพียงเส้นเดียวเท่านั้น
การพิสูจน์.ให้ a เป็นเส้นตรงที่กำหนด และ A เป็นจุดที่กำหนดบนเส้นนั้น ให้เราแสดงด้วย 1 หนึ่งในครึ่งเส้นของเส้นตรง a โดยมีจุดเริ่มต้น A (รูปที่ 38) ให้เราลบมุม (a 1 b 1) เท่ากับ 90° จากครึ่งเส้น a 1 จากนั้นเส้นตรงที่มีรังสี b 1 จะตั้งฉากกับเส้นตรง a

สมมติว่ามีเส้นอีกเส้นหนึ่งที่ผ่านจุด A และตั้งฉากกับเส้น A ให้เราแสดงด้วย c 1 ครึ่งเส้นของเส้นนี้ซึ่งอยู่ในครึ่งระนาบเดียวกันกับรังสี b 1 .
มุม (a 1 b 1) และ (a 1 c 1) แต่ละมุมเท่ากับ 90° วางอยู่ในระนาบครึ่งระนาบจากครึ่งเส้น a 1 แต่จากเส้นครึ่งเส้น 1 มีเพียงมุมเดียวเท่านั้นที่สามารถใส่ลงในระนาบครึ่งระนาบที่กำหนดได้ ดังนั้นจึงไม่มีเส้นอื่นที่ผ่านจุด A และตั้งฉากกับเส้น A ไม่ได้ ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

คำถามที่ 11.เส้นตั้งฉากคืออะไร?
คำตอบ.เส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดคือส่วนของเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด ซึ่งมีปลายด้านหนึ่งอยู่ที่จุดตัดกัน ส่วนท้ายของส่วนนี้เรียกว่า พื้นฐานตั้งฉาก

คำถามที่ 12.อธิบายว่าข้อพิสูจน์โดยข้อขัดแย้งประกอบด้วยข้อใด
คำตอบ.วิธีการพิสูจน์ที่เราใช้ในทฤษฎีบท 2.3 เรียกว่าการพิสูจน์แบบขัดแย้ง วิธีการพิสูจน์นี้ประกอบด้วยการตั้งสมมติฐานที่ตรงกันข้ามกับที่ทฤษฎีบทระบุไว้ก่อน จากนั้น ด้วยการให้เหตุผลโดยอาศัยสัจพจน์และทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว เราก็ได้ข้อสรุปที่ขัดแย้งกับเงื่อนไขของทฤษฎีบทหรือสัจพจน์ข้อใดข้อหนึ่ง หรือทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้ บนพื้นฐานนี้ เราสรุปได้ว่าสมมติฐานของเราไม่ถูกต้อง ดังนั้น ข้อความของทฤษฎีบทจึงเป็นความจริง

คำถามที่ 13.เส้นแบ่งครึ่งของมุมคืออะไร?
คำตอบ.เส้นแบ่งครึ่งของมุมคือรังสีที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดของมุม ผ่านระหว่างด้านต่างๆ และแบ่งมุมออกเป็นสองส่วน