วันนี้เราจะมาดูหัวข้อที่ค่อนข้างน่าเบื่อโดยไม่เข้าใจว่าไม่สามารถไปต่อได้ หัวข้อนี้เรียกว่า "การปัดเศษตัวเลข" หรืออีกนัยหนึ่ง "ค่าประมาณของตัวเลข"

ค่าโดยประมาณ

ค่าโดยประมาณ (หรือโดยประมาณ) จะใช้เมื่อใด ค่าที่แน่นอนเป็นไปไม่ได้ที่จะค้นหาบางสิ่งบางอย่างหรือค่านี้ไม่สำคัญสำหรับวัตถุที่กำลังศึกษา

ตัวอย่างเช่น อาจกล่าวได้ว่าผู้คนครึ่งล้านอาศัยอยู่ในเมืองหนึ่ง แต่คำกล่าวนี้จะไม่เป็นจริง เนื่องจากจำนวนผู้คนในเมืองเปลี่ยนแปลงไป - ผู้คนเข้าออก เกิดและตาย ดังนั้นจึงเป็นการถูกต้องมากกว่าที่จะบอกว่าเมืองนี้มีชีวิตอยู่ ประมาณครึ่งล้านคน

ตัวอย่างอื่น. ชั้นเรียนเริ่มเวลาเก้าโมงเช้า เราออกจากบ้านเวลา 8.30 น. หลังจากเดินทางได้สักพัก เราก็พบเพื่อนคนหนึ่งถามว่ากี่โมงแล้ว เมื่อเราออกจากบ้านเวลา 8.30 น. เราใช้เวลาอยู่บนถนนโดยไม่ทราบสาเหตุ เราไม่รู้ว่ากี่โมงเราจึงตอบเพื่อนว่า “ตอนนี้” ประมาณประมาณเก้าโมง”

ในทางคณิตศาสตร์ ค่าโดยประมาณจะถูกระบุโดยใช้เครื่องหมายพิเศษ ดูเหมือนว่านี้:

อ่านว่า "ประมาณเท่ากัน"

เพื่อระบุมูลค่าโดยประมาณของบางสิ่งบางอย่าง พวกเขาใช้การดำเนินการเช่นการปัดเศษตัวเลข

การปัดเศษตัวเลข

หากต้องการค้นหาค่าโดยประมาณ ให้ดำเนินการเช่น การปัดเศษตัวเลข.

คำว่า "ปัดเศษ" พูดเพื่อตัวเอง การปัดเศษหมายถึงการปัดเศษ ตัวเลขที่ลงท้ายด้วยศูนย์เรียกว่าการปัดเศษ เช่น ตัวเลขต่อไปนี้เป็นตัวเลขกลม

10, 20, 30, 100, 300, 700, 1000

เลขไหนก็ปัดได้ ขั้นตอนการเรียกตัวเลขเป็นวงกลม การปัดเศษตัวเลข.

เรามีส่วนร่วมในการ "ปัดเศษ" ตัวเลขเมื่อเราหารแล้ว ตัวเลขใหญ่- ให้เราจำไว้ว่าสำหรับสิ่งนี้ เราปล่อยให้ตัวเลขที่เป็นตัวเลขที่สำคัญที่สุดไม่เปลี่ยนแปลง และแทนที่ตัวเลขที่เหลือด้วยศูนย์ แต่นี่เป็นเพียงภาพร่างที่เราสร้างขึ้นเพื่อทำให้การแบ่งแยกง่ายขึ้น แฮ็กชีวิตชนิดหนึ่ง อันที่จริง นี่ไม่ใช่การปัดเศษตัวเลขด้วยซ้ำ นั่นคือเหตุผลว่าทำไมในตอนต้นของย่อหน้านี้ เราจึงใส่คำว่าปัดเศษไว้ในเครื่องหมายคำพูด

ความจริงแล้ว สาระสำคัญของการปัดเศษคือการหาค่าที่ใกล้เคียงที่สุดจากค่าเดิม ในเวลาเดียวกันตัวเลขสามารถปัดเศษเป็นตัวเลขหลักได้ - หลักสิบ, หลักร้อย, หลักพัน

ลองดูตัวอย่างง่ายๆ ของการปัดเศษ ให้เลข 17 มา. คุณต้องปัดมันให้เป็นหลักสิบ.

เรามาพยายามทำความเข้าใจว่า "การปัดเศษหลักสิบ" หมายความว่าอย่างไร เมื่อเขาบอกให้ปัดเศษเลข 17 เราก็จะต้องหาเลขกลมที่ใกล้ที่สุดสำหรับเลข 17 นอกจากนี้ในระหว่างการค้นหานี้การเปลี่ยนแปลงยังอาจส่งผลต่อเลขที่อยู่ในหลักสิบของเลข 17 ด้วย (นั่นคือตัว) .

ลองจินตนาการว่าตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ 10 ถึง 20 อยู่บนเส้นตรง:

จากรูปแสดงว่าสำหรับเลข 17 จำนวนรอบที่ใกล้ที่สุดคือ 20 ดังนั้นคำตอบของปัญหาจะเป็นดังนี้: 17 มีค่าประมาณเท่ากับ 20

17 ≈ 20

เราพบค่าประมาณของ 17 นั่นคือปัดเศษให้เป็นหลักสิบ จะเห็นได้ว่าหลังจากปัดเศษหลักสิบแล้วปรากฏ รูปใหม่ 2.

ลองหาตัวเลขโดยประมาณของเลข 12 กัน โดยลองจินตนาการอีกครั้งว่าตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ 10 ถึง 20 อยู่บนเส้นตรง:

จากรูปแสดงว่าเลขกลมที่ใกล้ที่สุดสำหรับ 12 คือเลข 10 ดังนั้นคำตอบของโจทย์จะเป็นดังนี้ 12 มีค่าประมาณเท่ากับ 10

12 ≈ 10

เราเจอค่าประมาณของ 12 แล้วปัดให้เป็นหลักสิบ คราวนี้เลข 1 ซึ่งอยู่ในหลักสิบของเลข 12 ไม่โดนปัดเศษ เราจะดูว่าทำไมสิ่งนี้จึงเกิดขึ้นในภายหลัง

ลองหาตัวเลขที่ใกล้เคียงที่สุดสำหรับเลข 15 ลองจินตนาการอีกครั้งว่าตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ 10 ถึง 20 อยู่บนเส้นตรง:

จากรูปแสดงว่าเลข 15 อยู่ห่างจากเลขรอบ 10 และ 20 เท่าๆ กัน คำถามเกิดขึ้นว่าเลขรอบใดต่อไปนี้จะเป็นค่าประมาณของเลข 15 ในกรณีเช่นนี้ เราตกลงที่จะใช้ตัวเลขที่มากกว่าเป็นตัวเลขโดยประมาณ 20 มากกว่า 10 ดังนั้นค่าประมาณของ 15 คือ 20

15 ≈ 20

ตัวเลขจำนวนมากก็สามารถปัดเศษได้ โดยธรรมชาติแล้ว พวกเขาไม่สามารถวาดเส้นตรงและแสดงตัวเลขได้ มีทางสำหรับพวกเขา เช่น ปัดเศษตัวเลข 1456 ให้เป็นหลักสิบ

เราต้องปัด 1456 ให้เป็นหลักสิบ หลักสิบเริ่มต้นที่ห้า:

ตอนนี้เราลืมไปชั่วคราวเกี่ยวกับการมีอยู่ของเลข 1 และ 4 ตัวแรก จำนวนคงเหลือ 56

ตอนนี้เรามาดูกันว่าเลขรอบไหนใกล้กับเลข 56 มากขึ้น แน่นอนว่าเลขรอบที่ใกล้ที่สุดสำหรับ 56 คือเลข 60 เราก็เลยแทนที่เลข 56 ด้วยเลข 60

ดังนั้น เมื่อปัดเศษ 1456 ให้เป็นหลักสิบ เราจะได้ 1460

1456 ≈ 1460

จะเห็นได้ว่าหลังจากปัดเศษเลข 1456 ให้เป็นหลักสิบแล้ว การเปลี่ยนแปลงก็ส่งผลต่อหลักสิบด้วย ตัวเลขใหม่ที่ได้รับตอนนี้มี 6 ในหลักสิบแทนที่จะเป็น 5

คุณสามารถปัดเศษตัวเลขได้ไม่ใช่แค่หลักสิบเท่านั้น คุณยังสามารถปัดเศษเป็นหลักร้อย หลักพัน หรือหลักหมื่นก็ได้

เมื่อเห็นได้ชัดว่าการปัดเศษนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าการค้นหาตัวเลขที่ใกล้ที่สุด คุณสามารถใช้กฎสำเร็จรูปที่ทำให้การปัดเศษตัวเลขง่ายขึ้นมาก

กฎการปัดเศษครั้งแรก

จากตัวอย่างก่อนหน้านี้ เห็นได้ชัดว่าเมื่อปัดเศษตัวเลขเป็นตัวเลขตัวใดตัวหนึ่ง ตัวเลขลำดับต่ำจะถูกแทนที่ด้วยศูนย์ จะมีการเรียกตัวเลขที่ถูกแทนที่ด้วยศูนย์ ตัวเลขที่ถูกทิ้ง.

กฎการปัดเศษแรกมีดังนี้:

หากปัดเศษตัวเลขหลักแรกที่จะทิ้งคือ 0, 1, 2, 3 หรือ 4 ตัวเลขที่คงไว้ก็จะไม่เปลี่ยนแปลง

เช่น ปัดเศษเลข 123 ให้เป็นหลักสิบ

ก่อนอื่นเราค้นหาตัวเลขที่จะจัดเก็บ ในการดำเนินการนี้ คุณจะต้องอ่านงานเอง ตัวเลขที่ถูกจัดเก็บจะอยู่ในตัวเลขที่อ้างอิงถึงในงาน งานบอกว่า: ปัดเศษตัวเลข 123 ถึง สิบตำแหน่ง

เราเห็นว่ามีสองตัวอยู่ในหลักสิบ. ดังนั้นหลักที่เก็บไว้คือ 2

ตอนนี้เราพบตัวเลขตัวแรกที่ถูกทิ้ง หลักแรกที่จะทิ้งคือหลักที่อยู่หลังหลักที่จะเก็บไว้ เราจะเห็นว่าหลักแรกหลังสองคือเลข 3 ซึ่งหมายความว่าเลข 3 คือ หลักแรกที่จะทิ้ง.

ตอนนี้เราใช้กฎการปัดเศษ มันบอกว่าถ้าปัดเศษตัวเลข หลักแรกที่จะทิ้งคือ 0, 1, 2, 3 หรือ 4 หลักที่เก็บไว้ก็จะไม่เปลี่ยนแปลง

นั่นคือสิ่งที่เราทำ เราปล่อยให้ตัวเลขที่เก็บไว้ไม่เปลี่ยนแปลง และแทนที่ตัวเลขลำดับต่ำทั้งหมดด้วยศูนย์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราแทนที่ทุกสิ่งที่ตามหลังตัวเลข 2 ด้วยศูนย์ (แม่นยำยิ่งขึ้นคือศูนย์):

123 ≈ 120

ซึ่งหมายความว่าเมื่อปัดเศษเลข 123 ให้เป็นหลักสิบ เราจะได้เลข 120 ใกล้เคียงกัน

ทีนี้ลองปัดเลข 123 เหมือนเดิมแต่เป็น หลายร้อยแห่ง.

เราต้องปัดเศษเลข 123 ให้เป็นหลักร้อย เรากำลังมองหาหมายเลขที่จะบันทึกอีกครั้ง ครั้งนี้ตัวเลขที่จะเก็บเป็น 1 เพราะเราปัดเศษตัวเลขเป็นหลักร้อย

ตอนนี้เราพบตัวเลขตัวแรกที่ถูกทิ้ง หลักแรกที่จะทิ้งคือหลักที่อยู่หลังหลักที่จะเก็บไว้ เราจะเห็นว่าหลักแรกหลังหนึ่งคือเลข 2 ซึ่งหมายความว่าเลข 2 คือ ตัวเลขตัวแรกที่จะทิ้ง:

ตอนนี้เรามาใช้กฎกัน มันบอกว่าถ้าปัดเศษตัวเลข หลักแรกที่จะทิ้งคือ 0, 1, 2, 3 หรือ 4 หลักที่เก็บไว้ก็จะไม่เปลี่ยนแปลง

นั่นคือสิ่งที่เราทำ เราปล่อยให้ตัวเลขที่เก็บไว้ไม่เปลี่ยนแปลง และแทนที่ตัวเลขลำดับต่ำทั้งหมดด้วยศูนย์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราจะแทนที่ทุกสิ่งที่ตามหลังเลข 1 ด้วยศูนย์:

123 ≈ 100

ซึ่งหมายความว่าเมื่อปัดเศษตัวเลข 123 ให้เป็นหลักร้อย เราจะได้ตัวเลขประมาณ 100

ตัวอย่างที่ 3ปัด 1234 ไปหลักสิบ

โดยหลักที่เก็บไว้คือ 3 และหลักแรกที่ถูกทิ้งคือ 4

ซึ่งหมายความว่าเราไม่เปลี่ยนแปลงหมายเลข 3 ที่บันทึกไว้และแทนที่ทุกสิ่งที่อยู่หลังจากนั้นด้วยศูนย์:

1234 ≈ 1230

ตัวอย่างที่ 4รอบ 1234 ถึงหลักร้อย

ในที่นี้หลักที่ทิ้งคือ 2 และหลักแรกที่ทิ้งคือ 3 ตามกฎแล้วหากปัดเศษตัวเลขหลักแรกที่ทิ้งคือ 0, 1, 2, 3 หรือ 4 แล้วหลักที่เก็บไว้ก็จะไม่เปลี่ยนแปลง .

ซึ่งหมายความว่าเราไม่เปลี่ยนแปลงหมายเลข 2 ที่บันทึกไว้และแทนที่ทุกสิ่งที่อยู่หลังจากนั้นด้วยศูนย์:

1234 ≈ 1200

ตัวอย่างที่ 3ปัดเศษ 1234 สู่หลักพัน

ในที่นี้หลักที่ทิ้งคือ 1 และหลักแรกที่ทิ้งคือ 2 ตามกฎแล้วหากปัดเศษตัวเลขหลักแรกที่ทิ้งคือ 0, 1, 2, 3 หรือ 4 แล้วหลักที่เก็บไว้ก็จะไม่เปลี่ยนแปลง .

ซึ่งหมายความว่าเราไม่เปลี่ยนแปลงตัวเลขที่บันทึกไว้ 1 และแทนที่ทุกสิ่งที่อยู่หลังจากนั้นด้วยศูนย์:

1234 ≈ 1000

กฎการปัดเศษที่สอง

กฎการปัดเศษที่สองมีดังนี้:

ในการปัดเศษตัวเลขหากหลักแรกที่จะทิ้งคือ 5, 6, 7, 8 หรือ 9 ตัวเลขที่คงไว้จะเพิ่มขึ้นหนึ่งหลัก

เช่น ปัดเศษตัวเลข 675 ให้เป็นหลักสิบ

ก่อนอื่นเราค้นหาตัวเลขที่จะจัดเก็บ ในการดำเนินการนี้ คุณจะต้องอ่านงานเอง ตัวเลขที่ถูกจัดเก็บจะอยู่ในตัวเลขที่อ้างอิงถึงในงาน งานบอกว่า: ปัดเศษหมายเลข 675 ถึง สิบตำแหน่ง

เราเห็นว่ามีเจ็ดอยู่ในหลักสิบ ดังนั้นเลขหลักที่เก็บไว้คือ 7

ตอนนี้เราพบตัวเลขตัวแรกที่ถูกทิ้ง หลักแรกที่จะทิ้งคือหลักที่อยู่หลังหลักที่จะเก็บไว้ เราจะเห็นว่าเลขหลักแรกหลังเจ็ดคือเลข 5 ซึ่งหมายความว่าเลข 5 คือ หลักแรกที่จะทิ้ง.

หลักแรกที่ถูกทิ้งของเราคือ 5 ซึ่งหมายความว่าเราต้องเพิ่มหลักที่เก็บไว้ 7 ทีละหนึ่ง และแทนที่ทุกอย่างหลังจากนั้นด้วยศูนย์:

675 ≈ 680

ซึ่งหมายความว่าเมื่อปัดเศษเลข 675 ให้เป็นหลักสิบ เราจะได้เลขประมาณ 680

ทีนี้ลองปัดเลข 675 เหมือนเดิมแต่เป็น หลายร้อยแห่ง.

เราต้องปัดเศษเลข 675 ให้เป็นหลักร้อย เรากำลังมองหาหมายเลขที่จะบันทึกอีกครั้ง คราวนี้ตัวเลขที่ถูกจัดเก็บคือ 6 เนื่องจากเรากำลังปัดเศษตัวเลขเป็นหลักร้อย:

ตอนนี้เราพบตัวเลขตัวแรกที่ถูกทิ้ง หลักแรกที่จะทิ้งคือหลักที่อยู่หลังหลักที่จะเก็บไว้ เราจะเห็นว่าเลขหลักแรกหลังหกคือเลข 7 ซึ่งหมายความว่าเลข 7 คือ ตัวเลขตัวแรกที่จะทิ้ง:

ตอนนี้เราใช้กฎการปัดเศษที่สอง มันบอกว่าเวลาปัดเศษตัวเลขถ้าหลักแรกที่จะทิ้งคือ 5, 6, 7, 8 หรือ 9 ตัวเลขที่คงไว้ก็เพิ่มขึ้นหนึ่งหลัก

หลักแรกที่ถูกทิ้งของเราคือ 7 ซึ่งหมายความว่าเราต้องเพิ่มหลักที่เก็บไว้ 6 ทีละหนึ่ง และแทนที่ทุกอย่างหลังจากนั้นด้วยศูนย์:

675 ≈ 700

ซึ่งหมายความว่าเมื่อปัดเศษตัวเลข 675 ให้เป็นหลักร้อย เราจะได้ตัวเลขประมาณ 700

ตัวอย่างที่ 3ปัดเศษเลข 9876 ให้เป็นหลักสิบ

โดยหลักที่เก็บไว้คือ 7 และหลักแรกที่ถูกทิ้งคือ 6

ซึ่งหมายความว่าเราเพิ่มหมายเลขที่เก็บไว้ 7 ทีละรายการและแทนที่ทุกสิ่งที่อยู่หลังจากนั้นด้วยศูนย์:

9876 ≈ 9880

ตัวอย่างที่ 4รอบ 9876 ถึงหลักร้อย

ในที่นี้หลักที่ทิ้งคือ 8 และหลักแรกที่ทิ้งคือ 7 ตามกฎแล้วหากปัดเศษตัวเลขหลักแรกที่ทิ้งคือ 5, 6, 7, 8 หรือ 9 แล้วหลักที่เก็บไว้จะเพิ่มขึ้น โดยหนึ่ง

ซึ่งหมายความว่าเราเพิ่มหมายเลขที่เก็บไว้ 8 ทีละตัวและแทนที่ทุกสิ่งที่อยู่หลังจากนั้นด้วยศูนย์:

9876 ≈ 9900

ตัวอย่างที่ 5ปัดเศษ 9876 สู่หลักพัน

ในที่นี้หลักที่ทิ้งคือ 9 และหลักแรกที่ทิ้งคือ 8 ตามกฎแล้วหากปัดเศษตัวเลขหลักแรกที่ทิ้งคือ 5, 6, 7, 8 หรือ 9 แล้วหลักที่เก็บไว้จะเพิ่มขึ้น โดยหนึ่ง

ซึ่งหมายความว่าเราเพิ่มหมายเลขที่เก็บไว้ 9 ทีละตัวและแทนที่ทุกสิ่งที่อยู่หลังจากนั้นด้วยศูนย์:

9876 ≈ 10000

ตัวอย่างที่ 6ปัดเศษปี 2971 ให้เป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด

เมื่อปัดเศษตัวเลขนี้เป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด คุณควรระวังเพราะหลักที่เก็บไว้ที่นี่คือ 9 และหลักแรกที่จะทิ้งคือ 7 ซึ่งหมายความว่าต้องเพิ่มหลัก 9 ขึ้นหนึ่ง แต่ความจริงก็คือว่าหลังจากเพิ่มทีละเก้าแล้วผลลัพธ์จะเป็น 10 และตัวเลขนี้จะไม่พอดีกับหลักร้อยหลักของตัวเลขใหม่

ในกรณีนี้ ในหลักร้อยของตัวเลขใหม่ คุณต้องเขียน 0 แล้วย้ายหน่วยไปยังตำแหน่งถัดไปแล้วบวกด้วยตัวเลขที่มีอยู่ ถัดไป แทนที่ตัวเลขทั้งหมดหลังตัวเลขที่บันทึกไว้ด้วยศูนย์:

2971 ≈ 3000

การปัดเศษทศนิยม

เมื่อปัดเศษเศษส่วนทศนิยม คุณควรระมัดระวังเป็นพิเศษเนื่องจากเศษส่วนทศนิยมประกอบด้วยส่วนจำนวนเต็มและส่วนที่เป็นเศษส่วน และแต่ละส่วนทั้งสองนี้ก็มีหมวดหมู่ของตัวเอง:

เลขจำนวนเต็ม:

• หลักหน่วย
• สิบตำแหน่ง
• หลายร้อยแห่ง
• พันหลัก

ตัวเลขเศษส่วน:

• อันดับที่สิบ
• อันดับที่ร้อย
• อันดับที่พัน

ลองพิจารณาดู ทศนิยม 123.456 - หนึ่งร้อยยี่สิบสามจุดสี่แสนห้าหมื่นหกพัน ที่นี่ ทั้งส่วนนี่คือ 123 และส่วนที่เป็นเศษส่วนคือ 456 นอกจากนี้ แต่ละส่วนเหล่านี้ยังมีตัวเลขของตัวเองอีกด้วย เป็นสิ่งสำคัญมากที่จะไม่สับสน:

กฎการปัดเศษเดียวกันนี้ใช้กับทั้งส่วนเช่นเดียวกับสำหรับ ตัวเลขธรรมดา- ข้อแตกต่างคือหลังจากปัดเศษส่วนจำนวนเต็มและแทนที่ตัวเลขทั้งหมดหลังจากหลักที่เก็บไว้ด้วยศูนย์แล้ว ส่วนที่เป็นเศษส่วนจะถูกละทิ้งไปโดยสิ้นเชิง

เช่น ปัดเศษ 123.456 เป็น สิบตำแหน่งจนกระทั่งนั่นเอง สิบตำแหน่ง, แต่ไม่ อันดับที่สิบ- เป็นสิ่งสำคัญมากที่จะไม่สับสนหมวดหมู่เหล่านี้ ปลดประจำการ หลายสิบตั้งอยู่ทั้งส่วนและหลัก สิบในรูปแบบเศษส่วน

เราต้องปัด 123.456 ให้เป็นหลักสิบ. หลักที่เก็บไว้ที่นี่คือ 2 และหลักแรกที่ทิ้งคือ 3

ตามกฎแล้วหากปัดเศษตัวเลขหลักแรกที่จะทิ้งคือ 0, 1, 2, 3 หรือ 4 ตัวเลขที่คงไว้ก็จะไม่เปลี่ยนแปลง

ซึ่งหมายความว่าตัวเลขที่บันทึกไว้จะไม่เปลี่ยนแปลง และสิ่งอื่นๆ จะถูกแทนที่ด้วยศูนย์ จะทำอย่างไรกับเศษส่วน? มันถูกทิ้งไป (ลบออก):

123,456 ≈ 120

ทีนี้ลองปัดเศษส่วนเดียวกัน 123.456 ให้เป็น หลักหน่วย- หลักที่จะคงไว้ตรงนี้จะเป็น 3 และหลักแรกที่จะทิ้งคือ 4 ซึ่งอยู่ในเศษส่วน:

ตามกฎแล้วหากปัดเศษตัวเลขหลักแรกที่จะทิ้งคือ 0, 1, 2, 3 หรือ 4 ตัวเลขที่คงไว้ก็จะไม่เปลี่ยนแปลง

ซึ่งหมายความว่าตัวเลขที่บันทึกไว้จะไม่เปลี่ยนแปลง และสิ่งอื่นๆ จะถูกแทนที่ด้วยศูนย์ เศษส่วนที่เหลือจะถูกละทิ้ง:

123,456 ≈ 123,0

ศูนย์ที่เหลืออยู่หลังจุดทศนิยมก็สามารถละทิ้งได้ ดังนั้นคำตอบสุดท้ายจะเป็นดังนี้:

123,456 ≈ 123,0 ≈ 123

ตอนนี้เรามาเริ่มการปัดเศษเศษส่วนกัน การปัดเศษเศษส่วนก็ใช้กฎเดียวกันนี้เช่นเดียวกับการปัดเศษทั้งส่วน ลองปัดเศษส่วน 123.456 ให้เป็น อันดับที่สิบเลข 4 อยู่ในตำแหน่งที่ 10 ซึ่งหมายความว่าเป็นเลขหลักที่เก็บไว้ และเลขหลักแรกที่จะทิ้งคือ 5 ซึ่งอยู่ในตำแหน่งที่ 100:

ตามกฎแล้วเมื่อปัดเศษตัวเลขหากหลักแรกที่จะทิ้งคือ 5, 6, 7, 8 หรือ 9 ตัวเลขที่คงไว้จะเพิ่มขึ้นหนึ่งหลัก

ซึ่งหมายความว่าตัวเลข 4 ที่เก็บไว้จะเพิ่มขึ้นหนึ่งหลักและส่วนที่เหลือจะถูกแทนที่ด้วยศูนย์

123,456 ≈ 123,500

ลองปัดเศษเดิม 123.456 ให้เป็นตำแหน่งที่ร้อย หลักที่เก็บไว้ที่นี่คือ 5 และหลักแรกที่ทิ้งคือ 6 ซึ่งอยู่ในหลักพัน:

ตามกฎแล้วเมื่อปัดเศษตัวเลขหากหลักแรกที่จะทิ้งคือ 5, 6, 7, 8 หรือ 9 ตัวเลขที่คงไว้จะเพิ่มขึ้นหนึ่งหลัก

ซึ่งหมายความว่าตัวเลข 5 ที่เก็บไว้จะเพิ่มขึ้นหนึ่งหลักและส่วนที่เหลือจะถูกแทนที่ด้วยศูนย์

123,456 ≈ 123,460

คุณชอบบทเรียนหรือไม่?
เข้าร่วมกับเรา กลุ่มใหม่ VKontakte และเริ่มรับการแจ้งเตือนเกี่ยวกับบทเรียนใหม่

ภารกิจที่ 1 ผลการวัดการปัดเศษ

เมื่อทำการวัด สิ่งสำคัญคือต้องปฏิบัติตามกฎเกณฑ์บางประการในการปัดเศษและบันทึกผลลัพธ์ในเอกสารทางเทคนิค เนื่องจากหากไม่ปฏิบัติตามกฎเหล่านี้ อาจเกิดข้อผิดพลาดที่สำคัญในการตีความผลการวัดได้

กฎการเขียนตัวเลข

1. เลขนัยสำคัญของตัวเลขที่กำหนดคือตัวเลขทั้งหมดจากตัวแรกทางซ้ายซึ่งไม่เท่ากับศูนย์ไปจนถึงตัวสุดท้ายทางขวา ในกรณีนี้ ค่าศูนย์ที่เกิดจากตัวคูณ 10 จะไม่ถูกนำมาพิจารณา

ตัวอย่าง.

หมายเลข 12,0มีเลขนัยสำคัญ 3 ตัว

ข) หมายเลข 30มีเลขนัยสำคัญอยู่สองตัว

ค) หมายเลข 12010 8 มีเลขนัยสำคัญ 3 ตัว

ช) 0,51410 -3 มีเลขนัยสำคัญ 3 ตัว

ง) 0,0056มีเลขนัยสำคัญอยู่สองตัว

2. หากจำเป็นต้องระบุว่าเป็นตัวเลขทุกประการ คำว่า “ตรงกัน” จะถูกระบุหลังตัวเลขหรือพิมพ์เลขนัยสำคัญสุดท้ายเป็นตัวหนา ตัวอย่างเช่น: 1 kW/h = 3600 J (แน่นอน) หรือ 1 kW/h = 360 0 เจ .

3. บันทึกตัวเลขโดยประมาณแยกตามจำนวนหลักสำคัญ เช่น มีเลข 2.4 และ 2.40. การเขียน 2.4 หมายความว่าเฉพาะจำนวนเต็มและสิบเท่านั้นที่ถูกต้อง เช่น 2.43 และ 2.38 การเขียน 2.40 หมายความว่าหนึ่งในร้อยก็เป็นจริงเช่นกัน ค่าที่แท้จริงของตัวเลขอาจเป็น 2.403 และ 2.398 แต่ไม่ใช่ 2.41 และไม่ใช่ 2.382 การเขียน 382 หมายความว่าตัวเลขทั้งหมดถูกต้อง หากคุณไม่สามารถรับรองหลักสุดท้ายได้ ก็ควรเขียนตัวเลขเป็น 3.810 2 หากถูกต้องเพียงสองหลักแรกของตัวเลข 4720 ควรเขียนเป็น: 4710 2 หรือ 4.710 3

4. หมายเลขที่ระบุค่าเบี่ยงเบนที่อนุญาตจะต้องมีส่วนสุดท้าย ตัวเลขที่สำคัญหลักเดียวกันกับเลขนัยสำคัญสุดท้ายของส่วนเบี่ยงเบน

ตัวอย่าง.

ก) ถูกต้อง: 17,0 + 0,2- ผิด: 17 + 0,2หรือ 17,00 + 0,2.

ข) ถูกต้อง: 12,13+ 0,17- ผิด: 12,13+ 0,2.

ค) ถูกต้อง: 46,40+ 0,15- ผิด: 46,4+ 0,15หรือ 46,402+ 0,15.

5. ขอแนะนำให้จดค่าตัวเลขของปริมาณและข้อผิดพลาด (ส่วนเบี่ยงเบน) ที่ระบุหน่วยปริมาณเดียวกัน ตัวอย่างเช่น: (80.555 + 0.002) กก.

6. บางครั้งแนะนำให้เขียนช่วงเวลาระหว่างค่าตัวเลขของปริมาณในรูปแบบข้อความจากนั้นคำบุพบท "จาก" หมายถึง "" คำบุพบท "ถึง" - "" คำบุพบท "มากกว่า" - "> ” คำบุพบท “น้อย” – “<":

"งรับค่าตั้งแต่ 60 ถึง 100" หมายถึง "60 ง100",

"งรับค่าที่มากกว่า 120 น้อยกว่า 150" หมายถึง "120<ง< 150",

"งรับค่ามากกว่า 30 ถึง 50" หมายถึง "30<ง50".

กฎการปัดเศษตัวเลข

1. การปัดเศษตัวเลขคือการลบเลขนัยสำคัญทางด้านขวาไปเป็นตัวเลขบางตัวโดยอาจเปลี่ยนแปลงตัวเลขของหลักนี้ได้

2. หากตัวเลขตัวแรกที่ถูกทิ้ง (นับจากซ้ายไปขวา) น้อยกว่า 5 ตัวเลขสุดท้ายที่บันทึกไว้จะไม่เปลี่ยนแปลง

ตัวอย่าง: การปัดเศษตัวเลข 12,23ให้เลขนัยสำคัญได้ถึงสามตัว 12,2.

3. หากตัวเลขตัวแรกที่ถูกทิ้ง (นับจากซ้ายไปขวา) เท่ากับ 5 ตัวเลขสุดท้ายที่บันทึกไว้จะเพิ่มขึ้นหนึ่งหลัก

ตัวอย่าง: การปัดเศษตัวเลข 0,145ให้มากถึงสองหลัก 0,15.

บันทึก - ในกรณีที่ควรคำนึงถึงผลการปัดเศษครั้งก่อน ให้ดำเนินการดังนี้

4. หากได้รับตัวเลขที่ถูกทิ้งเนื่องจากการปัดเศษลงตัวเลขหลักสุดท้ายที่เหลือจะเพิ่มขึ้นหนึ่งหลัก (โดยเปลี่ยนเป็นตัวเลขถัดไปหากจำเป็น) มิฉะนั้น - ในทางกลับกัน สิ่งนี้ใช้ได้กับทั้งเศษส่วนและจำนวนเต็ม

ตัวอย่าง: การปัดเศษตัวเลข 0,25(ได้มาจากการปัดเศษตัวเลขครั้งก่อน 0,252) ให้ 0,3.

4. หากหลักแรกที่ทิ้ง (นับจากซ้ายไปขวา) มากกว่า 5 หลักสุดท้ายที่บันทึกไว้จะเพิ่มขึ้นหนึ่งหลัก

ตัวอย่าง: การปัดเศษตัวเลข 0,156ให้เลขนัยสำคัญสองตัว 0,16.

5. การปัดเศษจะดำเนินการทันทีตามจำนวนตัวเลขนัยสำคัญที่ต้องการและไม่ใช่เป็นระยะ

ตัวอย่าง: การปัดเศษตัวเลข 565,46ให้เลขนัยสำคัญได้ถึงสามตัว 565.

6. จำนวนเต็มจะถูกปัดเศษตามกฎเดียวกันกับเศษส่วน

ตัวอย่าง: การปัดเศษตัวเลข 23456ให้เลขนัยสำคัญสองตัว 2310 3

ค่าตัวเลขของผลการวัดจะต้องลงท้ายด้วยตัวเลขหลักเดียวกันกับค่าความผิดพลาด

ตัวอย่าง:ตัวเลข 235,732 + 0,15ควรปัดเศษเป็น 235,73 + 0,15แต่ยังไม่ถึง 235,7 + 0,15.

7. ถ้าหลักแรกที่ถูกทิ้ง (นับจากซ้ายไปขวา) น้อยกว่าห้า หลักที่เหลือจะไม่เปลี่ยนแปลง

ตัวอย่าง: 442,749+ 0,4ปัดเศษขึ้นเป็น 442,7+ 0,4.

8. หากทิ้งหลักแรกมากกว่าหรือเท่ากับห้า หลักสุดท้ายคงไว้จะเพิ่มขึ้นหนึ่งหลัก

ตัวอย่าง: 37,268 + 0,5ปัดเศษขึ้นเป็น 37,3 + 0,5; 37,253 + 0,5 จะต้องถูกปัดเศษก่อน 37,3 + 0,5.

9. การปัดเศษควรทำทันทีตามจำนวนตัวเลขนัยสำคัญที่ต้องการ การปัดเศษแบบทีละน้อยอาจทำให้เกิดข้อผิดพลาดได้

ตัวอย่าง: การปัดเศษของผลการวัดทีละขั้นตอน 220,46+ 4ให้ในระยะแรก 220,5+ 4และในวินาที 221+ 4ในขณะที่ผลการปัดเศษที่ถูกต้องคือ 220+ 4.

10. หากข้อผิดพลาดของเครื่องมือวัดระบุด้วยตัวเลขนัยสำคัญเพียงหนึ่งหรือสองหลักและได้รับค่าความผิดพลาดที่คำนวณได้เป็นจำนวนมากตัวเลขควรเหลือเพียงหลักสำคัญหนึ่งหรือสองหลักแรกเท่านั้นในค่าสุดท้ายของ ข้อผิดพลาดจากการคำนวณตามลำดับ ยิ่งไปกว่านั้น หากตัวเลขผลลัพธ์ขึ้นต้นด้วยตัวเลข 1 หรือ 2 การละทิ้งอักขระตัวที่สองจะทำให้เกิดข้อผิดพลาดขนาดใหญ่มาก (มากถึง 3050%) ซึ่งเป็นที่ยอมรับไม่ได้ หากตัวเลขผลลัพธ์เริ่มต้นด้วยหมายเลข 3 ขึ้นไป เช่น ด้วยหมายเลข 9 ให้รักษาอักขระตัวที่สองไว้ เช่น การระบุข้อผิดพลาดเช่น 0.94 แทนที่จะเป็น 0.9 ถือเป็นข้อมูลที่ผิดเนื่องจากข้อมูลต้นฉบับไม่ได้ให้ความแม่นยำดังกล่าว

จากนี้กฎต่อไปนี้ได้ถูกสร้างขึ้นในทางปฏิบัติ: หากตัวเลขผลลัพธ์เริ่มต้นด้วยเลขนัยสำคัญเท่ากับหรือมากกว่า 3 ก็จะเหลือเพียงตัวเลขเดียวเท่านั้น หากขึ้นต้นด้วยเลขนัยสำคัญน้อยกว่า 3 กล่าวคือ จากหมายเลข 1 และ 2 จะมีการจัดเก็บตัวเลขสำคัญสองตัวไว้ในนั้น ตามกฎนี้จะมีการกำหนดค่ามาตรฐานของข้อผิดพลาดของเครื่องมือวัด: ตัวเลขสำคัญสองตัวระบุเป็นตัวเลข 1.5 และ 2.5% แต่เป็นตัวเลข 0.5; 4; 6% ระบุเพียงตัวเลขที่มีนัยสำคัญเพียงตัวเดียว

ตัวอย่าง:บนโวลต์มิเตอร์ระดับความแม่นยำ 2,5โดยมีขีดจำกัดการวัด x ถึง = 300 ในการอ่านค่าแรงดันไฟฟ้าที่วัดได้ x = 267,5ถาม ผลการวัดควรบันทึกลงในรายงานในรูปแบบใด

สะดวกกว่าในการคำนวณข้อผิดพลาดตามลำดับต่อไปนี้: ก่อนอื่นคุณต้องค้นหาข้อผิดพลาดสัมบูรณ์จากนั้นจึงหาข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้อง ข้อผิดพลาดแน่นอน เอ็กซ์ =  0 เอ็กซ์ ถึง/100 สำหรับข้อผิดพลาดของโวลต์มิเตอร์ที่ลดลง  0 = 2.5% และขีดจำกัดการวัด (ช่วงการวัด) ของอุปกรณ์ เอ็กซ์ ถึง= 300 โวลต์:  เอ็กซ์= 2.5300/100 = 7.5 โวลต์ ~ 8 โวลต์; ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ =  เอ็กซ์100/เอ็กซ์ = 7,5100/267,5 = 2,81 % ~ 2,8 % .

เนื่องจากเลขนัยสำคัญตัวแรกของค่าความผิดพลาดสัมบูรณ์ (7.5 V) มากกว่าสาม ค่านี้ควรถูกปัดเศษตามกฎการปัดเศษปกติเป็น 8 V แต่ในค่าความผิดพลาดสัมพัทธ์ (2.81%) เลขนัยสำคัญตัวแรกจะน้อยกว่า มากกว่า 3 ดังนั้นคำตอบจะต้องคงทศนิยมสองตำแหน่งไว้ และต้องระบุ  = 2.8% มูลค่าที่ได้รับ เอ็กซ์= 267.5 V ต้องปัดเศษให้เป็นทศนิยมตำแหน่งเดียวกับค่าความผิดพลาดสัมบูรณ์ที่ปัดเศษ กล่าวคือ จนถึงหน่วยโวลต์ทั้งหมด

ดังนั้นคำตอบสุดท้ายควรระบุว่า: “การวัดเกิดขึ้นโดยมีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ที่ = 2.8% แรงดันไฟฟ้าที่วัดได้ เอ็กซ์= (268+ 8) บี"

ในกรณีนี้ จะชัดเจนกว่าหากระบุขีดจำกัดของช่วงความไม่แน่นอนของค่าที่วัดได้ในรูปแบบ เอ็กซ์= (260276) V หรือ 260 VX276 V.

ในการพิจารณาลักษณะเฉพาะของการปัดเศษตัวเลขใดจำนวนหนึ่ง จำเป็นต้องวิเคราะห์ตัวอย่างเฉพาะและข้อมูลพื้นฐานบางอย่าง

วิธีปัดเศษตัวเลขให้เป็นร้อย

• หากต้องการปัดเศษตัวเลขเป็นร้อย คุณต้องทิ้งตัวเลขสองหลักไว้หลังจุดทศนิยม ส่วนที่เหลือจะถูกละทิ้งไป หากหลักแรกที่จะทิ้งคือ 0, 1, 2, 3 หรือ 4 ตัวเลขหลักก่อนหน้าก็จะไม่เปลี่ยนแปลง
• หากหลักที่ถูกทิ้งคือ 5, 6, 7, 8 หรือ 9 คุณจะต้องเพิ่มหลักก่อนหน้าทีละหนึ่ง
• เช่น หากเราต้องปัดเศษตัวเลข 75.748 หลังจากปัดเศษแล้ว เราก็จะได้ 75.75 หากเรามี 19.912 ดังนั้น จากการปัดเศษ หรือหากไม่จำเป็นต้องใช้ เราก็จะได้ 19.91 ในกรณีของ 19.912 ตัวเลขที่อยู่หลังหลักร้อยจะไม่ถูกปัดเศษ ดังนั้นจึงถูกละทิ้งไป
• หากเรากำลังพูดถึงตัวเลข 18.4893 การปัดเศษเป็นร้อยจะเกิดขึ้นดังนี้ ตัวเลขหลักแรกที่จะทิ้งคือ 3 ดังนั้นจึงไม่มีการเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้น ปรากฎว่า 18.48 น.
• ในกรณีของ 0.2254 เรามีหลักแรก ซึ่งจะถูกละทิ้งเมื่อปัดเศษเป็นทศนิยมที่ใกล้ที่สุด นี่คือห้า ซึ่งบ่งชี้ว่าจำนวนก่อนหน้าต้องเพิ่มขึ้นหนึ่ง นั่นคือเราได้ 0.23
• นอกจากนี้ยังมีกรณีที่การปัดเศษเปลี่ยนตัวเลขทั้งหมดในตัวเลข ตัวอย่างเช่น หากต้องการปัดเศษตัวเลข 64.9972 ให้เป็นทศนิยมที่ใกล้ที่สุด เราจะเห็นว่าเลข 7 ปัดเศษตัวเลขก่อนหน้า เราได้ 65.00.

วิธีปัดเศษตัวเลขให้เป็นจำนวนเต็ม

สถานการณ์จะเหมือนกันเมื่อปัดเศษตัวเลขเป็นจำนวนเต็ม เช่น หากเรามี 25.5 หลังจากปัดเศษแล้ว เราก็จะได้ 26 ในกรณีที่มีทศนิยมเพียงพอ การปัดเศษจะเกิดขึ้นดังนี้ หลังจากปัดเศษ 4.371251 เราจะได้ 4

การปัดเศษเป็นสิบเกิดขึ้นในลักษณะเดียวกับในร้อย เช่น หากเราต้องปัดเศษตัวเลข 45.21618 เราก็จะได้ 45.2 หากหลักที่สองหลังจากหลักสิบคือ 5 ขึ้นไป หลักก่อนหน้าจะเพิ่มขึ้นหนึ่งหลัก ตามตัวอย่าง คุณสามารถปัดเศษ 13.6734 เพื่อให้ได้ 13.7

สิ่งสำคัญคือต้องใส่ใจกับหมายเลขที่อยู่ก่อนหมายเลขที่ถูกตัดออก ตัวอย่างเช่น หากเรามีตัวเลข 1.450 หลังจากปัดเศษแล้ว เราจะได้ 1.4 อย่างไรก็ตาม ในกรณีของ 4.851 แนะนำให้ปัดเศษเป็น 4.9 เนื่องจากหลังจากห้าไปแล้วยังมีหน่วยอยู่

) เขียนด้วยตัวเลขที่มีนัยสำคัญน้อยกว่า โมดูลัสของความแตกต่างระหว่างหมายเลขที่ถูกแทนที่และหมายเลขที่ถูกแทนที่จะถูกเรียก ข้อผิดพลาดในการปัดเศษ.

การปัดเศษใช้เพื่อนำเสนอค่าและผลการคำนวณตามจำนวนหลักที่สอดคล้องกับความแม่นยำที่แท้จริงของการวัดหรือการคำนวณหรือความแม่นยำที่ต้องการในการใช้งานเฉพาะ การปัดเศษในการคำนวณด้วยตนเองยังสามารถใช้เพื่อทำให้การคำนวณง่ายขึ้นในกรณีที่ข้อผิดพลาดที่เกิดจากข้อผิดพลาดในการปัดเศษไม่เกินข้อผิดพลาดในการคำนวณที่อนุญาต

กฎการปัดเศษและคำศัพท์ทั่วไป

วิธีการ

พื้นที่ที่แตกต่างกันอาจใช้วิธีการปัดเศษที่แตกต่างกัน ในวิธีการเหล่านี้ทั้งหมด สัญญาณ "พิเศษ" จะถูกรีเซ็ต (ทิ้ง) และสัญญาณที่อยู่ข้างหน้าจะถูกปรับตามกฎบางอย่าง

• ปัดเศษให้เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด(การปัดเศษภาษาอังกฤษ) - การปัดเศษที่ใช้กันมากที่สุดซึ่งตัวเลขจะถูกปัดเศษเป็นจำนวนเต็มโมดูลัสของความแตกต่างที่ตัวเลขนี้มีขั้นต่ำ โดยทั่วไป เมื่อปัดตัวเลขในระบบทศนิยมให้เป็นหลักที่ N กฎสามารถกำหนดได้ดังนี้
  • ถ้า เครื่องหมาย N+1< 9 จากนั้นเครื่องหมาย N ยังคงอยู่ และ N+1 และเครื่องหมายที่ตามมาทั้งหมดจะถูกรีเซ็ตเป็นศูนย์
  • ถ้า N+1 อักขระ ≥ 5จากนั้นเครื่องหมาย N จะเพิ่มขึ้นหนึ่ง และ N+1 และเครื่องหมายที่ตามมาทั้งหมดจะถูกรีเซ็ตเป็นศูนย์
  ตัวอย่างเช่น: 11.9 → 12; −0.9 → −1; −1,1 → −1; 2.5 → 3 ค่าความผิดพลาดสัมบูรณ์เพิ่มเติมสูงสุดที่เกิดขึ้นจากการปัดเศษนี้ (ข้อผิดพลาดในการปัดเศษ) คือ ±0.5 ของตัวเลขหลักสุดท้ายที่เก็บไว้
• การปัดเศษลงแบบโมดูโล(ปัดเศษเป็นศูนย์, แก้ไขจำนวนเต็มภาษาอังกฤษ, ตัดทอน, จำนวนเต็ม) - การปัดเศษ "ง่ายที่สุด" เนื่องจากหลังจากลบอักขระ "พิเศษ" ให้เป็นศูนย์แล้ว เครื่องหมายก่อนหน้าจะยังคงอยู่ นั่นคือในทางเทคนิคแล้วประกอบด้วยการทิ้งอักขระพิเศษ ตัวอย่างเช่น 11.9 → 11; −0.9 → 0; −1,1 → −1) ด้วยการปัดเศษดังกล่าวข้อผิดพลาดอาจเกิดขึ้นภายในหน่วยของตัวเลขหลักสุดท้ายที่เก็บไว้และในส่วนบวกของแกนตัวเลขข้อผิดพลาดจะเป็นลบเสมอและในส่วนลบจะเป็นค่าบวก
• ปัดเศษขึ้น(ปัดเศษเป็น+∞, ปัดขึ้น, เพดานภาษาอังกฤษ - ตัวอักษร "เพดาน") - หากเครื่องหมายศูนย์ไม่เท่ากับศูนย์, เครื่องหมายก่อนหน้าจะเพิ่มขึ้นหนึ่งหากตัวเลขเป็นบวกหรือคงไว้หากตัวเลขเป็นลบ ในศัพท์แสงทางเศรษฐกิจ - ปัดเศษให้ผู้ขายเจ้าหนี้(ผู้ที่ได้รับเงิน) โดยเฉพาะ 2.6 → 3, −2.6 → −2 ข้อผิดพลาดในการปัดเศษอยู่ภายใน +1 ของหลักที่เก็บไว้สุดท้าย
• ปัดเศษลง(ปัดเศษเป็น −∞, ปัดเศษลง, พื้นภาษาอังกฤษ - คำต่อคำ "พื้น") - หากเครื่องหมายศูนย์ไม่เท่ากับศูนย์ เครื่องหมายก่อนหน้าจะยังคงอยู่หากตัวเลขเป็นบวก หรือเพิ่มขึ้นหนึ่งหากตัวเลขเป็นลบ ในศัพท์แสงทางเศรษฐกิจ - ปัดเศษให้ผู้ซื้อลูกหนี้(ผู้ให้เงิน). ที่นี่ 2.6 → 2, −2.6 → −3 ข้อผิดพลาดในการปัดเศษอยู่ภายใน −1 ของหลักที่เก็บไว้สุดท้าย
• การปัดเศษขึ้นแบบโมดูโล(ปัดเศษไปทางอนันต์ ปัดเศษจากศูนย์) เป็นรูปแบบการปัดเศษที่ค่อนข้างไม่ค่อยใช้ ถ้าเครื่องหมายศูนย์ไม่เท่ากับศูนย์ เครื่องหมายที่อยู่ข้างหน้าจะเพิ่มขึ้นหนึ่ง ข้อผิดพลาดในการปัดเศษคือ +1 หลักสุดท้ายสำหรับจำนวนบวก และ −1 หลักสุดท้ายสำหรับจำนวนลบ

ตัวเลือกสำหรับการปัดเศษ 0.5 เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด

กฎการปัดเศษต้องมีคำอธิบายแยกต่างหากสำหรับกรณีพิเศษเมื่อใด (N+1)หลักที่ = 5 และหลักถัดไปเป็นศูนย์- หากในกรณีอื่น ๆ การปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุดทำให้เกิดข้อผิดพลาดในการปัดเศษที่น้อยกว่า กรณีเฉพาะนี้มีลักษณะเฉพาะคือความจริงที่ว่าสำหรับการปัดเศษครั้งเดียวนั้นไม่สนใจอย่างเป็นทางการว่าจะทำการ "ขึ้น" หรือ "ลง" - ในทั้งสองกรณี มีการแนะนำข้อผิดพลาด 1/2 ของหลักที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด มีตัวเลือกต่อไปนี้สำหรับการปัดเศษเป็นกฎจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุดสำหรับกรณีนี้:

• การปัดเศษทางคณิตศาสตร์- การปัดเศษขึ้นด้านบนเสมอ (ตัวเลขก่อนหน้าจะเพิ่มขึ้นหนึ่งหลักเสมอ)
• การปัดเศษธนาคาร(การปัดเศษของนายธนาคารภาษาอังกฤษ) - การปัดเศษสำหรับกรณีนี้เกิดขึ้นเป็นเลขคู่ที่ใกล้ที่สุดนั่นคือ 2.5 → 2; 3.5 → 4
• การปัดเศษแบบสุ่ม- การปัดเศษเกิดขึ้นขึ้นหรือลงตามลำดับแบบสุ่ม แต่มีความน่าจะเป็นเท่ากัน (ใช้ในสถิติได้) การปัดเศษด้วยความน่าจะเป็นที่ไม่เท่ากันก็มักใช้เช่นกัน (ความน่าจะเป็นของการปัดเศษจะเท่ากับส่วนที่เป็นเศษส่วน) วิธีนี้ทำให้การสะสมข้อผิดพลาดเป็นตัวแปรสุ่มโดยไม่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นศูนย์
• การปัดเศษสลับกัน- การปัดเศษเกิดขึ้นขึ้นหรือลงสลับกัน

ในทุกกรณี เมื่อหลัก (N+1) ไม่เท่ากับ 5 หรือหลักถัดไปไม่เท่ากับศูนย์ การปัดเศษจะเกิดขึ้นตามกฎปกติ: 2.49 → 2; 2.51 → 3.

การปัดเศษทางคณิตศาสตร์เป็นไปตามกฎการปัดเศษทั่วไปอย่างเป็นทางการ (ดูด้านบน) ข้อเสียคือเมื่อปัดเศษค่าจำนวนมากที่จะนำมาประมวลผลร่วมกันต่อไปอาจเกิดการสะสมได้ ข้อผิดพลาดในการปัดเศษ- ตัวอย่างทั่วไป: การปัดเศษเป็นจำนวนเงินรูเบิลทั้งหมดแสดงเป็นรูเบิลและโกเปค ในการลงทะเบียน 10,000 บรรทัด (หากเราถือว่าส่วนของ kopeck ของแต่ละจำนวนเป็นตัวเลขสุ่มที่มีการแจกแจงแบบสม่ำเสมอซึ่งโดยทั่วไปค่อนข้างยอมรับได้) จะมีโดยเฉลี่ยประมาณ 100 บรรทัดโดยมีจำนวนที่มีค่า 50 ใน kopeck ส่วนหนึ่ง เมื่อปัดเศษเส้นดังกล่าวทั้งหมดตามกฎของการปัดเศษทางคณิตศาสตร์ "ขึ้น" จำนวน "รวม" ตามการลงทะเบียนแบบปัดเศษจะมากกว่าจำนวนที่แน่นอน 50 รูเบิล

อีกสามตัวเลือกถูกประดิษฐ์ขึ้นอย่างแม่นยำเพื่อลดข้อผิดพลาดโดยรวมของผลรวมเมื่อปัดเศษค่าจำนวนมาก การปัดเศษ “เป็นคู่ที่ใกล้ที่สุด” ตั้งอยู่บนสมมติฐานว่าหากมีค่าปัดเศษจำนวนมากโดยมีค่าเศษ 0.5 โดยเฉลี่ยแล้วครึ่งหนึ่งจะอยู่ทางซ้ายและอีกครึ่งหนึ่งอยู่ทางขวาของจำนวนคู่ที่ใกล้ที่สุด จึงเป็นการยกเลิกข้อผิดพลาดในการปัดเศษ หากพูดอย่างเคร่งครัด สมมติฐานนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อชุดตัวเลขที่ถูกปัดเศษมีคุณสมบัติเป็นอนุกรมแบบสุ่ม ซึ่งโดยปกติแล้วจะเป็นจริงในการใช้งานทางบัญชีที่เรากำลังพูดถึงราคา จำนวนเงินในบัญชี และอื่นๆ หากข้อสันนิษฐานถูกละเมิด การปัดเศษ "เป็นคู่" อาจทำให้เกิดข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบได้ ในกรณีดังกล่าว สองวิธีต่อไปนี้จะทำงานได้ดีกว่า

ตัวเลือกการปัดเศษสองตัวสุดท้ายช่วยให้มั่นใจได้ว่าค่าพิเศษประมาณครึ่งหนึ่งจะถูกปัดเศษไปทางเดียวและอีกครึ่งหนึ่ง แต่การนำวิธีการดังกล่าวไปใช้ในทางปฏิบัติต้องใช้ความพยายามเพิ่มเติมในการจัดระเบียบกระบวนการคำนวณ

• การปัดเศษแบบสุ่มจำเป็นต้องสร้างตัวเลขสุ่มสำหรับแต่ละแถวที่ถูกปัดเศษ เมื่อใช้ตัวเลขสุ่มหลอกที่สร้างโดยวิธีการเกิดซ้ำเชิงเส้น การสร้างแต่ละตัวเลขต้องใช้การดำเนินการแบบโมดูโลการคูณ การบวก และการหาร ซึ่งสามารถชะลอการคำนวณสำหรับข้อมูลจำนวนมากได้อย่างมาก
• การสลับการปัดเศษจำเป็นต้องจัดเก็บแฟล็กที่ระบุทิศทางที่ค่าพิเศษถูกปัดเศษครั้งล่าสุด และสลับค่าของแฟล็กนี้ในการดำเนินการแต่ละครั้ง

การกำหนด

การดำเนินการปัดเศษสำหรับหมายเลข x มากขึ้น (ขึ้น) แสดงไว้ดังนี้: ⌈ x ⌉ (\displaystyle \lceil x\rceil )- ในทำนองเดียวกันการปัดเศษ ให้น้อยลง (ลง) ถูกกำหนดไว้ ⌊ x ⌋ (\displaystyle \lfloor x\rfloor )- สัญลักษณ์เหล่านี้ (เช่นเดียวกับชื่อภาษาอังกฤษสำหรับการดำเนินการเหล่านี้ - ตามลำดับ เพดานและพื้น สว่าง "เพดาน" และ "พื้น") ได้รับการแนะนำโดยเค. ไอเวอร์สันในงานของเขา A Programming Language ซึ่งอธิบายระบบสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่ ต่อมาพัฒนาเป็นภาษาโปรแกรม APL สัญกรณ์ของ Iverson สำหรับการปัดเศษได้รับความนิยมโดย D. Knuth ในหนังสือของเขา The Art of Programming

โดยการเปรียบเทียบการปัดเศษ เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุดมักเรียกกันว่า [ x ] (\displaystyle \left)- ในงานเก่าและสมัยใหม่บางงาน (จนถึงปลายศตวรรษที่ 20) ใช้เพื่อระบุการปัดเศษลง การใช้สัญกรณ์นี้ย้อนกลับไปถึงผลงานของเกาส์ในปี ค.ศ. 1808 (หลักฐานชิ้นที่สามของเขาเกี่ยวกับกฎการตอบแทนกำลังสอง) นอกจากนี้ มีการใช้สัญกรณ์เดียวกัน (ที่มีความหมายต่างกัน) ในรูปแบบไอเวอร์สัน

การใช้การปัดเศษเมื่อทำงานด้วยจำนวนความแม่นยำที่จำกัด

ปริมาณทางกายภาพที่แท้จริงจะถูกวัดด้วยความแม่นยำจำกัดที่แน่นอนเสมอ ซึ่งขึ้นอยู่กับเครื่องมือและวิธีการวัด และประมาณโดยการเบี่ยงเบนสัมพัทธ์หรือสัมบูรณ์สูงสุดของค่าจริงที่ไม่รู้จักจากค่าที่วัดได้ ซึ่งในการแสดงค่าทศนิยมจะสอดคล้องกับ เลขนัยสำคัญจำนวนหนึ่งหรือตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่งในสัญลักษณ์ของตัวเลข ตัวเลขทั้งหมดที่อยู่หลัง (ทางด้านขวา) ล้วนไม่มีนัยสำคัญ (อยู่ในข้อผิดพลาดในการวัด) พารามิเตอร์ที่วัดได้นั้นจะถูกบันทึกด้วยอักขระจำนวนหนึ่งซึ่งตัวเลขทั้งหมดเชื่อถือได้บางทีอาจเป็นค่าสุดท้ายที่น่าสงสัย ข้อผิดพลาดในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่มีจำนวนความแม่นยำจำกัดจะยังคงอยู่และเปลี่ยนแปลงตามกฎทางคณิตศาสตร์ที่ทราบ ดังนั้นเมื่อค่ากลางและผลลัพธ์ที่มีตัวเลขจำนวนมากเกิดขึ้นในการคำนวณเพิ่มเติม ตัวเลขเหล่านี้เพียงบางส่วนเท่านั้นที่มีนัยสำคัญ ตัวเลขที่เหลือแม้จะแสดงอยู่ในค่า แต่ไม่ได้สะท้อนถึงความเป็นจริงทางกายภาพใดๆ และใช้เวลาในการคำนวณเท่านั้น เป็นผลให้ค่ากลางและผลลัพธ์ในการคำนวณที่มีความแม่นยำจำกัดถูกปัดเศษเป็นจำนวนตำแหน่งทศนิยมที่สะท้อนถึงความแม่นยำที่แท้จริงของค่าที่ได้รับ ในทางปฏิบัติขอแนะนำให้เก็บตัวเลขอีกหนึ่งหลักไว้ในค่ากลางสำหรับการคำนวณแบบ "ลูกโซ่" แบบยาว เมื่อใช้คอมพิวเตอร์ การปัดเศษระดับกลางในการใช้งานทางวิทยาศาสตร์และทางเทคนิคมักจะสูญเสียความหมาย และจะมีการปัดเศษเฉพาะผลลัพธ์เท่านั้น

ตัวอย่างเช่น ถ้าให้แรงที่ 5815 gf ซึ่งแม่นยำถึงแรงกรัมที่ใกล้ที่สุด และความยาวแขนเท่ากับ 1.4 เมตรแม่นยำต่อเซนติเมตร ดังนั้นโมเมนต์ของแรงมีหน่วยเป็น kgf ตามสูตร M = (มก. ก.) ⋅ ชั่วโมง (\displaystyle M=(มก.)\cdot h)ในกรณีคำนวณอย่างเป็นทางการมีเครื่องหมายทั้งหมดจะเท่ากับ: 5.815 กก. 1.4 ม. = 8.141 กก. ม- อย่างไรก็ตาม หากเราคำนึงถึงข้อผิดพลาดในการวัด เราจะพบว่าข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สูงสุดของค่าแรกคือ 1/5815 ≈ 1,7 10 −4 , ที่สอง - 1/140 ≈ 7,1 10 −3 ค่าคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ของผลลัพธ์ตามกฎข้อผิดพลาดของการดำเนินการคูณ (เมื่อคูณค่าโดยประมาณ ค่าคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์บวกกัน) จะเป็น 7,3 10 −3 ซึ่งสอดคล้องกับความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์สูงสุดของผลลัพธ์ ±0.059 kgf m! นั่นคือในความเป็นจริงเมื่อคำนึงถึงข้อผิดพลาดผลลัพธ์อาจอยู่ระหว่าง 8.082 ถึง 8.200 kgf m ดังนั้นในค่าที่คำนวณได้ที่ 8.141 kgf m มีเพียงตัวเลขแรกเท่านั้นที่เชื่อถือได้อย่างสมบูรณ์แม้แต่ตัวเลขที่สองก็ยังสงสัยอยู่แล้ว! จะต้องปัดเศษผลการคำนวณให้เป็นตัวเลขที่น่าสงสัยตัวแรกนั่นคือเป็นสิบ: 8.1 kgf m หรือหากจำเป็นต้องระบุขอบเขตของข้อผิดพลาดให้แม่นยำยิ่งขึ้นให้นำเสนอในรูปแบบปัดเศษเป็นหนึ่งหรือ ทศนิยมสองตำแหน่งแสดงถึงข้อผิดพลาด: 8.14 ± 0.06 กก.ฟุต ม.

กฎทั่วไปสำหรับเลขคณิตด้วยการปัดเศษ

ในกรณีที่ไม่จำเป็นต้องคำนึงถึงข้อผิดพลาดในการคำนวณอย่างแม่นยำ แต่เพียงประมาณจำนวนตัวเลขที่แน่นอนอันเป็นผลมาจากการคำนวณโดยใช้สูตร คุณสามารถใช้ชุดกฎง่ายๆ สำหรับการคำนวณแบบปัดเศษ:

1. ค่าดั้งเดิมทั้งหมดจะถูกปัดเศษตามความแม่นยำในการวัดจริงและเขียนด้วยจำนวนหลักสำคัญที่เหมาะสมเพื่อให้ในรูปแบบทศนิยมตัวเลขทั้งหมดมีความน่าเชื่อถือ (หลักสุดท้ายได้รับอนุญาตให้สงสัย) หากจำเป็นให้เขียนค่าด้วยเลขศูนย์ทางขวามือที่สำคัญเพื่อให้บันทึกระบุจำนวนอักขระที่เชื่อถือได้จริง (เช่น หากวัดความยาว 1 ม. เป็นเซนติเมตรที่ใกล้ที่สุดจริง ๆ ให้เขียน “1.00 ม.” เพื่อแสดง อักขระสองตัวนั้นเชื่อถือได้ในบันทึกหลังจุดทศนิยม) หรือมีการระบุความแม่นยำอย่างชัดเจน (เช่น 2,500 ± 5 ม. - ที่นี่มีเพียงสิบเท่านั้นที่เชื่อถือได้และควรปัดเศษให้เป็นค่าเหล่านั้น)
2. ค่ากลางจะถูกปัดเศษด้วยตัวเลข "สำรอง" หนึ่งหลัก
3. เมื่อบวกและลบผลลัพธ์จะถูกปัดเศษเป็นทศนิยมตำแหน่งสุดท้ายของพารามิเตอร์ที่แม่นยำน้อยที่สุด (เช่น เมื่อคำนวณค่า 1.00 ม. + 1.5 ม. + 0.075 ม. ผลลัพธ์จะถูกปัดเศษเป็นทศนิยมตำแหน่งที่สิบของเมตร กล่าวคือ ถึง 2.6 ม.) ในกรณีนี้ ขอแนะนำให้ทำการคำนวณตามลำดับเพื่อหลีกเลี่ยงการลบตัวเลขที่มีขนาดใกล้เคียงกันและดำเนินการกับตัวเลขหากเป็นไปได้เพื่อเพิ่มลำดับของโมดูล
4. เมื่อคูณและหารผลลัพธ์จะถูกปัดเศษให้เป็นจำนวนเลขนัยสำคัญที่น้อยที่สุดที่ตัวประกอบหรือเงินปันผลและตัวหารมี ตัวอย่างเช่น หากวัตถุมีการเคลื่อนไหวสม่ำเสมอครอบคลุมระยะทาง 2.5⋅10 3 เมตรในเวลา 635 วินาที ดังนั้น เมื่อคำนวณความเร็ว ผลลัพธ์ควรถูกปัดเศษเป็น 3.9 เมตร/วินาที เนื่องจากหนึ่งในตัวเลข (ระยะทาง) คือ ทราบด้วยความแม่นยำเพียงเลขนัยสำคัญสองตัวเท่านั้น หมายเหตุสำคัญ: ถ้าตัวถูกดำเนินการตัวหนึ่งในการคูณหรือตัวหารในการหารเป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ ไม่ใช่ผลลัพธ์ของการวัดปริมาณทางกายภาพต่อเนื่องที่แม่นยำกับหน่วยทั้งหมด แต่ ตัวอย่างเช่น ปริมาณหรือเพียงแค่ค่าคงที่จำนวนเต็ม) ดังนั้น จำนวนหลักที่มีนัยสำคัญในนั้นคือความแม่นยำของผลลัพธ์ของการดำเนินการที่ไม่ได้รับผลกระทบ และจำนวนหลักที่เหลือจะถูกกำหนดโดยตัวถูกดำเนินการที่สองเท่านั้น ตัวอย่างเช่น พลังงานจลน์ของวัตถุหนัก 0.325 กิโลกรัม เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 5.2 เมตร/วินาที เท่ากับ E k = m v 2 2 = 0.325 ⋅ 5.2 2 2 = 4.394 กลับไปยัง 4.4 (\displaystyle E_(k)=(\tfrac (mv^(2))(2))=(\tfrac (0.325\cdot 5.2^(2) ))(2))=4.394\ประมาณ 4.4) เจ - ถูกปัดเศษเป็นตัวเลขสองหลัก (ตามจำนวนหลักที่มีนัยสำคัญในค่าความเร็ว) และไม่ใช่หนึ่ง (ตัวหาร 2 ในสูตร) ​​เนื่องจากค่า 2 ในความหมายคือค่าคงที่จำนวนเต็มของสูตรจึงเป็นอย่างแน่นอน แม่นยำและไม่ส่งผลกระทบต่อความแม่นยำของการคำนวณ (อย่างเป็นทางการแล้ว ตัวถูกดำเนินการดังกล่าวอาจถือได้ว่า "วัดเป็นจำนวนหลักที่มีนัยสำคัญเป็นอนันต์")
5. เมื่อคำนวณค่าฟังก์ชัน f (x) (\displaystyle f\left(x\right))จำเป็นต้องประมาณมูลค่าของโมดูล

วิธีการ

พื้นที่ที่แตกต่างกันอาจใช้วิธีการปัดเศษที่แตกต่างกัน ในวิธีการเหล่านี้ทั้งหมด สัญญาณ "พิเศษ" จะถูกรีเซ็ต (ทิ้ง) และสัญญาณที่อยู่ข้างหน้าจะถูกปรับตามกฎบางอย่าง

• ปัดเศษให้เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด(ภาษาอังกฤษ) การปัดเศษ) - การปัดเศษที่ใช้บ่อยที่สุด ซึ่งตัวเลขจะถูกปัดเศษเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งเป็นโมดูลัสของผลต่างที่ตัวเลขนี้มีขั้นต่ำ โดยทั่วไป เมื่อตัวเลขในระบบทศนิยมถูกปัดเศษให้เป็นทศนิยมตำแหน่งที่ N กฎสามารถกำหนดได้ดังนี้
  • ถ้า เครื่องหมาย N+1< 5 จากนั้นเครื่องหมาย N ยังคงอยู่ และ N+1 และเครื่องหมายที่ตามมาทั้งหมดจะถูกรีเซ็ตเป็นศูนย์
  • ถ้า N+1 อักขระ ≥ 5จากนั้นเครื่องหมาย N จะเพิ่มขึ้นหนึ่ง และ N+1 และเครื่องหมายที่ตามมาทั้งหมดจะถูกรีเซ็ตเป็นศูนย์
  ตัวอย่างเช่น: 11.9 → 12; −0.9 → −1; −1,1 → −1; 2.5 → 3
• การปัดเศษลงแบบโมดูโล(ปัดเศษเป็นศูนย์, จำนวนเต็มภาษาอังกฤษ) แก้ไข ตัดทอน จำนวนเต็ม) เป็นการปัดเศษที่ "ง่ายที่สุด" เนื่องจากหลังจากลบเครื่องหมาย "พิเศษ" ออกไปแล้ว เครื่องหมายก่อนหน้าจะยังคงอยู่ ตัวอย่างเช่น 11.9 → 11; −0.9 → 0; −1,1 → −1)
• ปัดเศษขึ้น(ปัดเป็น +∞, ปัดขึ้น, eng. เพดาน) - หากเครื่องหมายศูนย์ไม่เท่ากับศูนย์ เครื่องหมายก่อนหน้าจะเพิ่มขึ้นหนึ่งหากตัวเลขเป็นบวก หรือคงไว้หากตัวเลขเป็นลบ ในศัพท์แสงทางเศรษฐกิจ - ปัดเศษให้ผู้ขายเจ้าหนี้(ผู้ที่ได้รับเงิน) โดยเฉพาะ 2.6 → 3, −2.6 → −2
• ปัดเศษลง(ปัดเศษเป็น −∞, ปัดเศษลง, ภาษาอังกฤษ พื้น) - หากเครื่องหมายศูนย์ไม่เท่ากับศูนย์ เครื่องหมายก่อนหน้าจะยังคงอยู่หากตัวเลขเป็นบวก หรือเพิ่มขึ้นหนึ่งหากตัวเลขเป็นลบ ในศัพท์แสงทางเศรษฐกิจ - ปัดเศษให้ผู้ซื้อลูกหนี้(ผู้ให้เงิน). ที่นี่ 2.6 → 2, −2.6 → −3
• การปัดเศษขึ้นแบบโมดูโล(ปัดเศษไปทางอนันต์ ปัดเศษจากศูนย์) เป็นรูปแบบการปัดเศษที่ค่อนข้างไม่ค่อยใช้ ถ้าเครื่องหมายศูนย์ไม่เท่ากับศูนย์ เครื่องหมายที่อยู่ข้างหน้าจะเพิ่มขึ้นหนึ่ง

ตัวเลือกสำหรับการปัดเศษ 0.5 เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด

กฎการปัดเศษต้องมีคำอธิบายแยกต่างหากสำหรับกรณีพิเศษเมื่อใด (N+1)หลักที่ = 5 และหลักถัดไปเป็นศูนย์- หากในกรณีอื่น ๆ การปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุดทำให้เกิดข้อผิดพลาดในการปัดเศษที่น้อยกว่า กรณีเฉพาะนี้มีลักษณะเฉพาะคือความจริงที่ว่าสำหรับการปัดเศษครั้งเดียวนั้นไม่สนใจอย่างเป็นทางการว่าจะทำการ "ขึ้น" หรือ "ลง" - ในทั้งสองกรณี มีการแนะนำข้อผิดพลาด 1/2 ของหลักที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด มีตัวเลือกต่อไปนี้สำหรับการปัดเศษเป็นกฎจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุดสำหรับกรณีนี้:

• การปัดเศษทางคณิตศาสตร์- การปัดเศษขึ้นด้านบนเสมอ (ตัวเลขก่อนหน้าจะเพิ่มขึ้นหนึ่งหลักเสมอ)
• การปัดเศษธนาคาร(ภาษาอังกฤษ) การปัดเศษของนายธนาคาร) - การปัดเศษสำหรับกรณีนี้เกิดขึ้นเป็นเลขคู่ที่ใกล้ที่สุดนั่นคือ 2.5 → 2, 3.5 → 4
• การปัดเศษแบบสุ่ม- การปัดเศษเกิดขึ้นขึ้นหรือลงตามลำดับแบบสุ่ม แต่มีความน่าจะเป็นเท่ากัน (ใช้ในสถิติได้)
• การปัดเศษสลับกัน- การปัดเศษเกิดขึ้นขึ้นหรือลงสลับกัน

ในทุกกรณี เมื่อหลัก (N+1) ไม่เท่ากับ 5 หรือหลักถัดไปไม่เท่ากับศูนย์ การปัดเศษจะเกิดขึ้นตามกฎปกติ: 2.49 → 2; 2.51 → 3.

การปัดเศษทางคณิตศาสตร์เป็นไปตามกฎการปัดเศษทั่วไปอย่างเป็นทางการ (ดูด้านบน) ข้อเสียคือเมื่อปัดเศษค่าจำนวนมากอาจเกิดการสะสม ข้อผิดพลาดในการปัดเศษ- ตัวอย่างทั่วไป: การปัดเศษจำนวนเงินเป็นรูเบิลทั้งหมด ดังนั้นหากในการลงทะเบียน 10,000 บรรทัดมี 100 บรรทัดที่มีมูลค่า 50 ใน kopecks (และนี่เป็นการประมาณที่สมจริงมาก) จากนั้นเมื่อปัดเศษบรรทัดดังกล่าวทั้งหมด "ขึ้น" จำนวนเงิน "รวม" สำหรับ การลงทะเบียนแบบปัดเศษจะมากกว่า 50 รูเบิล .

อีกสามตัวเลือกถูกประดิษฐ์ขึ้นอย่างแม่นยำเพื่อลดข้อผิดพลาดโดยรวมของผลรวมเมื่อปัดเศษค่าจำนวนมาก การปัดเศษ “เป็นคู่ที่ใกล้ที่สุด” ขึ้นอยู่กับสมมติฐานว่าหากมีค่าปัดเศษจำนวนมากโดยมีค่าเศษ 0.5 โดยเฉลี่ยแล้วครึ่งหนึ่งจะจบลงทางซ้ายและครึ่งหนึ่งไปทางขวาของเลขคู่ที่ใกล้ที่สุด จึงยกเลิกข้อผิดพลาดในการปัดเศษ หากพูดอย่างเคร่งครัด สมมติฐานนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อชุดตัวเลขที่ถูกปัดเศษมีคุณสมบัติเป็นอนุกรมแบบสุ่ม ซึ่งโดยปกติแล้วจะเป็นจริงในการใช้งานทางบัญชีที่เรากำลังพูดถึงราคา จำนวนเงินในบัญชี และอื่นๆ หากข้อสันนิษฐานถูกละเมิด การปัดเศษ "เป็นคู่" อาจทำให้เกิดข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบได้ ในกรณีดังกล่าว สองวิธีต่อไปนี้จะทำงานได้ดีกว่า

ตัวเลือกการปัดเศษสองตัวสุดท้ายช่วยให้มั่นใจได้ว่าค่าพิเศษประมาณครึ่งหนึ่งจะถูกปัดเศษไปทางเดียวและอีกครึ่งหนึ่ง แต่การนำวิธีการดังกล่าวไปใช้ในทางปฏิบัติต้องใช้ความพยายามเพิ่มเติมในการจัดระเบียบกระบวนการคำนวณ

การใช้งาน

การปัดเศษใช้เพื่อทำงานกับตัวเลขภายในจำนวนตำแหน่งทศนิยมที่สอดคล้องกับความแม่นยำที่แท้จริงของพารามิเตอร์การคำนวณ (หากค่าเหล่านี้แสดงถึงปริมาณจริงที่วัดได้ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง) ความแม่นยำที่ทำได้จริงของการคำนวณหรือ ความแม่นยำของผลลัพธ์ที่ต้องการ ในอดีตการปัดเศษค่ากลางและผลลัพธ์มีความสำคัญในทางปฏิบัติ (เนื่องจากเมื่อคำนวณบนกระดาษหรือใช้อุปกรณ์ดั้งเดิมเช่นลูกคิดโดยคำนึงถึงตำแหน่งทศนิยมเพิ่มเติมสามารถเพิ่มปริมาณงานได้อย่างจริงจัง) ปัจจุบันยังคงเป็นองค์ประกอบของวัฒนธรรมทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ ในการประยุกต์ใช้งานทางบัญชี นอกจากนี้ อาจจำเป็นต้องใช้การปัดเศษ รวมถึงการปัดเศษระดับกลาง เพื่อป้องกันข้อผิดพลาดในการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับความจุอันจำกัดของอุปกรณ์คอมพิวเตอร์

การใช้การปัดเศษเมื่อทำงานด้วยจำนวนความแม่นยำที่จำกัด

ปริมาณทางกายภาพจริงจะถูกวัดด้วยความแม่นยำจำกัดเสมอ ซึ่งขึ้นอยู่กับเครื่องมือและวิธีการวัด และประมาณโดยค่าเบี่ยงเบนสัมพัทธ์หรือสัมบูรณ์สูงสุดของค่าจริงที่ไม่รู้จักจากค่าที่วัดได้ ซึ่งในการแสดงค่าในรูปแบบทศนิยมจะสอดคล้องกับ ไม่ว่าจะเป็นเลขนัยสำคัญจำนวนหนึ่งหรือตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่งในการบันทึกตัวเลข ตัวเลขทั้งหมดที่อยู่หลัง (ทางขวา) ล้วนไม่มีนัยสำคัญ (อยู่ภายในข้อผิดพลาดในการวัด) พารามิเตอร์ที่วัดได้นั้นจะถูกบันทึกด้วยอักขระจำนวนหนึ่งซึ่งตัวเลขทั้งหมดเชื่อถือได้บางทีอาจเป็นค่าสุดท้ายที่น่าสงสัย ข้อผิดพลาดในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่มีจำนวนความแม่นยำจำกัดจะยังคงอยู่และเปลี่ยนแปลงตามกฎทางคณิตศาสตร์ที่ทราบ ดังนั้นเมื่อค่ากลางและผลลัพธ์ที่มีตัวเลขจำนวนมากปรากฏในการคำนวณเพิ่มเติม ตัวเลขเหล่านี้เพียงบางส่วนเท่านั้นที่มีนัยสำคัญ ตัวเลขที่เหลือแม้จะแสดงอยู่ในค่า แต่ไม่ได้สะท้อนถึงความเป็นจริงทางกายภาพใดๆ และใช้เวลาในการคำนวณเท่านั้น เป็นผลให้ค่ากลางและผลลัพธ์ในการคำนวณที่มีความแม่นยำจำกัดถูกปัดเศษเป็นจำนวนตำแหน่งทศนิยมที่สะท้อนถึงความแม่นยำที่แท้จริงของค่าที่ได้รับ ในทางปฏิบัติขอแนะนำให้เก็บตัวเลขอีกหนึ่งหลักไว้ในค่ากลางสำหรับการคำนวณแบบแมนนวลแบบ "ลูกโซ่" แบบยาว เมื่อใช้คอมพิวเตอร์ การปัดเศษระดับกลางในการใช้งานทางวิทยาศาสตร์และทางเทคนิคมักจะสูญเสียความหมาย และจะมีการปัดเศษเฉพาะผลลัพธ์เท่านั้น

ตัวอย่างเช่น หากให้แรง 5815 gf ด้วยความแม่นยำของแรง 1 กรัมและความยาวแขนคือ 1.4 ม. ด้วยความแม่นยำ 1 เซนติเมตร ดังนั้นโมเมนต์ของแรงในหน่วย kgf ตามสูตร ในกรณีนี้ ของการคำนวณอย่างเป็นทางการพร้อมเครื่องหมายทั้งหมดจะเท่ากับ: 5.815 กก. 1.4 ม. = 8.141 กก. ม- อย่างไรก็ตาม หากเราคำนึงถึงข้อผิดพลาดในการวัด เราจะพบว่าข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สูงสุดของค่าแรกคือ 1/5815 ≈ 1,7 10 −4 , ที่สอง - 1/140 ≈ 7,1 10 −3 ค่าคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ของผลลัพธ์ตามกฎข้อผิดพลาดของการดำเนินการคูณ (เมื่อคูณค่าโดยประมาณ ค่าคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์บวกกัน) จะเป็น 7,3 10 −3 ซึ่งสอดคล้องกับความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์สูงสุดของผลลัพธ์ ±0.059 kgf m! นั่นคือในความเป็นจริงเมื่อคำนึงถึงข้อผิดพลาดผลลัพธ์อาจอยู่ระหว่าง 8.082 ถึง 8.200 kgf m ดังนั้นในค่าที่คำนวณได้ที่ 8.141 kgf m มีเพียงตัวเลขแรกเท่านั้นที่เชื่อถือได้อย่างสมบูรณ์แม้แต่ตัวเลขที่สองก็ยังสงสัยอยู่แล้ว! จะต้องปัดเศษผลการคำนวณให้เป็นตัวเลขที่น่าสงสัยตัวแรกนั่นคือเป็นสิบ: 8.1 kgf m หรือหากจำเป็นต้องระบุขอบเขตของข้อผิดพลาดให้แม่นยำยิ่งขึ้นให้นำเสนอในรูปแบบปัดเศษเป็นหนึ่งหรือ ทศนิยมสองตำแหน่งแสดงถึงข้อผิดพลาด: 8.14 ± 0.06 กก.ฟุต ม.

กฎทั่วไปสำหรับเลขคณิตด้วยการปัดเศษ

ในกรณีที่ไม่จำเป็นต้องคำนึงถึงข้อผิดพลาดในการคำนวณอย่างแม่นยำ แต่เพียงประมาณจำนวนตัวเลขที่แน่นอนอันเป็นผลมาจากการคำนวณโดยใช้สูตร คุณสามารถใช้ชุดกฎง่ายๆ สำหรับการคำนวณแบบปัดเศษ:

1. ค่าดั้งเดิมทั้งหมดจะถูกปัดเศษตามความแม่นยำในการวัดจริงและเขียนด้วยจำนวนหลักสำคัญที่เหมาะสมเพื่อให้ในรูปแบบทศนิยมตัวเลขทั้งหมดมีความน่าเชื่อถือ (หลักสุดท้ายได้รับอนุญาตให้สงสัย) หากจำเป็นให้เขียนค่าด้วยเลขศูนย์ทางขวามือที่สำคัญเพื่อให้บันทึกระบุจำนวนอักขระที่เชื่อถือได้จริง (เช่น หากวัดความยาว 1 ม. เป็นเซนติเมตรที่ใกล้ที่สุดจริง ๆ ให้เขียน “1.00 ม.” เพื่อแสดง อักขระสองตัวนั้นเชื่อถือได้ในบันทึกหลังจุดทศนิยม) หรือมีการระบุความแม่นยำอย่างชัดเจน (เช่น 2,500 ± 5 ม. - ที่นี่มีเพียงสิบเท่านั้นที่เชื่อถือได้และควรปัดเศษให้เป็นค่าเหล่านั้น)
2. ค่ากลางจะถูกปัดเศษด้วยตัวเลข "สำรอง" หนึ่งหลัก
3. เมื่อบวกและลบผลลัพธ์จะถูกปัดเศษเป็นทศนิยมตำแหน่งสุดท้ายของพารามิเตอร์ที่แม่นยำน้อยที่สุด (เช่น เมื่อคำนวณค่า 1.00 ม. + 1.5 ม. + 0.075 ม. ผลลัพธ์จะถูกปัดเศษเป็นทศนิยมตำแหน่งที่สิบของเมตร กล่าวคือ ถึง 2.6 ม.) ในกรณีนี้ ขอแนะนำให้ทำการคำนวณตามลำดับเพื่อหลีกเลี่ยงการลบตัวเลขที่มีขนาดใกล้เคียงกันและดำเนินการกับตัวเลขหากเป็นไปได้เพื่อเพิ่มลำดับของโมดูล
4. เมื่อคูณและหารผลลัพธ์จะถูกปัดเศษเป็นจำนวนตัวเลขนัยสำคัญที่น้อยที่สุดที่พารามิเตอร์มี (ตัวอย่างเช่นเมื่อคำนวณความเร็วของการเคลื่อนที่สม่ำเสมอของร่างกายที่ระยะ 2.5 10 2 ม. ใน 600 วินาทีผลลัพธ์ควรเป็น ปัดเศษเป็น 4.2 เมตร/วินาที เนื่องจากระยะทางมีเลขสองหลัก และเวลามีสาม โดยถือว่าตัวเลขทั้งหมดในค่านี้มีนัยสำคัญ)
5. เมื่อคำนวณค่าฟังก์ชัน ฉ(x)จำเป็นต้องประมาณค่าโมดูลัสของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ใกล้กับจุดคำนวณ ถ้า (|ฉ"(x)| ≤ 1)จากนั้นผลลัพธ์ของฟังก์ชันจะมีความแม่นยำถึงตำแหน่งทศนิยมเดียวกันกับอาร์กิวเมนต์ มิฉะนั้น ผลลัพธ์จะมีตำแหน่งทศนิยมน้อยลงตามจำนวน บันทึก 10 (|ฉ"(x)|)ปัดเศษขึ้นให้เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด

แม้จะมีความหละหลวม แต่กฎข้างต้นก็ใช้งานได้ดีในทางปฏิบัติโดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากมีความเป็นไปได้สูงที่จะยกเลิกข้อผิดพลาดร่วมกัน ซึ่งโดยปกติจะไม่นำมาพิจารณาเมื่อคำนึงถึงข้อผิดพลาดอย่างแม่นยำ

ข้อผิดพลาด

การใช้ตัวเลขที่ไม่กลมในทางที่ผิดถือเป็นเรื่องปกติ ตัวอย่างเช่น:

• ตัวเลขที่มีความแม่นยำต่ำจะถูกเขียนในรูปแบบไม่มีการปัดเศษ ในสถิติ: หาก 4 คนจาก 17 คนตอบว่า "ใช่" พวกเขาก็เขียนว่า "23.5%" (ในขณะที่ "24%" ถูกต้อง)
• ผู้ใช้เครื่องมือพอยน์เตอร์บางครั้งคิดเช่นนี้: "เข็มหยุดระหว่าง 5.5 ถึง 6, ใกล้ 6, ปล่อยให้เป็น 5.8" - นี่เป็นสิ่งต้องห้ามเช่นกัน (การสอบเทียบอุปกรณ์มักจะสอดคล้องกับความแม่นยำที่แท้จริง) ในกรณีนี้คุณควรพูดว่า "5.5" หรือ "6"

ดูสิ่งนี้ด้วย

• กำลังประมวลผลการสังเกต
• ข้อผิดพลาดในการปัดเศษ

หมายเหตุ

วรรณกรรม

• เฮนรี เอส. วอร์เรน จูเนียร์ บทที่ 3 การปัดเศษยกกำลัง 2// เทคนิคอัลกอริทึมสำหรับโปรแกรมเมอร์ = Hacker's Delight - M.: Williams, 2007. - P. 288. - ISBN 0-201-91465-4