วิธีหารจำนวนปกติด้วยเศษส่วน เศษส่วน

เนื้อหาบทเรียน

การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

การบวกเศษส่วนมีสองประเภท:

1. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
2. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน

ก่อนอื่น มาเรียนรู้การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกันกันก่อน ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ หากต้องการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณต้องบวกตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น ลองบวกเศษส่วน และ เพิ่มตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง:

ตัวอย่างนี้สามารถเข้าใจได้ง่ายถ้าเราจำพิซซ่าได้ซึ่งแบ่งออกเป็นสี่ส่วน หากคุณเพิ่มพิซซ่าลงในพิซซ่า คุณจะได้พิซซ่า:

ตัวอย่างที่ 2เพิ่มเศษส่วนและ.

คำตอบกลายเป็นเศษส่วนเกิน. เมื่องานสิ้นสุดลง เป็นเรื่องปกติที่จะต้องกำจัดเศษส่วนเกินออก หากต้องการกำจัดเศษส่วนเกิน คุณต้องเลือกเศษส่วนทั้งหมด ในกรณีของเรา แยกส่วนทั้งหมดออกได้ง่าย - สองหารด้วยสองเท่ากับหนึ่ง:

ตัวอย่างนี้สามารถเข้าใจได้ง่ายถ้าเราจำพิซซ่าที่แบ่งออกเป็นสองส่วนได้ หากคุณเพิ่มพิซซ่าลงในพิซซ่า คุณจะได้พิซซ่าทั้งถาด:

ตัวอย่างที่ 3- เพิ่มเศษส่วนและ.

อีกครั้ง เรารวมตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง:

ตัวอย่างนี้สามารถเข้าใจได้ง่ายถ้าเราจำพิซซ่าได้ซึ่งแบ่งออกเป็นสามส่วน หากคุณเพิ่มพิซซ่าลงในพิซซ่า คุณจะได้พิซซ่า:

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาค่าของนิพจน์

ตัวอย่างนี้ได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้าทุกประการ ต้องบวกตัวเศษและตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง:

เรามาลองอธิบายวิธีแก้ปัญหาของเราโดยใช้ภาพวาดกัน หากคุณเพิ่มพิซซ่าลงในพิซซ่าและเพิ่มพิซซ่าอีก คุณจะได้รับพิซซ่าทั้ง 1 ถาดและพิซซ่าอีก 1 ถาด

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อนในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน ก็เพียงพอที่จะเข้าใจกฎต่อไปนี้:

1. หากต้องการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณต้องเพิ่มตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง

การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน

ตอนนี้ เรามาเรียนรู้วิธีบวกเศษส่วนด้วยตัวส่วนต่างๆ กัน เมื่อบวกเศษส่วน ตัวส่วนของเศษส่วนจะต้องเท่ากัน แต่พวกเขาไม่ได้เหมือนกันเสมอไป

ตัวอย่างเช่น เศษส่วนสามารถบวกได้เนื่องจากมีตัวส่วนเท่ากัน

แต่เศษส่วนไม่สามารถบวกได้ทันที เนื่องจากเศษส่วนเหล่านี้มีตัวส่วนต่างกัน ในกรณีเช่นนี้ เศษส่วนจะต้องถูกลดให้เหลือตัวส่วน (ร่วม) เท่าเดิม

มีหลายวิธีในการลดเศษส่วนให้เหลือตัวส่วนเดียวกัน วันนี้เราจะดูเพียงวิธีเดียวเท่านั้น เนื่องจากวิธีอื่นอาจดูซับซ้อนสำหรับมือใหม่

สาระสำคัญของวิธีนี้คือค้นหา LCM ของตัวส่วนของทั้งสองเศษส่วนก่อน จากนั้น LCM จะถูกหารด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแรกเพื่อให้ได้ตัวประกอบเพิ่มเติมตัวแรก พวกเขาทำเช่นเดียวกันกับเศษส่วนที่สอง - LCM จะถูกหารด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สองและได้รับตัวประกอบเพิ่มเติมที่สอง

ตัวเศษและส่วนของเศษส่วนจะถูกคูณด้วยตัวประกอบเพิ่มเติม จากการกระทำเหล่านี้ เศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันจะกลายเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน และเรารู้วิธีบวกเศษส่วนแล้ว.

ตัวอย่างที่ 1- ลองบวกเศษส่วนและ

ก่อนอื่น เราจะหาตัวส่วนร่วมที่น้อยที่สุดของเศษส่วนทั้งสอง ตัวส่วนของเศษส่วนแรกคือเลข 3 และตัวส่วนของเศษส่วนที่สองคือเลข 2 ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขเหล่านี้คือ 6

LCM (2 และ 3) = 6

ทีนี้ลองกลับมาที่เศษส่วนและ. ขั้นแรก ให้หาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแรกแล้วได้ตัวประกอบเพิ่มเติมตัวแรก LCM คือเลข 6 และตัวส่วนของเศษส่วนแรกคือเลข 3 หาร 6 ด้วย 3 เราได้ 2

ผลลัพธ์หมายเลข 2 คือตัวคูณเพิ่มเติมตัวแรก เราเขียนมันเป็นเศษส่วนแรก. โดยให้ลากเส้นเฉียงเล็กๆ เหนือเศษส่วนแล้วจดปัจจัยเพิ่มเติมที่พบด้านบนลงไป:

เราทำเช่นเดียวกันกับเศษส่วนที่สอง. เราหาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สองและรับตัวประกอบเพิ่มเติมที่สอง LCM คือเลข 6 และตัวส่วนของเศษส่วนที่สองคือเลข 2 หาร 6 ด้วย 2 เราได้ 3

ผลลัพธ์หมายเลข 3 คือตัวคูณเพิ่มเติมตัวที่สอง เราเขียนมันเป็นเศษส่วนที่สอง. ขอย้ำอีกครั้ง เราสร้างเส้นเฉียงเล็กๆ เหนือเศษส่วนที่สอง และจดปัจจัยเพิ่มเติมที่พบด้านบนไว้:

ตอนนี้เรามีทุกอย่างพร้อมสำหรับการเพิ่มเติมแล้ว ยังคงต้องคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยปัจจัยเพิ่มเติม:

พิจารณาสิ่งที่เราได้มาอย่างละเอียดถี่ถ้วน เราได้ข้อสรุปว่าเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันกลายเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน และเรารู้วิธีบวกเศษส่วนแล้ว. ลองใช้ตัวอย่างนี้จนจบ:

นี่เป็นการเสร็จสิ้นตัวอย่าง ปรากฎว่าเพิ่ม

เรามาลองอธิบายวิธีแก้ปัญหาของเราโดยใช้ภาพวาดกัน หากคุณเพิ่มพิซซ่าลงในพิซซ่า คุณจะได้พิซซ่าหนึ่งถาดและอีกพิซซ่าหนึ่งในหกของพิซซ่า:

การลดเศษส่วนให้เหลือตัวส่วนเท่ากัน (ร่วม) ก็สามารถอธิบายได้โดยใช้รูปภาพ การลดเศษส่วนและเป็นตัวส่วนร่วม เราได้เศษส่วนและ เศษส่วนทั้งสองนี้จะแสดงด้วยพิซซ่าชิ้นเดียวกัน ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือคราวนี้พวกเขาจะแบ่งออกเป็นหุ้นเท่า ๆ กัน (ลดให้เหลือตัวส่วนเท่ากัน)

ภาพวาดแรกแทนเศษส่วน (สี่ชิ้นจากหกชิ้น) และภาพวาดที่สองแทนเศษส่วน (สามชิ้นจากหกชิ้น) เราได้เพิ่มชิ้นส่วนเหล่านี้ (เจ็ดชิ้นจากหกชิ้น) เศษส่วนนี้ไม่เหมาะสม เราจึงเน้นเศษส่วนทั้งหมด. เป็นผลให้เราได้ (พิซซ่าหนึ่งอันและพิซซ่าที่หกอีกอัน)

โปรดทราบว่าเราได้อธิบายตัวอย่างนี้โดยละเอียดมากเกินไป ในสถาบันการศึกษาไม่ใช่เรื่องปกติที่จะเขียนรายละเอียดดังกล่าว คุณต้องสามารถค้นหา LCM ของทั้งตัวส่วนและตัวประกอบเพิ่มเติมได้อย่างรวดเร็ว พร้อมทั้งคูณตัวประกอบเพิ่มเติมที่พบอย่างรวดเร็วด้วยตัวเศษและตัวส่วน ถ้าเราอยู่ที่โรงเรียนเราจะต้องเขียนตัวอย่างดังนี้:

แต่เหรียญก็มีอีกด้านหนึ่งเช่นกัน หากคุณไม่จดบันทึกอย่างละเอียดในช่วงแรกของการเรียนคณิตศาสตร์ คำถามประเภทนี้จะเริ่มปรากฏขึ้น “ตัวเลขนั้นมาจากไหน”, “เหตุใดเศษส่วนจึงกลายเป็นเศษส่วนที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง? «.

เพื่อให้ง่ายต่อการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน คุณสามารถใช้คำแนะนำทีละขั้นตอนต่อไปนี้:

1. ค้นหา LCM ของตัวส่วนของเศษส่วน
2. หาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแต่ละส่วนและรับตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับแต่ละเศษส่วน
3. คูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยตัวประกอบเพิ่มเติม
4. บวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
5. หากคำตอบกลายเป็นเศษส่วนเกิน ให้เลือกทั้งเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาค่าของนิพจน์ .

ลองใช้คำแนะนำที่ให้ไว้ข้างต้น

ขั้นตอนที่ 1 ค้นหา LCM ของตัวส่วนของเศษส่วน

ค้นหา LCM ของตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสอง ตัวส่วนของเศษส่วนคือตัวเลข 2, 3 และ 4

ขั้นตอนที่ 2. หาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแต่ละส่วนและรับตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับแต่ละเศษส่วน

หาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแรก. LCM คือเลข 12 และตัวส่วนของเศษส่วนแรกคือเลข 2 หาร 12 ด้วย 2 เราได้ 6 เราได้ตัวประกอบเพิ่มเติมตัวแรกคือ 6 เราเขียนไว้เหนือเศษส่วนแรก:

ตอนนี้เราหาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สอง LCM คือเลข 12 และตัวส่วนของเศษส่วนที่สองคือเลข 3 หาร 12 ด้วย 3 เราได้ 4 เราได้ตัวประกอบเพิ่มเติมตัวที่สอง 4 เราเขียนไว้เหนือเศษส่วนที่สอง:

ตอนนี้เราหาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สาม LCM คือเลข 12 และตัวส่วนของเศษส่วนที่สามคือเลข 4 หาร 12 ด้วย 4 เราได้ 3 เราได้ตัวประกอบเพิ่มเติมตัวที่สาม 3 เราเขียนไว้เหนือเศษส่วนที่สาม:

ขั้นตอนที่ 3 คูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยตัวประกอบเพิ่มเติม

เราคูณตัวเศษและส่วนด้วยปัจจัยเพิ่มเติม:

ขั้นตอนที่ 4 บวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

เราได้ข้อสรุปว่าเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันกลายเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกัน (ร่วม) สิ่งที่เหลืออยู่คือการบวกเศษส่วนเหล่านี้ เพิ่มมันขึ้นมา:

การเพิ่มไม่พอดีกับบรรทัดเดียว ดังนั้นเราจึงย้ายนิพจน์ที่เหลือไปยังบรรทัดถัดไป สิ่งนี้ได้รับอนุญาตในวิชาคณิตศาสตร์ เมื่อนิพจน์ไม่พอดีกับบรรทัดหนึ่ง นิพจน์นั้นจะถูกย้ายไปยังบรรทัดถัดไป และจำเป็นต้องใส่เครื่องหมายเท่ากับ (=) ที่ท้ายบรรทัดแรกและที่จุดเริ่มต้นของบรรทัดใหม่ เครื่องหมายเท่ากับบนบรรทัดที่สองบ่งชี้ว่านี่คือความต่อเนื่องของนิพจน์ที่อยู่ในบรรทัดแรก

ขั้นตอนที่ 5 หากคำตอบกลายเป็นเศษส่วนเกิน ให้เลือกเศษส่วนทั้งหมด

คำตอบของเรากลายเป็นเศษส่วนเกิน. เราต้องเน้นบางส่วนทั้งหมด เราเน้น:

เราได้รับคำตอบ

การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

การลบเศษส่วนมีสองประเภท:

1. การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
2. การลบเศษส่วนด้วยตัวส่วนต่างกัน

ขั้นแรก เรามาเรียนรู้วิธีลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกันกันก่อน ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ หากต้องการลบอีกส่วนหนึ่งออกจากเศษส่วนหนึ่ง คุณต้องลบตัวเศษของเศษส่วนที่สองออกจากตัวเศษของเศษส่วนแรก แต่ปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม

ตัวอย่างเช่น ลองหาค่าของนิพจน์ เพื่อแก้ตัวอย่างนี้ คุณต้องลบตัวเศษของเศษส่วนที่สองออกจากตัวเศษของเศษส่วนแรก และปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง ลงมือทำกันเถอะ:

ตัวอย่างนี้สามารถเข้าใจได้ง่ายถ้าเราจำพิซซ่าได้ซึ่งแบ่งออกเป็นสี่ส่วน หากคุณตัดพิซซ่าออกจากพิซซ่า คุณจะได้พิซซ่า:

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาค่าของนิพจน์

อีกครั้ง จากตัวเศษของเศษส่วนแรก ให้ลบตัวเศษของเศษส่วนที่สอง และปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง:

ตัวอย่างนี้สามารถเข้าใจได้ง่ายถ้าเราจำพิซซ่าได้ซึ่งแบ่งออกเป็นสามส่วน หากคุณตัดพิซซ่าออกจากพิซซ่า คุณจะได้พิซซ่า:

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาค่าของนิพจน์

ตัวอย่างนี้ได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้าทุกประการ จากตัวเศษของเศษส่วนแรกคุณต้องลบตัวเศษของเศษส่วนที่เหลือ:

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อนในการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน ก็เพียงพอที่จะเข้าใจกฎต่อไปนี้:

1. หากต้องการลบอีกอันหนึ่งออกจากเศษส่วนหนึ่ง คุณต้องลบตัวเศษของเศษส่วนที่สองออกจากตัวเศษของเศษส่วนแรก และปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง
2. หากคำตอบกลายเป็นเศษส่วนเกิน คุณต้องเน้นเศษส่วนนั้นทั้งหมด

การลบเศษส่วนด้วยตัวส่วนต่างกัน

ตัวอย่างเช่น คุณสามารถลบเศษส่วนออกจากเศษส่วนได้เนื่องจากเศษส่วนนั้นมีตัวส่วนเท่ากัน แต่คุณไม่สามารถลบเศษส่วนออกจากเศษส่วนได้ เนื่องจากเศษส่วนเหล่านี้มีตัวส่วนต่างกัน ในกรณีเช่นนี้ เศษส่วนจะต้องถูกลดให้เหลือตัวส่วน (ร่วม) เท่ากัน

ตัวส่วนร่วมหาได้โดยใช้หลักการเดียวกับที่เราใช้เมื่อบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน ก่อนอื่น หา LCM ของตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสอง จากนั้น LCM จะถูกหารด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแรกและรับตัวประกอบเพิ่มเติมตัวแรกซึ่งเขียนไว้เหนือเศษส่วนแรก ในทำนองเดียวกัน LCM จะถูกหารด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สองและได้รับตัวประกอบเพิ่มเติมที่สองซึ่งเขียนไว้เหนือเศษส่วนที่สอง

จากนั้นเศษส่วนจะถูกคูณด้วยตัวประกอบเพิ่มเติม จากการดำเนินการเหล่านี้ เศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันจะถูกแปลงเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน และเรารู้วิธีลบเศษส่วนนั้นแล้ว.

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาความหมายของสำนวน:

เศษส่วนเหล่านี้มีตัวส่วนต่างกัน ดังนั้นคุณจึงต้องลดให้เหลือตัวส่วนเดียวกัน (ร่วม)

อันดับแรก เราจะหา LCM ของตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสอง ตัวส่วนของเศษส่วนแรกคือเลข 3 และตัวส่วนของเศษส่วนที่สองคือเลข 4 ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขเหล่านี้คือ 12

LCM (3 และ 4) = 12

ทีนี้ กลับมาที่เศษส่วนและ

ลองหาตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนแรกกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแรก LCM คือเลข 12 และตัวส่วนของเศษส่วนแรกคือเลข 3 หาร 12 ด้วย 3 จะได้ 4 เขียนสี่ไว้เหนือเศษส่วนแรก:

เราทำเช่นเดียวกันกับเศษส่วนที่สอง. หาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สอง. LCM คือเลข 12 และตัวส่วนของเศษส่วนที่สองคือเลข 4 หาร 12 ด้วย 4 จะได้ 3 เขียนสามส่วนเศษส่วนที่สอง:

ตอนนี้เราพร้อมสำหรับการลบแล้ว ยังคงต้องคูณเศษส่วนด้วยปัจจัยเพิ่มเติม:

เราได้ข้อสรุปว่าเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันกลายเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน และเรารู้วิธีลบเศษส่วนนั้นแล้ว. ลองใช้ตัวอย่างนี้จนจบ:

เราได้รับคำตอบ

เรามาลองอธิบายวิธีแก้ปัญหาของเราโดยใช้ภาพวาดกัน ถ้าคุณตัดพิซซ่าออกจากพิซซ่า คุณจะได้พิซซ่า

นี่คือเวอร์ชันโดยละเอียดของโซลูชัน ถ้าเราอยู่ที่โรงเรียน เราจะต้องแก้ตัวอย่างนี้ให้สั้นลง วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวจะมีลักษณะดังนี้:

การลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วมก็สามารถแสดงโดยใช้รูปภาพได้เช่นกัน เมื่อลดเศษส่วนเหล่านี้ให้เป็นตัวส่วนร่วม เราจะได้เศษส่วนและ เศษส่วนเหล่านี้จะแสดงด้วยชิ้นพิซซ่าชิ้นเดียวกัน แต่คราวนี้เศษส่วนจะถูกแบ่งออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน (ลดให้เหลือส่วนเดียวกัน):

ภาพแรกแสดงเศษส่วน (แปดชิ้นจากสิบสอง) และภาพที่สองแสดงเศษส่วน (สามในสิบสอง) โดยการตัดสามชิ้นจากแปดชิ้น เราจะได้ห้าชิ้นจากสิบสอง เศษส่วนอธิบายห้าชิ้นนี้

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาค่าของนิพจน์

เศษส่วนเหล่านี้มีตัวส่วนต่างกัน ดังนั้นก่อนอื่นคุณต้องลดให้เหลือตัวส่วนเดียวกัน (ร่วม) ก่อน

มาหา LCM ของตัวส่วนของเศษส่วนเหล่านี้กัน

ตัวส่วนของเศษส่วนคือตัวเลข 10, 3 และ 5 ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขเหล่านี้คือ 30

ลทบ.(10, 3, 5) = 30

ตอนนี้เราพบตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับแต่ละเศษส่วนแล้ว เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแต่ละส่วน

ลองหาตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนแรกกัน LCM คือเลข 30 และตัวส่วนของเศษส่วนแรกคือเลข 10 หาร 30 ด้วย 10 เราจะได้ตัวประกอบเพิ่มเติมตัวแรก 3 เราเขียนไว้เหนือเศษส่วนแรก:

ตอนนี้เราพบตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนที่สองแล้ว หาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สอง. LCM คือเลข 30 และตัวส่วนของเศษส่วนที่สองคือเลข 3 หาร 30 ด้วย 3 เราจะได้ตัวประกอบเพิ่มเติมตัวที่สองคือ 10 เราเขียนไว้เหนือเศษส่วนที่สอง:

ตอนนี้เราพบตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนที่สามแล้ว หาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สาม. LCM คือเลข 30 และตัวส่วนของเศษส่วนที่สามคือเลข 5 หาร 30 ด้วย 5 เราจะได้ตัวประกอบเพิ่มเติมตัวที่สาม 6 เราเขียนไว้เหนือเศษส่วนที่สาม:

ตอนนี้ทุกอย่างพร้อมสำหรับการลบแล้ว ยังคงต้องคูณเศษส่วนด้วยปัจจัยเพิ่มเติม:

เราได้ข้อสรุปว่าเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันกลายเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกัน (ร่วม) และเรารู้วิธีลบเศษส่วนนั้นแล้ว. มาจบตัวอย่างนี้กัน

ความต่อเนื่องของตัวอย่างจะไม่พอดีกับหนึ่งบรรทัด ดังนั้นเราจึงย้ายความต่อเนื่องไปยังบรรทัดถัดไป อย่าลืมเครื่องหมายเท่ากับ (=) บนบรรทัดใหม่:

คำตอบกลายเป็นเศษส่วนปกติและทุกอย่างดูเหมือนจะเหมาะกับเรา แต่มันยุ่งยากและน่าเกลียดเกินไป เราควรทำให้มันง่ายขึ้น สิ่งที่สามารถทำได้? คุณสามารถย่อเศษส่วนนี้ให้สั้นลงได้

ในการลดเศษส่วน คุณต้องหารทั้งเศษและส่วนด้วย (GCD) ของตัวเลข 20 และ 30

ดังนั้นเราจึงพบ gcd ของตัวเลข 20 และ 30:

ตอนนี้เรากลับมาที่ตัวอย่างของเราและหารตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย gcd ที่พบ นั่นคือ 10

เราได้รับคำตอบ

การคูณเศษส่วนด้วยตัวเลข

หากต้องการคูณเศษส่วนด้วยตัวเลข คุณต้องคูณตัวเศษของเศษส่วนที่กำหนดด้วยตัวเลขนั้นและปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม

ตัวอย่างที่ 1- คูณเศษส่วนด้วยเลข 1

คูณตัวเศษของเศษส่วนด้วยเลข 1

การบันทึกสามารถเข้าใจได้ว่าใช้เวลาเพียงครึ่งเดียว เช่น ถ้าคุณกินพิซซ่าครั้งหนึ่ง คุณก็จะได้พิซซ่า

จากกฎการคูณ เรารู้ว่าถ้าสลับตัวคูณกับตัวประกอบ ผลคูณจะไม่เปลี่ยนแปลง ถ้านิพจน์เขียนเป็น ผลคูณจะยังคงเท่ากับ ขอย้ำอีกครั้งว่ากฎสำหรับการคูณจำนวนเต็มและเศษส่วนใช้ได้ผล:

สัญกรณ์นี้สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นการสละครึ่งหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ถ้ามีพิซซ่า 1 ถาดและเราแบ่งไปครึ่งหนึ่ง เราก็จะได้พิซซ่า:

ตัวอย่างที่ 2- ค้นหาค่าของนิพจน์

คูณตัวเศษของเศษส่วนด้วย 4

คำตอบคือเศษส่วนเกิน. เรามาเน้นส่วนทั้งหมดกันดีกว่า:

สำนวนนี้สามารถเข้าใจได้ว่าใช้เวลาสองในสี่ 4 ครั้ง เช่น ถ้าคุณกินพิซซ่า 4 ถาด คุณจะได้พิซซ่าทั้ง 2 ถาด

และถ้าเราสลับตัวคูณและตัวคูณ เราจะได้นิพจน์ มันจะเท่ากับ 2 ด้วย สำนวนนี้สามารถเข้าใจได้ว่าเอาพิซซ่าสองถาดจากพิซซ่าทั้งสี่ถาด:

การคูณเศษส่วน

ในการคูณเศษส่วน คุณต้องคูณทั้งเศษและส่วนด้วย ถ้าคำตอบกลายเป็นเศษส่วนเกิน คุณต้องเน้นเศษส่วนนั้นให้หมด

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาค่าของนิพจน์

เราได้รับคำตอบ ขอแนะนำให้ลดเศษส่วนนี้ลง เศษส่วนสามารถลดลงได้ 2 จากนั้นวิธีแก้ปัญหาสุดท้ายจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

สำนวนนี้สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นการหยิบพิซซ่าจากพิซซ่าครึ่งหนึ่ง สมมติว่าเรามีพิซซ่าครึ่งถาด:

จะเอาสองในสามจากครึ่งนี้ได้อย่างไร? ก่อนอื่นคุณต้องแบ่งครึ่งนี้ออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กัน:

และนำสองจากสามชิ้นนี้:

เราจะทำพิซซ่า จำไว้ว่าพิซซ่าจะหน้าตาเป็นอย่างไรเมื่อแบ่งออกเป็นสามส่วน:

พิซซ่าชิ้นนี้หนึ่งชิ้นและสองชิ้นที่เราเอามาจะมีขนาดเท่ากัน:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เรากำลังพูดถึงพิซซ่าที่มีขนาดเท่ากัน ดังนั้นค่าของนิพจน์คือ

ตัวอย่างที่ 2- ค้นหาค่าของนิพจน์

คูณตัวเศษของเศษส่วนแรกด้วยตัวเศษของเศษส่วนที่สอง และตัวส่วนของเศษส่วนแรกคูณด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สอง:

คำตอบคือเศษส่วนเกิน. เรามาเน้นส่วนทั้งหมดกันดีกว่า:

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาค่าของนิพจน์

คูณตัวเศษของเศษส่วนแรกด้วยตัวเศษของเศษส่วนที่สอง และตัวส่วนของเศษส่วนแรกคูณด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สอง:

คำตอบกลายเป็นเศษส่วนปกติ แต่จะย่อให้สั้นลงก็คงจะดี ในการลดเศษส่วนนี้ คุณต้องหารตัวเศษและส่วนของเศษส่วนนี้ด้วยตัวหารร่วมมาก (GCD) ของตัวเลข 105 และ 450

เรามาค้นหา gcd ของตัวเลข 105 และ 450 กัน:

ตอนนี้เราหารทั้งเศษและส่วนของคำตอบด้วย gcd ที่เราพบตอนนี้ นั่นคือ 15

การแทนจำนวนเต็มเป็นเศษส่วน

จำนวนเต็มใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ เช่น เลข 5 สามารถแสดงเป็น สิ่งนี้จะไม่เปลี่ยนความหมายของห้า เนื่องจากสำนวนหมายถึง "จำนวนห้าหารด้วยหนึ่ง" และดังที่เราทราบนี้เท่ากับห้า:

ตัวเลขซึ่งกันและกัน

ตอนนี้เราจะมาทำความคุ้นเคยกับหัวข้อที่น่าสนใจทางคณิตศาสตร์ เรียกว่า "เลขกลับกัน"

คำนิยาม. ย้อนกลับไปยังหมายเลขก เป็นจำนวนที่เมื่อคูณด้วยก ให้อย่างใดอย่างหนึ่ง

ลองใช้คำจำกัดความนี้แทนตัวแปร กหมายเลข 5 แล้วลองอ่านคำจำกัดความ:

ย้อนกลับไปยังหมายเลข 5 คือจำนวนที่เมื่อคูณด้วย 5 ให้อย่างใดอย่างหนึ่ง

เป็นไปได้ไหมที่จะหาจำนวนที่เมื่อคูณด้วย 5 แล้วได้ 1 ตัว? ปรากฎว่ามันเป็นไปได้ ลองจินตนาการว่าห้าเป็นเศษส่วน:

จากนั้นคูณเศษส่วนนี้ด้วยตัวมันเอง แค่สลับตัวเศษและส่วน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลองคูณเศษส่วนด้วยตัวมันเอง โดยกลับด้านเท่านั้น:

จะเกิดอะไรขึ้นจากสิ่งนี้? หากเรายังคงแก้ตัวอย่างนี้ต่อไป เราจะได้สิ่งหนึ่ง:

ซึ่งหมายความว่าค่าผกผันของเลข 5 คือตัวเลข เนื่องจากเมื่อคุณคูณ 5 ด้วยคุณจะได้ 1

ส่วนกลับของจำนวนสามารถหาได้จากจำนวนเต็มอื่นๆ เช่นกัน

คุณยังสามารถหาส่วนกลับของเศษส่วนอื่นๆ ได้ด้วย ในการทำเช่นนี้เพียงแค่พลิกมัน

การหารเศษส่วนด้วยตัวเลข

สมมติว่าเรามีพิซซ่าครึ่งถาด:

ลองหารมันเท่าๆ กันระหว่างสอง. แต่ละคนจะได้พิซซ่าเท่าไหร่?

จะเห็นได้ว่าหลังจากแบ่งพิซซ่าไปครึ่งหนึ่งแล้ว จะได้สองชิ้นเท่าๆ กัน ซึ่งแต่ละชิ้นก็ถือเป็นพิซซ่า ดังนั้นทุกคนจะได้รับพิซซ่า

การหารเศษส่วนทำได้โดยใช้ส่วนกลับ จำนวนกลับทำให้คุณสามารถแทนที่การหารด้วยการคูณได้

หากต้องการหารเศษส่วนด้วยตัวเลข คุณต้องคูณเศษส่วนด้วยค่าผกผันของตัวหาร

เมื่อใช้กฎนี้ เราจะเขียนการแบ่งส่วนของพิซซ่าครึ่งหนึ่งออกเป็นสองส่วน

ดังนั้นคุณต้องหารเศษส่วนด้วยเลข 2 โดยที่เงินปันผลคือเศษส่วนและตัวหารคือเลข 2

หากต้องการหารเศษส่วนด้วยเลข 2 คุณต้องคูณเศษส่วนนี้ด้วยส่วนกลับของตัวหาร 2 ส่วนกลับของตัวหาร 2 คือเศษส่วน ดังนั้นคุณต้องคูณด้วย

§ 87 การบวกเศษส่วน

การบวกเศษส่วนมีความคล้ายคลึงกับการบวกจำนวนเต็มหลายประการ การบวกเศษส่วนเป็นการกระทำที่ประกอบด้วยตัวเลข (เงื่อนไข) ที่กำหนดหลายจำนวนรวมกันเป็นตัวเลขเดียว (ผลรวม) ซึ่งมีหน่วยและเศษส่วนทั้งหมดของหน่วยของคำศัพท์

เราจะพิจารณาสามกรณีตามลำดับ:

1. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกัน
2. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน
3. การบวกเลขคละ

1. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกัน

ลองพิจารณาตัวอย่าง: 1/5 + 2/5

ลองเอาเซ็กเมนต์ AB (รูปที่ 17) มารวมกันเป็นหนึ่งแล้วแบ่งเป็น 5 ส่วนเท่าๆ กัน จากนั้นส่วน AC ของเซ็กเมนต์นี้จะเท่ากับ 1/5 ของเซ็กเมนต์ AB และส่วนหนึ่งของซีดีเซกเมนต์เดียวกันจะเท่ากับ 2/5 บ.

จากรูปวาดจะชัดเจนว่าถ้าเราหาส่วน AD จะเท่ากับ 3/5 AB; แต่ส่วน AD เป็นผลรวมของส่วน AC และ CD อย่างแม่นยำ ดังนั้นเราจึงเขียนได้:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

เมื่อพิจารณาเงื่อนไขเหล่านี้และผลรวม เราจะเห็นว่าตัวเศษของผลรวมได้มาจากการบวกตัวเศษของเงื่อนไข และตัวส่วนยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

จากนี้เราจะได้กฎต่อไปนี้: หากต้องการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณต้องบวกตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนเท่ากัน

ลองดูตัวอย่าง:

2. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน

มาบวกเศษส่วนกัน: 3/4 + 3/8 ก่อนอื่นต้องลดให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด:

ไม่สามารถเขียนลิงก์กลาง 6/8 + 3/8 ได้ เราเขียนไว้ที่นี่เพื่อความชัดเจน

ดังนั้น ในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน คุณต้องลดเศษส่วนให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดก่อน เพิ่มตัวเศษและติดป้ายกำกับตัวส่วนร่วม

ลองพิจารณาตัวอย่าง (เราจะเขียนตัวประกอบเพิ่มเติมเหนือเศษส่วนที่เกี่ยวข้อง):

3. การบวกเลขคละ

มาบวกตัวเลขกัน: 2 3/8 + 3 5/6

ขั้นแรก นำเศษส่วนของตัวเลขของเรามาเป็นตัวส่วนร่วมแล้วเขียนใหม่อีกครั้ง:

ตอนนี้เราเพิ่มส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนตามลำดับ:

§ 88 การลบเศษส่วน

การลบเศษส่วนถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับการลบจำนวนเต็ม นี่คือการกระทำที่ได้รับความช่วยเหลือ เมื่อพิจารณาจากผลรวมของคำศัพท์สองคำและหนึ่งในนั้น ก็จะพบคำศัพท์อีกคำหนึ่ง ให้เราพิจารณาสามกรณีติดต่อกัน:

1. การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
2. การลบเศษส่วนด้วยตัวส่วนต่างกัน
3. การลบจำนวนคละ

1. การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

ลองดูตัวอย่าง:

13 / 15 - 4 / 15

ลองใช้ส่วน AB (รูปที่ 18) มาเป็นหน่วยแล้วแบ่งออกเป็น 15 ส่วนเท่า ๆ กัน จากนั้น AC ส่วนหนึ่งของส่วนนี้จะแสดงถึง 1/15 ของ AB และส่วนหนึ่งของ AD ของกลุ่มเดียวกันจะสอดคล้องกับ 13/15 AB ให้เรากันส่วน ED อีกส่วนหนึ่งไว้เท่ากับ 4/15 AB

เราต้องลบเศษส่วน 4/15 จาก 13/15. ในรูปวาดหมายความว่าส่วน ED จะต้องถูกลบออกจากส่วน AD ด้วยเหตุนี้ ส่วน AE จะยังคงอยู่ ซึ่งก็คือ 9/15 ของส่วน AB ดังนั้นเราจึงเขียนได้:

ตัวอย่างที่เราทำแสดงให้เห็นว่าตัวเศษของผลต่างได้มาจากการลบตัวเศษ แต่ตัวส่วนยังคงเหมือนเดิม

ดังนั้น หากต้องการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณจะต้องลบตัวเศษของตัวลบออกจากตัวเศษของเครื่องหมายลบและปล่อยให้ตัวส่วนเท่ากัน

2. การลบเศษส่วนด้วยตัวส่วนต่างกัน

ตัวอย่าง. 3/4 - 5/8

ขั้นแรก ลองลดเศษส่วนเหล่านี้ให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด:

ระดับกลาง 6 / 8 - 5 / 8 เขียนไว้ที่นี่เพื่อความชัดเจน แต่สามารถข้ามได้ในภายหลัง

ดังนั้น ในการที่จะลบเศษส่วนออกจากเศษส่วน คุณต้องลดเศษส่วนให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดก่อน จากนั้นจึงลบตัวเศษของเครื่องหมายลบออกจากตัวเศษของเครื่องหมายส่วนร่วมภายใต้ผลต่าง

ลองดูตัวอย่าง:

3. การลบจำนวนคละ

ตัวอย่าง. 10 3/4 - 7 2/3.

ให้เราลดเศษส่วนของ minuend และลบให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด:

เราลบจำนวนเต็มออกจากจำนวนเต็ม และลบเศษส่วนออกจากเศษส่วน แต่มีบางกรณีที่เศษส่วนของสิ่งที่ถูกลบออกนั้นมากกว่าเศษส่วนของสิ่งที่ถูกลดทอน ในกรณีเช่นนี้ คุณต้องนำหนึ่งหน่วยจากส่วน minuend ทั้งหมด แยกออกเป็นส่วนที่แสดงส่วนที่เป็นเศษส่วน และเพิ่มเข้าไปในส่วนที่เป็นเศษส่วนของ minuend จากนั้นการลบจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้า:

§ 89 การคูณเศษส่วน

เมื่อศึกษาการคูณเศษส่วน เราจะพิจารณาคำถามต่อไปนี้:

1. การคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม
2. การหาเศษส่วนของจำนวนที่กำหนด
3. การคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน
4. การคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน
5. การคูณจำนวนคละ
6. แนวคิดเรื่องความสนใจ
7. การหาเปอร์เซ็นต์ของตัวเลขที่กำหนด ลองพิจารณาตามลำดับ

1. การคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม

การคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มมีความหมายเหมือนกับการคูณจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม การคูณเศษส่วน (ตัวคูณ) ด้วยจำนวนเต็ม (ตัวประกอบ) หมายถึงการสร้างผลรวมของพจน์ที่เหมือนกัน โดยแต่ละพจน์จะเท่ากับตัวคูณ และจำนวนพจน์จะเท่ากับตัวคูณ

ซึ่งหมายความว่าหากคุณต้องการคูณ 1/9 ด้วย 7 ก็สามารถทำได้ดังนี้:

เราได้ผลลัพธ์อย่างง่ายดาย เนื่องจากการกระทำลดลงเหลือเพียงการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน เพราะฉะนั้น,

การพิจารณาการกระทำนี้แสดงให้เห็นว่าการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มจะเท่ากับการเพิ่มเศษส่วนนี้หลายเท่าของจำนวนหน่วยที่มีอยู่ในจำนวนเต็ม และเนื่องจากการเพิ่มเศษส่วนสามารถทำได้โดยการเพิ่มตัวเศษ

หรือโดยการลดตัวส่วนของมัน จากนั้นเราสามารถคูณตัวเศษด้วยจำนวนเต็มหรือหารตัวส่วนด้วยก็ได้ หากเป็นไปได้

จากที่นี่เราได้รับกฎ:

หากต้องการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม คุณต้องคูณตัวเศษด้วยจำนวนเต็มนั้นและปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม หรือถ้าเป็นไปได้ ให้หารตัวส่วนด้วยจำนวนนั้น โดยไม่เปลี่ยนแปลงตัวเศษ

เมื่อคูณจะใช้ตัวย่อได้ เช่น

2. การหาเศษส่วนของจำนวนที่กำหนดมีปัญหามากมายที่คุณต้องค้นหาหรือคำนวณส่วนหนึ่งของตัวเลขที่กำหนด ความแตกต่างระหว่างปัญหาเหล่านี้กับปัญหาอื่นๆ ก็คือให้จำนวนของวัตถุหรือหน่วยวัด และคุณจำเป็นต้องค้นหาส่วนหนึ่งของตัวเลขนี้ ซึ่งมีเศษส่วนจำนวนหนึ่งระบุด้วย เพื่อช่วยให้เกิดความเข้าใจ ก่อนอื่นเราจะยกตัวอย่างปัญหาดังกล่าวแล้วจึงแนะนำวิธีการแก้ไข

ภารกิจที่ 1ฉันมี 60 รูเบิล ฉันใช้เงินจำนวนนี้ไป 1/3 เพื่อซื้อหนังสือ หนังสือราคาเท่าไหร่?

ภารกิจที่ 2รถไฟจะต้องเดินทางระยะทางระหว่างเมือง A และ B เท่ากับ 300 กม. เขาได้ครอบคลุม 2/3 ของระยะนี้แล้ว นี่กี่กิโลเมตร?

ภารกิจที่ 3ในหมู่บ้านมีบ้าน 400 หลัง 3/4 หลังเป็นอิฐ ที่เหลือเป็นบ้านไม้ บ้านอิฐมีทั้งหมดกี่หลัง?

นี่คือปัญหาบางส่วนที่เราพบในการค้นหาส่วนหนึ่งของตัวเลขที่กำหนด มักเรียกว่าปัญหาในการหาเศษส่วนของจำนวนที่กำหนด

วิธีแก้ปัญหา 1.จาก 60 ถู ฉันใช้เวลา 1/3 ไปกับหนังสือ ซึ่งหมายความว่าในการหาราคาหนังสือคุณต้องหารเลข 60 ด้วย 3:

การแก้ปัญหา2.ประเด็นของปัญหาคือคุณต้องหา 2/3 ของ 300 กม. ก่อนอื่นมาคำนวณ 1/3 ของ 300 ก่อน ทำได้โดยการหาร 300 กม. ด้วย 3:

300: 3 = 100 (นั่นคือ 1/3 ของ 300)

หากต้องการค้นหาสองในสามของ 300 คุณต้องเพิ่มผลหารผลลัพธ์เป็นสองเท่า เช่น คูณด้วย 2:

100 x 2 = 200 (นั่นคือ 2/3 ของ 300)

การแก้ปัญหา3.ที่นี่คุณต้องกำหนดจำนวนบ้านอิฐที่มี 3/4 ของ 400 ก่อนอื่นต้องหา 1/4 ของ 400 ก่อน

400: 4 = 100 (นั่นคือ 1/4 ของ 400)

ในการคำนวณสามในสี่ของ 400 ผลหารผลลัพธ์จะต้องเพิ่มเป็นสามเท่า นั่นคือ คูณด้วย 3:

100 x 3 = 300 (นั่นคือ 3/4 ของ 400)

จากแนวทางแก้ไขปัญหาเหล่านี้ เราสามารถหากฎต่อไปนี้ได้:

ในการค้นหาค่าเศษส่วนจากจำนวนที่กำหนด คุณต้องหารตัวเลขนี้ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนและคูณผลหารผลลัพธ์ด้วยตัวเศษ

3. การคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน

ก่อนหน้านี้ (มาตรา 26) มีการกำหนดไว้ว่าควรเข้าใจการคูณจำนวนเต็มเป็นการบวกพจน์ที่เหมือนกัน (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20) ในย่อหน้านี้ (จุดที่ 1) เป็นที่ยอมรับว่าการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มหมายถึงการค้นหาผลรวมของพจน์ที่เหมือนกันเท่ากับเศษส่วนนี้

ในทั้งสองกรณี การคูณประกอบด้วยการค้นหาผลรวมของพจน์ที่เหมือนกัน

ตอนนี้เรามาดูการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วนกัน ที่นี่เราจะพบกับการคูณ: 9 2 / 3 เป็นที่ชัดเจนว่าคำจำกัดความก่อนหน้าของการคูณใช้ไม่ได้กับกรณีนี้ เห็นได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าเราไม่สามารถแทนที่การคูณดังกล่าวด้วยการเพิ่มจำนวนที่เท่ากันได้

ด้วยเหตุนี้ เราจึงต้องให้คำจำกัดความใหม่ของการคูณ กล่าวคือ ตอบคำถามว่าการคูณด้วยเศษส่วนควรเข้าใจอะไร และจะเข้าใจการกระทำนี้อย่างไร

ความหมายของการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วนนั้นชัดเจนจากคำจำกัดความต่อไปนี้: การคูณจำนวนเต็ม (คูณ) ด้วยเศษส่วน (คูณ) หมายถึงการหาเศษส่วนนี้ของตัวคูณ

กล่าวคือ การคูณ 9 ด้วย 2/3 หมายถึงการหา 2/3 ของเก้าหน่วย ในย่อหน้าที่แล้วปัญหาดังกล่าวได้รับการแก้ไขแล้ว มันง่ายที่จะคิดว่าเราจะได้ 6.

แต่ตอนนี้มีคำถามที่น่าสนใจและสำคัญเกิดขึ้น: เหตุใดการดำเนินการจึงดูเหมือนแตกต่างกัน เช่น การค้นหาผลรวมของจำนวนที่เท่ากันและการค้นหาเศษส่วนของตัวเลข ที่ถูกเรียกทางคณิตศาสตร์ด้วยคำเดียวกันว่า "การคูณ"

สิ่งนี้เกิดขึ้นเนื่องจากการกระทำก่อนหน้า (การทำซ้ำตัวเลขด้วยเงื่อนไขหลายครั้ง) และการกระทำใหม่ (การค้นหาเศษส่วนของตัวเลข) ให้คำตอบสำหรับคำถามที่เป็นเนื้อเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าเราดำเนินการต่อจากข้อพิจารณาว่าคำถามหรืองานที่เป็นเนื้อเดียวกันได้รับการแก้ไขด้วยการกระทำเดียวกัน

เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ ให้พิจารณาปัญหาต่อไปนี้: “ ผ้า 1 ม. ราคา 50 รูเบิล ผ้าดังกล่าว 4 เมตรราคาเท่าไหร่?

ปัญหานี้แก้ไขได้โดยการคูณจำนวนรูเบิล (50) ด้วยจำนวนเมตร (4) เช่น 50 x 4 = 200 (รูเบิล)

ลองใช้ปัญหาเดียวกัน แต่ในนั้นปริมาณผ้าจะแสดงเป็นเศษส่วน: “ ผ้า 1 เมตรมีราคา 50 รูเบิล ผ้าดังกล่าว 3/4 เมตรจะราคาเท่าไหร่”

ปัญหานี้ต้องแก้ไขด้วยการคูณจำนวนรูเบิล (50) ด้วยจำนวนเมตร (3/4)

คุณสามารถเปลี่ยนตัวเลขได้หลายครั้ง โดยไม่เปลี่ยนความหมายของปัญหา เช่น ใช้เวลา 9/10 ม. หรือ 2 3/10 ม. เป็นต้น

เนื่องจากปัญหาเหล่านี้มีเนื้อหาเหมือนกันและต่างกันเพียงตัวเลข เราจึงเรียกการดำเนินการที่ใช้ในการแก้ปัญหาด้วยคำเดียวกัน - การคูณ

คุณจะคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วนได้อย่างไร?

ลองใช้ตัวเลขที่พบในปัญหาสุดท้าย:

ตามคำจำกัดความ เราต้องหา 3/4 ของ 50 หา 1/4 ของ 50 ก่อนแล้วจึงหา 3/4

1/4 ของ 50 คือ 50/4;

3/4 ของจำนวน 50 คือ .

เพราะฉะนั้น.

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง: 12 5/8 =?

1/8 ของจำนวน 12 คือ 12/8

5/8 ของจำนวน 12 คือ .

เพราะฉะนั้น,

จากที่นี่เราได้รับกฎ:

หากต้องการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณจำนวนเต็มด้วยตัวเศษของเศษส่วน และทำให้ผลคูณนี้เป็นตัวเศษ และลงชื่อตัวส่วนของเศษส่วนนี้เป็นตัวส่วน

มาเขียนกฎนี้โดยใช้ตัวอักษร:

เพื่อให้กฎนี้ชัดเจน ควรจำไว้ว่าเศษส่วนสามารถถือเป็นผลหารได้ ดังนั้นจึงมีประโยชน์ในการเปรียบเทียบกฎที่พบกับกฎสำหรับการคูณตัวเลขด้วยผลหารซึ่งกำหนดไว้ในมาตรา 38

สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าก่อนทำการคูณควรทำ (ถ้าเป็นไปได้) การลดลง, ตัวอย่างเช่น:

4. การคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนมีความหมายเหมือนกับการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน กล่าวคือ เมื่อคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณจะต้องหาเศษส่วนที่อยู่ในตัวประกอบจากเศษส่วนแรก (ตัวคูณ)

กล่าวคือ การคูณ 3/4 ด้วย 1/2 (ครึ่งหนึ่ง) หมายถึงการหาครึ่งหนึ่งของ 3/4

คุณจะคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนได้อย่างไร?

ลองมาตัวอย่าง: 3/4 คูณด้วย 5/7 ซึ่งหมายความว่าคุณต้องหา 5/7 ของ 3/4 ขั้นแรกให้หา 1/7 ของ 3/4 แล้วตามด้วย 5/7

1/7 ของจำนวน 3/4 จะแสดงได้ดังนี้:

5/7 ตัวเลข 3/4 จะแสดงดังนี้:

ดังนั้น,

อีกตัวอย่างหนึ่ง: 5/8 คูณด้วย 4/9

1/9 ของ 5/8 คือ ,

4/9 ของจำนวน 5/8 คือ .

ดังนั้น,

จากตัวอย่างเหล่านี้สามารถอนุมานกฎต่อไปนี้ได้:

ในการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณตัวเศษด้วยตัวเศษ และตัวส่วนคูณด้วยตัวส่วน จากนั้นให้ผลคูณแรกเป็นตัวเศษ และผลิตภัณฑ์ตัวที่สองเป็นตัวส่วนของผลคูณ

กฎนี้สามารถเขียนในรูปแบบทั่วไปได้ดังนี้:

เมื่อคูณจำเป็นต้องลด (ถ้าเป็นไปได้) ลองดูตัวอย่าง:

5. การคูณจำนวนคละเนื่องจากจำนวนคละสามารถแทนที่ได้อย่างง่ายดายด้วยเศษส่วนเกิน จึงมักใช้สถานการณ์นี้เมื่อคูณจำนวนคละ ซึ่งหมายความว่า ในกรณีที่ตัวคูณ ตัวคูณ หรือตัวประกอบทั้งสองแสดงเป็นตัวเลขคละ จะถูกแทนที่ด้วยเศษส่วนเกิน ลองคูณตัวเลขคละ: 2 1/2 และ 3 1/5 ลองเปลี่ยนแต่ละเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนเกินแล้วคูณเศษส่วนที่ได้ตามกฎการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน:

กฎ.หากต้องการคูณจำนวนคละ คุณต้องแปลงให้เป็นเศษส่วนเกินก่อนแล้วจึงคูณตามกฎการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน

บันทึก.ถ้าตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งเป็นจำนวนเต็ม การคูณสามารถทำได้ตามกฎการแจกแจงดังนี้

6. แนวคิดเรื่องความสนใจเมื่อแก้ปัญหาและคำนวณเชิงปฏิบัติต่างๆ เราใช้เศษส่วนทุกประเภท แต่ต้องคำนึงว่าปริมาณจำนวนมากไม่อนุญาตให้มีการแบ่งแยกตามธรรมชาติสำหรับปริมาณเหล่านั้น ตัวอย่างเช่นคุณสามารถใช้รูเบิลได้หนึ่งร้อย (1/100) มันจะเป็น kopeck สองในร้อยคือ 2 kopeck สามในร้อยคือ 3 kopeck คุณสามารถรับ 1/10 ของรูเบิล มันจะเป็น "10 kopecks หรือสิบ kopeck ชิ้น คุณสามารถรับหนึ่งในสี่ของรูเบิล เช่น 25 kopecks ครึ่งรูเบิล เช่น 50 kopecks (ห้าสิบ kopecks) แต่ ในทางปฏิบัติพวกเขาไม่ได้ใช้มัน เช่น 2/7 ของรูเบิล เพราะรูเบิลไม่ได้แบ่งออกเป็นเจ็ด

หน่วยของน้ำหนัก เช่น กิโลกรัม อนุญาตให้มีการหารทศนิยมเป็นหลัก เช่น 1/10 กิโลกรัม หรือ 100 กรัม และเศษส่วนของกิโลกรัม เช่น 1/6, 1/11, 1/13 นั้นไม่ธรรมดา

โดยทั่วไป การวัด (เมตริก) ของเราเป็นทศนิยมและอนุญาตให้แบ่งทศนิยมได้

อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่าการใช้วิธีแบ่งย่อยปริมาณแบบเดียวกัน (สม่ำเสมอ) มีประโยชน์และสะดวกอย่างยิ่งในหลายกรณี ประสบการณ์หลายปีได้แสดงให้เห็นว่าแผนกที่สมเหตุสมผลเช่นนี้คือแผนกที่ "ร้อย" ขอให้เราพิจารณาตัวอย่างต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการปฏิบัติของมนุษย์ในด้านต่างๆ ที่หลากหลายที่สุด

1. ราคาหนังสือลดลง 12/100 จากราคาเดิม

ตัวอย่าง. ราคาหนังสือก่อนหน้านี้คือ 10 รูเบิล ลดลง 1 รูเบิล 20 โคเปค

2. ธนาคารออมสินจ่ายเงินให้ผู้ฝาก 2/100 ของจำนวนเงินที่ฝากเพื่อการออมในระหว่างปี

ตัวอย่าง. ฝาก 500 รูเบิลในเครื่องบันทึกเงินสด รายได้จากจำนวนนี้สำหรับปีคือ 10 รูเบิล

3. จำนวนผู้สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนแห่งหนึ่งคือ 5/100 ของจำนวนนักเรียนทั้งหมด

ตัวอย่าง มีนักเรียนเพียง 1,200 คนที่โรงเรียน ซึ่ง 60 คนที่สำเร็จการศึกษา

ส่วนที่ร้อยของจำนวนเรียกว่าเปอร์เซ็นต์.

คำว่า "เปอร์เซ็นต์" ยืมมาจากภาษาละติน และรากของคำว่า "cent" แปลว่า หนึ่งร้อย เมื่อรวมกับคำบุพบท (pro centum) คำนี้แปลว่า "หนึ่งร้อย" ความหมายของสำนวนนี้สืบเนื่องมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า ดอกเบี้ยในโรมโบราณเป็นชื่อที่ตั้งให้กับเงินที่ลูกหนี้จ่ายให้กับผู้ให้กู้ “ทุก ๆ ร้อย” คำว่า "เซ็นต์" ได้ยินในคำที่คุ้นเคยเช่น centner (หนึ่งร้อยกิโลกรัม) เซนติเมตร (พูดเป็นเซนติเมตร)

ตัวอย่างเช่น แทนที่จะบอกว่าในเดือนที่ผ่านมาโรงงานผลิตสินค้าทั้งหมดที่ผลิตโดยมีข้อบกพร่อง 1/100 เราจะพูดแบบนี้: ในเดือนที่ผ่านมาโรงงานผลิตข้อบกพร่องหนึ่งเปอร์เซ็นต์ แทนที่จะพูดว่า: โรงงานผลิตผลิตภัณฑ์ได้มากกว่าแผนที่กำหนดไว้ 4/100 รายการ เราจะพูดว่า: โรงงานทำได้เกินแผน 4 เปอร์เซ็นต์

ตัวอย่างข้างต้นสามารถแสดงได้แตกต่างกัน:

1. ราคาหนังสือลดลงร้อยละ 12 จากราคาเดิม

2. ธนาคารออมสินจ่ายเงินให้ผู้ฝากร้อยละ 2 ต่อปีของจำนวนเงินที่ฝาก

3. จำนวนผู้สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนแห่งหนึ่งคือร้อยละ 5 ของนักเรียนทั้งหมด

หากต้องการย่อตัวอักษรให้สั้นลง เป็นเรื่องปกติที่จะเขียนสัญลักษณ์ % แทนคำว่า "เปอร์เซ็นต์"

อย่างไรก็ตาม คุณต้องจำไว้ว่าในการคำนวณ เครื่องหมาย % มักจะไม่ได้เขียนไว้ในคำสั่งปัญหาและในผลลัพธ์สุดท้าย เมื่อทำการคำนวณ คุณจะต้องเขียนเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 100 แทนที่จะเป็นจำนวนเต็มด้วยสัญลักษณ์นี้

คุณต้องสามารถแทนที่จำนวนเต็มด้วยไอคอนที่ระบุด้วยเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 100:

ในทางกลับกัน คุณต้องคุ้นเคยกับการเขียนจำนวนเต็มด้วยสัญลักษณ์ที่ระบุ แทนที่จะเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 100:

7. การหาเปอร์เซ็นต์ของตัวเลขที่กำหนด

ภารกิจที่ 1โรงเรียนได้รับ 200 ลูกบาศก์เมตร. m ฟืนโดยมีฟืนเบิร์ชคิดเป็น 30% มีฟืนเบิร์ชมากแค่ไหน?

ความหมายของปัญหานี้ก็คือ ฟืนเบิร์ชประกอบขึ้นเพียงส่วนหนึ่งของฟืนที่ส่งให้กับโรงเรียน และส่วนนี้แสดงเป็นเศษส่วน 30/100 ซึ่งหมายความว่าเรามีหน้าที่ต้องหาเศษส่วนของจำนวน เพื่อแก้ปัญหานี้ เราต้องคูณ 200 ด้วย 30/100 (ปัญหาในการหาเศษส่วนของตัวเลขจะแก้ได้ด้วยการคูณตัวเลขด้วยเศษส่วน)

ซึ่งหมายความว่า 30% ของ 200 เท่ากับ 60

เศษส่วน 30/100 ที่พบในปัญหานี้สามารถลดลงได้ 10 เป็นไปได้ที่จะดำเนินการลดนี้ตั้งแต่เริ่มต้น แนวทางแก้ไขปัญหาจะไม่เปลี่ยนแปลง

ภารกิจที่ 2ในค่ายมีเด็กหลากหลายวัยจำนวน 300 คน เด็กอายุ 11 ปีคิดเป็น 21% เด็กอายุ 12 ปีคิดเป็น 61% และในที่สุดเด็กอายุ 13 ปีคิดเป็น 18% มีเด็กในแต่ละวัยกี่คนในค่าย?

ในปัญหานี้ คุณต้องทำการคำนวณสามรายการ ได้แก่ ค้นหาจำนวนเด็กอายุ 11 ปี จากนั้น 12 ปี และสุดท้ายคือ 13 ปี

ซึ่งหมายความว่าคุณจะต้องหาเศษส่วนของจำนวนสามครั้งที่นี่ มาทำกัน:

1) มีเด็กอายุ 11 ปีกี่คน?

2) มีเด็กอายุ 12 ปีกี่คน?

3) มีเด็กอายุ 13 ปีกี่คน?

หลังจากแก้ไขปัญหาแล้ว จะมีประโยชน์ในการเพิ่มตัวเลขที่พบ ผลรวมของพวกเขาควรเป็น 300:

63 + 183 + 54 = 300

ควรสังเกตว่าผลรวมของเปอร์เซ็นต์ที่ระบุในคำชี้แจงปัญหาคือ 100:

21% + 61% + 18% = 100%

นี่แสดงให้เห็นว่าจำนวนเด็กทั้งหมดในค่ายถูกรับไปเป็น 100%

3 วัน วัน ชั่วโมง 3.คนงานได้รับ 1,200 รูเบิลต่อเดือน ในจำนวนนี้ เขาใช้จ่ายเรื่องอาหาร 65%, อพาร์ทเมนต์และเครื่องทำความร้อน 6%, ค่าน้ำมัน, ไฟฟ้าและวิทยุ 4%, ความต้องการด้านวัฒนธรรม 10% และประหยัดเงิน 15% มีการใช้เงินไปเท่าไรกับความต้องการที่ระบุไว้ในปัญหา?

เพื่อแก้ปัญหานี้ คุณต้องหาเศษส่วนของ 1,200 5 ครั้ง ลองทำกันดู

1) ใช้เงินไปเท่าไหร่กับค่าอาหาร? ปัญหาบอกว่าค่าใช้จ่ายนี้คือ 65% ของรายได้ทั้งหมด เช่น 65/100 ของจำนวน 1,200 มาคำนวณกันดีกว่า:

2) คุณจ่ายเงินเท่าไหร่สำหรับอพาร์ทเมนต์ที่มีเครื่องทำความร้อน? การให้เหตุผลคล้ายกับเหตุผลก่อนหน้า เราได้การคำนวณต่อไปนี้:

3) คุณจ่ายค่าน้ำมัน ค่าไฟ และวิทยุไปเท่าไหร่?

4) ใช้เงินไปเท่าไรกับความต้องการทางวัฒนธรรม?

5) คนงานประหยัดเงินได้เท่าไหร่?

หากต้องการตรวจสอบ จะเป็นประโยชน์ในการบวกตัวเลขที่พบในคำถามทั้ง 5 ข้อนี้ จำนวนควรเป็น 1,200 รูเบิล รายได้ทั้งหมดถือเป็น 100% ซึ่งง่ายต่อการตรวจสอบโดยการบวกจำนวนเปอร์เซ็นต์ที่ระบุในคำชี้แจงปัญหา

เราแก้ไขปัญหาสามข้อแล้ว แม้ว่าปัญหาเหล่านี้จะเกี่ยวข้องกับเรื่องต่างๆ (การส่งฟืนให้กับโรงเรียน จำนวนเด็กที่มีอายุต่างกัน ค่าใช้จ่ายของคนงาน) แต่ก็ได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกัน สิ่งนี้เกิดขึ้นเพราะในทุกปัญหาจำเป็นต้องค้นหาตัวเลขที่กำหนดหลายเปอร์เซ็นต์

§ 90. การหารเศษส่วน

เมื่อเราศึกษาการหารเศษส่วน เราจะพิจารณาคำถามต่อไปนี้:

1. หารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม
2. การหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม
3. การหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน
4. การหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน
5. การหารเลขคละ
6. การค้นหาตัวเลขจากเศษส่วนที่กำหนด
7. การค้นหาตัวเลขตามเปอร์เซ็นต์

ลองพิจารณาตามลำดับ

1. หารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม

ตามที่ระบุในภาคจำนวนเต็ม การหารคือการกระทำที่ประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่า เมื่อพิจารณาผลคูณของตัวประกอบสองตัว (เงินปันผล) และตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่ง (ตัวหาร) ก็จะพบตัวประกอบอีกตัวหนึ่ง

เราดูที่การหารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็มในส่วนของจำนวนเต็ม เราพบกรณีของการหารสองกรณี: การหารโดยไม่มีเศษ หรือ "ทั้งหมด" (150: 10 = 15) และการหารด้วยเศษ (100: 9 = 11 และ 1 เศษ) ดังนั้นเราจึงอาจกล่าวได้ว่าในสาขาจำนวนเต็ม การหารที่แน่นอนนั้นเป็นไปไม่ได้เสมอไป เนื่องจากการจ่ายเงินปันผลไม่ใช่ผลคูณของตัวหารด้วยจำนวนเต็มเสมอไป หลังจากแนะนำการคูณด้วยเศษส่วนแล้ว เราสามารถพิจารณากรณีการหารจำนวนเต็มได้ทุกกรณีที่เป็นไปได้ (ไม่รวมการหารด้วยศูนย์เท่านั้น)

เช่น การหาร 7 ด้วย 12 หมายถึงการหาจำนวนที่ผลคูณของ 12 เท่ากับ 7 จำนวนดังกล่าวคือเศษส่วน 7 / 12 เพราะ 7 / 12 12 = 7 อีกตัวอย่างหนึ่ง: 14: 25 = 14/25 เพราะ 14/25 25 = 14

ดังนั้น หากต้องการหารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม คุณต้องสร้างเศษส่วนที่มีตัวเศษเท่ากับเงินปันผลและตัวส่วนเท่ากับตัวหาร

2. การหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม

หารเศษส่วน 6/7 ด้วย 3 ตามคำจำกัดความของการหารที่ระบุข้างต้น เราได้ผลลัพธ์ (6/7) และหนึ่งในปัจจัย (3) จำเป็นต้องค้นหาปัจจัยที่สองซึ่งเมื่อคูณด้วย 3 จะได้ผลลัพธ์เป็น 6/7 แน่นอนว่าควรมีขนาดเล็กกว่าผลิตภัณฑ์นี้ถึงสามเท่า ซึ่งหมายความว่างานที่เราตั้งไว้ก่อนหน้าคือลดเศษส่วน 6/7 ลง 3 เท่า

เรารู้อยู่แล้วว่าการลดเศษส่วนสามารถทำได้โดยการลดตัวเศษหรือเพิ่มตัวส่วน ดังนั้นคุณจึงสามารถเขียนได้ว่า:

ในกรณีนี้ ตัวเศษ 6 หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้นตัวเศษจึงควรลดลง 3 ครั้ง

ลองอีกตัวอย่างหนึ่ง: 5/8 หารด้วย 2 ในที่นี้ตัวเศษ 5 ไม่สามารถหารด้วย 2 ลงตัวได้ ซึ่งหมายความว่าตัวส่วนจะต้องคูณด้วยตัวเลขนี้:

จากนี้ สามารถสร้างกฎได้: หากต้องการหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม คุณต้องหารตัวเศษของเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มนั้น(ถ้าเป็นไปได้), โดยปล่อยให้ตัวส่วนเท่ากันหรือคูณตัวส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนนี้ โดยปล่อยให้ตัวเศษเท่ากัน

3. การหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน

ปล่อยให้จำเป็นต้องหาร 5 ด้วย 1/2 กล่าวคือ หาตัวเลขที่เมื่อคูณด้วย 1/2 จะได้ผลลัพธ์เป็น 5 แน่นอนว่าตัวเลขนี้ต้องมากกว่า 5 เนื่องจาก 1/2 เป็นเศษส่วนแท้ และเมื่อคูณตัวเลขผลคูณของเศษส่วนแท้จะต้องน้อยกว่าผลคูณที่กำลังคูณ เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น มาเขียนการกระทำของเราดังนี้: 5: 1 / 2 = เอ็กซ์ ซึ่งหมายถึง x 1/2 = 5

เราจะต้องพบตัวเลขดังกล่าว เอ็กซ์ ซึ่งถ้าคูณด้วย 1/2 จะได้ 5 เนื่องจากคูณจำนวนหนึ่งด้วย 1/2 หมายถึงการหา 1/2 ของจำนวนนี้ ดังนั้น 1/2 ของจำนวนที่ไม่รู้จัก เอ็กซ์ เท่ากับ 5 และเป็นจำนวนเต็ม เอ็กซ์ สองเท่าเช่น 5 2 = 10

ดังนั้น 5: 1/2 = 5 2 = 10

มาตรวจสอบกัน:

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่ง สมมติว่าคุณต้องการหาร 6 ด้วย 2/3 ก่อนอื่นเรามาลองค้นหาผลลัพธ์ที่ต้องการโดยใช้ภาพวาด (รูปที่ 19)

รูปที่ 19

ให้เราวาดส่วน AB เท่ากับ 6 หน่วย และแบ่งแต่ละหน่วยออกเป็น 3 ส่วนเท่าๆ กัน ในแต่ละหน่วย สามในสาม (3/3) ของส่วน AB ทั้งหมดมีขนาดใหญ่กว่า 6 เท่า นั่นคือ จ. 18/3 ใช้วงเล็บขนาดเล็กเราเชื่อมต่อส่วนที่เป็นผลลัพธ์ 18 ส่วนจาก 2; จะมีเพียง 9 ภาคเท่านั้น ซึ่งหมายความว่าเศษส่วน 2/3 มี 6 หน่วย 9 ครั้ง หรืออีกนัยหนึ่ง เศษส่วน 2/3 มีค่าน้อยกว่า 6 หน่วยทั้งหมด 9 เท่า เพราะฉะนั้น,

วิธีรับผลลัพธ์นี้โดยไม่ต้องวาดรูปโดยใช้การคำนวณเพียงอย่างเดียว ลองให้เหตุผลดังนี้: เราต้องหาร 6 ด้วย 2/3 กล่าวคือ เราต้องตอบคำถามว่า 2/3 มีอยู่ใน 6 กี่ครั้ง มาดูกันก่อนว่า 1/3 มีอยู่ใน 6 กี่ครั้ง? ในหนึ่งหน่วยมี 3 ใน 3 ส่วนใน 6 หน่วยมีมากกว่า 6 เท่า เช่น 18 ใน 3 ส่วน หากต้องการค้นหาตัวเลขนี้ เราจะต้องคูณ 6 ด้วย 3 ซึ่งหมายความว่า 1/3 อยู่ในหน่วย b 18 ครั้ง และ 2/3 อยู่ในหน่วย b ไม่ใช่ 18 ครั้ง แต่ครึ่งหนึ่งของหลายๆ ครั้ง เช่น 18: 2 = 9 . ดังนั้น เมื่อหาร 6 ด้วย 2/3 เราจึงได้ดังนี้:

จากตรงนี้ เราจะได้กฎสำหรับการหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน หากต้องการหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณจำนวนเต็มด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนด และทำให้ผลคูณนี้เป็นตัวเศษ แล้วหารด้วยตัวเศษของเศษส่วนที่กำหนด

มาเขียนกฎโดยใช้ตัวอักษร:

เพื่อให้กฎนี้ชัดเจน ควรจำไว้ว่าเศษส่วนสามารถถือเป็นผลหารได้ ดังนั้นจึงมีประโยชน์ในการเปรียบเทียบกฎที่พบกับกฎสำหรับการหารตัวเลขด้วยผลหารซึ่งกำหนดไว้ในมาตรา 38 โปรดทราบว่าได้รับสูตรเดียวกันที่นั่น

เมื่อทำการหารจะสามารถใช้คำย่อได้ เช่น

4. การหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน

สมมุติว่าเราต้องหาร 3/4 ด้วย 3/8. ตัวเลขที่เกิดจากการหารจะหมายถึงอะไร? มันจะตอบคำถามว่ามีเศษส่วน 3/8 อยู่ในเศษส่วน 3/4 กี่ครั้ง เพื่อให้เข้าใจถึงปัญหานี้ มาวาดภาพกัน (รูปที่ 20)

ลองเอาส่วน AB มารวมกันเป็นหนึ่งแล้วแบ่งออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กันและทำเครื่องหมาย 3 ส่วนนั้น ส่วน AC จะเท่ากับ 3/4 ของส่วน AB ตอนนี้ให้เราแบ่งแต่ละส่วนจากสี่ส่วนเดิมออกเป็นสองส่วน จากนั้นส่วน AB จะแบ่งออกเป็น 8 ส่วนเท่าๆ กัน และแต่ละส่วนจะเท่ากับ 1/8 ของส่วน AB ให้เราเชื่อมต่อ 3 ส่วนดังกล่าวด้วยส่วนโค้ง จากนั้นแต่ละส่วน AD และ DC จะเท่ากับ 3/8 ของส่วน AB ภาพวาดแสดงให้เห็นว่าส่วนที่เท่ากับ 3/8 มีอยู่ในส่วนที่เท่ากับ 3/4 2 ครั้งพอดี ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์ของการหารสามารถเขียนได้ดังนี้:

3 / 4: 3 / 8 = 2

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่ง สมมติว่าเราต้องหาร 15/16 ด้วย 3/32:

เราให้เหตุผลดังนี้: เราต้องหาตัวเลขที่เมื่อคูณด้วย 3/32 จะได้ผลลัพธ์เท่ากับ 15/16 มาเขียนการคำนวณดังนี้:

15 / 16: 3 / 32 = เอ็กซ์

3 / 32 เอ็กซ์ = 15 / 16

3/32 ไม่ทราบหมายเลข เอ็กซ์ คือ 15/16

1/32 ของจำนวนที่ไม่รู้จัก เอ็กซ์ เป็น ,

32/32 เบอร์ เอ็กซ์ แต่งหน้า .

เพราะฉะนั้น,

ดังนั้น ในการหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณตัวเศษของเศษส่วนแรกด้วยตัวส่วนของวินาที และคูณตัวส่วนของเศษส่วนแรกด้วยตัวเศษของวินาที แล้วทำให้ผลคูณแรกเป็นตัวเศษ และตัวที่สองเป็นตัวส่วน

มาเขียนกฎโดยใช้ตัวอักษร:

เมื่อทำการหารจะสามารถใช้คำย่อได้ เช่น

5. การหารเลขคละ

เมื่อทำการหารจำนวนคละ จะต้องแปลงเป็นเศษส่วนเกินก่อน จากนั้นเศษส่วนที่ได้จะต้องหารตามกฎการหารเศษส่วน ลองดูตัวอย่าง:

มาแปลงตัวเลขคละให้เป็นเศษส่วนเกินกัน:

ทีนี้มาแบ่งกัน:

ดังนั้น ในการหารจำนวนคละ คุณต้องแปลงให้เป็นเศษส่วนเกินแล้วจึงหารโดยใช้กฎการหารเศษส่วน

6. การค้นหาตัวเลขจากเศษส่วนที่กำหนด

ในบรรดาปัญหาต่างๆ เกี่ยวกับเศษส่วน บางครั้งมีปัญหาที่ให้ค่าเศษส่วนบางส่วนของตัวเลขที่ไม่รู้จักมา และคุณจำเป็นต้องค้นหาตัวเลขนี้ ปัญหาประเภทนี้จะเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับปัญหาในการหาเศษส่วนของจำนวนที่กำหนด มีการให้ตัวเลขไว้และจำเป็นต้องหาเศษส่วนของจำนวนนี้ ที่นี่ให้เศษส่วนของตัวเลขและจำเป็นต้องค้นหาตัวเลขนี้เอง แนวคิดนี้จะชัดเจนยิ่งขึ้นหากเราหันมาแก้ไขปัญหาประเภทนี้

ภารกิจที่ 1ในวันแรก ช่างกระจกได้เคลือบหน้าต่าง 50 บาน ซึ่งคิดเป็น 1/3 ของหน้าต่างทั้งหมดของบ้านที่สร้างขึ้น บ้านนี้มีหน้าต่างกี่บาน?

สารละลาย.ปัญหาบอกว่าหน้าต่างกระจก 50 บานคิดเป็น 1/3 ของหน้าต่างทั้งหมดของบ้าน ซึ่งหมายความว่ามีหน้าต่างทั้งหมดมากกว่า 3 เท่า กล่าวคือ

บ้านหลังนี้มีหน้าต่าง 150 บาน

ภารกิจที่ 2ร้านค้าขายแป้งได้ 1,500 กิโลกรัม ซึ่งคิดเป็น 3/8 ของสต๊อกแป้งทั้งหมดที่มี แป้งที่ทางร้านมีให้ในตอนแรกคือเท่าใด

สารละลาย.จากเงื่อนไขของปัญหาพบว่าแป้งที่ขายได้ 1,500 กิโลกรัมคิดเป็น 3/8 ของสต๊อกทั้งหมด ซึ่งหมายความว่า 1/8 ของทุนสำรองนี้จะน้อยกว่า 3 เท่านั่นคือ ในการคำนวณคุณต้องลด 1,500 ลง 3 เท่า:

1,500: 3 = 500 (นี่คือ 1/8 ของทุนสำรอง)

แน่นอนว่าอุปทานทั้งหมดจะมีขนาดใหญ่ขึ้น 8 เท่า เพราะฉะนั้น,

500 8 = 4,000 (กก.)

สต๊อกแป้งเริ่มแรกในร้านคือ 4,000 กิโลกรัม

จากการพิจารณาปัญหานี้ จะได้กฎเกณฑ์ต่อไปนี้

หากต้องการค้นหาตัวเลขจากค่าเศษส่วนที่กำหนด ก็เพียงพอที่จะหารค่านี้ด้วยตัวเศษของเศษส่วนแล้วคูณผลลัพธ์ด้วยตัวส่วนของเศษส่วน

เราได้แก้ไขปัญหาสองข้อในการค้นหาตัวเลขจากเศษส่วนของมัน ปัญหาดังกล่าวที่เห็นได้ชัดเจนจากข้อที่แล้วได้รับการแก้ไขด้วยการกระทำสองประการ: การหาร (เมื่อพบส่วนหนึ่ง) และการคูณ (เมื่อพบจำนวนเต็ม)

อย่างไรก็ตาม หลังจากที่เราเรียนรู้เรื่องการหารเศษส่วนแล้ว ปัญหาข้างต้นสามารถแก้ไขได้ด้วยการกระทำเพียงครั้งเดียว ซึ่งก็คือ การหารด้วยเศษส่วน

ตัวอย่างเช่น งานสุดท้ายสามารถแก้ไขได้ด้วยการดำเนินการเดียวดังนี้:

ในอนาคตเราจะแก้ปัญหาในการค้นหาตัวเลขจากเศษส่วนด้วยการหารการกระทำเดียว

7. การค้นหาตัวเลขตามเปอร์เซ็นต์

ในปัญหาเหล่านี้ คุณจะต้องค้นหาตัวเลขที่รู้เปอร์เซ็นต์ของจำนวนนั้น

ภารกิจที่ 1เมื่อต้นปีนี้ฉันได้รับ 60 รูเบิลจากธนาคารออมสิน รายได้จากจำนวนเงินที่ฉันออมไว้เมื่อปีที่แล้ว ฉันใส่เงินในธนาคารออมสินไปเท่าไหร่แล้ว? (โต๊ะเงินสดให้ผลตอบแทนแก่ผู้ฝาก 2% ต่อปี)

ความหมายของปัญหาคือฉันฝากเงินจำนวนหนึ่งไว้ในธนาคารออมสินและอยู่ที่นั่นเป็นเวลาหนึ่งปี หนึ่งปีผ่านไปฉันได้รับเงิน 60 รูเบิลจากเธอ รายได้ซึ่งก็คือ 2/100 ของเงินที่ฉันฝาก ฉันใส่เงินไปเท่าไหร่?

ดังนั้นเมื่อรู้ส่วนหนึ่งของเงินนี้ซึ่งแสดงออกมาในสองวิธี (เป็นรูเบิลและเศษส่วน) เราจะต้องค้นหาจำนวนเงินทั้งหมดโดยที่ยังไม่ทราบ นี่เป็นปัญหาทั่วไปในการหาตัวเลขจากเศษส่วนของมัน ปัญหาต่อไปนี้ได้รับการแก้ไขโดยการแบ่ง:

ซึ่งหมายความว่ามีเงินฝาก 3,000 รูเบิลในธนาคารออมสิน

ภารกิจที่ 2ชาวประมงบรรลุแผนรายเดือนได้ 64% ภายในสองสัปดาห์ โดยสามารถจับปลาได้ 512 ตัน พวกเขามีแผนอะไร?

จากสภาพปัญหาเป็นที่ทราบกันว่าชาวประมงได้ดำเนินการเสร็จสิ้นตามแผนบางส่วนแล้ว ส่วนนี้เท่ากับ 512 ตัน คิดเป็น 64% ของแผน เราไม่รู้ว่าต้องเตรียมปลากี่ตันตามแผน การค้นหาหมายเลขนี้จะเป็นวิธีแก้ปัญหา

ปัญหาดังกล่าวแก้ไขได้ด้วยการแบ่ง:

ซึ่งหมายความว่าตามแผนจะต้องเตรียมปลาจำนวน 800 ตัน

ภารกิจที่ 3รถไฟไปจากริกาไปมอสโก เมื่อผ่านไปกิโลเมตรที่ 276 ผู้โดยสารคนหนึ่งถามพนักงานควบคุมรถที่ผ่านไปมาว่าได้เดินทางไปแล้วกี่กิโลเมตร ผู้ควบคุมวงตอบว่า: “เราได้ครอบคลุม 30% ของการเดินทางทั้งหมดแล้ว” ระยะทางจากรีกาไปมอสโกคือเท่าไร?

จากสภาพปัญหาเป็นที่ชัดเจนว่า 30% ของเส้นทางจากริกาไปมอสโกคือ 276 กม. เราจำเป็นต้องค้นหาระยะทางทั้งหมดระหว่างเมืองเหล่านี้ เช่น ในส่วนนี้ ให้ค้นหาทั้งหมด:

§ 91. หมายเลขซึ่งกันและกัน การแทนที่การหารด้วยการคูณ

ลองหาเศษส่วน 2/3 แล้วแทนที่ตัวเศษแทนตัวส่วน เราจะได้ 3/2 เราได้อินเวอร์สของเศษส่วนนี้.

เพื่อให้ได้ค่าผกผันของเศษส่วนที่กำหนด คุณต้องใส่ตัวเศษแทนตัวส่วน และให้ตัวส่วนแทนตัวเศษ ด้วยวิธีนี้ เราจะได้ส่วนกลับของเศษส่วนใดๆ. ตัวอย่างเช่น:

3/4, ย้อนกลับ 4/3; 5/6 ย้อนกลับ 6/5

เศษส่วน 2 ตัวที่มีคุณสมบัติโดยที่เศษของตัวแรกเป็นตัวส่วนของวินาที และส่วนของของตัวแรกคือเศษของวินาที เรียกว่า ผกผันซึ่งกันและกัน

ทีนี้ ลองคิดว่าเศษส่วนจะเป็นส่วนกลับของ 1/2. แน่นอน มันจะเป็น 2/1 หรือแค่ 2 เมื่อหาเศษส่วนผกผันของค่าที่กำหนด เราก็ได้จำนวนเต็ม และกรณีนี้ไม่ได้แยกออกจากกัน ในทางตรงกันข้าม เศษส่วนทั้งหมดที่มีตัวเศษเป็น 1 (หนึ่ง) ส่วนกลับจะเป็นจำนวนเต็ม เช่น

1/3, ย้อนกลับ 3; 1/5, ย้อนกลับ 5

เนื่องจากในการค้นหาเศษส่วนกลับ เราจึงพบจำนวนเต็มด้วย ต่อไปนี้เราจะไม่พูดถึงเศษส่วนกลับ แต่เกี่ยวกับจำนวนกลับกัน

ลองหาวิธีเขียนค่าผกผันของจำนวนเต็มกัน สำหรับเศษส่วน สามารถแก้ไขได้ง่ายๆ โดยคุณต้องใส่ตัวส่วนแทนตัวเศษ ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถได้ค่าผกผันของจำนวนเต็ม เนื่องจากจำนวนเต็มใดๆ สามารถมีส่วนเป็น 1 ได้ ซึ่งหมายความว่าค่าผกผันของ 7 จะเป็น 1/7 เพราะ 7 = 7/1; สำหรับเลข 10 ค่าผกผันจะเป็น 1/10 เนื่องจาก 10 = 10/1

แนวคิดนี้สามารถแสดงออกได้แตกต่างออกไป: ส่วนกลับของจำนวนที่กำหนดจะได้มาโดยการหารหนึ่งด้วยจำนวนที่กำหนด- ข้อความนี้เป็นจริงไม่เพียงแต่กับจำนวนเต็มเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเศษส่วนด้วย อันที่จริง หากเราต้องเขียนค่าผกผันของเศษส่วน 5/9 เราก็สามารถหา 1 แล้วหารด้วย 5/9 ได้ กล่าวคือ

ตอนนี้เราขอชี้ให้เห็นสิ่งหนึ่ง คุณสมบัติตัวเลขกลับกันซึ่งจะเป็นประโยชน์สำหรับเรา: ผลคูณของจำนวนกลับมีค่าเท่ากับหนึ่งอย่างแท้จริง:

เมื่อใช้คุณสมบัตินี้ เราจะสามารถค้นหาตัวเลขส่วนกลับได้ดังต่อไปนี้ สมมุติว่าเราต้องหาค่าผกผันของ 8

เรามาแสดงด้วยตัวอักษรกันดีกว่า เอ็กซ์ จากนั้น 8 เอ็กซ์ = 1 ดังนั้น เอ็กซ์ = 1/8. ลองหาตัวเลขอื่นที่เป็นค่าผกผันของ 7/12 แล้วเขียนแทนด้วยตัวอักษร เอ็กซ์ จากนั้น 7/12 เอ็กซ์ = 1 ดังนั้น เอ็กซ์ = 1: 7 / 12 หรือ เอ็กซ์ = 12 / 7 .

เรานำเสนอแนวคิดเรื่องจำนวนกลับเพื่อเสริมข้อมูลเกี่ยวกับการหารเศษส่วนเล็กน้อย

เมื่อเราหารตัวเลข 6 ด้วย 3/5 เราจะทำดังต่อไปนี้:

ให้ความสนใจเป็นพิเศษกับสำนวนและเปรียบเทียบกับสำนวนที่กำหนด: .

หากเราแยกนิพจน์ออกจากกันโดยไม่เกี่ยวข้องกับนิพจน์ก่อนหน้า ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะตอบคำถามว่ามาจากไหน: จากการหาร 6 ด้วย 3/5 หรือจากการคูณ 6 ด้วย 5/3 ในทั้งสองกรณีสิ่งเดียวกันเกิดขึ้น ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้ การหารตัวเลขหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่งสามารถแทนที่ได้ด้วยการคูณเงินปันผลด้วยค่าผกผันของตัวหาร

ตัวอย่างที่เราให้ด้านล่างยืนยันข้อสรุปนี้อย่างสมบูรณ์

คุณสามารถทำทุกอย่างด้วยเศษส่วน รวมถึงการหารด้วย บทความนี้จะแสดงการหารเศษส่วนสามัญ จะมีการให้คำจำกัดความและจะมีการหารือตัวอย่าง ให้เราดูรายละเอียดเกี่ยวกับการหารเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติและในทางกลับกัน จะมีการหารือเกี่ยวกับการหารเศษส่วนร่วมด้วยจำนวนคละ

การหารเศษส่วน

การหารคือการผกผันของการคูณ เมื่อทำการหาร จะพบปัจจัยที่ไม่ทราบด้วยผลคูณที่ทราบของปัจจัยอื่น โดยที่ความหมายที่กำหนดจะถูกคงไว้ด้วยเศษส่วนธรรมดา

หากจำเป็นต้องหารเศษส่วนร่วม a b ด้วย c d จากนั้นเพื่อกำหนดจำนวนดังกล่าวที่คุณต้องคูณด้วยตัวหาร c d นี่จะทำให้การจ่ายเงินปันผลในท้ายที่สุด a b ลองหาตัวเลขแล้วเขียนมัน a b · d c โดยที่ d c คือค่าผกผันของเลข c d ความเท่าเทียมกันสามารถเขียนได้โดยใช้คุณสมบัติของการคูณ กล่าวคือ a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b โดยที่นิพจน์ a b · d c คือผลหารของการหาร a b ด้วย c d

จากที่นี่เราได้รับและกำหนดกฎสำหรับการหารเศษส่วนสามัญ:

คำจำกัดความ 1

หากต้องการหารเศษส่วนร่วม a b ด้วย c d คุณต้องคูณเงินปันผลด้วยส่วนกลับของตัวหาร

มาเขียนกฎในรูปแบบของนิพจน์: a b: c d = a b · dc

กฎของการหารลงมาที่การคูณ คุณต้องมีความเข้าใจเรื่องการคูณเศษส่วนเป็นอย่างดี

มาดูการหารเศษส่วนสามัญกันดีกว่า

ตัวอย่างที่ 1

หาร 9 7 ด้วย 5 3. เขียนผลลัพธ์เป็นเศษส่วน.

สารละลาย

จำนวน 5 3 คือเศษส่วนกลับ 3 5 จำเป็นต้องใช้กฎในการหารเศษส่วนสามัญ เราเขียนนิพจน์นี้ดังนี้: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35

คำตอบ: 9 7: 5 3 = 27 35 .

เมื่อจะลดเศษส่วน ให้แยกเศษส่วนทั้งหมดออกหากตัวเศษมากกว่าตัวส่วน

ตัวอย่างที่ 2

หาร 8 15: 24 65. เขียนคำตอบเป็นเศษส่วน.

สารละลาย

ในการแก้ปัญหา คุณต้องย้ายจากการหารเป็นการคูณ ลองเขียนในรูปแบบนี้: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

มีความจำเป็นต้องลดขนาดและทำได้ดังนี้ 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

เลือกทั้งหมดแล้วได้ 13 9 = 1 4 9

คำตอบ: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

การหารเศษส่วนพิเศษด้วยจำนวนธรรมชาติ

เราใช้กฎในการหารเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ ในการหาร a b ด้วยจำนวนธรรมชาติ n คุณเพียงแค่ต้องคูณตัวส่วนด้วย n เท่านั้น จากตรงนี้ เราจะได้นิพจน์: a b: n = a b · n

กฎการหารเป็นผลมาจากกฎการคูณ ดังนั้น การแสดงจำนวนธรรมชาติเป็นเศษส่วนจะให้ความเท่าเทียมกันประเภทนี้: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n

พิจารณาการหารเศษส่วนด้วยตัวเลขนี้

ตัวอย่างที่ 3

หารเศษส่วน 16 45 ด้วยจำนวน 12

สารละลาย

ลองใช้กฎการหารเศษส่วนด้วยตัวเลขกันดีกว่า เราได้รับนิพจน์ในรูปแบบ 16 45: 12 = 16 45 · 12

มาลดเศษส่วนกัน. เราได้ 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.

คำตอบ: 16 45: 12 = 4 135 .

การหารจำนวนธรรมชาติด้วยเศษส่วน

กฎการแบ่งก็คล้ายกัน โอกฎสำหรับการหารจำนวนธรรมชาติด้วยเศษส่วนธรรมดา: ในการหารจำนวนธรรมชาติ n ด้วยเศษส่วนสามัญ a b จำเป็นต้องคูณจำนวน n ด้วยส่วนกลับของเศษส่วน a b

ตามกฎแล้ว เรามี n: a b = n · b a และต้องขอบคุณกฎของการคูณจำนวนธรรมชาติด้วยเศษส่วนธรรมดา เราจึงได้นิพจน์ในรูปแบบ n: a b = n · b a จำเป็นต้องพิจารณาแผนกนี้ด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 4

หาร 25 ด้วย 15 28.

สารละลาย

เราต้องย้ายจากการหารเป็นการคูณ ลองเขียนมันในรูปแบบของนิพจน์ 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 ลองลดเศษส่วนแล้วได้ผลลัพธ์ในรูปของเศษส่วน 46 2 3

คำตอบ: 25: 15 28 = 46 2 3 .

การหารเศษส่วนด้วยจำนวนคละ

เมื่อหารเศษส่วนร่วมด้วยจำนวนคละ คุณสามารถเริ่มหารเศษส่วนร่วมได้อย่างง่ายดาย คุณต้องแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกิน

ตัวอย่างที่ 5

หารเศษส่วน 35 16 ด้วย 3 1 8.

สารละลาย

เนื่องจาก 3 1 8 เป็นจำนวนคละ ลองเขียนเป็นเศษส่วนเกินดูสิ. จากนั้นเราจะได้ 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 ทีนี้มาหารเศษส่วนกัน. เราได้ 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

คำตอบ: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

การหารจำนวนคละทำในลักษณะเดียวกับจำนวนสามัญ

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ครั้งสุดท้ายที่เราได้เรียนรู้วิธีบวกและลบเศษส่วน (ดูบทเรียน “การบวกและการลบเศษส่วน”) ส่วนที่ยากที่สุดของการกระทำเหล่านั้นคือการนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม

ตอนนี้ถึงเวลาจัดการกับการคูณและการหารแล้ว ข่าวดีก็คือว่าการดำเนินการเหล่านี้ง่ายกว่าการบวกและการลบด้วยซ้ำ ขั้นแรก ลองพิจารณากรณีที่ง่ายที่สุด เมื่อมีเศษส่วนบวกสองตัวโดยไม่มีจำนวนเต็มแยกกัน

หากต้องการคูณเศษส่วนทั้งสอง คุณต้องคูณตัวเศษและส่วนแยกจากกัน ตัวเลขตัวแรกจะเป็นตัวเศษของเศษส่วนใหม่ และตัวที่สองจะเป็นตัวส่วน

หากต้องการหารเศษส่วนสองส่วน คุณต้องคูณเศษส่วนแรกด้วยเศษส่วนที่สองที่ "กลับหัว"

การกำหนด:

จากคำจำกัดความพบว่าการหารเศษส่วนลดลงเป็นการคูณ หากต้องการ "พลิก" เศษส่วน เพียงสลับตัวเศษและส่วน ดังนั้นตลอดบทเรียนเราจะพิจารณาการคูณเป็นหลัก

จากการคูณ เศษส่วนที่ลดลงสามารถเกิดขึ้นได้ (และมักเกิดขึ้น) - แน่นอนว่าจะต้องลดลง หากหลังจากการลดลงทั้งหมดแล้วเศษส่วนไม่ถูกต้อง ควรเน้นส่วนทั้งหมด แต่สิ่งที่จะไม่เกิดขึ้นแน่นอนกับการคูณคือการลดตัวส่วนร่วม: ไม่มีวิธีกากบาท ตัวประกอบที่ยิ่งใหญ่ที่สุด และตัวคูณร่วมน้อย

ตามคำจำกัดความที่เรามี:

การคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนทั้งหมดและเศษส่วนติดลบ

หากเศษส่วนมีส่วนที่เป็นจำนวนเต็ม จะต้องแปลงเศษส่วนเป็นส่วนที่ไม่เหมาะสม จากนั้นจึงคูณตามรูปแบบที่อธิบายไว้ข้างต้นเท่านั้น

หากมีเครื่องหมายลบในตัวเศษของเศษส่วนในตัวส่วนหรือข้างหน้าเศษส่วนก็สามารถลบออกจากการคูณหรือลบออกทั้งหมดได้ตามกฎต่อไปนี้:

1. บวกด้วยลบให้ลบ;
2. แง่ลบสองประการทำให้มีการยืนยัน

จนถึงขณะนี้กฎเหล่านี้พบเฉพาะเมื่อบวกและลบเศษส่วนลบเมื่อจำเป็นต้องกำจัดส่วนทั้งหมดออก สำหรับงานสามารถสรุปเพื่อ "เผา" ข้อเสียหลายประการในคราวเดียว:

1. เราขีดฆ่าเชิงลบเป็นคู่ ๆ จนกว่าพวกมันจะหายไปอย่างสมบูรณ์ ในกรณีที่รุนแรง เครื่องหมายลบหนึ่งตัวสามารถอยู่รอดได้ - อันที่ไม่มีคู่ครอง
2. หากไม่มีข้อเสียเหลืออยู่ การดำเนินการจะเสร็จสิ้น - คุณสามารถเริ่มการคูณได้ ถ้าเครื่องหมายลบตัวสุดท้ายไม่ถูกขีดฆ่าเพราะไม่มีคู่ เราจะเอามันออกนอกขอบเขตของการคูณ ผลลัพธ์ที่ได้คือเศษส่วนที่เป็นลบ

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

เราแปลงเศษส่วนทั้งหมดให้เป็นเศษส่วนเกิน แล้วนำเครื่องหมายลบออกจากการคูณ เราคูณสิ่งที่เหลืออยู่ตามกฎปกติ เราได้รับ:

ฉันขอเตือนคุณอีกครั้งว่าเครื่องหมายลบที่ปรากฏหน้าเศษส่วนโดยที่ส่วนที่ไฮไลท์ไว้ทั้งหมดนั้นหมายถึงเศษส่วนทั้งหมดโดยเฉพาะ ไม่ใช่แค่กับเศษส่วนทั้งหมดเท่านั้น (ใช้กับสองตัวอย่างสุดท้าย)

ให้ความสนใจกับจำนวนลบด้วย: เมื่อคูณจะอยู่ในวงเล็บ ทำเช่นนี้เพื่อแยกเครื่องหมายลบออกจากเครื่องหมายคูณ และทำให้สัญกรณ์ทั้งหมดแม่นยำยิ่งขึ้น

การลดเศษส่วนได้ทันที

การคูณเป็นการดำเนินการที่ต้องใช้แรงงานมาก ตัวเลขที่นี่ค่อนข้างมาก และเพื่อลดความซับซ้อนของปัญหา คุณสามารถลองลดเศษส่วนลงอีกได้ ก่อนการคูณ- โดยพื้นฐานแล้ว ตัวเศษและส่วนของเศษส่วนเป็นปัจจัยธรรมดา ดังนั้นจึงสามารถลดทอนได้โดยใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน ลองดูตัวอย่าง:

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

ตามคำจำกัดความที่เรามี:

ในตัวอย่างทั้งหมด ตัวเลขที่ลดลงและสิ่งที่เหลืออยู่จะถูกทำเครื่องหมายด้วยสีแดง

โปรดทราบ: ในกรณีแรก ตัวคูณจะลดลงโดยสิ้นเชิง ในสถานที่ของพวกเขายังมีหน่วยที่ไม่จำเป็นต้องเขียนโดยทั่วไป ในตัวอย่างที่สอง ไม่สามารถลดได้ทั้งหมด แต่จำนวนการคำนวณทั้งหมดยังคงลดลง

อย่างไรก็ตาม อย่าใช้เทคนิคนี้ในการบวกและลบเศษส่วนเด็ดขาด! ใช่ บางครั้งก็มีตัวเลขคล้ายกันที่คุณต้องการลด ที่นี่ดู:

คุณไม่สามารถทำอย่างนั้นได้!

ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นเนื่องจากเมื่อบวก ตัวเศษของเศษส่วนจะสร้างผลรวม ไม่ใช่ผลคูณของตัวเลข ด้วยเหตุนี้ จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน เนื่องจากคุณสมบัตินี้เกี่ยวข้องกับการคูณตัวเลขโดยเฉพาะ

ไม่มีเหตุผลอื่นในการลดเศษส่วน ดังนั้นวิธีแก้ไขปัญหาก่อนหน้านี้ที่ถูกต้องจะเป็นดังนี้:

วิธีแก้ไขที่ถูกต้อง:

อย่างที่คุณเห็นคำตอบที่ถูกต้องกลับกลายเป็นว่าไม่สวยงามนัก โดยทั่วไปควรระมัดระวัง

) และตัวส่วนตามตัวส่วน (เราจะได้ตัวส่วนของผลคูณ)

สูตรการคูณเศษส่วน:

ตัวอย่างเช่น:

ก่อนที่คุณจะเริ่มคูณทั้งเศษและส่วน คุณต้องตรวจสอบว่าเศษส่วนนั้นสามารถลดจำนวนลงได้หรือไม่ หากคุณสามารถลดเศษส่วนได้ การคำนวณเพิ่มเติมก็จะง่ายขึ้น

การหารเศษส่วนร่วมด้วยเศษส่วน

การหารเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ

มันไม่น่ากลัวอย่างที่คิด ในกรณีของการบวก เราจะแปลงจำนวนเต็มให้เป็นเศษส่วนโดยให้ 1 เป็นตัวส่วน ตัวอย่างเช่น:

การคูณเศษส่วนคละ

กฎการคูณเศษส่วน (คละ):

• แปลงเศษส่วนคละเป็นเศษส่วนเกิน
• การคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วน
• ลดเศษส่วน;
• หากคุณได้เศษส่วนเกิน เราจะแปลงเศษส่วนเกินให้เป็นเศษส่วนคละ

บันทึก!หากต้องการคูณเศษส่วนคละด้วยเศษส่วนคละอื่น คุณต้องแปลงให้เป็นเศษส่วนเกินก่อน แล้วจึงคูณตามกฎการคูณเศษส่วนสามัญ

วิธีที่สองในการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ

การใช้วิธีที่สองในการคูณเศษส่วนร่วมด้วยตัวเลขอาจสะดวกกว่า

บันทึก!หากต้องการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ คุณต้องหารตัวส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนนี้ และปล่อยให้ตัวเศษไม่เปลี่ยนแปลง

จากตัวอย่างข้างต้น เห็นได้ชัดว่าตัวเลือกนี้สะดวกกว่าเมื่อหารตัวส่วนของเศษส่วนโดยไม่มีเศษเหลือด้วยจำนวนธรรมชาติ

เศษส่วนหลายชั้น

ในโรงเรียนมัธยมปลาย มักพบเศษส่วนสามชั้น (หรือมากกว่า) ตัวอย่าง:

หากต้องการให้เศษส่วนดังกล่าวอยู่ในรูปปกติ ให้ใช้การหารผ่าน 2 จุด:

บันทึก!ในการหารเศษส่วน ลำดับการหารมีความสำคัญมาก ระวังมันง่ายที่จะสับสนที่นี่

บันทึก, ตัวอย่างเช่น:

เมื่อหารหนึ่งด้วยเศษส่วนใดๆ ผลลัพธ์จะเป็นเศษส่วนเดียวกัน กลับด้านเท่านั้น:

เคล็ดลับการปฏิบัติสำหรับการคูณและหารเศษส่วน:

1. สิ่งที่สำคัญที่สุดในการทำงานกับนิพจน์ที่เป็นเศษส่วนคือความแม่นยำและความเอาใจใส่ ทำการคำนวณทั้งหมดอย่างรอบคอบและแม่นยำ มีสมาธิและชัดเจน เป็นการดีกว่าที่จะเขียนบรรทัดเพิ่มเติมสองสามบรรทัดในร่างของคุณ ดีกว่ามัวแต่มัวแต่คิดคำนวณในใจ

2. ในงานที่มีเศษส่วนประเภทต่างๆ ให้ไปที่ประเภทของเศษส่วนสามัญ

3. เราลดเศษส่วนทั้งหมดจนไม่สามารถลดได้อีกต่อไป

4. เราแปลงนิพจน์เศษส่วนหลายระดับให้เป็นนิพจน์ธรรมดาโดยใช้การหารถึง 2 จุด

5. หารหน่วยด้วยเศษส่วนในหัวของคุณ เพียงแค่พลิกเศษส่วนกลับ