Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie dvoch premenných v uzavretej oblasti. Najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v segmente

Čo je to extrém funkcie a aká je nevyhnutná podmienka pre extrém?

Extrémom funkcie je maximum a minimum funkcie.

Nevyhnutná podmienka pre maximum a minimum (extrém) funkcie je nasledovná: ak má funkcia f(x) extrém v bode x = a, potom je v tomto bode derivácia buď nulová, alebo nekonečná, alebo má neexistuje.

Táto podmienka je nevyhnutná, ale nie postačujúca. Derivácia v bode x = a môže ísť k nule, nekonečnu alebo nemusí existovať bez toho, aby funkcia mala v tomto bode extrém.

Aká je dostatočná podmienka pre extrém funkcie (maximum alebo minimum)?

Prvá podmienka:

Ak je v dostatočnej blízkosti bodu x = a derivácia f?(x) kladná vľavo od a a záporná vpravo od a, potom v bode x = a má funkcia f(x) maximálne

Ak je v dostatočnej blízkosti bodu x = a derivácia f?(x) záporná vľavo od a a kladná vpravo od a, potom v bode x = a má funkcia f(x) minimálne za predpokladu, že funkcia f(x) je tu spojitá.

Namiesto toho môžete použiť druhú dostatočnú podmienku pre extrém funkcie:

Nech v bode x = a prvá derivácia f?(x) zmizne; ak je druhá derivácia f??(a) záporná, tak funkcia f(x) má maximum v bode x = a, ak je kladná, tak má minimum.

Aký je kritický bod funkcie a ako ho nájsť?

Toto je hodnota argumentu funkcie, pri ktorej má funkcia extrém (t. j. maximum alebo minimum). Aby ste to našli, potrebujete nájsť derivát funkcia f?(x) a prirovnať ju k nule, vyriešiť rovnicu f?(x) = 0. Korene tejto rovnice, ako aj tie body, v ktorých derivácia tejto funkcie neexistuje, sú kritické body, t. j. hodnoty argumentu, v ktorých môže byť extrém. Dajú sa ľahko identifikovať pohľadom derivačný graf: zaujímajú nás tie hodnoty argumentu, pri ktorých graf funkcie pretína os x (os Ox) a tie, pri ktorých má graf nespojitosť.

Napríklad nájdime extrém paraboly.

Funkcia y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivácia funkcie: y?(x) = 6x + 2

Vyriešte rovnicu: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

V tomto prípade je kritický bod x0=-1/3. Funkcia má práve túto hodnotu argumentu extrém. Jemu Nájsť, nahraďte nájdené číslo vo výraze za funkciu namiesto „x“:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Ako určiť maximum a minimum funkcie, t.j. jeho najväčšie a najmenšie hodnoty?

Ak sa znamienko derivácie pri prechode cez kritický bod x0 zmení z „plus“ na „mínus“, potom x0 je maximálny bod; ak sa znamienko derivácie zmení z mínus na plus, potom x0 je minimálny bod; ak sa znamienko nemení, tak v bode x0 nie je ani maximum, ani minimum.

Pre uvažovaný príklad:

Vezmeme ľubovoľnú hodnotu argumentu naľavo od kritického bodu: x = -1

Pri x = -1 bude hodnota derivácie y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (t. j. znamienko je „mínus“).

Teraz vezmeme ľubovoľnú hodnotu argumentu napravo od kritického bodu: x = 1

Pri x = 1 bude hodnota derivácie y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (t.j. znamienko je „plus“).

Ako vidíte, derivácia zmenila znamienko z mínus na plus pri prechode cez kritický bod. To znamená, že pri kritickej hodnote x0 máme minimálny bod.

Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie na intervale(na segmente) sa nachádzajú rovnakým postupom, len s prihliadnutím na skutočnosť, že možno nie všetky kritické body budú ležať v špecifikovanom intervale. Kritické body, ktoré sú mimo intervalu, musia byť vylúčené z úvahy. Ak je v intervale iba jeden kritický bod, bude mať buď maximum alebo minimum. V tomto prípade, aby sme určili najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie, berieme do úvahy aj hodnoty funkcie na koncoch intervalu.

Napríklad nájdime najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

v intervaloch:

Takže derivácia funkcie je

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Riešime rovnicu 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ± arccos (0,16667) + 2πk.

Kritické body nájdeme na intervale [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nie je zahrnuté v intervale)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nie je zahrnuté v intervale)

Hodnoty funkcie nájdeme pri kritických hodnotách argumentu:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Je vidieť, že na intervale [-9; 9] funkcia má najväčšiu hodnotu pri x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

a najmenší - pri x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Na intervale [-6; -3] máme len jeden kritický bod: x = -4,88. Hodnota funkcie pri x = -4,88 sa rovná y = 5,398.

Nájdite hodnotu funkcie na koncoch intervalu:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Na intervale [-6; -3] máme najväčšiu hodnotu funkcie

y = 5,398 pri x = -4,88

najmenšia hodnota -

y = 1,077 pri x = -3

Ako nájsť inflexné body funkčného grafu a určiť konvexnú a konkávnu stranu?

Ak chcete nájsť všetky inflexné body priamky y = f(x), musíte nájsť druhú deriváciu, prirovnať ju k nule (vyriešiť rovnicu) a otestovať všetky tie hodnoty x, pre ktoré je druhá derivácia nula, nekonečné alebo neexistuje. Ak pri prechode cez jednu z týchto hodnôt druhá derivácia zmení znamienko, potom má graf funkcie v tomto bode inflexiu. Ak sa to nezmení, potom nie je žiadny ohyb.

Korene rovnice f? (x) = 0, ako aj možné body diskontinuity funkcie a druhá derivácia rozdeľujú definičný obor funkcie na množstvo intervalov. Konvexnosť na každom z ich intervalov je určená znamienkom druhej derivácie. Ak je druhá derivácia v bode skúmaného intervalu kladná, potom je priamka y = f(x) konkávna smerom nahor a ak je záporná, potom smerom nadol.

Ako nájsť extrémy funkcie dvoch premenných?

Ak chcete nájsť extrémy funkcie f(x,y), diferencovateľné v oblasti jej špecifikácie, potrebujete:

1) nájdite kritické body, a preto vyriešte systém rovníc

fх? (x,y) = 0, fу? (x, y) = 0

2) pre každý kritický bod P0(a;b) skontrolujte, či znamienko rozdielu zostáva nezmenené

pre všetky body (x;y) dostatočne blízko k P0. Ak rozdiel zostane kladný, tak v bode P0 máme minimum, ak záporný, tak máme maximum. Ak si rozdiel nezachová svoje znamienko, potom v bode P0 neexistuje extrém.

Extrémy funkcie sú určené podobne pre väčší počet argumentov.

O čom je karikatúra „Shrek Forever After“?
Cartoon: “Shrek Forever After” Rok vydania: 2010 Premiéra (Ruská federácia): 20. máj 2010 Krajina: USA Réžia: Michael Pitchel Scenár: Josh Klausner, Darren Lemke Žáner: rodinná komédia, fantasy, dobrodružstvo Oficiálna webová stránka: www.shrekforeverafter Zápletka .com Mule

Je možné darovať krv počas menštruácie?
Lekári neodporúčajú darovať krv počas menštruácie, pretože... strata krvi, aj keď nie vo významnom množstve, je spojená so znížením hladín hemoglobínu a zhoršením blahobytu ženy. Počas procedúry darovania krvi sa situácia s vaším zdravotným stavom môže zhoršiť až do krvácania. Preto by sa ženy mali zdržať darovania krvi počas menštruácie. A to už na 5. deň po ich ukončení

Koľko kcal/hodinu sa spotrebuje pri umývaní podláh?
Druhy fyzickej aktivity Spotreba energie, kcal/hod. Varenie 80 Obliekanie 30 Šoférovanie 50 Utieranie prachu 80 Jedenie 30 Záhradníctvo 135 Žehlenie 45 Ustlanie postele 130 Nakupovanie 80 Sedavé zamestnanie 75 Sekanie dreva 300 Umývanie podláh 130 Sex 100-150 Aeróbne tanec

Čo znamená slovo „podvodník“?
Podvodník je zlodej, ktorý sa zaoberá drobnými krádežami, alebo prefíkaný človek náchylný na podvodné triky. Potvrdenie tejto definície je obsiahnuté v Krylovovom etymologickom slovníku, podľa ktorého je slovo „podvodník“ vytvorené zo slova „zhal“ (zlodej, podvodník), súvisiaceho so slovesom &la

Ako sa volá posledný publikovaný príbeh bratov Strugackých?
Poviedka Arkadija a Borisa Strugackých „O otázke cyklotácie“ bola prvýkrát publikovaná v apríli 2008 v antológii beletrie „Poludnie. XXI. storočie“ (príloha časopisu „Around the World“, vydávaná pod redakciou Borisa Strugacký). Publikácia bola načasovaná na 75. výročie Borisa Strugackého.

Kde si môžete prečítať príbehy účastníkov programu Work And Travel USA?
Work and Travel USA (work and travel in the USA) je obľúbený študentský výmenný program, v rámci ktorého môžete stráviť leto v Amerike legálnou prácou v sektore služieb a cestovaním. História programu Work & Travel je súčasťou medzivládneho výmenného programu Cultural Exchange Pro

Ucho. Kulinárske a historické pozadie Už viac ako dva a pol storočia sa slovo „ukha“ používa na označenie polievok alebo odvarov z čerstvých rýb. Ale boli časy, keď sa toto slovo vykladalo širšie. Znamenalo to polievku – nielen rybiu, ale aj mäsovú, hrachovú a dokonca aj sladkú. Takže v historickom dokumente - “

Informačné a náborové portály Superjob.ru - náborový portál Superjob.ru pôsobí na ruskom online náborovom trhu od roku 2000 a je lídrom medzi zdrojmi ponúkajúcimi prácu a hľadanie personálu. Každý deň sa do databázy stránky pridáva viac ako 80 000 životopisov špecialistov a viac ako 10 000 voľných pracovných miest.

Čo je motivácia
Definícia motivácie Motivácia (z lat. moveo – hýbem sa) – podnet k činnosti; dynamický fyziologický a psychologický proces, ktorý riadi ľudské správanie, určuje jeho smer, organizáciu, aktivitu a stabilitu; schopnosť človeka uspokojovať svoje potreby prácou. Motivac

Kto je Bob Dylan
Bob Dylan (anglicky Bob Dylan, vlastným menom - Robert Allen Zimmerman angl. Robert Allen Zimmerman; narodený 24. mája 1941) je americký skladateľ, ktorý je podľa prieskumu magazínu Rolling Stone druhý (

Ako prepravovať izbové rastliny
Po zakúpení izbových rastlín stojí záhradník pred úlohou, ako doručiť zakúpené exotické kvety nepoškodené. Znalosť základných pravidiel pre balenie a prepravu izbových rastlín pomôže vyriešiť tento problém. Rastliny musia byť zabalené, aby sa dali prenášať alebo prepravovať. Bez ohľadu na to, na akú krátku vzdialenosť sa rastliny prepravujú, môžu sa poškodiť, vyschnúť a v zime &m

Proces hľadania najmenších a najväčších hodnôt funkcie na segmente pripomína fascinujúci let okolo objektu (graf funkcie) v helikoptére, streľbu na určité body z dela na veľké vzdialenosti a výber veľmi špeciálne body z týchto bodov za kontrolné výstrely. Body sa vyberajú určitým spôsobom a podľa určitých pravidiel. Podľa akých pravidiel? Budeme o tom hovoriť ďalej.

Ak je funkcia r = f(X) je spojitá na intervale [ a, b], potom dosiahne tento segment najmenej A najvyššie hodnoty . To sa môže stať buď v extrémne body alebo na koncoch segmentu. Preto nájsť najmenej A najväčšie hodnoty funkcie , súvislé na intervale [ a, b], musíte vypočítať všetky jeho hodnoty kritických bodov a na koncoch segmentu a potom z nich vyberte najmenší a najväčší.

Povedzme napríklad, že chcete určiť najväčšiu hodnotu funkcie f(X) na segmente [ a, b]. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť všetky jeho kritické body ležiace na [ a, b] .

Kritický bod nazývaný bod, v ktorom funkcia definovaná, a jej derivát buď sa rovná nule alebo neexistuje. Potom by ste mali vypočítať hodnoty funkcie v kritických bodoch. A nakoniec je potrebné porovnať hodnoty funkcie v kritických bodoch a na koncoch segmentu ( f(a) A f(b)). Najväčšie z týchto čísel bude najväčšia hodnota funkcie na segmente [a, b] .

Problémy s nájdením najmenšie funkčné hodnoty .

Spoločne hľadáme najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie

Príklad 1. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente [-1, 2] .

Riešenie. Nájdite deriváciu tejto funkcie. Prirovnajme deriváciu k nule () a získajme dva kritické body: a . Na nájdenie najmenšej a najväčšej hodnoty funkcie na danom segmente stačí vypočítať jej hodnoty na koncoch segmentu a v bode, pretože bod nepatrí do segmentu [-1, 2]. Tieto funkčné hodnoty sú: , , . Z toho vyplýva najmenšia funkčná hodnota(označené červenou farbou na grafe nižšie), rovné -7, sa dosiahne na pravom konci segmentu - v bode , a najväčší(na grafe aj červená), rovná sa 9, - v kritickom bode.

Ak je funkcia v určitom intervale spojitá a tento interval nie je segmentom (ale je napr. intervalom; rozdiel medzi intervalom a segmentom: hraničné body intervalu nie sú zahrnuté v intervale, ale hraničné body segmentu sú zahrnuté v segmente), potom medzi hodnotami funkcie nemusí byť najmenšia a najväčšia. Takže napríklad funkcia zobrazená na obrázku nižšie je spojitá na ]-∞, +∞[ a nemá najväčšiu hodnotu.

Avšak pre akýkoľvek interval (uzavretý, otvorený alebo nekonečný) platí nasledujúca vlastnosť spojitých funkcií.

Príklad 4. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente [-1, 3] .

Riešenie. Deriváciu tejto funkcie nájdeme ako deriváciu kvocientu:

.

Deriváciu prirovnáme k nule, čo nám dáva jeden kritický bod: . Patrí do segmentu [-1, 3] . Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:

Porovnajme tieto hodnoty. Záver: rovný -5/13, v bode a najvyššia hodnota rovná 1 v bode .

Naďalej spoločne hľadáme najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie

Sú učitelia, ktorí pri téme hľadania najmenších a najväčších hodnôt funkcie nedávajú študentom na riešenie príklady, ktoré sú zložitejšie ako tie, o ktorých sme práve hovorili, teda také, v ktorých je funkcia polynóm alebo zlomok, ktorého čitateľom a menovateľom sú polynómy. Nebudeme sa však obmedzovať na takéto príklady, pretože medzi učiteľmi sú takí, ktorí radi nútia študentov premýšľať v plnom rozsahu (tabuľka derivátov). Preto sa použije logaritmická a goniometrická funkcia.

Príklad 6. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente .

Riešenie. Deriváciu tejto funkcie nájdeme ako derivát produktu :

Deriváciu prirovnáme k nule, čo dáva jeden kritický bod: . Patrí do segmentu. Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:

Výsledok všetkých akcií: funkcia dosiahne svoju minimálnu hodnotu, rovný 0, v bode a v bode a najvyššia hodnota, rovné e², v bode.

Príklad 7. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente .

Riešenie. Nájdite deriváciu tejto funkcie:

Derivát prirovnáme k nule:

Jediný kritický bod patrí segmentu. Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:

Záver: funkcia dosiahne svoju minimálnu hodnotu, rovný , v bode a najvyššia hodnota, rovný , v bode .

V aplikovaných extrémnych problémoch hľadanie najmenších (maximálnych) hodnôt funkcie spravidla vedie k nájdeniu minima (maxima). Väčší praktický význam však nemajú samotné minimá alebo maximá, ale tie hodnoty argumentu, pri ktorých sa dosahujú. Pri riešení aplikovaných problémov vzniká ďalšia ťažkosť - skladanie funkcií, ktoré popisujú uvažovaný jav alebo proces.

Príklad 8. Nádrž s objemom 4, ktorá má tvar kvádra so štvorcovým dnom a je otvorená hore, musí byť pocínovaná. Akú veľkosť by mala mať nádrž, aby sa na jej zakrytie spotrebovalo čo najmenej materiálu?

Riešenie. Nechaj X- základná strana, h- výška nádrže, S- jeho povrch bez krytu, V- jeho objem. Plocha nádrže je vyjadrená vzorcom, t.j. je funkciou dvoch premenných. Vyjadriť S ako funkciu jednej premennej používame skutočnosť, že , odkiaľ . Nahradenie nájdeného výrazu h do vzorca pre S:

Poďme preskúmať túto funkciu do jej extrému. Je definovaný a diferencovateľný všade v ]0, +∞[ , a

.

Deriváciu prirovnáme k nule () a nájdeme kritický bod. Okrem toho, keď derivát neexistuje, ale táto hodnota nie je zahrnutá v oblasti definície, a preto nemôže byť extrémnym bodom. Takže toto je jediný kritický bod. Skontrolujme to na prítomnosť extrému pomocou druhého dostatočného znaku. Poďme nájsť druhú deriváciu. Keď je druhá derivácia väčšia ako nula (). To znamená, že keď funkcia dosiahne minimum . Od tohto minimum je jediný extrém tejto funkcie, je to jej najmenšia hodnota. Takže strana základne nádrže by mala byť 2 m a jej výška by mala byť .

Príklad 9. Z bodu A nachádza na železničnej trati, do bodu S, ktorý sa nachádza v určitej vzdialenosti od neho l, treba prepraviť náklad. Náklady na prepravu jednotky hmotnosti na jednotku vzdialenosti po železnici sa rovnajú , po diaľnici sa rovnajú . Do akého bodu Mželezničná trať by mala byť vybudovaná ako diaľnica, aby sa z nej mohol prepravovať náklad A V S bola najhospodárnejšia (oddiel AB predpokladá sa, že železnica je rovná)?

Čo je to extrém funkcie a aká je nevyhnutná podmienka pre extrém?

Extrémom funkcie je maximum a minimum funkcie.

Nevyhnutná podmienka pre maximum a minimum (extrém) funkcie je nasledovná: ak má funkcia f(x) extrém v bode x = a, potom je v tomto bode derivácia buď nulová, alebo nekonečná, alebo má neexistuje.

Táto podmienka je nevyhnutná, ale nie postačujúca. Derivácia v bode x = a môže ísť k nule, nekonečnu alebo nemusí existovať bez toho, aby funkcia mala v tomto bode extrém.

Aká je dostatočná podmienka pre extrém funkcie (maximum alebo minimum)?

Prvá podmienka:

Ak je v dostatočnej blízkosti bodu x = a derivácia f?(x) kladná vľavo od a a záporná vpravo od a, potom v bode x = a má funkcia f(x) maximálne

Ak je v dostatočnej blízkosti bodu x = a derivácia f?(x) záporná vľavo od a a kladná vpravo od a, potom v bode x = a má funkcia f(x) minimálne za predpokladu, že funkcia f(x) je tu spojitá.

Namiesto toho môžete použiť druhú dostatočnú podmienku pre extrém funkcie:

Nech v bode x = a prvá derivácia f?(x) zmizne; ak je druhá derivácia f??(a) záporná, tak funkcia f(x) má maximum v bode x = a, ak je kladná, tak má minimum.

Aký je kritický bod funkcie a ako ho nájsť?

Toto je hodnota argumentu funkcie, pri ktorej má funkcia extrém (t. j. maximum alebo minimum). Aby ste to našli, potrebujete nájsť derivát funkcia f?(x) a prirovnať ju k nule, vyriešiť rovnicu f?(x) = 0. Korene tejto rovnice, ako aj tie body, v ktorých derivácia tejto funkcie neexistuje, sú kritické body, t. j. hodnoty argumentu, v ktorých môže byť extrém. Dajú sa ľahko identifikovať pohľadom derivačný graf: zaujímajú nás tie hodnoty argumentu, pri ktorých graf funkcie pretína os x (os Ox) a tie, pri ktorých má graf nespojitosť.

Napríklad nájdime extrém paraboly.

Funkcia y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivácia funkcie: y?(x) = 6x + 2

Vyriešte rovnicu: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

V tomto prípade je kritický bod x0=-1/3. Funkcia má práve túto hodnotu argumentu extrém. Jemu Nájsť, nahraďte nájdené číslo vo výraze za funkciu namiesto „x“:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Ako určiť maximum a minimum funkcie, t.j. jeho najväčšie a najmenšie hodnoty?

Ak sa znamienko derivácie pri prechode cez kritický bod x0 zmení z „plus“ na „mínus“, potom x0 je maximálny bod; ak sa znamienko derivácie zmení z mínus na plus, potom x0 je minimálny bod; ak sa znamienko nemení, tak v bode x0 nie je ani maximum, ani minimum.

Pre uvažovaný príklad:

Vezmeme ľubovoľnú hodnotu argumentu naľavo od kritického bodu: x = -1

Pri x = -1 bude hodnota derivácie y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (t. j. znamienko je „mínus“).

Teraz vezmeme ľubovoľnú hodnotu argumentu napravo od kritického bodu: x = 1

Pri x = 1 bude hodnota derivácie y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (t.j. znamienko je „plus“).

Ako vidíte, derivácia zmenila znamienko z mínus na plus pri prechode cez kritický bod. To znamená, že pri kritickej hodnote x0 máme minimálny bod.

Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie na intervale(na segmente) sa nachádzajú rovnakým postupom, len s prihliadnutím na skutočnosť, že možno nie všetky kritické body budú ležať v špecifikovanom intervale. Kritické body, ktoré sú mimo intervalu, musia byť vylúčené z úvahy. Ak je v intervale iba jeden kritický bod, bude mať buď maximum alebo minimum. V tomto prípade, aby sme určili najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie, berieme do úvahy aj hodnoty funkcie na koncoch intervalu.

Napríklad nájdime najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

v intervaloch:

Takže derivácia funkcie je

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Riešime rovnicu 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ± arccos (0,16667) + 2πk.

Kritické body nájdeme na intervale [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nie je zahrnuté v intervale)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nie je zahrnuté v intervale)

Hodnoty funkcie nájdeme pri kritických hodnotách argumentu:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Je vidieť, že na intervale [-9; 9] funkcia má najväčšiu hodnotu pri x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

a najmenší - pri x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Na intervale [-6; -3] máme len jeden kritický bod: x = -4,88. Hodnota funkcie pri x = -4,88 sa rovná y = 5,398.

Nájdite hodnotu funkcie na koncoch intervalu:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Na intervale [-6; -3] máme najväčšiu hodnotu funkcie

y = 5,398 pri x = -4,88

najmenšia hodnota -

y = 1,077 pri x = -3

Ako nájsť inflexné body funkčného grafu a určiť konvexnú a konkávnu stranu?

Ak chcete nájsť všetky inflexné body priamky y = f(x), musíte nájsť druhú deriváciu, prirovnať ju k nule (vyriešiť rovnicu) a otestovať všetky tie hodnoty x, pre ktoré je druhá derivácia nula, nekonečné alebo neexistuje. Ak pri prechode cez jednu z týchto hodnôt druhá derivácia zmení znamienko, potom má graf funkcie v tomto bode inflexiu. Ak sa to nezmení, potom nie je žiadny ohyb.

Korene rovnice f? (x) = 0, ako aj možné body diskontinuity funkcie a druhá derivácia rozdeľujú definičný obor funkcie na množstvo intervalov. Konvexnosť na každom z ich intervalov je určená znamienkom druhej derivácie. Ak je druhá derivácia v bode skúmaného intervalu kladná, potom je priamka y = f(x) konkávna smerom nahor a ak je záporná, potom smerom nadol.

Ako nájsť extrémy funkcie dvoch premenných?

Ak chcete nájsť extrémy funkcie f(x,y), diferencovateľné v oblasti jej špecifikácie, potrebujete:

1) nájdite kritické body, a preto vyriešte systém rovníc

fх? (x,y) = 0, fу? (x, y) = 0

2) pre každý kritický bod P0(a;b) skontrolujte, či znamienko rozdielu zostáva nezmenené

pre všetky body (x;y) dostatočne blízko k P0. Ak rozdiel zostane kladný, tak v bode P0 máme minimum, ak záporný, tak máme maximum. Ak si rozdiel nezachová svoje znamienko, potom v bode P0 neexistuje extrém.

Extrémy funkcie sú určené podobne pre väčší počet argumentov.

Ktoré sýtené nealkoholické nápoje čistia povrchy?
Existuje názor, že sýtený nealkoholický nápoj Coca-Cola môže rozpustiť mäso. Ale, bohužiaľ, neexistujú žiadne priame dôkazy o tom. Naopak, existujú potvrdzujúce fakty, ktoré potvrdzujú, že mäso ponechané v nápoji Coca-Cola dva dni mení spotrebiteľské vlastnosti a nikde nezmizne.

Rozloženie štandardných bytov, popisy a fotografie domov si môžete pozrieť na webových stránkach: - www.kvadroom.ru/planirovki - www.prime-realty.ru/tip/tip.htm - goodgoods.ru/pages/1093353787.html - www.cnko.net/art

Ako liečiť neurózu
Neuróza (novolat. neuróza, pochádza zo starogréckeho νε?ρον - nerv; synonymá - psychoneuróza, neurotická porucha) - v ambulancii: súhrnný názov pre skupinu funkčných psychogénnych reverzibilných porúch, ktoré majú tendenciu pretrvávať.

Čo je aphelion
Apocentrum je bod na obežnej dráhe, v ktorom teleso otáčajúce sa po eliptickej obežnej dráhe okolo iného telesa dosiahne svoju maximálnu vzdialenosť od druhého telesa. V tom istom bode sa podľa druhého Keplerovho zákona rýchlosť orbitálneho pohybu stáva minimálnou. Apocentrum sa nachádza v bode diametrálne opačnom k ​​periapsisu. V špeciálnych prípadoch je obvyklé používať špeciálne výrazy:

Čo je mamon
Mamon (m.r.), mamon (f.r.) - slovo odvodené z gréčtiny. mamonas a znamená bohatstvo, pozemské poklady, požehnania. Medzi niektorými starovekými pohanskými národmi bol bohom bohatstva a zisku. Evanjelisti Matúš a Lukáš spomínajú vo Svätom písme: „Nikto nemôže slúžiť dvom pánom, lebo buď bude nenávidieť jedného i druhého.

Kedy je pravoslávna Veľká noc v roku 2049?
V roku 2015 bude pravoslávna Veľká noc 12. apríla a katolícka 5. apríla. Cirkevné kalendáre uvádzajú dátumy pravoslávnej Veľkej noci podľa juliánskeho kalendára (starý štýl), zatiaľ čo katolícka Veľká noc sa počíta podľa moderného gregoriánskeho kalendára (nový štýl), takže porovnanie dátumov si vyžaduje určité duševné úsilie.

Čo je to rubeľ
Rubeľ je názov moderných mien Ruska, Bieloruska (bieloruský rubeľ), Podnesterska (podnesterský rubeľ). Ruský rubeľ sa používa aj v Južnom Osetsku a Abcházsku. V minulosti - menová jednotka ruských republík a kniežatstiev, Moskovského veľkovojvodstva, Ruského cárstva, Litovského veľkovojvodstva, Ruskej ríše a rôznych iných

Ako dlho bol Ariel Sharon v kóme?
Ariel Arik Sharon (Sheinerman) - izraelský vojenský, politický a štátnik, predseda vlády Izraela v rokoch 2001 až 2006. Dátum narodenia: 26. februára 1928 Miesto narodenia: osada Kfar Malal neďaleko Kfar Sava, Izrael Dátum úmrtia: 11. januára 2014 Miesto úmrtia: Ramat Gan, Gush Dan, Iz

Kto boli neandertálci
Neandertálec, neandertálsky človek (lat. Homo neanderthalensis alebo Homo sapiens neanderthalensis) je fosílny druh ľudí, ktorí žili pred 300-24 tisíc rokmi. Pôvod mena Predpokladá sa, že lebka neandertálca bola prvýkrát nájdená v roku 1856

Koľko rokov má Geoffrey Rush
Geoffrey Rush je austrálsky filmový a divadelný herec. Víťaz Oscara (1997), BAFTA (1996, 1999), Zlatého glóbusu (1997, 2005). Najznámejšie filmy s jeho účasťou sú „Shine“.

Ako určiť intervaly konvexnosti a konkávnosti funkčného grafu
Čo je to extrém funkcie a aká je nevyhnutná podmienka pre extrém? Extrémom funkcie je maximum a minimum funkcie. Nevyhnutná podmienka pre maximum a minimum (extrém) funkcie je nasledovná: ak má funkcia f(x) extrém v bode x = a, potom je v tomto bode derivácia buď nulová, alebo nekonečná, alebo má neexistuje. Táto podmienka je nevyhnutná, ale nie postačujúca. Derivát v t

Miniatúrny a pomerne jednoduchý problém typu, ktorý slúži ako záchrana života pre plávajúceho študenta. V prírode je polovica júla, takže je čas usadiť sa s notebookom na pláži. Skoro ráno začal hrať slnečný lúč teórie, aby sa čoskoro zameral na prax, ktorá napriek deklarovanej ľahkosti obsahuje v piesku črepiny skla. V tejto súvislosti vám odporúčam, aby ste svedomito zvážili niekoľko príkladov na tejto stránke. Na riešenie praktických problémov musíte byť schopní nájsť deriváty a porozumieť obsahu článku Intervaly monotónnosti a extrémy funkcie.

Najprv stručne o hlavnej veci. V lekcii o kontinuita funkcie Uviedol som definíciu spojitosti v bode a spojitosti v intervale. Podobným spôsobom je formulované aj príkladné správanie funkcie na segmente. Funkcia je spojitá v intervale, ak:

1) je spojitá na intervale;
2) súvislý v bode napravo a na mieste vľavo.

V druhom odseku sme hovorili o tzv jednostranná kontinuita funguje v určitom bode. Existuje niekoľko prístupov k jeho definovaniu, ale ja sa budem držať riadku, ktorý som začal skôr:

Funkcia je v bode spojitá napravo, ak je definovaný v danom bode a jeho pravá hranica sa zhoduje s hodnotou funkcie v danom bode: . V bode je spojitá vľavo, ak je definovaný v danom bode a jeho ľavá hranica sa rovná hodnote v tomto bode:

Predstavte si, že zelené bodky sú klince, na ktorých je pripevnená magická gumička:

V duchu vezmite červenú čiaru do svojich rúk. Je zrejmé, že bez ohľadu na to, ako ďaleko natiahneme graf nahor a nadol (pozdĺž osi), funkcia stále zostane obmedzené– hore plot, dole plot a náš produkt sa pasie vo výbehu. teda funkcia spojitá na intervale je na ňom ohraničená. V priebehu matematickej analýzy je tento zdanlivo jednoduchý fakt konštatovaný a prísne dokázaný. Prvá Weierstrassova veta....Mnohým vadí, že elementárne tvrdenia sú v matematike zdĺhavo podložené, no má to dôležitý význam. Predpokladajme, že istý obyvateľ terryho stredoveku vytiahol na oblohu za hranicu viditeľnosti graf, tento bol vložený. Pred vynálezom ďalekohľadu nebola obmedzená funkcia vo vesmíre vôbec zrejmá! Ozaj, ako vieš, čo nás čaká za horizontom? Veď Zem bola kedysi považovaná za plochú, takže dnes aj obyčajná teleportácia vyžaduje dôkaz =)

Podľa Druhá Weierstrassova veta, súvislé v segmentefunkcia dosiahne svoje presná horná hranica a tvoj presný spodný okraj .

Číslo sa tiež volá maximálna hodnota funkcie na segmente a sú označené , a číslo je minimálna hodnota funkcie na segmente označené .

V našom prípade:

Poznámka : teoreticky sú nahrávky bežné .

Zhruba povedané, najväčšia hodnota je tam, kde je najvyšší bod na grafe, a najmenšia hodnota je tam, kde je najnižší bod.

Dôležité! Ako už bolo zdôraznené v článku o extrémy funkcie, najväčšia funkčná hodnota A najmenšia funkčná hodnota – NIE SÚ ROVNAKÉ, Čo maximálna funkcia A minimálna funkcia. Takže v uvažovanom príklade je číslo minimom funkcie, ale nie minimálnou hodnotou.

Mimochodom, čo sa deje mimo segmentu? Áno, aj povodeň, v kontexte uvažovaného problému nás toto vôbec nezaujíma. Úloha zahŕňa iba nájdenie dvoch čísel a je to!

Navyše je riešenie čisto analytické nie je potrebné robiť výkres!

Algoritmus leží na povrchu a naznačuje sa z vyššie uvedeného obrázku:

1) Nájdite hodnoty funkcie v kritických bodov, ktoré patria do tohto segmentu.

Zachyťte ďalší bonus: tu nie je potrebné kontrolovať dostatočnú podmienku pre extrém, pretože, ako sme práve ukázali, prítomnosť minima alebo maxima ešte nezaručuje, aká je minimálna alebo maximálna hodnota. Demonštračná funkcia dosahuje maximum a z vôle osudu je rovnaké číslo najväčšou hodnotou funkcie na segmente. Ale, samozrejme, nie vždy sa takáto náhoda vyskytne.

V prvom kroku je teda rýchlejšie a jednoduchšie vypočítať hodnoty funkcie v kritických bodoch patriacich do segmentu bez toho, aby ste sa obťažovali, či sú v nich extrémy alebo nie.

2) Vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu.

3) Spomedzi funkčných hodnôt nájdených v 1. a 2. odseku vyberte najmenšie a najväčšie číslo a zapíšte odpoveď.

Sadneme si na breh modrého mora a pätami udrieme do plytkej vody:

Príklad 1

Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v segmente

Riešenie:
1) Vypočítajme hodnoty funkcie v kritických bodoch patriacich do tohto segmentu:

Vypočítajme hodnotu funkcie v druhom kritickom bode:

2) Vypočítajme hodnoty funkcie na koncoch segmentu:

3) „Tučné“ výsledky boli získané s exponentmi a logaritmami, čo značne komplikuje ich porovnanie. Z tohto dôvodu sa vyzbrojme kalkulačkou alebo Excelom a vypočítajme približné hodnoty, pričom nezabudnime, že:

Teraz je všetko jasné.

Odpoveď:

Zlomkovo-racionálna inštancia pre nezávislé riešenie:

Príklad 6

Nájdite maximálne a minimálne hodnoty funkcie v segmente