Môže byť kotangens väčší ako 1. Sínus, kosínus, tangens a kotangens – všetko, čo potrebujete vedieť o jednotnej štátnej skúške z matematiky (2020)

Tento článok obsahuje tabuľky sínusov, kosínusov, tangens a kotangens. Najprv poskytneme tabuľku základných hodnôt goniometrických funkcií, teda tabuľku sínusov, kosínusov, dotyčníc a kotangens uhlov 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 stupňov ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radián). Potom dáme tabuľku sínusov a kosínusov, ako aj tabuľku dotyčníc a kotangens od V. M. Bradisa a ukážeme, ako tieto tabuľky použiť pri hľadaní hodnôt goniometrických funkcií.

Navigácia na stránke.

Tabuľka sínusov, kosínusov, dotyčníc a kotangens pre uhly 0, 30, 45, 60, 90, ... stupňov

Bibliografia.

• Algebra: Učebnica pre 9. ročník. priem. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Education, 1990. - 272 s.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
• Bašmakov M.I. Algebra a začiatky analýzy: Učebnica. pre 10-11 ročníkov. priem. školy - 3. vyd. - M.: Školstvo, 1993. - 351 s.: chor. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 ročníkov. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2004. - 384 s.: i. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.
• Bradis V.M.Štvormiestne matematické tabuľky: Pre všeobecné vzdelávanie. učebnica prevádzkarní. - 2. vyd. - M.: Drop, 1999.- 96 s.: chor. ISBN 5-7107-2667-2

V tomto článku sa na to pozrieme komplexne. Základné goniometrické identity sú rovnosti, ktoré vytvárajú spojenie medzi sínusom, kosínusom, tangensom a kotangensom jedného uhla a umožňujú nájsť ktorúkoľvek z týchto goniometrických funkcií prostredníctvom známeho iného uhla.

Okamžite uvedieme hlavné trigonometrické identity, ktoré budeme analyzovať v tomto článku. Zapíšme si ich do tabuľky a nižšie uvedieme výstup týchto vzorcov a poskytneme potrebné vysvetlenia.

Navigácia na stránke.

Vzťah medzi sínusom a kosínusom jedného uhla

Niekedy nehovoria o hlavných trigonometrických identitách uvedených v tabuľke vyššie, ale o jednej jedinej základná trigonometrická identita milý . Vysvetlenie tohto faktu je celkom jednoduché: rovnosti sa získajú z hlavnej goniometrickej identity po vydelení oboch jej častí a, resp. A vyplývajú z definícií sínus, kosínus, tangens a kotangens. V nasledujúcich odstavcoch si o tom povieme podrobnejšie.

To znamená, že je to rovnosť, ktorá je obzvlášť zaujímavá a ktorá dostala názov hlavnej trigonometrickej identity.

Pred dokázaním hlavnej goniometrickej identity uvádzame jej formuláciu: súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu jedného uhla je zhodne rovný jednej. Teraz to dokážme.

Základná trigonometrická identita sa veľmi často používa pri prevod goniometrických výrazov. Umožňuje nahradiť súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu jedného uhla jednotkou. Nie menej často sa základná trigonometrická identita používa v opačnom poradí: jednotka je nahradená súčtom druhých mocnín sínusu a kosínusu ľubovoľného uhla.

Tangenta a kotangens cez sínus a kosínus

Identity spájajúce tangens a kotangens so sínusom a kosínusom jedného uhla pohľadu a bezprostredne vyplývajú z definícií sínus, kosínus, tangens a kotangens. Podľa definície je sínus zvislá súradnica y, kosínus je súradnicou x, dotyčnica je pomer súradnice k súradnici, tj. a kotangens je pomer úsečky k zvislej osi, tj. .

Vďaka takejto samozrejmosti identít a Tangenta a kotangens často nie sú definované pomerom úsečky a ordináty, ale pomerom sínusu a kosínusu. Tangenta uhla je teda pomer sínusu ku kosínusu tohto uhla a kotangens je pomer kosínusu a sínusu.

Na záver tohto odseku je potrebné poznamenať, že identity a prebiehajú pre všetky uhly, pri ktorých trigonometrické funkcie v nich obsiahnuté dávajú zmysel. Vzorec je teda platný pre ľubovoľný , okrem (inak bude mať menovateľ nulu a my sme nedefinovali delenie nulou) a vzorec - pre všetky , odlišné od , kde z je ľubovoľné .

Vzťah medzi tangentom a kotangensom

Ešte zreteľnejšou trigonometrickou identitou ako predchádzajúce dve je identita spájajúca tangentu a kotangens jedného uhla tvaru . Je jasné, že platí pre všetky uhly iné ako , inak nie sú dotyčnica ani kotangens definované.

Dôkaz vzorca veľmi jednoduché. Podľa definície a odkiaľ . Dôkaz mohol byť vykonaný trochu inak. Od r , To .

Tangenta a kotangens rovnakého uhla, pod ktorým dávajú zmysel, sú teda .

Pôvodný zdroj sa nachádza. Alpha znamená skutočné číslo. Znamienko rovnosti vo vyššie uvedených výrazoch znamená, že ak k nekonečnu pridáte číslo alebo nekonečno, nič sa nezmení, výsledkom bude rovnaké nekonečno. Ak vezmeme ako príklad nekonečnú množinu prirodzených čísel, potom uvažované príklady môžu byť reprezentované v tejto forme:

Aby jasne dokázali, že mali pravdu, matematici prišli s mnohými rôznymi metódami. Osobne sa na všetky tieto metódy pozerám ako na šamanov tancujúcich s tamburínami. V podstate sa všetko scvrkáva na to, že buď sú niektoré izby neobsadené a nasťahujú sa tam noví hostia, alebo že časť návštevníkov vyhodí na chodbu, aby uvoľnili miesto pre hostí (veľmi ľudsky). Svoj pohľad na takéto rozhodnutia som prezentovala formou fantasy príbehu o Blondýne. Na čom je založená moja úvaha? Premiestnenie nekonečného počtu návštevníkov trvá nekonečne dlho. Potom, čo uvoľníme prvú izbu pre hosťa, bude vždy jeden z návštevníkov chodiť po chodbe zo svojej izby do ďalšej až do konca vekov. Samozrejme, časový faktor možno hlúpo ignorovať, ale bude to patriť do kategórie „žiadny zákon nie je napísaný pre bláznov“. Všetko závisí od toho, čo robíme: prispôsobujeme realitu matematickým teóriám alebo naopak.

Čo je to „nekonečný hotel“? Nekonečný hotel je hotel, ktorý má vždy ľubovoľný počet prázdnych postelí bez ohľadu na to, koľko izieb je obsadených. Ak sú všetky izby v nekonečnej „návštevnej“ chodbe obsadené, je tu ďalšia nekonečná chodba s „hosťovskými“ izbami. Takýchto chodieb bude nekonečne veľa. Navyše, „nekonečný hotel“ má nekonečný počet poschodí v nekonečnom počte budov na nekonečnom počte planét v nekonečnom počte vesmírov vytvorených nekonečným počtom bohov. Matematici sa nedokážu dištancovať od banálnych každodenných problémov: vždy je len jeden Boh-Alah-Budha, je len jeden hotel, je len jedna chodba. Matematici sa teda snažia žonglovať so sériovými číslami hotelových izieb a presviedčajú nás, že je možné „strčiť aj nemožné“.

Logiku môjho uvažovania vám predvediem na príklade nekonečnej množiny prirodzených čísel. Najprv musíte odpovedať na veľmi jednoduchú otázku: koľko množín prirodzených čísel existuje - jedna alebo veľa? Na túto otázku neexistuje správna odpoveď, keďže čísla sme si vymysleli sami, čísla v prírode neexistujú. Áno, príroda je skvelá v počítaní, ale na to používa iné matematické nástroje, ktoré nám nie sú známe. Čo si myslí príroda, vám poviem inokedy. Keďže sme vymysleli čísla, sami rozhodneme, koľko množín prirodzených čísel existuje. Zvážme obe možnosti, ako sa na skutočných vedcov patrí.

Možnosť jedna. „Dajme nám“ jednu jedinú sadu prirodzených čísel, ktorá pokojne leží na poličke. Berieme túto sadu z police. To je všetko, na poličke nezostali žiadne ďalšie prirodzené čísla a ani ich niet kam vziať. Do tejto sady nemôžeme pridať jeden, pretože ho už máme. Čo ak naozaj chcete? Žiaden problém. Jednu z už odobratej sady si môžeme zobrať a vrátiť do poličky. Potom môžeme jeden vybrať z police a pridať k tomu, čo nám zostalo. V dôsledku toho opäť dostaneme nekonečnú množinu prirodzených čísel. Všetky naše manipulácie si môžete zapísať takto:

Zapísal som akcie v algebraickom zápise a v zápise teórie množín s podrobným zoznamom prvkov množiny. Dolný index naznačuje, že máme jednu a jedinú množinu prirodzených čísel. Ukazuje sa, že množina prirodzených čísel zostane nezmenená iba vtedy, ak sa od nej odčíta jedno a pridá sa rovnaká jednotka.

Možnosť dva. Na poličke máme veľa rôznych nekonečných množín prirodzených čísel. Zdôrazňujem – INÉ, napriek tomu, že sú prakticky na nerozoznanie. Zoberme si jednu z týchto sád. Potom vezmeme jedno z inej množiny prirodzených čísel a pridáme ho k množine, ktorú sme už zobrali. Môžeme dokonca sčítať dve sady prirodzených čísel. Toto dostaneme:

Dolné indexy „jeden“ a „dva“ označujú, že tieto prvky patrili do rôznych súborov. Áno, ak pridáte jednu do nekonečnej množiny, výsledkom bude tiež nekonečná množina, ale nebude rovnaká ako pôvodná množina. Ak k jednej nekonečnej množine pridáte ďalšiu nekonečnú množinu, výsledkom je nová nekonečná množina pozostávajúca z prvkov prvých dvoch množín.

Množina prirodzených čísel sa používa na počítanie rovnako ako pravítko na meranie. Teraz si predstavte, že ste pridali jeden centimeter na pravítko. Toto bude iná línia, ktorá sa nebude rovnať pôvodnej.

Môžete prijať alebo neprijať moju úvahu - je to vaša vlastná vec. Ale ak sa niekedy stretnete s matematickými problémami, zamyslite sa nad tým, či nejdete cestou falošného uvažovania vyšliapaného generáciami matematikov. Štúdium matematiky v nás totiž v prvom rade formuje ustálený stereotyp myslenia a až potom pridáva na našich rozumových schopnostiach (alebo nás naopak zbavuje voľnomyšlienkárstva).

pozg.ru

Nedeľa 4. augusta 2019

Dokončoval som dodatok k článku o a videl som tento úžasný text na Wikipédii:

Čítame: "...bohatý teoretický základ matematiky Babylonu nemal holistický charakter a bol zredukovaný na súbor rôznorodých techník, bez spoločného systému a dôkazovej základne."

Wow! Akí sme šikovní a ako dobre vieme vidieť nedostatky druhých. Je pre nás ťažké pozerať sa na modernú matematiku v rovnakom kontexte? Mierne parafrázujúc vyššie uvedený text, osobne som dostal nasledovné:

Bohatý teoretický základ modernej matematiky nemá holistický charakter a je zredukovaný na súbor nesúrodých častí bez spoločného systému a dôkazovej základne.

Nebudem chodiť ďaleko, aby som potvrdil svoje slová – má jazyk a konvencie, ktoré sa líšia od jazyka a konvencií mnohých iných odvetví matematiky. Rovnaké názvy v rôznych odvetviach matematiky môžu mať rôzny význam. Najzrejmejším chybám modernej matematiky chcem venovať celú sériu publikácií. Do skorého videnia.

Sobota 3. augusta 2019

Ako rozdeliť množinu na podmnožiny? Ak to chcete urobiť, musíte zadať novú jednotku merania, ktorá je prítomná v niektorých prvkoch vybranej sady. Pozrime sa na príklad.

Nech máme veľa A pozostávajúci zo štyroch ľudí. Táto množina je tvorená na základe „ľudí“. Prvky tejto množiny označme písmenom A, dolný index s číslom bude uvádzať poradové číslo každej osoby v tomto súbore. Predstavme si novú mernú jednotku „pohlavie“ a označme ju písmenom b. Keďže sexuálne vlastnosti sú vlastné všetkým ľuďom, znásobujeme každý prvok súboru A na základe pohlavia b. Všimnite si, že náš súbor „ľudí“ sa teraz stal súborom „ľudí s rodovými charakteristikami“. Potom môžeme rozdeliť pohlavné znaky na mužské bm a dámske bw sexuálne charakteristiky. Teraz môžeme použiť matematický filter: vyberieme jednu z týchto sexuálnych charakteristík, bez ohľadu na to, ktorá z nich - mužská alebo ženská. Ak ho má človek, tak ho vynásobíme jednou, ak také znamienko neexistuje, vynásobíme ho nulou. A potom používame bežnú školskú matematiku. Pozrite, čo sa stalo.

Po znásobení, zmenšení a preskupení sme skončili s dvomi podskupinami: podskupinou mužov Bm a podskupina žien Bw. Matematici uvažujú približne rovnakým spôsobom, keď aplikujú teóriu množín v praxi. Ale nepovedia nám podrobnosti, ale dávajú nám konečný výsledok - "veľa ľudí pozostáva z podskupiny mužov a podskupiny žien." Prirodzene, môžete si položiť otázku: ako správne bola matematika použitá vo vyššie načrtnutých transformáciách? Dovolím si vás ubezpečiť, že v podstate všetko bolo urobené správne, stačí poznať matematické základy aritmetiky, Booleovej algebry a iných odvetví matematiky. Čo to je? Inokedy vám o tom poviem.

Pokiaľ ide o nadmnožiny, môžete skombinovať dve sady do jednej nadmnožiny výberom mernej jednotky prítomnej v prvkoch týchto dvoch sád.

Ako vidíte, jednotky merania a obyčajná matematika robia z teórie množín relikt minulosti. Znakom toho, že s teóriou množín nie je všetko v poriadku, je to, že matematici prišli s vlastným jazykom a notáciou pre teóriu množín. Matematici sa správali ako kedysi šamani. Iba šamani vedia, ako „správne“ uplatniť svoje „vedomosti“. Učia nás týmto „vedomostiam“.

Na záver vám chcem ukázať, ako matematici manipulujú .

Pondelok 7. januára 2019

V piatom storočí pred Kristom sformuloval staroveký grécky filozof Zenón z Eley svoje slávne apórie, z ktorých najznámejšia je apória „Achilles a korytnačka“. Znie to takto:

Povedzme, že Achilles beží desaťkrát rýchlejšie ako korytnačka a je za ňou tisíc krokov. Počas toho, ako Achilles prebehne túto vzdialenosť, korytnačka preplazí sto krokov rovnakým smerom. Keď Achilles prebehne sto krokov, korytnačka sa plazí ďalších desať krokov atď. Proces bude pokračovať donekonečna, Achilles korytnačku nikdy nedohoní.

Táto úvaha sa stala logickým šokom pre všetky nasledujúce generácie. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Všetci tak či onak považovali Zenónovu apóriu. Šok bol taký silný, že " ... diskusie pokračujú dodnes, vedecká obec zatiaľ nedokázala dospieť k jednotnému názoru na podstatu paradoxov ... do skúmania problematiky sa zapojila matematická analýza, teória množín, nové fyzikálne a filozofické prístupy ; žiadna z nich sa nestala všeobecne akceptovaným riešením problému..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Každý chápe, že je oklamaný, ale nikto nechápe, v čom spočíva ten podvod.

Z matematického hľadiska Zeno vo svojich apóriách jasne demonštroval prechod od kvantity k . Tento prechod znamená aplikáciu namiesto trvalých. Pokiaľ som pochopil, matematický aparát na používanie premenných meracích jednotiek buď ešte nebol vyvinutý, alebo nebol aplikovaný na Zenónovu apóriu. Uplatnenie našej bežnej logiky nás vedie do pasce. My zo zotrvačnosti myslenia aplikujeme na recipročnú hodnotu konštantné jednotky času. Z fyzikálneho hľadiska to vyzerá tak, že sa čas spomaľuje, až sa úplne zastaví v momente, keď Achilles korytnačku dobehne. Ak sa čas zastaví, Achilles už nemôže predbehnúť korytnačku.

Ak otočíme našu obvyklú logiku, všetko zapadne na svoje miesto. Achilles beží konštantnou rýchlosťou. Každý nasledujúci úsek jeho cesty je desaťkrát kratší ako predchádzajúci. Čas strávený na jeho prekonanie je teda desaťkrát kratší ako ten predchádzajúci. Ak v tejto situácii použijeme pojem „nekonečno“, potom by bolo správne povedať: „Achilles dohoní korytnačku nekonečne rýchlo“.

Ako sa vyhnúť tejto logickej pasci? Zostaňte v konštantných jednotkách času a neprechádzajte na recipročné jednotky. V Zenónovom jazyku to vyzerá takto:

Za čas, ktorý potrebuje Achilles prejsť tisíc krokov, korytnačka preplazí sto krokov rovnakým smerom. Počas nasledujúceho časového intervalu, ktorý sa rovná prvému, Achilles prebehne ďalších tisíc krokov a korytnačka prejde sto krokov. Teraz je Achilles osemsto krokov pred korytnačkou.

Tento prístup adekvátne popisuje realitu bez akýchkoľvek logických paradoxov. Ale to nie je úplné riešenie problému. Einsteinov výrok o neodolateľnosti rýchlosti svetla je veľmi podobný Zenónovej apórii „Achilles a korytnačka“. Tento problém musíme stále študovať, premýšľať a riešiť. A riešenie treba hľadať nie v nekonečne veľkých číslach, ale v merných jednotkách.

Ďalšia zaujímavá aporia Zeno hovorí o lietajúcom šípe:

Letiaci šíp je nehybný, pretože je v každom okamihu v pokoji, a keďže je v každom okamihu v pokoji, je vždy v pokoji.

V tejto apórii je logický paradox prekonaný veľmi jednoducho - stačí objasniť, že letiaci šíp je v každom okamihu v pokoji v rôznych bodoch priestoru, čo je v skutočnosti pohyb. Tu je potrebné poznamenať ďalší bod. Z jednej fotografie auta na ceste nie je možné určiť ani skutočnosť jeho pohybu, ani vzdialenosť k nemu. Ak chcete zistiť, či sa auto pohybuje, potrebujete dve fotografie nasnímané z rovnakého bodu v rôznych časových bodoch, ale nemôžete určiť vzdialenosť od nich. Na určenie vzdialenosti od auta potrebujete dve fotografie nasnímané z rôznych bodov vo vesmíre v jednom časovom bode, ale z nich nemôžete určiť skutočnosť pohybu (samozrejme, stále potrebujete ďalšie údaje na výpočty, pomôže vám trigonometria ). Osobitne chcem upozorniť na to, že dva body v čase a dva body v priestore sú rozdielne veci, ktoré by sa nemali zamieňať, pretože poskytujú rôzne príležitosti na výskum.

Streda 4. júla 2018

Už som vám povedal, že s pomocou ktorých sa šamani snažia triediť „“ realitu. ako to robia? Ako vlastne dochádza k vytvoreniu množiny?

Pozrime sa bližšie na definíciu súboru: „kolekcia rôznych prvkov, koncipovaná ako jeden celok“. Teraz pocítite rozdiel medzi dvoma frázami: „mysliteľné ako celok“ a „mysliteľné ako celok“. Prvá fráza je konečný výsledok, súbor. Druhá veta je predbežnou prípravou na vytvorenie zástupu. V tomto štádiu je realita rozdelená na jednotlivé prvky („celok“), z ktorých sa potom vytvorí množstvo („jediný celok“). Zároveň sa pozorne sleduje faktor, ktorý umožňuje spojiť „celok“ do „jediného celku“, inak šamani neuspejú. Šamani totiž vopred presne vedia, akú zostavu nám chcú ukázať.

Ukážem vám postup na príklade. Vyberáme „červenú tuhú látku v pupienku“ - to je náš „celok“. Zároveň vidíme, že tieto veci sú s mašľou a sú bez mašle. Potom vyberieme časť „celku“ a vytvoríme sadu „s mašličkou“. Takto sa šamani dostávajú k potrave spájaním svojej teórie množín s realitou.

Teraz urobme malý trik. Vezmime si „pevné s pupienkom s mašľou“ a skombinujeme tieto „cely“ podľa farby, pričom vyberieme červené prvky. Dostali sme veľa „červenej“. Teraz posledná otázka: sú výsledné zostavy „s mašľou“ a „červenou“ tou istou sadou alebo dvoma rôznymi zostavami? Odpoveď poznajú len šamani. Presnejšie, oni sami nič nevedia, ale ako sa hovorí, tak bude.

Tento jednoduchý príklad ukazuje, že teória množín je úplne zbytočná, pokiaľ ide o realitu. Aké je to tajomstvo? Vytvorili sme súbor "červenej pevnej látky s pupienkom a lukom." Formovanie prebiehalo v štyroch rôznych merných jednotkách: farba (červená), sila (pevná), drsnosť (pupienok), zdobenie (s mašľou). Iba súbor meracích jednotiek nám umožňuje adekvátne opísať skutočné objekty v jazyku matematiky. Takto to vyzerá.

Písmeno "a" s rôznymi indexmi označuje rôzne jednotky merania. Jednotky merania, podľa ktorých sa rozlišuje „celok“ v predbežnej fáze, sú zvýraznené v zátvorkách. Jednotka merania, ktorou je zostava vytvorená, je vybratá zo zátvoriek. Posledný riadok zobrazuje konečný výsledok - prvok sady. Ako vidíte, ak použijeme jednotky merania na vytvorenie množiny, potom výsledok nezávisí od poradia našich akcií. A toto je matematika a nie tanec šamanov s tamburínami. Šamani môžu „intuitívne“ dospieť k rovnakému výsledku, argumentujúc, že ​​je to „zrejmé“, pretože merné jednotky nie sú súčasťou ich „vedeckého“ arzenálu.

Pomocou meracích jednotiek je veľmi ľahké jednu zlomiť
Dnes všetko, čo neberieme, patrí do nejakej množiny (ako nás ubezpečujú matematici). Mimochodom, videli ste v zrkadle na čele zoznam tých sád, ku ktorým patríte? A taký zoznam som ešte nevidel. Poviem viac - ani jedna vec v skutočnosti nemá štítok so zoznamom sád, do ktorých táto vec patrí. Súpravy sú všetko vynálezy šamanov. Ako to robia? Pozrime sa trochu hlbšie do histórie a pozrime sa, ako vyzerali prvky súpravy predtým, ako ich matematickí šamani vzali do svojich súprav.

Kedysi dávno, keď o matematike ešte nikto nepočul a prstence mali len stromy a Saturn, sa po fyzikálnych poliach potulovali obrovské stáda divokých prvkov množín (napokon matematické polia šamani ešte nevynašli). Vyzerali asi takto.

Áno, nečudujte sa, z hľadiska matematiky sú všetky prvky množín najviac podobné morským ježkom - z jedného bodu, ako sú ihly, vyčnievajú merné jednotky vo všetkých smeroch. Pre tých, ktorí vám pripomínam, že akákoľvek jednotka merania môže byť geometricky reprezentovaná ako segment ľubovoľnej dĺžky a číslo ako bod. Geometricky môže byť akékoľvek množstvo reprezentované ako zväzok segmentov vyčnievajúcich v rôznych smeroch z jedného bodu. Tento bod je bod nula. Nebudem kresliť toto geometrické umenie (bez inšpirácie), ale môžete si to ľahko predstaviť.

Aké merné jednotky tvoria prvok množiny? Všelijaké veci, ktoré popisujú daný prvok z rôznych uhlov pohľadu. Ide o starodávne merné jednotky, ktoré používali naši predkovia a na ktoré už každý dávno zabudol. Toto sú moderné jednotky merania, ktoré teraz používame. Aj to sú pre nás neznáme merné jednotky, s ktorými prídu naši potomkovia a ktorými budú opisovať realitu.

Vytriedili sme geometriu - navrhovaný model prvkov zostavy má jasné geometrické znázornenie. A čo fyzika? Jednotky merania sú priamym spojením medzi matematikou a fyzikou. Ak šamani neuznávajú merné jednotky ako plnohodnotný prvok matematických teórií, je to ich problém. Osobne si neviem predstaviť skutočnú vedu matematiky bez jednotiek merania. Preto som hneď na začiatku príbehu o teórii množín hovoril o tom, že je v dobe kamennej.

Prejdime však k tomu najzaujímavejšiemu – algebre prvkov množín. Algebraicky je každý prvok množiny súčinom (výsledkom násobenia) rôznych veličín. Vyzerá to takto.

Zámerne som nepoužil konvencie teórie množín, keďže uvažujeme o prvku množiny v jej prirodzenom prostredí pred vznikom teórie množín. Každý pár písmen v zátvorkách označuje samostatné množstvo pozostávajúce z čísla označeného písmenom „ n"a merná jednotka označená písmenom" a". Indexy pri písmenách naznačujú, že čísla a merné jednotky sú rôzne. Jeden prvok množiny môže pozostávať z nekonečného množstva veličín (koľko máme my a naši potomkovia dostatočnú predstavivosť). Každá zátvorka je geometricky znázornená ako V príklade s morským ježkom je jedna konzola jedna ihla.

Ako šamani tvoria zostavy z rôznych prvkov? V skutočnosti mernými jednotkami alebo číslami. Nerozumejú ničomu o matematike, vezmú rôznych morských ježkov a starostlivo ich skúmajú pri hľadaní jedinej ihly, pozdĺž ktorej tvoria súpravu. Ak existuje taká ihla, potom tento prvok patrí do sady; ak takáto ihla neexistuje, potom tento prvok nie je z tejto sady. Šamani nám rozprávajú bájky o myšlienkových pochodoch a celku.

Ako ste možno uhádli, rovnaký prvok môže patriť do veľmi odlišných súprav. Ďalej vám ukážem, ako sa tvoria množiny, podmnožiny a iné šamanské nezmysly.

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov v Ruskej federácii – sprístupniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.