Je li skup kompleksnih brojeva polje? Polje kompleksnog broja

Def. Sustav kompleksnih brojeva naziva se min polje, koje je proširenje polja realnih brojeva i u kojem se nalazi element i (i 2 -1=0)

Def. Algebra<ℂ, +, ∙, 0, 1, ℝ, ⊕, ⊙, i>naziva se računalni sustav brojeva ako su ispunjeni sljedeći uvjeti (aksiomi):

1. a,b∊ℂ∃!m∊ℂ: a+b=m

2. a,b,c∊ℂ (a+b)+c=a+(b+c)

3. a,b∊ℂa+b=b+a

4. ∃ 0∊ℂ a∊ℂ a+0=a

5. a∊ℂ ∃(-a)∊ℂ a+(-a)=0

6. a,b∊ℂ ∃! n∊ℂa∙b=n

7. a,b,c∊ℂ (a∙b)∙c=a∙(b∙c)

8. a,b∊ℂa∙b=b∙a

9. ∃1∊ℂ a∊ℂ a∙1=a

10. a∊ℂ ∃a -1 ∊ℂ a∙a -1 =1

11. a,b,c∊ℂ (a+b)c=ac+bc

12. - polje djelovanja brojevima

13. Rêℂ, a,b∊R a⊕b=a+b, a⊙b=a∙b

14. ∃i∊ℂ:i 2 +1=0

15. ℳ≠⌀ 1)ℳ⊂ℂ,R⊂ℳ 2) α,β∊ℳ⇒(α+β)∊ℳ i (α∙β)∊ℳ)⇒ℳ=ℂ

Sveti brojevi:

1. α∊ℂ∃! (a,b) ∊ R:α=a+b∙i

2. Polje računskih brojeva ne može biti linearno uređeno, tj. α∊ℂ, α≥0 |+1, α 2 +1≥1, i 2 +1=0, 0≥1-nemoguće.

3. Temeljni teorem algebre: Polje ℂ brojeva je algebarski zatvoreno, odnosno svaki množinski broj je pozitivan. stupnjeva nad poljem ℂ brojeva ima barem jedan skup. korijen

Sljedeće iz glavnog alg. teoremi: Svaka množina pozitivnih. stupnjevi nad poljem kompleksnih brojeva mogu se podijeliti u umnožak ... prvog stupnja s pozitivnim koeficijentom.

Sljedeće: bilo koja razina četvorke ima 2 korijena: 1) D>0 2 različito. važeći korijen 2)D=0 2-a odredište. podudarnost korijena 3)D<0 2-а компл-х корня.

4. Aksiom. teorija kompleksnih brojeva je kategorična i dosljedna

Metodologija.

U nastavi općeg obrazovanja ne razmatra se pojam složenog broja, oni su ograničeni samo na proučavanje realnih brojeva. Ali u srednjoj školi školarci već imaju prilično zrelo matematičko obrazovanje i sposobni su razumjeti potrebu za proširenjem pojma broja. Sa stajališta općeg razvoja, znanje o kompleksnim brojevima koristi se u prirodnim znanostima i tehnologiji, što je važno za učenika u procesu odabira budućeg zanimanja. Autori nekih udžbenika uključuju proučavanje ove teme kao obvezno u svojim udžbenicima algebre i početaka matematičke analize za specijalizirane razine, što je predviđeno državnim standardom.

S metodičkog gledišta, tema “Kompleksni brojevi” razvija i produbljuje pojmove polinoma i brojeva koji su postavljeni u osnovnom kolegiju matematike, u određenom smislu zaokružujući put razvoja pojma broja u srednjoj školi.

Međutim, čak iu srednjoj školi, mnogi školarci imaju slabo razvijeno apstraktno razmišljanje ili je vrlo teško zamisliti "imaginarnu, imaginarnu" jedinicu, razumjeti razlike između koordinatne i složene ravnine. Ili, naprotiv, učenik operira apstraktnim pojmovima odvojeno od njihovog stvarnog sadržaja.

Nakon proučavanja teme “Kompleksni brojevi” učenici bi trebali jasno razumjeti kompleksne brojeve, poznavati algebarske, geometrijske i trigonometrijske oblike kompleksnog broja. Učenici bi trebali znati izvoditi operacije zbrajanja, množenja, oduzimanja, dijeljenja, stepenovanja i vađenja korijena kompleksnih brojeva; pretvarati kompleksne brojeve iz algebarskog u trigonometrijski oblik, imati predodžbu o geometrijskom modelu kompleksnih brojeva

U udžbeniku za nastavu matematike N. Ya Vilenkin, O. S. Ivashev-Musatov, S. I. Shvartsburd “Algebra i počeci matematičke analize”, tema “Kompleksni brojevi” uvedena je u 11. razredu. Tema se nudi u drugom polugodištu 11. razreda nakon što je u 10. razredu obrađen dio trigonometrije, a u 11. razredu integralne i diferencijalne jednadžbe, eksponencijalne, logaritamske i potencijske funkcije te polinomi. U udžbeniku je tema “Kompleksni brojevi i operacije nad njima” podijeljena u dva dijela: Kompleksni brojevi u algebarskom obliku; Trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva. Razmatranje teme "Kompleksni brojevi i operacije na njima" započinje razmatranjem pitanja rješavanja kvadratnih jednadžbi, jednadžbi trećeg i četvrtog stupnja i, kao posljedica toga, otkriva se potreba za uvođenjem "novog broja i". Odmah se daju pojmovi kompleksnih brojeva i operacija s njima: nalaženje zbroja, umnoška i kvocijenta kompleksnih brojeva. Zatim se daje stroga definicija pojma kompleksnog broja, svojstva operacija zbrajanja i množenja, oduzimanja i dijeljenja. Sljedeći odlomak govori o konjugiranim kompleksnim brojevima i nekim njihovim svojstvima. Zatim ćemo razmotriti pitanje vađenja kvadratnih korijena iz kompleksnih brojeva i rješavanje kvadratnih jednadžbi s kompleksnim koeficijentima. Sljedeći odlomak govori o: geometrijskom prikazu kompleksnih brojeva; polarni koordinatni sustav i trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva; množenje, stepenovanje i dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku; Moivreova formula, primjena kompleksnih brojeva na dokaz trigonometrijskih identiteta; vađenje korijena kompleksnog broja; temeljni teorem polinomske algebre; kompleksni brojevi i geometrijske transformacije, funkcije kompleksne varijable.

U udžbeniku S.M. Nikolsky, M.K. Potapova, N.N. Reshetnikova, A.V. Shevkin “Algebra i počeci matematičke analize”, tema “Kompleksni brojevi se razmatraju u 11. razredu nakon proučavanja svih tema, tj. na kraju školskog tečaja algebre. Tema je podijeljena u tri cjeline: Algebarski oblik i geometrijska interpretacija kompleksnih brojeva; Trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva; Korijeni polinoma, eksponencijalni oblik kompleksnih brojeva. Sadržaj paragrafa je prilično opsežan, sadrži mnoge pojmove, definicije i teoreme. Paragraf “Algebarski oblik i geometrijska interpretacija kompleksnih brojeva” sadrži tri dijela: algebarski oblik kompleksnog broja; konjugirani kompleksni brojevi; geometrijska interpretacija kompleksnog broja. Paragraf “Trigonometrijski oblik kompleksnog broja” sadrži definicije i pojmove potrebne za uvođenje pojma trigonometrijskog oblika kompleksnog broja, kao i algoritam za prijelaz s algebarskog oblika zapisa na trigonometrijski oblik zapisa broja. kompleksan broj. U zadnjem paragrafu “Korijeni polinoma. Eksponencijalni oblik kompleksnih brojeva" sadrži tri dijela: korijeni kompleksnih brojeva i njihova svojstva; korijeni polinoma; eksponencijalni oblik kompleksnog broja.

Udžbeničko gradivo izneseno je u malom obimu, ali sasvim dovoljnom da učenici razumiju bit kompleksnih brojeva i svladaju minimalna znanja o njima. Udžbenik sadrži mali broj vježbi i ne obrađuje pitanje podizanja kompleksnog broja na potenciju i Moivreovu formulu.

U udžbeniku A.G. Mordkovich, P.V. Semenov “Algebra i počeci matematičke analize”, razina profila, 10. razred, tema “Kompleksni brojevi” uvodi se u drugoj polovici 10. razreda odmah nakon proučavanja tema “Realni brojevi” i “Trigonometrija”. Ovaj položaj nije slučajan: i brojčani krug i trigonometrijske formule aktivno se koriste u proučavanju trigonometrijskog oblika složenog broja, Moivreove formule, te pri izvlačenju kvadratnih i kubnih korijena iz složenog broja. Tema “Kompleksni brojevi” predstavljena je u 6. poglavlju i podijeljena je u 5 cjelina: kompleksni brojevi i aritmetičke operacije nad njima; kompleksni brojevi i koordinatna ravnina; trigonometrijski oblik zapisivanja kompleksnog broja; kompleksni brojevi i kvadratne jednadžbe; dizanje kompleksnog broja na potenciju, vađenje kubnog korijena kompleksnog broja.

Pojam kompleksnog broja uvodi se kao proširenje pojma broja i nemogućnosti izvođenja određenih operacija u realnim brojevima. U udžbeniku je prikazana tablica s glavnim numeričkim skupovima i dopuštenim operacijama u njima. Navedeni su minimalni uvjeti koje kompleksni brojevi moraju zadovoljavati, a potom se uvodi pojam imaginarne jedinice, definicija kompleksnog broja, jednakost kompleksnih brojeva, njihov zbroj, razlika, umnožak i kvocijent.

S geometrijskog modela skupa realnih brojeva prelazimo na geometrijski model skupa kompleksnih brojeva. Razmatranje teme "Trigonometrijski oblik pisanja složenog broja" započinje definicijom i svojstvima modula složenog broja. Zatim ćemo pogledati trigonometrijski oblik kompleksnog broja, definiciju argumenta kompleksnog broja i standardni trigonometrijski oblik kompleksnog broja.

Zatim proučavamo vađenje kvadratnog korijena kompleksnog broja i rješavanje kvadratnih jednadžbi. I u posljednjem odlomku uvodi se Moivreova formula i izvodi se algoritam za izvlačenje kubnog korijena kompleksnog broja.

I u recenziranom udžbeniku u svakom paragrafu, paralelno s teorijskim dijelom, razmatra se nekoliko primjera koji ilustriraju teoriju i daju sadržajniju percepciju teme. Navedene su kratke povijesne činjenice.

Definicije . Neka a, b– realni brojevi, ja– neki simbol. Kompleksni broj je zapis oblika a+dvo.

Dodatak I množenje brojevi u skupu kompleksnih brojeva: (a+dvo)+(c+di)=(a+c)+(b+d) i

(a+bi)(c+di)=(ac–bd)+(oglas+bc)i. .

Teorem 1 . Skup kompleksnih brojeva S operacijama zbrajanja i množenja tvori polje. Svojstva sabiranja

1) Komutativnost b: (a+dvo)+(c+di)=(a+c)+(b+d) i=(c+di)+(a+dvo).

2) Asocijativnost :[(a+dvo)+(c+di)]+(npr+fi)=(a+c+e)+(b+d+f)i=(a+dvo)+[(c+di)+(npr+fi)].

3) Postojanje neutralni element :(a+dvo)+(0 +0i)=(a+dvo). Broj 0 +0 ja nazvat ćemo nulu i označiti 0 .

4) Postojanje suprotni element : (a+dvo)+(–a–dvo)=0 +0i=0 .

5) Komutativnost množenja : (a+bi)(c+di)=(ac–bd)+(prije Krista+ad)i=(c+di)(a+dvo).

6) Asocijativnost množenja :Ako z 1=a+dvo, z 2=c+di, z 3=e+fi, To (z 1 z 2)z 3=z 1 (z 2 z 3).

7) Distributivnost: Ako z 1=a+dvo, z 2=c+di, z 3=e+fi, To z 1 (z 2+z 3)=z 1 z 2+z 1 z 3.

8) Neutralni element za množenje :(a+bi)(1+0i)=(1–b 0)+(a·0+b·1)i=a+dvo.

9) Broj 1 +0i=1 – jedinica.

9) Postojanje inverzni element : " z¹ 0 $z –1 :zz –1 =1 .

Neka z=a+dvo. Realni brojevi a, nazvao vrijedi, A b - imaginarni dijelovi složeni broj z. Korištene oznake: a=Rez, b=Imz.

Ako b=0 , To z=a+ 0i=a- pravi broj. Stoga skup realnih brojeva R je dio skupa kompleksnih brojeva C: R Í C.

Bilješka: ja 2=(0 +1i)(0+1i)=–1 +0i=–1 . Koristeći ovo svojstvo broja ja, kao i svojstva operacija dokazanih u teoremu 1, možete izvoditi operacije s kompleksnim brojevima prema uobičajenim pravilima, zamjenjujući ja 2 na - 1 .

Komentar. Odnosi £, ³ (“manje”, “veće”) nisu definirani za kompleksne brojeve.

2 Trigonometrijski zapis .

Poziva se unos z = a+bi algebarski složeni brojčani oblik . Promotrimo ravninu s odabranim Kartezijevim koordinatnim sustavom. Mi ćemo predstavljati broj z točka s koordinatama (a, b). Zatim realni brojevi a=a+0i bit će predstavljen točkama osi VOL- to se zove važeći os. Os OY nazvao zamišljena osi, njezine točke odgovaraju brojevima oblika dvo koji se ponekad nazivaju čisto imaginarno . Zove se cijeli avion složena ravnina .Broj se zove modul brojevima z: ,

Polarni kut j nazvao argument brojevima z: j=argz.

Argument je određen do pojma 2kp; vrijednost za koju – str< j £ p , nazvao glavna važnost argument. Brojke r, j su polarne koordinate točke z. Jasno je da a=r cosj, b=r sinj, i dobivamo: z=a+dvo=r·(cosj+ja sinj). trigonometrijski oblik pisanje složenog broja.

Konjugirani brojevi . Kompleksni broj naziva se konjugat brojaz = a + dvo . Jasno je da . Svojstva : .

Komentar. Zbroj i umnožak konjugiranih brojeva su realni brojevi:

Pojam kompleksnog broja prvenstveno se povezuje s jednadžbom. Ne postoje realni brojevi koji zadovoljavaju ovu jednadžbu.

Dakle, kompleksni brojevi nastali su kao generalizacija (proširenje) polja realnih brojeva u pokušajima rješavanja proizvoljnih kvadratnih (i općenitijih) jednadžbi dodavanjem novih brojeva tako da prošireni skup tvori brojčano polje u kojem se radnja izdvajanja korijen bi uvijek bio izvediv.

Definicija.Broj čiji je kvadrat - 1, obično se označava slovomja i nazovite imaginarna jedinica.

Definicija. Polje kompleksnih brojeva C naziva se minimalno proširenje polja realnih brojeva koje sadrži korijen jednadžbe.

Definicija. Polje S nazvao polje kompleksnih brojeva, ako zadovoljava sljedeće uvjete:

Teorema. (O postojanju i jedinstvenosti polja kompleksnih brojeva). Postoji samo jedan, do oznake korijena jednadžbe polje kompleksnih brojeva S .

Svaki element se može jedinstveno predstaviti u sljedećem obliku:

gdje je , korijen jednadžbe ja 2 +1=0.

Definicija. Bilo koji element nazvao složeni broj, zove se realni broj x pravi dio broj z i označava se s , realan broj y naziva se imaginarni dio broj z i označava se sa .

Dakle, kompleksni broj je uređeni par, kompleks sastavljen od realnih brojeva x I g.

Ako x=0, zatim broj z= 0+iy=iy nazvao čisto imaginarno ili zamišljena. Ako g=0, zatim broj z=x+ 0i=x poistovjećuje se s realnim brojem X.

Dva kompleksna broja se smatraju jednakima ako su im realni i imaginarni dijelovi jednaki:

Kompleksan broj je jednak nuli kada su njegov realni i imaginarni dio jednaki nuli:

Definicija. Dva kompleksna broja koji imaju isti realni dio i čiji su imaginarni dijelovi jednaki po apsolutnoj vrijednosti, ali suprotnog predznaka nazivaju se složeni konjugat ili jednostavno konjugiran.

Konjugirani broj z, označen sa . Dakle, ako , onda .

1.3. Modul i argument kompleksnog broja.
Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva

Geometrijski, kompleksni broj je prikazan na ravnini (slika 1) kao točka M s koordinatama ( x, g).

Definicija. Zove se ravnina na kojoj su prikazani složeni brojevi kompleksna ravnina C, osi Ox i Oy na kojima se nalaze realni brojevi i čisto imaginarni brojevi , se zovu važeći I zamišljena sjekire odnosno.

Položaj točke također se može odrediti pomoću polarne koordinate r I φ , tj. pomoću duljine radijus vektora i kuta nagiba radijus vektora točke M(x, y) na pozitivnu realnu poluos Oh.

Definicija. Modul kompleksni broj je duljina vektora koji predstavlja kompleksni broj na koordinatnoj (kompleksnoj) ravnini.

Modul kompleksnog broja označava se slovom ili r a jednaka je aritmetičkoj vrijednosti kvadratnog korijena zbroja kvadrata njegovog realnog i imaginarnog dijela.

Složeni broj z nazvao izraz gdje A I V– realni brojevi, ja– zamišljena jedinica ili poseban znak.

U ovom slučaju ispunjavaju se sljedeći dogovori:

1) s izrazom a+bi možete izvoditi aritmetičke operacije prema pravilima koja su prihvaćena za doslovne izraze u algebri;

5) jednakost a+bi=c+di, gdje su a, b, c, d realni brojevi, postoji ako i samo ako je a=c i b=d.

Poziva se broj 0+bi=bi zamišljena ili čisto imaginarno.

Svaki realni broj a je poseban slučaj kompleksnog broja, jer se može napisati u obliku a=a+ 0i. Konkretno, 0=0+0i, ali onda ako je a+bi=0, tada je a+bi=0+0i, dakle, a=b=0.

Dakle, kompleksni broj a+bi=0 ako i samo ako je a=0 i b=0.

Iz dogovora slijede zakoni transformacije kompleksnih brojeva:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

(a+bi)+(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i;

Vidimo da je zbroj, razlika, umnožak i kvocijent (gdje djelitelj nije jednak nuli) kompleksnih brojeva, pak, kompleksan broj.

Broj A nazvao realni dio kompleksnog broja z(označeno sa ), V– imaginarni dio kompleksnog broja z (označen s ).

Kompleksni broj z s nultim realnim dijelom naziva se. čisto imaginarno, s nula imaginarnog – čisto stvarno.

Pozivaju se dva kompleksna broja. jednak ako im se realni i imaginarni dio podudaraju.

Pozivaju se dva kompleksna broja. konjugiran, ako imaju tvari. dijelovi se podudaraju, ali se zamišljeni dijelovi razlikuju predznakom. , zatim njegov konjugat.

Zbroj konjugiranih brojeva je broj supstanci, a razlika je čisto imaginaran broj. Operacije množenja i zbrajanja brojeva prirodno su definirane na skupu kompleksnih brojeva. Naime, ako su i dva kompleksna broja, tada je zbroj: ; rad: .

Definirajmo sada operacije oduzimanja i dijeljenja.

Imajte na umu da je umnožak dvaju kompleksnih brojeva broj tvari.

(budući da je i=-1). Ovaj broj se zove. kvadratni modul brojevima. Dakle, ako je broj , tada je njegov modul realan broj.

Za razliku od realnih brojeva, koncepti "više" i "manje" nisu uvedeni za kompleksne brojeve.

Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva. Realni brojevi su prikazani točkama na brojevnom pravcu:

Ovdje je poanta A znači broj –3, točka B– broj 2, i O- nula. Nasuprot tome, kompleksni brojevi su predstavljeni točkama na koordinatnoj ravnini. U tu svrhu biramo pravokutne (kartezijeve) koordinate s istim mjerilima na obje osi. Zatim kompleksni broj a+ bi bit će predstavljen točkom P s apscisom a i ordinatom b(riža.). Taj se koordinatni sustav naziva složena ravnina.

Modul kompleksni broj je duljina vektora OP, koji predstavlja kompleksni broj na koordinati ( sveobuhvatan) avion. Modul kompleksnog broja a+ bi označeno | a+ bi| ili pismo r i jednako je:

Konjugirani kompleksni brojevi imaju isti modul. __

Argument kompleksni broj je kut između os VOL i vektor OP, koji predstavlja ovaj kompleksni broj. Dakle, tan = b / a .

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Uz pisanje kompleksnog broja u algebarskom obliku koristi se i drugi oblik tzv trigonometrijski.

Neka je kompleksni broj z=a+bi predstavljen vektorom OA s koordinatama (a,b). Označimo duljinu vektora OA s bukvom r: r=|OA|, a kut koji tvori s pozitivnim smjerom osi Ox s kutom φ.

Koristeći definicije funkcija sinφ=b/r, cosφ=a/r, kompleksni broj z=a+bi može se napisati kao z=r(cosφ+i*sinφ), gdje je , a kut φ se određuje iz Uvjeti

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja z je njegov prikaz u obliku z=r(cosφ+i*sinφ), gdje su r i φ realni brojevi i r≥0.

Doista, broj r se zove modul kompleksni broj i označava se sa |z|, a kut φ je argument kompleksnog broja z. Argument φ kompleksnog broja z označava se s Arg z.

Operacije s kompleksnim brojevima predstavljenim u trigonometrijskom obliku:

Ovo je poznato Moivreova formula.

8 .Vektorski prostor. Primjeri i najjednostavnija svojstva vektorskih prostora. Linearna ovisnost i neovisnost sustava vektora. Osnova i rang konačnog sustava vektora

Vektorski prostor - matematički pojam koji generalizira pojam skupa svih (slobodnih) vektora običnog trodimenzionalnog prostora.

Za vektore u trodimenzionalnom prostoru naznačena su pravila za zbrajanje vektora i njihovo množenje realnim brojevima. Primjenjivo na sve vektore x, y, z i bilo koji brojevi α, β ova pravila zadovoljavaju sljedeće uvjete:

1) x+na=na+x(komutativnost zbrajanja);

2)(x+na)+z=x+(g+z) (asocijativnost zbrajanja);

3) postoji nulti vektor 0 (ili nulti vektor) koji zadovoljava uvjet x+0 =x: za bilo koji vektor x;

4) za bilo koji vektor x postoji suprotni vektor na takav da x+na =0 ,

5) 1 x=X,gdje je 1 jedinica polja

6) α (βx)=(αβ )x(asocijativnost množenja), gdje je produkt αβ je proizvod skalara

7) (α +β )x=αh+βh(distribucijsko svojstvo u odnosu na numerički faktor);

8) α (x+na)=αh+αu(svojstvo distribucije u odnosu na vektorski množitelj).

Vektorski (ili linearni) prostor je skup R, koji se sastoji od elemenata bilo koje prirode (zvanih vektori), u kojima su definirane operacije zbrajanja elemenata i množenja elemenata realnim brojevima koji zadovoljavaju uvjete 1-8.

Primjeri takvih prostora su skupovi realnih brojeva, skupovi vektora na ravnini iu prostoru, matrice itd.

Teorem “Najjednostavnija svojstva vektorskih prostora”

1. U vektorskom prostoru postoji samo jedan nulti vektor.

2. U vektorskom prostoru svaki vektor ima jedinstvenu suprotnost.

4. .

Dokument

Neka je 0 nulti vektor vektorskog prostora V. Tada je . Neka je drugi nulti vektor. Zatim . Uzmimo u prvom slučaju , au drugom - . Zatim i , odakle slijedi da , itd.

Prvo ćemo dokazati da je umnožak nultog skalara i bilo kojeg vektora jednak nultom vektoru.

Neka . Zatim, primjenom aksioma vektorskog prostora, dobivamo:

S obzirom na zbrajanje, vektorski prostor je Abelova grupa, a zakon poništavanja vrijedi u bilo kojoj grupi. Primjenom zakona redukcije, posljednja jednakost implicira 0*x=0

Sada dokazujemo tvrdnju 4). Neka je proizvoljan vektor. Zatim

Odmah slijedi da je vektor (-1)x suprotan vektoru x.

Neka je sada x=0. Zatim, primjenom aksioma vektorskog prostora, dobivamo:

Pretpostavimo da . Od , gdje je K polje, tada . Pomnožimo jednakost s lijeve strane s :, što implicira ili 1*x=0 ili x=0

Linearna ovisnost i neovisnost sustava vektora. Skup vektora naziva se vektorski sustav.

Sustav vektora naziva se linearno ovisnim ako postoje brojevi koji nisu svi jednaki nuli u isto vrijeme, tako da (1)

Sustav od k vektora naziva se linearno neovisnim ako je jednakost (1) moguća samo za , tj. kada je linearna kombinacija na lijevoj strani jednakosti (1) trivijalna.

Bilješke:

1. Jedan vektor također tvori sustav: at linearno ovisan, a linearno neovisan at.

2. Bilo koji dio sustava vektora naziva se podsustav.

Svojstva linearno zavisnih i linearno neovisnih vektora:

1. Ako sustav vektora uključuje nulti vektor, tada je on linearno ovisan.

2. Ako sustav vektora ima dva jednaka vektora, onda je on linearno ovisan.

3. Ako sustav vektora ima dva proporcionalna vektora, onda je on linearno ovisan.

4. Sustav od k>1 vektora je linearno ovisan ako i samo ako je barem jedan od vektora linearna kombinacija ostalih.

5. Svi vektori uključeni u linearno neovisni sustav čine linearno neovisni podsustav.

6. Sustav vektora koji sadrži linearno ovisan podsustav je linearno ovisan.

7. Ako je sustav vektora linearno neovisan, a nakon dodavanja vektora ispada da je linearno ovisan, tada se vektor može proširiti na vektore, i, štoviše, na jedinstven način, tj. koeficijenti ekspanzije mogu se pronaći jedinstveno.

Dokažimo, na primjer, posljednje svojstvo. Budući da je sustav vektora linearno ovisan, postoje brojevi koji nisu svi jednaki 0, što. U ovoj jednakosti. Zapravo, ako , onda. To znači da je netrivijalna linearna kombinacija vektora jednaka nultom vektoru, što je u suprotnosti s linearnom neovisnošću sustava. Posljedično, a zatim, t.j. vektor je linearna kombinacija vektora. Ostaje pokazati jedinstvenost takvog prikaza. Pretpostavimo suprotno. Neka postoje dva proširenja i , a nisu svi koeficijenti proširenja međusobno jednaki (na primjer, ).

Tada iz jednakosti dobivamo .

Stoga je linearna kombinacija vektora jednaka nultom vektoru. Budući da nisu svi njegovi koeficijenti jednaki nuli (barem), ova kombinacija je netrivijalna, što je u suprotnosti s uvjetom linearne neovisnosti vektora. Rezultirajuća kontradikcija potvrđuje jedinstvenost širenja.

Rang i baza vektorskog sustava. Rang sustava vektora je najveći broj linearno neovisnih vektora sustava.

Osnova vektorskog sustava naziva se maksimalni linearno neovisni podsustav zadanog sustava vektora.

Teorema. Svaki vektor sustava može se prikazati kao linearna kombinacija vektora baze sustava. (Svaki vektor sustava može se proširiti u bazne vektore.) Koeficijenti ekspanzije određuju se jedinstveno za dani vektor i danu bazu.

Dokument:

Neka sustav ima osnovu.

1 slučaj. Vektor - od osnove. Stoga je jednak jednom od baznih vektora, recimo . Zatim = .

Slučaj 2. Vektor nije iz baze. Tada je r>k.

Razmotrimo sustav vektora. Ovaj sustav je linearno ovisan, jer je baza, tj. maksimalni linearno neovisni podsustav. Prema tome, postoje brojevi s 1, s 2, ..., s k, s, nisu svi jednaki nuli, takvi da

Očito je da (ako je c = 0, tada je baza sustava linearno ovisna).

Dokažimo da je širenje vektora u odnosu na bazu jedinstveno. Pretpostavimo suprotno: postoje dva proširenja vektora u odnosu na bazu.

Oduzimajući ove jednakosti, dobivamo

Uzimajući u obzir linearnu neovisnost baznih vektora, dobivamo

Prema tome, ekspanzija vektora u smislu baze je jedinstvena.

Broj vektora u bilo kojoj bazi sustava je isti i jednak rangu sustava vektora.

Aksiomi polja. Polje kompleksnih brojeva. Trigonometrijski zapis za kompleksan broj.

Kompleksni broj je broj oblika , gdje su i realni brojevi, tzv imaginarna jedinica. Broj je pozvan pravi dio ( ) složeni broj, broj se zove imaginarni dio ( ) složeni broj.

Gomila isti kompleksni brojevi obično se označava "podebljanim" ili podebljanim slovom

Kompleksni brojevi su predstavljeni sa složena ravnina:

Kompleksna ravnina sastoji se od dvije osi:
– realna os (x)
– imaginarna os (y)

Skup realnih brojeva je podskup skupa kompleksnih brojeva

Akcije s kompleksnim brojevima

Da biste zbrojili dva kompleksna broja, potrebno je zbrojiti njihove realne i imaginarne dijelove.

Oduzimanje kompleksnih brojeva

Radnja je slična sabiranju, jedina posebnost je da se subtrahend mora staviti u zagrade, a zatim se zagrade moraju otvoriti na standardni način, mijenjajući znak

Množenje kompleksnih brojeva

otvorite zagrade prema pravilu za množenje polinoma

Dijeljenje kompleksnih brojeva

Provodi se dijeljenje brojeva množenjem nazivnika i brojnika konjugiranim izrazom nazivnika.

Kompleksni brojevi imaju mnoga svojstva svojstvena realnim brojevima, od kojih bilježimo sljedeće, tzv glavni.

1) (a + b) + c = a + (b + c) (dopunska asocijativnost);

2) a + b = b + a (komutativnost zbrajanja);

3) a + 0 = 0 + a = a (postojanje neutralnog elementa dodavanjem);

4) a + (−a) = (−a) + a = 0 (postojanje suprotnog elementa);

5) a(b + c) = ab + ak ();

6) (a + b)c = ak + prije Krista (distributivnost množenja u odnosu na zbrajanje);

7) (ab)c = a(prije Krista) (asocijativnost množenja);

8) ab = ba (komutativnost množenja);

9) a∙1 = 1∙a = a (postojanje neutralnog elementa pod množenjem);

10) za bilo koga a≠ 0 takvo što postoji b, Što ab = ba = 1 (postojanje inverznog elementa);

11) 0 ≠ 1 (bez imena).

Skup objekata proizvoljne prirode na kojima su definirane operacije zbrajanja i množenja, koji posjeduju navedenih 11 svojstava (koja su u ovom slučaju aksiomi), naziva se polje.

Polje kompleksnih brojeva možemo shvatiti kao proširenje polja realnih brojeva u kojem polinom ima korijen

Svaki kompleksni broj (osim nule) može se napisati u trigonometrijskom obliku:
, gdje je modul kompleksnog broja, A - argument kompleksnog broja.

Modul kompleksnog broja je udaljenost od ishodišta do odgovarajuće točke u kompleksnoj ravnini. Jednostavno rečeno, modul je duljina radijus vektor, koji je na crtežu označen crvenom bojom.

Modul kompleksnog broja obično se označava sa: ili

Koristeći Pitagorin teorem, lako je izvesti formulu za pronalaženje modula kompleksnog broja: . Ova formula je točna za bilo koji značenja "a" i "biti".

Argument kompleksnog broja nazvao kutak između pozitivna poluos realna os i radijus vektor povučeni iz ishodišta u odgovarajuću točku. Argument nije definiran za jedninu: .

Argument kompleksnog broja standardno se označava: ili

Neka je φ = arg z. Tada, prema definiciji argumenta, imamo:

Prsten matrica nad poljem realnih brojeva. Osnovne operacije na matricama. Svojstva operacija.

Matrica veličina m´n, gdje je m broj redaka, n broj stupaca, naziva se tablica brojeva poredanih određenim redoslijedom. Ti se brojevi nazivaju elementima matrice. Položaj svakog elementa jednoznačno je određen brojem retka i stupca na čijem se sjecištu nalazi. Elementi matrice označeni su s ij, gdje je i broj retka, a j broj stupca.

Definicija. Ako je broj stupaca matrice jednak broju redova (m=n), tada se matrica naziva kvadrat.

Definicija. Prikaz matrice:

= E,

nazvao Matrica identiteta.

Definicija. Ako a mn = a nm, tada se poziva matrica simetričan.

Primjer. - simetrična matrica

Definicija. Kvadratna matrica forme nazvao dijagonala matrica.

Množenje matrice brojem

Množenje matrice brojem(oznaka: ) sastoji se u konstruiranju matrice čiji se elementi dobivaju množenjem svakog elementa matrice ovim brojem, odnosno svaki element matrice jednak je

Svojstva množenja matrica brojem:

· jedanaest A = A;

· 2. (λβ)A = λ(βA)

· 3. (λ+β)A = λA + βA

· 4. λ(A+B) = λA + λB

Zbrajanje matrice

Zbrajanje matrice je operacija pronalaženja matrice čiji su svi elementi jednaki parnom zbroju svih odgovarajućih elemenata matrice, odnosno svaki element matrice je jednak

Svojstva zbrajanja matrica:

· 1.komutativnost: A+B = B+A;

· 2.asocijativnost: (A+B)+C =A+(B+C);

· 3.adicija s nultom matricom: A + Θ = A;

· 4.postojanje suprotne matrice: A + (-A) = Θ;

Sva svojstva linearnih operacija ponavljaju aksiome linearnog prostora i stoga vrijedi teorem:

Skup svih matrica iste veličine m x n s elementima iz polja P(polje svih realnih ili kompleksnih brojeva) tvori linearni prostor nad poljem P (svaka takva matrica je vektor ovog prostora). Međutim, prije svega, kako bi se izbjegla terminološka zbrka, izbjegavaju se matrice u uobičajenim kontekstima bez potrebe (koja nije prisutna u najčešćim standardnim primjenama) i jasnog pojašnjenja upotrebe pojma koji se naziva vektori.

Množenje matrice

Množenje matrice(oznaka: , rjeđe sa znakom množenja) - je operacija izračunavanja matrice, čiji je svaki element jednak zbroju proizvoda elemenata u odgovarajućem retku prvog faktora i stupcu drugog.

Broj stupaca u matrici mora odgovarati broju redaka u matrici, drugim riječima, matrica mora biti ugovoren s matricom. Ako matrica ima dimenziju, - , tada je dimenzija njihovog umnoška .

Svojstva množenja matrice:

· 1.asocijativnost (AB)C = A(BC);

· 2.nekomutativnost (u općem slučaju): AB BA;

· 3. umnožak je komutativan u slučaju množenja s matricom identiteta: AI = IA;

· 4.distributivnost: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

· 5.asocijativnost i komutativnost u odnosu na množenje brojem: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

Transponiranje matrice.

Nalaženje inverzne matrice.

Kvadratna matrica je invertibilna ako i samo ako nije singularna, odnosno njena determinanta nije jednaka nuli. Za nekvadratne matrice i singularne matrice ne postoje inverzne matrice.

Teorem o rangu matrice

Rang matrice A je maksimalni red minora različitog od nule

Minor koji određuje rang matrice naziva se bazni minor. Redovi i stupci koji tvore BM nazivaju se osnovnim redovima i stupcima.

Oznake: r(A), R(A), rang A.

Komentar. Očito, rang matrice ne može premašiti manju od njezinih dimenzija.

Za bilo koju matricu, njezin minor, rang reda i stupca su isti.

Dokaz. Neka je manji rang matrice A jednaki r . Pokažimo da je rang reda također jednak r . Da bismo to učinili, možemo pretpostaviti da je invertibilni minor M narudžba r je u prvom r redaka matrice A . Iz toga slijedi da je prvi r redovi matrice A linearno neovisni i skup sporednih redova M linearno neovisni. Neka a -- duljina niza r , sastavljen od elemenata ja th redova matrice, koji se nalaze u istim stupcima kao i sporedni M . Budući da su linije minorne M čine bazu u k r , To a -- linearna kombinacija sporednih nizova M . Oduzmi od ja -ti redak A ista linearna kombinacija prvoga r redovi matrice A . Ako završite s nizom koji sadrži element različit od nule u broju stupca t , tada smatrajte manjim M 1 narudžba r+1 matrice A dodavanjem th reda matrice redovima minora A i na stupce sporednog th stupca matrice A (kažu da je minorno M 1 primljeno graniči s manjim M pomoću ja -th line i t stupac matrice A ). Po našem izboru t , ovaj minor je invertibilan (dovoljno je od zadnjeg reda ovog minora oduzeti linearnu kombinaciju prvih odabranih gore r redova, a zatim proširite njegovu determinantu duž posljednjeg retka kako biste bili sigurni da se ta determinanta podudara s determinantom minora, do skalarnog faktora različitog od nule M . A-priorat r takva situacija je nemoguća i, stoga, nakon transformacije ja -ti redak A postat će nula. Drugim riječima, original ja -th line je linearna kombinacija prvog r redovi matrice A . Pokazali smo to prvi r redovi čine osnovu skupa redaka matrice A , odnosno rang niza A jednaki r . Kako bismo dokazali da je stupac rang r , dovoljno je zamijeniti "redove" i "stupce" u gornjem obrazloženju. Teorem je dokazan.

Ovaj teorem pokazuje da nema smisla razlikovati tri ranga matrice, au onome što slijedi, pod rangom matrice razumjet ćemo rang retka, imajući na umu da je on jednak i stupcu i sporednim rangovima (oznaka r(A) -- rang matrice A ). Napomenimo također da iz dokaza teorema o rangu slijedi da se rang matrice podudara s dimenzijom bilo kojeg invertibilnog minora matrice tako da su svi minori koji graniče s njom (ako uopće postoje) degenerirani.

Kronecker-Capellijev teorem

Sustav linearnih algebarskih jednadžbi je konzistentan ako i samo ako je rang njegove glavne matrice jednak rangu njegove proširene matrice, a sustav ima jedinstveno rješenje ako je rang jednak broju nepoznanica, a beskonačan broj rješenja ako je rang manji od broja nepoznanica.

Nužnost

Neka sustav bude kooperativan. Zatim postoje brojevi takvi da je . Stoga je stupac linearna kombinacija stupaca matrice. Iz činjenice da se rang matrice neće promijeniti ako se iz sustava njezinih redaka (stupaca) izbriše ili doda redak (stupac), koji je linearna kombinacija drugih redaka (stupaca), slijedi da .

Adekvatnost

Neka . Uzmimo neki osnovni minor u matrici. Budući da će to također biti i bazni minor matrice. Tada će, prema teoremu o baznom minoru, posljednji stupac matrice biti linearna kombinacija baznih stupaca, odnosno stupaca matrice. Stoga je stupac slobodnih članova sustava linearna kombinacija stupaca matrice.

Posljedice

· Broj glavnih varijabli sustava jednak je rangu sustava.

· Konzistentan sustav bit će definiran (njegovo rješenje je jedinstveno) ako je rang sustava jednak broju svih njegovih varijabli.

Teorem o bazičnom minoru.

Teorema. U proizvoljnoj matrici A svaki stupac (redak) je linearna kombinacija stupaca (redaka) u kojima se nalazi bazni minor.

Dakle, rang proizvoljne matrice A jednak je maksimalnom broju linearno neovisnih redaka (stupaca) u matrici.

Ako je A kvadratna matrica i detA = 0, tada je barem jedan od stupaca linearna kombinacija preostalih stupaca. Isto vrijedi i za žice. Ova tvrdnja proizlazi iz svojstva linearne ovisnosti kada je determinanta jednaka nuli.

7. SLU rješenje. Cramerova metoda, matrična metoda, Gaussova metoda.

Cramerova metoda.

Ova metoda je također primjenjiva samo u slučaju sustava linearnih jednadžbi, gdje se broj varijabli podudara s brojem jednadžbi. Osim toga, potrebno je uvesti ograničenja na koeficijente sustava. Potrebno je da sve jednadžbe budu linearno neovisne, tj. nijedna jednadžba ne bi bila linearna kombinacija ostalih.

Za to je potrebno da determinanta matrice sustava nije jednaka 0.

Doista, ako je bilo koja jednadžba sustava linearna kombinacija ostalih, tada ako elementima jednog retka dodate elemente drugog retka, pomnožene s nekim brojem, pomoću linearnih transformacija možete dobiti nulti red. Determinanta će u ovom slučaju biti jednaka nuli.

Teorema. (Cramerovo pravilo):

Teorema. Sustav od n jednadžbi s n nepoznanica

ako determinanta matrice sustava nije jednaka nuli, ona ima jedinstveno rješenje i to se rješenje nalazi prema formulama:

x i = D i /D, gdje je

D = det A, a D i je determinanta matrice dobivena iz matrice sustava zamjenom stupca i stupcem slobodnih članova b i.

D i =

Matrična metoda za rješavanje sustava linearnih jednadžbi.

Matrična metoda primjenjiva je za rješavanje sustava jednadžbi gdje je broj jednadžbi jednak broju nepoznanica.

Metoda je pogodna za rješavanje sustava niskog reda.

Metoda se temelji na primjeni svojstava matričnog množenja.

Neka je dan sustav jednadžbi:

Sastavimo matrice: A = ; B = ; X = .

Sustav jednadžbi može se napisati: A×X = B.

Napravimo sljedeću transformaciju: A -1 ×A×X = A -1 ×B, jer A -1 ×A = E, zatim E×X = A -1 ×B

X = A -1 ×B

Za primjenu ove metode potrebno je pronaći inverznu matricu, što može biti povezano s računalnim poteškoćama pri rješavanju sustava visokog reda.

Definicija. Sustav od m jednadžbi s n nepoznanica u općem obliku zapisuje se na sljedeći način:

, (1)

gdje su a ij koeficijenti, a b i konstante. Rješenja sustava su n brojeva, koji, kada se supstituiraju u sustav, pretvaraju svaku njegovu jednadžbu u identitet.

Definicija. Ako sustav ima barem jedno rješenje, tada se ono naziva spojnica. Ako sustav nema jedno rješenje, tada se poziva nezglobni.

Definicija. Sustav se zove određeni, ako ima samo jedno rješenje i neizvjestan, ako ih je više.

Definicija. Za sustav linearnih jednadžbi oblika (1), matrica

A = naziva se matrica sustava, a matrica

A * =
naziva se proširena matrica sustava

Definicija. Ako je b 1, b 2, …,b m = 0, tada se sustav naziva homogena. homogeni sustav je uvijek konzistentan.

Elementarne transformacije sustava.

Elementarne transformacije uključuju:

1) Dodavanje obje strane jedne jednadžbe odgovarajućih dijelova druge, pomnoženih s istim brojem, koji nije jednak nuli.

2) Preuređivanje jednadžbi.

3) Uklanjanje iz sustava jednadžbi koje su identiteti za sve x.

Gaussova metoda je klasična metoda za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE). Ovo je metoda sekvencijalnog uklanjanja varijabli, kada se pomoću elementarnih transformacija sustav jednadžbi svodi na ekvivalentni trokutasti sustav, iz kojeg se sekvencijalno pronalaze sve ostale varijable, počevši od zadnje (po broju) varijable.

Neka izvorni sustav izgleda ovako

Matrica se naziva glavna matrica sustava - stupac slobodnih izraza.

Tada se, prema svojstvu elementarnih transformacija nad redovima, glavna matrica ovog sustava može svesti na oblik ešalona (iste transformacije moraju se primijeniti na stupac slobodnih članova):

Zatim se pozivaju varijable glavne varijable. Svi ostali su pozvani besplatno.

Ako je barem jedan broj , gdje je , tada je sustav koji se razmatra nekonzistentan, tj. ona nema jedno rješenje.

Neka bude za bilo koga.

Pomaknimo slobodne varijable iza znakova jednakosti i podijelimo svaku od jednadžbi sustava s njezinim koeficijentom krajnje lijevo ( , gdje je broj retka):

Ako damo sve moguće vrijednosti slobodnim varijablama sustava (2) i riješimo novi sustav s obzirom na glavne nepoznanice odozdo prema gore (to jest, od donje jednadžbe prema gornjoj), tada ćemo dobiti sve rješenja za ovaj SLAE. Kako je ovaj sustav dobiven elementarnim transformacijama nad izvornim sustavom (1), onda su prema teoremu ekvivalencije pri elementarnim transformacijama sustavi (1) i (2) ekvivalentni, odnosno njihovi skupovi rješenja se podudaraju.

Posljedice:
1: Ako su u zajedničkom sustavu sve varijable glavne, onda je takav sustav definitivan.

2: Ako je broj varijabli u sustavu veći od broja jednadžbi, tada je takav sustav ili nesiguran ili nekonzistentan.

Algoritam

Algoritam za rješavanje SLAE pomoću Gaussove metode podijeljen je u dvije faze.

U prvoj fazi provodi se tzv. direktni potez, kada se elementarnim transformacijama po redovima sustav dovodi u stepenasti ili trokutasti oblik ili se utvrđuje da je sustav nekompatibilan. Naime, među elementima prvog stupca matrice odaberite jedan različit od nule, premjestite ga na najgornju poziciju preslagivanjem redaka, a dobiveni prvi redak oduzmite od preostalih redaka nakon preslagivanja, pomnoživši ga s vrijednošću jednaka omjeru prvog elementa svakog od ovih redaka prema prvom elementu prvog retka, postavljajući na nulu stupac ispod njega. Nakon što su ove transformacije dovršene, prvi redak i prvi stupac mentalno se prekrižu i nastavljaju dok ne ostane matrica nulte veličine. Ako u bilo kojoj iteraciji među elementima prvog stupca nema elementa različitog od nule, prijeđite na sljedeći stupac i izvršite sličnu operaciju.

U drugoj fazi provodi se takozvani obrnuti pomak, čija je bit izraziti sve rezultirajuće osnovne varijable u terminima nebazičnih i izgraditi temeljni sustav rješenja, ili, ako su sve varijable bazične , zatim numerički izrazite jedino rješenje sustava linearnih jednadžbi. Ovaj postupak počinje s posljednjom jednadžbom, iz koje se izražava odgovarajuća osnovna varijabla (a postoji samo jedna) i zamjenjuje u prethodne jednadžbe, i tako dalje, idući "stepenicama". Svaki redak odgovara točno jednoj baznoj varijabli, tako da na svakom koraku osim u zadnjem (najvišem), situacija točno ponavlja slučaj posljednjeg retka.

Vektori. Osnovni koncepti. Točkasti produkt, njegova svojstva.

Vektor naziva se usmjereni segment (uređeni par točaka). Vektori također uključuju ništavan vektor čiji se početak i kraj poklapaju.

Duljina (modul) vektor je udaljenost između početka i kraja vektora.

Vektori se nazivaju kolinearni, ako se nalaze na istim ili paralelnim linijama. Nulti vektor je kolinearan bilo kojem vektoru.

Vektori se nazivaju komplanarni, ako postoji ravnina s kojom su paralelni.

Kolinearni vektori su uvijek koplanarni, ali nisu svi koplanarni vektori kolinearni.

Vektori se nazivaju jednak, ako su kolinearni, identično usmjereni i imaju iste module.

Svi vektori se mogu dovesti u zajedničko ishodište, tj. konstruirati vektore koji su redom jednaki podacima i imaju zajedničko ishodište. Iz definicije jednakosti vektora slijedi da svaki vektor ima beskonačno mnogo sebi jednakih vektora.

Linearne operacije nad vektorima naziva se zbrajanje i množenje brojem.

Zbroj vektora je vektor -

posao - , te je kolinearan.

Vektor je susmjeran s vektorom ( ) ako je a > 0.

Vektor je suprotno usmjeren od vektora ( ¯ ), ako je a< 0.

Svojstva vektora.

1) + = + - komutativnost.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) – asocijativnost

6) (a+b) = a + b - distributivnost

7) a( + ) = a + a

1) Osnova u prostoru se nazivaju bilo koja 3 nekoplanarna vektora uzeta određenim redoslijedom.

2) Osnova na ravnini se nazivaju bilo koja 2 nekolinearna vektora uzeta određenim redom.

3)Osnova Svaki vektor različit od nule na liniji se naziva.

Ako je baza u prostoru i , tada se brojevi a, b i g nazivaju komponente ili koordinate vektori u ovoj bazi.

S tim u vezi možemo napisati sljedeće Svojstva:

jednaki vektori imaju identične koordinate,

kada se vektor pomnoži s brojem, njegove komponente se također pomnože s tim brojem,

Prilikom zbrajanja vektora zbrajaju se njihove odgovarajuće komponente.

;
;

Linearna ovisnost vektora.

Definicija. Vektori se zovu linearno ovisna, ako takva linearna kombinacija postoji, s i nije jednako nuli u isto vrijeme, i.e. .

Ako je zadovoljeno samo a i = 0, vektori se nazivaju linearno nezavisnima.

Svojstvo 1. Ako među vektorima postoji nulti vektor, onda su ti vektori linearno ovisni.

Svojstvo 2. Ako se sustavu linearno ovisnih vektora doda jedan ili više vektora, tada će rezultirajući sustav također biti linearno ovisan.

Svojstvo 3. Sustav vektora je linearno ovisan ako i samo ako je jedan od vektora rastavljen na linearnu kombinaciju preostalih vektora.

Svojstvo 4. Bilo koja 2 kolinearna vektora su linearno ovisna i, obrnuto, bilo koja 2 linearno ovisna vektora su kolinearna.

Svojstvo 5. Bilo koja 3 koplanarna vektora su linearno ovisna i, obrnuto, bilo koja 3 linearno ovisna vektora su koplanarna.

Svojstvo 6. Bilo koja 4 vektora su linearno ovisna.

Duljina vektora u koordinatama definira se kao udaljenost između početne i krajnje točke vektora. Ako su zadane dvije točke u prostoru A(x 1, y 1, z 1), B(x 2, y 2, z 2), tada.

Ako je točka M(x, y, z) dijeli odsječak AB u omjeru l/m, tada su koordinate ove točke određene kao:

U posebnom slučaju koordinate središte segmenta nalaze se kao:

x = (x 1 + x 2)/2; y = (y 1 + y 2)/2; z = (z 1 + z 2)/2.

Linearne operacije na vektorima u koordinatama.

Rotacijske koordinatne osi

Pod, ispod okretanje Koordinatne osi označavaju transformaciju koordinata u kojoj su obje osi zakrenute za isti kut, ali ishodište i mjerilo ostaju nepromijenjeni.

Neka je novi sustav O 1 x 1 y 1 dobiven rotacijom Oxy sustava za kut α.

Neka je M proizvoljna točka na ravnini, (x;y) njene koordinate u starom sustavu i (x";y") - u novom sustavu.

Uvedimo dva polarna koordinatna sustava sa zajedničkim polom O i polarnim osima Ox i Οx 1 (mjerilo je isto). Polarni radijus r je isti u oba sustava, a polarni kutovi su redom jednaki α + j i φ, gdje je φ polarni kut u novom polarnom sustavu.

Prema formulama za prijelaz s polarnih na pravokutne koordinate imamo

Ali rcosj = x" i rsinφ = y". Zato

Dobivene formule nazivaju se formule rotacije osi . Omogućuju određivanje starih koordinata (x; y) proizvoljne točke M preko novih koordinata (x"; y") iste točke M i obrnuto.

Ako se novi koordinatni sustav O 1 x 1 y 1 dobije iz starog Oxy paralelnim prijenosom koordinatnih osi i naknadnom rotacijom osi za kut α (vidi sl. 30), tada se uvođenjem pomoćnog sustava lako dobije formule

izražavanje starih x i y koordinata proizvoljne točke u smislu njezinih novih x" i y" koordinata.

Elipsa

Elipsa je skup točaka na ravnini, zbroj udaljenosti od svake

koji je konstantan do dvije zadane točke. Te se točke nazivaju žarištima i

su naznačeni F1 I F2, udaljenost između njih 2s, a zbroj udaljenosti od svake točke do

fokusira se – 2a(po uvjetu 2a>2c). Konstruirajmo Kartezijev koordinatni sustav tako da F1 I F2 bile su na x-osi, a ishodište se poklapalo sa sredinom segmenta F1F2. Izvedimo jednadžbu elipse. Da biste to učinili, razmotrite proizvoljnu točku M(x, y) elipsa. A-prior: | F1M |+| F2M |=2a. F1M =(x+c; y);F2M =(x-c; y).

|F1M|=(x+ c)2 + g 2 ; |F2M| = (x- c)2 + g 2

(x+ c)2 + g 2 + (x- c)2 + g 2 =2a(5)

x2+2cx+c2+y2=4a2-4a(x- c)2 + g 2 +x2-2cx+c2+y2

4cx-4a2=4a(x- c)2 + g 2

a2-cx=a(x- c)2 + g 2

a4-2a2cx+c2x2=a2(x-c)2+a2y2

a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2

x2(a2-c2)+a2y2=a2(a2-c2)

jer 2a>2c(zbroj dviju stranica trokuta veći je od treće stranice), tada a2-c2>0.

Neka a2-c2=b2

Točke s koordinatama (a, 0), (−a, 0), (b, 0) i (−b, 0) nazivaju se vrhovima elipse, vrijednost a je velika poluos elipse, a vrijednost b je njegova mala poluos. Točke F1(c, 0) i F2(−c, 0) nazivamo žarištima

elipsa, te se fokus F1 naziva desnim, a fokus F2 lijevim. Ako točka M pripada elipsi, tada su udaljenosti |F1M| i |F2M| nazivaju se žarišni polumjeri i označavaju se s r1 odnosno r2. Veličina e =c/a naziva se ekscentricitet elipse. Pravci s jednadžbama x =a/e

i x = −a/e nazivaju se direktrise elipse (za e = 0 nema direktrisa elipse).

Jednadžba opće ravnine

Razmotrimo opću jednadžbu prvog stupnja s tri varijable x, y i z:

Uz pretpostavku da barem jedan od koeficijenata A, B ili C nije jednak nuli, na primjer, prepisujemo jednadžbu (12.4) u obliku