X y jednako je 2 grafu linearne funkcije. Izravna funkcija

Pojam numeričke funkcije. Metode za specificiranje funkcije. Svojstva funkcija.

Numerička funkcija je funkcija koja djeluje iz jednog numeričkog prostora (skupa) u drugi numerički prostor (skup).

Tri glavna načina definiranja funkcije: analitički, tablični i grafički.

1. Analitički.

Metoda određivanja funkcije pomoću formule naziva se analitička. Ova metoda je glavna u mat. analize, ali u praksi to nije zgodno.

2. Tablični način zadavanja funkcije.

Funkcija se može odrediti pomoću tablice koja sadrži vrijednosti argumenata i njihove odgovarajuće vrijednosti funkcije.

3. Grafička metoda zadavanja funkcije.

Kaže se da je funkcija y=f(x) dana grafički ako je konstruiran njezin graf. Ova metoda određivanja funkcije omogućuje određivanje vrijednosti funkcije samo približno, budući da je izrada grafikona i pronalaženje vrijednosti funkcije na njemu povezana s pogreškama.

Svojstva funkcije koja se moraju uzeti u obzir prilikom konstruiranja njenog grafa:

1) Područje definiranja funkcije.

Domena funkcije, odnosno one vrijednosti koje može poprimiti argument x funkcije F =y (x).

2) Intervali rastućih i padajućih funkcija.

Funkcija se naziva rastuća na promatranom intervalu, ako većoj vrijednosti argumenta odgovara veća vrijednost funkcije y(x). To znači da ako su dva proizvoljna argumenta x 1 i x 2 uzeta iz intervala koji se razmatra, i x 1 > x 2, tada je y(x 1) > y(x 2).

Funkcija se naziva opadajuća na promatranom intervalu, ako manja vrijednost funkcije y(x) odgovara većoj vrijednosti argumenta. To znači da ako se dva proizvoljna argumenta x 1 i x 2 uzmu iz intervala koji se razmatra, a x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Funkcijske nule.

Točke u kojima funkcija F = y (x) siječe apscisnu os (dobive se rješavanjem jednadžbe y(x) = 0) nazivaju se nulte točke funkcije.

4) Parne i neparne funkcije.

Funkcija se naziva parna, ako za sve vrijednosti argumenata iz opsega

y(-x) = y(x).

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na ordinatu.

Funkcija se naziva neparna, ako je za sve vrijednosti argumenta iz domene definicije

y(-x) = -y(x).

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

Mnoge funkcije nisu ni parne ni neparne.

5) Periodičnost funkcije.

Funkcija se naziva periodična, ako postoji broj P takav da za sve vrijednosti argumenta iz domene definicije

y(x + P) = y(x).

Linearna funkcija, njezina svojstva i graf.

Linearna funkcija je funkcija forme y = kx + b, definiran na skupu svih realnih brojeva.

k– nagib (realni broj)

b– lažni izraz (pravi broj)

x- neovisna varijabla.

· U posebnom slučaju, ako je k = 0, dobivamo konstantnu funkciju y = b, čiji je graf ravna linija paralelna s osi Ox koja prolazi točkom s koordinatama (0; b).

· Ako je b = 0, tada dobivamo funkciju y = kx, što je izravna proporcionalnost.

o Geometrijsko značenje koeficijenta b je duljina odsječka koji pravac odsijeca duž osi Oy, računajući od ishodišta.

o Geometrijsko značenje koeficijenta k je kut nagiba pravca prema pozitivnom smjeru osi Ox, računat u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Svojstva linearne funkcije:

1) Područje definiranja linearne funkcije je cijela realna os;

2) Ako je k ≠ 0, tada je raspon vrijednosti linearne funkcije cijela realna os.

Ako je k = 0, tada se raspon vrijednosti linearne funkcije sastoji od broja b;

3) Parnost i neparnost linearne funkcije ovise o vrijednostima koeficijenata k i b.

a) b ≠ 0, k = 0, dakle, y = b – parno;

b) b = 0, k ≠ 0, stoga je y = kx – neparan;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, stoga je y = kx + b funkcija općeg oblika;

d) b = 0, k = 0, stoga je y = 0 i parna i neparna funkcija.

4) Linearna funkcija nema svojstvo periodičnosti;

5) Točke sjecišta s koordinatnim osima:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, stoga je (-b/k; 0) točka presjeka s x-osi.

Oy: y = 0k + b = b, dakle (0; b) je točka presjeka s ordinatom.

Komentar. Ako je b = 0 i k = 0, tada funkcija y = 0 nestaje za bilo koju vrijednost varijable x. Ako je b ≠ 0 i k = 0, tada funkcija y = b ne nestaje ni za jednu vrijednost varijable x.

6) Intervali konstantnog predznaka ovise o koeficijentu k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – pozitivno na x od (-b/k; +∞),

y = kx + b – negativno za x iz (-∞; -b/k).

b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – pozitivno na x od (-∞; -b/k),

y = kx + b – negativno za x od (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b je pozitivan u cijeloj domeni definicije,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Intervali monotonosti linearne funkcije ovise o koeficijentu k.

k > 0, stoga y = kx + b raste kroz cijelu domenu definicije,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Funkcija y = ax 2 + bx + c, njena svojstva i graf.

Funkcija y = ax 2 + bx + c (a, b, c su konstante, a ≠ 0) naziva se kvadratni U najjednostavnijem slučaju, y = ax 2 (b = c = 0) graf je zakrivljena linija koja prolazi kroz ishodište. Krivulja koja služi kao graf funkcije y = ax 2 je parabola. Svaka parabola ima os simetrije tzv osi parabole. Točka O sjecišta parabole s njezinom osi naziva se vrh parabole.

Graf se može konstruirati prema sljedećoj shemi: 1) Nađite koordinate vrha parabole x 0 = -b/2a; y 0 = y(x 0). 2) Konstruiramo još nekoliko točaka koje pripadaju paraboli, a pri konstruiranju možemo koristiti simetrije parabole u odnosu na pravac x = -b/2a. 3) Spojite naznačene točke glatkom linijom. Primjer. Grafički nacrtajte funkciju b = x 2 + 2x - 3. Rješenja. Graf funkcije je parabola čije su grane usmjerene prema gore. Apscisa vrha parabole x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, njene ordinate y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Dakle, vrh parabole je točka (-1; -4). Sastavimo tablicu vrijednosti za nekoliko točaka koje se nalaze desno od osi simetrije parabole - ravna linija x = -1. Svojstva funkcija.

Promotrimo funkciju y=k/y. Graf ove funkcije je linija, koja se u matematici naziva hiperbola. Opći prikaz hiperbole prikazan je na donjoj slici. (Grafikon prikazuje funkciju y jednako k podijeljeno s x, za što je k jednako jedan.)

Vidi se da se graf sastoji od dva dijela. Ti se dijelovi nazivaju granama hiperbole. Također je vrijedno napomenuti da se svaka grana hiperbole približava u jednom od smjerova sve bliže i bliže koordinatnim osima. Koordinatne osi u ovom slučaju nazivaju se asimptote.

Općenito, sve ravne linije kojima se graf funkcije beskonačno približava, ali ih ne doseže nazivaju se asimptote. Hiperbola, kao i parabola, ima osi simetrije. Za hiperbolu prikazanu na gornjoj slici, ovo je linija y=x.

Sada pogledajmo dva uobičajena slučaja hiperbole. Graf funkcije y = k/x, za k ≠0, bit će hiperbola, čije se grane nalaze ili u prvom i trećem koordinatnom kutu, za k>0, ili u drugom i četvrtom koordinatnom kutu, za k<0.

Osnovna svojstva funkcije y = k/x, za k>0

Graf funkcije y = k/x, za k>0

5. y>0 pri x>0; y6. Funkcija opada i na intervalu (-∞;0) i na intervalu (0;+∞).

10. Raspon vrijednosti funkcije su dva otvorena intervala (-∞;0) i (0;+∞).

Osnovna svojstva funkcije y = k/x, za k<0

Graf funkcije y = k/x, na k<0

1. Točka (0;0) je središte simetrije hiperbole.

2. Koordinatne osi - asimptote hiperbole.

4. Područje definiranja funkcije su svi x osim x=0.

5. y>0 na x0.

6. Funkcija raste i na intervalu (-∞;0) i na intervalu (0;+∞).

7. Funkcija nije ograničena ni odozdo ni odozgo.

8. Funkcija nema ni maksimalnu ni minimalnu vrijednost.

9. Funkcija je neprekidna na intervalu (-∞;0) i na intervalu (0;+∞). Ima razmak na x=0.

“Kritične točke funkcije” - Kritične točke. Među kritičnim točkama postoje točke ekstrema. Nužan uvjet za ekstrem. Odgovor: 2. Definicija. Ali, ako je f" (x0) = 0, tada nije nužno da će točka x0 biti točka ekstrema. Točke ekstrema (ponavljanje). Kritične točke funkcije. Točke ekstrema.

“Koordinatna ravnina 6. razred” - Matematika 6. razred. 1. X. 1. Odredi i zapiši koordinate točaka A, B, C, D: -6. Koordinatna ravnina. O. -3. 7. U.

“Funkcije i njihovi grafovi” - Kontinuitet. Najveća i najmanja vrijednost funkcije. Pojam inverzne funkcije. Linearno. Logaritamski. Monotonija. Ako je k > 0, tada je formirani kut oštar, ako je k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

“Funkcije 9. razred” - Važeće računske operacije nad funkcijama. [+] – zbrajanje, [-] – oduzimanje, [*] – množenje, [:] – dijeljenje. U takvim slučajevima govorimo o grafičkom određivanju funkcije. Formiranje klase elementarnih funkcija. Funkcija potencije y=x0.5. Iovlev Maxim Nikolaevich, učenik 9. razreda srednje škole RMOU Raduzhskaya.

“Lekcija Jednadžba tangente” - 1. Pojasnite pojam tangente na graf funkcije. Leibniz je razmatrao problem povlačenja tangente na proizvoljnu krivulju. ALGORITAM ZA RAZVOJ JEDNADŽBE ZA TANGENTU NA GRAF FUNKCIJE y=f(x). Tema lekcije: Test: pronađite izvod funkcije. Jednadžba tangente. Flukcija. 10. razred. Dešifrirajte ono što je Isaac Newton nazvao derivacijskom funkcijom.

“Izgradite graf funkcije” - Zadana je funkcija y=3cosx. Graf funkcije y=m*sin x. Grafički nacrtajte funkciju. Sadržaj: Dana je funkcija: y=sin (x+?/2). Istezanje grafa y=cosx duž y osi. Za nastavak kliknite na l. Tipka miša. Zadana je funkcija y=cosx+1. Pomak grafa y=sinx okomito. Zadana je funkcija y=3sinx. Horizontalni pomak grafa y=cosx.

U temi je ukupno 25 prezentacija

Definicija linearne funkcije

Uvedimo definiciju linearne funkcije

Definicija

Funkcija oblika $y=kx+b$, gdje $k$ nije nula, naziva se linearna funkcija.

Graf linearne funkcije je pravac. Broj $k$ naziva se nagib pravca.

Kada je $b=0$ linearna funkcija se naziva funkcija izravne proporcionalnosti $y=kx$.

Razmotrite sliku 1.

Riža. 1. Geometrijsko značenje nagiba pravca

Promotrimo trokut ABC. Vidimo da je $VS=kx_0+b$. Nađimo točku presjeka pravca $y=kx+b$ s osi $Ox$:

\ \

Dakle $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Nađimo omjer ovih stranica:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

S druge strane, $\frac(BC)(AC)=tg\kut A$.

Stoga možemo izvući sljedeći zaključak:

Zaključak

Geometrijsko značenje koeficijenta $k$. Kutni koeficijent pravca $k$ jednak je tangensu kuta nagiba tog pravca na os $Ox$.

Proučavanje linearne funkcije $f\left(x\right)=kx+b$ i njezinog grafa

Prvo razmotrimo funkciju $f\lijevo(x\desno)=kx+b$, gdje je $k > 0$.

1. $f"\lijevo(x\desno)=(\lijevo(kx+b\desno))"=k>0$. Posljedično, ova funkcija raste u cijeloj domeni definicije. Nema ekstremnih točaka.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Grafikon (slika 2).

Riža. 2. Grafovi funkcije $y=kx+b$, za $k > 0$.

Sada razmotrite funkciju $f\lijevo(x\desno)=kx$, gdje je $k

1. Domena definicije su svi brojevi.
2. Raspon vrijednosti su svi brojevi.
3. $f\lijevo(-x\desno)=-kx+b$. Funkcija nije ni parna ni neparna.
4. Za $x=0,f\lijevo(0\desno)=b$. Kada je $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Sječne točke s koordinatnim osima: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ i $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\lijevo(x\desno)=(\lijevo(kx\desno))"=k
2. $f^("")\lijevo(x\desno)=k"=0$. Stoga funkcija nema točaka infleksije.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Grafikon (slika 3).

Razmotrimo problem. Motociklist koji je napustio grad A u trenutno nalazi se 20 km od njega. Na kojoj će udaljenosti s (km) od A biti motociklist nakon t sati ako se kreće brzinom od 40 km/h?

Očito, za t sati motociklist će prijeći 50t km. Prema tome, nakon t sati on će biti na udaljenosti (20 + 50t) km od A, tj. s = 50t + 20, gdje je t ≥ 0.

Svaka vrijednost t odgovara jednoj vrijednosti s.

Formula s = 50t + 20, gdje je t ≥ 0, definira funkciju.

Razmotrimo još jedan problem. Za slanje telegrama naplaćuje se naknada od 3 kopejke za svaku riječ i dodatnih 10 kopejki. Koliko kopejki (u) trebate platiti za slanje telegrama koji sadrži n riječi?

Budući da pošiljatelj mora platiti 3n kopejki za n riječi, trošak slanja telegrama od n riječi može se pronaći pomoću formule u = 3n + 10, gdje je n bilo koji prirodni broj.

U oba razmatrana zadatka susreli smo se s funkcijama koje su zadane formulama oblika y = kx + l, gdje su k i l neki brojevi, a x i y varijable.

Funkcija koja se može odrediti formulom oblika y = kx + l, gdje su k i l neki brojevi, naziva se linearnom.

Budući da izraz kx + l ima smisla za bilo koji x, domena definicije linearne funkcije može biti skup svih brojeva ili bilo koji njihov podskup.

Poseban slučaj linearne funkcije je prethodno razmatrana izravna proporcionalnost. Podsjetimo se da za l = 0 i k ≠ 0 formula y = kx + l poprima oblik y = kx, a ova formula, kao što je poznato, za k ≠ 0 određuje izravnu proporcionalnost.

Trebamo nacrtati linearnu funkciju f zadanu formulom
y = 0,5x + 2.

Uzmimo nekoliko odgovarajućih vrijednosti varijable y za neke vrijednosti x:

Označimo točke koordinatama koje smo dobili: (-6; -1), (-4; 0); (-2; 1), (0; 2), (2; 3), (4; 4); (6; 5), (8; 6).

Očito, konstruirane točke leže na određenom pravcu. Iz ovoga ne slijedi da je graf te funkcije ravna linija.

Da bismo saznali kakav je oblik grafa razmatrane funkcije f, usporedimo ga s poznatim grafom izravne proporcionalnosti x – y, gdje je x = 0,5.

Za bilo koji x, vrijednost izraza 0,5x + 2 veća je od odgovarajuće vrijednosti izraza 0,5x za 2 jedinice. Stoga je ordinata svake točke na grafu funkcije f za 2 jedinice veća od odgovarajuće ordinate na grafu izravne proporcionalnosti.

Slijedom toga, graf dotične funkcije f može se dobiti iz grafa izravne proporcionalnosti paralelnim prevođenjem za 2 jedinice u smjeru y-osi.

Budući da je graf izravne proporcionalnosti ravna linija, tada je graf linearne funkcije f koja se razmatra također ravna linija.

Općenito, graf funkcije zadan formulom oblika y = kx + l je ravna linija.

Znamo da je za konstruiranje pravca dovoljno odrediti položaj njegovih dviju točaka.

Recimo, na primjer, trebate nacrtati funkciju koja je dana formulom
y = 1,5x – 3.

Uzmimo dvije proizvoljne vrijednosti x, na primjer, x 1 = 0 i x 2 = 4. Izračunajte odgovarajuće vrijednosti funkcije y 1 = -3, y 2 = 3, konstruirajte točke A (-3; 0) i B (4; 3) i povuci ravnu crtu kroz te točke. Ova ravna linija je željeni grafikon.

Ako područje definiranja linearne funkcije nije u potpunosti prikazano brojeva, tada će njegov grafikon biti podskup točaka na liniji (na primjer, zraka, segment, skup pojedinačnih točaka).

Položaj grafa funkcije određene formulom y = kx + l ovisi o vrijednostima l i k. Konkretno, kut nagiba grafa linearne funkcije prema x-osi ovisi o koeficijentu k. Ako je k pozitivan broj, tada je ovaj kut šiljasti; ako je k negativan broj, tada je kut tup. Broj k naziva se nagib pravca.

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.