तार्किक कार्य का संयोजक सामान्य रूप। बूलियन फ़ंक्शंस के सामान्य रूप

संयोजक सामान्य रूप प्रमेयों के स्वचालित प्रमाण के लिए सुविधाजनक है। किसी भी बूलियन सूत्र को CNF में घटाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आप इसका उपयोग कर सकते हैं: दोहरे निषेध का नियम, डी मॉर्गन का नियम, वितरण।

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  सूत्रों केएनएफ में:

  ¬ ए ∧ (बी ∨ सी) , (\displaystyle \नकारात्मक ए\वेज (बी\वी सी),) (ए ∨ बी) ∧ (¬ बी ∨ सी ∨ ¬ डी) ∧ (डी ∨ ¬ ई) , (\displaystyle (ए\वी बी)\वेज (\नेगेटिव बी\वी सी\वीई \नेग डी)\वेज ( डी\वी\नेग ई),) ए ∧ बी . (\डिस्प्लेस्टाइल ए\वेज बी.)

  सूत्रों केएनएफ में नहीं:

  ¬ (बी ∨ सी) , (\displaystyle \नकारात्मक (बी\वी सी),) (ए ∧ बी) ∨ सी , (\displaystyle (ए\वेज बी)\वी सी,) ए ∧ (बी ∨ (डी ∧ ई)) . (\displaystyle ए\वेज (बी\वी (डी\वेज ई)).)

  लेकिन ये 3 सूत्र सीएनएफ में निम्नलिखित सूत्रों के बराबर सीएनएफ में नहीं हैं:

  ¬ बी ∧ ¬ सी , (\प्रदर्शन शैली \नकारात्मक बी\वेज \नकारात्मक सी,) (ए ∨ सी) ∧ (बी ∨ सी) , (\displaystyle (ए\वी सी)\वेज (बी\वी सी),) ए ∧ (बी ∨ डी) ∧ (बी ∨ ई) . (\displaystyle ए\वेज (बी\वी डी)\वेज (बी\वी ई.)

  सीएनएफ का निर्माण

  सीएनएफ के निर्माण के लिए एल्गोरिदम

  1) सूत्र में निहित सभी तार्किक संक्रियाओं से छुटकारा पाएं, उन्हें मुख्य संक्रियाओं से प्रतिस्थापित करें: संयोजन, वियोजन, निषेध। यह समतुल्य सूत्रों का उपयोग करके किया जा सकता है:

  ए → बी = ¬ ए ∨ बी , (\displaystyle ए\दायां तीर बी=\नकारात्मक ए\वी बी,) ए ↔ बी = (¬ए ∨ बी) ∧ (ए ∨ ¬बी) . (\displaystyle ए\लेफ्टराइटएरो बी=(\नकारात्मक ए\वी बी)\वेज (ए\वी \नकारात्मक बी).)

  2) सूत्रों के आधार पर, व्यक्तिगत चर कथनों से संबंधित, संपूर्ण अभिव्यक्ति का संदर्भ देते हुए, निषेध चिह्न को निषेध चिह्न से बदलें:

  ¬ (ए ∨ बी) = ¬ ए ∧ ¬ बी , (\displaystyle \नकारात्मक (ए\वी बी)=\नकारात्मक ए\वेज \नकारात्मक बी,) ¬ (ए ∧ बी) = ¬ ए ∨ ¬ बी . (\displaystyle \नकारात्मक (ए\वेज बी)=\नकारात्मक ए\वी \नकारात्मक बी.)

  3) दोहरे नकारात्मक संकेतों से छुटकारा पाएं।

  4) यदि आवश्यक हो, तो वितरण और अवशोषण सूत्रों के संयोजन और विच्छेदन के गुणों को लागू करें।

  CNF के निर्माण का एक उदाहरण

  आइए हम सूत्र को CNF तक कम करें

  एफ = (एक्स → वाई) ∧ ((¬वाई → जेड) → ¬एक्स)। (\displaystyle एफ=(एक्स\दायां तीर वाई)\वेज ((\नकारात्मक वाई\दायां तीर जेड)\दायां तीर \नकारात्मक एक्स.)

  आइए सूत्र को रूपांतरित करें एफ (\डिस्प्लेस्टाइल एफ)ऐसे फ़ॉर्मूले में जिसमें शामिल नहीं है → (\displaystyle\दायां तीर ):

  एफ = (¬X ∨ Y) ∧ (¬ (¬Y → Z) ∨ ¬X) = (¬X ∨ Y) ∧ (¬ (¬ ¬Y ∨ Z) ​​​​∨ ¬X) . (\displaystyle F=(\neg नकारात्मक Y\vee Z)\vee \neg X).)

  परिणामी सूत्र में, हम निषेध को चरों में स्थानांतरित करते हैं और दोहरे निषेध को कम करते हैं:

  एफ = (¬X ∨ Y) ∧ ((¬Y ∧ ¬Z) ∨ ¬X) . (\displaystyle F=(\neg X\vee Y)\वेज ((\neg Y\wee \neg Z)\vee \neg X.)

  उदाहरण के लिए, निम्नलिखित सूत्र 2-CNF में लिखा गया है:

  (ए ∨ बी) ∧ (¬बी ∨ सी) ∧ (बी ∨ ¬सी) . (\displaystyle (A\lor B)\land (\neg B\lor C)\land (B\lor \neg C.).)

  प्रस्तावक बीजगणित के वियोजक और संयोजक सामान्य रूप।प्रस्तावात्मक तर्क के प्रत्येक कार्य के लिए, एक सत्य तालिका संकलित की जा सकती है। उलटी समस्या भी हमेशा हल करने योग्य होती है। आइए हम कई परिभाषाएँ प्रस्तुत करें।

  प्राथमिक संयोजन (संयुक्त)चरों का समुच्चय या उनका निषेधन कहा जाता है, जिसमें प्रत्येक चर अधिकतम होता है

  एक बार।

  विच्छेदनात्मक सामान्य रूप(डीएनएफ) एक सूत्र है जिसमें प्रारंभिक संयोजनों के विच्छेदन का रूप होता है।

  प्राथमिक विच्छेद (खंडों द्वारा)निषेध के साथ या निषेध के बिना चरों के वियोजन कहलाते हैं।

  संयोजक सामान्य रूप(सीएनएफ) एक सूत्र है जो प्रारंभिक विच्छेदन के संयोजन का रूप रखता है।

  प्रस्तावित बीजगणित के प्रत्येक कार्य के लिए, कोई विच्छेदनात्मक और संयोजनात्मक सामान्य रूपों का एक सेट पा सकता है।

  डीएनएफ निर्माण एल्गोरिदम:

  1. समतुल्य परिवर्तन सूत्रों का उपयोग करके बूलियन संचालन पर जाएं।

  2. करीबी निषेधों वाले सूत्रों पर जाएं, यानी, ऐसे सूत्र पर जिसमें निषेध चर के ऊपर से अधिक नहीं स्थित हैं - डी मॉर्गन के नियमों को लागू करें।

  3. कोष्ठक खोलें - वितरण के नियम लागू करें।

  4. एक बार लेने के लिए शब्दों को दोहराना - निष्क्रियता का नियम।

  5. अवशोषण और अर्ध-अवशोषण के नियम लागू करें।

  उदाहरण 6डीएनएफ सूत्र खोजें: .

  बूले बीजगणित में, द्वैत का सिद्धांत. यह इस प्रकार है.

  फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है दोहरीफ़ंक्शन के लिए यदि . वे। किसी दिए गए फ़ंक्शन के दोहरे फ़ंक्शन को खोजने के लिए, तर्कों के निषेधों से फ़ंक्शन के निषेधन का निर्माण करना आवश्यक है।

  उदाहरण 7फ़ंक्शन डुएल को खोजें।

  तर्क के बीजगणित के प्रारंभिक कार्यों में 1, 0 से द्वैत है और इसके विपरीत, x, x से द्वैत है, द्वैत से 0 है, द्वैत से 0 है और इसके विपरीत।

  यदि फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने वाले सूत्र F 1 में सभी संयोजन बदल दिए जाते हैं

  वियोजन पर, वियोजन पर वियोजन, 1 पर 0, 0 पर 1, तब हमें सूत्र F * मिलता है, जो फ़ंक्शन *, दोहरे का प्रतिनिधित्व करता है।

  संयोजक सामान्य रूप (सीएनएफ) डीएनएफ के लिए एक दोहरी अवधारणा है, इसलिए इसे योजना के अनुसार आसानी से बनाया जा सकता है:

  उदाहरण 8सीएनएफ सूत्र खोजें: .

  उदाहरण 6 के परिणाम का उपयोग करते हुए, हमारे पास है

  उत्तम विभक्ति और उत्तम समुच्चय सामान्य रूप।प्रत्येक प्रकार के सामान्य रूपों (डिजंक्टिव और कंजंक्टिव) में कोई एसडीएनएफ और एसकेएनएफ के पूर्ण रूपों के एक वर्ग को अलग कर सकता है।

  एक पूर्ण प्रारंभिक संयोजन निषेध के साथ या उसके बिना सभी चर का एक तार्किक उत्पाद है, और प्रत्येक चर केवल एक बार उत्पाद में शामिल होता है।

  किसी भी डीएनएफ को उन संयोजनों को विभाजित करके एसडीएनएफ में घटाया जा सकता है जिनमें सभी चर शामिल नहीं हैं, यानी। लुप्त चर x i के जोड़ को वितरण के नियम का उपयोग करके गुणा किया जाता है

  उदाहरण 9डीएनएफ उदाहरण 6 के लिए एसडीएनएफ खोजें

  उत्तम प्राथमिक विच्छेदनिषेध सहित या निषेध के बिना सभी चरों का तार्किक योग कहा जाता है, इसके अलावा, प्रत्येक चर को योग में केवल एक बार शामिल किया जाता है।

  किसी भी सीएनएफ को एक संयोजन शब्द जोड़कर एसकेएनएफ में कम किया जा सकता है जिसमें संयोजन द्वारा और वितरण कानून लागू करके कोई चर एक्स नहीं होता है।

  उदाहरण 10. CNF को SKNF में बदलें:

  एसकेएनएफ के निर्माण के लिए, आप योजना का उपयोग कर सकते हैं

  उदाहरण 11.उदाहरण 6 के सूत्र के लिए एसकेएनएफ खोजें।

  प्रत्येक फ़ंक्शन में एक SDNF होता है और, इसके अलावा, केवल एक ही होता है। प्रत्येक फ़ंक्शन में एक SKNF और, इसके अलावा, एक एकल होता है।

  क्योंकि एसडीएनएफ और एसकेएनएफ को सूत्रों द्वारा विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है, उन्हें सूत्र की सत्य तालिका के अनुसार बनाया जा सकता है।

  एसडीएनएफ का निर्माण करने के लिए, उन पंक्तियों का चयन करना आवश्यक है जिनमें एफ मान 1 लेता है और उनके लिए सही प्रारंभिक संयोजन लिखता है। यदि सत्य तालिका की वांछित पंक्ति में चर का मान एक के बराबर है, तो पूर्ण संयोजन में इसे निषेध के बिना लिया जाता है, यदि शून्य है, तो निषेध के साथ लिया जाता है। फिर पूर्ण संयोजक (उनकी संख्या तालिका में इकाइयों की संख्या के बराबर होती है) विच्छेदन चिन्हों द्वारा जुड़े होते हैं।

  सत्य तालिका के अनुसार एसकेएनएफ का निर्माण करने के लिए, इसमें पंक्तियों का चयन करना आवश्यक है, जहां एफ = 0, और सही प्राथमिक विच्छेदन लिखें, और फिर उन्हें संयोजन चिह्नों के साथ जोड़ें। यदि सत्य तालिका की आवश्यक पंक्ति (F=0) में चर का मान शून्य से मेल खाता है, तो पूर्ण विच्छेद में इसे निषेध के बिना लिया जाता है, यदि यह एक के बराबर है, तो निषेध के साथ लिया जाता है।

  उदाहरण 12.उदाहरण 6 के सूत्र के लिए सत्य तालिका के अनुसार एसडीएनएफ और एसकेएनएफ खोजें।

  तालिका 14 केवल अंतिम मान F=10101101 दिखाती है। विस्तारित सत्य तालिका का निर्माण करके इस कथन की वैधता को स्वतंत्र रूप से सत्यापित किया जाना चाहिए।

  तालिका 14

  एक्स	य	जेड

  परिभाषा 1.संयोजक एकपदी (प्रारंभिक संयोजन)चरों से इन चरों का समुच्चय या उनका निषेधन कहा जाता है।

  उदाहरण के लिए, एक प्रारंभिक संयोजन है।

  परिभाषा 2.विभक्ति एकपदी (प्रारंभिक वियोजन)चरों से इन चरों का विच्छेद या उनका निषेधन कहा जाता है।

  उदाहरण के लिए, एक प्राथमिक विच्छेद है।

  परिभाषा 3.एक सूत्र जो किसी दिए गए प्रस्तावित बीजगणित सूत्र के समतुल्य है और प्राथमिक संयोजक एकपदी का विच्छेदन है, कहलाता है विच्छेदात्मक सामान्य रूप(डीएनएफ) इस सूत्र का।

  उदाहरण के लिए,- डीएनएफ।

  परिभाषा 4.एक सूत्र जो किसी दिए गए प्रस्तावित बीजगणित सूत्र के समतुल्य है और प्रारंभिक विच्छेदनात्मक एकपदी का संयोजन है, कहलाता है संयोजक सामान्य रूप(CNF) इस सूत्र का.

  उदाहरण के लिए, - केएनएफ।

  प्रत्येक प्रस्तावित बीजगणित सूत्र के लिए, कोई भी विच्छेदनात्मक और संयोजनात्मक सामान्य रूपों का एक सेट पा सकता है।

  सामान्य प्रपत्रों के निर्माण के लिए एल्गोरिदम

  तर्क के बीजगणित की तुल्यताओं का उपयोग करते हुए, सूत्र में सभी संक्रियाओं को मुख्य संक्रियाओं से बदलें: संयोजन, वियोजन, निषेध:

  दोहरी नकारात्मकताओं से छुटकारा पाएं।

  यदि आवश्यक हो, तो संयोजन और विच्छेदन के संचालन के लिए वितरण और अवशोषण सूत्रों के गुणों को लागू करें।

  2.6. उत्तम विभक्ति और उत्तम समुच्चय सामान्य रूप

  किसी भी बूलियन फ़ंक्शन में कई DNF और CNF प्रतिनिधित्व हो सकते हैं। इन अभ्यावेदन के बीच एक विशेष स्थान पर परफेक्ट डीएनएफ (एसडीएनएफ) और परफेक्ट सीएनएफ (एसकेएनएफ) का कब्जा है।

  परिभाषा 1. उत्तम विभक्ति सामान्य रूप(एसडीएनएफ) एक डीएनएफ है जिसमें प्रत्येक संयुग्मक एकपदी में सेट से प्रत्येक चर बिल्कुल एक बार होता है, और या तो स्वयं या उसका निषेधन प्रवेश करता है।

  संरचनात्मक रूप से, प्रस्तावित बीजगणित के प्रत्येक सूत्र के लिए एसडीएनएफ को डीएनएफ में घटाकर निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:

  परिभाषा 2. उत्तम विभक्ति सामान्य रूपएक प्रस्तावित बीजगणित सूत्र के (एसडीएनएफ) को इसका डीएनएफ कहा जाता है, जिसमें निम्नलिखित गुण होते हैं:

  परिभाषा 3. उत्तम संयोजक सामान्य रूप(एसकेएनएफ) एक सीएनएफ है जिसमें प्रत्येक डिसजंक्टिव मोनोमियल में सेट से प्रत्येक चर बिल्कुल एक बार होता है, और या तो स्वयं या उसका निषेधन प्रवेश करता है।

  संरचनात्मक रूप से, सीएनएफ में घटाए गए प्रस्तावित बीजगणित के प्रत्येक सूत्र के लिए एसकेएनएफ को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है।

  परिभाषा 4. उत्तम संयोजक सामान्य रूपकिसी दिए गए प्रस्तावित बीजगणित सूत्र का (एसकेएनएफ) इसका सीएनएफ है, जो निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है।

  प्रमेय 1.वेरिएबल्स का प्रत्येक बूलियन फ़ंक्शन जो समान रूप से गलत नहीं है, उसे एसडीएनएफ में और इसके अलावा, एक अनूठे तरीके से दर्शाया जा सकता है।

  एसडीएनएफ खोजने के तरीके

  पहला तरीका

  दूसरा रास्ता

  उन पंक्तियों का चयन करें जहां सूत्र मान 1 लेता है;

  हम संयोजनों का विच्छेदन करते हैं, बशर्ते कि यदि चर को मान 1 के साथ संयोजन में शामिल किया गया है, तो हम इस चर को लिखते हैं, यदि मान 0 के साथ, तो इसका निषेधन। हमें एसडीएनएफ मिलता है।

  प्रमेय 2.वेरिएबल्स का प्रत्येक बूलियन फ़ंक्शन जो समान रूप से सत्य नहीं है, उसे एसकेएनएफ में और इसके अलावा, एक अनूठे तरीके से दर्शाया जा सकता है।

  एसकेएनएफ खोजने के तरीके

  पहला तरीका- समतुल्य परिवर्तनों की सहायता से:

  दूसरा रास्ता- सत्य तालिकाओं का उपयोग करना:

  उन पंक्तियों का चयन करें जहां सूत्र मान 0 लेता है;

  हम वियोजनों का एक संयोजन बनाते हैं, बशर्ते कि यदि चर को 0 के मान के साथ वियोजन में शामिल किया जाता है, तो हम इस चर को लिखते हैं, यदि 1 के मान के साथ, तो इसका निषेधन लिखते हैं। हमें एसकेएनएफ मिलता है।

  उदाहरण 1सीएनएफ फ़ंक्शंस को प्लॉट करें।

  समाधान

  चरों के परिवर्तन के नियमों का उपयोग करके लिंक "" को हटा दें:

  = /डी मॉर्गन के नियम और दोहरा निषेध/ =

  /वितरणात्मक कानून/=

  उदाहरण 2सूत्र को DNF में बदलें।

  समाधान

  हम तार्किक संक्रियाओं को, और के रूप में व्यक्त करते हैं:

  = /निषेध को चरों से जोड़ें और दोहरे निषेध को कम करें/ =

  = /वितरण कानून/ .

  उदाहरण 3डीएनएफ और एसडीएनएफ में सूत्र लिखें।

  समाधान

  तर्क के नियमों का उपयोग करते हुए, हम इस सूत्र को एक ऐसे रूप में बदल देते हैं जिसमें केवल प्रारंभिक संयोजनों का विच्छेदन होता है। परिणामी सूत्र वांछित DNF होगा:

  एसडीएनएफ बनाने के लिए, हम इस सूत्र के लिए एक सत्य तालिका संकलित करेंगे:

  हम तालिका की उन पंक्तियों को चिह्नित करते हैं जिनमें सूत्र (अंतिम कॉलम) मान 1 लेता है। ऐसी प्रत्येक पंक्ति के लिए, हम वह सूत्र लिखते हैं जो इस पंक्ति के चर के सेट पर सत्य है:

  लाइन 1: ;

  पंक्ति 3: ;

  पंक्ति 5: .

  इन तीन सूत्रों का विच्छेदन केवल पंक्तियों 1, 3, 5 में चर के सेट पर मान 1 लेगा, और इसलिए, आवश्यक पूर्ण विच्छेदन सामान्य रूप (पीडीएनएफ) होगा:

  उदाहरण 4सूत्र को SKNF में दो तरीकों से लाएँ:

  क) समतुल्य परिवर्तनों की सहायता से;

  बी) सत्य तालिका का उपयोग करना।

  समाधान:

  हम दूसरे प्राथमिक विच्छेदन को रूपांतरित करते हैं:

  सूत्र इस प्रकार दिखता है:

  बी) इस सूत्र के लिए एक सत्य तालिका बनाएं:

  हम तालिका की उन पंक्तियों को चिह्नित करते हैं जिनमें सूत्र (अंतिम कॉलम) मान 0 लेता है। ऐसी प्रत्येक पंक्ति के लिए, हम वह सूत्र लिखते हैं जो इस पंक्ति के चर के सेट पर सत्य है:

  लाइन 2: ;

  पंक्ति 6: .

  इन दो सूत्रों का संयोजन केवल पंक्ति 2 और 6 में चर के सेट पर 0 मान लेगा, और इसलिए वांछित पूर्ण संयोजक सामान्य रूप (सीकेएनएफ) होगा:

  स्वतंत्र समाधान के लिए प्रश्न और कार्य

  1. समतुल्य परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, सूत्रों को DNF में लाएँ:

  2. समतुल्य परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, सूत्रों को CNF में लाएँ:

  3. दूसरे वितरण नियम का उपयोग करके, DNF को CNF में बदलें:

  ए) ;

  4. दिए गए DNF को SDNF में बदलें:

  5. दिए गए CNF को SKNF में बदलें:

  6. दिए गए तार्किक सूत्रों के लिए, एसडीएनएफ और एसकेएनएफ का निर्माण दो तरीकों से करें: समकक्ष परिवर्तनों का उपयोग करके और सत्य तालिका का उपयोग करके।

  बी) ;

  सरल संयोजक बुलाया संयोजक एक या अनेक चर, पर यह प्रत्येक चर की बैठक नहीं अधिक एक टाइम्स (या खुद, या उसकी नकार).

  उदाहरण के लिए, एक सरल संयोजन है,

  संधि तोड़नेवाला सामान्य रूप(डीएनएफ) बुलाया अलगाव सरल संयोजक.

  उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति DNF है.

  उत्तम संधि तोड़नेवाला सामान्य रूप(एसडीएनएफ) बुलाया ऐसा संधि तोड़नेवाला सामान्य रूप, पर कौन वी प्रत्येक संयोजक शामिल हैं सभी चर दिया गया सूची (या खुद, या उनका इनकार), और वी एक और आयतन वहीठीक है.

  उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति DNF है लेकिन SDNF नहीं है। अभिव्यक्ति एसडीएनएफ है.

  सीएनएफ और एसकेएनएफ के लिए समान परिभाषाएं (विघटन के लिए संयोजन के प्रतिस्थापन और इसके विपरीत) सत्य हैं। हम सटीक फॉर्मूलेशन प्रस्तुत करते हैं.

  सरल अलगाव बुलाया अलगाव एक या अनेक चर, पर यह प्रत्येक चर शामिल नहीं अधिक एक टाइम्स (या खुद, या उसकी नकार) उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति एक सरल विभक्ति है,

  नेत्रश्लेष्मला सामान्य रूप(केएनएफ) बुलाया संयोजक सरल विच्छेदन(उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति - CNF).

  एक पूर्ण संयोजक सामान्य रूप (सीकेएनएफ) एक सीएनएफ है जिसमें प्रत्येक सरल वियोजन में दी गई सूची के सभी चर (या तो स्वयं या उनके नकार) शामिल होते हैं, और उसी क्रम में।

  उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति एसकेएनएफ है.

  हम एक रूप से दूसरे रूप में संक्रमण के लिए एल्गोरिदम प्रस्तुत करते हैं। स्वाभाविक रूप से, विशिष्ट मामलों में (एक निश्चित रचनात्मक दृष्टिकोण के साथ), एल्गोरिदम का अनुप्रयोग सरल परिवर्तनों की तुलना में अधिक श्रमसाध्य हो सकता है जो किसी दिए गए आकार के विशिष्ट रूप का उपयोग करते हैं:

  ए) डीएनएफ से सीएनएफ में संक्रमण

  इस संक्रमण के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है: हम DNF पर दो निषेध लगाते हैं और, डी मॉर्गन के नियमों का उपयोग करते हुए (ऊपरी निषेध को छुए बिना), हम DNF के निषेध को वापस DNF में लाते हैं। इस मामले में, आपको अवशोषण नियम (या ब्लेक के नियम) का उपयोग करके कोष्ठक खोलना होगा। परिणामी DNF का (ऊपरी) निषेध (फिर से डी मॉर्गन के नियम द्वारा) हमें तुरंत CNF देता है:

  ध्यान दें कि यदि हम बाहर निकालते हैं तो CNF को मूल अभिव्यक्ति से भी प्राप्त किया जा सकता है परकोष्ठक के लिए;

  बी) सीएनएफ से डीएनएफ में संक्रमण

  यह संक्रमण केवल कोष्ठकों को खोलकर किया जाता है (इस मामले में, फिर से, अवशोषण नियम का उपयोग किया जाता है)

  इस प्रकार, हमें DNF प्राप्त हुआ।

  रिवर्स ट्रांजिशन (एसडीएनएफ से डीएनएफ तक) डीएनएफ को कम करने की समस्या से संबंधित है। इस पर संप्रदाय में अधिक विस्तार से चर्चा की जाएगी। 5, यहां हम दिखाते हैं कि ब्लेक के नियम के अनुसार डीएनएफ (या एसडीएनएफ) को कैसे सरल बनाया जाए। ऐसे DNF कहा जाता है संक्षिप्तडीएनएफ;

  सी) संक्षिप्त नाम डीएनएफ (या एसडीएनएफ) द्वारा नियम ब्लेक

  इस नियम के अनुप्रयोग के दो भाग हैं:

  यदि DNF में असंयुक्त पदों में से कुछ पद हैं , फिर हम शब्द को संपूर्ण वियोजन में जोड़ते हैं को 1 को 2. हम सभी संभावित युग्मों के लिए इस ऑपरेशन को कई बार करते हैं (यह क्रमिक रूप से संभव है, यह एक साथ संभव है), और फिर हम सामान्य अवशोषण लागू करते हैं;

  यदि जोड़ा गया शब्द पहले से ही डीएनएफ में शामिल था, तो इसे पूरी तरह से खारिज किया जा सकता है, उदाहरण के लिए,

  या

  बेशक, संक्षिप्त डीएनएफ को विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया गया है, लेकिन उन सभी में अक्षरों की संख्या समान है (उदाहरण के लिए, एक डीएनएफ है , इस पर ब्लेक नियम लागू करने के बाद, कोई दिए गए DNF के बराबर DNF पर पहुंच सकता है):

  ग) डीएनएफ से एसडीएनएफ में संक्रमण

  यदि किसी सरल संयोजन में कोई चर गायब है, उदाहरण के लिए, जेड, इसमें व्यंजक डालें, जिसके बाद हम कोष्ठक खोलते हैं (हम दोहराए जाने वाले विच्छेदित पदों को नहीं लिखते हैं)। उदाहरण के लिए:

  घ) सीएनएफ से एसकेएनएफ में संक्रमण

  यह परिवर्तन पिछले वाले के समान तरीके से किया जाता है: यदि सरल वियोजन में कुछ चर गायब है (उदाहरण के लिए, जेड, फिर हम इसमें एक अभिव्यक्ति जोड़ते हैं (इससे वियोजन स्वयं नहीं बदलता है), जिसके बाद हम वितरण कानून का उपयोग करके कोष्ठक खोलते हैं):

  इस प्रकार, एसकेएनएफ सीएनएफ से प्राप्त होता है।

  ध्यान दें कि न्यूनतम या संक्षिप्त सीएनएफ आमतौर पर संबंधित डीएनएफ से प्राप्त होता है।

  मानक आधार. प्राथमिक सूत्र शाब्दिक हैं. प्राथमिक संयोजन (विघटन)। विभक्ति (संयोजक) सामान्य रूप और उत्तम रूप। प्रमेय: 0 (1 से) के अलावा किसी भी बूलियन फ़ंक्शन को एसडीएनएफ (एसकेएनएफ) के रूप में दर्शाया जा सकता है। मानक आधार की पूर्णता. पूर्ण आधारों के उदाहरण: ज़ेगल्किन का आधार, शेफ़र का स्ट्रोक, पियर्स का तीर।

  मानक आधार तीन प्रारंभिक बूलियन बीजगणित परिचालनों का एक सेट है: जोड़ (संघ), गुणा (प्रतिच्छेदन), और निषेध।

  यहां हम कॉल करेंगे शाब्दिक चर x या उसका निषेधन x और निरूपित xˆ। विभिन्न चरों द्वारा परिभाषित अनेक शाब्दिकों का बूलियन प्रतिच्छेदन, अर्थात्। X = xˆ 1 xˆ 2 के रूप की अभिव्यक्ति। . . xˆl, कहा जाता है प्राथमिक संयोजन . सभी चरों के अलग-अलग होने की आवश्यकता निम्नलिखित के कारण है। यदि संयोजन में कई समान अक्षर शामिल हैं, तो संयोजन की क्रमविनिमेयता, साहचर्यता और निष्क्रियता के कारण, समकक्ष सूत्र में जाने पर, हम केवल एक अक्षर छोड़ सकते हैं (उदाहरण के लिए, x 1 x 1 = x 1)। यदि संयोजन में एक चर और उसका निषेध शामिल है, तो सूत्र स्थिरांक 0 के बराबर है, क्योंकि x x = 0 और किसी भी सूत्र Y के लिए हमारे पास Y x x = 0 है।

  अनेक प्रारंभिक समुच्चयबोधकों का विच्छेद कहलाता है विच्छेदात्मक सामान्य रूप , या डीएनएफ . उदाहरण के लिए,

  x 1 x 3 + x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 5।

  यदि किसी दिए गए DNF के प्रत्येक प्रारंभिक संयोजन में चर की संरचना समान है, तो DNF कहा जाता है उत्तम . दिया गया उदाहरण एक डीएनएफ है जो सही नहीं है। इसके विपरीत, सूत्र

  x 1 x 2 x 3 x 4 +x 1 x 2 x 3 x 4 +x 1 x 2 x 3 x 4

  उत्तम रूप है.

  चूंकि बूलियन बीजगणित में जोड़ और गुणा सममित संक्रियाएं हैं और कोई हमेशा जोड़ को गुणा और गुणन को जोड़ के रूप में व्याख्या कर सकता है, इसलिए एक दोहरी अवधारणा भी है - संयोजक सामान्य रूप (केएनएफ ), जो प्रारंभिक विच्छेदन का एक संयोजन है, और उत्तम संयोजक रूप (एसकेएनएफ ). सममित सेमीरिंग्स के लिए द्वंद्व के सिद्धांत से यह पता चलता है कि डीएनएफ के बारे में कोई भी कथन सीएनएफ के बारे में एक दोहरे कथन से मेल खाता है, जो जोड़ (वियोजन) को गुणन से, गुणन (संयोजन) को जोड़ से, स्थिरांक 0 को स्थिरांक 1 से, स्थिरांक 1 द्वारा प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है। स्थिरांक 0 द्वारा, क्रम में संबंध दोहरे (उलटा) द्वारा। इसलिए आगे हम सिर्फ DNF के अध्ययन पर ही फोकस करेंगे.

  प्रमेय 1.4.स्थिरांक 0 के अलावा किसी भी बूलियन फ़ंक्शन को SDNF के रूप में दर्शाया जा सकता है।

  ◀आइए हम x σ से सहमत हैं कि यदि σ = 1 है तो सूत्र x का अर्थ है, और यदि σ = 0 है तो सूत्र x का अर्थ है। मान लें कि फ़ंक्शन f(y 1 , . . . . , y n) वेक्टर (t 1) पर मान 1 लेता है , . . . , t n ) (ऐसे वेक्टर को कहा जाता है घटक इकाई ). फिर प्रारंभिक संयोजन भी इस सेट पर मान 1 लेता है, लेकिन अन्य सभी एन-आयामी बूलियन वैक्टर पर गायब हो जाता है। सूत्र पर विचार करें

  जिसमें योग (संघ) तर्क मानों के सभी सेटों (t 1, ..., t n) पर विस्तारित होता है, जिस पर दिया गया फ़ंक्शन मान 1 लेता है। ध्यान दें कि ऐसे सेट का सेट खाली नहीं है, ताकि योग में कम से कम एक पद होता है।

  यह देखना आसान है कि सूत्र Φ उन लोगों के लिए 1 में बदल जाता है, और केवल चर के उन मानों के लिए, जिनके लिए माना गया फ़ंक्शन 1 में बदल जाता है। इसलिए, सूत्र Ψ फ़ंक्शन f को दर्शाता है।

  परिणाम 1.1.मानक आधार पूरा हो गया है.

  ◀ दरअसल, यदि कोई फ़ंक्शन स्थिर 0 नहीं है, तो इसे एसडीएनएफ के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो मानक आधार पर एक सूत्र है। उदाहरण के लिए, स्थिरांक 0 को सूत्र f(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x 1 x 1 द्वारा दर्शाया जा सकता है।

  उदाहरण 1.2.तीन चर m(x 1 , x 2 , x 3) (तालिका 1.4) के एक फ़ंक्शन पर विचार करें, जिसे कहा जाता है बहुमत समारोह ̆. यदि इसके आधे से अधिक तर्कों का मान 1 है तो यह फ़ंक्शन 1 का मूल्यांकन करता है। इसलिए, इसे अक्सर वोटिंग फ़ंक्शन कहा जाता है। आइए इसके लिए एक एसडीएनएफ बनाएं।

  मानक आधार की पूर्णता व्यक्ति को कार्यों की अन्य पूर्ण प्रणालियों का चयन करने की अनुमति देती है। सेट एफ की पूर्णता निम्नलिखित विचारों से स्थापित की जा सकती है। मान लीजिए कि तीन मानक बज़िस फ़ंक्शंस में से प्रत्येक को F पर एक सूत्र द्वारा दर्शाया जा सकता है। फिर, प्रमेय 1.3 के आधार पर, F की अन्यता पूर्ण होगी।

  उदाहरण 1.3.संचालन मोडुलो 2 जोड़, गुणा और स्थिरांक 1 के सेट को कहा जाता है ज़ेगलकिन आधार . मोडुलो 2 जोड़ और गुणा रिंग Z2 के मूल संचालन हैं, उनकी मदद से बनाए गए भाव रिंग Z2 पर बहुपद हैं। इस मामले में स्थिरांक 1 को मुक्त सदस्य लिखने के लिए आवश्यक है। चूँकि xx \u003d x, तो बहुपद के सभी कारकों की घात 1 होती है। इसलिए, बहुपद लिखते समय, आप घात की अवधारणा के बिना कर सकते हैं। ज़ेगलकिन आधार पर सूत्रों के उदाहरण:

  xy⊕x⊕y, x⊕1, xyz⊕xz⊕x⊕y⊕1.

  ऐसे किसी भी सूत्र को ज़ेगलकिन बहुपद कहा जाता है। वास्तव में, ज़ेगल्किन बहुपद वलय Z2 पर एक बहुपद है।

  झेगल्किन आधार पर सूत्रों का निर्माण करना आसान है, जो मानक आधार के जोड़ और नकार के संचालन का प्रतिनिधित्व करते हैं (दो आधारों का गुणन सामान्य है):

  x+y=x⊕y⊕xy, x=x⊕1.

  इसलिए, ज़ेगल्किन आधार एक पूर्ण सेट है।
  यह दिखाया जा सकता है कि किसी भी बूलियन फ़ंक्शन के लिए ज़ेगल्किन बहुपद को विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है

  (अधिक सटीक रूप से, शर्तों के क्रम तक)। छोटी संख्या में चर वाले ज़ेगलकिन बहुपद के गुणांक अनिश्चित गुणांक की विधि द्वारा पाए जा सकते हैं।

  उदाहरण 1.4.एकल फ़ंक्शन के एक सेट पर विचार करें - शेफ़र स्ट्रोक*। यह सेट पूर्ण है, जो निम्नलिखित आसानी से सत्यापित पहचानों से निम्नानुसार है:

  x=x|x, xy=x|y=(x|y)|(x|y), x+y=x |y=(x|x)|(y|y).

  उदाहरण 1.5.एकल फ़ंक्शन, पियर्स एरो से युक्त आधार भी पूरा हो गया है। इसका सत्यापन शेफ़र प्राइम के मामले के समान है। हालाँकि, यह निष्कर्ष सममित अर्धवृत्तों के द्वैत सिद्धांत के आधार पर भी निकाला जा सकता है।

  *शेफ़र का स्ट्रोक एक बाइनरी ऑपरेशन है, लेकिन सहयोगी नहीं। इसलिए, इन्फिक्स फॉर्म का उपयोग करते समय, आपको सावधान रहना चाहिए: परिणाम उस क्रम पर निर्भर करता है जिसमें संचालन किया जाता है। इस मामले में, कोष्ठक का उपयोग करके संचालन के क्रम को स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करने की अनुशंसा की जाती है, उदाहरण के लिए, लिखें (x | y) | z, x नहीं | य | z, हालाँकि दोनों रूप समतुल्य हैं।