Cómo dibujar un ángulo igual a uno dado. Principales tareas de construcción.

Objetivo de la lección: Desarrollar la capacidad de construir un ángulo igual a uno dado. Tarea: Crear condiciones para dominar el algoritmo para construir un ángulo igual a uno dado usando un compás y una regla; crear condiciones para dominar la secuencia de acciones al resolver un problema de construcción (análisis, construcción, prueba); mejorar la habilidad de utilizar las propiedades de un círculo, signos de igualdad de triángulos para resolver un problema de demostración; Brindar la oportunidad de utilizar nuevas habilidades al resolver problemas.

En geometría, hay problemas de construcción que se pueden resolver sólo con la ayuda de dos herramientas: un compás y una regla sin divisiones de escala. La regla le permite dibujar una línea recta arbitraria, así como construir una línea recta que pase por dos puntos dados; Con una brújula, puedes dibujar un círculo de radio arbitrario, así como un círculo con un centro en un punto determinado y un radio igual a un segmento determinado. I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I

Dado: ángulo A. A Construido: ángulo O. B C O D E Demostrar: A = O Demostración: considerar los triángulos ABC y ODE. 1.AC = OE, como los radios de un círculo. 2.AB=OD, como los radios de un círculo. 3.ВС=DE, como los radios de un círculo. ABC = ODE (3er premio) A = O Tarea 2. Reservar de esta vigaángulo igual a este

Demostremos que el rayo AB es una bisectriz A 3. Prueba: Construcción adicional (conecta el punto B con los puntos D y C). Consideremos ACB y ADB: A B C D 1.AC = AD, como los radios de un círculo. 2.CB=DB, como los radios de un círculo. 3. AB – lado común. ACB = ADB, según el criterio III de igualdad de triángulos el rayo AB es una bisectriz 4. Investigación: El problema siempre tiene una solución única.

Esquema de resolución de problemas constructivos: Análisis (dibujo de la figura deseada, establecimiento de conexiones entre los elementos dados y requeridos, plano constructivo). Construcción según plano previsto. Prueba de que esta cifra satisface las condiciones del problema. Investigación (¿cuándo y cuántas soluciones tiene el problema?).

Al construir o desarrollar proyectos de diseño de viviendas, a menudo es necesario construir un ángulo igual a uno existente. Las plantillas y los conocimientos escolares de geometría vienen al rescate.

Instrucciones

• Un ángulo está formado por dos rectas que parten de un punto. Este punto se llamará vértice del ángulo y las rectas serán los lados del ángulo.
• Utilice tres letras para representar las esquinas: una en la parte superior y dos a los lados. El ángulo se nombra comenzando con la letra que está en un lado, luego se nombra la letra que está en el vértice y luego la letra que está en el otro lado. Utilice otras formas de indicar ángulos si prefiere lo contrario. A veces sólo se nombra una letra, que está en la parte superior. Y puedes denotar ángulos con letras griegas, por ejemplo, α, β, γ.
• Hay situaciones en las que es necesario dibujar un ángulo para que sea igual a un ángulo ya dado. Si no es posible utilizar un transportador al hacer un dibujo, solo puedes arreglártelas con una regla y un compás. Digamos que en una línea recta marcada en el dibujo con las letras MN, es necesario construir un ángulo en el punto K para que sea igual al ángulo B. Es decir, desde el punto K es necesario trazar una línea recta que forme una ángulo con la recta MN que será igual al ángulo B.
• Comience marcando un punto a cada lado. ángulo dado, por ejemplo, los puntos A y C, luego conecta los puntos C y A con una línea recta. Consigue el triángulo ABC.
• Ahora construye el mismo triángulo en la línea MN de modo que su vértice B esté en la línea en el punto K. Usa la regla para construir un triángulo en tres lados. Deje el segmento KL desde el punto K. Debe ser igual al segmento BC. Consigue el punto L.
• Desde el punto K, dibuje un círculo con un radio igual al segmento BA. Desde L, dibuje un círculo con radio CA. Conecte el punto resultante (P) de intersección de dos círculos con K. Obtenga un triángulo KPL, que será igual a un triangulo A B C. De esta manera obtendrás el ángulo K. Será igual al ángulo B. Para que esta construcción sea más conveniente y rápida, separa segmentos iguales del vértice B, usando una abertura de compás, sin mover los catetos, describe un círculo con el mismo radio. desde el punto k.

En las tareas de construcción consideraremos la construcción de una figura geométrica, la cual se puede realizar utilizando regla y compás.

Usando una regla puedes:

línea recta arbitraria;

una línea recta arbitraria que pasa por un punto dado;

una recta que pasa por dos puntos dados.

Usando una brújula, puedes describir un círculo de un radio dado desde un centro dado.

Usando una brújula puedes trazar un segmento en una línea dada desde un punto dado.

Consideremos las principales tareas de construcción.

Tarea 1. Construya un triángulo con los lados dados a, b, c (Fig. 1).

Solución. Usando una regla, dibuja una línea recta arbitraria y toma un punto arbitrario B en ella. Usando un compás con apertura igual a a, describimos un círculo con centro B y radio a. Sea C el punto de su intersección con la recta. Con una apertura del compás igual a c, describimos un círculo desde el centro B, y con una apertura del compás igual a b, describimos un círculo desde el centro C. Sea A el punto de intersección de estos círculos. Triángulo ABC tiene lados iguales a a, b, c.

Comentario. Para que tres segmentos rectos sirvan como lados de un triángulo, es necesario que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos (y< b + с).

Tarea 2.

Solución. Este ángulo con el vértice A y el rayo OM se muestran en la Figura 2.

llevemos a cabo círculo arbitrario con centro en el vértice A de un ángulo dado. Sean B y C los puntos de intersección del círculo con los lados del ángulo (Fig. 3, a). Con radio AB dibujamos un círculo con centro en el punto O, el punto inicial de este rayo (Fig. 3, b). Denotaremos el punto de intersección de este círculo con este rayo como C 1 . Describamos un círculo con centro C 1 y radio BC. El punto B 1 de la intersección de dos círculos se encuentra en el lado del ángulo deseado. Esto se desprende de la igualdad Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (el tercer signo de igualdad de triángulos).

Tarea 3. Construya la bisectriz de este ángulo (Fig. 4).

Solución. Desde el vértice A de un ángulo dado, como desde el centro, trazamos un círculo de radio arbitrario. Sean B y C los puntos de su intersección con los lados del ángulo. Desde los puntos B y C describimos círculos con el mismo radio. Sea D su punto de intersección, diferente de A. El rayo AD biseca el ángulo A. Esto se desprende de la igualdad Δ ABD = Δ ACD (el tercer criterio para la igualdad de triángulos).

Tarea 4. Dibuja una bisectriz perpendicular a este segmento (Fig. 5).

Solución. Utilizando una abertura de compás arbitraria pero idéntica (mayor que 1/2 AB), describimos dos arcos con centro en los puntos A y B, que se cortarán en algunos puntos C y D. La recta CD será la perpendicular deseada. De hecho, como puede verse en la construcción, cada uno de los puntos C y D está igualmente distante de A y B; por lo tanto, estos puntos deben estar en la bisectriz perpendicular al segmento AB.

Tarea 5. Divide este segmento por la mitad. Se resuelve de la misma forma que el problema 4 (ver Fig. 5).

Tarea 6. Por un punto dado se traza una recta perpendicular a la recta dada.

Solución. Hay dos casos posibles:

1) un punto dado O se encuentra en una recta dada a (Fig. 6).

Desde el punto O dibujamos un círculo con un radio arbitrario que corta a la línea a en los puntos A y B. Desde los puntos A y B dibujamos círculos con el mismo radio. Sea O 1 el punto de su intersección, distinto de O. Obtenemos OO 1 ⊥ AB. De hecho, los puntos O y O 1 están equidistantes de los extremos del segmento AB y, por tanto, se encuentran en la bisectriz perpendicular a este segmento.

lección de habilidad de geometría matemática

Resumen de la lección “Construir un ángulo igual a uno dado. Construcción de la bisectriz del ángulo"

educativo: familiarizar a los estudiantes con problemas de construcción, para resolverlos solo se utilizan un compás y una regla; enseñar cómo construir un ángulo igual a uno dado, cómo construir la bisectriz de un ángulo;

de desarrollo: desarrollo del pensamiento espacial, atención;

educativo: fomentar el trabajo duro y la precisión.

Equipo: tablas con el orden de resolución de problemas constructivos; compás y regla.

Durante las clases:

1. Actualización del principal conceptos teóricos(5 minutos).

Primero, puede realizar una encuesta frontal sobre las siguientes preguntas:

• 1. ¿Qué figura se llama triángulo?
• 2. ¿Qué triángulos se llaman iguales?
• 3. Formule los criterios para la igualdad de triángulos.
• 4. ¿Qué segmento se llama bisectriz de un triángulo? ¿Cuántas bisectrices tiene un triángulo?
• 5. Defina un círculo. ¿Cuáles son el centro, radio, cuerda y diámetro de un círculo?

Para repetir los signos de igualdad de triángulos, puedes sugerir.

Ejercicio: indique cuál de las imágenes (Fig. 1) contiene triángulos iguales.

Arroz. 1

Se puede organizar una repetición del concepto de círculo y sus elementos ofreciendo a la clase lo siguiente ejercicio, con un estudiante realizándolo en la pizarra: dada una línea a y un punto A que se encuentra en la línea y un punto B que no se encuentra en la línea. Dibuja un círculo con centro en el punto A y que pase por el punto B. Marca los puntos de intersección del círculo con la línea a. Nombra los radios del círculo.

2. Estudiar material nuevo ( trabajo practico) (20 minutos)

Construir un ángulo igual a uno dado

Para revisar material nuevo, es útil que el docente cuente con una mesa (Tabla No. 1 del Apéndice 4). El trabajo con la tabla se puede organizar de diferentes maneras: puede ilustrar la historia del maestro o un registro de solución de muestra; Puede invitar a los estudiantes, utilizando la tabla, a hablar sobre la solución al problema y luego completarlo de forma independiente en sus cuadernos. La tabla se puede utilizar al interrogar a los estudiantes y al repetir material.

Tarea. Resta un ángulo de un rayo dado igual a uno dado.

Solución. Este ángulo con el vértice A y el rayo OM se muestran en la Figura 2.

Arroz. 2

Se requiere construir un ángulo igual al ángulo A, de modo que uno de los lados coincida con el rayo OM. Dibujemos un círculo de radio arbitrario con centro en el vértice A del ángulo dado. Este círculo cruza los lados del ángulo en los puntos B y C (Fig. 3, a). Luego dibujamos un círculo del mismo radio con el centro al comienzo de este rayo OM. Intersecta la viga en el punto D (Fig. 3, b). Después de esto, construiremos un círculo con centro D, cuyo radio es igual a BC. Los círculos con centros O y D se cortan en dos puntos. Denotemos uno de estos puntos con la letra E. Demostremos que el ángulo MOE es el deseado.

Considere los triángulos ABC y ODE. Los segmentos AB y AC son los radios de un círculo con centro A, y OD y OE son los radios de un círculo con centro O. Dado que, por construcción, estos círculos tienen radios iguales, entonces AB = OD, AC = OE. También por construcción BC = DE. Por lo tanto, ABC = ODE en tres lados. Por lo tanto DOE = USTED, es decir el ángulo construido MOE es igual al ángulo dado A.

Arroz. 3

Construir la bisectriz de un ángulo dado

Tarea. Construye la bisectriz del ángulo dado.

Solución. Dibujemos un círculo de radio arbitrario con centro en el vértice A del ángulo dado. Intersectará los lados del ángulo en los puntos B y C. Luego dibujamos dos círculos del mismo radio BC con centros en los puntos B y C (la Figura 4 muestra solo partes de estos círculos). Se cruzarán en dos puntos. Denotaremos con la letra E aquel de estos puntos que se encuentra dentro del ángulo BAC. Demostremos que el rayo AE es la bisectriz de este ángulo.

Considere los triángulos ACE y ABE. Son iguales en tres lados. De hecho, AE es el lado general; AC y AB son iguales, como los radios de un mismo círculo; CE=BE por construcción. De la igualdad de los triángulos ACE y ABE se deduce que CAE = BAE, es decir El rayo AE es la bisectriz de un ángulo dado.

Arroz. 4

El maestro puede pedir a los estudiantes que utilicen esta tabla (Tabla No. 2 del Apéndice 4) para construir la bisectriz de un ángulo.

El alumno frente a la pizarra realiza una construcción, justificando cada paso de las acciones realizadas.

El profesor muestra la prueba; es necesario detenerse en detalle en la prueba de que como resultado de la construcción realmente se obtendrán ángulos iguales.

3. Consolidación (10 min)

Es útil ofrecer a los estudiantes la siguiente tarea para reforzar el material cubierto:

Tarea. Se da el ángulo obtuso AOB. Construya el rayo OX de modo que los ángulos HOA y HOB sean ángulos obtusos iguales.

Tarea. Usando un compás y una regla, construye ángulos de 30° y 60°.

Tarea. Construye un triángulo usando un lado, un ángulo adyacente a su lado y la bisectriz del triángulo que emana del vértice del ángulo dado.

• 4. Resumiendo (3 min)
• 1. Durante la lección resolvimos dos problemas de construcción. Estudió:
  • a) construir un ángulo igual al dado;
  • b) construye la bisectriz del ángulo.
• 2. En el curso de la resolución de estos problemas:
  • a) recordó los signos de igualdad de triángulos;
  • b) utilizó la construcción de círculos, segmentos, rayos.
• 5. A casa (2 min): No. 150-152 (ver Apéndice 1).

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