X y е равно на 2 графика на линейна функция. Директна функция

Понятието числова функция. Методи за задаване на функция. Свойства на функциите.

Числовата функция е функция, която действа от едно числово пространство (набор) към друго числово пространство (набор).

Три основни начина за дефиниране на функция: аналитичен, табличен и графичен.

1. Аналитичен.

Методът за определяне на функция с помощта на формула се нарича аналитичен. Този метод е основният в мат. анализ, но на практика не е удобно.

2. Табличен метод за задаване на функция.

Функция може да бъде определена с помощта на таблица, съдържаща стойностите на аргументите и съответните им функционални стойности.

3. Графичен метод за задаване на функция.

Казва се, че функция y=f(x) е дадена графично, ако нейната графика е построена. Този метод за определяне на функция позволява да се определят стойностите на функцията само приблизително, тъй като конструирането на графика и намирането на стойностите на функцията върху нея е свързано с грешки.

Свойства на функция, които трябва да се вземат предвид при изграждането на нейната графика:

1) Областта на дефиниране на функцията.

Домейн на функцията,т.е. тези стойности, които аргументът x на функцията F =y (x) може да приеме.

2) Интервали на нарастващи и намаляващи функции.

Функцията се нарича нарастващавърху разглеждания интервал, ако на по-голяма стойност на аргумента съответства по-голяма стойност на функцията y(x). Това означава, че ако два произволни аргумента x 1 и x 2 са взети от разглеждания интервал и x 1 > x 2, тогава y(x 1) > y(x 2).

Функцията се нарича намаляващавърху разглеждания интервал, ако на по-голяма стойност на аргумента съответства по-малка стойност на функцията y(x). Това означава, че ако два произволни аргумента x 1 и x 2 са взети от разглеждания интервал и x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Функционални нули.

Точките, в които функцията F = y (x) пресича абсцисната ос (те се получават чрез решаване на уравнението y(x) = 0), се наричат ​​нули на функцията.

4) Четни и нечетни функции.

Функцията се нарича дори, if за всички стойности на аргументи от обхвата

y(-x) = y(x).

Графиката на четна функция е симетрична спрямо ординатата.

Функцията се нарича странна, ако за всички стойности на аргумента от домейна на дефиницията

y(-x) = -y(x).

Графиката на четна функция е симетрична спрямо началото.

Много функции не са нито четни, нито нечетни.

5) Периодичност на функцията.

Функцията се нарича периодична,ако има число P такова, че за всички стойности на аргумента от областта на дефиницията

y(x + P) = y(x).

Линейна функция, нейните свойства и графика.

Линейната функция е функция на формата y = kx + b, дефинирана върху множеството от всички реални числа.

к– наклон (реално число)

b– фиктивен термин (реално число)

х- независима променлива.

· В специалния случай, ако k = 0, получаваме постоянна функция y = b, чиято графика е права линия, успоредна на оста Ox, минаваща през точката с координати (0; b).

· Ако b = 0, тогава получаваме функцията y = kx, което е пряка пропорционалност.

o Геометричният смисъл на коефициента b е дължината на отсечката, която правата отрязва по оста Oy, считано от началото.

o Геометричният смисъл на коефициента k е ъгълът на наклона на правата към положителната посока на оста Ox, изчислен обратно на часовниковата стрелка.

Свойства на линейна функция:

1) Областта на дефиниране на линейна функция е цялата реална ос;

2) Ако k ≠ 0, тогава диапазонът от стойности на линейната функция е цялата реална ос.

Ако k = 0, тогава диапазонът от стойности на линейната функция се състои от числото b;

3) Четността и нечетността на линейната функция зависят от стойностите на коефициентите k и b.

а) b ≠ 0, k = 0, следователно y = b – четно;

б) b = 0, k ≠ 0, следователно y = kx – нечетно;

в) b ≠ 0, k ≠ 0, следователно y = kx + b е функция от общ вид;

г) b = 0, k = 0, следователно y = 0 е едновременно четна и нечетна функция.

4) Линейната функция не притежава свойството периодичност;

5) Точки на пресичане с координатни оси:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, следователно (-b/k; 0) е пресечната точка с оста x.

Oy: y = 0k + b = b, следователно (0; b) е пресечната точка с ординатата.

Коментирайте. Ако b = 0 и k = 0, тогава функцията y = 0 изчезва за всяка стойност на променливата x. Ако b ≠ 0 и k = 0, тогава функцията y = b не изчезва за никоя стойност на променливата x.

6) Интервалите с постоянен знак зависят от коефициента k.

а) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – положително при x от (-b/k; +∞),

y = kx + b – отрицателно за x от (-∞; -b/k).

б) к< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – положително при x от (-∞; -b/k),

y = kx + b – отрицателно за x от (-b/k; +∞).

в) k = 0, b > 0; y = kx + b е положителен в цялата област на дефиниция,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Интервалите на монотонност на линейна функция зависят от коефициента k.

k > 0, следователно y = kx + b нараства в цялата област на дефиниция,

к< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Функция y = ax 2 + bx + c, нейните свойства и графика.

Функцията y = ax 2 + bx + c (a, b, c са константи, a ≠ 0) се нарича квадратнаВ най-простия случай y = ax 2 (b = c = 0) графиката е крива линия, минаваща през началото. Кривата, служеща за графика на функцията y = ax 2, е парабола. Всяка парабола има ос на симетрия, наречена оста на параболата.Точката O на пресечната точка на парабола с нейната ос се нарича върха на параболата.

Графиката може да се построи по следната схема: 1) Намерете координатите на върха на параболата x 0 = -b/2a; y 0 = y(x 0). 2) Построяваме още няколко точки, които принадлежат на параболата, като при конструирането можем да използваме симетриите на параболата спрямо правата x = -b/2a. 3) Свържете посочените точки с гладка линия. Пример. Начертайте графика на функцията b = x 2 + 2x - 3.Решения. Графиката на функцията е парабола, чиито клонове са насочени нагоре. Абсцисата на върха на параболата x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, нейните ординати y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. И така, върхът на параболата е точка (-1; -4). Нека съставим таблица със стойности за няколко точки, които са разположени вдясно от оста на симетрия на параболата - права линия x = -1. Функционални свойства.

Да разгледаме функцията y=k/y. Графиката на тази функция е линия, наречена в математиката хипербола. Общият изглед на хипербола е показан на фигурата по-долу. (Графиката показва функцията y е равно на k делено на x, за която k е равно на едно.)

Вижда се, че графиката се състои от две части. Тези части се наричат ​​клонове на хиперболата. Също така си струва да се отбележи, че всеки клон на хиперболата се приближава в една от посоките все по-близо до координатните оси. Координатните оси в този случай се наричат ​​асимптоти.

Като цяло, всички прави линии, към които графиката на функцията се приближава безкрайно, но не ги достига, се наричат ​​асимптоти. Хиперболата, подобно на параболата, има оси на симетрия. За хиперболата, показана на фигурата по-горе, това е правата y=x.

Сега нека разгледаме два често срещани случая на хипербола. Графиката на функцията y = k/x, за k ≠0, ще бъде хипербола, чиито клонове са разположени или в първия и третия координатен ъгъл, за k>0, или във втория и четвъртия координатен ъгъл, за к<0.

Основни свойства на функцията y = k/x, за k>0

Графика на функцията y = k/x, за k>0

5. y>0 при x>0; y6. Функцията намалява както на интервала (-∞;0), така и на интервала (0;+∞).

10. Диапазонът на стойностите на функцията е два отворени интервала (-∞;0) и (0;+∞).

Основни свойства на функцията y = k/x, за k<0

Графика на функцията y = k/x, при k<0

1. Точка (0;0) е центърът на симетрия на хиперболата.

2. Координатни оси – асимптоти на хиперболата.

4. Областта на дефиниране на функцията е всички x с изключение на x=0.

5. y>0 при x0.

6. Функцията расте както на интервала (-∞;0), така и на интервала (0;+∞).

7. Функцията не е ограничена нито отдолу, нито отгоре.

8. Функцията няма нито максимална, нито минимална стойност.

9. Функцията е непрекъсната на интервала (-∞;0) и на интервала (0;+∞). Има празнина при x=0.

“Критични точки на функция” - Критични точки. Сред критичните точки има точки на екстремум. Необходимо условие за екстремум. Отговор: 2. Определение. Но ако f" (x0) = 0, тогава не е необходимо точката x0 да бъде точка на екстремум. Точки на екстремум (повторение). Критични точки на функцията. Точки на екстремум.

“Координатна равнина 6 клас” - Математика 6 клас. 1. X. 1. Намерете и запишете координатите на точки A, B, C, D: -6. Координатна равнина. О. -3. 7. U.

“Функции и техните графики” - Непрекъснатост. Най-голямата и най-малката стойност на функция. Концепцията за обратна функция. Линеен. Логаритмичен. Монотонен. Ако k > 0, то образуваният ъгъл е остър, ако k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

“Функции 9 клас” - Валидни аритметични действия върху функции. [+] – събиране, [-] – изваждане, [*] – умножение, [:] – деление. В такива случаи говорим за графично уточняване на функцията. Образуване на клас елементарни функции. Степенна функция y=x0.5. Йовлев Максим Николаевич, ученик от 9 клас в РМОУ Радужская гимназия.

“Уравнение на допирателната” - 1. Изясняване на понятието допирателна към графиката на функция. Лайбниц разглежда проблема за начертаване на допирателна към произволна крива. АЛГОРИТЪМ ЗА РАЗРАБОТВАНЕ НА УРАВНЕНИЕ ЗА ДОПАТНА КЪМ ГРАФИКАТА НА ФУНКЦИЯТА y=f(x). Тема на урока: Тест: намерете производната на функция. Уравнение на тангенс. Флуксия. 10 клас. Дешифрирайте това, което Исак Нютон нарича производна функция.

“Постройте графика на функция” - Дадена е функцията y=3cosx. Графика на функцията y=m*sin x. Графика на функцията. Съдържание: Дадена е функцията: y=sin (x+?/2). Разтягане на графиката y=cosx по оста y. За да продължите, щракнете върху l. Бутон на мишката. Дадена е функцията y=cosx+1. Отмествания на графиката y=sinx вертикално. Дадена е функцията y=3sinx. Хоризонтално изместване на графиката y=cosx.

В темата има общо 25 презентации

Дефиниция на линейна функция

Нека въведем дефиницията на линейна функция

Определение

Функция от вида $y=kx+b$, където $k$ не е нула, се нарича линейна функция.

Графиката на линейна функция е права линия. Числото $k$ се нарича наклон на правата.

Когато $b=0$ линейната функция се нарича функция на права пропорционалност $y=kx$.

Разгледайте фигура 1.

Ориз. 1. Геометрично значение на наклона на линия

Да разгледаме триъгълника ABC. Виждаме, че $ВС=kx_0+b$. Да намерим пресечната точка на правата $y=kx+b$ с оста $Ox$:

\ \

Така че $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Нека намерим отношението на тези страни:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

От друга страна, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Така можем да направим следния извод:

Заключение

Геометричен смисъл на коефициента $k$. Ъгловият коефициент на правата линия $k$ е равен на тангенса на ъгъла на наклона на тази права линия спрямо оста $Ox$.

Изследване на линейната функция $f\left(x\right)=kx+b$ и нейната графика

Първо, разгледайте функцията $f\left(x\right)=kx+b$, където $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Следователно тази функция се увеличава в цялата област на дефиниция. Няма крайни точки.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Графика (фиг. 2).

Ориз. 2. Графики на функцията $y=kx+b$, за $k > 0$.

Сега разгледайте функцията $f\left(x\right)=kx$, където $k

1. Областта на дефиниция са всички числа.
2. Диапазонът от стойности е всички числа.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Функцията не е нито четна, нито нечетна.
4. За $x=0,f\left(0\right)=b$. Когато $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Пресечни точки с координатни оси: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Следователно функцията няма инфлексни точки.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Графика (фиг. 3).

Нека разгледаме проблема. Мотоциклетист, напуснал град А до понастоящемсе намира на 20 км от него. На какво разстояние s (km) от A ще бъде мотоциклетистът след t часа, ако се движи със скорост 40 km/h?

Очевидно за t часа мотоциклетистът ще измине 50t км. Следователно след t часа той ще бъде на разстояние (20 + 50t) km от A, т.е. s = 50t + 20, където t ≥ 0.

Всяка стойност на t съответства на една стойност на s.

Формулата s = 50t + 20, където t ≥ 0, дефинира функцията.

Нека разгледаме още един проблем. За изпращане на телеграма се начислява такса от 3 копейки за всяка дума и допълнително 10 копейки. Колко копейки (u) трябва да платите за изпращане на телеграма, съдържаща n думи?

Тъй като подателят трябва да плати 3n копейки за n думи, цената за изпращане на телеграма от n думи може да се намери с помощта на формулата u = 3n + 10, където n е всяко естествено число.

И в двете разглеждани задачи се сблъскахме с функции, които са дадени с формули от вида y = kx + l, където k и l са някои числа, а x и y са променливи.

Функция, която може да бъде определена с формула от вида y = kx + l, където k и l са някои числа, се нарича линейна.

Тъй като изразът kx + l има смисъл за всяко x, домейнът на дефиниция на линейна функция може да бъде множеството от всички числа или всяко негово подмножество.

Специален случай на линейна функция е обсъдената по-горе пряка пропорционалност. Спомнете си, че за l = 0 и k ≠ 0 формулата y = kx + l приема формата y = kx и тази формула, както е известно, за k ≠ 0 определя пряка пропорционалност.

Нека трябва да начертаем линейна функция f, дадена от формулата
y = 0,5x + 2.

Нека получим няколко съответстващи стойности на променливата y за някои стойности на x:

Нека маркираме точките с координатите, които получихме: (-6; -1), (-4; 0); (-2; 1), (0; 2), (2; 3), (4; 4); (6; 5), (8; 6).

Очевидно построените точки лежат на определена права. От това не следва, че графиката на тази функция е права линия.

За да разберете каква е формата на графиката на въпросната функция f, нека я сравним с познатата графика на правата пропорционалност x – y, където x = 0,5.

За всяко x стойността на израза 0,5x + 2 е по-голяма от съответната стойност на израза 0,5x с 2 единици. Следователно ординатата на всяка точка от графиката на функцията f е с 2 единици по-голяма от съответната ордината на графиката на правата пропорционалност.

Следователно графиката на въпросната функция f може да бъде получена от графиката на пряката пропорционалност чрез паралелно преместване с 2 единици в посоката на оста y.

Тъй като графиката на пряката пропорционалност е права линия, тогава графиката на разглежданата линейна функция f също е права линия.

Като цяло графиката на функция, дадена с формула от вида y = kx + l, е права линия.

Знаем, че за да се построи права е достатъчно да се определи положението на двете й точки.

Нека, например, трябва да начертаете функция, която е дадена от формулата
y = 1,5x – 3.

Да вземем две произволни стойности на x, например x 1 = 0 и x 2 = 4. Изчислете съответните стойности на функцията y 1 = -3, y 2 = 3, конструирайте точки A (-3; 0) и B (4; 3) и начертайте права линия през тези точки. Тази права линия е желаната графика.

Ако областта на дефиниция на линейна функция не е напълно представена числа, тогава неговата графика ще бъде подмножество от точки на права (например лъч, сегмент, набор от отделни точки).

Местоположението на графиката на функцията, определена от формулата y = kx + l, зависи от стойностите на l и k. По-специално, ъгълът на наклон на графиката на линейна функция към оста x зависи от коефициента k. Ако k е положително число, тогава този ъгъл е остър; ако k е отрицателно число, тогава ъгълът е тъп. Числото k се нарича наклон на правата.

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.