Нарастване, намаляване и екстремуми на функция

Намирането на интервалите на нарастване, намаляване и екстремуми на функция е както независима задача, така и съществена част от други задачи, по-специално, пълно функционално изследване. Първоначалната информация за нарастването, намаляването и екстремумите на функцията е дадена в теоретична глава за производната, което силно препоръчвам за предварително проучване (или повторение)– и поради причината, че следващият материал е базиран на самия по същество производно,като хармонично продължение на тази статия. Въпреки че, ако времето е малко, тогава е възможно и чисто формално практикуване на примери от днешния урок.

И днес във въздуха витае дух на рядко срещано единомислие и директно усещам, че всички присъстващи горят от желание научете се да изследвате функция, използвайки нейната производна. Следователно разумна, добра, вечна терминология веднага се появява на екраните на вашите монитори.

За какво? Една от причините е най-практичната: така че да е ясно какво обикновено се изисква от вас в конкретна задача!

Монотонност на функцията. Точки на екстремум и екстремуми на функция

Нека разгледаме някаква функция. Казано по-просто, предполагаме, че тя непрекъснатона цялата числова ос:

За всеки случай, нека веднага да се отървем от възможните илюзии, особено за онези читатели, които наскоро са се запознали с интервали с постоянен знак на функцията. Сега ние НЕ СЕ ИНТЕРЕСУВАМ, как е разположена графиката на функцията спрямо оста (горе, долу, където се пресича оста). За да сте убедителни, мислено изтрийте осите и оставете една графика. Защото там е интересът.

функция се увеличавана интервал, ако за всеки две точки от този интервал, свързани с отношението , неравенството е вярно. Тоест по-голямата стойност на аргумента съответства на по-голяма стойност на функцията и нейната графика върви „отдолу нагоре“. Демонстрационната функция нараства през интервала.

По същия начин функцията намалявана интервал, ако за всеки две точки от даден интервал, така че , Неравенството е вярно. Тоест, по-голямата стойност на аргумента съответства на по-малка стойност на функцията, а нейната графика върви „отгоре надолу“. Нашата функция намалява на интервали .

Ако дадена функция нараства или намалява през интервал, тогава тя се извиква строго монотоненна този интервал. Какво е монотонност? Приемете го буквално – монотонност.

Можете също така да определите ненамаляващфункция (спокойно състояние в първата дефиниция) и ненарастващфункция (смекчено условие във 2-ро определение). Ненамаляваща или ненарастваща функция на интервал се нарича монотонна функция на даден интервал (строгата монотонност е специален случай на „обикновена“ монотонност).

Теорията разглежда и други подходи за определяне на нарастването/намаляването на функция, включително на полуинтервали, сегменти, но за да не излеем масло-масло-масло върху главата ви, ще се съгласим да оперираме с отворени интервали с категорични определения - това е по-ясно и напълно достатъчно за решаване на много практически проблеми.

По този начин, в моите статии формулировката „монотонност на функция“ почти винаги ще бъде скрита интервалистрога монотонност(стриктно нарастваща или строго намаляваща функция).

Околност на точка. Думи, след които учениците бягат накъдето могат и се крият ужасени по ъглите. ...Макар и след пост Граници на КошиВероятно вече не се крият, а само леко потръпват =) Не се притеснявайте, сега няма да има доказателства за теоремите на математическия анализ - имах нужда от обкръжението, за да формулирам дефинициите по-стриктно екстремни точки. Да си припомним:

Околност на точкасе нарича интервал, който съдържа дадена точка, като за удобство интервалът често се приема за симетричен. Например точка и нейния стандартен квартал:

Всъщност дефинициите:

Точката се нарича строга максимална точка, Ако съществуванейния квартал, за всичкистойности на които, с изключение на самата точка, неравенството . В нашия конкретен пример това е точка.

Точката се нарича строга минимална точка, Ако съществуванейния квартал, за всичкистойности на които, с изключение на самата точка, неравенството . На чертежа има точка "а".

Забележка : изискването за симетрия на квартала изобщо не е необходимо. Освен това е важно самия факт на съществуванеквартал (независимо дали е малък или микроскопичен), който отговаря на определените условия

Точките се наричат строго екстремни точкиили просто екстремни точкифункции. Тоест, това е обобщен термин за максимални точки и минимални точки.

Как разбираме думата „екстремно“? Да, също толкова директно, колкото монотонността. Крайни точки на влакчета.

Както в случая с монотонността, съществуват свободни постулати, които са дори по-често срещани на теория (което, разбира се, попада в разглежданите строги случаи!):

Точката се нарича максимална точка, Ако съществуваобкръжението му е такова, че за всички
Точката се нарича минимална точка, Ако съществуваобкръжението му е такова, че за всичкистойности на този квартал, неравенството е в сила.

Обърнете внимание, че според последните две дефиниции, всяка точка на постоянна функция (или „плоско сечение“ на функция) се счита както за максимална, така и за минимална точка! Функцията, между другото, е както ненарастваща, така и ненамаляваща, тоест монотонна. Ние обаче ще оставим тези съображения на теоретиците, тъй като на практика почти винаги съзерцаваме традиционните „хълмове“ и „кухини“ (вижте чертежа) с уникален „цар на планината“ или „принцеса на блатото“. Като разновидност се среща бакшиш, насочен нагоре или надолу, например минимумът на функцията в точката.

О, и като говорим за кралски особи:
– смисълът се нарича максимумфункции;
– смисълът се нарича минимумфункции.

Често срещано име - крайностифункции.

Моля, внимавайте с думите си!

Екстремни точки– това са стойности „X“.
Крайности– значения на „игра“.

! Забележка : понякога изброените термини се отнасят до точките „X-Y“, които лежат директно върху ГРАФИКАТА НА САМАТА функция.

Колко екстремума може да има една функция?

Няма, 1, 2, 3, ... и т.н. до безкрайност. Например синусът има безкрайно много минимуми и максимуми.

ВАЖНО!Терминът "максимална функция" не е идентичентерминът „максимална стойност на функция“. Лесно се забелязва, че стойността е максимална само в местния квартал, а в горния ляв ъгъл има „по-готини другари“. По същия начин „минимум на функция“ не е същото като „минимална стойност на функция“ и на чертежа виждаме, че стойността е минимална само в определена област. В тази връзка се наричат ​​и екстремни точки локални екстремни точки, а екстремумите – локални крайности. Те ходят и се скитат наблизо и глобаленбратя. И така, всяка парабола има връх глобален минимумили глобален максимум. Освен това няма да правя разлика между видовете крайности и обяснението е изразено по-скоро за общообразователни цели - допълнителните прилагателни „местен“/„глобален“ не трябва да ви изненадват.

Нека обобщим нашата кратка екскурзия в теорията с тестова снимка: какво означава задачата „намерете интервалите на монотонност и точките на екстремум на функцията“?

Формулировката ви насърчава да намерите:

– интервали на нарастваща/намаляваща функция (ненамаляваща, ненарастваща се появява много по-рядко);

– максимални и/или минимални точки (ако има такива). Е, за да избегнете провал, по-добре е сами да намерите минимумите/максимумите ;-)

Как да определим всичко това?Използване на производната функция!

Как да намерите интервали на нарастване, намаляване,
точки на екстремум и екстремуми на функцията?

Много правила всъщност вече са известни и разбрани урок за значението на производната.

Тангенсна производна носи радостната новина, че функцията се увеличава навсякъде област на дефиниция.

С котангенс и неговата производна положението е точно обратното.

Арксинусът нараства през интервала - производната тук е положителна: .
Когато функцията е дефинирана, но недиференцируема. В критичната точка обаче има дясна производна и дясна допирателна, а на другия ръб има техните леви двойници.

Мисля, че няма да ви е много трудно да направите подобно разсъждение за аркосинуса и неговата производна.

Всички горепосочени случаи, много от които са таблични производни, напомням ви, следват директно от производни определения.

Защо да изследваме функция, използвайки нейната производна?

За да разберете по-добре как изглежда графиката на тази функция: къде върви „отдолу нагоре“, къде „отгоре надолу“, къде достига минимуми и максимуми (ако изобщо достига). Не всички функции са толкова прости - в повечето случаи нямаме никаква представа за графиката на определена функция.

Време е да преминем към по-смислени примери и да помислим алгоритъм за намиране на интервали на монотонност и екстремуми на функция:

Пример 1

Намерете интервали на нарастване/намаляване и екстремуми на функцията

Решение:

1) Първата стъпка е да намерите област на функция, а също така вземете под внимание точките на прекъсване (ако съществуват). В този случай функцията е непрекъсната на цялата числова ос и това действие е до известна степен формално. Но в редица случаи тук пламват сериозни страсти, така че нека се отнасяме към параграфа без пренебрежение.

2) Втората точка от алгоритъма се дължи на

необходимо условие за екстремум:

Ако има екстремум в точка, тогава или стойността не съществува.

Объркани сте от края? Екстремум на функцията “модул x”. .

Условието е необходимо, но не достатъчно, а обратното не винаги е вярно. Така че от равенството все още не следва, че функцията достига максимум или минимум в точка . Класически пример вече беше подчертан по-горе - това е кубична парабола и нейната критична точка.

Но както и да е, необходимото условие за екстремум диктува необходимостта от намиране на подозрителни точки. За да направите това, намерете производната и решете уравнението:

В началото на първата статия относно функционалните графикиКазах ви как бързо да изградите парабола, използвайки пример : “...взимаме първата производна и я приравняваме на нула: ...И така, решението на нашето уравнение: - именно в тази точка се намира върхът на параболата...”. Сега мисля, че всеки разбира защо върхът на параболата се намира точно в тази точка =) Като цяло трябва да започнем с подобен пример тук, но е твърде прост (дори за чайник). Освен това има аналог в самия край на урока за производна на функция. Затова нека увеличим градуса:

Пример 2

Намерете интервали на монотонност и екстремуми на функцията

Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и приблизителен окончателен образец на задачата в края на урока.

Дългосрочният план дойде този моментсрещи с дробни рационални функции:

Пример 3

Изследвайте функция, използвайки първата производна

Обърнете внимание колко променливо може да се преформулира една и съща задача.

Решение:

1) Функцията страда от безкрайни прекъсвания в точки.

2) Откриваме критични точки. Нека намерим първата производна и я приравним към нула:

Нека решим уравнението. Една дроб е нула, когато нейният числител е нула:

Така получаваме три критични точки:

3) Начертаваме ВСИЧКИ открити точки на числовата ос и интервален методдефинираме знаците на ПРОИЗВОДНАТА:

Напомням ви, че трябва да вземете някаква точка от интервала и да изчислите стойността на производната в нея и определете неговия знак. По-изгодно е дори да не броите, а да „оценявате“ устно. Да вземем, например, точка, принадлежаща на интервала, и да извършим заместването: .

Следователно два „плюса“ и един „минус“ дават „минус“, което означава, че производната е отрицателна през целия интервал.

Действието, както разбирате, трябва да се извърши за всеки от шестте интервала. Между другото, имайте предвид, че числителят и знаменателят са строго положителни за всяка точка във всеки интервал, което значително опростява задачата.

И така, производната ни каза, че САМАТА ФУНКЦИЯ се увеличава с и намалява с . Удобно е да свързвате интервали от същия тип с иконата за присъединяване.

В момента функцията достига своя максимум:
В момента функцията достига минимум:

Помислете защо не трябва да преизчислявате втората стойност ;-)

При преминаване през точка производната не променя знака, така че функцията там НЯМА ЕКСТРЕМУМ - хем намаляваше, хем оставаше намаляваща.

! Нека повторим важна точка: точките не се считат за критични - те съдържат функция неопределен. Съответно тук По принцип не може да има крайности(дори ако производната промени знака).

Отговор: функцията се увеличава с и намалява с В точката, в която е достигнат максимумът на функцията: , а в точката – минимумът: .

Познаване на интервали на монотонност и екстремуми, съчетани с установени асимптотивече дава много добра представа за външния вид на функционалната графика. Човек със средно образование е в състояние да определи устно, че графиката на функция има две вертикални асимптоти и една наклонена асимптота. Ето го нашия герой:

Опитайте отново да свържете резултатите от изследването с графиката на тази функция.
В критичната точка няма екстремум, но има инфлексия на графиката(което по правило се случва в подобни случаи).

Пример 4

Намерете екстремумите на функцията

Пример 5

Намерете интервали на монотонност, максимуми и минимуми на функцията

…това е почти като някакъв празник „X в куб“ днес....
Тааааа, кой от галерията предложи да пие за това? =)

Всяка задача има своите съществени нюанси и технически тънкости, които се коментират в края на урока.

„Нарастваща и намаляваща функция“

Цели на урока:

1. Научете се да намирате периоди на монотонност.

2. Развитие на мисловни способности, които осигуряват анализ на ситуацията и разработване на адекватни методи на действие (анализ, синтез, сравнение).

3. Формиране на интерес към предмета.

По време на часовете

Днес продължаваме да изучаваме приложението на производната и да разгледаме въпроса за нейното приложение при изучаването на функциите. Предна работа

Сега нека дадем някои дефиниции на свойствата на функцията „Мозъчна атака“.

1. Какво се нарича функция?

2. Какво е името на променливата X?

3. Какво е името на променливата Y?

4. Какво представлява домейнът на функция?

5. Какъв е наборът от стойности на функция?

6. Коя функция се нарича четна?

7. Коя функция се нарича нечетна?

8. Какво можете да кажете за графиката на четна функция?

9. Какво можете да кажете за графиката на нечетна функция?

10. Коя функция се нарича нарастваща?

11. Коя функция се нарича намаляваща?

12. Коя функция се нарича периодична?

Математиката е изследване на математически модели. Един от най-важните математически модели е функцията. Има различни начини за описание на функциите. Кое е най-очевидното?

– Графичен.

– Как да изградим графика?

- Точка по точка.

Този метод е подходящ, ако знаете предварително как приблизително изглежда графиката. Например, каква е графиката на квадратична функция, линейна функция, обратна пропорционалност или y = sinx? (Демонстрират се съответните формули, учениците назовават кривите, които са графики.)

Но какво ще стане, ако трябва да начертаете графика на функция или дори по-сложна? Можете да намерите множество точки, но как се държи функцията между тези точки?

Поставете две точки на дъската и помолете учениците да покажат как може да изглежда графиката „между тях“:

Неговата производна ви помага да разберете как се държи дадена функция.

Отворете си тетрадките, запишете номера, страхотна работа.

Целта на урока: научете как графиката на функция е свързана с графиката на нейната производна и се научете да решавате два вида задачи:

1. Използвайки графиката на производната, намерете интервалите на нарастване и намаляване на самата функция, както и екстремалните точки на функцията;

2. Използвайки схемата на знаците за производни на интервали, намерете интервалите на нарастване и намаляване на самата функция, както и екстремалните точки на функцията.

Подобни задачи ги няма в нашите учебници, но ги има в тестовете на единния държавен изпит (част А и Б).

Днес в урока ще разгледаме малък елемент от работата на втория етап от изучаването на процеса, изследването на едно от свойствата на функцията - определяне на интервалите на монотонност

За да разрешим този проблем, трябва да си припомним някои въпроси, обсъдени по-рано.

И така, нека запишем темата на днешния урок: Признаци на нарастващи и намаляващи функции.

Признаци на нарастваща и намаляваща функция:

Ако производната на дадена функция е положителна за всички стойности на x в интервала (a; b), т.е. f"(x) > 0, тогава функцията нараства в този интервал.
Ако производната на дадена функция е отрицателна за всички стойности на x в интервала (a; b), т.е. f"(x)< 0, то функция в этом интервале убывает

Редът за намиране на интервали на монотонност:

Намерете областта на дефиниция на функцията.

1. Намерете първата производна на функцията.

2. решете сами на дъската

Намерете критичните точки, изследвайте знака на първата производна в интервалите, на които намерените критични точки разделят областта на дефиниране на функцията. Намерете интервали на монотонност на функциите:

а) област на дефиниция,

б) намерете първата производна:

в) намерете критичните точки: ; , И

3. Нека разгледаме знака на производната в получените интервали и да представим решението под формата на таблица.

точка към екстремни точки

Нека да разгледаме няколко примера за изучаване на функции за нарастване и намаляване.

Достатъчно условие за наличие на максимум е смяната на знака на производната при преминаване през критичната точка от “+” на “-”, а на минимум от “-” на “+”. Ако при преминаване през критичната точка знакът на производната не се променя, тогава в тази точка няма екстремум

1. Намерете D(f).

2. Намерете f"(x).

3. Намерете стационарни точки, т.е. точки, където f"(x) = 0 или f"(x) не съществува.
(Производната е 0 при нулите на числителя, производната не съществува при нулите на знаменателя)

4. Поставете D(f) и тези точки върху координатната права.

5. Определете знаците на производната на всеки от интервалите

6. Нанесете знаци.

7. Запишете отговора.

Консолидиране на нов материал.

Учениците работят по двойки и записват решението в тетрадките си.

а) y = x³ - 6 x² + 9 x - 9;

б) y = 3 x² - 5x + 4.

Двама души работят на дъската.

а) y = 2 x³ – 3 x² – 36 x + 40

б) y = x4-2 x³

3. Обобщение на урока

Домашна работа: тест (диференциран)

Въз основа на достатъчно признаци се откриват интервали на нарастваща и намаляваща функция.

Ето текстовете на знаците:

• ако производната на функцията y = f(x)положително за всеки хот интервала х, тогава функцията нараства с х;
• ако производната на функцията y = f(x)отрицателно за всеки хот интервала х, тогава функцията намалява с х.

По този начин, за да се определят интервалите на нарастване и намаляване на функция, е необходимо:

• намерете областта на дефиниция на функция;

• намиране на производната на функция;

• към получените интервали добавете гранични точки, в които функцията е дефинирана и непрекъсната.

Нека разгледаме пример, за да обясним алгоритъма.

Пример.

Намерете интервалите на нарастващи и намаляващи функции.

Решение.

Първата стъпка е да намерите дефиницията на функцията. В нашия пример изразът в знаменателя не трябва да отива на нула, следователно, .

Нека да преминем към производната функция:

За да определим интервалите на нарастване и намаляване на функция въз основа на достатъчен критерий, ние решаваме неравенствата И в областта на дефиницията. Нека използваме обобщение на интервалния метод. Единственият истински корен на числителя е х = 2, а знаменателят отива на нула при х = 0. Тези точки разделят дефиниционната област на интервали, в които производната на функцията запазва своя знак. Нека отбележим тези точки на числовата ос. Условно означаваме с плюсове и минуси интервалите, при които производната е положителна или отрицателна. Стрелките по-долу схематично показват нарастването или намаляването на функцията на съответния интервал.

По този начин, И .

В точката х = 2функцията е дефинирана и непрекъсната, така че трябва да се добави както към нарастващия, така и към намаляващия интервал. В точката х = 0функцията не е дефинирана, така че не включваме тази точка в необходимите интервали.

Представяме графика на функцията, за да сравним резултатите, получени с нея.

Отговор:функцията се увеличава с , намалява на интервала (0; 2] .

- Точки на екстремум на функция на една променлива. Достатъчни условия за екстремум

Нека функцията f(x), определена и непрекъсната в интервала, не е монотонна в него. Има части [ , ] от интервала, в които най-голямата и най-малката стойност се постигат от функцията във вътрешната точка, т.е. между и.

За функция f(x) се казва, че има максимум (или минимум) в дадена точка, ако тази точка може да бъде заобиколена от такова съседство (x 0 - ,x 0 +), съдържащо се в интервала, където функцията е дадена, че неравенството важи за всички свои точки.

f(x)< f(x 0)(или f(x)>f(x 0))

С други думи, точката x 0 дава на функцията f(x) максимум (минимум), ако стойността f(x 0) се окаже най-голямата (най-малката) от стойностите, приети от функцията в някои (поне малка) околност на тази точка. Обърнете внимание, че самата дефиниция на максимум (минимум) предполага, че функцията е зададена от двете страни на точката x 0.

Ако има квартал, в който (при x=x 0) строгото неравенство

f(x) f(x 0)

тогава те казват, че функцията има собствен максимум (минимум) в точката x 0, в противен случай има неправилен.

Ако една функция има максимуми в точки x 0 и x 1, тогава, прилагайки втората теорема на Вайерщрас към интервала, виждаме, че функцията достига най-малката си стойност в този интервал в някаква точка x 2 между x 0 и x 1 и има a минимум там. По същия начин между два минимума със сигурност ще има максимум. В най-простия (и на практика най-важния) случай, когато една функция обикновено има само краен брой максимуми и минимуми, те просто се редуват.

Имайте предвид, че за обозначаване на максимум или минимум има и термин, който ги обединява - екстремум.

Концепциите за максимум (max f(x)) и минимум (min f(x)) са локални свойства на функцията и се извършват в определена точка x 0. Концепциите за най-големи (sup f(x)) и най-малки (inf f(x)) стойности се отнасят до краен сегмент и са глобални свойства на функция в сегмент.

От фигура 1 се вижда, че в точките x 1 и x 3 има локални максимуми, а в точките x 2 и x 4 има локални минимуми. Функцията обаче достига минималната си стойност в точка x=a, а максималната си стойност в точка x=b.

Нека поставим проблема за намиране на всички стойности на аргумента, които дават на функцията екстремум. При решаването му основна роля ще играе производната.

Нека първо приемем, че функцията f(x) има крайна производна в интервала (a,b). Ако в точката x 0 функцията има екстремум, тогава, прилагайки теоремата на Ферма към интервала (x 0 - , x 0 +), обсъден по-горе, заключаваме, че f (x) = 0 това е необходимото условие за екстремума . Екстремумът трябва да се търси само в тези точки, където производната е равна на нула.

Не бива обаче да се мисли, че всяка точка, в която производната е равна на нула, дава на функцията екстремум: току-що посоченото необходимо условие не е достатъчно

Нарастващи и намаляващи функции

функция г = f(х) се нарича нарастване на интервала [ а, b], ако за всяка двойка точки хИ Х", a ≤ x неравенството е в сила f(х) ≤ f (х"), и строго нарастващо - ако неравенството f (х) е(х"). Намаляващите и строго намаляващите функции се дефинират по подобен начин. Например функцията при = х 2 (ориз. , а) строго нараства на сегмента , и

(ориз. , b) строго намалява на този сегмент. Означени са нарастващи функции f (х), и намалява f (х)↓. За да има диференцируема функция f (х) се увеличава в сегмента [ А, b], е необходимо и достатъчно неговата производна f"(х) беше неотрицателен на [ А, b].

Наред с нарастването и намаляването на функция върху отсечка, разглеждаме нарастването и намаляването на функция в точка. функция при = f (х) се нарича нарастване в точката х 0, ако има интервал (α, β), съдържащ точката х 0, което за всяка точка хот (α, β), x> х 0 , неравенството е в сила f (х 0) ≤ f (х), и за всяка точка хот (α, β), x 0 , неравенството е в сила f (х) ≤ f (х 0). Строгото нарастване на функция в точката се определя по подобен начин х 0 . Ако f"(х 0) > 0, тогава функцията f(х) строго нараства в точката х 0 . Ако f (х) нараства във всяка точка от интервала ( а, b), тогава той се увеличава през този интервал.

С. Б. Стечкин.

Велика съветска енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. 1969-1978 .

Вижте какво представляват „увеличаващи и намаляващи функции“ в други речници:

Концепции на математическия анализ. Функцията f(x) се нарича съотношението на броя на различните възрастови групи от населението, което нараства върху сегмента ВЪЗРАСТОВА СТРУКТУРА НА НАСЕЛЕНИЕТО. Зависи от раждаемостта и смъртността, продължителността на живота на хората... Голям енциклопедичен речник

Концепции на математическия анализ. Казва се, че функция f(x) нараства върху сегмента, ако за всяка двойка точки x1 и x2, a≤x1 ... енциклопедичен речник

Концепции на математиката. анализ. Извиква се функция f(x). нарастващ върху сегмента [a, b], ако за всяка двойка точки x1 и x2, и<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)Естествени науки. енциклопедичен речник

Клон от математиката, който изучава производни и диференциали на функции и техните приложения за изучаване на функции. Дизайн на D. и. в независима математическа дисциплина се свързва с имената на И. Нютон и Г. Лайбниц (втората половина на 17 ... Велика съветска енциклопедия

Клон от математиката, в който се изучават понятията за производна и диференциал и как се прилагат за изучаване на функции. Развитие на D. и. тясно свързано с развитието на интегралното смятане. Тяхното съдържание също е неделимо. Заедно те формират основата... ... Математическа енциклопедия

Този термин има и други значения, вижте функция. Заявката "Показване" се пренасочва тук; вижте и други значения... Wikipedia

Аристотел и перипатетиците- Въпросът на Аристотел Животът на Аристотел Аристотел е роден през 384/383 г. пр.н.е д. в Стагира, на границата с Македония. Баща му, на име Никомах, бил лекар на служба на македонския цар Аминта, баща на Филип. Заедно със семейството си младият Аристотел... ... Западната философия от нейния произход до наши дни

- (QCD), квантова полева теория за силното взаимодействие на кварки и глуони, изградена по образа на кванта. електродинамика (QED), базирана на "цветна" калибровъчна симетрия. За разлика от QED, фермионите в QCD имат допълващи се свойства. степен на свобода квант. номер,…… Физическа енциклопедия

I Сърце Сърцето (на латински cor, на гръцки cardia) е кух фибромускулен орган, който, функционирайки като помпа, осигурява движението на кръвта в кръвоносната система. Анатомия Сърцето се намира в предния медиастинум (Mediastinum) в перикарда между... ... Медицинска енциклопедия

Животът на растението, както на всеки друг жив организъм, е сложен набор от взаимосвързани процеси; Най-важният от тях, както е известно, е обменът на вещества с околната среда. Околната среда е източникът, от който... ... Биологична енциклопедия

1. Намерете домейна на функцията

2. Намерете производната на функцията

3. Приравнете производната на нула и намерете критичните точки на функцията

4. Маркирайте критични точки върху дефиниционната зона

5. Изчислете знака на производната във всеки от получените интервали

6. Намерете поведението на функцията във всеки интервал.

Пример: Намерете интервалите на нарастваща и намаляваща функцияf(х) = и броя на нулите на тази функция на интервала .

Решение:

1.D( f) = R

2. f"(х) =

Д( f") = D( f) = R

3. Намерете критичните точки на функцията чрез решаване на уравнението f"(х) = 0.

х(х – 10) = 0

критични точки на функция х= 0 и х = 10.

4. Да определим знака на производната.

f"(х) + – +

f(х) 0 10х

в интервалите (-∞; 0) и (10; +∞) производната на функцията е положителна и в точките х= 0 и x = 10 функция f(х) е непрекъсната, следователно тази функция нараства на интервалите: (-∞; 0]; .

Нека определим знака на стойностите на функцията в краищата на сегмента.

f(0) = 3, f(0) > 0

f(10) = , f(10) < 0.

Тъй като функцията намалява на сегмента и знакът на стойностите на функцията се променя, тогава има една нула на функцията на този сегмент.

Отговор: функцията f(x) нараства на интервалите: (-∞; 0]; ;

на интервала функцията има една функция нула.

2. Точки на екстремум на функцията: точки максимум и точки минимум. Необходими и достатъчни условия за съществуване на екстремум на функция. Правило за изследване на функция за екстремум .

Определение 1:Точките, в които производната е равна на нула, се наричат ​​критични или стационарни.

Определение 2. Точка се нарича минимална (максимална) точка на функция, ако стойността на функцията в тази точка е по-малка (по-голяма от) най-близките стойности на функцията.

Трябва да се има предвид, че максимумът и минимумът в този случай са локални.

На фиг. 1. Показани са локални максимуми и минимуми.

Максимумът и минимумът на функцията се обединяват от общо име: екстремум на функцията.

Теорема 1.(необходим признак за съществуването на екстремум на функция). Ако функция, диференцируема в дадена точка, има максимум или минимум в тази точка, тогава нейната производна в точка се равнява на нула, .

Теорема 2.(достатъчен признак за съществуването на екстремум на функцията). Ако непрекъсната функция има производна във всички точки на някакъв интервал, съдържащ критична точка (с възможно изключение на самата тази точка), и ако производната, когато аргументът преминава отляво надясно през критичната точка, променя знака от плюс на минус, тогава функцията в тази точка има максимум, а когато знакът се променя от минус на плюс, има минимум.