Практическо ръководство за обучение. „силата на триене може да бъде пренебрегната“ Сега нека разберем как това ще повлияе на решението на проблема

Ето как виждам израза на основния принцип, който винаги е осигурявал на човечеството огромна скорост, с която то спокойно и свободно се втурва към знака "Спри се!". Този принцип може да се изрази, разбира се, по друг начин: " нека вземем обект "А" като точка" или " тридесет процента от гласовете за други идеи могат да бъдат пренебрегнати". Може да се пренебрегне нещо, ако само това нещони пречи да отговорим еднозначно на въпросите, които ни интересуват. И има много такива въпроси, които ни интересуват от много, много години и ако не можем да получим недвусмислен отговор на тях, тогава просто манипулираме данните, така че все пак да получим недвусмислен отговор. Манипулирането на данни най-често става чрез опростяване на системата; пренебрегваме някои данни и получаваме определен резултат. Ето защо възниква следващият въпрос. Защо и въз основа на какви съображения пренебрегнахме тези данни? Може би просто се опитваме да настроим условията на проблема към предварително очакван резултат? Защо се преструваме, че данните, които пренебрегваме, не съществуват в природата и не влияят на нищо?

"Разбира се, че влияят, - ще ви каже всеки математик или физик, - но тяхното влияние е абсолютно незначително. И ние вземаме предвид дори това незначително влияние, ако изведнъж искаме да го вземем предвид, използвайки такова понятие като грешка". (много интересна дума, между другото). Но дори от математиката е известно, че грешката расте с увеличаването на броя на извършените действия, което предполага пренебрегване на някои данни. ( Ако, например, умножим две числа, които са закръглени до седем правилни знака след десетичната запетая, ще получим число, което вече няма да съдържа седем правилни знака след десетичната запетая. Тези. грешката нараства.) Тук има неотчетен, малък фактор, ние също ще го пренебрегнем и така нататък много, много пъти. И в крайна сметка получаваме не само неточен резултат; той вече ще съдържа неприемлива неточност от гледна точка на използването на този резултат за решаване на много други проблеми. Но такива резултати често са широко приети и рядко някой забелязва, че неточността е неприемливо голяма. Веднага му се дава пример, за който използването на неточен резултат не създава проблеми. Поне така изглежда на пръв поглед. Когато се появи грешка и това може да се случи след решаването на няколко уравнения, произтичащи от предишната логика, или може да се случи след няколкостотин години, ще трябва да се върнем назад през изчисления и парадигми, докато не видим неприемливо опростяване на някакъв етап.

Затова не напразно казват " дяволът е в детайлите„и е напълно възможно да не е напразно думата "грешка"има ясна индикация за нещо неблагодарно. Правим нещо лошо, нали?

Сега погледнете обема на текста, който просто описва умелите обрати и трикове, които човечеството използва в опит да отговори на въпросите, които го интересуват. В края на краищата имаше възможност да правите нещата по различен начин и да не се опитвате да изкривявате заобикалящата реалност чрез жонглиране с данни и да не се опитвате да търсите отговори на всички въпроси. Човек може просто да разбере и да се примири с факта, че не ни е дадена възможност да знаем отговора на някои въпроси, дори само защото човек все още не се е научил да ги формулира правилно. Най-накрая беше възможно да се примирим с факта, че светът е много по-сложен от нашите схематични представи за него. Човек вече би могъл да се примири с факта, че техногенният свят, който създадохме, се основава на опростявания и следователно очевидно е по-прост като структура и следователно не е идеален и това може да бъде простено. И това също може да ни бъде простено. Човек най-накрая би могъл да се примири с факта, че по-малкото не е в състояние да познае по-голямото, че една по-малко сложно структурирана система не е способна да познае по-сложно структурирана. И човек може просто да живее, обичайки този свят такъв, какъвто е. И обичайте себе си в този свят и като цяло всичко, което е на този свят. И има такива хора, повярвайте ми =). Но има и такива, които не искат да обичат - те искат да изследват, а обектът на изследване междувременно не бърза да напусне категорията." недостатъчно проучени" И " не ходи при баба"ще остане непознат за хората много, много дълго време. Като цяло хората са различни.

Процесът, описан в проблема, може да бъде разделен на два етапа:

1) куршумът удря тялото, придавайки му определена скорост;

2) имайки тази начална скорост, тялото се отклонява върху нишките под определен ъгъл.

На първия етап възниква нееластично взаимодействие на телата. В този случай в системата (тяло + куршум) действат неконсервативни сили (силата на триене или съпротивлението на движението на куршума в тялото) и част от енергията на куршума се превръща в топлина. При тези условия законът за запазване на механичната енергия не е изпълнен, така че ще използваме само закона за запазване на импулса. На този етап трябва да се поддържа хоризонталната проекция на импулса, откъдето може да се намери първоначалният импулс на тялото, след като куршумът го удари.

На втория етап няма неконсервативни сили. Затова прилагаме закона за запазване на енергията, свързвайки ъгъла на отклонение на нишките с изменението на енергията на тялото в гравитационното поле. От тук намираме необходимата скорост.

Нека изберем инерциална отправна система, свързана със земната повърхност. Нека насочим оста по посока на движението на куршума, а оста вертикално нагоре. Нека запишем закона за запазване на импулса в проекцията върху оста за сблъсък на тела:

където е скоростта на тялото непосредствено след сблъсъка. Пренебрегваме масата на куршума, защото по условие. За втория етап записваме закона за запазване на енергията във формата

,(2)

където е височината на повдигане на тялото. Кинетичната енергия на тялото в началото на етапа е равна на потенциалната енергия в гравитационното поле в края. От фигурата, която намираме , където

Енергия, работа, сила. Закони за запазване в механиката.

Гравитационно поле. Движение в полето на централните сили.

Елементи на специалната теория на относителността.

2.1. Примери за решаване на проблеми

1. Шейна, движеща се по хоризонтален лед със скорост v = 2 m/s, влиза в асфалта (фиг. 2.1). Ако приемем, че дължината на шейната е ℓ=0,8 m, а техният коефициент на триене върху асфалта е μ=0,2, определете пътя S, изминат от шейната върху асфалта, ако е известно, че S>ℓ. Считайте, че масата на шейната е равномерно разпределена по дължината на пътеките. Пренебрегнете триенето на шейната върху леда.

Решение. Когато шейната влезе в асфалта, има постепенно увеличаване на силата на натиск N на бегачите върху асфалта от нула до максимална стойност, равна на гравитационната сила mg на шейната. В тази връзка се увеличава и силата на триене
, действайки върху шейната от страната на асфалта.

Тъй като шейната се движи под въздействието на променлива сила, ще използваме понятията работа и енергия, за да решим задачата. Работата на силата на триене, действаща върху шейната, се определя от промяната на нейната кинетична енергия от
toW 2 =0. След това въз основа на връзката

може да се запише

. (1)

От друга страна, работата A tr може да се изчисли с помощта на формулата

,

където F tr – сила на триене;

α е ъгълът между посоката на движение и посоката на действащата сила. В разглеждания случай α=180 0.

За да направим това, ще разделим целия път S, изминат от шейната, на две секции S=ℓ+S ". По пътя ℓ върху шейната действа променлива сила на триене
. Нека намерим работата A 1, извършена от него. Нека шейните вече са покрили пътя x на асфалта (фиг. 2.1), тогава силата на натиск на бегачите върху асфалта е равна на

,

сила на триене

,

и работата на тази сила по пътя ℓ

. (2)

Интегралът се взема със знака „ минус"защото стойностите Ftr и dx имат противоположни знаци. По пътя S "силата на триене е постоянна и равна на μmg и следователно извършената от нея работа

.

Обща работа, извършена от силата на триене

. (3)

Приравнявайки десните части на равенства (1) и (3) и намалявайки по маса, намираме

.

Така целият път, покрит от шейната:

. (4)

м.

Отговор:С=1,42 м.

2. Тежест, поставена в горния край на спирална пружина, я притиска с x 0 = 1,0 mm. Колко ще се компресира пружината от същата тежест, хвърлена вертикално надолу от височина h=0,20 m със скорост v=1,0 m/s?

Решение.Необходимата стойност x на деформацията на пружината се определя от формулата за потенциалната енергия на компресирана пружина:

.

Следователно можем да използваме закона за запазване на енергията. Тъй като силата на гравитацията действа върху тежестта, разгледайте системата Земя-тегло-пружина. Тъй като на практика няма триене, когато тежестта се движи и пружината се компресира, общата механична енергия на тази изолирана система ще бъде запазена.

Нека изчислим енергията на системата в нейното начално (I) и крайно (II) състояние (фиг. 2.2). Нека изберем най-ниската позиция на тежестта, съответстваща на компресираната пружина, като нулево ниво на еталонната височина. В първоначалното състояние енергията на системата W 1 се състои от потенциалната и кинетичната енергия на тежестта:

. (1)

В крайното състояние тежестта няма да има кинетична енергия, но компресираната пружина ще има енергия на еластична деформация. Така общата енергия на системата W 2 ще бъде равна на:

, (2)

Където коефициентът на еластична деформация k, според определението му, е равен на

. (3)

Приравнявайки десните части на изрази (1) и (2) съгласно закона за запазване на енергията, като вземем предвид връзката (3), получаваме, след прости трансформации, квадратно уравнение за x:

След като решихме уравнението, намираме

.

Отрицателният корен не отговаря на условията на задачата, тъй като x<0 означает растяжение пружины, тогда как на самом деле она сжимается.

м.

Отговор:х=8  10 -2 м.

3. Малко тяло се плъзга надолу от височина h=1,0 m по наклонен улей, превръщайки се в „мъртъв контур” с радиус R=0,80 m (фиг. 2.3). На каква височина h "тялото изпада от примката? Пренебрегнете триенето.

Решение.Първо, нека разберем защо, движейки се по контура, тялото може да се откъсне от него. Върху тяло в произволен момент от своето движение нагоре по контура действат две сили: силата на гравитацията m жи сила на натиск нбримки, насочени радиално към центъра на кръга. Според втория закон на Нютон,

. (1)

Нека насочим проекционните оси x и y по векторите на нормалните и тангенциалните ускорения ан аτ, т.е. по радиуса и допирателната към окръжността. Като се има предвид това

И
,

Нека напишем вместо (1) две скаларни уравнения съответно за осите x и y:

, (2)

. (3)

Тъй като при движение нагоре по цикъла стойността
увеличава и намалява, след това стойността
в уравнение (2) трябва дори да намалее. Когато N отиде до нула, тялото ще се откъсне от цикъла.

Приемайки N=0, пренаписваме, намалявайки стойността на m, уравнения (2) и (3) за момента на отделяне на тялото от цикъла:

, (2 ")

. (3 ")

Системата (2 ") и (3") очевидно не включва желаната стойност h ", но тя е много просто свързана с ъгъла α. Както може да се види от фиг. 2.3,

. (4)

Следователно би било достатъчно да се намери стойността на α. Невъзможно е обаче да го намерите от системата (2"), (3"), тъй като тази система съдържа повече от две неизвестни.

Тъй като няма триене и следователно върху тялото действат само потенциални сили, общата механична енергия на тялото (по-точно: затворената система тяло-ров-Земя) ще се запази по време на неговото движение.

В началния момент тялото има само потенциална енергия

В момента на отделяне на тяло, движещо се със скорост v, неговата обща енергия

W 2 =
.

Приравнявайки количествата W 1 и W 2 съгласно закона за запазване на енергията, получаваме

. (5)

Сега от (2"), (4) и (5) ще имаме

.

Изразявайки количествата, включени във формулата в единици SI и замествайки техните числени стойности, получаваме:

м.

Отговор:
м.

Коментирайте.Трябва да се отбележи, че тялото не излиза от цикъла за никаква стойност на h. Наистина, тъй като h " не може да бъде по-голямо от 2R и по-малко от R (за h "

,
.

Следователно, когато
,
тялото не изпада от примката.

4. Върху железопътна платформа, движеща се по инерция със скорост v=10 m/s, е монтирано оръдие, чиято цев е насочена по посока на движението на платформата и е повдигната над хоризонта под ъгъл α=30 0 ( Фиг. 2.4). Оръдието стреля, в резултат на което скоростта на платформата с оръдието намалява 3 пъти. Намерете скоростта v "на снаряда (спрямо пистолета) при излизане от цевта. Масата на снаряда е m = 10 kg, масата на платформата с пистолета е M = 1000 kg.

Решение.На системната платформа с оръдие-снаряддве сили действат отвън: силата на гравитацията на системата
и нормална сила на натиск нрелси Преди изстрела тези сили бяха балансирани, тъй като системата се движеше равномерно. По време на изстрел силата на взаимодействие между платформата и релсите се увеличава поради феномена на отката, така че балансът на силите, приложени към системата, се нарушава:

.

Следователно по време на изстрел системата не е затворена, нейният момент се променя. И двете разглеждани сили обаче действат вертикално, докато в хоризонтална посока върху системата не действат никакви сили (пренебрегваме триенето на платформата върху релсите). Следователно проекцията на импулса на системата върху хоризонталната посока (по оста x) е постоянна стойност:

. (1)

Нека състоянията на системата преди и след изстрела съответстват на стойностите на количеството , равен И
. Отчитайки всички движения спрямо Земята, получаваме:

, (2)

, (3)

Където
– проекция върху оста на скорост v от снаряда спрямо Земята.

За да свържем стойността v c с желаната скорост v ", ще разгледаме движението на снаряда спрямо Земята като сложно, състоящо се от две: със скорост v„спрямо пистолета и при скорост v/3 заедно с оръжието спрямо Земята.

Тогава, в съответствие със закона за събиране на скоростите, ще имаме:

. (4)

Нека проектираме векторите, включени в (4), върху оста x:

. (5)

Замяна в (3) на количеството
стойността му съгласно (5) и приравнявайки десните части на формули (2) и (3) съгласно (1), намираме

.

Изразявайки количествата, включени във формулата в единици SI и замествайки техните числени стойности, получаваме:

Госпожица.

Отговор: v " =774 m/s.

5. На кърмата на лодка с дължина ℓ=200 cm и маса M=120 kg седи човек с маса m=80 kg. В резултат на краткотраен тласък лодката с човека придобива скорост v 0 = 2 m/s и започва да се движи от единия бряг на канала с ширина d = 10 m към другия бряг (фиг. 2.5), докато човекът се движи от кърмата към носа на лодката. Пренебрегвайки водоустойчивостта, намерете времето на движение на лодката.

Решение.Гледайки системата лодкаркато затворен и прилагащ закона за запазване на импулса
, стигаме до извода, че тъй като законът за движението на човека спрямо лодката не ни е известен, движението на лодката спрямо водата (или Земята) не може да се счита за равномерно. Въпреки това, въз основа на съотношението
може да се твърди, че скоростта на центъра на масата на системата спрямо водата е постоянна стойност:
. От това следва, че необходимото време

, (1)

където C 1 и C 2 са началното и крайното положение на центъра на инерцията на системата;

v 0 – скорост на инерционния център.

От формула (1) следва, че отговорът не зависи от характера на движението на човека. Да приемем, че е била еднаква през целия период от време. Тогава движението на лодката ще бъде равномерно. Позволявам стр 0 и стрса импулсите на системата съответно в началния и някои междинни моменти от време. Тогава, съгласно закона за запазване на импулса,
, т.е.

, (2)

Където – скорост на лодката;

– човешка скорост (всички скорости са дадени в референтната система, свързана със Земята).

След като решихме уравнение (2) за t, получаваме

.

Изразявайки количествата, включени във формулата в единици SI и замествайки техните числени стойности, получаваме:

с.

Отговор:T=4,4 s.

6. Върху тихата вода на езерце има лодка с дължина L и маса M, перпендикулярна на брега, с носа си към него. Човек с маса m стои на кърмата. На какво разстояние S ще се отдалечи лодката от брега, ако човек се премести от кърмата към носа на лодката? Пренебрегвайте триенето с вода и въздух.

Решение. За да опростим решението, ще приемем, че човек върви покрай лодката с постоянна скорост. В този случай лодката също ще се движи равномерно. Следователно пътят s, изминат от лодката спрямо брега, се определя по формулата:

,

където v е скоростта на лодката спрямо брега;

t – време на движение на лодката.

Ще намерим скоростта v на лодката, като използваме закона за запазване на импулса (количеството на движение). Тъй като, според условията на проблема, системата човек с лодкаизолиран и в началния момент спрямо брега е бил в покой, тогава според закона за запазване на импулса, пропускайки знака минус, получаваме:

,

където u е скоростта на човека спрямо брега.

.

Времето t на движение на лодката е равно на времето на движение на човек на лодката, т.е.

,

където S е пътят, изминат от човек спрямо брега.

Замествайки получените изрази v и t, намираме

.

.

Отговор:
.

7. При изстрел вертикално нагоре от пружинен пистолет куршум с тегло 20 g се издига на височина 5 м. Определете твърдостта k на пружината на пистолета, ако е била компресирана с 10 см. Пренебрегвайте масата на пружината.

Решение.За да решим задачата, ще използваме закона за запазване на енергията в механиката. Но първо, нека да разгледаме енергийните трансформации, свързани с изстрела.

При зареждане на пистолета пружината се компресира. В този случай се извършва работа A 1, в резултат на което пружината придобива потенциална енергия W p1. При изстрел потенциалната енергия на пружината се трансформира в кинетичната енергия W  2 на куршума, след което, когато се издигне на височина h, тя се превръща в потенциалната енергия W p 2 на куршума.

Ако пренебрегнем загубите на енергия в тази верига от енергийни трансформации, тогава, въз основа на закона за запазване на енергията, можем да напишем

Нека изразим работата A 1. Сила Е 1, компресираща пружината, е променлива. Във всеки даден момент от времето тя е в посока, обратна на еластичната сила Еи е числено равен на него. Еластичната сила, възникваща в пружина по време на нейната деформация, се определя от закона на Хук:

където x е абсолютната деформация на пружината.

Изчисляваме работата на променлива сила като сбор от елементарни работи. Елементарната работа при компресиране на пружина с dx ще бъде изразена с формулата

dA 1 =F 1 dx,

Интегрирайки в диапазона от 0 до s, получаваме

.

Потенциалната енергия на куршум на височина h се определя по формулата

където g е ускорението на свободното падане.

Така имаме

.

.

Сега можем да заменим числови стойности и да извършим изчисления

N/m=0,2 kN/m.

Отговор: k=0,2 kN/m.

8. Топка с маса m 1, движеща се хоризонтално с определена скорост v 1, се сблъска с неподвижна топка с маса m 2. Топките са абсолютно еластични, ударът е директен, централен (фиг. 2.6). Каква част от своята кинетична енергия е прехвърлила първата топка на втората?

Решение. Частта от енергията, прехвърлена от първата топка към втората, ще бъде изразена чрез отношението

,

където W k1 е кинетичната енергия на първата топка преди удара;

v 1 – скорост на първата топка преди удара;

W k2 – кинетична енергия на втората топка след удара;

u 2 – скорост на втората топка след удара.

Както можете да видите, за да определите  трябва да намерите u 2. Когато абсолютно еластични тела се сблъскват, два закона за запазване са изпълнени едновременно: законът за запазване на импулса и законът за запазване на енергията в механиката. Използвайки тези закони, намираме u 2.

Според закона за запазване на импулса, като вземем предвид, че втората топка е била в покой преди удара, имаме:

Според закона за запазване на енергията

.

Решавайки тези уравнения заедно, намираме

.

Замествайки този израз във формулата за определяне на фракцията  енергия, намалявайки с v 1 и m 1, получаваме

.

Както се вижда от получената връзка, частта от прехвърлената енергия зависи само от масите на сблъскващите се топки. Пропорцията на прехвърлената енергия няма да се промени, ако топките се разменят.

Отговор:
.

9. Кутия с маса m 1 = 20 kg се плъзга по идеално гладка тава с дължина  = 2 m върху неподвижна количка с пясък и засяда в нея. Количка с пясък с тегло m 2 =80 kg може да се движи свободно (без триене) по релсите в хоризонтална посока (фиг. 2.7). Определете скоростта uколички с кутия, ако тавата е наклонена под ъгъл =30o спрямо релсите.

Решение. Количката и кутията могат да се разглеждат като система от две нееластично взаимодействащи си тела. Но тази система не е затворена, тъй като сумата от външни сили, действащи върху системата: две гравитационни сили m 1 жи m 2 жи сили за реакция н 2 не е равно на нула. Следователно е невъзможно да се приложи законът за запазване на импулса към системата кутия-количка.

Но тъй като проекцията на сумата от тези сили върху посоката на оста x, която съвпада с посоката на релсите, е равна на нула, компонентът на импулса на системата в тази посока може да се счита за постоянен, т.е.

,

където p 1x и p 2x са проекциите на импулса на кутията и количката с пясък в момента, в който кутията пада върху количката;

p 1x  и p 2x  са еднакви стойности, след като кутията падне.

В уравнението, написано по-горе, ние изразяваме импулсите на телата чрез техните маси и скорости, като вземем предвид, че p 2x = 0 (количката е била наклонена преди взаимодействието с кутията), както и че след взаимодействието двете тела на системата се движат със същата скорост u:

където v 1 е скоростта на кутията преди падане върху количката;

v 1x =v 1 cos – проекция на тази скорост върху оста x.

От тук изразяваме необходимата скорост:

.

Скоростта v 1 на кутията преди падане ще се определи от закона за запазване на енергията

,

където h=sin.

След намаляване с m 1 намираме

.

Замествайки намерения израз за v 1 във формулата за скорост u, получаваме

.

След като предварително проверихме размера на получения резултат, ще заменим числените стойности и ще извършим изчисленията:

Отговор: u=0,77 m/s.

10. Когато неутрон еластично удари въглеродно ядро, той се движи след удара в посока, перпендикулярна на първоначалната. Ако приемем, че масата M на въглеродното ядро ​​е n=12 пъти по-голяма от масата m на неутрона, определете колко пъти енергията на неутрона намалява в резултат на удара.

Решение.Нека въведем следната нотация: v– скоростта на неутрона преди удара, v" – скорост на неутрона след удар, V– скоростта на въглеродното ядро ​​след удара (преди удара е нула).

В резултат на еластичен сблъсък импулсът и енергията, които неутронът е притежавал преди удара, се разпределят между двете частици. В този случай, според законите за запазване на импулса и енергията, съответно, имаме:

, (1)

. (2)

Според условията на задачата се изисква да се намери връзката

.

За извършване на изчисления е необходимо да се премине от векторната форма на записване на уравнение (1) към скаларната форма. Това може да стане с помощта на метода на проекцията, който е използван многократно. В този случай обаче можете да го направите по-лесно. Нека изобразим импулсите m на фигура 2.8 v“, М Vи тяхната векторна сума m v, като се има предвид, че ъгълът между векторите m vи м v" е равно на π/2. От триъгълника на импулса имаме

Разделяйки уравнение (2) член на m и (3) на m 2 член по член и като вземем предвид условието M/m=n, получаваме:

, (4)

. (5)

За да изключим стойността V от системата, разделяме термин по член (5) на (4):

,

и числителят и знаменателят на полученото съотношение са на (v ") 2, тогава намираме

,

.

Отговор: α=1,2.

11. Чук с маса 5,00 kg, движещ се със скорост v = 4,00 m/s, удря желязно изделие, лежащо върху наковалня. Масата на наковалнята заедно с продукта е M=95 kg. Приемайки, че ударът е абсолютно нееластичен, определете енергията, изразходвана за изковаване (деформиране) на продукта. Каква е ефективността на процеса на коване при тези условия?

Решение.Строго погледнато системата чук–продукт–наковалняне е затворен. Върху него външно действат силата на гравитацията (M+m)g и силата на натиск N на опората, върху която стои наковалнята. По време на удара с чук втората сила, в една или друга степен, определена от еластичните свойства на опората, ще надвиши първата сила и към разглежданата система ще бъде приложена резултантна сила отвън

Въпреки това, силите на ударно взаимодействие между телата са много големи. Очевидно условието на проблема предполага, че в сравнение с тези сили стойността на R може да бъде пренебрегната и по този начин системата може да се счита за затворена.

Въз основа на закона за запазване на енергията може да се твърди, че енергията, изразходвана за деформация на продукта, е равна на разликата в стойностите на механичната енергия преди и след удара. Тъй като при удар се променя само кинетичната енергия на телата (пренебрегваме незначителното вертикално движение на телата при удара), то за енергията на деформация получаваме

, (1)

където v " е общата скорост на всички тела на системата след нееластичен удар, която може да се определи въз основа на закона за запазване на импулса:

. (2)

.

Замествайки стойността v " във формула (1), получаваме:

. (3)

Тъй като енергията, изразходвана за коване на продукт, е полезна по смисъла на задачата, ефективността на процеса на коване

. (4)

Замествайки числените стойности на дадените количества във формули (3) и (4) и извършвайки изчислението, получаваме:

J;

.

Отговор:
J;
.

Коментирайте. От формула (4) става ясно, че колкото по-голяма е масата на наковалнята в сравнение с масата на чука, толкова по-голяма е ефективността на процеса на коване. В (м/ М)  0 η  1.

12. Маховик, направен под формата на диск с радиус 0,4 m и маса 1 kg, се завърта до скорост 480 rpm и се оставя на произвола. Под въздействието на триенето между вала и лагерите той направи 240 оборота до пълно спиране. Определете момента на триене между вала и лагерите.

Решение. Тъй като формулировката на задачата дава броя на оборотите, направени от маховика до пълното му спиране, ще използваме уравнението, изразяващо връзката между работата и промяната в кинетичната енергия за въртеливо движение:

където A=M – работа на силите на триене;

– промяна в кинетичната енергия;

 – ъгъл на завъртане;

– инерционен момент на маховика спрямо дадена ос на въртене;

 1 и  2 – начална и крайна ъглова скорост на маховика, като  2 =0.

.

Размерността на получения резултат е очевидна. Нека заместим числените стойности на входните количества в израза, получен за M 2 и да извършим изчисленията:

Nm.

Знак " минус" означава, че силите на триене действително действат върху маховика.

Отговор: М 2 = -6,7 Nm.

13. Платформа под формата на твърд диск с радиус R=1,5 m и маса m 1 =180 kg се върти по инерция около вертикална ос с честота n=10 min -1 (фиг. 2.9). Човек с тегло m 2 =60 kg стои в центъра на платформата. Каква линейна скорост спрямо пода на стаята ще има човек, ако отиде до ръба на платформата?

Решение. Платформата се върти по инерция. Следователно моментът на външните сили спрямо оста на въртене z, която съвпада с геометричната ос на платформата, е равен на нула. При това условие ъгловият момент L z на системата платформа-човек остава постоянен:

L z =I z =const,

където I z е инерционният момент на платформата с човек спрямо оста z;

 – ъглова скорост на платформата.

Инерционният момент на системата е равен на сумата от инерционните моменти на телата, включени в системата, следователно

където I 1 е инерционният момент на платформата;

I 2 – инерционен момент на човек.

Като вземем предвид това, имаме

(I 1 +I 2)=const

(I 1 +I 2)=(I 1 +I 2 ),

където непраймираните стойности на количествата се отнасят за първоначалното състояние на системата, а защрихованите стойности се отнасят за крайното състояние.

Инерционният момент на платформата (твърд диск) спрямо оста z по време на прехода на човек няма да се промени:

.

Инерционният момент на човека ще се промени. Ако човек се разглежда като материална точка, тогава неговият инерционен момент I z в първоначалното положение (в центъра на платформата) може да се счита за равен на нула. В крайна позиция (на ръба на платформата) инерционният момент на човека

.

Нека заместим във формулата на закона за запазване получените изрази за инерционните моменти, началната ъглова скорост на въртене на платформата с човека, изразена чрез честотата на въртене n (=2n) и крайната ъглова скорост , изразена чрез линейната скорост v на човека спрямо пода (=v/R), получаваме:

.

След прости трансформации намираме скоростта, която ни интересува:

.

След като проверихме размерността на получения резултат, заместваме числените стойности на физическите величини в системата SI и извършваме изчисленията:

Отговор: v =0,96 m/s.

14. Кръгла платформа с радиус R=1,00 m, чийто инерционен момент I=130 kgm 2, се върти по инерция около вертикална ос, правейки n 1 =1,00 r/s. Човек стои на ръба на платформата, чиято маса е m = 70 kg (фиг. 2.10). Колко оборота в секунда n 2 ще направи платформата, ако човек се премести в центъра й? Инерционният момент на човек се изчислява като за материална точка.

Решение.Движейки се около платформата, човек взаимодейства с нея. Не знаем нищо за естеството на това взаимодействие, така че основното уравнение за динамиката на ротационното движение не може да бъде приложено към платформата. В този проблем няма основа за прилагане на закона за запазване на енергията, тъй като е възможно, движейки се по въртяща се платформа, човек да върши работа, променяйки механичната енергия на въртящата се система платформа-човек.

Според условията на задачата платформата с човека се върти по инерция. Това означава, че резултантният въртящ момент на всички външни сили, приложени към въртящата се система, е нула. Следователно, за системата платформа-човеке изпълнен законът за запазване на ъгловия импулс, който записваме по следния начин:

. (1)

Началният ъглов момент на системата L 1 (човекът стои на ръба на платформата) и крайният ъглов момент L 2 (човекът стои в центъра на платформата) са съответно равни:

Където
– инерционен момент на човека;

– начален инерционен момент на системата;

I – инерционен момент на платформата;

ω 1 – начална ъглова скорост на системата;

n 1 – начален брой обороти на системата;

I 2 =I – краен инерционен момент на системата;

ω 2 – крайна ъглова скорост на системата;

n 2 – краен брой обороти на системата.

Решавайки системата от уравнения (1)–(3), за краен брой обороти на системата ще имаме:

.

След като проверихме размерността на резултата, получен чрез заместване на числените стойности на физическите величини в системата SI, ще извършим следните изчисления:

r/s

Отговор:н 2 =1,54 r/s.

15. Маховик, оформен като диск с радиус R и маса M, може да се върти около хоризонтална ос. Към цилиндричната му повърхност е закрепено въже, на другия край на което е окачен товар с маса m. Тежестта беше вдигната и след това пусната. След като падна свободно от височина h, товарът издърпа шнура и благодарение на това доведе до завъртане на маховика (фиг. 2.11). Каква ъглова скорост ω е придобил маховикът в този случай?

Решение.Когато падаща тежест дърпа кордата, възниква взаимодействие през кордата между тежестта и маховика. Естеството на взаимодействието зависи от еластичните свойства на телата (главно шнура). В резултат на това взаимодействие скоростта на точките върху цилиндричната повърхност на маховика се увеличава и скоростта, с която тежестта пада, намалява. Въжето се разтяга, докато тези скорости станат еднакви. Такова краткотрайно взаимодействие между товара и маховика може да се счита за нееластично въздействие. При нееластичен удар законът за запазване на механичната енергия не е изпълнен. Следователно този закон не е приложим за решаване на този проблем. Въпреки това към системата тежест-маховикможе да се приложи законът за запазване на ъгловия момент.

Върху разглежданата система действат три външни сили: гравитацията на маховика, реакцията на опората и тежестта на товара. Тъй като първите две сили са перпендикулярни на оста на диска, техният момент около тази ос е нула. Ефектът на момента на тежестта на товара, равен на mgR, по време на удара може да бъде пренебрегнат в сравнение с момента на силите на взаимодействие между товара и маховика по време на удара. По този начин можем да приемем, че резултантният момент на всички външни сили спрямо оста на маховика по време на удар е равен на нула. Тогава, съгласно закона за запазване на ъгловия момент,

, (1)

където L 1 и L 2 са ъгловият момент на системата натоварване - маховиксъответно в началото и края на удара.

Тъй като дискът все още е неподвижен в началото на удара, стойността L 1 представлява ъгловия момент на падащия товар спрямо оста на въртене на маховика. Вземайки товара като материална точка, можем да запишем

, (2)

където v 1 е скоростта на тежестта, която може да се намери с помощта на добре известната формула за скорост при свободно падане:

. (3)

Стойността на L 2 е равна на общия ъглов момент на тежестта и въртящия се маховик, когато скоростите на товара и точките на цилиндричната повърхност на диска станат еднакви:

, (4)

където величините v 2 и ω са свързани със съотношението

. (5)

Заместване на стойностите на L 1 и L 2 в уравнение (1). След като го решим за ω, като вземем предвид формули (3), (5) и
, получаваме

.

Отговор:
.

16. Махало под формата на хомогенна топка, здраво закрепено към тънък прът, чиято дължина е равна на радиуса на топката, може да извършва колебателни движения около хоризонтална ос, минаваща през края на пръта (фиг. 2.12). Куршум с маса m = 10,0 g, летящ хоризонтално със скорост v = 800 m/s, удря топката нормално спрямо нейната повърхност и се забива в топката. Масата на топката е M=10,0 kg, нейният радиус R=15 см. Под какъв ъгъл α ще се отклони махалото в резултат на удара на куршума? Пренебрегнете масата на пръта.

Решение.Както може да се види от фигурата, желаният ъгъл α е свързан с височината h на издигането на центъра на топката:

. (1)

Тъй като стойността на h определя потенциалната енергия, получена от топката поради удара на куршума. Тъй като в резултат на удара на куршума в топката, скоростите на двете тела ще бъдат еднакви, ударът трябва да се счита за нееластичен. Следователно механичната енергия не се запазва по време на удара (частично се превръща във вътрешна енергия). Въпреки това, след удара, механичната енергия на движещата се система махало-куршумще се запази, тъй като сега в него действат само потенциални сили. Така, когато топката се повдигне заедно с куршума, кинетичната енергия на въртеливото движение на системата ще се преобразува в потенциална енергия на повдигнатите тела. Според закона за запазване на енергията,

, (2)

където I е инерционният момент на махалото заедно с куршума, заседнал в него;

h " – височината на куршума.

Съгласно условията на проблема M>>m, следователно, пренебрегвайки масата на куршума в сравнение с масата на топката, стойността
в уравнение (2) може да се пренебрегне.

За инерционния момент на махалото, въз основа на теоремата на Щайнер, ще имаме:

За да определим ъгловата скорост ω, използваме закона за запазване на ъгловия момент. Използването му се основава на факта, че по време на въздействие върху системата махало-куршумгравитацията и опорните реакции действат отвън. Втората сила преминава перпендикулярно на оста на махалото, така че нейният момент е нула. Като се има предвид, че по време на удара махалото няма време да се отклони забележимо от вертикалата и като се вземе предвид условието M>>m, можем да приемем, че първата сила по време на удара също преминава перпендикулярно на оста на въртене. Следователно неговият момент също е нула.

Съгласно закона за запазване на ъгловия импулс на системата по време на удар трябва да бъде спазено следното съотношение:

, (4)

Където , И са моментите на импулс на системата съответно в началото и в края на процеса на въздействие.

величина е ъгловият импулс на летящ куршум спрямо оста на въртене на махалото (самото махало все още е неподвижно). Въз основа на определението, което имаме

. (5)

Импулс на махало с куршум, заседнал в него, според дефиницията е равно на

. (6)

Решавайки системата от уравнения (4)–(6), получаваме за ъгловата скорост

. (7)

След като изключим неизвестните I, ω и h от системата (1)–(3), (7), намираме

.

Замествайки числените стойности на количествата, изразени в единици SI, в тази формула и извършвайки изчисления, получаваме:

; α=26 0 .

Отговор: α=26 0 .

17. Тънка, гъвкава нишка се хвърля през блок, направен под формата на диск и с маса m = 80 g, към краищата на която са окачени тежести с маси m 1 = 100 g и m 2 = 200 g ( Фиг. 2.13). С какво ускорение ще се движат товарите, ако бъдат оставени на произвола? Игнорирайте триенето.

Решение. Нека приложим към решението на проблема закона за запазване на енергията, според който при липса на триене общата енергия на изолирана система остава непроменена. В този случай енергията може да се преобразува само от потенциална в кинетична и обратно. Нека припомним, че в механиката общата енергия на едно тяло е сумата от неговата потенциална и кинетична енергия.

Да приемем, че в началния момент на движение потенциалната енергия на първия товар е била равна на W p1, а на втория – W p2. След известно време височината на първия товар се увеличава с h, височината на втория намалява с h. Потенциалната енергия на първия товар стана равна

W 1 = W p1 + m 1 gh,

W 2 =W p2 – m 2 gh.

Освен това всеки от товарите се движи с ускорение а, придобили през това време скорост v и съответно кинетична енергия, равна на

И
.

По същия начин дискът, въртящ се равномерно ускорено, придобива ъглова скорост и съответната кинетична енергия

,

Където
– инерционен момент на диска;

-ъглова скорост.

Тогава за кинетичната енергия на диска, след подходящи трансформации, ще имаме

.

Препоръчително е да се прилага законът за запазване на импулса за решаване на тези задачи, при които е необходимо да се определят скорости, а не сили или ускорения. Разбира се, такива проблеми могат да бъдат решени с помощта на законите на Нютон. Но прилагането на закона за запазване на импулса опростява решението.

Преди да решите задача с помощта на закона за запазване на импулса, е необходимо да разберете дали той може да бъде приложен в този случай. Законът може да се приложи към затворена система или в случай, че сумата от проекциите на силите във всяка посока е равна на нула, а също и когато импулсът на външните сили може да бъде пренебрегнат.

За да разрешите проблема, трябва да напишете закона във векторна форма (5.3.7).

След това векторното уравнение се записва в проекции върху осите на избраната координатна система (1).

Изборът на посоката на осите е продиктуван от удобството за решаване на проблема. Ако, например, всички тела се движат по една права линия, тогава е препоръчително да насочите координатната ос по тази права линия.

При решаването на някои задачи е необходимо да се използват допълнителни кинематични уравнения.

Някои задачи се решават с помощта на уравнението за импулс във формата (5.3.5).

Проблем 1

Стоманена топка с маса 0,05 kg се пуска от височина 5 m върху стоманена плоча. След сблъсъка топката отскача от плочата със същата абсолютна скорост. Намерете силата, действаща върху плочата при удар, като се приеме, че е постоянна. Времето за сблъсък е 0,01 s.

Решение. При удара топката и плочата действат една върху друга със сили, равни по големина, но противоположни по посока. След като определихме силата, действаща върху топката от страната на плочата, по този начин ще намерим силата, с която топката е действала върху плочата през времето Δt, през което трае сблъсъкът.

По време на сблъсъка върху топката действат две сили: силата на тежестта m и силата от плочата (фиг. 5.13).

Ориз. 5.13

Съгласно уравнение (5.2.3)

Нека означим с 1 скоростта на топката непосредствено преди да удари плочата и с 2 скоростта след удара, тогава промяната в импулса на топката Δ = m 2 - m 1, следователно

В проекции върху оста Y това уравнение ще бъде написано, както следва:

Като се има предвид, че v 2 = v 1 = v, получаваме

Модулът на скоростта на топка при падане от височина h се определя по формулата v = = 10 m/s. Сега, използвайки израз (5.7.1), намираме модула на силата:

Според третия закон на Нютон

Следователно, F 1 = 100,5 N; тази сила се прилага върху плочата и се насочва надолу.

Имайте предвид, че колкото по-кратко е времето на взаимодействие Δt, толкова по-голяма е стойността на количеството във формула (5.7.1) в сравнение с mg. Следователно по време на сблъсък гравитацията може да се пренебрегне. Ако топката беше направена от пластилин, тогава тя щеше да залепне за плочата и модулът на промяна на нейния импулс би бил наполовина по-голям. Съответно силата, действаща върху плочата, също би била два пъти по-малка.

Проблем 2

По време на маневри на жп гарата две платформи с маси m 1 = 2,4 10 4 kg и m 2 = 1,6 10 4 kg се движат една към друга със скорости, чиито модули са равни на v 1 = 0,5 m/s и v 2 = 1 m /с. Намерете скоростта на тяхното движение след задействане на автоматичния съединител.

Решение. Нека изобразим схематично движещи се платформи преди сблъсък (фиг. 5.14). Външните сили 1 и m 1, 2 и m 2, действащи върху телата на системата, са взаимно балансирани. Платформите също са обект на сили на триене, които са външни за системата.

Ориз. 5.14

Когато платформите се търкалят по релси, силите на триене са малки, така че за кратък интервал от време на сблъсък те няма да променят забележимо импулса на системата. Следователно можем да приложим закона за запазване на импулса:

където е скоростта на платформите след свързване.

В проекции върху оста X имаме:

Тъй като v 1x = v 1 a v 2x = -v 2, тогава

Отрицателен знак на проекцията на скоростта показва, че скоростта е насочена срещу оста X (от дясно на ляво).

Проблем 3

Две пластилинови топки, чийто масов коефициент = 4, се слепиха след сблъсъка и започнаха да се движат по гладка хоризонтална повърхност със скорост . (Фиг. 5.15, изглед отгоре).

Ориз. 5.15

Определете скоростта на леката топка преди сблъсъка (2), ако тя се е движила три пъти по-бързо от тежката (v 1 = Зv 2) и посоките на движение на топките са взаимно перпендикулярни. Игнорирайте триенето.

Решение. Тъй като скоростите на топките 1 и 2 са взаимно перпендикулярни, е удобно осите на правоъгълната координатна система да се насочат успоредно на тези скорости.

Според закона за запазване на импулса имаме:

Нека запишем това уравнение в проекции по осите X и Y, изпълнени, както е показано на Фигура 5.15:

Тъй като v 1x = v 1, v 2x = 0, v 1y = 0 и v 2y = v 2, тогава

Модулът на скоростта е равен на:

И така, v 1 = u, следователно v 1 = Зu.

Проблем 4

Скакалец седи на края на сламка с дължина l, която лежи на гладък под. Скакалецът скача и каца на другия край на сламката. С каква минимална начална скорост min спрямо пода трябва да скочи, ако масата му е M и масата на сламката е m. Игнорирайте въздушното съпротивление и триенето.

Решение. Нека насочим оста Y нагоре и оста X покрай сламката в посоката на скока на скакалеца (фиг. 5.16). Проекциите на скоростта на скакалеца v върху координатните оси са съответно равни на:

v x = vcos α и v y = vsin α.

Ориз. 5.16

Помислете за системата скакалец-слама. Външните сили действат върху телата на системата само във вертикална посока (няма триене).

Тъй като сумата от проекциите на външните сили върху оста X е нула, сумата от проекциите на импулсите на скакалеца и сламката върху оста X се запазва:

където v 1x е проекцията на скоростта на сламката спрямо пода. Оттук

В хоризонтална посока скакалецът ще лети на разстояние l спрямо сламката.

Следователно модулът на хоризонталната компонента на неговата скорост спрямо движещата се сламка е равен на:

Но по друг начин,

По този начин,

Очевидно абсолютната скорост на скакалеца е минимална, когато знаменателят на частта от получения израз е максимален. Както знаете, стойността на синуса не може да бъде по-голяма от 1. Така че,

Проблем 5

В началния момент ракета с маса M има скорост v0. В края на всяка секунда от ракетата се изхвърля порция газ с маса m. Скоростта на порция газ се различава от скоростта на ракетата преди изгарянето на дадена маса газ с постоянна стойност, равна на u, т.е. скоростта на изтичане на газ е постоянна. Определете скоростта на ракетата след n секунди. Игнорирайте ефекта на гравитацията.

Решение. Нека означим с v k скоростта на ракетата в края на k-тата секунда. В края на (k + 1)-тата секунда от ракетата се изхвърля газ с маса m, който носи със себе си импулс, равен на m(-u + v k). От закона за запазване на импулса, написан за векторни абсолюти, следва, че

Промяната в скоростта на ракетата за 1 s е равна на:

Знаейки промяната в скоростта за 1 s, можем да напишем израз за скоростта в края на n-та секунда:

Упражнение 10

1. Оловна топка с маса 200 g се движи перпендикулярно на стена със скорост 10 m/s и се сблъсква с нея. Намерете силата, действаща върху стената при удар, като приемем, че е постоянна. Времето за сблъсък е 0,01 s. Топката не отскача от стената.
2. Стоманена топка с маса 100 g се движи по хоризонтална повърхност без триене в посока, перпендикулярна на стената. Скоростта на топката преди удара е 10 m/s. След сблъсъка топката отскача от стената със същата абсолютна скорост, но в обратна посока. Намерете силата, действаща върху стената при удар, като приемем, че е постоянна. Време на удара 0,01 s.
3. Количка, пълна с пясък, се търкаля по релсите в хоризонтална посока. През дупка в дъното се изсипва пясък между релсите. Променя ли се скоростта на количката? Игнорирайте триенето.
4. Върху платформа с тегло 600 kg, движеща се хоризонтално със скорост 1 m/s, са изсипани 200 kg трошен камък. Каква е скоростта на платформата?
5. Ракета, чиято маса заедно със заряда е 250 g, лети вертикално нагоре и достига височина 150 м. Определете скоростта на газовия поток от ракетата, като приемете, че изгарянето на заряда става моментално. Масата на заряда е 50 g.
6. Върху гладък лед е поставена призма с маса M с ъгъл на наклон a. Куче с маса m стои върху призма в основата си. С каква скорост ще се движи призмата, ако куче тича нагоре по призмата със скорост v спрямо нея?
7. Граната, хвърлена от повърхността на Земята, се разпада на два еднакви фрагмента в най-високата точка на траекторията на разстояние a от точката на хвърляне, като се брои хоризонтално. Един от фрагментите лети в обратна посока със същата абсолютна скорост, която е имала гранатата преди експлозията. На какво разстояние l от мястото на хвърляне ще падне вторият фрагмент?
8. Две ракети с маса M летят всяка в една посока: едната със скорост v, а другата със скорост v 1 = 1,1v. Когато едната ракета настигна другата, двигателят на първата ракета се включи за кратко. Каква маса отработено гориво трябва да изхвърли със скорост v 2 = 3 спрямо ракетата, така че скоростите на ракетите за безопасно скачване да станат равни?
9. Две лодки се движат в успоредни курсове една към друга с еднакви абсолютни скорости. При среща лодките разменят товари с еднаква маса. Размяната може да се извърши по два начина: 1) първо, товарът се прехвърля от една лодка на друга, а след това товарът се прехвърля от втората лодка обратно на първата; 2) товарите се прехвърлят от лодка на лодка едновременно. При какъв метод скоростта на лодките след прехвърляне на товара ще бъде по-голяма?
10. Три лодки с еднакви маси M се движат по инерция една след друга с еднакви скорости v. От средната лодка към външните лодки товари с маса m се прехвърлят едновременно със скорост u спрямо лодките. Какви скорости ще имат лодките след прехвърляне на товара? Игнорирайте водоустойчивостта и добавената маса.
11. Снарядът се разпада на две равни части в горната точка на траекторията. Едната половина на снаряда получава скорост, насочена вертикално надолу, и попада под мястото на взрива, а втората половина на снаряда се озовава на хоризонтално разстояние l от това място. Определете модула на скоростта на снаряда преди експлозията и модула на скоростта на втория фрагмент, ако е известно, че експлозията е станала на височина H и първият фрагмент е достигнал повърхността на Земята след интервал от време, равен на t.
12. Човекът в лодката се движи от носа към кърмата. На какво разстояние спрямо водата ще се движи лодка с дължина l, ако масата на човека е m 1 и масата на лодката е m 2? Игнорирайте водоустойчивостта и добавената маса.

(1) Понякога е препоръчително да се реши проблем, като се използва законът за добавяне на вектори.

(2) Ако след сблъсъка телата се движат с еднаква скорост, то такъв сблъсък се нарича абсолютно нееластичен.

Какво означава това и как ще се отрази на решението на проблема.

Първо, нека да разберем какво е съпротивление на въздуха и защо възниква. Както знаете (трябва да знаете, ходите на училище), всички вещества се състоят от молекули или атоми. Атомите са най-малките частици (нека си представим, че това са малки, малки топчета), а молекулите също са малки неща, но вече се състоят от няколко атома.

Например, водна молекула H2 O се състои от два водородни атома H и един кислороден атом O (т.е. три топки, слепени заедно в едно парче).

Тъй като казахме преди това "всички вещества"се състои от тях, тогава въздухът също се състои от атоми и молекули (ние дишаме кислород, което означава, че 100% от него е във въздуха). Когато хвърлим топка или някакъв предмет надолу, той започва да се сблъсква с малки топчета (атоми и молекули) въздух. Тези сблъсъци се наричат ​​въздушно съпротивление.

Сега нека се опитаме да игнорираме това съпротивление. За да направим това, ние просто премахваме всички тези малки топчета (атоми и молекули) от въздуха. Съгласен напомня вакуум (или безвъздушно пространство)?Тоест, когато падащите тела няма да се сблъскат с никого, а просто ще летят надолу.

Сега нека да разберем как това ще се отрази на решението на проблема?

Нека си представим, че хвърляме топка и перце от една и съща височина. Кое ще падне по-бързо? Топка? Не. перо? Не. Еднакво ли ще падат? Не. Защо не?Да, защото не знаем дали това се случва във въздух (където има съпротивление) или във вакуум (без съпротивление). Топката ще падне по-бързо във въздуха, тъй като е по-тежка и за нея е по-лесно да избие въздушни атоми/молекули от пътя си. И перцето е по-леко, ще се забави малко при тези сблъсъци. Ако ги хвърлим във вакуум, тогава те ще паднат еднакво, тъй като няма да трябва да се сблъскват с никого.

не ми вярваш Гледайте видеото (не е нужно да слушате, на английски е).

Ето още едно видео по същата тема