Общи теореми на динамиката, техническата механика. Теоретична механика

(МЕХАНИЧНИ СИСТЕМИ) – IV вариант

1. Основното уравнение на динамиката на материална точка, както е известно, се изразява с уравнението. Диференциалните уравнения на движение на произволни точки на несвободна механична система според два метода за разделяне на силите могат да бъдат записани в две форми:

(1) , където k=1, 2, 3, … , n – брой точки от материалната система.

(2)

където е масата на k-тата точка; - радиус-вектор на k-та точка, - дадена (активна) сила, действаща върху k-та точка, или резултат от всички активни сили, действащи върху k-та точка. - резултатна от силите на реакция на връзката, действащи върху k-тата точка; - равностойна на вътрешните сили, действащи върху k-тата точка; - равностойна на външните сили, действащи върху k-тата точка.

Използвайки уравнения (1) и (2), човек може да се стреми да реши както първия, така и втория проблем на динамиката. Решаването на втория проблем за динамиката на система обаче става много сложно не само от математическа гледна точка, но и защото сме изправени пред фундаментални трудности. Те се състоят в това, че както за система (1), така и за система (2) броят на уравненията е значително по-малък от броя на неизвестните.

Така че, ако използваме (1), тогава известната динамика за втората (обратна) задача ще бъде и , а неизвестните ще бъдат и . Векторните уравнения ще бъдат " н”, и неизвестни - „2n”.

Ако изхождаме от системата от уравнения (2), тогава някои от външните сили са известни. Защо да се разделим? Факт е, че броят на външните сили включва и външни реакции на връзки, които са неизвестни. В допълнение, . също ще бъде неизвестен.

Така и системата (1), и системата (2) са НЕЗАТВОРЕНИ. Необходимо е да се добавят уравнения, като се вземат предвид уравненията на връзките и може би е необходимо да се наложат някои ограничения върху самите връзки. Какво да правя?

Ако започнем от (1), тогава можем да следваме пътя на съставяне на уравнения на Лагранж от първи род. Но този път не е рационален, защото колкото по-прост е проблемът (по-малко степени на свобода), толкова по-трудно е да се реши от математическа гледна точка.

Тогава нека насочим вниманието си към система (2), където - винаги са неизвестни. Първата стъпка в решаването на една система е да се премахнат тези неизвестни. Трябва да се има предвид, че по правило не се интересуваме от вътрешни сили, когато системата се движи, тоест, когато системата се движи, не е необходимо да знаем как се движи всяка точка от системата, но е достатъчно да знаете как се движи системата като цяло.

По този начин, ако изключим неизвестни сили от системата (2) по различни начини, получаваме някои зависимости, т.е. появяват се някои общи характеристики за системата, познаването на които ни позволява да преценим как се движи системата като цяло. Тези характеристики се въвеждат с помощта на т.нар общи теореми на динамиката. Има четири такива теореми:

1. Теорема за движение на центъра на масата на механична система;

2. Теорема за промяна в импулса на механична система;

3. Теорема за промяна на кинетичния момент на механичната система;

4. Теорема за промяна в кинетичната енергия на механична система.

Доста често е възможно да се идентифицират важни характеристики на движението на механична система, без да се прибягва до интегриране на система от диференциални уравнения на движение. Това се постига чрез прилагане на общите теореми на динамиката.

5.1. Основни понятия и определения

Външни и вътрешни сили.Всяка сила, действаща върху точка в механична система, непременно е или активна сила, или реакция на свързване. Целият набор от сили, действащи върху точките на системата, може да бъде разделен на два класа по различен начин: външни сили и вътрешни сили (индекси e и i - от латинските думи externus - външен и internus - вътрешен). Външни сили са тези, които действат върху точки на система от точки и тела, които не са част от разглежданата система. Силите на взаимодействие между точките и телата на разглежданата система се наричат ​​вътрешни.

Това разделение зависи от това кои материални точки и тела са включени от изследователя в разглежданата механична система. Ако разширим състава на системата, като включим допълнителни точки и тела, тогава някои сили, които са били външни за предишната система, могат да станат вътрешни за разширената система.

Свойства на вътрешните сили.Тъй като тези сили са сили на взаимодействие между частите на системата, те влизат в цялостната система от вътрешни сили в "две", организирани в съответствие с аксиомата действие-реакция. Всяко такова „две“ има силни страни

главният вектор и главният момент около произволен център са равни на нула. Тъй като пълната система от вътрешни сили се състои само от „двойки“, тогава

1) основният вектор на системата от вътрешни сили е нула,

2) основният момент на системата от вътрешни сили спрямо произволна точка е равен на нула.

Масата на системата е аритметичната сума от масите mk на всички точки и тела, образуващи системата:

Център на масата(център на инерция) на механична система е геометричната точка C, чийто радиус вектор и координати се определят по формулите

където са радиус-векторите и координатите на точките, образуващи системата.

За твърдо тяло, разположено в еднородно гравитационно поле, позициите на центъра на масата и центъра на тежестта съвпадат, в други случаи това са различни геометрични точки.

Заедно с инерциалната отправна система често се разглежда едновременно неинерциална отправна система, движеща се постъпателно. Неговите координатни оси (оси на Кьониг) са избрани така, че началото C постоянно да съвпада с центъра на масата на механичната система. В съответствие с определението центърът на масата е неподвижен в осите на Кьониг и се намира в началото на координатите.

Инерционен момент на систематаспрямо ос е скаларна величина, равна на сумата от произведенията на масите mk на всички точки на системата по квадратите на техните разстояния до оста:

Ако механичната система е твърдо тяло, за да намерите 12, можете да използвате формулата

където е плътността, обемът, зает от тялото.

Общи теореми за динамиката на система от тела. Теореми за движението на центъра на масата, за изменението на импулса, за изменението на главния ъглов момент, за изменението на кинетичната енергия. Принципи на Д'Аламбер и възможни движения. Общо уравнение на динамиката. Уравнения на Лагранж.

Общи теореми за динамиката на твърдо тяло и система от тела

Общи теореми на динамиката- това е теорема за движението на центъра на масата на механична система, теорема за промяната на импулса, теорема за промяната на главния ъглов момент (кинетичен момент) и теорема за промяната на кинетичната енергия на механична система.

Теорема за движението на центъра на масата на механична система

Теорема за движението на центъра на масата.
Произведението на масата на една система и ускорението на нейния център на масата е равно на векторната сума на всички външни сили, действащи върху системата:
.

Тук M е масата на системата:
;
a C е ускорението на центъра на масата на системата:
;
v C - скорост на центъра на масата на системата:
;
r C - радиус вектор (координати) на центъра на масата на системата:
;
- координати (спрямо неподвижния център) и маси на точките, които изграждат системата.

Теорема за промяната на импулса (импулса)

Количеството движение (импулс) на систематае равно на произведението на масата на цялата система от скоростта на нейния център на масата или сумата от импулса (сумата от импулси) на отделните точки или части, които съставляват системата:
.

Теорема за промяната на импулса в диференциална форма.
Производната по време на количеството движение (импулс) на системата е равна на векторната сума на всички външни сили, действащи върху системата:
.

Теорема за промяната на импулса в интегрална форма.
Промяната в импулса (импулса) на системата за определен период от време е равна на сумата от импулсите на външните сили за същия период от време:
.

Закон за запазване на импулса (импулса).
Ако сумата от всички външни сили, действащи върху системата, е нула, тогава векторът на импулса на системата ще бъде постоянен. Тоест всички негови проекции върху координатните оси ще поддържат постоянни стойности.

Ако сумата от проекциите на външните сили върху която и да е ос е нула, тогава проекцията на количеството на движение на системата върху тази ос ще бъде постоянна.

Теорема за промяната на главния ъглов момент (теорема за моментите)

Главният ъглов импулс на система спрямо даден център O е количеството, равно на векторната сума на ъгловия момент на всички точки на системата спрямо този център:
.
Тук квадратните скоби означават кръстосаното произведение.

Прикачени системи

Следващата теорема се прилага за случая, когато една механична система има фиксирана точка или ос, която е фиксирана спрямо инерциална отправна система. Например тяло, закрепено със сферичен лагер. Или система от тела, движещи се около фиксиран център. Може да бъде и неподвижна ос, около която се върти тяло или система от тела. В този случай моментите трябва да се разбират като моменти на импулс и сили спрямо неподвижната ос.

Теорема за промяната на главния ъглов момент (теорема за моментите)
Производната по време на главния ъглов момент на системата спрямо някакъв неподвижен център O е равна на сумата от моментите на всички външни сили на системата спрямо същия център.

Закон за запазване на главния ъглов момент (ъглов момент).
Ако сумата от моментите на всички външни сили, приложени към системата спрямо даден неподвижен център O, е равна на нула, тогава главният ъглов момент на системата спрямо този център ще бъде постоянен. Тоест всички негови проекции върху координатните оси ще поддържат постоянни стойности.

Ако сумата от моментите на външните сили спрямо някаква фиксирана ос е нула, тогава ъгловият импулс на системата спрямо тази ос ще бъде постоянен.

Произволни системи

Следващата теорема има универсален характер. Прилага се както за неподвижни, така и за свободно движещи се системи. В случай на фиксирани системи е необходимо да се вземат предвид реакциите на връзките във фиксирани точки. Тя се различава от предишната теорема по това, че вместо фиксирана точка O трябва да се вземе центърът на масата C на системата.

Теорема за моментите около центъра на масата
Производната по време на главния ъглов момент на системата спрямо центъра на масата C е равна на сумата от моментите на всички външни сили на системата спрямо същия център.

Закон за запазване на ъгловия момент.
Ако сумата от моментите на всички външни сили, приложени към системата спрямо центъра на масата C, е равна на нула, тогава главният момент на импулса на системата спрямо този център ще бъде постоянен. Тоест всички негови проекции върху координатните оси ще поддържат постоянни стойности.

Инерционен момент на тялото

Ако тялото се върти около оста zс ъглова скорост ω z, тогава неговият ъглов момент (кинетичен момент) спрямо оста z се определя по формулата:
L z = J z ω z,
където J z е инерционният момент на тялото спрямо оста z.

Инерционният момент на тялото спрямо оста zопределя се по формулата:
,
където h k е разстоянието от точка с маса m k до оста z.
За тънък пръстен с маса M и радиус R или цилиндър, чиято маса е разпределена по ръба му,
J z = M R 2 .
За плътен хомогенен пръстен или цилиндър,
.

Теорема на Щайнер-Хюйгенс.
Нека Cz е оста, минаваща през центъра на масата на тялото, Oz е оста, успоредна на него. Тогава инерционните моменти на тялото спрямо тези оси са свързани по отношение:
J Oz = J Cz + M a 2 ,
където М е телесно тегло; a е разстоянието между осите.

В по-общ случай:
,
където е тензорът на инерцията на тялото.
Ето вектор, начертан от центъра на масата на тялото до точка с маса m k.

Теорема за промяната на кинетичната енергия

Нека тяло с маса M извършва постъпателно и въртеливо движение с ъглова скорост ω около някаква ос z. Тогава кинетичната енергия на тялото се определя по формулата:
,
където v C е скоростта на движение на центъра на масата на тялото;
J Cz е инерционният момент на тялото спрямо оста, минаваща през центъра на масата на тялото, успоредна на оста на въртене. Посоката на оста на въртене може да се промени с времето. Тази формула дава моментната стойност на кинетичната енергия.

Теорема за изменението на кинетичната енергия на система в диференциална форма.
Диференциалът (приращението) на кинетичната енергия на система по време на някакво движение е равен на сумата от диференциалите на работа върху това движение на всички външни и вътрешни сили, приложени към системата:
.

Теорема за изменението на кинетичната енергия на система в интегрална форма.
Промяната в кинетичната енергия на системата по време на някакво движение е равна на сумата от работата върху това движение на всички външни и вътрешни сили, приложени към системата:
.

Работата, извършена от силата, е равно на скаларното произведение на векторите на силата и безкрайно малкото преместване на точката на нейното приложение:
,
т.е. произведението на абсолютните стойности на векторите F и ds по косинуса на ъгъла между тях.

Работата, извършена от момента на силата, е равно на скаларното произведение на векторите на въртящия момент и безкрайно малкия ъгъл на въртене:
.

принцип на д'Аламбер

Същността на принципа на д'Аламбер е да сведе проблемите на динамиката до проблеми на статиката. За целта се приема (или е известно предварително), че телата на системата имат определени (ъглови) ускорения. След това се въвеждат инерционни сили и (или) моменти на инерционни сили, които са равни по големина и противоположни по посока на силите и моментите на силите, които според законите на механиката биха създали дадени ускорения или ъглови ускорения

Нека разгледаме един пример. Тялото претърпява постъпателно движение и върху него действат външни сили. Освен това приемаме, че тези сили създават ускорение на центъра на масата на системата. Според теоремата за движението на центъра на масата центърът на масата на тялото би имал същото ускорение, ако върху тялото действа сила. След това въвеждаме силата на инерцията:
.
След това проблемът с динамиката:
.
;
.

За въртеливото движение продължете по същия начин. Нека тялото се върти около оста z и върху него действат външни моменти на сила M e zk . Приемаме, че тези моменти създават ъглово ускорение ε z. След това въвеждаме момента на инерционните сили M И = - J z ε z. След това проблемът с динамиката:
.
Превръща се в статичен проблем:
;
.

Принципът на възможните движения

Принципът на възможните премествания се използва за решаване на проблеми със статиката. В някои задачи дава по-кратко решение от съставянето на равновесни уравнения. Това важи особено за системи с връзки (например системи от тела, свързани с нишки и блокове), състоящи се от много тела

Принципът на възможните движения.
За равновесието на механична система с идеални връзки е необходимо и достатъчно сумата от елементарните работи на всички действащи върху нея активни сили за всяко възможно движение на системата да е равна на нула.

Възможно преместване на системата- това е малко движение, при което не се прекъсват връзките, наложени на системата.

Идеални връзки- това са връзки, които не извършват работа, когато системата се движи. По-точно количеството работа, извършена от самите връзки при преместване на системата, е нула.

Общо уравнение на динамиката (принцип на Д'Аламбер - Лагранж)

Принципът на Д'Аламберт-Лагранж е комбинация от принципа на Д'Аламберт с принципа на възможните движения. Тоест, когато решаваме динамичен проблем, ние въвеждаме инерционни сили и свеждаме проблема до статичен проблем, който решаваме, използвайки принципа на възможните премествания.

Принцип на Д'Аламбер-Лагранж.
Когато механична система с идеални връзки се движи, във всеки момент сумата от елементарните работи на всички приложени активни сили и всички инерционни сили върху всяко възможно движение на системата е нула:
.
Това уравнение се нарича общо уравнение на динамиката.

Уравнения на Лагранж

Обобщени q координати 1 , q 2 , ..., q n е набор от n величини, които еднозначно определят позицията на системата.

Броят на обобщените координати n съвпада с броя на степените на свобода на системата.

Обобщени скоростиса производни на обобщени координати по време t.

Обобщени сили Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Нека разгледаме възможно движение на системата, при което координатата q k ще получи движение δq k. Останалите координати остават непроменени. Нека δA k е работата, извършена от външни сили по време на такова движение. Тогава
δA k = Q k δq k , или
.

Ако при възможно движение на системата всички координати се променят, тогава работата, извършена от външни сили по време на такова движение, има формата:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Тогава обобщените сили са частични производни на работата върху преместванията:
.

За потенциални силис потенциал Π,
.

Уравнения на Лагранжса уравненията на движение на механична система в обобщени координати:

Тук Т е кинетична енергия. Това е функция на обобщени координати, скорости и, вероятно, време. Следователно неговата частна производна също е функция на обобщени координати, скорости и време. След това трябва да вземете предвид, че координатите и скоростите са функции на времето. Следователно, за да намерите общата производна по отношение на времето, трябва да приложите правилото за диференциране на сложна функция:
.

Препратки:
С. М. Тарг, Кратък курс по теоретична механика, “Висше училище”, 2010 г.

Нека разгледаме движението на определена система от материални обекти спрямо фиксирана координатна система.Когато системата не е свободна, тогава тя може да се счита за свободна, ако отхвърлим връзките, наложени на системата, и заменим тяхното действие със съответните реакции.

Нека разделим всички сили, приложени към системата, на външни и вътрешни; и двете могат да включват реакции на изхвърляне

връзки. Нека и обозначаваме главния вектор и главния момент на външните сили спрямо точка А.

1. Теорема за промяната на импулса.Ако е количеството движение на системата, тогава (вижте)

тоест теоремата е валидна: производната по време на импулса на системата е равна на главния вектор на всички външни сили.

Чрез заместване на вектора чрез неговия израз, където е масата на системата, е скоростта на центъра на масата, уравнението (4.1) може да получи различна форма:

Това равенство означава, че центърът на масата на системата се движи като материална точка, чиято маса е равна на масата на системата и към която е приложена сила, геометрично равна на главния вектор на всички външни сили на системата. Последното твърдение се нарича теорема за движението на центъра на масата (центъра на инерцията) на системата.

Ако тогава от (4.1) следва, че векторът на импулса е постоянен по големина и посока. Проектирайки го върху координатната ос, получаваме три скаларни първи интеграла, диференциални уравнения на двойната шапка на системата:

Тези интеграли се наричат ​​интеграли на импулса. Когато скоростта на центъра на масата е постоянна, т.е. той се движи равномерно и праволинейно.

Ако проекцията на главния вектор на външните сили върху която и да е ос, например върху ос, е равна на нула, тогава имаме един първи интеграл, или ако две проекции на главния вектор са равни на нула, тогава има две интеграли на импулса.

2. Теорема за промяната на ъгловия момент.Нека A е произволна точка в пространството (движеща се или неподвижна), която не е задължително да съвпада с някоя конкретна материална точка на системата през цялото време на движение. Означаваме неговата скорост във фиксирана координатна система с Теоремата за промяната на кинетичния момент на материална система спрямо точка А има формата

Ако точка А е фиксирана, тогава равенството (4.3) приема по-проста форма:

Това равенство изразява теоремата за изменението на ъгловия импулс на системата спрямо фиксирана точка: производната по време на ъгловия момент на системата, изчислена спрямо някаква фиксирана точка, е равна на главния момент на всички външни сили спрямо до този момент.

Ако тогава съгласно (4.4) векторът на ъгловия момент е постоянен по големина и посока. Проектирайки го върху координатните оси, получаваме скаларните първи интеграли на диференциалните уравнения на двойната система:

Тези интеграли се наричат ​​интеграли на импулса или интеграли на площта.

Ако точка А съвпада с центъра на масата на системата, тогава първият член от дясната страна на равенството (4.3) изчезва и теоремата за промяната на ъгловия момент има същата форма на запис (4.4), както в случая на фиксирана точка A. Забележете (вижте стр. 4 § 3), че в разглеждания случай абсолютният ъглов момент на системата от лявата страна на равенство (4.4) може да бъде заменен с равен ъглов момент на системата в движението си спрямо центъра на масата.

Нека е някаква постоянна ос или ос с постоянна посока, минаваща през центъра на масата на системата, и нека е кинетичният момент на системата спрямо тази ос. От (4.4) следва, че

където е моментът на външните сили спрямо оста. Ако по време на цялото движение имаме първи интеграл

В трудовете на S.A. Chaplygin бяха получени няколко обобщения на теоремата за промяната на кинетичния импулс, които след това бяха приложени за решаване на редица проблеми върху търкалящи се топки. Допълнителни обобщения на теоремата за промяната на механичния момент и техните приложения в проблемите на динамиката на твърдото тяло се съдържат в трудовете. Основните резултати от тези работи са свързани с теоремата за промяната на кинетичния импулс спрямо движещ се, постоянно преминаващ през някаква движеща се точка А. Нека е единичен вектор, насочен по тази ос. Умножавайки скаларно по двете страни на равенството (4.3) и добавяйки члена към двете му части, получаваме

Когато кинематичното условие е изпълнено

Уравнение (4.5) следва от (4.7). И ако условието (4.8) е изпълнено по време на цялото движение, тогава първият интеграл (4.6) съществува.

Ако връзките на системата са идеални и позволяват сред виртуалните премествания въртене на системата като твърдо тяло около оста и, тогава основният момент на реакциите спрямо оста и е равен на нула, а след това стойността на дясната страна на уравнение (4.5) представлява главния момент на всички външни активни сили спрямо оста и . Равенството на нула на този момент и валидността на съотношението (4.8) ще бъдат в разглеждания случай достатъчни условия за съществуването на интеграла (4.6).

Ако посоката на оста и е постоянна, тогава условие (4.8) ще бъде записано във формата

Това равенство означава, че проекциите на скоростта на центъра на масата и скоростта на точка А върху оста и върху равнина, перпендикулярна на нея, са успоредни. В работата на S.A. Chaplygin вместо (4.9) се изисква изпълнението на по-малко общо условие, където X е произволна постоянна стойност.

Отбележете, че условие (4.8) не зависи от избора на точка върху . Наистина, нека P е произволна точка на оста. Тогава

и следователно

В заключение отбелязваме геометричната интерпретация на Резал на уравнения (4.1) и (4.4): векторите на абсолютната скорост на краищата на векторите и са равни съответно на главния вектор и главния момент на всички външни сили спрямо точка А .

МИНИСТЕРСТВО НА ЗЕМЕДЕЛИЕТО И ХРАНИТЕ НА РЕПУБЛИКА БЕЛАРУС

Образователна институция „БЕЛОРУСКО ДЪРЖАВНО СЕЛСКО СТОПАНСТВО

ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ"

Катедра "Теоретична механика и теория на механизмите и машините".

ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНИКА

методически комплекс за студенти по специалности

74 06 Агроинженерство

В 2 части Част 1

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7 T 33

съставен от:

Кандидат на физико-математическите науки, доцент Ю. С. Биза, кандидат на техническите науки, доцент Н. Л. Ракова, ст. преп. А. Тарасевич

Рецензенти:

Катедрата по теоретична механика на образователната институция "Беларуски национален технически университет" (гл.

Катедра "Теоретична механика" БНТУ Доктор на физико-математическите науки, професор А. В. Чигарев);

Водещ изследовател на лабораторията по защита от вибрации на механични системи на Държавната научна институция Обединен институт по машиностроене

НАН на Беларус", кандидат на техническите науки, доцент А. М. Гоман

Теоретична механика. Раздел "Динамика": образователен

Метод Т33. комплекс. В 2 ч. Част 1 / съставители: Ю. С. Биза, Н. Л. Ракова, И. А. Тарасевич. – Минск: BGATU, 2013. – 120 с.

ISBN 978-985-519-616-8.

Учебно-методическият комплекс представя материали за изучаване на раздел „Динамика”, част 1, който е част от дисциплината „Теоретична механика”. Включва курс от лекции, основни материали за изпълнение на практическите занятия, задачи и образци на задачи за самостоятелна работа и контрол на учебната дейност на студенти редовна и задочна форма.

УДК 531.3(07) ББК 22.213я7

ВЪВЕДЕНИЕ

Теоретичната механика е наука за общите закони на механичното движение, равновесието и взаимодействието на материалните тела.

Това е една от фундаменталните общонаучни физико-математически дисциплини. Това е теоретичната основа на съвременната технология.

Изучаването на теоретична механика, наред с други физико-математически дисциплини, спомага за разширяване на научния кръгозор, развива способността за конкретно и абстрактно мислене и спомага за повишаване на общата техническа култура на бъдещия специалист.

Теоретичната механика, като научна основа на всички технически дисциплини, допринася за развитието на умения за рационално решаване на инженерни проблеми, свързани с експлоатацията, ремонта и проектирането на селскостопански и мелиоративни машини и оборудване.

Въз основа на естеството на разглежданите проблеми механиката се разделя на статика, кинематика и динамика. Динамиката е дял от теоретичната механика, който изучава движението на материални тела под въздействието на приложени сили.

IN учебно-методическикомплекс (UMK) представя материали за изучаване на раздел „Динамика“, който включва курс от лекции, основни материали за практическа работа, задачи и образци за самостоятелна работа и наблюдение на учебната дейност на редовни и задочни студенти.

IN В резултат на изучаването на раздела „Динамика“ студентът трябва да овладее теоретичните основи на динамиката и да овладее основните методи за решаване на проблеми с динамиката:

Познава методи за решаване на задачи по динамика, общи теореми на динамиката, принципи на механиката;

Да може да определя законите на движение на тялото в зависимост от силите, действащи върху него; прилагат законите и теоремите на механиката за решаване на проблеми; определят статични и динамични реакции на връзки, ограничаващи движението на телата.

Учебният план на дисциплината „Теоретична механика” предвижда общ хорариум – 136 часа, в това число 36 часа за изучаване на раздел „Динамика”.

1. НАУЧНО И ТЕОРЕТИЧНО СЪДЪРЖАНИЕ НА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИ КОМПЛЕКС

1.1. Терминологичен речник

Статиката е дял от механиката, който излага общото учение за силите, изучава редуцирането на сложни системи от сили до тяхната най-проста форма и установява условията за равновесие на различни системи от сили.

Кинематиката е дял от теоретичната механика, който изучава движението на материални обекти независимо от причините, причиняващи това движение, т.е. независимо от силите, действащи върху тези обекти.

Динамиката е дял от теоретичната механика, който изучава движението на материални тела (точки) под действието на приложени сили.

Материална точка– материално тяло, чиято разлика в движението на точките е незначителна.

Масата на тялото е скаларна положителна величина, която зависи от количеството вещество, съдържащо се в дадено тяло, и определя неговата мярка за инерция по време на транслационно движение.

Референтна система е координатна система, свързана с тяло, по отношение на което се изучава движението на друго тяло.

Инерционна система– система, в която са изпълнени първият и вторият закон на динамиката.

Силовият импулс е векторна мярка за действието на силата за известно време.

Импулс на материална точка – векторна мярка на нейното движение, равна на произведението на масата на точката и нейния вектор на скоростта.

Кинетична енергия– скаларна мярка за механично движение.

Елементарна работа на силатае безкрайно малка скаларна величина, равна на скаларното произведение на вектора на силата и вектора на безкрайно малко преместване на точката на приложение на силата.

Кинетична енергия– скаларна мярка за механично движение.

Кинетичната енергия на материална точка е скаларна енергия

положително количество, равно на половината от произведението на масата на точка и квадрата на нейната скорост.

Кинетична енергия на механична система - аритме-

тична сума от кинетичните енергии на всички материални точки на тази система.

Силата е мярка за механичното взаимодействие на телата, характеризираща неговата интензивност и посока.

1.2. Теми и съдържание на лекциите

Раздел 1. Въведение в динамиката. Основни понятия

класическа механика

Тема 1. Динамика на материална точка

Закони за динамика на материална точка (закони на Галилей – Нютон). Диференциални уравнения на движение на материална точка. Два основни проблема на динамиката за материална точка. Решение на втората задача на динамиката; константи на интегриране и тяхното определяне от начални условия.

Литература:, с. 180-196, , с. 12-26.

Тема 2. Динамика на относителното движение на материала

Относително движение на материална точка. Диференциални уравнения на относително движение на точка; преносими и Кориолисови инерционни сили. Принципът на относителността в класическата механика. Случай на относително спокойствие.

Литература: , с. 180-196, , с. 127-155.

Тема 3. Геометрия на масите. Център на масата на механична система

Маса на системата. Центърът на масата на системата и неговите координати.

Литература:, с. 86-93, с. 264-265

Тема 4. Инерционни моменти на твърдо тяло

Инерционни моменти на твърдо тяло спрямо оста и полюса. Радиус на инерция. Теорема за инерционните моменти относно успоредни оси. Осови моменти на инерция на някои тела.

Центробежните инерционни моменти като характеристика на асиметрията на тялото.

Литература: , с. 265-271, , с. 155-173.

Раздел 2. Общи теореми за динамиката на материална точка

и механична система

Тема 5. Теорема за движението на центъра на масата на системата

Теорема за движението на центъра на масата на системата. Следствия от теоремата за движението на центъра на масата на системата.

Литература: , с. 274-277, , с. 175-192.

Тема 6. Импулс на материална точка

и механична система

Количеството движение на материална точка и механична система. Елементарен импулс и импулс на сила за краен период от време. Теорема за изменението на импулса на точка и система в диференциална и интегрална форма. Закон за запазване на импулса.

Литература: , с. 280-284, , с. 192-207.

Тема 7. Импулс на материална точка

и механична система спрямо центъра и оста

Моментът на импулса на точка спрямо центъра и оста. Теорема за промяната на ъгловия момент на точка. Кинетичният момент на механична система спрямо центъра и оста.

Кинетичният момент на въртящо се твърдо тяло около оста на въртене. Теорема за промяната на ъгловия момент на системата. Закон за запазване на ъгловия момент.

Литература: , с. 292-298, , с. 207-258.

Тема 8. Работа и мощност на силите

Елементарна работа на силата, нейното аналитично изражение. Работа, извършена от сила на краен път. Работа на тежестта, еластична сила. Сумата от работата, извършена от вътрешните сили, действащи в твърдо тяло, е равна на нула. Работата на силите, приложени към твърдо тяло, въртящо се около фиксирана ос. Мощност. Ефективност.

Литература: , с. 208-213, , с. 280-290.

Тема 9. Кинетична енергия на материална точка

и механична система

Кинетична енергия на материална точка и механична система. Изчисляване на кинетичната енергия на твърдо тяло в различни случаи на неговото движение. Теорема на Кьониг. Теорема за изменението на кинетичната енергия на точка в диференциална и интегрална форма. Теорема за изменението на кинетичната енергия на механична система в диференциална и интегрална форма.

Литература: , с. 301-310, , с. 290-344.

Тема 10. Потенциално силово поле и потенциал

Концепцията за силово поле. Потенциално силово поле и силова функция. Работата на сила върху окончателното преместване на точка в потенциално силово поле. Потенциална енергия.

Литература: , с. 317-320, , с. 344-347.

Тема 11. Динамика на твърдото тяло

Диференциални уравнения на постъпателното движение на твърдо тяло. Диференциално уравнение на въртеливото движение на твърдо тяло около неподвижна ос. Физическо махало. Диференциални уравнения на равнинно движение на твърдо тяло.

Литература: , с. 323-334, , с. 157-173.

Раздел 1. Въведение в динамиката. Основни понятия

класическа механика

Динамиката е дял от теоретичната механика, който изучава движението на материални тела (точки) под действието на приложени сили.

материално тяло- тяло, което има маса.

Материална точка– материално тяло, чиято разлика в движението на точките е незначителна. Това може да бъде или тяло, чиито размери по време на движението му могат да бъдат пренебрегнати, или тяло с крайни размери, ако се движи постъпателно.

Материални точки се наричат ​​още частици, на които едно твърдо тяло се разделя мислено при определяне на някои от неговите динамични характеристики. Примери за материални точки (фиг. 1): а – движението на Земята около Слънцето. Земята е материална точка; b – постъпателно движение на твърдо тяло. Твърдо тяло - майка

ал точка, защото V B = V A ; a B = a A; c – въртене на тялото около ос.

Частица от тяло е материална точка.

Инерцията е свойството на материалните тела да променят по-бързо или по-бавно скоростта на своето движение под въздействието на приложени сили.

Масата на тялото е скаларна положителна величина, която зависи от количеството вещество, съдържащо се в дадено тяло, и определя неговата мярка за инерция по време на транслационно движение. В класическата механика масата е постоянна величина.

Силата е количествена мярка за механичното взаимодействие между телата или между тяло (точка) и поле (електрическо, магнитно и др.).

Силата е векторна величина, характеризираща се с големина, точка на приложение и посока (линия на действие) (фиг. 2: A - точка на приложение; AB - линия на действие на силата).

Ориз. 2

В динамиката, наред с постоянните сили, има и променливи сили, които могат да зависят от времето t, скоростϑ, разстоянието или от комбинация от тези величини, т.е.

F = const;

F = F(t);

F = F(ϑ) ;

F = F(r);

F = F(t, r, ϑ) .

електрически локомотив; c − F = F (r) – силата на отблъскване от центъра O или привличане към него.

Референтна система е координатна система, свързана с тяло, по отношение на което се изучава движението на друго тяло.

Инерциална система е система, в която са изпълнени първият и вторият закон на динамиката. Това е фиксирана координатна система или система, движеща се равномерно и линейно.

Движението в механиката е промяна в положението на тялото в пространството и времето по отношение на други тела.

Пространството в класическата механика е триизмерно, подчинявайки се на евклидовата геометрия.

Времето е скаларна величина, която тече еднакво във всяка референтна система.

Система от единици е набор от единици за измерване на физически величини. За измерване на всички механични величини са достатъчни три основни единици: единици за дължина, време, маса или сила.

Всички останали мерни единици на механични величини са получени от тях. Използват се два вида системи единици: международната система единици SI (или по-малка - GHS) и техническата система единици - ICGSS.

Тема 1. Динамика на материална точка

1.1. Закони на динамиката на материална точка (закони на Галилей-Нютон)

Първи закон (закон за инерцията).

Материална точка, изолирана от външни влияния, поддържа своето състояние на покой или се движи равномерно и праволинейно, докато приложените сили не я принудят да промени това състояние.

Движението, извършвано от точка при липса на сили или под действието на уравновесена система от сили, се нарича движение по инерция.

Например движението на тяло по гладка (силата на триене е нула)

хоризонтална повърхност (фиг. 4: G – телесно тегло; N – нормална равнинна реакция).

Тъй като G = − N, тогава G + N = 0.

Когато ϑ 0 ≠ 0 тялото се движи със същата скорост; когато ϑ 0 = 0 тялото е в покой (ϑ 0 е началната скорост).

Втори закон (основен закон на динамиката).

Произведението от масата на дадена точка и ускорението, което тя получава под въздействието на дадена сила, е равно по големина на тази сила и нейната посока съвпада с посоката на ускорението.

а б

Математически този закон се изразява чрез векторно равенство

Когато F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = const – точката се движи равномерно и праволинейно или при ϑ 0 = 0 – тя е в покой (закон за инерцията). Второ

законът ни позволява да установим връзка между масата m на тяло, разположено близо до земната повърхност, и неговото тегло G .G = mg, където g е

ускорение на гравитацията.

Трети закон (закон за равенството на действието и противодействието). Две материални точки действат една върху друга с равни по големина сили, насочени по правата, свързваща ги

тези точки в противоположни посоки.

Тъй като силите F 1 = − F 2 са приложени към различни точки, системата от сили (F 1 , F 2 ) не е балансирана, т.е. (F 1 , F 2 )≈ 0 (фиг. 6).

масите на взаимодействащите точки са обратно пропорционални на техните ускорения.

Четвъртият закон (законът за независимостта на действието на силите). Ускорението, получено от точка при едновременно действие върху нея

но няколко сили, равни на геометричната сума от онези ускорения, които точката би получила, ако всяка сила се приложи към нея поотделно.

Обяснение (фиг. 7).

t a n

a 1 a kF n

Резултатна сила R (F 1 ,...F k ,...F n ) .

Тъй като ma = R,F 1 = ma 1, ...,F k = ma k, ...,F n = man, тогава

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k, т.е. четвъртият закон е еквивалентен

k = 1

правилото за добавяне на сили.

1.2. Диференциални уравнения на движение на материална точка

Нека няколко сили действат едновременно върху материална точка, сред които има постоянни и променливи.

Нека запишем втория закон на динамиката във формата

точки, тогава (1.2) съдържа производни на r и е диференциално уравнение на движението на материална точка във векторна форма или основното уравнение на динамиката на материална точка.

Проекции на векторно равенство (1.2): - върху оста на декартовите координати (фиг. 8, а)

По естествената ос (фиг. 8, б)

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

Уравнения (1.3) и (1.4) са диференциални уравнения на движение на материална точка, съответно в декартовите координатни оси и естествените оси, т.е. естествени диференциални уравнения, които обикновено се използват за криволинейно движение на точка, ако траекторията на точката и нейният радиус на кривина са известни.

1.3. Два основни проблема на динамиката за материална точка и тяхното решение

Първата (пряка) задача.

Познавайки закона за движение и масата на точката, определете силата, действаща върху точката.

За да разрешите тази задача, трябва да знаете ускорението на точката. В задачи от този тип може да се посочи директно или да се посочи законът за движение на точка, в съответствие с който тя да се определи.

1. Така че, ако движението на точка е определено в декартови координати

x = f 1 (t), y = f 2 (t) и z = f 3 (t), тогава се определят проекциите на ускорението