Karmaşık sayılar kümesi bir alan mıdır? Karmaşık sayı alanı

Def. Karmaşık sayılar sistemine, gerçek sayılar alanının bir uzantısı olan ve içinde i (i 2 -1=0) öğesinin bulunduğu minimum alan adı verilir.

Def. Cebir<ℂ, +, ∙, 0, 1, ℝ, ⊕, ⊙, i>Aşağıdaki koşullar (aksiyomlar) karşılanırsa bilgisayar sayıları sistemi denir:

1. a,b∊ℂ∃!m∊ℂ: a+b=m

2. a,b,c∊ℂ (a+b)+c=a+(b+c)

3. a,b∊ℂa+b=b+a

4. ∃ 0∊ℂ a∊ℂ a+0=a

5. a∊ℂ ∃(-a)∊ℂ a+(-a)=0

6. a,b∊ℂ ∃! n∊ℂa∙b=n

7. a,b,c∊ℂ (a∙b)∙c=a∙(b∙c)

8. a,b∊ℂa∙b=b∙a

9. ∃1∊ℂ a∊ℂ a∙1=a

10. a∊ℂ ∃a -1 ∊ℂ a∙a -1 =1

11. a,b,c∊ℂ (a+b)c=ac+bc

12. - eylem alanı sayılar

13. Rєℂ, a,b∊R a⊕b=a+b, a⊙b=a∙b

14. ∃i∊ℂ:i 2 +1=0

15. ℳ≠⌀ 1)ℳ⊂ℂ,R⊂ℳ 2) α,β∊ℳ⇒(α+β)∊ℳ ve (α∙β)∊ℳ)⇒ℳ=ℂ

Kutsal sayılar:

1. α∊ℂ∃! (a,b) ∊ R:α=a+b∙i

2. Comp numaraları alanı doğrusal olarak sıralanamaz; α∊ℂ, α≥0 |+1, α 2 +1≥1, i 2 +1=0, 0≥1-imkansız.

3. Cebirin temel teoremi: Sayıların ℂ alanı cebirsel olarak kapalıdır, yani her çoğul sayı pozitiftir. derece alanı üzerinde sayıların ℂ'si en az bir sete sahiptir. kök

Ana bölümden aşağıdakiler alg.teoremleri: Pozitifin herhangi bir çoğulluğu. Karmaşık sayılar alanı üzerindeki dereceler, birinci derecenin pozitif katsayılı bir çarpımına bölünebilir.

Sonraki: herhangi bir dörtlü seviyenin 2 kökü vardır: 1) D>0 2 farklı. geçerli kök 2)D=0 2-a hedef. 3)D kökünün tesadüfü<0 2-а компл-х корня.

4. Aksiyom. karmaşık sayılar teorisi kategorik ve tutarlıdır

Metodoloji.

Genel eğitim derslerinde karmaşık sayı kavramı dikkate alınmaz, yalnızca gerçek sayıların incelenmesiyle sınırlıdır. Ancak lisede okul çocukları zaten oldukça olgun bir matematik eğitimine sahipler ve sayı kavramını genişletme ihtiyacını anlayabiliyorlar. Genel gelişim açısından bakıldığında, bir öğrenci için gelecekteki mesleği seçme sürecinde önemli olan karmaşık sayılar hakkındaki bilgiler doğa bilimleri ve teknolojide kullanılmaktadır. Bazı ders kitaplarının yazarları, cebir ders kitaplarında bu konunun incelenmesini zorunlu olarak ve devlet standardı tarafından sağlanan özel seviyeler için matematiksel analizin başlangıcını içerir.

Metodolojik açıdan bakıldığında “Karmaşık sayılar” konusu, matematiğin temel dersinde ortaya konan polinom ve sayı kavramlarını geliştirir ve derinleştirir, bir anlamda ortaokulda sayı kavramının gelişim yolunu tamamlar.

Bununla birlikte, lisede bile birçok okul çocuğu soyut düşünceyi yeterince geliştirememiştir veya koordinat ile karmaşık düzlem arasındaki farkları anlamak için "hayali, hayali" bir birim hayal etmek çok zordur. Ya da tam tersi, öğrenci soyut kavramlarla, gerçek içeriklerinden yalıtılmış olarak işlem yapar.

“Karmaşık sayılar” konusunu inceledikten sonra öğrenciler karmaşık sayılar hakkında net bir anlayışa sahip olmalı, karmaşık sayıların cebirsel, geometrik ve trigonometrik formlarını bilmelidir. Öğrenciler karmaşık sayılarda toplama, çarpma, çıkarma, bölme, üs alma ve kök çıkarma işlemlerini gerçekleştirebilmelidir; Karmaşık sayıları cebirden trigonometrik forma dönüştürün, karmaşık sayıların geometrik modeli hakkında fikir sahibi olun

N.Ya.Vilenkin, O.S. Ivashev-Musatov, S.I. Shvartsburd'un matematik dersleri ders kitabında "Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı", 11. sınıfta "Karmaşık sayılar" konusu tanıtılıyor. 10. sınıfta trigonometri, 11. sınıfta integral ve diferansiyel denklemler, üstel, logaritmik ve kuvvet fonksiyonları ve polinomlar işlendikten sonra 11. sınıfın ikinci yarısında konunun çalışılması yapılır. Ders kitabında “Karmaşık sayılar ve bunlar üzerinde yapılan işlemler” konusu iki bölüme ayrılmıştır: Cebirsel formda karmaşık sayılar; Karmaşık sayıların trigonometrik formu. “Karmaşık sayılar ve üzerlerindeki işlemler” konusunun ele alınması, ikinci dereceden denklemlerin, üçüncü ve dördüncü derece denklemlerin çözülmesi sorununun dikkate alınmasıyla başlar ve bunun sonucunda “yeni bir i sayısı” tanıtılması ihtiyacı ortaya çıkar. Karmaşık sayılar ve bunlarla ilgili işlemler kavramları hemen verilmektedir: karmaşık sayıların toplamını, çarpımını ve bölümünü bulma. Daha sonra karmaşık sayı kavramının kesin bir tanımı, toplama ve çarpma, çıkarma ve bölme işlemlerinin özellikleri verilmektedir. Bir sonraki paragraf eşlenik karmaşık sayılar ve bunların bazı özelliklerinden bahsediyor. Daha sonra, karmaşık sayılardan karekök çıkarma ve karmaşık katsayılı ikinci dereceden denklemleri çözme konusunu ele alacağız. Sonraki paragrafta şunlar tartışılmaktadır: karmaşık sayıların geometrik gösterimi; kutupsal koordinat sistemi ve karmaşık sayıların trigonometrik biçimi; karmaşık sayıların trigonometrik formda çarpılması, üstel alınması ve bölünmesi; Moivre formülü, karmaşık sayıların trigonometrik özdeşliklerin ispatına uygulanması; karmaşık bir sayının kökünün çıkarılması; polinom cebirinin temel teoremi; karmaşık sayılar ve geometrik dönüşümler, karmaşık değişkenli fonksiyonlar.

Ders kitabında S.M. Nikolsky, M.K. Potapova, N.N. Reshetnikova, A.V. Shevkin “Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı”, konu “Karmaşık sayılar 11. sınıfta tüm konular incelendikten sonra ele alınır, ör. Bir okul cebir dersinin sonunda. Konu üç bölüme ayrılmıştır: Karmaşık sayıların cebirsel formu ve geometrik yorumu; Karmaşık sayıların trigonometrik formu; Polinomların kökleri, karmaşık sayıların üstel formu. Paragrafların içeriği oldukça hacimlidir; içerisinde pek çok kavram, tanım ve teorem barındırmaktadır. “Karmaşık sayıların cebirsel formu ve geometrik yorumu” paragrafı üç bölüm içerir: karmaşık bir sayının cebirsel formu; karmaşık sayıların eşleniği; Karmaşık bir sayının geometrik yorumu. “Karmaşık bir sayının trigonometrik formu” paragrafı, karmaşık bir sayının trigonometrik formu kavramını tanıtmak için gerekli tanımları ve kavramları ve ayrıca cebirsel gösterim biçiminden trigonometrik gösterim biçimine geçiş için bir algoritmayı içerir. karmaşık bir sayı. Son paragrafta “Polinomların kökleri. Karmaşık sayıların üstel biçimi" üç bölümden oluşur: karmaşık sayıların kökleri ve özellikleri; polinomların kökleri; karmaşık bir sayının üstel formu.

Ders kitabı materyali küçük bir ciltte sunulmaktadır, ancak öğrencilerin karmaşık sayıların özünü anlamaları ve bunlar hakkında minimum bilgiye sahip olmaları için oldukça yeterlidir. Ders kitabı az sayıda alıştırma içeriyor ve karmaşık bir sayıyı bir kuvvete yükseltme konusunu ve Moivre formülünü ele almıyor

A.G. ders kitabında. Mordkovich, P.V. Semenov “Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı”, profil seviyesi, 10. sınıf, “Karmaşık Sayılar” konusu, 10. sınıfın ikinci yarısında “Gerçek Sayılar” ve “Trigonometri” konularını inceledikten hemen sonra tanıtılmaktadır. Bu yerleştirme tesadüfi değildir: hem sayı çemberi hem de trigonometri formülleri, karmaşık bir sayının trigonometrik formunun, Moivre formülünün incelenmesinde ve karmaşık bir sayıdan kare ve küp köklerinin çıkarılmasında aktif olarak kullanılır. “Karmaşık sayılar” konusu 6. Bölümde sunulmuştur ve 5 bölüme ayrılmıştır: karmaşık sayılar ve bunlar üzerinde yapılan aritmetik işlemler; karmaşık sayılar ve koordinat düzlemi; karmaşık bir sayının trigonometrik biçimi; karmaşık sayılar ve ikinci dereceden denklemler; Karmaşık bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek, karmaşık bir sayının küp kökünü çıkarmak.

Karmaşık sayı kavramı, sayı kavramının bir uzantısı olarak ve reel sayılarda belirli işlemlerin gerçekleştirilmesinin imkansızlığı olarak ortaya atılmıştır. Ders kitabı ana sayısal kümeleri ve bunlarda izin verilen işlemleri içeren bir tablo sunar. Karmaşık sayıların sağlaması gereken minimum koşullar sıralanmış, ardından sanal birim kavramı, karmaşık sayının tanımı, karmaşık sayıların eşitliği, toplamları, farkları, çarpımları ve bölümleri anlatılmıştır.

Gerçel sayılar kümesinin geometrik modelinden karmaşık sayılar kümesinin geometrik modeline geçiyoruz. “Karmaşık sayı yazmanın trigonometrik formu” konusunun ele alınması, karmaşık sayının modülünün tanımı ve özellikleriyle başlar. Daha sonra karmaşık sayının trigonometrik biçimine, karmaşık sayının argümanının tanımına ve karmaşık sayının standart trigonometrik biçimine bakacağız.

Daha sonra, karmaşık bir sayının karekökünün çıkarılmasını ve ikinci dereceden denklemlerin çözümünü inceliyoruz. Son paragrafta ise Moivre formülü tanıtılıyor ve karmaşık bir sayının küp kökünü çıkarmaya yönelik bir algoritma türetiliyor.

Ayrıca incelenen ders kitabında, her paragrafta teorik kısma paralel olarak teoriyi açıklayan ve konunun daha anlamlı algılanmasını sağlayan birkaç örnek ele alınmıştır. Kısa tarihsel gerçekler verilmiştir.

Tanımlar . İzin vermek A, B- gerçek sayılar, Ben– bazı semboller. Karmaşık sayı formun bir gösterimidir A+bi.

Ek Ve çarpma işlemi karmaşık sayılar kümesindeki sayılar: (A+bi)+(C+di)=(A+C)+(B+d)ben

(A+bi)(c+di)=(AC–bd)+(reklam+bc)ben. .

Teorem 1 . Karmaşık sayılar kümesi İLE toplama ve çarpma işlemleriyle bir alan oluşturur. Toplamanın özellikleri

1) Değişebilirlik B: (A+bi)+(C+di)=(A+C)+(B+d)ben=(C+di)+(A+bi).

2) çağrışımsallık :[(A+bi)+(C+di)]+(e+fi)=(A+C+e)+(B+D+f)ben=(A+bi)+[(C+di)+(e+fi)].

3) Varoluş nötr eleman :(A+bi)+(0 +0i)=(A+bi). Sayı 0 +0 Ben sıfır diyeceğiz ve göstereceğiz 0 .

4) Varoluş karşıt eleman : (A+bi)+(–A–bi)=0 +0i=0 .

5) Çarpmanın değişmezliği : (A+bi)(c+di)=(AC–bd)+(M.Ö+reklam)i=(C+di)(bir+bi).

6) Çarpmanın ilişkilendirilebilirliği :Eğer z1=A+bi, z2=C+di, z3=e+fi, O (z 1 z 2)z 3=z 1 (z 2 z 3).

7) DAĞILMA: Eğer z1=A+bi, z2=C+di, z3=e+fi, O z1 (z2+z3)=z1z2+z1z3.

8) Çarpma için nötr eleman :(A+bi)(1+0i)=(bir 1–b0)+(a·0+b·1)i=A+bi.

9) Sayı 1 +0i=1 – birim.

9) Varoluş ters eleman : " z¹ 0 $z –1 :zz –1 =1 .

İzin vermek z=A+bi. Gerçek sayılar A, isminde geçerli, A B - hayali parçalar karmaşık sayı z. Kullanılan notasyonlar: A=Rez, B=Imz.

Eğer B=0 , O z=A+ 0i=A- gerçek Numara. Bu nedenle gerçek sayılar kümesi R karmaşık sayılar kümesinin bir parçasıdır C: R-C.

Not: ben 2=(0 +1i)(0+1i)=–1 +0i=–1 . Sayının bu özelliğini kullanma Ben Teorem 1'de kanıtlanmış işlemlerin özelliklerinin yanı sıra, karmaşık sayılarla işlemleri olağan kurallara göre gerçekleştirebilirsiniz; ben 2 Açık - 1 .

Yorum. £, ³ (“daha ​​az”, “daha ​​büyük”) ilişkileri karmaşık sayılar için tanımlanmamıştır.

2 Trigonometrik gösterim .

z = a+bi girdisi çağrılır cebirsel karmaşık sayı formu . Seçilen Kartezyen koordinat sistemine sahip bir düzlemi düşünelim. Sayıyı temsil edeceğiz z koordinatlı nokta (a, b). Daha sonra gerçek sayılar A=A+0i eksen noktaları ile temsil edilecektir ÖKÜZ- denir geçerli eksen. Eksen OY isminde hayali eksen, noktaları formun sayılarına karşılık gelir bi bazen buna denir tamamen hayali . Uçağın tamamı çağrılır karmaşık düzlem .Numara aranır modül sayılar z: ,

Kutup açısı J isminde argüman sayılar z: J=argz.

Argüman bir terime kadar belirlenir 2kp; bunun için değer – P< j £ p , isminde ana önem argüman. Sayılar R, J noktanın kutupsal koordinatlarıdır z. Açık ki A=r çünkü, B=r sinj ve şunu elde ederiz: z=A+b.i=r·(cosj+Sinj). trigonometrik form karmaşık sayı yazma

Eşlenik sayılar . Karmaşık sayıya bir sayının eşleniği denirz = A + bi . Bu açık. Özellikler : .

Yorum. Eşlenik sayıların toplamı ve çarpımı gerçek sayılardır:

Karmaşık sayı kavramı öncelikle denklemle ilişkilidir. Bu denklemi sağlayan gerçek sayılar yoktur.

Böylece, karmaşık sayılar, gerçel sayılar alanının bir genellemesi (uzantısı) olarak, rastgele ikinci dereceden (ve daha genel) denklemleri, ona yeni sayılar ekleyerek çözme girişimlerinde ortaya çıktı, böylece genişletilmiş küme, çıkarma eyleminin gerçekleştiği bir sayı alanı oluşturdu. kök her zaman mümkün olacaktır.

Tanım.Karesi olan bir sayı - 1genellikle harfle gösterilirBen ve Çağrı yap hayali birim.

Tanım. Karmaşık sayılar alanı C denklemin kökünü içeren reel sayılar alanının minimum uzantısı denir.

Tanım. Alan İLE isminde karmaşık sayılar alanı aşağıdaki koşulları karşılıyorsa:

Teorem. (Karmaşık sayılar alanının varlığı ve tekliği üzerine). Denklemin kökünün belirlenmesine kadar sadece bir tane var karmaşık sayı alanı İLE .

Her öğe aşağıdaki biçimde benzersiz bir şekilde temsil edilebilir:

denklemin kökü nerede Ben 2 +1=0.

Tanım. Herhangi bir öğe isminde karmaşık sayı x gerçel sayısına denir gerçek kısım z sayısı ve ile gösterilir, y gerçek sayısı denir sanal kısım z sayısı ve ile gösterilir.

Dolayısıyla karmaşık sayı, gerçek sayılardan oluşan bir karmaşık olan sıralı bir çifttir. X Ve sen.

Eğer X=0, ardından sayı z= 0+iy=iy isminde tamamen hayali veya hayali. Eğer sen=0, ardından sayı z=x+ 0i=x gerçek bir sayı ile tanımlanır X.

İki karmaşık sayının gerçek ve sanal kısımları eşitse eşit kabul edilir:

Bir karmaşık sayının gerçek ve sanal kısımları sıfıra eşit olduğunda, karmaşık sayı sıfıra eşittir:

Tanım. Gerçel kısımları aynı olan ve sanal kısımları mutlak değerde eşit fakat işaret bakımından zıt olan iki karmaşık sayıya denir karmaşık eşlenik ya da sadece konjuge.

Eşlenik sayı z, ile gösterilir. Böylece, eğer , o zaman .

1.3. Karmaşık bir sayının modülü ve argümanı.
Karmaşık sayıların geometrik gösterimi

Geometrik olarak karmaşık bir sayı bir düzlem üzerinde (Şekil 1) bir nokta olarak gösterilir. M koordinatlarla ( X, sen).

Tanım. Karmaşık sayıların gösterildiği düzleme denir karmaşık düzlem C, gerçek sayıların yer aldığı Ox ve Oy eksenleri ve tamamen hayali sayılar , arandı geçerli Ve hayali sırasıyla eksenler.

Nokta konumu kullanılarak da belirlenebilir. kutupsal koordinatlar R Ve φ yani noktanın yarıçap vektörünün uzunluğunu ve yarıçap vektörünün eğim açısını kullanarak M(x, y) pozitif gerçek yarı eksene Ah.

Tanım. Modül karmaşık sayı, koordinat (karmaşık) düzleminde karmaşık sayıyı temsil eden vektörün uzunluğudur.

Karmaşık bir sayının modülü bir harfle veya harfle gösterilir R ve gerçek ve sanal kısımlarının karelerinin toplamının karekökünün aritmetik değerine eşittir.

Karmaşık sayı z isminde ifade nerede A Ve V- gerçek sayılar, Ben– hayali birim veya özel işaret.

Bu durumda aşağıdaki anlaşmalar yerine getirilir:

1) a+bi ifadesi ile cebirdeki birebir ifadeler için kabul edilen kurallara göre aritmetik işlemler yapabilirsiniz;

5) a, b, c, d'nin gerçel sayılar olduğu a+bi=c+di eşitliği ancak ve ancak a=c ve b=d olduğunda ortaya çıkar.

0+bi=bi sayısına denir hayali veya tamamen hayali.

Herhangi bir gerçek sayı a, karmaşık sayının özel durumudur çünkü a=a+ 0i biçiminde yazılabilir. Özellikle 0=0+0i, ancak a+bi=0 ise a+bi=0+0i, dolayısıyla a=b=0 olur.

Dolayısıyla, bir karmaşık sayı a+bi=0 ancak ve ancak a=0 ve b=0 ise mümkündür.

Anlaşmalardan karmaşık sayıların dönüşüm yasalarını takip ediyoruz:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

(a+bi)+(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i;

Karmaşık sayıların toplamının, farkının, çarpımının ve bölümünün (bölenin sıfıra eşit olmadığı durumda) bir karmaşık sayı olduğunu görüyoruz.

Sayı A isminde karmaşık bir sayının gerçek kısmı z( ile gösterilir), V– z karmaşık sayısının imajiner kısmı ( ile gösterilir).

Reel kısmı sıfır olan bir z karmaşık sayısına denir. tamamen hayali, sıfır hayali ile – tamamen gerçek.

İki karmaşık sayı çağrılır. eşit gerçek ve sanal kısımları çakışırsa.

İki karmaşık sayı çağrılır. konjuge, eğer maddeleri varsa. parçalar çakışır, ancak hayali parçaların işaretleri farklıdır. , sonra eşleniği.

Eşlenik sayıların toplamı madde sayısıdır ve fark tamamen sanal bir sayıdır. Sayıların çarpma ve toplama işlemleri doğal olarak karmaşık sayılar kümesinde tanımlanır. Yani, eğer ve iki karmaşık sayı ise, o zaman toplam: ; iş: .

Şimdi çıkarma ve bölme işlemlerini tanımlayalım.

İki karmaşık sayının çarpımının madde sayısı olduğuna dikkat edin.

(i=-1 olduğundan). Bu numara aranır. kare modülü sayılar. Dolayısıyla eğer bir sayı ise modülü bir reel sayıdır.

Gerçek sayılardan farklı olarak karmaşık sayılar için “daha ​​fazla” ve “daha ​​az” kavramları getirilmemiştir.

Karmaşık sayıların geometrik gösterimi. Gerçek sayılar sayı doğrusu üzerindeki noktalarla temsil edilir:

İşte asıl nokta A–3 sayısı, nokta anlamına gelir B– 2 numara ve Ö- sıfır. Bunun aksine, karmaşık sayılar koordinat düzlemindeki noktalarla temsil edilir. Bu amaçla her iki eksende aynı ölçeklere sahip dikdörtgen (Kartezyen) koordinatları seçiyoruz. O zaman karmaşık sayı a+ bi bir nokta ile temsil edilecek Apsis a ve ordinat b ile P(pirinç.). Bu koordinat sistemine denir karmaşık düzlem.

Modül karmaşık sayı vektörün uzunluğudur OP, koordinatta karmaşık bir sayıyı temsil eder ( kapsayıcı) uçak. Karmaşık bir sayının modülü a+ bi belirtilen | a+ bi| veya mektup R ve şuna eşittir:

Eşlenik karmaşık sayılar aynı modüle sahiptir. __

Argüman karmaşık sayı eksenler arasındaki açıdır ÖKÜZ ve vektör OP, bu karmaşık sayıyı temsil ediyor. Dolayısıyla ten rengi = B / A .

Karmaşık bir sayının trigonometrik formu. Karmaşık sayıların cebirsel formda yazılmasının yanı sıra başka bir form da kullanılır. trigonometrik.

z=a+bi karmaşık sayısının (a,b) koordinatlarına sahip OA vektörü ile temsil edilmesine izin verin. OA vektörünün uzunluğunu kayın r: r=|OA| ile ve Ox ekseninin pozitif yönü ile oluşturduğu açıyı φ açısıyla gösterelim.

sinφ=b/r, cosφ=a/r fonksiyonlarının tanımları kullanılarak z=a+bi karmaşık sayısı z=r(cosφ+i*sinφ) olarak yazılabilir; burada , ve φ açısı şu şekilde belirlenir: koşullar

Trigonometrik form z karmaşık sayısının z=r(cosφ+i*sinφ) biçiminde temsilidir; burada r ve φ gerçel sayılardır ve r≥0.

Aslında r sayısına denir modül karmaşık sayı |z| ile gösterilir ve φ açısı karmaşık sayı z'nin argümanıdır. Bir z karmaşık sayısının φ argümanı Arg z ile gösterilir.

Trigonometrik biçimde temsil edilen karmaşık sayılarla işlemler:

Bu ünlü Moivre'nin formülü.

8 .Vektör Uzayı. Vektör uzaylarının örnekleri ve en basit özellikleri. Bir vektör sisteminin doğrusal bağımlılığı ve bağımsızlığı. Nihai vektör sisteminin temeli ve sıralaması

Vektör Uzayı - sıradan üç boyutlu uzayın tüm (serbest) vektörlerinin kümesi kavramını genelleştiren matematiksel bir kavram.

Üç boyutlu uzaydaki vektörler için, vektörleri toplama ve bunları gerçek sayılarla çarpma kuralları belirtilmiştir. Herhangi bir vektöre uygulanabilir x, y, z ve herhangi bir sayı α, β bu kurallar tatmin edici aşağıdaki koşullar:

1) X+en=en+X(toplamanın değişebilirliği);

2)(X+en)+z=X+(sen+z) (eklemenin ilişkilendirilebilirliği);

3) sıfır vektör var 0 (veya boş vektör) koşulu karşılayan X+0 =X: herhangi bir vektör için X;

4) herhangi bir vektör için X zıt bir vektör var enöyle ki X+en =0 ,

5) 1 adet=X,burada 1 alan birimidir

6) α (βx)=(αβ )X(çarpmanın ilişkilendirilebilirliği), burada ürün αβ skalerlerin ürünüdür

7) (α +β )X=αх+βх(sayısal faktöre göre dağılım özelliği);

8) α (X+en)=αх+αу(vektör çarpanına göre dağılım özelliği).

Bir vektör (veya doğrusal) uzayı bir kümedir R, 1-8 arasındaki koşulları karşılayan, elemanların eklenmesi ve elemanların gerçek sayılarla çarpılması işlemlerinin tanımlandığı, herhangi bir nitelikteki elemanlardan oluşan (vektörler adı verilen).

Bu tür uzaylara örnek olarak gerçek sayılar kümesi, düzlemdeki ve uzaydaki vektörler kümesi, matrisler vb. verilebilir.

Teorem “Vektör uzaylarının en basit özellikleri”

1. Bir vektör uzayında yalnızca bir sıfır vektör vardır.

2. Vektör uzayında her vektörün kendine özgü bir karşıtı vardır.

4. .

Belge

V vektör uzayının sıfır vektörü 0 olsun. O halde . Başka bir sıfır vektörü olsun. Daha sonra . İlk durumu ele alalım ve ikincisini ele alalım - . Sonra ve , bunu nereden takip ettiği vb.

Öncelikle sıfır skaler ile herhangi bir vektörün çarpımının sıfır vektöre eşit olduğunu kanıtlayacağız.

İzin vermek . Daha sonra vektör uzayı aksiyomlarını uygulayarak şunu elde ederiz:

Toplama açısından bir vektör uzayı bir Abel grubudur ve iptal yasası herhangi bir grupta geçerlidir. İndirgenme kanunu uygulandığında son eşitlik 0*x=0 anlamına gelir

Şimdi ifade 4)'ü kanıtlıyoruz. Keyfi bir vektör olsun. Daha sonra

Buradan (-1)x vektörünün x vektörünün karşısında olduğu sonucu çıkar.

Şimdi x=0 olsun. Daha sonra vektör uzayı aksiyomlarını uygulayarak şunu elde ederiz:

Bunu varsayalım. K bir cisim olduğundan, o zaman . Soldaki eşitliği : ile çarpalım, bu da 1*x=0 veya x=0 anlamına gelir

Bir vektör sisteminin doğrusal bağımlılığı ve bağımsızlığı. Bir vektörler kümesine vektör sistemi denir.

Aynı anda sıfıra eşit olmayan sayılar varsa, bir vektörler sistemine doğrusal bağımlı denir; öyle ki (1)

Eşitlik (1) yalnızca için mümkünse, k vektörden oluşan bir sisteme doğrusal bağımsız denir; Eşitliğin (1) sol tarafındaki doğrusal kombinasyon önemsiz olduğunda.

Notlar:

1. Bir vektör aynı zamanda bir sistem oluşturur: doğrusal olarak bağımlı ve doğrusal olarak bağımsız.

2. Bir vektörler sisteminin herhangi bir parçasına alt sistem denir.

Doğrusal olarak bağımlı ve doğrusal olarak bağımsız vektörlerin özellikleri:

1. Bir vektör sistemi sıfır vektör içeriyorsa doğrusal olarak bağımlıdır.

2. Bir vektör sisteminin iki eşit vektörü varsa bu sistem doğrusal olarak bağımlıdır.

3. Bir vektör sisteminin iki orantılı vektörü varsa, bu sistem doğrusal olarak bağımlıdır.

4. k>1 vektörden oluşan bir sistem, ancak ve ancak vektörlerden en az birinin diğerlerinin doğrusal birleşimi olması durumunda doğrusal olarak bağımlıdır.

5. Doğrusal olarak bağımsız bir sisteme dahil olan herhangi bir vektör, doğrusal olarak bağımsız bir alt sistem oluşturur.

6. Doğrusal olarak bağımlı bir alt sistem içeren bir vektörler sistemi doğrusal olarak bağımlıdır.

7. Bir vektör sistemi doğrusal olarak bağımsızsa ve ona bir vektör eklendikten sonra doğrusal olarak bağımlı olduğu ortaya çıkarsa, o zaman vektör vektörlere genişletilebilir ve ayrıca benzersiz bir şekilde, yani. genişleme katsayıları benzersiz bir şekilde bulunabilir.

Örneğin son özelliği kanıtlayalım. Vektörler sistemi doğrusal olarak bağımlı olduğundan, tamamı 0'a eşit olmayan sayılar vardır. Bu eşitlikte. Aslında eğer öyleyse. Bu, vektörlerin önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyonunun sıfır vektöre eşit olduğu anlamına gelir; bu da sistemin doğrusal bağımsızlığıyla çelişir. Sonuç olarak ve sonra, yani. bir vektör, vektörlerin doğrusal bir birleşimidir. Geriye böyle bir temsilin benzersizliğini göstermeye devam ediyor. Tam tersini varsayalım. İki açılım olsun ve olsun ve açılımların tüm katsayıları sırasıyla birbirine eşit olmasın (örneğin, ).

O zaman eşitlikten elde ederiz.

Bu nedenle, vektörlerin doğrusal birleşimi sıfır vektörüne eşittir. Katsayılarının tümü (en azından) sıfıra eşit olmadığından, bu kombinasyon önemsiz değildir ve bu, vektörlerin doğrusal bağımsızlığı koşuluyla çelişir. Ortaya çıkan çelişki, genişlemenin benzersizliğini doğruluyor.

Vektör sisteminin derecesi ve temeli. Bir vektörler sisteminin derecesi, sistemin doğrusal olarak bağımsız vektörlerinin maksimum sayısıdır.

Vektör sisteminin temeli belirli bir vektör sisteminin maksimum doğrusal bağımsız alt sistemi denir.

Teorem. Herhangi bir sistem vektörü, sistem temel vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir. (Herhangi bir sistem vektörü temel vektörlere genişletilebilir.) Genişleme katsayıları belirli bir vektör ve belirli bir temel için benzersiz olarak belirlenir.

Belge:

Sistemin bir temeli olsun.

1 vaka. Vektör - temelden. Bu nedenle, diyelim ki temel vektörlerden birine eşittir. O halde = .

Durum 2. Vektör tabandan değil. O halde r>k.

Bir vektörler sistemi düşünelim. Bu sistem bir temel olduğu için doğrusal olarak bağımlıdır, yani. maksimum doğrusal bağımsız alt sistem. Sonuç olarak, 1'li, 2'li, ..., k'lı ve hepsi sıfıra eşit olmayan sayılar vardır; öyle ki

Açıktır ki (eğer c = 0 ise sistemin temeli doğrusal bağımlıdır).

Vektörün tabana göre açılımının tek olduğunu kanıtlayalım. Bunun tersini varsayalım: vektörün tabana göre iki açılımı vardır.

Bu eşitlikleri çıkararak şunu elde ederiz:

Temel vektörlerin doğrusal bağımsızlığını hesaba katarak şunu elde ederiz:

Sonuç olarak, vektörün tabana göre genişlemesi benzersizdir.

Sistemin herhangi bir tabanındaki vektörlerin sayısı, vektörler sisteminin rütbesine eşit ve aynıdır.

Alanın aksiyomları. Karmaşık sayıların alanı. Karmaşık bir sayının trigonometrik gösterimi.

Karmaşık sayı, gerçek sayılar olarak adlandırılan formdaki bir sayıdır. hayali birim. Numara aranır gerçek kısım ( ) karmaşık sayıya sayı denir sanal kısım ( ) karmaşık sayı.

Bir demet Aynı Karışık sayılar genellikle "kalın" veya kalınlaştırılmış harfle gösterilir

Karmaşık sayılar şu şekilde temsil edilir: karmaşık düzlem:

Karmaşık düzlem iki eksenden oluşur:
– gerçek eksen (x)
– hayali eksen (y)

Gerçek sayılar kümesi karmaşık sayılar kümesinin bir alt kümesidir

Karmaşık sayılarla yapılan işlemler

İki karmaşık sayıyı toplamak için bunların gerçek ve sanal kısımlarını eklemeniz gerekir.

Karmaşık Sayılarda Çıkarma

Eylem toplama işlemine benzer, tek özelliği, çıkanın parantez içine alınması gerektiği ve ardından parantezlerin işareti değiştirerek standart şekilde açılması gerektiğidir.

Karmaşık sayıları çarpma

parantezleri polinomları çarpma kuralına göre açın

Karmaşık sayıların bölünmesi

Sayıların bölünmesi gerçekleştirilir payda ve payı paydanın eşlenik ifadesi ile çarparak.

Karmaşık sayılar, reel sayıların doğasında olan birçok özelliğe sahiptir; bunlardan aşağıdakilere dikkat çekiyoruz: ana.

1) (A + B) + C = A + (B + C) (ek ilişkisellik);

2) A + B = B + A (toplamanın değişmezliği);

3) A + 0 = 0 + A = A (ilave yoluyla nötr bir unsurun varlığı);

4) A + (−A) = (−A) + A = 0 (karşıt unsurun varlığı);

5) A(B + C) = ab + AC ();

6) (A + B)C = AC + M.Ö (Çarpmanın toplamaya göre dağılımı);

7) (ab)C = A(M.Ö) (çarpmanın ilişkilendirilebilirliği);

8) ab = ba (çarpmanın değişmezliği);

9) A∙1 = 1∙A = A (çarpma işleminde nötr bir elemanın varlığı);

10) herkes için A≠ 0 böyle bir şey var B, Ne ab = ba = 1 (ters bir elemanın varlığı);

11) 0 ≠ 1 (isim yok).

Toplama ve çarpma işlemlerinin tanımlandığı, belirtilen 11 özelliğe (bu durumda aksiyomlardır) sahip olan, keyfi nitelikteki nesneler kümesine denir. alan.

Karmaşık sayılar alanı, polinomun bir kökü olan gerçek sayılar alanının bir uzantısı olarak anlaşılabilir.

Herhangi bir karmaşık sayı (sıfır hariç) trigonometrik biçimde yazılabilir:
, nerede karmaşık bir sayının modülü, A - karmaşık sayı argümanı.

Karmaşık bir sayının modülü orijinden karmaşık düzlemdeki karşılık gelen noktaya olan mesafedir. Basit ifadeyle, modül uzunlukturçizimde kırmızıyla gösterilen yarıçap vektörü.

Karmaşık bir sayının modülü genellikle şu şekilde gösterilir: veya

Pisagor teoremini kullanarak karmaşık bir sayının modülünü bulmak için bir formül türetmek kolaydır: . Bu formül doğrudur herhangi"a" ve "olmak" anlamına gelir.

Karmaşık bir sayının argümanı isminde köşe arasında pozitif yarı eksen gerçek eksen ve orijinden karşılık gelen noktaya çizilen yarıçap vektörü. Bağımsız değişken tekil: için tanımlanmadı.

Karmaşık bir sayının argümanı standart olarak gösterilir: veya

φ = arg olsun z. O halde, argümanın tanımı gereği elimizde:

Gerçel sayılar alanı üzerinde matris halkası. Matrislerde temel işlemler. İşlemlerin özellikleri.

Matris m'nin satır sayısı, n'nin sütun sayısı olduğu m'n boyutuna, belirli bir sıraya göre düzenlenmiş sayılar tablosu denir. Bu sayılara matris elemanları denir. Her bir elemanın konumu, bulunduğu kesişim noktasındaki satır ve sütun sayısına göre benzersiz bir şekilde belirlenir. Matrisin elemanları ij ile gösterilir; burada i satır numarası, j ise sütun numarasıdır.

Tanım. Matrisin sütun sayısı satır sayısına (m=n) eşitse matris denir. kare.

Tanım. Matrisi görüntüle:

= e,

isminde kimlik matrisi.

Tanım. Eğer a mn = a nm, o zaman matris denir simetrik.

Örnek. - simetrik matris

Tanım. Formun kare matrisi isminde diyagonal matris.

Bir matrisi bir sayıyla çarpmak

Bir matrisi bir sayıyla çarpmak(atama: ), elemanları matrisin her bir elemanının bu sayı ile çarpılmasıyla elde edilen, yani matrisin her elemanının eşit olduğu bir matris oluşturulmasından oluşur.

Matrisleri bir sayıyla çarpmanın özellikleri:

· onbir A = A;

· 2. (λβ)A = λ(βA)

· 3. (λ+β)A = λA + βA

· 4. λ(A+B) = λA + λB

Matris ekleme

Matris ekleme tüm elemanları matrislerin karşılık gelen tüm elemanlarının ikili toplamına eşit olan ve yani matrisin her elemanı eşit olan bir matris bulma işlemidir

Matris toplamanın özellikleri:

· 1.değişme: A+B = B+A;

· 2. çağrışımsallık: (A+B)+C =A+(B+C);

· 3.sıfır matrisle toplama: A + Θ = A;

· 4. Zıt bir matrisin varlığı: A + (-A) = Θ;

Doğrusal işlemlerin tüm özellikleri doğrusal uzayın aksiyomlarını tekrarlar ve bu nedenle teorem geçerlidir:

Aynı boyuttaki tüm matrislerin kümesi M X N sahadan unsurlarla P(tüm gerçek veya karmaşık sayıların alanı), P alanı üzerinde doğrusal bir uzay oluşturur (bu tür matrislerin her biri, bu uzayın bir vektörüdür). Bununla birlikte, her şeyden önce, terminolojik karışıklığı önlemek için, vektör olarak adlandırılacak terimin kullanımının açık bir şekilde açıklanmasına ve (en yaygın standart uygulamalarda mevcut olmayan) ihtiyaç duyulmadan sıradan bağlamlardaki matrislerden kaçınılmıştır.

Matris çarpımı

Matris çarpımı(gösterim: , daha az sıklıkla çarpma işaretiyle) - her bir elemanı, birinci faktörün karşılık gelen satırındaki ve ikincinin sütunundaki elemanların çarpımlarının toplamına eşit olan bir matris hesaplama işlemidir.

Matristeki sütun sayısı matristeki satır sayısıyla eşleşmelidir, yani matris şu şekilde olmalıdır: üzerinde anlaşmaya varıldı matris ile. Matrisin boyutu varsa -, o zaman çarpımlarının boyutu olur.

Matris çarpımının özellikleri:

· 1. çağrışımsallık (AB)C = A(BC);

· 2.değişmezlik (genel durumda): AB BA;

· 3. birim matris ile çarpma durumunda çarpım değişmelidir: AI = IA;

· 4.dağıtım: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

· 5. Bir sayı ile çarpmaya göre birleşme ve değişme: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

Matris Transpozu.

Ters matrisi bulma.

Bir kare matris, ancak ve ancak tekil değilse, yani determinantı sıfıra eşit değilse ters çevrilebilir. Kare olmayan matrisler ve tekil matrisler için ters matris yoktur.

Matris sıralama teoremi

A matrisinin sırası sıfır olmayan bir minörün maksimum sırasıdır

Matrisin rütbesini belirleyen minöre Temel minör denir. BM'yi oluşturan satır ve sütunlara temel satır ve sütunlar denir.

Tanımlar: r(A), R(A), Rang A.

Yorum. Açıkçası, bir matrisin rütbesi, boyutlarından küçük olanı aşamaz.

Herhangi bir matris için onun küçük, satır ve sütun sıralamaları aynıdır.

Kanıt. Matrisin küçük rütbesi olsun A eşittir R . Satır sıralamasının da eşit olduğunu gösterelim. R . Bunu yapmak için ters çevrilebilir minör olduğunu varsayabiliriz. M emir R ilk sırada R matrisin satırları A . Bundan şu sonuç çıkıyor: ilk R matris satırları A doğrusal olarak bağımsız ve bir dizi küçük satır M Doğrusal bağımsız. İzin vermek A -- uzunluk dizisi R elementlerden oluşan Ben minör ile aynı sütunlarda bulunan matrisin inci satırları M . Çizgiler küçük olduğundan M tabanını oluşturmak k r , O A -- küçük dizelerin doğrusal birleşimi M . Şundan çıkar: Ben -inci satır A birincinin aynı doğrusal kombinasyonu R matris satırları A . Sütun numarasında sıfır olmayan bir öğe içeren bir dizeyle karşılaşırsanız T , sonra küçük düşünün M 1 emir R+1 matrisler A matrisin inci satırını küçük satırın satırlarına ekleyerek A ve matrisin küçük inci sütununun sütunlarına A (küçük olduğunu söylüyorlar M 1 kabul edilmiş küçüklerin sınırında M kullanarak Ben -inci satır ve T inci matris sütunu A ). Bizim seçimimizle T , bu minör tersinirdir (yukarıda seçilen ilklerin doğrusal kombinasyonunu bu minörün son satırından çıkarmak yeterlidir) R satırlar ve ardından determinantını son satır boyunca genişleterek bu determinantın minörün determinantıyla sıfırdan farklı bir skaler faktöre çakıştığından emin olun. M . A-tarikatı R böyle bir durum imkansızdır ve bu nedenle dönüşümden sonra Ben -inci satır A sıfır olacak. Başka bir deyişle orijinal Ben -inci çizgi birincinin doğrusal birleşimidir R matris satırları A . İlkini gösterdik R satırlar bir dizi matris satırının temelini oluşturur A yani dize sıralaması A eşittir R . Sütun sıralamasının olduğunu kanıtlamak için R Yukarıdaki mantıkta “satırları” ve “sütunları” değiştirmek yeterlidir. Teorem kanıtlandı.

Bu teorem, bir matrisin üç sırası arasında ayrım yapmanın bir anlamı olmadığını gösterir ve aşağıda matrisin sırası ile satır sırasını anlayacağız, bunun hem sütuna hem de küçük sıralara eşit olduğunu hatırlarız (gösterim). R(A) -- matris sıralaması A ). Ayrıca, rütbe teoreminin kanıtından, bir matrisin rütbesinin, matrisin herhangi bir ters çevrilebilir minörünün boyutuyla çakıştığı, böylece onu çevreleyen tüm minörlerin (eğer varsa) dejenere olduğu sonucunun çıktığına dikkat edin.

Kronecker-Capelli teoremi

Bir doğrusal cebirsel denklem sistemi ancak ve ancak ana matrisinin rütbesi genişletilmiş matrisinin rütbesine eşitse tutarlıdır ve sıra bilinmeyenlerin sayısına eşitse sistemin benzersiz bir çözümü vardır ve Sıralama bilinmeyenlerin sayısından küçükse sonsuz sayıda çözüm vardır.

gereklilik

Sistem işbirlikçi olsun. Sonra öyle sayılar var ki. Bu nedenle sütun, matrisin sütunlarının doğrusal bir birleşimidir. Bir satırın (sütun) silinmesi veya diğer satırların (sütunların doğrusal bir birleşimi olan) satır (sütun) sisteminden eklenmesi durumunda matrisin sıralamasının değişmeyeceği gerçeğinden şu sonuç çıkar: .

Yeterlilik

İzin vermek . Matristeki bazı temel minörleri ele alalım. O zamandan beri, aynı zamanda matrisin temel minörü de olacak. O halde temel minör teoremine göre matrisin son sütunu, temel sütunların yani matrisin sütunlarının doğrusal bir birleşimi olacaktır. Dolayısıyla sistemin serbest terimler sütunu, matris sütunlarının doğrusal birleşimidir.

Sonuçlar

· Sistemin ana değişkenlerinin sayısı sistemin sıralamasına eşittir.

· Tutarlı bir sistem tanımlanmış olacaktır (çözüm benzersizdir), eğer sistemin sıralaması tüm değişkenlerin sayısına eşitse.

Küçük temele dayalı teorem.

Teorem. Rastgele bir A matrisinde, her bir sütun (satır), temelin bulunduğu sütunların (satırların) doğrusal bir birleşimidir.

Dolayısıyla, rastgele bir A matrisinin rütbesi, matristeki doğrusal olarak bağımsız satırların (sütunların) maksimum sayısına eşittir.

A bir kare matrisse ve detA = 0 ise, sütunlardan en az biri geri kalan sütunların doğrusal birleşimidir. Aynı şey dizeler için de geçerlidir. Bu ifade, determinant sıfıra eşit olduğunda doğrusal bağımlılık özelliğinden kaynaklanmaktadır.

7. SLU çözümü. Cramer yöntemi, matris yöntemi, Gauss yöntemi.

Cramer'in yöntemi.

Bu yöntem aynı zamanda yalnızca değişken sayısının denklem sayısıyla çakıştığı doğrusal denklem sistemleri durumunda da uygulanabilir. Ayrıca sistem katsayılarına da kısıtlamalar getirilmesi gerekmektedir. Tüm denklemlerin doğrusal olarak bağımsız olması gerekir; hiçbir denklem diğerlerinin doğrusal birleşimi olamaz.

Bunun için sistem matrisinin determinantının 0'a eşit olmaması gerekir.

Aslında, sistemin herhangi bir denklemi diğerlerinin doğrusal bir birleşimi ise, o zaman bir satırın elemanlarına başka bir satırın elemanlarını bir sayıyla çarparak eklerseniz, doğrusal dönüşümleri kullanarak sıfır satır elde edebilirsiniz. Bu durumda determinant sıfıra eşit olacaktır.

Teorem. (Cramer kuralı):

Teorem. n bilinmeyenli n denklem sistemi

sistem matrisinin determinantı sıfıra eşit değilse benzersiz bir çözümü vardır ve bu çözüm aşağıdaki formüllere göre bulunur:

x i = D i /D, burada

D = det A ve D i, i sütununun serbest terimler b i sütunuyla değiştirilmesiyle sistem matrisinden elde edilen matrisin determinantıdır.

D ben =

Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü için matris yöntemi.

Matris yöntemi, denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına eşit olduğu denklem sistemlerinin çözümüne uygulanabilir.

Yöntem düşük dereceli sistemlerin çözümü için uygundur.

Yöntem, matris çarpımının özelliklerinin uygulanmasına dayanmaktadır.

Denklem sistemi verilsin:

Matrisleri oluşturalım: A = ; B = ; X = .

Denklem sistemi şu şekilde yazılabilir: A×X = B.

Aşağıdaki dönüşümü yapalım: A -1 ×A×X = A -1 ×B çünkü A -1 ×A = E, sonra E×X = A -1 ×B

X = A -1 ×B

Bu yöntemi uygulamak için, yüksek dereceli sistemleri çözerken hesaplama zorluklarıyla ilişkilendirilebilecek ters matrisin bulunması gerekir.

Tanım. Genel formda n bilinmeyenli m denklem sistemi aşağıdaki gibi yazılır:

, (1)

burada a ij katsayılardır ve b i sabitlerdir. Sistemin çözümleri, sisteme yerleştirildiğinde denklemlerin her birini bir kimliğe dönüştüren n sayıda sayıdır.

Tanım. Bir sistemin en az bir çözümü varsa buna denir. eklem yeri. Bir sistemin tek bir çözümü yoksa buna denir. ortak olmayan.

Tanım. Sistem denir kesin, eğer tek bir çözümü varsa ve belirsiz birden fazla ise.

Tanım. (1) formundaki bir doğrusal denklem sistemi için matris

bir = sistemin matrisi denir ve matris

bir * =
sistemin genişletilmiş matrisi denir

Tanım. b 1, b 2, …,b m = 0 ise sistem denir homojen. homojen bir sistem her zaman tutarlıdır.

Sistemlerin temel dönüşümleri.

Temel dönüşümler şunları içerir:

1) Bir denklemin her iki tarafına diğerinin karşılık gelen kısımlarının sıfıra eşit olmayan aynı sayı ile çarpılmasıyla toplanır.

2) Denklemlerin yeniden düzenlenmesi.

3) Tüm x'ler için özdeş olan denklemleri sistemden çıkarmak.

Gauss yöntemi, doğrusal cebirsel denklemler (SLAE) sistemini çözmek için kullanılan klasik bir yöntemdir. Bu, temel dönüşümler kullanılarak bir denklem sisteminin, son (sayıya göre) değişkenlerden başlayarak diğer tüm değişkenlerin sırayla bulunduğu eşdeğer bir üçgen sisteme indirgendiği, değişkenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılmasına yönelik bir yöntemdir.

Orijinal sistem böyle görünsün

Matrise sistemin ana matrisi denir - serbest terimlerin bir sütunu.

Daha sonra, satırlar üzerindeki temel dönüşümlerin özelliğine göre, bu sistemin ana matrisi basamak biçimine indirgenebilir (aynı dönüşümler serbest terimler sütununa da uygulanmalıdır):

Daha sonra değişkenler çağrılır ana değişkenler. Diğerlerinin tümü çağrılır özgür.

En az bir sayı , nerede ise, söz konusu sistem tutarsızdır, yani. tek bir çözümü yok.

Herkes için olsun.

Serbest değişkenleri eşittir işaretinin ötesine taşıyalım ve sistem denklemlerinin her birini en soldaki katsayısına ( , satır numarası nerede) bölelim:

Sistemin (2) serbest değişkenlerine mümkün olan tüm değerleri verirsek ve yeni sistemi ana bilinmeyenlere göre aşağıdan yukarıya (yani alt denklemden yukarıya doğru) çözersek, o zaman hepsini elde ederiz. bu SLAE'ye yönelik çözümler. Bu sistem, orijinal sistem (1) üzerinden temel dönüşümlerle elde edildiğinden, temel dönüşümler altındaki denklik teoremine göre, (1) ve (2) sistemleri eşdeğerdir, yani çözüm kümeleri çakışır.

Sonuçlar:
1: Bir ortak sistemde tüm değişkenler ana ise böyle bir sistem kesindir.

2: Bir sistemdeki değişken sayısı denklem sayısından fazla ise sistem ya belirsizdir ya da tutarsızdır.

Algoritma

Gauss yöntemini kullanarak SLAE'leri çözmeye yönelik algoritma iki aşamaya ayrılmıştır.

İlk aşamada, sıralar üzerindeki temel dönüşümler yoluyla sistem kademeli veya üçgen bir şekle getirildiğinde veya sistemin uyumsuz olduğu tespit edildiğinde doğrudan hareket adı verilen hareket gerçekleştirilir. Yani, matrisin ilk sütununun elemanları arasından sıfır olmayan bir tane seçin, satırları yeniden düzenleyerek en üst konuma taşıyın ve elde edilen ilk satırı, yeniden düzenlemeden sonra kalan satırlardan bir değerle çarparak çıkarın. bu satırların her birinin ilk elemanının ilk satırın ilk elemanına oranına eşittir, böylece altındaki sütunu sıfırlar. Bu dönüşümler tamamlandıktan sonra, ilk satırın ve ilk sütunun üzeri zihinsel olarak çizilir ve sıfır boyutlu bir matris kalana kadar devam edilir. Herhangi bir yinelemede, ilk sütunun öğeleri arasında sıfırdan farklı bir öğe yoksa, sonraki sütuna geçin ve benzer bir işlem yapın.

İkinci aşamada, özü, sonuçta ortaya çıkan tüm temel değişkenleri temel olmayanlar açısından ifade etmek ve temel bir çözüm sistemi oluşturmak veya tüm değişkenler temel ise, sözde ters hareket gerçekleştirilir. Daha sonra doğrusal denklem sisteminin tek çözümünü sayısal olarak ifade edin. Bu prosedür, karşılık gelen temel değişkenin ifade edildiği (ve yalnızca bir tane vardır) ve önceki denklemlere yerleştirildiği son denklemle başlar ve "adımlara" doğru bu şekilde devam eder. Her satır tam olarak bir temel değişkene karşılık gelir, dolayısıyla son (en üst) hariç her adımda durum tam olarak son satırın durumunu tekrarlar.

Vektörler. Temel konseptler. Nokta çarpımı, özellikleri.

Vektör yönlendirilmiş segment (sıralı bir nokta çifti) olarak adlandırılır. Vektörler ayrıca şunları içerir: hükümsüz başlangıcı ve sonu çakışan bir vektör.

Uzunluk (modül) vektör, vektörün başlangıcı ve bitişi arasındaki mesafedir.

Vektörler denir doğrusal, aynı veya paralel çizgiler üzerinde bulunuyorlarsa. Boş vektör herhangi bir vektörle eşdoğrusaldır.

Vektörler denir aynı düzlemde, eğer paralel oldukları bir düzlem varsa.

Eşdoğrusal vektörler her zaman eş düzlemlidir, ancak eş düzlemli vektörlerin tümü eşdoğrusal değildir.

Vektörler denir eşit, eğer eşdoğrusal iseler, aynı şekilde yönlendirilmişlerse ve aynı modüllere sahiplerse.

Tüm vektörler ortak bir kökene getirilebilir; Sırasıyla verilere eşit olan ve ortak bir kökene sahip vektörler oluşturun. Vektörlerin eşitliği tanımından, herhangi bir vektörün kendisine eşit sonsuz sayıda vektöre sahip olduğu sonucu çıkar.

Doğrusal işlemler vektörlerin üzerinden yapılan işlemlere bir sayıyla toplama ve çarpma denir.

Vektörlerin toplamı vektördür -

İş - ve eşdoğrusaldır.

a > 0 ise vektör ( ) vektörü ile eş yönlüdür.

Vektör, ( ¯ ) vektörünün tersi yöndedir, eğer a< 0.

Vektörlerin özellikleri.

1) + = + - değişme özelliği.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) – ilişkisellik

6) (a+b) = a + b - dağıtıcılık

7) a( + ) = a + a

1) Temel uzayda belirli bir sıraya göre alınan herhangi 3 eş düzlemli olmayan vektöre denir.

2) Temel Bir düzlemde belirli bir sırayla alınan, doğrusal olmayan 2 vektöre denir.

3)Temel Bir doğru üzerindeki sıfırdan farklı herhangi bir vektöre denir.

Eğer uzayda bir taban ise ve ise a, b ve g sayılarına denir bileşenler veya koordinatlar Bu temelde vektörler.

Bu bağlamda aşağıdakileri yazabiliriz. özellikler:

eşit vektörler aynı koordinatlara sahiptir,

Bir vektör bir sayı ile çarpıldığında bileşenleri de bu sayı ile çarpılır,

Vektörleri eklerken karşılık gelen bileşenleri eklenir.

;
;

Vektörlerin doğrusal bağımlılığı.

Tanım. Vektörler arandı doğrusal bağımlı, eğer i aynı anda sıfıra eşit olmayan böyle bir doğrusal kombinasyon varsa, yani .

Eğer sadece a i = 0 sağlanıyorsa, o zaman vektörlere doğrusal bağımsız denir.

Mülk 1. Vektörler arasında sıfır vektör varsa bu vektörler doğrusal bağımlıdır.

Mülk 2. Doğrusal bağımlı vektörlerden oluşan bir sisteme bir veya daha fazla vektör eklenirse, ortaya çıkan sistem de doğrusal bağımlı olacaktır.

Mülk 3. Bir vektör sistemi, ancak ve ancak vektörlerden birinin geri kalan vektörlerin doğrusal bir kombinasyonuna ayrıştırılması durumunda doğrusal olarak bağımlıdır.

Mülk 4. Herhangi 2 eşdoğrusal vektör doğrusal olarak bağımlıdır ve bunun tersine herhangi 2 doğrusal bağımlı vektör aynıdoğrusaldır.

Mülk 5. Herhangi 3 eş düzlemli vektör doğrusal olarak bağımlıdır ve bunun tersine, herhangi 3 doğrusal bağımlı vektör eş düzlemlidir.

Mülk 6. Herhangi 4 vektör doğrusal olarak bağımlıdır.

Koordinat cinsinden vektör uzunluğu bir vektörün başlangıç ​​ve bitiş noktaları arasındaki mesafe olarak tanımlanır. A(x 1, y 1, z 1), B(x 2, y 2, z 2) uzayında iki nokta verilmişse o zaman.

M(x, y, z) noktası ise AB segmentini l/m oranında böler ise bu noktanın koordinatları şu şekilde belirlenir:

Özel bir durumda koordinatlar segmentin orta noktasışöyle bulunur:

x = (x1 + x2)/2; y = (y1 + y2)/2; z = (z 1 + z 2)/2.

Koordinatlarda vektörler üzerinde doğrusal işlemler.

Dönen koordinat eksenleri

Altında dönüm Koordinat eksenleri, her iki eksenin de aynı açıyla döndürüldüğü ancak orijin ve ölçeğin değişmeden kaldığı bir koordinat dönüşümü anlamına gelir.

Yeni O 1 x 1 y 1 sistemi, Oksi sisteminin bir α açısı kadar döndürülmesiyle elde edilsin.

M düzlemde rastgele bir nokta olsun; eski sistemdeki (x;y) koordinatları ve yeni sistemdeki (x";y") koordinatları olsun.

Ortak O kutbu ve kutup eksenleri Ox ve Οx 1 olan (ölçek aynıdır) iki kutupsal koordinat sistemini tanıtalım. Kutup yarıçapı r her iki sistemde de aynıdır ve kutup açıları sırasıyla α + j ve φ'ye eşittir; burada φ, yeni kutup sistemindeki kutup açısıdır.

Kutupsal koordinatlardan dikdörtgen koordinatlara geçiş formüllerine göre, elimizde

Fakat rcosj = x" ve rsinφ = y". Bu yüzden

Ortaya çıkan formüllere denir eksen döndürme formülleri . Rastgele bir M noktasının eski koordinatlarını (x; y), aynı M noktasının yeni koordinatları (x"; y") aracılığıyla veya bunun tersini belirlemenizi sağlar.

Koordinat eksenlerinin paralel aktarımı ve ardından eksenlerin α açısına göre döndürülmesiyle eski Oxy'den yeni bir koordinat sistemi O 1 x 1 y 1 elde edilirse (bkz. Şekil 30), o zaman bir yardımcı sistem eklenerek elde edilmesi kolaydır. formüller

rastgele bir noktanın eski x ve y koordinatlarını yeni x" ve y" koordinatları cinsinden ifade etme.

Elips

Elips, bir düzlem üzerindeki noktalar kümesidir; her birine olan uzaklıkların toplamı

verilen iki noktaya kadar sabittir. Bu noktalara odak denir ve

belirlenmiş F1 Ve F2, aralarındaki mesafe 2'ler, ve her noktadan uzaklıkların toplamı

odaklanır – 2a(duruma göre 2a>2c). Kartezyen koordinat sistemini oluşturalım, böylece F1 Ve F2 x eksenindeydi ve başlangıç ​​noktası segmentin ortasıyla çakışıyordu F1F2. Elipsin denklemini türetelim. Bunu yapmak için keyfi bir noktayı düşünün M(x, y) elips. A-tarikatı: | F1M |+| F2M |=2a. F1M =(x+c; y);F2M =(x-c; y).

|F1M|=(X+ C)2 + sen 2 ; |F2M| = (X- C)2 + sen 2

(X+ C)2 + sen 2 + (X- C)2 + sen 2 =2a(5)

x2+2cx+c2+y2=4a2-4a(X- C)2 + sen 2 +x2-2cx+c2+y2

4cx-4a2=4a(X- C)2 + sen 2

a2-cx=a(X- C)2 + sen 2

a4-2a2cx+c2x2=a2(x-c)2+a2y2

a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2

x2(a2-c2)+a2y2=a2(a2-c2)

Çünkü 2a>2c(bir üçgenin iki kenarının toplamı üçüncü kenardan büyüktür), o zaman a2-c2>0.

İzin vermek a2-c2=b2

Koordinatları (a, 0), (−a, 0), (b, 0) ve (−b, 0) olan noktalara elipsin köşeleri denir, a değeri elipsin yarı ana eksenidir ve b değeri yarı küçük eksenidir. F1(c, 0) ve F2(−c, 0) noktalarına odaklar denir.

elips ve F1 odağına sağ, F2 odağına ise sol adı verilir. M noktası bir elipse aitse, |F1M| mesafeleri ve |F2M| odak yarıçapları olarak adlandırılır ve sırasıyla r1 ve r2 ile gösterilir. e =c/a miktarına elipsin dışmerkezliği denir. Denklemli çizgiler x =a/e

ve x = −a/e elipsin doğrultmanları olarak adlandırılır (e = 0 için elipsin doğrultmanları yoktur).

Genel düzlem denklemi

Üç değişken x, y ve z olan genel bir birinci derece denklemi düşünün:

Örneğin A, B veya C katsayılarından en az birinin sıfıra eşit olmadığını varsayarak denklem (12.4)'ü şu şekilde yeniden yazıyoruz: