Znižovanie frakcií. Čo to znamená znížiť zlomok? Online kalkulačka na redukciu algebraických zlomkov s podrobným riešením vám umožňuje zmenšiť zlomok a previesť nesprávny zlomok na správny zlomok

Ak potrebujeme deliť 497 4, tak pri delení uvidíme, že 497 nie je deliteľné 4 rovnomerne, t.j. zostáva zvyšok divízie. V takýchto prípadoch sa hovorí, že je dokončená rozdelenie so zvyškom a riešenie je napísané takto:
497:4 = 124 (1 zvyšok).

Zložky delenia na ľavej strane rovnosti sa nazývajú rovnako ako pri delení bezo zvyšku: 497 - dividenda, 4 - rozdeľovač. Výsledok delenia pri delení zvyškom sa nazýva neúplné súkromné. V našom prípade je to číslo 124. A nakoniec posledná zložka, ktorá nie je v bežnom delení, je zvyšok. V prípadoch, kde nie je žiadny zvyšok, sa hovorí, že jedno číslo sa delí druhým bez stopy, alebo úplne. Predpokladá sa, že pri takomto delení je zvyšok nula. V našom prípade je zvyšok 1.

Zvyšok je vždy menší ako deliteľ.

Delenie je možné skontrolovať násobením. Ak existuje napríklad rovnosť 64: 32 = 2, potom sa kontrola môže vykonať takto: 64 = 32 * 2.

Často v prípadoch, keď sa vykonáva delenie so zvyškom, je vhodné použiť rovnosť
a = b * n + r,
kde a je dividenda, b je deliteľ, n je čiastočný podiel, r je zvyšok.

Podiel prirodzených čísel možno zapísať ako zlomok.

Čitateľ zlomku je dividenda a menovateľ je deliteľ.

Keďže čitateľ zlomku je dividenda a menovateľ je deliteľ, verte, že čiara zlomku znamená akciu delenia. Niekedy je vhodné napísať delenie ako zlomok bez použitia znaku „:“.

Podiel delenia prirodzených čísel m a n možno zapísať ako zlomok \(\frac(m)(n)\), kde čitateľ m je dividenda a menovateľ n je deliteľ:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Nasledujúce pravidlá sú pravdivé:

Ak chcete získať zlomok \(\frac(m)(n)\), musíte rozdeliť jednotku na n rovnakých častí (podielov) a vziať m takýchto častí.

Ak chcete získať zlomok \(\frac(m)(n)\), musíte vydeliť číslo m číslom n.

Na nájdenie časti celku je potrebné vydeliť číslo zodpovedajúce celku menovateľom a výsledok vynásobiť čitateľom zlomku, ktorý túto časť vyjadruje.

Ak chcete nájsť celok z jeho časti, musíte vydeliť číslo zodpovedajúce tejto časti čitateľom a výsledok vynásobiť menovateľom zlomku, ktorý túto časť vyjadruje.

Ak sa čitateľ aj menovateľ zlomku vynásobia rovnakým číslom (okrem nuly), hodnota zlomku sa nezmení:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Ak je čitateľ aj menovateľ zlomku delený rovnakým číslom (okrem nuly), hodnota zlomku sa nezmení:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Táto vlastnosť je tzv hlavná vlastnosť zlomku.

Posledné dve transformácie sú tzv zníženie zlomku.

Ak je potrebné zlomky reprezentovať ako zlomky s rovnakým menovateľom, potom sa táto akcia nazýva redukcia zlomkov na spoločného menovateľa.

Správne a nesprávne zlomky. Zmiešané čísla

Už viete, že zlomok možno získať tak, že rozdelíte celok na rovnaké časti a vezmete niekoľko takýchto častí. Napríklad zlomok \(\frac(3)(4)\) znamená tri štvrtiny jednotky. V mnohých problémoch v predchádzajúcom odseku boli zlomky použité na znázornenie častí celku. Zdravý rozum hovorí, že časť by mala byť vždy menšia ako celok, ale čo zlomky ako \(\frac(5)(5)\) alebo \(\frac(8)(5)\)? Je jasné, že toto už nie je súčasťou jednotky. Pravdepodobne preto sa nazývajú zlomky, ktorých čitateľ je väčší alebo rovný menovateľovi nesprávne zlomky. Zvyšné zlomky, t. j. zlomky, ktorých čitateľ je menší ako menovateľ, sa nazývajú správne zlomky.

Ako viete, každý bežný zlomok, správny aj nevlastný, možno považovať za výsledok delenia čitateľa menovateľom. Preto v matematike, na rozdiel od bežného jazyka, výraz „nepravý zlomok“ neznamená, že sme urobili niečo zlé, ale iba to, že čitateľ tohto zlomku je väčší alebo rovný menovateľovi.

Ak sa číslo skladá z celej časti a zlomku, potom frakcie sa nazývajú zmiešané.

Napríklad:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 je celá časť a \(\frac(2)(3) \) je zlomková časť.

Ak je čitateľ zlomku \(\frac(a)(b) \) deliteľný prirodzeným číslom n, potom, aby sa tento zlomok delil n, musí byť jeho čitateľ delený týmto číslom:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Ak čitateľ zlomku \(\frac(a)(b)\) nie je deliteľný prirodzeným číslom n, potom na rozdelenie tohto zlomku n je potrebné vynásobiť jeho menovateľa týmto číslom:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Všimnite si, že druhé pravidlo platí aj vtedy, keď je čitateľ deliteľný číslom n. Preto ho môžeme použiť, keď je na prvý pohľad ťažké určiť, či čitateľ zlomku je deliteľný n alebo nie.

Akcie so zlomkami. Pridávanie zlomkov.

Môžete vykonávať aritmetické operácie so zlomkovými číslami, rovnako ako s prirodzenými číslami. Najprv sa pozrime na sčítanie zlomkov. Je ľahké pridať zlomky s podobnými menovateľmi. Nájdite napríklad súčet \(\frac(2)(7)\) a \(\frac(3)(7)\). Je ľahké pochopiť, že \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa rovnakého.

Pomocou písmen možno pravidlo na sčítanie zlomkov s podobnými menovateľmi napísať takto:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Ak potrebujete pridať zlomky s rôznymi menovateľmi, musíte ich najskôr zredukovať na spoločného menovateľa. Napríklad:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Pre zlomky, rovnako ako pre prirodzené čísla, platia komutatívne a asociatívne vlastnosti sčítania.

Pridávanie zmiešaných frakcií

Zavolajú sa zápisy ako \(2\frac(2)(3)\). zmiešané frakcie. V tomto prípade sa volá číslo 2 celú časť zmiešaný zlomok a číslo \(\frac(2)(3)\) je jeho zlomková časť. Záznam \(2\frac(2)(3)\) znie takto: „dve a dve tretiny“.

Pri delení čísla 8 číslom 3 získate dve odpovede: \(\frac(8)(3)\) a \(2\frac(2)(3)\). Vyjadrujú rovnaké zlomkové číslo, t.j. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Nevlastný zlomok \(\frac(8)(3)\) je teda reprezentovaný ako zmiešaný zlomok \(2\frac(2)(3)\). V takýchto prípadoch hovoria, že z nesprávneho zlomku zvýraznil celú časť.

Odčítanie zlomkov (zlomkové čísla)

Odčítanie zlomkových čísel, podobne ako prirodzené čísla, sa určuje na základe akcie sčítania: odčítanie ďalšieho od jedného čísla znamená nájsť číslo, ktoré po pripočítaní k druhému dáva prvé. Napríklad:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) keďže \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

Pravidlo na odčítanie zlomkov s podobnými menovateľmi je podobné pravidlu na sčítanie takýchto zlomkov:
Ak chcete nájsť rozdiel medzi zlomkami s rovnakými menovateľmi, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a ponechať menovateľa rovnakého.

Pomocou písmen je toto pravidlo napísané takto:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Násobenie zlomkov

Ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť ich čitateľov a menovateľov a napísať prvý súčin ako čitateľ a druhý ako menovateľ.

Pomocou písmen možno pravidlo pre násobenie zlomkov napísať takto:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Pomocou formulovaného pravidla môžete vynásobiť zlomok prirodzeným číslom, zmiešaným zlomkom a tiež vynásobiť zmiešané zlomky. Aby ste to dosiahli, musíte napísať prirodzené číslo ako zlomok s menovateľom 1 a zmiešaný zlomok ako nesprávny zlomok.

Výsledok násobenia by sa mal zjednodušiť (ak je to možné) znížením zlomku a izolovaním celej časti nesprávneho zlomku.

Pre zlomky, rovnako ako pre prirodzené čísla, platia komutatívne a kombinačné vlastnosti násobenia, ako aj distributívna vlastnosť násobenia vzhľadom na sčítanie.

Delenie zlomkov

Vezmime zlomok \(\frac(2)(3)\) a „otočíme“ ho, pričom vymeníme čitateľa a menovateľa. Dostaneme zlomok \(\frac(3)(2)\). Tento zlomok sa nazýva obrátene zlomky \(\frac(2)(3)\).

Ak teraz zlomok \(\frac(3)(2)\ „prevrátime“, dostaneme pôvodný zlomok \(\frac(2)(3)\). Preto sa zlomky ako \(\frac(2)(3)\) a \(\frac(3)(2)\) nazývajú vzájomne inverzné.

Napríklad zlomky \(\frac(6)(5) \) a \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) a \(\frac (18) )(7)\).

Pomocou písmen možno vzájomné zlomky zapísať takto: \(\frac(a)(b) \) a \(\frac(b)(a) \)

Je jasné že súčin recipročných zlomkov sa rovná 1. Napríklad: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Pomocou recipročných zlomkov môžete znížiť delenie zlomkov na násobenie.

Pravidlo na delenie zlomku zlomkom je:
Ak chcete rozdeliť jeden zlomok druhým, musíte dividendu vynásobiť prevrátenou hodnotou deliteľa.

Pomocou písmen možno pravidlo na delenie zlomkov napísať takto:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Ak je deliteľ alebo deliteľ prirodzené číslo alebo zmiešaný zlomok, potom, aby bolo možné použiť pravidlo na delenie zlomkov, musí byť najprv vyjadrené ako nevlastný zlomok.

Tento článok pokračuje v téme prevodu algebraických zlomkov: zvážte takú akciu ako redukciu algebraických zlomkov. Definujme si samotný pojem, sformulujme redukčné pravidlo a rozoberme praktické príklady.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Význam redukcie algebraického zlomku

V materiáloch o bežných zlomkoch sme sa pozreli na jeho redukciu. Zmenšenie zlomku sme definovali ako delenie jeho čitateľa a menovateľa spoločným faktorom.

Redukcia algebraického zlomku je podobná operácia.

Definícia 1

Redukcia algebraického zlomku je delenie jeho čitateľa a menovateľa spoločným činiteľom. V tomto prípade, na rozdiel od redukcie obyčajného zlomku (spoločným menovateľom môže byť iba číslo), spoločným činiteľom čitateľa a menovateľa algebraického zlomku môže byť polynóm, najmä jednočlen alebo číslo.

Napríklad algebraický zlomok 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 možno zmenšiť o číslo 3, výsledkom čoho je: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2. Rovnaký zlomok môžeme zmenšiť o premennú x a dostaneme výraz 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Je tiež možné zredukovať danú frakciu o monomiál 3 x alebo ktorýkoľvek z polynómov x + 2 r, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y alebo 3 x 2 + 6 x r.

Konečným cieľom redukcie algebraického zlomku je zlomok jednoduchšej formy, prinajlepšom neredukovateľný zlomok.

Podliehajú redukcii všetky algebraické zlomky?

Opäť z materiálov na obyčajných frakciách vieme, že existujú redukovateľné a neredukovateľné frakcie. Neredukovateľné zlomky sú zlomky, ktoré nemajú iné spoločné faktory v čitateli a menovateli ako 1.

Je to rovnaké s algebraickými zlomkami: môžu mať spoločné faktory v čitateli a menovateli, alebo nemusia. Prítomnosť spoločných faktorov vám umožňuje zjednodušiť pôvodný zlomok redukciou. Ak neexistujú žiadne spoločné faktory, nie je možné optimalizovať daný podiel pomocou redukčnej metódy.

Vo všeobecnosti je vzhľadom na typ frakcie dosť ťažké pochopiť, či sa dá znížiť. Samozrejme, v niektorých prípadoch je zrejmá prítomnosť spoločného faktora medzi čitateľom a menovateľom. Napríklad v algebraickom zlomku 3 x 2 3 y je celkom jasné, že spoločným faktorom je číslo 3.

V zlomku - x · y 5 · x · y · z 3 tiež hneď pochopíme, že ho možno zmenšiť o x, alebo y, alebo x · y. A napriek tomu oveľa častejšie existujú príklady algebraických zlomkov, keď spoločný faktor čitateľa a menovateľa nie je tak ľahké vidieť a ešte častejšie jednoducho chýba.

Napríklad zlomok x 3 - 1 x 2 - 1 môžeme zmenšiť o x - 1, pričom zadaný spoločný činiteľ sa v zázname nenachádza. Zlomok x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 však nemožno zmenšiť, pretože čitateľ a menovateľ nemajú spoločný činiteľ.

Otázka určenia redukovateľnosti algebraického zlomku teda nie je taká jednoduchá a často je jednoduchšie pracovať so zlomkom daného tvaru, ako sa snažiť zistiť, či je redukovateľný. V tomto prípade dochádza k takým transformáciám, ktoré v konkrétnych prípadoch umožňujú určiť spoločný činiteľ čitateľa a menovateľa alebo vyvodiť záver o neredukovateľnosti zlomku. Tento problém podrobne preskúmame v ďalšom odseku článku.

Pravidlo na redukciu algebraických zlomkov

Pravidlo na redukciu algebraických zlomkov pozostáva z dvoch postupných akcií:

• nájdenie spoločných faktorov čitateľa a menovateľa;
• ak sa nejaké nájdu, priamo sa vykoná redukcia frakcie.

Najpohodlnejšou metódou hľadania spoločných menovateľov je faktorizácia polynómov prítomných v čitateli a menovateli daného algebraického zlomku. To vám umožní okamžite jasne vidieť prítomnosť alebo neprítomnosť spoločných faktorov.

Samotný účinok redukcie algebraického zlomku je založený na hlavnej vlastnosti algebraického zlomku, vyjadrenej nedefinovanou rovnosťou, kde a, b, c sú nejaké polynómy a b a c sú nenulové. Prvým krokom je zmenšenie zlomku do tvaru a · c b · c, v ktorom si hneď všimneme spoločný činiteľ c. Druhým krokom je vykonanie redukcie, t.j. prechod na zlomok tvaru a b .

Typické príklady

Napriek určitej očividnosti si objasnime špeciálny prípad, keď sa čitateľ a menovateľ algebraického zlomku rovnajú. Podobné zlomky sú identicky rovné 1 na celej ODZ premenných tohto zlomku:

55 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y;

Keďže obyčajné zlomky sú špeciálnym prípadom algebraických zlomkov, pripomeňme si, ako sa redukujú. Prirodzené čísla zapísané v čitateli a menovateli sa rozdelia do prvočiniteľov, potom sa spoločné činitele zrušia (ak nejaké sú).

Napríklad 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Súčin jednoduchých identických činiteľov možno zapísať ako mocniny a v procese zmenšovania zlomku použiť vlastnosť delenia mocnín s rovnakými základmi. Potom by vyššie uvedené riešenie bolo:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 – 2 3 2 – 1 5 7 = 2 105

(čitateľ a menovateľ delený spoločným činiteľom 2 2 3). Alebo pre prehľadnosť na základe vlastností násobenia a delenia dávame riešeniu nasledujúci tvar:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Analogicky sa vykonáva redukcia algebraických zlomkov, v ktorých čitateľ a menovateľ majú monomály s celočíselnými koeficientmi.

Príklad 1

Algebraický zlomok je daný - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Je potrebné znížiť.

Riešenie

Čitateľ a menovateľ daného zlomku je možné zapísať ako súčin jednoduchých faktorov a premenných a potom vykonať redukciu:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6

Racionálnejším spôsobom by však bolo napísať riešenie ako výraz s mocninami:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

odpoveď:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Keď čitateľ a menovateľ algebraického zlomku obsahuje zlomkové číselné koeficienty, existujú dva možné spôsoby ďalšieho postupu: buď tieto zlomkové koeficienty rozdeliť samostatne, alebo sa zlomkových koeficientov najskôr zbaviť vynásobením čitateľa a menovateľa nejakým prirodzeným číslom. Posledná transformácia sa vykonáva kvôli základnej vlastnosti algebraického zlomku (o tom sa dočítate v článku „Redukcia algebraického zlomku na nového menovateľa“).

Príklad 2

Daný zlomok je 2 5 x 0, 3 x 3. Je potrebné znížiť.

Riešenie

Zlomok je možné znížiť týmto spôsobom:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Skúsme problém vyriešiť inak, keď sme sa najskôr zbavili zlomkových koeficientov - vynásobme čitateľa a menovateľa najmenším spoločným násobkom menovateľov týchto koeficientov, t.j. na LCM (5, 10) = 10. Potom dostaneme:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Odpoveď: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Keď zredukujeme všeobecné algebraické zlomky, v ktorých čitateľmi a menovateľmi môžu byť monočleny alebo polynómy, môže nastať problém, keď spoločný faktor nie je vždy okamžite viditeľný. Alebo navyše jednoducho neexistuje. Potom na určenie spoločného činiteľa alebo zaznamenanie skutočnosti jeho neprítomnosti sa čitateľ a menovateľ algebraického zlomku rozdelia na faktor.

Príklad 3

Je daný racionálny zlomok 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Je potrebné znížiť.

Riešenie

Rozložme polynómy v čitateli a menovateli. Vyložme to zo zátvoriek:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Vidíme, že výraz v zátvorkách možno previesť pomocou skrátených vzorcov na násobenie:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Je jasne vidieť, že je možné znížiť zlomok spoločným faktorom b 2 (a + 7). Urobme redukciu:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Napíšme krátke riešenie bez vysvetlenia ako reťaz rovnosti:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

odpoveď: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Stáva sa, že spoločné faktory sú skryté číselnými koeficientmi. Potom pri zmenšovaní zlomkov je optimálne dať číselné faktory na vyšších mocninách čitateľa a menovateľa zo zátvoriek.

Príklad 4

Daný algebraický zlomok 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Ak je to možné, je potrebné ho znížiť.

Riešenie

Čitateľ a menovateľ na prvý pohľad nemajú spoločného menovateľa. Skúsme však daný zlomok previesť. Vyberme faktor x v čitateli:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 r - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 r - 3 1 2

Teraz môžete vidieť určitú podobnosť medzi výrazom v zátvorkách a výrazom v menovateli vďaka x 2 y . Zoberme si číselné koeficienty vyšších mocnín týchto polynómov:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 roky 5 x 2 roky - 7 10

Teraz je spoločný faktor viditeľný, vykonáme zníženie:

2 7 x - 7 10 + x 2 r 5 x 2 r - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

odpoveď: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Zdôraznime, že zručnosť redukovať racionálne zlomky závisí od schopnosti faktorizovať polynómy.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Bez toho, aby ste vedeli zmenšiť zlomok a mali stabilnú zručnosť pri riešení takýchto príkladov, je veľmi ťažké študovať algebru v škole. Čím ďalej, tým viac nových informácií sa prekrýva so základnými poznatkami o redukcii obyčajných zlomkov. Najprv sa objavia mocniny, potom faktory, ktoré sa neskôr stanú polynómami.

Ako sa tu môžete vyhnúť zmätku? Dôkladne si upevnite zručnosti v predchádzajúcich témach a postupne sa pripravte na znalosti, ako zredukovať zlomok, ktorý je z roka na rok zložitejší.

Základné znalosti

Bez nich si neporadíte s úlohami žiadnej úrovne. Aby ste to pochopili, musíte pochopiť dva jednoduché body. Po prvé: faktory môžete iba znížiť. Táto nuansa sa ukáže ako veľmi dôležitá, keď sa polynómy objavia v čitateli alebo menovateli. Vtedy treba jasne rozlíšiť, kde je násobiteľ a kde sčítanec.

Druhý bod hovorí, že akékoľvek číslo môže byť reprezentované vo forme faktorov. Navyše výsledkom redukcie je zlomok, ktorého čitateľ a menovateľ sa už nedajú zmenšiť.

Pravidlá redukcie bežných zlomkov

Najprv by ste mali skontrolovať, či je čitateľ deliteľný menovateľom alebo naopak. Potom je potrebné znížiť práve toto číslo. Toto je najjednoduchšia možnosť.

Druhým je analýza vzhľadčísla. Ak obe končia jednou alebo viacerými nulami, môžu sa skrátiť o 10, 100 alebo tisíc. Tu si môžete všimnúť, či sú čísla párne. Ak áno, pokojne ho môžete skrátiť o dva.

Tretím pravidlom zmenšovania zlomku je rozdeliť čitateľa a menovateľa na prvočísla. V tejto dobe musíte aktívne využívať všetky svoje vedomosti o znakoch deliteľnosti čísel. Po tomto rozklade ostáva už len nájsť všetky opakujúce sa, vynásobiť ich a zmenšiť o výsledné číslo.

Čo ak je v zlomku algebraický výraz?

Tu sa objavujú prvé ťažkosti. Pretože práve tu sa objavujú pojmy, ktoré môžu byť totožné s faktormi. Naozaj ich chcem znížiť, ale nemôžem. Predtým, ako budete môcť zmenšiť algebraický zlomok, musíte ho previesť tak, aby obsahoval faktory.

Ak to chcete urobiť, budete musieť vykonať niekoľko krokov. Možno budete musieť prejsť všetky, alebo možno prvý z nich poskytne vhodnú možnosť.

Skontrolujte, či sa čitateľ a menovateľ alebo akýkoľvek výraz v nich líši znamienkom. V tomto prípade stačí dať mínus jedna zo zátvoriek. To vytvára rovnaké faktory, ktoré možno znížiť.

Zistite, či je možné odstrániť spoločný faktor z polynómu zo zátvoriek. Možno z toho vznikne zátvorka, ktorá sa dá aj skrátiť, alebo to bude odstránený monomiál.

Pokúste sa zoskupiť monočleny, aby ste k nim potom pridali spoločný faktor. Potom sa môže ukázať, že sa vyskytnú faktory, ktoré sa dajú redukovať, alebo sa opäť zopakuje bracketing bežných prvkov.

Pokúste sa písomne ​​zvážiť vzorce pre skrátené násobenie. S ich pomocou môžete jednoducho previesť polynómy na faktory.

Postupnosť operácií so zlomkami s mocninami

Aby ste ľahko pochopili otázku, ako znížiť zlomok pomocou právomocí, musíte si s nimi pevne zapamätať základné operácie. Prvý z nich súvisí s násobením právomocí. V tomto prípade, ak sú základy rovnaké, je potrebné pridať ukazovatele.

Druhým je rozdelenie. Opäť platí, že pre tie, ktoré majú rovnaké dôvody, bude potrebné ukazovatele odpočítať. Okrem toho musíte odpočítať od čísla, ktoré je v dividende, a nie naopak.

Tretím je umocňovanie. V tejto situácii sa ukazovatele násobia.

Úspešná redukcia si bude vyžadovať aj schopnosť znížiť sily na rovnaké základy. To znamená, že vidieť, že štyri sú dve na druhú. Alebo 27 - kocka troch. Pretože zmenšiť 9 štvorcových a 3 kocky je ťažké. Ale ak transformujeme prvý výraz ako (3 2) 2, potom bude redukcia úspešná.

Poďme pochopiť, čo je to zmenšovanie zlomkov, prečo a ako zmenšovať zlomky, uvedieme pravidlo na zmenšovanie zlomkov a príklady jeho použitia.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Čo je to "redukovanie zlomkov"

Zmenšiť zlomok znamená rozdeliť jeho čitateľa a menovateľa spoločným činiteľom, ktorý je kladný a odlišný od jedného.

V dôsledku tejto akcie sa získa zlomok s novým čitateľom a menovateľom, ktorý sa rovná pôvodnému zlomku.

Vezmime si napríklad bežný zlomok 6 24 a zredukujeme ho. Čitateľ a menovateľ vydeľte 2, výsledkom je 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12. V tomto príklade sme pôvodný zlomok znížili o 2.

Redukcia frakcií na neredukovateľnú formu

V predchádzajúcom príklade sme zlomok 6 24 zmenšili o 2, výsledkom čoho je zlomok 3 12. Je ľahké vidieť, že táto frakcia sa môže ďalej znižovať. Typicky je cieľom redukcie frakcií skončiť s neredukovateľnou frakciou. Ako zredukovať zlomok na neredukovateľnú formu?

Dá sa to dosiahnuť znížením čitateľa a menovateľa o ich najväčší spoločný faktor (GCD). Potom na základe vlastnosti najväčšieho spoločného deliteľa budú mať čitateľ a menovateľ vzájomne prvočísla a zlomok bude nezredukovateľný.

a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)

Redukcia zlomku na neredukovateľnú formu

Ak chcete zlomok zredukovať na neredukovateľnú formu, musíte vydeliť jeho čitateľa a menovateľa ich gcd.

Vráťme sa k zlomku 6 24 z prvého príkladu a privedieme ho do neredukovateľnej podoby. Najväčší spoločný deliteľ čísel 6 a 24 je 6. Zmenšime zlomok:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Znižovanie zlomkov je vhodné použiť, aby sa nepracovalo s veľkými číslami. Vo všeobecnosti v matematike platí nevyslovené pravidlo: ak dokážete zjednodušiť akýkoľvek výraz, musíte to urobiť. Zmenšiť zlomok najčastejšie znamená zredukovať ho na neredukovateľný tvar, a nie ho jednoducho zmenšiť spoločným deliteľom čitateľa a menovateľa.

Pravidlo pre redukciu zlomkov

Ak chcete znížiť zlomky, nezabudnite na pravidlo, ktoré pozostáva z dvoch krokov.

Pravidlo pre redukciu zlomkov

Na zníženie zlomku potrebujete:

1. Nájdite gcd čitateľa a menovateľa.
2. Vydeľte čitateľa a menovateľa ich gcd.

Pozrime sa na praktické príklady.

Príklad 1. Zmenšme zlomok.

Vzhľadom na zlomok 182 195. Skrátime to.

Poďme nájsť gcd čitateľa a menovateľa. Na tento účel je v tomto prípade najvhodnejšie použiť euklidovský algoritmus.

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13

Vydeľte čitateľa a menovateľa číslom 13. Dostaneme:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Pripravený. Získali sme neredukovateľný zlomok, ktorý sa rovná pôvodnému zlomku.

Ako inak môžete znížiť zlomky? V niektorých prípadoch je vhodné rozdeliť čitateľa a menovateľa na prvočísla a potom odstrániť všetky spoločné faktory z hornej a dolnej časti zlomku.

Príklad 2. Znížte frakciu

Vzhľadom na zlomok 360 2940. Poďme to skrátiť.

Ak to chcete urobiť, predstavte si pôvodný zlomok v tvare:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7

Zbavme sa spoločných faktorov v čitateli a menovateli, výsledkom čoho je:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

Nakoniec sa pozrime na ďalší spôsob, ako znížiť zlomky. Ide o takzvanú sekvenčnú redukciu. Použitím tejto metódy sa redukcia uskutočňuje v niekoľkých stupňoch, v každom z nich sa frakcia zníži o nejaký zrejmý spoločný faktor.

Príklad 3. Znížte frakciu

Zmenšime zlomok 2000 4400.

Hneď je jasné, že čitateľ a menovateľ majú spoločný faktor 100. Zlomok znížime o 100 a dostaneme:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Výsledný výsledok opäť znížime o 2 a získame neredukovateľnú frakciu:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Aby sme pochopili, ako zmenšiť zlomky, pozrime sa najprv na príklad.

Zmenšiť zlomok znamená deliť čitateľa a menovateľa tou istou vecou. 360 aj 420 končia číslicou, preto môžeme tento zlomok zmenšiť o 2. V novom zlomku sú 180 aj 210 deliteľné 2, preto tento zlomok zmenšíme 2. V číslach 90 a 105 je súčet číslic je deliteľné 3, teda obe tieto čísla sú deliteľné 3, zlomok zmenšíme o 3. V novom zlomku končia 30 a 35 na 0 a 5, čo znamená, že obe čísla sú deliteľné 5, takže zmenšujeme zlomok o 5. Výsledný zlomok šiestich sedmín je neredukovateľný. Toto je konečná odpoveď.

K rovnakej odpovedi môžeme dospieť aj iným spôsobom.

360 aj 420 končia nulou, čo znamená, že sú deliteľné 10. Zlomok znížime o 10. V novom zlomku sa čitateľ 36 aj menovateľ 42 delia 2. Zlomok znížime 2. V ďalší zlomok, čitateľ 18 aj menovateľ 21 sú delené 3, čo znamená, že zlomok zmenšujeme o 3. Došli sme k výsledku - šesť septim.

A ešte jedno riešenie.

Nabudúce sa pozrieme na príklady zmenšovania zlomkov.