Međusobno prosti brojevi nazivaju se. Koprosti brojevi: definicija, primjeri i svojstva

U ovom ćemo članku govoriti o tome što su međusobno prosti brojevi. U prvom paragrafu ćemo formulirati definicije za dva, tri ili više relativno prostih brojeva, dati nekoliko primjera i pokazati u kojim slučajevima se dva broja mogu smatrati prostima jedan u odnosu na drugi. Nakon toga prelazimo na formulaciju glavnih svojstava i njihovih dokaza. U zadnjem odlomku govorit ćemo o srodnom konceptu - prostim brojevima u paru.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Što su međusobno prosti brojevi

Dva cijela broja ili više njih mogu biti međusobno prosti. Prvo, uvedimo definiciju za dva broja, za koje nam je potreban pojam njihovog najvećeg zajedničkog djelitelja. Ako je potrebno, ponovite materijal posvećen tome.

Definicija 1

Dva takva broja a i b bit će međusobno prosti, čiji je najveći zajednički djelitelj jednak 1, tj. GCD (a, b) = 1.

Iz ove definicije možemo zaključiti da će jedini pozitivni zajednički djelitelj dvaju međusobno prostih brojeva biti jednak 1. Samo dva takva broja imaju dva zajednička djelitelja - jedan i minus jedan.

Koji su neki primjeri međusobno prostih brojeva? Na primjer, takav bi par bio 5 i 11. Imaju samo jedan zajednički pozitivni djelitelj, jednak 1, što potvrđuje njihovu međusobnu jednostavnost.

Ako uzmemo dva prosta broja, onda će oni u svakom slučaju međusobno biti prosti, ali takvi međusobni odnosi nastaju i između složenih brojeva. Postoje slučajevi kada je jedan broj u paru relativno prostih brojeva složen, a drugi prost ili su oba složena.

Ovu tvrdnju ilustrira sljedeći primjer: složeni brojevi 9 i 8 čine relativno prosti par. Dokažimo to izračunavanjem njihovog najvećeg zajedničkog djelitelja. Da bismo to učinili, zapisujemo sve njihove djelitelje (preporučujemo ponovno čitanje članka o pronalaženju djelitelja broja). Za 8 to će biti brojevi ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, a za 9 – ± 1, ± 3, ± 9. Od svih djelitelja biramo onaj koji će biti zajednički i najveći - to je jedinstvo. Stoga, ako je GCD (8, − 9) = 1, tada će 8 i - 9 biti međusobno prosti.

Koprosti brojevi nisu 500 i 45, jer imaju još jedan zajednički djelitelj - 5 (vidi članak o kriterijima djeljivosti s 5). Pet je veći od jedan i pozitivan je broj. Drugi sličan par mogao bi biti - 201 i 3, budući da se oba mogu podijeliti s 3, kao što je naznačeno odgovarajućim znakom djeljivosti.

U praksi je vrlo često potrebno odrediti relativnu primarnost dva cijela broja. Pronalaženje ovoga može se svesti na pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja i njegovu usporedbu s jedinicom. Također je zgodno koristiti tablicu prostih brojeva kako ne bi radili nepotrebne izračune: ako je jedan od zadanih brojeva u ovoj tablici, onda je djeljiv samo s jednim i sam sa sobom. Pogledajmo rješenje takvog problema.

Primjer 1

Stanje: saznati jesu li brojevi 275 i 84 međusobno prosti.

Riješenje

Oba broja jasno imaju više od jednog djelitelja, pa ih ne možemo odmah nazvati relativno prostima.

Najveći zajednički djelitelj izračunavamo koristeći Euklidov algoritam: 275 = 84 3 + 23, 84 = 23 3 + 15, 23 = 15 1 + 8, 15 = 8 1 + 7, 8 = 7 1 + 1, 7 = 7 · 1.

Odgovor: budući da je GCD (84, 275) = 1, tada će ti brojevi biti relativno prosti.

Kao što smo ranije rekli, definicija takvih brojeva može se proširiti na slučajeve kada nemamo dva broja, već više.

Definicija 2

Cijeli brojevi a 1 , a 2 , … , a k , k > 2 bit će međusobno prosti kad imaju najveći zajednički djelitelj jednak 1 .

Drugim riječima, ako imamo skup nekih brojeva s najvećim pozitivnim djeliteljem većim od 1, tada svi ti brojevi nisu međusobno inverzni u odnosu na druge.

Uzmimo nekoliko primjera. Dakle, cijeli brojevi − 99, 17 i − 27 su relativno prosti. Bilo koji broj prostih brojeva bit će međusobno prosti u odnosu na sve članove populacije, kao u nizovima 2, 3, 11, 19, 151, 293 i 667. Ali brojevi 12, − 9, 900 i − 72 neće biti relativno prosti, jer će osim jedinice imati još jedan pozitivan djelitelj jednak 3. Isto vrijedi i za brojeve 17, 85 i 187: osim jednog, svi se mogu podijeliti sa 17.

Obično međusobna primarnost brojeva nije očita na prvi pogled; tu činjenicu treba dokazati. Da biste saznali jesu li neki brojevi relativno prosti, potrebno je pronaći njihov najveći zajednički djelitelj i donijeti zaključak na temelju njegove usporedbe s jedinicom.

Primjer 2

Stanje: odrediti jesu li brojevi 331, 463 i 733 relativno prosti.

Riješenje

Provjerimo tablicu prostih brojeva i utvrdimo da se u njoj nalaze sva tri ova broja. Tada njihov zajednički djelitelj može biti samo jedan.

Odgovor: svi ti brojevi će biti međusobno prosti.

Primjer 3

Stanje: dajte dokaz da brojevi − 14, 105, − 2 107 i − 91 nisu međusobno prosti.

Riješenje

Počnimo s identificiranjem njihovog najvećeg zajedničkog djelitelja, a zatim se uvjerimo da nije jednak 1. Budući da negativni brojevi imaju iste djelitelje kao i odgovarajući pozitivni, tada je gcd (− 14, 105, 2 107, − 91) = gcd (14, 105, 2 107, 91). Prema pravilima koja smo dali u članku o pronalaženju najvećeg zajedničkog djelitelja, u ovom slučaju gcd će biti jednak sedam.

Odgovor: sedam je veće od jedan, što znači da ti brojevi nisu relativno prosti.

Osnovna svojstva međusobno prostih brojeva

Takvi brojevi imaju neka praktično važna svojstva. Nabrojimo ih redom i dokažimo.

Definicija 3

Ako cijele brojeve a i b podijelimo brojem koji odgovara njihovom najvećem zajedničkom djelitelju, dobit ćemo relativno proste brojeve. Drugim riječima, a: gcd (a, b) i b: gcd (a, b) će biti relativno prosti.

Ovo svojstvo smo već dokazali. Dokaz se nalazi u članku o svojstvima najvećeg zajedničkog djelitelja. Zahvaljujući njemu možemo odrediti parove relativno prostih brojeva: samo trebamo uzeti bilo koja dva cijela broja i podijeliti ih s GCD. Kao rezultat, trebali bismo dobiti međusobno proste brojeve.

Definicija 4

Nužan i dovoljan uvjet za međusobnu primarnost brojeva a i b je postojanje takvih cijelih brojeva u 0 I v 0, za koje jednakost a · u 0 + b · v 0 = 1 bit će istina.

Dokazi 1

Počnimo s dokazivanjem nužnosti ovog uvjeta. Recimo da imamo dva relativno prosta broja, označena s a i b. Tada će, prema definiciji ovog pojma, njihov najveći zajednički djelitelj biti jednak jedan. Iz svojstava gcd znamo da za cijele brojeve a i b postoji Bezoutova relacija a · u 0 + b · v 0 = gcd (a, b). Iz toga dobivamo to a · u 0 + b · v 0 = 1. Nakon toga trebamo dokazati dostatnost uvjeta. Neka ravnopravnost a · u 0 + b · v 0 = 1 bit će istina u ovom slučaju ako GCD (a, b) dijeli i a , i b , tada će također podijeliti zbroj a · u 0 + b · v 0, odnosno jedinica (ovo se može tvrditi na temelju svojstava djeljivosti). A to je moguće samo ako GCD (a, b) = 1, što dokazuje međusobnu jednostavnost a i b.

Zapravo, ako su a i b međusobno prosti, tada će prema prethodnom svojstvu jednakost biti istinita a · u 0 + b · v 0 = 1. Pomnožimo obje strane sa c i dobijemo to a · c · u 0 + b · c · v 0 = c. Prvi član možemo podijeliti a · c · u 0 + b · c · v 0 s b, jer je to moguće za a · c, a drugi član je također djeljiv s b, jer je jedan od naših faktora jednak b. Iz ovoga zaključujemo da se cijeli zbroj može podijeliti s b, a kako je taj zbroj jednak c, onda se c može podijeliti s b.

Definicija 5

Ako su dva cijela broja a i b međusobno prosti, tada je gcd (a c, b) = gcd (c, b).

Dokazi 2

Dokažimo da će NOT (a c, b) dijeliti NOT (c, b), a nakon toga da će NOT (c, b) dijeliti NOT (a c, b), što će biti dokaz točnosti jednakosti NOT (a · c , b) = NTO (c , b) .

Budući da GCD (a · c, b) dijeli i a · c i b, a GCD (a · c, b) dijeli b, tada će također dijeliti b · c. To znači da GCD (a c, b) dijeli i a c i b c, dakle, zbog svojstava GCD, također dijeli GCD (a c, b c), što će biti jednako c GCD (a, b ) = c . Dakle, NOT (a · c, b) dijeli i b i c, dakle, također dijeli NOT (c, b).

Također se može reći da budući da GCD (c, b) dijeli i c i b, tada će dijeliti i c i a c. To znači da GCD (c, b) dijeli i a · c i b, dakle, također dijeli GCD (a · c, b).

Dakle, gcd (a c, b) i gcd (c, b) međusobno se dijele, što znači da su jednake.

Definicija 6

Ako su brojevi iz niza a 1 , a 2 , … , a k bit će relativno prosti u odnosu na brojeve niza b 1, b 2, …, b m(za prirodne vrijednosti k i m), zatim njihovi produkti a 1 · a 2 · … · a k I b 1 · b 2 · … · b m također su relativno prosti, posebno, a 1 = a 2 = … = a k = a I b 1 = b 2 = … = b m = b, To a k I b m- međusobno jednostavno.

Dokazi 3

Prema prethodnom svojstvu možemo pisati jednakosti sljedećeg oblika: NOT (a 1 · a 2 · … · a k, b m) = NOT (a 2 · … · a k, b m) = … = NOT (a k, b m) = 1. Mogućnost posljednjeg prijelaza osigurava činjenica da su a k i b m relativno prosti prema uvjetu. To znači GCD (a 1 · a 2 · … · a k , b m) = 1 .

Označimo a 1 · a 2 · … · a k = A i dobijemo da je NOT (b 1 · b 2 · … · b m , a 1 · a 2 · … · a k) = NOT (b 1 · b 2 · … · b m , A) = NOT (b 2 · … · b · b m , A) = … = NOT (b m , A) = 1 . To će biti točno zbog posljednje jednakosti iz gore konstruiranog lanca. Dakle, imamo jednakost GCD (b 1 · b 2 · … · b m, a 1 · a 2 · … · a k) = 1, kojom možemo dokazati međusobnu jednostavnost umnožaka. a 1 · a 2 · … · a k I b 1 · b 2 · … · b m

Ovo su sva svojstva međusobno prostih brojeva o kojima bismo vam željeli govoriti.

Pojam uparenih prostih brojeva

Znajući što su međusobno prosti brojevi, možemo formulirati definiciju parnih prostih brojeva.

Definicija 7

Prosti brojevi u paru je niz cijelih brojeva a 1 , a 2 , ... , a k , gdje će svaki broj biti relativno prost u odnosu na ostale.

Primjer niza prostih brojeva u paru bio bi 14, 9, 17 i − 25. Ovdje su svi parovi (14 i 9, 14 i 17, 14 i − 25, 9 i 17, 9 i − 25, 17 i − 25) međusobno prosti. Imajte na umu da je uvjet uzajamno prostih brojeva obavezan za uparene proste brojeve, ali uzajamno prosti brojevi neće biti upareni prosti u svim slučajevima. Na primjer, u nizu 8, 16, 5 i 15, brojevi nisu takvi brojevi, budući da 8 i 16 neće biti međusobno prosti.

Također biste se trebali zadržati na konceptu zbirke određenog broja prostih brojeva. Oni će uvijek biti i međusobno i upareno jednostavni. Primjer bi bio niz 71, 443, 857, 991. U slučaju prostih brojeva, pojmovi međusobnog i uparenog prostog broja će se podudarati.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Udžbenike matematike ponekad je teško razumjeti. Suh i jasan jezik autora nije uvijek lako razumjeti. A teme su tamo uvijek međusobno povezane i posljedične. Da biste svladali jednu temu, morate pokrenuti niz prethodnih, a ponekad i prelistati cijeli udžbenik. teško? Da. Riskirajmo zaobići ove poteškoće i pokušajmo pronaći nestandardni pristup temi. Napravimo svojevrsni izlet u zemlju brojeva. Međutim, definiciju ćemo i dalje ostaviti istom, jer se pravila matematike ne mogu poništiti. Dakle, međusobno prosti brojevi su prirodni brojevi čiji je zajednički djelitelj jednak jedan. To je jasno? Dosta.

Za vizualniji primjer, uzmimo brojeve 6 i 13. Oba su djeljiva s jedan (koprosti). Ali brojevi 12 i 14 ne mogu biti takvi, budući da su djeljivi ne samo s 1, već i s 2. Sljedeći brojevi, 21 i 47, također se ne uklapaju u kategoriju "koprostih brojeva": oni se ne mogu podijeliti samo za 1, ali i za 7.

Koprosti brojevi se označavaju na sljedeći način: ( A, y) = 1.

Može se reći i jednostavnije: zajednički djelitelj (najveći) ovdje je jednak jedan.
Zašto nam je takvo znanje potrebno? Razloga ima dovoljno.

Međusobno uključeni u neke sustave šifriranja. Oni koji rade s Hillovim šiframa ili Cezarovim sustavom supstitucije razumiju: bez ovog znanja ne možete nikamo stići. Ako ste čuli za generatore, vjerojatno se nećete usuditi poreći: i tamo se koriste relativno prosti brojevi.

Sada razgovarajmo o načinima dobivanja takvih jednostavnih, kao što razumijete, mogu imati samo dva djelitelja: djeljivi su sami po sebi i s jednim. Recimo, 11, 7, 5, 3 su prosti brojevi, ali 9 nije, jer je ovaj broj već djeljiv s 9, 3 i 1.

I ako A- broj je prost, i na- iz seta (1, 2, ... A- 1), tada je zajamčeno ( A, na) = 1, ili međusobno prosti brojevi - A I na.

To zapravo nije čak ni objašnjenje, već ponavljanje ili sažimanje onoga što je upravo rečeno.

Dobivanje prostih brojeva je moguće, ali za velike brojeve (milijarde, na primjer) ova metoda je preduga, ali je, za razliku od superformula, koje ponekad griješe, pouzdanija.

Možete raditi odabirom na > A. Da biste to učinili, y je odabran tako da broj on A nije dijelio. Da biste to učinili, prosti broj se množi s prirodnim brojem i dodaje (ili, naprotiv, oduzima) količinu (npr. R), što je manje A:

y = R a + k

Ako npr. A = 71, R= 3, q=10, tada je prema tome na ovdje će biti jednako 713. Moguć je i drugi odabir, sa stupnjevima.

Složeni brojevi, za razliku od relativno prostih brojeva, djeljivi su sami sa sobom, s 1 i s drugim brojevima (također bez ostatka).

Drugim riječima, (osim jednog) dijele se na složene i jednostavne.

Prosti brojevi su prirodni brojevi koji nemaju netrivijalne (različite od samog broja i jedinice) djelitelje. Njihova je uloga osobito važna u današnjoj modernoj kriptografiji koja se brzo razvija, zahvaljujući kojoj je disciplina koja se prije smatrala iznimno apstraktnom postala toliko tražena: algoritmi zaštite podataka neprestano se poboljšavaju.

Najveći prosti broj pronašao je oftalmolog Martin Nowak, koji je zajedno s još oko 15 tisuća entuzijasta sudjelovao u projektu GIMPS (distributivno računalstvo), a izračuni su trajali dugih šest godina. Uključeno je dva i pol tuceta računala smještenih u Novakovoj očnoj klinici. Rezultat titanskog rada i upornosti bio je broj 225964951-1, napisan na 7816230 decimalnih mjesta. Inače, rekord u najvećem broju postavljen je šest mjeseci prije ovog otkrića. A bilo je pola milijuna znakova manje.

Genijalac koji želi imenovati broj kod kojeg će trajanje decimalnog zapisa "skočiti" deset milijuna ima priliku dobiti ne samo svjetsku slavu, već i 100.000 dolara. Inače, za brojku koja je prešla milijunsku brojku Nayan Khairatwal dobio je manji iznos (50.000 dolara).

$p$ se naziva prostim brojem ako ima samo $2$ djelitelja: $1$ i sebe.

Djelitelj prirodnog broja $a$ je prirodni broj koji dijeli izvorni broj $a$ bez ostatka.

Primjer 1

Pronađite djelitelje broja $6$.

Rješenje: Trebamo pronaći sve brojeve kojima je zadani broj $6$ djeljiv bez ostatka. Ovo će biti brojevi: $1,2,3, 6$. Dakle, djelitelj broja $6$ bit će brojevi $1,2,3,6.$

Odgovor: 1,2,3,6$.

To znači da je za pronalaženje djelitelja nekog broja potrebno pronaći sve prirodne brojeve kojima je zadani broj djeljiv bez ostatka. Lako je vidjeti da će broj $1$ biti djelitelj bilo kojeg prirodnog broja.

Definicija 2

Kompozitni Nazivaju broj koji ima i druge djelitelje osim jednog i samog sebe.

Primjer prostog broja bio bi broj $13$, primjer složenog broja bi bio $14.$

Napomena 1

Broj $1$ ima samo jedan djelitelj - sam broj, tako da nije ni prost ni složen.

Koprosti brojevi

Definicija 3

Međusobno prosti brojevi to su oni čiji je gcd jednak $1$. To znači da da biste saznali jesu li brojevi relativno prosti, trebate pronaći njihov gcd i usporediti ga s $1$.

Upareni međusobno prosti

Definicija 4

Ako su u skupu brojeva bilo koja dva međusobno prosta, tada se takvi brojevi nazivaju upareno međusobno prosti. Za dva broja, pojmovi "koprime" i "pairwise coprime" se podudaraju.

Primjer 2

$8, $15 - nije jednostavno, ali relativno jednostavno.

$6, 8, 9$ su međusobno prosti brojevi, ali ne i upareni međusobno prosti brojevi.

$8, 15, 49$ su upareni relativno prosti.

Kao što vidimo, da bismo odredili jesu li brojevi relativno prosti, potrebno ih je prvo rastaviti na proste faktore. Obratimo pozornost na to kako to učiniti ispravno.

Rastavljanje na proste faktore

Na primjer, faktorizirajmo broj $180$ na proste faktore:

180$=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$

Iskoristimo svojstvo moći, tada ćemo dobiti,

180$=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

Ovaj zapis rastavljanja na proste faktore zove se kanonski, tj. da bi se broj faktorizirao u kanonskom obliku, potrebno je koristiti svojstvo potencija i prikazati broj kao umnožak potencija s različitim bazama

Kanonsko širenje prirodnog broja u općem obliku

Kanonsko širenje prirodnog broja u općem obliku ima oblik:

$m=p^(n1)_1\cdot p^(n2)_2\cdot \dots \dots ..\cdot p^(nk)_k$

gdje su $p_1,p_2\dots \dots .p_k$ prosti brojevi, a eksponenti prirodni brojevi.

Predstavljanje broja kao kanonske dekompozicije na proste skupove olakšava pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja brojeva i djeluje kao posljedica dokaza ili definicije međusobno prostih brojeva.

Primjer 3

Pronađite najveći zajednički djelitelj brojeva $180$ i $240$.

Rješenje: Rastavimo brojeve na jednostavne skupove pomoću kanonske dekompozicije

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$, zatim $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

$240=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$, zatim $240=2^4\cdot 3\cdot 5$

Nađimo sada gcd ovih brojeva, za to biramo potencije s istom bazom i s najmanjim eksponentom, zatim

$GCD\(180;240)= 2^2\cdot 3\cdot 5=60$

Sastavljajmo algoritam za pronalaženje GCD-a uzimajući u obzir kanoničku faktorizaciju na proste faktore.

Da biste pronašli najveći zajednički djelitelj dvaju brojeva pomoću kanonske ekspanzije, trebate:

1. rastavite brojeve na proste faktore u kanonskom obliku
2. odaberite potencije s istom bazom i s najmanjim eksponentom od onih koji su uključeni u proširenje tih brojeva
3. Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najveći zajednički djelitelj.

Primjer 4

Odredite jesu li brojevi $195$ i $336$ prosti i međusobno prosti brojevi.

195$=3\cdot 5\cdot 13$

$336=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^4\cdot 3\cdot 5$

$GCD\(195;336) =3\cdot 5=15$

Vidimo da se gcd ovih brojeva razlikuje od $1$, što znači da brojevi nisu relativno prosti. Također vidimo da svaki od brojeva uključuje faktore, osim $1$ i samog broja, što znači da brojevi neće biti prosti, već će biti složeni.

Primjer 5

Odredite jesu li brojevi $39$ i $112$ prosti i međusobno prosti brojevi.

Rješenje: Upotrijebimo kanonsku faktorizaciju za faktorizaciju:

$112=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7=2^4\cdot 7$

$GCD\(39;112)=1$

Vidimo da je gcd ovih brojeva jednak $1$, što znači da su brojevi relativno prosti. Također vidimo da svaki od brojeva uključuje faktore, osim $1$ i samog broja, što znači da brojevi neće biti prosti, već će biti složeni.

Primjer 6

Odredite jesu li brojevi $883$ i $997$ prosti i međusobno prosti brojevi.

Rješenje: Upotrijebimo kanonsku faktorizaciju za faktorizaciju:

883$=1\cdot 883$

997$=1\cdot 997$

$GCD\(883;997)=1$

Vidimo da je gcd ovih brojeva jednak $1$, što znači da su brojevi relativno prosti. Također vidimo da svaki broj uključuje samo faktore jednake $1$ i sam broj, što znači da će brojevi biti prosti.

Što su međusobno prosti brojevi?

Definicija međusobno prostih brojeva

Definicija međusobno prostih brojeva:

Koprosti brojevi su cijeli brojevi koji nemaju zajedničkih faktora osim jedan.

Primjeri međusobno prostih brojeva

Primjer međusobno prostih brojeva:

2 i 3 nemaju drugih zajedničkih djelitelja osim jedan.

Još jedan primjer međusobno prostih brojeva:

3 i 7 nemaju drugih zajedničkih faktora osim jedan.

Još jedan primjer međusobno prostih brojeva:

11 i 13 nemaju drugih zajedničkih faktora osim jedan.

Sada možemo odgovoriti na pitanje što znače međusobno prosti brojevi.

Što znače međusobno prosti brojevi?

To su cijeli brojevi koji nemaju zajedničkih djelitelja osim jedan.

Dva međusobno prosta broja

Svaki od ovih parova su dva relativno prosta broja.

11 i 15
15 i 16
16 i 23

Zajednički djelitelji međusobno prostih brojeva

Zajednički djelitelji međusobno prostih brojeva su samo jedan, što proizlazi iz definicije međusobno prostih brojeva.

Najveći zajednički djelitelj međusobno prostih brojeva

Najveći zajednički djelitelj međusobno prostih brojeva je jedan, kao što slijedi iz definicije međusobno prostih brojeva.

Jesu li brojevi međusobno prosti?

Jesu li brojevi 3 i 13 međusobno prosti? Da, jer nemaju zajedničkih djelitelja osim jedan.

Jesu li brojevi 3 i 12 međusobno prosti? Ne, jer su njihovi zajednički djelitelji 1 i 3. A prema definiciji međusobno prostih brojeva, zajednički djelitelj bi trebao biti samo jedan.

Jesu li brojevi 3 i 108 međusobno prosti? Ne, jer su njihovi zajednički djelitelji 1 i 3. A prema definiciji međusobno prostih brojeva, zajednički djelitelj bi trebao biti samo jedan.

Jesu li brojevi 108 i 5 međusobno prosti? Da, jer nemaju zajedničkih djelitelja osim jedan.

Informacije u ovom članku pokrivaju temu " međusobno prosti brojevi" Najprije se daje definicija dvaju međusobno prostih brojeva, kao i definicija tri ili više međusobno prostih brojeva. Nakon toga se daju primjeri međusobno prostih brojeva i pokazuje kako se dokazuje da su zadani brojevi međusobno prosti. Zatim su navedena i dokazana glavna svojstva međusobno prostih brojeva. Na kraju, spominju se prosti brojevi u parovima jer su usko povezani s međusobno prostim brojevima.

Navigacija po stranici.

Često postoje zadaci u kojima trebate dokazati da su zadani cijeli brojevi relativno prosti. Dokaz se svodi na izračunavanje najvećeg zajedničkog djelitelja zadanih brojeva i provjeru gcd-a da se vidi je li jednak jedan. Također je korisno pogledati tablicu prostih brojeva prije izračuna GCD: odjednom su izvorni cijeli brojevi prosti, a znamo da je najveći zajednički djelitelj prostih brojeva jednak jedan. Pogledajmo primjer rješenja.

Primjer.

Dokažite da su brojevi 84 i 275 relativno prosti.

Riješenje.

Očito, ovi brojevi nisu prosti, pa ne možemo odmah govoriti o relativnom prostim brojevima 84 i 275, te ćemo morati izračunati gcd. Koristimo Euklidov algoritam za pronalaženje GCD: 275=84·3+23, 84=23·3+15, 23=15·1+8, 15=8·1+7, 8=7·1+1, 7 =7 ·1, dakle, gcd(84, 275)=1. To dokazuje da su brojevi 84 i 275 relativno prosti.

Definicija međusobno prostih brojeva može se proširiti na tri ili više brojeva.

Definicija.

Pozivaju se cijeli brojevi a 1 , a 2 , …, a k , k>2 međusobno prosti, ako je najveći zajednički djelitelj tih brojeva jednak jedan.

Iz navedene definicije slijedi da ako određeni skup cijelih brojeva ima pozitivan zajednički djelitelj različit od jedan, tada ti cijeli brojevi nisu međusobno prosti.

Navedimo primjere. Tri cijela broja −99, 17 i −27 su relativno prosta. Bilo koja zbirka prostih brojeva čini skup međusobno prostih brojeva, na primjer, 2, 3, 11, 19, 151, 293 i 677 su međusobno prosti brojevi. A četiri broja 12, −9, 900 i −72 nisu međusobno prosti jer imaju pozitivan zajednički djelitelj 3 koji nije 1. Brojevi 17, 85 i 187 također nisu relativno prosti, jer je svaki od njih djeljiv sa 17.

Obično je daleko od očitog da su neki brojevi relativno prosti i tu činjenicu treba dokazati. Da biste saznali jesu li zadani brojevi međusobno prosti, morate pronaći najveći zajednički djelitelj tih brojeva i izvesti zaključak na temelju definicije međusobno prostih brojeva.

Primjer.

Jesu li brojevi 331, 463 i 733 relativno prosti?

Riješenje.

Gledajući tablicu prostih brojeva, ustanovit ćemo da je svaki od brojeva 331, 463 i 733 prost. Prema tome, imaju jedan pozitivan zajednički djelitelj - jedan. Dakle, tri broja 331, 463 i 733 su relativno prosti brojevi.

Odgovor:

Da.

Primjer.

Dokažite da brojevi −14 , 105 , −2 107 i −91 nisu međusobno prosti.

Riješenje.

Da biste dokazali da ovi brojevi nisu relativno prosti, možete pronaći njihov gcd i uvjeriti se da nije jednak jedan. To ćemo i učiniti.

Kako se djelitelji negativnih cijelih brojeva podudaraju s djeliteljima odgovarajućih brojeva, tada GCD(−14, 105, 2 107, −91)= GCD(14, 105, 2 107, 91) . Vraćajući se na materijal u članku o pronalaženju najvećeg zajedničkog djelitelja tri ili više brojeva, saznajemo da je GCD(14, 105, 2 107, 91) = 7. Dakle, najveći zajednički djelitelj izvornih brojeva je sedam, pa ti brojevi nisu međusobno prosti.

Svojstva međusobno prostih brojeva

Koprosti brojevi imaju niz svojstava. Pogledajmo glavno svojstva međusobno prostih brojeva.

Brojevi dobiveni dijeljenjem cijelih brojeva a i b njihovim najvećim zajedničkim djeliteljem međusobno su prosti, odnosno a:NOD(a, b) i b:NOD(a, b) su prosti.

To smo svojstvo dokazali kada smo ispitivali svojstva GCD-a.

Razmotreno svojstvo međusobno prostih brojeva omogućuje nam pronalaženje parova međusobno prostih brojeva. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti bilo koja dva cijela broja i podijeliti ih najvećim zajedničkim djeliteljem, dobiveni brojevi će biti relativno prosti.

Da bi cijeli brojevi a i b bili relativno prosti, potrebno je i dovoljno da postoje cijeli brojevi u 0 i v 0 takvi da je a·u 0 +b·v 0 =1.

Dokažimo prvo nužnost.

Neka su brojevi a i b međusobno prosti. Tada, prema definiciji međusobno prostih brojeva, gcd(a, b)=1. A iz svojstava GCD znamo da je za cijele brojeve a i b Bezoutova relacija a·u 0 +b·v 0 =NOT(a, b) istinita. Prema tome, a·u 0 +b·v 0 =1.

Ostaje dokazati dostatnost.

Neka je jednakost a·u 0 +b·v 0 =1 istinita. Budući da NOT(a, b) dijeli i a i b, onda NOT(a, b), zbog svojstava djeljivosti, mora podijeliti zbroj a·u 0 +b·v 0, a time i jedinicu. A to je moguće samo kada je GCD(a, b)=1. Prema tome, a i b su relativno prosti brojevi.

Sljedeće svojstvo međusobno prostih brojeva je sljedeće: ako su brojevi a i b međusobno prosti, a umnožak a·c djeljiv s b, tada je c djeljiv s b.

Doista, budući da su a i b relativno prosti, tada iz prethodnog svojstva imamo jednakost a·u 0 +b·v 0 =1. Množenjem obje strane ove jednakosti sa c, imamo a·c·u 0 +b·c·v 0 =c. Prvi član zbroja a·c·u 0 +b·c·v 0 podijeljen je s b, budući da je a·c podijeljen s b prema uvjetu, drugi član ovog zbroja također je podijeljen s b, jer jedan od faktora je jednak b, stoga se cijeli zbroj dijeli s b. A kako je zbroj a·c·u 0 +b·c·v 0 jednak c, onda je c djeljiv s b.

Ako su brojevi a i b relativno prosti, tada je gcd(a c, b) = gcd(c, b) .

Pokažimo, prvo, da gcd(a c, b) dijeli gcd(c, b), i drugo, da gcd(c, b) dijeli gcd(a c, b), time ćemo dokazati jednakost GCD(a c, b) =NOT(c, b) .

GCD(a c, b) dijeli i a c i b, a budući da gcd(a c, b) dijeli b, također dijeli i b c. Odnosno, gcd(a c, b) dijeli i a c i b c, dakle, zbog svojstava najvećeg zajedničkog djelitelja, također dijeli i gcd(a c, b c), koji je prema svojstvima gcd jednak c GCD(a, b)=c. Dakle, gcd(a c, b) dijeli i b i c, dakle, također dijeli gcd(c, b).

S druge strane, GCD(c, b) dijeli i c i b, a budući da dijeli c, također dijeli i a·c. Dakle, gcd(c, b) dijeli i a c i b, dakle, također dijeli i gcd(a c, b).

Tako smo pokazali da gcd(a c, b) i gcd(c, b) međusobno dijele, što znači da su jednake.

Ako je svaki od brojeva a 1 , a 2 , …, a k jednakoprost sa svakim od brojeva b 1 , b 2 , …, b m (gdje su k i m neki prirodni brojevi), tada su umnošci a 1 · a 2 · … · a k i b 1 · b 2 ·…·b m su prosti brojevi, posebno, ako a 1 =a 2 =…=a k =a i b 1 =b 2 =…=b m =b, tada su a k i b m međusobno prosti brojevi.

Prethodno svojstvo međusobno prostih brojeva omogućuje nam pisanje niza jednakosti oblika NOT(a 1 · a 2 ·…·a k , b m)= NOT(a 2 ·…·a k , b m)=…=NOT(a k , b m)=1, gdje je posljednji prijelaz moguć, budući da su a k i b m međusobno prosti brojevi prema uvjetu. Tako, NOT(a 1 · a 2 ·…·a k , b m)=1.

Sada, označavajući a 1 ·a 2 ·…·a k =A, imamo
GCD(b 1 ·b 2 ·…·b m , a 1 ·a 2 ·…·a k)= NOT(b 1 · b 2 ·…·b m , A)=
=NOT(b 2 ·…·b m , A)=… =NOT(b m , A)=1
(posljednji prijelaz vrijedi, zbog posljednje jednakosti iz prethodnog odlomka). Ovako smo dobili ravnopravnost GCD(b 1 ·b 2 ·…·b m , a 1 ·a 2 ·…·a k)=1, što dokazuje da su umnošci a 1 ·a 2 ·…·a k i b 1 ·b 2 ·…·b m međusobno prosti brojevi.

Ovime završavamo naš pregled osnovnih svojstava međusobno prostih brojeva.

Parovi prostih brojeva - definicije i primjeri

Preko međusobno prostih brojeva zadano je identificiranje parova prostih brojeva.

Definicija.

Cijeli brojevi a 1, a 2, …, a k, od kojih je svaki relativno prost u odnosu na sve ostale, nazivaju se upareni prosti brojevi.

Navedimo primjer uparenih prostih brojeva. Brojevi 14, 9, 17 i −25 su po parovima prosti, budući da su parovi brojeva 14 i 9, 14 i 17, 14 i −25, 9 i 17, 9 i −25, 17 i −25 međusobno prosti brojevi. Ovdje napominjemo da su prosti brojevi u paru uvijek međusobno prosti.

S druge strane, relativno prosti brojevi nisu uvijek prosti u parovima, što potvrđuje sljedeći primjer. Brojevi 8, 16, 5 i 15 nisu upareni prosti, budući da brojevi 8 i 16 nisu međusobno prosti. Međutim, brojevi 8, 16, 5 i 15 su relativno prosti. Dakle, 8, 16, 5 i 15 su relativno prosti brojevi, ali nisu prosti brojevi u paru.

Posebno treba istaknuti kolekciju određenog broja prostih brojeva. Ovi brojevi su uvijek i relativno prosti i prosti u paru. Na primjer, 71, 443, 857, 991 su i prosti i međusobno prosti brojevi u paru.

Također je jasno da kada govorimo o dva cijela broja, onda se za njih pojmovi "upareni prosti" i "međusobno prosti" podudaraju.

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya. i dr. Matematika. 6. razred: udžbenik za općeobrazovne ustanove.
• Vinogradov I.M. Osnove teorije brojeva.
• Mikhelovich Sh.H. Teorija brojeva.
• Kulikov L.Ya. i dr. Zbirka zadataka iz algebre i teorije brojeva: Udžbenik za studente fizike i matematike. specijalnosti pedagoških zavoda.