Video lekcija “Pojednostavljenje izraza. Kako pojednostaviti matematički izraz

Doslovni izraz (ili varijabilni izraz) je matematički izraz koji se sastoji od brojeva, slova i matematičkih simbola. Na primjer, sljedeći izraz je doslovan:

a+b+4

Koristeći abecedne izraze možete pisati zakone, formule, jednadžbe i funkcije. Sposobnost manipuliranja slovnim izrazima ključ je dobrog poznavanja algebre i više matematike.

Svaki ozbiljan problem u matematici svodi se na rješavanje jednadžbi. A da biste mogli rješavati jednadžbe, morate znati raditi s doslovnim izrazima.

Za rad s doslovnim izrazima potrebno je dobro poznavati osnove aritmetike: zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, osnovne zakone matematike, razlomke, operacije s razlomcima, proporcije. I ne samo proučavati, već temeljito razumjeti.

Sadržaj lekcije

Varijable

Slova koja su sadržana u doslovnim izrazima nazivaju se varijable. Na primjer, u izrazu a+b+4 varijable su slova a I b. Ako zamijenimo bilo koje brojeve umjesto ovih varijabli, onda je doslovni izraz a+b+4će se pretvoriti u brojčani izraz čija se vrijednost može pronaći.

Brojevi koji se zamjenjuju za varijable nazivaju se vrijednosti varijabli. Na primjer, promijenimo vrijednosti varijabli a I b. Za promjenu vrijednosti koristi se znak jednakosti

a = 2, b = 3

Promijenili smo vrijednosti varijabli a I b. Varijabilna a dodijeljena vrijednost 2 , varijabla b dodijeljena vrijednost 3 . Kao rezultat toga, doslovni izraz a+b+4 pretvara u regularni numerički izraz 2+3+4 čija se vrijednost može pronaći:

2 + 3 + 4 = 9

Kada se varijable množe, one se pišu zajedno. Na primjer, snimite ab znači isto što i unos a×b. Ako zamijenimo varijable a I b brojevima 2 I 3 , tada dobivamo 6

2 × 3 = 6

Također možete zajedno napisati množenje broja izrazom u zagradi. Na primjer, umjesto a×(b + c) može se zapisati a(b + c). Primjenom distribucijskog zakona množenja dobivamo a(b + c)=ab+ac.

Izgledi

U doslovnim izrazima često možete pronaći zapis u kojem su broj i varijabla napisani zajedno, na primjer 3a. Ovo je zapravo skraćenica za množenje broja 3 varijablom. a a ovaj unos izgleda 3×a .

Drugim riječima, izraz 3a je umnožak broja 3 i varijable a. Broj 3 u ovom djelu nazivaju koeficijent. Ovaj koeficijent pokazuje koliko puta će se varijabla povećati a. Ovaj izraz se može čitati kao " a tri puta" ili "tri puta A", ili "povećajte vrijednost varijable a tri puta", ali se najčešće čita kao "tri a«

Na primjer, ako je varijabla a jednak 5 , zatim vrijednost izraza 3a bit će jednako 15.

3 × 5 = 15

Jednostavno rečeno, koeficijent je broj koji se pojavljuje prije slova (ispred varijable).

Može biti nekoliko slova, na primjer 5abc. Ovdje je koeficijent broj 5 . Ovaj koeficijent pokazuje da je umnožak varijabli abc upeterostručuje. Ovaj izraz se može čitati kao " abc pet puta" ili "povećajte vrijednost izraza abc pet puta" ili "pet abc«.

Ako umjesto varijabli abc zamijenite brojeve 2, 3 i 4, a zatim vrijednost izraza 5abc bit će jednaki 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Možete mentalno zamisliti kako su brojevi 2, 3 i 4 prvo pomnoženi, a dobivena vrijednost se upeterostručila:

Predznak koeficijenta odnosi se samo na koeficijent i ne odnosi se na varijable.

Razmotrite izraz −6b. Minus prije koeficijenta 6 , odnosi se samo na koeficijent 6 , i ne pripada varijabli b. Razumijevanje ove činjenice omogućit će vam da u budućnosti ne griješite znakovima.

Nađimo vrijednost izraza −6b na b = 3.

−6b −6×b. Radi jasnoće, napišimo izraz −6b u proširenom obliku i zamijenite vrijednost varijable b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza −6b na b = −5

Zapišimo izraz −6b u proširenom obliku

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza −5a+b na a = 3 I b = 2

−5a+b ovo je skraćenica za −5 × a + b, pa radi jasnoće pišemo izraz −5×a+b u proširenom obliku i zamijenite vrijednosti varijabli a I b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Ponekad se slova pišu bez koeficijenta, na primjer a ili ab. U ovom slučaju, koeficijent je jedinica:

ali tradicionalno se jedinica ne zapisuje, pa jednostavno zapišu a ili ab

Ako ispred slova stoji minus, onda je koeficijent broj −1 . Na primjer, izraz −a zapravo izgleda −1a. Ovo je umnožak minus jedan i varijable a. Ispalo je ovako:

−1 × a = −1a

Ovdje postoji mala kvaka. U izrazu −a znak minus ispred varijable a zapravo se odnosi na "nevidljivu jedinicu", a ne na varijablu a. Stoga treba biti oprezan pri rješavanju problema.

Na primjer, ako je dan izraz −a a od nas se traži da pronađemo njegovu vrijednost na a = 2, onda smo u školi zamijenili dvojku umjesto varijable a i dobio odgovor −2 , bez previše fokusiranja na to kako je ispalo. Zapravo, minus jedan je pomnožen s pozitivnim brojem 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Ako se da izraz −a i trebate pronaći njegovu vrijednost na a = −2, onda zamjenjujemo −2 umjesto varijable a

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Kako bi se izbjegle pogreške, u početku se nevidljive jedinice mogu eksplicitno zapisati.

Primjer 4. Pronađite vrijednost izraza abc na a=2 , b=3 I c=4

Izraz abc 1×a×b×c. Radi jasnoće, napišimo izraz abc a , b I c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Primjer 5. Pronađite vrijednost izraza abc na a=−2 , b=−3 I c=−4

Zapišimo izraz abc u proširenom obliku i zamijenite vrijednosti varijabli a , b I c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Primjer 6. Pronađite vrijednost izraza − abc na a=3, b=5 i c=7

Izraz − abc ovo je skraćenica za −1×a×b×c. Radi jasnoće, napišimo izraz − abc u proširenom obliku i zamijenite vrijednosti varijabli a , b I c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Primjer 7. Pronađite vrijednost izraza − abc na a=−2 , b=−4 i c=−3

Zapišimo izraz − abc u proširenom obliku:

−abc = −1 × a × b × c

Zamijenimo vrijednosti varijabli a , b I c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Kako odrediti koeficijent

Ponekad je potrebno riješiti zadatak u kojem treba odrediti koeficijent izraza. U principu, ovaj zadatak je vrlo jednostavan. Dovoljno je znati ispravno množiti brojeve.

Da biste odredili koeficijent u izrazu, morate odvojeno pomnožiti brojeve uključene u ovaj izraz i zasebno pomnožiti slova. Rezultirajući numerički faktor bit će koeficijent.

Primjer 1. 7m×5a×(−3)×n

Izraz se sastoji od nekoliko faktora. To se može jasno vidjeti ako napišete izraz u proširenom obliku. Odnosno djela 7m I 5a upiši to u obrazac 7×m I 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Primijenimo asocijativni zakon množenja, koji vam omogućuje množenje faktora bilo kojim redoslijedom. Naime, posebno ćemo množiti brojeve i posebno slova (varijable):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105 čovjek

Koeficijent je −105 . Nakon završetka, preporučljivo je rasporediti dio slova abecednim redom:

−105 ujutro

Primjer 2. Odredite koeficijent u izrazu: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Koeficijent je 6.

Primjer 3. Odredite koeficijent u izrazu:

Pomnožimo brojeve i slova odvojeno:

Koeficijent je −1. Napominjemo da se jedinica ne zapisuje jer je uobičajeno da se koeficijent 1 ne upisuje.

Ovi naizgled najjednostavniji zadaci mogu odigrati vrlo okrutnu šalu s nama. Često se ispostavi da je znak koeficijenta pogrešno postavljen: ili nedostaje minus ili je, naprotiv, postavljen uzalud. Da bi se izbjegle ove neugodne pogreške, mora se proučavati na dobroj razini.

Pribrojnici u doslovnim izrazima

Pri zbrajanju više brojeva dobiva se zbroj tih brojeva. Brojevi koji se zbrajaju nazivaju se pribrojnici. Pojmova može biti više, npr.

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Kada se izraz sastoji od članova, puno ga je lakše procijeniti jer je zbrajanje lakše nego oduzimanje. Ali izraz može sadržavati ne samo zbrajanje, već i oduzimanje, na primjer:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

U ovom izrazu, brojevi 3 i 5 su oduzeci, a ne pribrojnici. Ali ništa nas ne sprječava da oduzimanje zamijenimo zbrajanjem. Tada opet dobivamo izraz koji se sastoji od članova:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Nije važno što brojevi −3 i −5 sada imaju predznak minus. Glavna stvar je da su svi brojevi u ovom izrazu povezani znakom dodavanja, odnosno da je izraz zbroj.

Oba izraza 1 + 2 − 3 + 4 − 5 I 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) jednaka istoj vrijednosti - minus jedan

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Dakle, značenje izraza neće patiti ako negdje oduzimanje zamijenimo zbrajanjem.

Također možete zamijeniti oduzimanje zbrajanjem u doslovnim izrazima. Na primjer, razmotrite sljedeći izraz:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Za bilo koje vrijednosti varijabli a, b, c, d I s izrazi 7a + 6b − 3c + 2d − 4s I 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) bit će jednaka istoj vrijednosti.

Morate biti spremni na činjenicu da učitelj u školi ili nastavnik na institutu može nazvati parne brojeve (ili varijable) koji nisu zbrojnici.

Na primjer, ako je razlika napisana na ploči a−b, onda to učitelj neće reći a je minuend, i b- oduzimajući. On će obje varijable nazvati jednom zajedničkom riječi - Pojmovi. A sve zbog izražaja forme a−b matematičar vidi kako zbroj a+(−b). U tom slučaju izraz postaje zbroj, a varijable a I (-b) postati pojmovi.

Slični pojmovi

Slični pojmovi- to su pojmovi koji imaju isti slovni dio. Na primjer, razmotrite izraz 7a + 6b + 2a. Komponente 7a I 2a imaju isti slovni dio – varijablu a. Dakle, uvjeti 7a I 2a su slični.

Obično se slični pojmovi dodaju radi pojednostavljenja izraza ili rješavanja jednadžbe. Ova operacija se zove donoseći slične uvjete.

Da biste donijeli slične izraze, trebate zbrojiti koeficijente ovih izraza i dobiveni rezultat pomnožiti sa zajedničkim slovnim dijelom.

Na primjer, predstavimo slične pojmove u izrazu 3a + 4a + 5a. U ovom slučaju svi pojmovi su slični. Zbrojimo njihove koeficijente i rezultat pomnožimo zajedničkim slovnim dijelom – varijablom a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Takvi se pojmovi obično prisjete i rezultat se odmah zapiše:

3a + 4a + 5a = 12a

Također, može se zaključiti na sljedeći način:

Bilo je 3 a varijable, još 4 a varijable i dodano im je još 5 a varijabli. Kao rezultat, dobili smo 12 varijabli a

Pogledajmo nekoliko primjera donošenja sličnih pojmova. S obzirom da je ova tema vrlo važna, za početak ćemo detaljno ispisati svaki detalj. Unatoč činjenici da je ovdje sve vrlo jednostavno, većina ljudi čini mnogo grešaka. Uglavnom zbog nepažnje, a ne neznanja.

Primjer 1. 3a + 2a + 6a + 8 a

Zbrojimo koeficijente u ovom izrazu i pomnožimo dobiveni rezultat sa zajedničkim slovnim dijelom:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

oblikovati (3 + 2 + 6 + 8)×a Ne morate ga zapisivati, stoga ćemo odmah napisati odgovor

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Primjer 2. Navedite slične pojmove u izrazu 2a+a

Drugi termin a napisano bez koeficijenta, ali zapravo ispred njega stoji koeficijent 1 , koju ne vidimo jer nije snimljena. Dakle, izraz izgleda ovako:

2a + 1a

Sada predstavimo slične pojmove. Odnosno, zbrajamo koeficijente i rezultat množimo zajedničkim slovnim dijelom:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Napišimo ukratko rješenje:

2a + a = 3a

2a+a, možete misliti drugačije:

Primjer 3. Navedite slične pojmove u izrazu 2a−a

Zamijenimo oduzimanje sa zbrajanjem:

2a + (−a)

Drugi termin (-a) napisano bez koeficijenta, ali u stvarnosti tako izgleda (−1a). Koeficijent −1 opet nevidljiv zbog činjenice da se ne snima. Dakle, izraz izgleda ovako:

2a + (−1a)

Sada predstavimo slične pojmove. Zbrojimo koeficijente i pomnožimo rezultat s ukupnim dijelom slova:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Obično se piše kraće:

2a − a = a

Davanje sličnih pojmova u izrazu 2a−a Možete misliti i drugačije:

Bile su 2 varijable a, oduzmite jednu varijablu a, i kao rezultat ostala je samo jedna varijabla a

Primjer 4. Navedite slične pojmove u izrazu 6a − 3a + 4a − 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Sada predstavimo slične pojmove. Zbrojimo koeficijente i pomnožimo rezultat s ukupnim slovnim dijelom

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Napišimo ukratko rješenje:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Postoje izrazi koji sadrže nekoliko različitih skupina sličnih pojmova. Na primjer, 3a + 3b + 7a + 2b. Za takve izraze vrijede ista pravila kao i za ostale, naime zbrajanje koeficijenata i množenje rezultata zajedničkim slovnim dijelom. Ali kako bi se izbjegle pogreške, zgodno je istaknuti različite skupine pojmova različitim linijama.

Na primjer, u izrazu 3a + 3b + 7a + 2b oni pojmovi koji sadrže varijablu a, mogu se podcrtati jednom crtom, a oni pojmovi koji sadrže varijablu b, može se naglasiti s dva retka:

Sada možemo predstaviti slične pojmove. Odnosno, dodajte koeficijente i pomnožite dobiveni rezultat s ukupnim dijelom slova. To se mora učiniti za obje skupine pojmova: za pojmove koji sadrže varijablu a a za pojmove koji sadrže varijablu b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Opet, ponavljamo, izraz je jednostavan i mogu se uzeti u obzir slični pojmovi:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Primjer 5. Navedite slične pojmove u izrazu 5a − 6a − 7b + b

Zamijenimo oduzimanje zbrajanjem gdje je to moguće:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Podcrtajmo slične pojmove različitim crtama. Pojmovi koji sadrže varijable a podcrtavamo jednom crtom, a pojmovi su sadržaji varijabli b, podcrtajte s dvije crte:

Sada možemo predstaviti slične pojmove. Odnosno, dodajte koeficijente i pomnožite dobiveni rezultat sa zajedničkim slovnim dijelom:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Ako izraz sadrži obične brojeve bez faktora slova, oni se zbrajaju zasebno.

Primjer 6. Navedite slične pojmove u izrazu 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Zamijenimo oduzimanje zbrajanjem gdje je to moguće:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Predstavimo slične pojmove. Brojke −5 I 7 nemaju faktore slova, ali su slični pojmovi - samo ih treba dodati. I termin 2b ostat će nepromijenjen, budući da je jedini u ovom izrazu koji ima faktor slova b, i nema se što dodati:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Napišimo ukratko rješenje:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Pojmove je moguće poredati tako da se oni pojmovi koji imaju isti dio slova nalaze u istom dijelu izraza.

Primjer 7. Navedite slične pojmove u izrazu 5t+2x+3x+5t+x

Budući da je izraz zbroj nekoliko članova, to nam omogućuje da ga izračunamo bilo kojim redoslijedom. Prema tome, pojmovi koji sadrže varijablu t, mogu se pisati na početku izraza i pojmova koji sadrže varijablu x na kraju izraza:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Sada možemo predstaviti slične pojmove:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Napišimo ukratko rješenje:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Zbroj suprotnih brojeva je nula. Ovo pravilo vrijedi i za doslovne izraze. Ako izraz sadrži identične pojmove, ali sa suprotnim predznacima, tada ih se možete riješiti u fazi smanjivanja sličnih pojmova. Drugim riječima, jednostavno ih eliminirajte iz izraza, jer je njihov zbroj nula.

Primjer 8. Navedite slične pojmove u izrazu 3t − 4t − 3t + 2t

Zamijenimo oduzimanje zbrajanjem gdje je to moguće:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Komponente 3t I (−3t) su suprotni. Zbroj suprotnih članova je nula. Ako uklonimo ovu nulu iz izraza, vrijednost izraza se neće promijeniti, pa ćemo je ukloniti. A mi ćemo ga ukloniti jednostavnim prekrižavanjem uvjeta 3t I (−3t)

Kao rezultat toga, ostat će nam izraz (−4t) + 2t. U ovaj izraz možete dodati slične pojmove i dobiti konačni odgovor:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Napišimo ukratko rješenje:

Pojednostavljivanje izraza

"pojednostavite izraz" a ispod je izraz koji treba pojednostaviti. Pojednostavite izraz znači učiniti ga jednostavnijim i kraćim.

Zapravo, već smo pojednostavljivali izraze kada smo smanjivali razlomke. Nakon redukcije razlomak je postao kraći i lakši za razumijevanje.

Razmotrite sljedeći primjer. Pojednostavite izraz.

Ovaj se zadatak može doslovno shvatiti na sljedeći način: "Primijenite sve važeće radnje na ovaj izraz, ali neka budu jednostavniji." .

U tom slučaju možete smanjiti razlomak, naime brojnik i nazivnik razlomka podijeliti s 2:

Što još možete učiniti? Možete izračunati dobiveni ulomak. Tada dobivamo decimalni razlomak 0,5

Kao rezultat toga, razlomak je pojednostavljen na 0,5.

Prvo pitanje koje si trebate postaviti prilikom rješavanja takvih problema trebalo bi biti "Što može biti učinjeno?" . Jer postoje radnje koje možete učiniti, a postoje radnje koje ne možete učiniti.

Još jedna važna točka koju treba zapamtiti je da se značenje izraza ne bi trebalo mijenjati nakon pojednostavljivanja izraza. Vratimo se izrazu. Ovaj izraz predstavlja podjelu koja se može izvesti. Izvršivši ovo dijeljenje, dobivamo vrijednost ovog izraza, koja je jednaka 0,5

Ali pojednostavili smo izraz i dobili novi pojednostavljeni izraz. Vrijednost novog pojednostavljenog izraza i dalje je 0,5

Ali također smo pokušali pojednostaviti izraz tako što smo ga izračunali. Kao rezultat dobili smo konačni odgovor 0,5.

Dakle, bez obzira kako pojednostavili izraz, vrijednost rezultirajućih izraza je i dalje jednaka 0,5. To znači da je pojednostavljenje ispravno provedeno u svakoj fazi. Upravo tome trebamo težiti kod pojednostavljivanja izraza – značenje izraza ne smije trpjeti od naših postupaka.

Često je potrebno pojednostaviti doslovne izraze. Za njih vrijede ista pravila pojednostavljenja kao i za numeričke izraze. Možete izvoditi bilo koje važeće radnje, sve dok se vrijednost izraza ne promijeni.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 1. Pojednostavite izraz 5,21s × t × 2,5

Da biste pojednostavili ovaj izraz, možete zasebno množiti brojeve i zasebno množiti slova. Ovaj zadatak je vrlo sličan onome koji smo gledali kada smo učili odrediti koeficijent:

5,21 s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025 st

Dakle izraz 5,21s × t × 2,5 pojednostavljeno na 13.025st.

Primjer 2. Pojednostavite izraz −0,4 × (−6,3b) × 2

Drugi komad (−6,3b) može se prevesti u nama razumljiv oblik, odnosno napisati u obliku ( −6,3)×b , zatim pomnožite brojeve posebno i pomnožite slova posebno:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Dakle izraz −0,4 × (−6,3b) × 2 pojednostavljeno na 5.04b

Primjer 3. Pojednostavite izraz

Napišimo ovaj izraz detaljnije kako bismo jasno vidjeli gdje su brojevi, a gdje su slova:

Sada pomnožimo brojeve zasebno i pomnožimo slova zasebno:

Dakle izraz pojednostavljeno na −abc. Ovo rješenje može se ukratko napisati:

Kod pojednostavljivanja izraza razlomke je moguće smanjivati ​​tijekom procesa rješavanja, a ne na samom kraju, kao što smo radili s običnim razlomcima. Na primjer, ako u tijeku rješavanja naiđemo na izraz oblika , tada uopće nije potrebno izračunati brojnik i nazivnik i učiniti nešto ovako:

Razlomak se može smanjiti odabirom faktora u brojniku i nazivniku i smanjivanjem tih faktora za njihov najveći zajednički faktor. Drugim riječima, uporaba u kojoj ne opisujemo detaljno na što su podijeljeni brojnik i nazivnik.

Na primjer, u brojniku je faktor 12, au nazivniku faktor 4 može se smanjiti za 4. Četvorku držimo u mislima, i dijeljenjem 12 i 4 s ovom četvorkom, zapisujemo odgovore pored tih brojeva, nakon što ih je najprije prekrižio

Sada možete pomnožiti dobivene male faktore. U ovom slučaju, malo ih je i možete ih umnožiti u svom umu:

S vremenom ćete možda otkriti da se prilikom rješavanja određenog problema izrazi počnu "debljati", stoga je preporučljivo naviknuti se na brze izračune. Što se može izračunati u umu, mora se izračunati u umu. Ono što se može brzo smanjiti, mora se brzo smanjiti.

Primjer 4. Pojednostavite izraz

Dakle izraz pojednostavljeno na

Primjer 5. Pojednostavite izraz

Pomnožimo brojeve posebno, a slova posebno:

Dakle izraz pojednostavljeno na mn.

Primjer 6. Pojednostavite izraz

Napišimo ovaj izraz detaljnije kako bismo jasno vidjeli gdje su brojevi, a gdje su slova:

Sada pomnožimo brojeve zasebno i slova zasebno. Radi lakšeg izračuna, decimalni razlomak −6,4 i mješoviti broj mogu se pretvoriti u obične razlomke:

Dakle izraz pojednostavljeno na

Rješenje za ovaj primjer može se napisati puno kraće. Izgledat će ovako:

Primjer 7. Pojednostavite izraz

Množimo brojeve posebno, a slova posebno. Radi lakšeg izračuna, mješoviti brojevi i decimalni razlomci 0,1 i 0,6 mogu se pretvoriti u obične razlomke:

Dakle izraz pojednostavljeno na abcd. Ako preskočite detalje, ovo se rješenje može napisati puno kraće:

Primijetite kako je razlomak smanjen. Nove faktore koji su dobiveni kao rezultat smanjenja prethodnih faktora također je dopušteno reducirati.

Sada razgovarajmo o tome što ne raditi. Kod pojednostavljivanja izraza strogo je zabranjeno množenje brojeva i slova ako je izraz zbroj, a ne umnožak.

Na primjer, ako želite pojednostaviti izraz 5a+4b, onda to ne možete napisati ovako:

To je isto kao da smo zamoljeni da zbrojimo dva broja, a mi ih pomnožimo umjesto da ih zbrojimo.

Prilikom zamjene bilo koje vrijednosti varijable a I b izraz 5a +4b pretvara u običan numerički izraz. Pretpostavimo da varijable a I b imaju sljedeća značenja:

a = 2, b = 3

Tada će vrijednost izraza biti jednaka 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Prvo se izvrši množenje, a zatim se zbrajaju rezultati. A kad bismo pokušali pojednostaviti ovaj izraz množenjem brojeva i slova, dobili bismo sljedeće:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Ispada potpuno drugačije značenje izraza. U prvom slučaju uspjelo je 22 , u drugom slučaju 120 . To znači da pojednostavljivanje izraza 5a+4b izvedeno netočno.

Nakon pojednostavljenja izraza, njegova se vrijednost ne bi trebala mijenjati s istim vrijednostima varijabli. Ako se pri zamjeni bilo koje vrijednosti varijable u izvorni izraz dobije jedna vrijednost, tada se nakon pojednostavljenja izraza treba dobiti ista vrijednost kao prije pojednostavljenja.

S izrazom 5a+4b stvarno ne možeš ništa učiniti. To ga ne pojednostavljuje.

Ako izraz sadrži slične pojmove, onda se oni mogu dodati ako nam je cilj pojednostaviti izraz.

Primjer 8. Pojednostavite izraz 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

ili kraće: 0,3a − 0,4a + a = 0.9a

Dakle izraz 0,3a−0,4a+a pojednostavljeno na 0.9a

Primjer 9. Pojednostavite izraz −7,5a − 2,5b + 4a

Da bismo pojednostavili ovaj izraz, možemo dodati slične pojmove:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

ili kraće −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Termin (−2,5b) ostao nepromijenjen jer se nije imalo čime staviti.

Primjer 10. Pojednostavite izraz

Da bismo pojednostavili ovaj izraz, možemo dodati slične pojmove:

Koeficijent je bio radi lakšeg izračuna.

Dakle izraz pojednostavljeno na

Primjer 11. Pojednostavite izraz

Da bismo pojednostavili ovaj izraz, možemo dodati slične pojmove:

Dakle izraz pojednostavljeno na .

U ovom primjeru bilo bi prikladnije prvo zbrojiti prvi i zadnji koeficijent. U ovom slučaju imali bismo kratko rješenje. To bi izgledalo ovako:

Primjer 12. Pojednostavite izraz

Da bismo pojednostavili ovaj izraz, možemo dodati slične pojmove:

Dakle izraz pojednostavljeno na .

Termin je ostao nepromijenjen, jer se nije imalo što dodati.

Ovo se rješenje može napisati puno kraće. Izgledat će ovako:

Kratko rješenje preskočilo je korake zamjene oduzimanja zbrajanjem i detaljno opisalo kako se razlomci svode na zajednički nazivnik.

Druga je razlika što u detaljnom rješenju odgovor izgleda ovako , ali ukratko kao . Zapravo, oni su isti izraz. Razlika je u tome što je u prvom slučaju oduzimanje zamijenjeno zbrajanjem, jer smo na početku, kada smo detaljno zapisivali rješenje, gdje god je to bilo moguće zamijenili oduzimanje sa zbrajanjem, a ta je zamjena sačuvana za odgovor.

Identiteti. Identično jednaki izrazi

Nakon što smo pojednostavili bilo koji izraz, on postaje jednostavniji i kraći. Da biste provjerili je li pojednostavljeni izraz ispravan, dovoljno je bilo koju vrijednost varijable zamijeniti prvo u prethodni izraz koji je trebalo pojednostaviti, a zatim u novi koji je pojednostavljen. Ako je vrijednost u oba izraza ista, tada je pojednostavljeni izraz istinit.

Pogledajmo jednostavan primjer. Neka je potrebno pojednostaviti izraz 2a×7b. Da biste pojednostavili ovaj izraz, možete odvojeno množiti brojeve i slova:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Provjerimo jesmo li ispravno pojednostavili izraz. Da bismo to učinili, zamijenimo bilo koje vrijednosti varijabli a I b prvo u prvi izraz koji je trebalo pojednostaviti, a zatim u drugi, koji je pojednostavljen.

Neka su vrijednosti varijabli a , b bit će kako slijedi:

a = 4, b = 5

Zamijenimo ih u prvi izraz 2a×7b

Zamijenimo sada iste vrijednosti varijable u izraz koji je nastao pojednostavljenjem 2a×7b, naime u izrazu 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Vidimo da kada a=4 I b=5 vrijednost prvog izraza 2a×7b a značenje drugog izraza 14ab jednak

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Isto će se dogoditi za sve druge vrijednosti. Na primjer, neka a=1 I b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

Dakle, za bilo koje vrijednosti varijabli izraza 2a×7b I 14ab jednaki su istoj vrijednosti. Takvi se izrazi nazivaju identično jednaki.

Zaključujemo da između izraza 2a×7b I 14ab možete staviti znak jednakosti jer su jednaki istoj vrijednosti.

2a × 7b = 14ab

Jednakost je svaki izraz koji je povezan znakom jednakosti (=).

I jednakost forme 2a×7b = 14ab nazvao identitet.

Identitet je jednakost koja vrijedi za bilo koju vrijednost varijabli.

Drugi primjeri identiteta:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Da, zakoni matematike koje smo proučavali su identiteti.

Prave numeričke jednakosti također su identiteti. Na primjer:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Prilikom rješavanja složenog zadatka, radi lakšeg računanja, složeni izraz zamjenjuje se jednostavnijim izrazom koji je identično jednak prethodnom. Ova zamjena se zove identična transformacija izraza ili jednostavno transformirajući izraz.

Na primjer, pojednostavili smo izraz 2a×7b, a dobio je jednostavniji izraz 14ab. To se pojednostavljenje može nazvati transformacijom identiteta.

Često možete pronaći zadatak koji kaže "dokazati da je jednakost identitet" a zatim je dana jednakost koju treba dokazati. Obično se ova jednakost sastoji od dva dijela: lijeve i desne strane jednakosti. Naš zadatak je izvršiti transformacije identiteta s jednim dijelom jednakosti i dobiti drugi dio. Ili izvršite identične transformacije s obje strane jednakosti i uvjerite se da obje strane jednakosti sadrže iste izraze.

Na primjer, dokažimo da je jednakost 0,5a × 5b = 2,5ab je identitet.

Pojednostavimo lijevu stranu ove jednakosti. Da biste to učinili, odvojeno pomnožite brojeve i slova:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Kao rezultat male transformacije identiteta, lijeva strana jednakosti postala je jednaka desnoj strani jednakosti. Dakle, dokazali smo da je jednakost 0,5a × 5b = 2,5ab je identitet.

Iz identičnih pretvorbi naučili smo zbrajati, oduzimati, množiti i dijeliti brojeve, smanjivati ​​razlomke, zbrajati slične članove, a također i pojednostaviti neke izraze.

Ali to nisu sve identične transformacije koje postoje u matematici. Postoji još mnogo identičnih transformacija. Vidjet ćemo to više puta u budućnosti.

Zadaci za samostalno rješavanje:

Je li vam se svidjela lekcija?
Pridružite se našoj novoj grupi VKontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama

Koristeći bilo koji jezik, iste informacije možete izraziti različitim riječima i frazama. Matematički jezik nije iznimka. Ali isti izraz može se ekvivalentno napisati na različite načine. A u nekim situacijama jedan od unosa je jednostavniji. U ovoj lekciji ćemo govoriti o pojednostavljivanju izraza.

Ljudi komuniciraju na različitim jezicima. Za nas je važna usporedba par "ruski jezik - matematički jezik". Iste informacije mogu se prenijeti na različitim jezicima. Ali, osim toga, može se izgovoriti na različite načine u jednom jeziku.

Na primjer: "Petya je prijatelj s Vasyom", "Vasya je prijatelj s Petyom", "Petya i Vasya su prijatelji". Rečeno drugačije, ali isto. Iz bilo kojeg od ovih izraza shvatili bismo o čemu govorimo.

Pogledajmo ovu frazu: "Dječak Petya i dječak Vasya su prijatelji." Razumijemo o čemu govorimo. Međutim, ne sviđa nam se zvuk ove fraze. Ne možemo li to pojednostaviti, reći istu stvar, ali jednostavnije? "Dječak i dječak" - možete jednom reći: "Dječaci Petya i Vasya su prijatelji."

“Dečki”... Zar iz njihovih imena nije jasno da nisu djevojčice? Uklanjamo "dečke": "Petya i Vasya su prijatelji." A riječ "prijatelji" može se zamijeniti s "prijatelji": "Petya i Vasya su prijatelji." Kao rezultat toga, prva, dugačka, ružna fraza zamijenjena je ekvivalentnom izjavom koju je lakše izgovoriti i razumjeti. Pojednostavili smo ovu frazu. Pojednostaviti znači reći jednostavnije, ali ne izgubiti ili iskriviti značenje.

U matematičkom jeziku događa se otprilike ista stvar. Ista stvar se može reći, drugačije napisati. Što znači pojednostaviti izraz? To znači da za izvorni izraz postoji mnogo ekvivalentnih izraza, odnosno onih koji znače isto. I iz sve te raznolikosti moramo odabrati najjednostavniji, po našem mišljenju, ili najprikladniji za naše daljnje svrhe.

Na primjer, razmotrite numerički izraz. To će biti ekvivalentno .

Također će biti ekvivalentan prva dva: .

Ispada da smo pojednostavili naše izraze i pronašli najkraći ekvivalentni izraz.

Za numeričke izraze uvijek morate izvršiti sve korake i dobiti ekvivalentni izraz kao jedan broj.

Pogledajmo primjer doslovnog izraza . Očito će biti jednostavnije.

Kod pojednostavljivanja doslovnih izraza potrebno je izvršiti sve moguće radnje.

Je li uvijek potrebno pojednostaviti izraz? Ne, ponekad će nam biti zgodnije imati ekvivalentan, ali duži unos.

Primjer: Trebate oduzeti broj od broja.

Moguće je izračunati, ali ako bi prvi broj bio predstavljen svojim ekvivalentnim zapisom: , tada bi izračuni bili trenutni: .

Odnosno, pojednostavljeni izraz nam nije uvijek koristan za daljnje izračune.

Ipak, vrlo često se susrećemo sa zadatkom koji samo zvuči kao “pojednostavite izraz”.

Pojednostavite izraz: .

Riješenje

1) Izvršite radnje u prvoj i drugoj zagradi: .

2) Izračunajmo umnoške: .

Očito je da posljednji izraz ima jednostavniji oblik od početnog. Pojednostavili smo ga.

Da bi se izraz pojednostavio, mora se zamijeniti ekvivalentom (jednako).

Za određivanje ekvivalentnog izraza potrebno je:

1) izvršiti sve moguće radnje,

2) koristiti svojstva zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja za pojednostavljenje izračuna.

Svojstva zbrajanja i oduzimanja:

1. Komutativno svojstvo zbrajanja: preslagivanje članova ne mijenja zbroj.

2. Kombinativno svojstvo zbrajanja: da biste zbroju dvaju brojeva dodali treći broj, prvom broju možete dodati zbroj drugog i trećeg broja.

3. Svojstvo oduzimanja zbroja od broja: da biste od broja oduzeli zbroj, možete oduzeti svaki član posebno.

Svojstva množenja i dijeljenja

1. Komutativno svojstvo množenja: preslagivanje faktora ne mijenja umnožak.

2. Kombinativno svojstvo: da biste broj pomnožili umnoškom dvaju brojeva, prvo ga možete pomnožiti s prvim faktorom, a zatim dobiveni umnožak pomnožiti s drugim faktorom.

3. Distributivno svojstvo množenja: da bi neki broj pomnožili zbrojem, potrebno ga je pomnožiti sa svakim članom posebno.

Pogledajmo kako zapravo radimo mentalne izračune.

Izračunati:

Riješenje

1) Zamislimo kako

2) Zamislimo prvi faktor kao zbroj bitnih članova i izvršimo množenje:

3) možete zamisliti kako i izvesti množenje:

4) Zamijenite prvi faktor ekvivalentnim zbrojem:

Zakon raspodjele može se koristiti i u suprotnom smjeru: .

Prati ove korake:

1) 2)

Riješenje

1) Radi praktičnosti, možete koristiti zakon distribucije, samo ga koristite u suprotnom smjeru - izbacite zajednički faktor iz zagrada.

2) Izbacimo zajednički faktor iz zagrada

Potrebno je kupiti linoleum za kuhinju i hodnik. Kuhinja - , hodnik - . Postoje tri vrste linoleuma: za, i rubalja za. Koliko će koštati svaka od tri vrste linoleuma? (Sl. 1)

Riža. 1. Ilustracija za prikaz problema

Riješenje

Metoda 1. Zasebno možete saznati koliko će novca trebati kupiti linoleum za kuhinju, a zatim u hodniku i zbrojiti dobivene proizvode.

Napomena 1

Booleova funkcija može se napisati korištenjem Booleovog izraza i zatim se može premjestiti u logički sklop. Potrebno je pojednostaviti logičke izraze kako bi se dobio što jednostavniji (a time i jeftiniji) logički sklop. Zapravo, logička funkcija, logički izraz i logički sklop tri su različita jezika koji govore o jednom entitetu.

Za pojednostavljenje logičkih izraza koristite zakoni logike algebre.

Neke su transformacije slične transformacijama formula u klasičnoj algebri (izvlačenje zajedničkog faktora iz zagrada, korištenje komutativnih i kombinacijskih zakona itd.), dok se druge transformacije temelje na svojstvima koja operacije klasične algebre nemaju (korištenje distributivne zakon konjunkcije, zakoni apsorpcije, lijepljenja, de Morganova pravila itd.).

Zakoni logičke algebre formulirani su za osnovne logičke operacije - “NE” – inverzija (negacija), “I” – konjunkcija (logičko množenje) i “ILI” – disjunkcija (logičko zbrajanje).

Zakon dvostruke negacije znači da je operacija "NE" reverzibilna: ako je primijenite dva puta, tada se na kraju logička vrijednost neće promijeniti.

Zakon isključene sredine kaže da je svaki logički izraz istinit ili netočan ("nema trećeg"). Dakle, ako je $A=1$, onda je $\bar(A)=0$ (i obrnuto), što znači da je konjunkcija ovih veličina uvijek jednaka nuli, a disjunkcija uvijek jednaka jedinici.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Pojednostavimo ovu formulu:

Slika 3.

Slijedi da je $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Odgovor: Učenici $B$, $C$ i $D$ igraju šah, ali učenik $A$ ne igra.

Kada pojednostavljujete logičke izraze, možete izvesti sljedeći niz radnji:

1. Zamijenite sve “neosnovne” operacije (ekvivalencija, implikacija, isključivi ILI itd.) njihovim izrazima kroz osnovne operacije inverzije, konjunkcije i disjunkcije.
2. Proširite inverzije složenih izraza prema De Morganovim pravilima na način da operacije negacije ostanu samo za pojedinačne varijable.
3. Zatim pojednostavite izraz koristeći otvorene zagrade, stavljajući zajedničke faktore izvan zagrada i druge zakone logičke algebre.

Primjer 2

Ovdje se sukcesivno koriste De Morganovo pravilo, distributivni zakon, zakon isključene sredine, komutativni zakon, zakon ponavljanja, opet komutativni zakon i zakon apsorpcije.

Algebarski izraz u kojem se, uz operacije zbrajanja, oduzimanja i množenja, koristi i dijeljenje na slovne izraze, naziva se frakcijski algebarski izraz. To su, na primjer, izrazi

Algebarskim razlomkom nazivamo algebarski izraz koji ima oblik kvocijenta dijeljenja dvaju cjelobrojnih algebarskih izraza (na primjer, monoma ili polinoma). To su, na primjer, izrazi

Treći od izraza).

Identične transformacije frakcijskih algebarskih izraza uglavnom imaju za cilj njihov prikaz u obliku algebarskog razlomka. Za pronalaženje zajedničkog nazivnika koristi se rastavljanje nazivnika razlomaka na faktore - izraze kako bi se pronašao njihov najmanji zajednički višekratnik. Prilikom smanjivanja algebarskih razlomaka može se narušiti strogi identitet izraza: potrebno je isključiti vrijednosti količina pri kojima faktor kojim se vrši smanjenje postaje nula.

Navedimo primjere identičnih transformacija frakcijskih algebarskih izraza.

Primjer 1: Pojednostavite izraz

Svi pojmovi se mogu svesti na zajednički nazivnik (pogodno je promijeniti predznak u nazivniku zadnjeg pojma i znak ispred njega):

Naš izraz je jednak jedan za sve vrijednosti osim za ove; on je nedefiniran i smanjivanje razlomka je nedopušteno).

Primjer 2. Predstavite izraz kao algebarski razlomak

Riješenje. Izraz se može uzeti kao zajednički nazivnik. Nalazimo redom:

Vježbe

1. Pronađite vrijednosti algebarskih izraza za navedene vrijednosti parametara:

2. Faktoriziraj.

Odjeljak 5 IZRAZI I JEDNADŽBE

U ovom odjeljku naučit ćete:

ü o izrazi i njihova pojednostavljenja;

ü koja su svojstva jednakosti;

ü kako rješavati jednadžbe na temelju svojstava jednakosti;

ü koje se vrste problema rješavaju pomoću jednadžbi; što su okomite crte i kako ih graditi;

ü koje se linije nazivaju paralelnim i kako ih graditi;

ü što je koordinatna ravnina?

ü kako odrediti koordinate točke na ravnini;

ü što je graf odnosa između veličina i kako ga konstruirati;

ü kako naučeno gradivo primijeniti u praksi

§ 30. IZRAZI I NJIHOVO POJEDNOSTAVLJIVANJE

Već znate što su slovni izrazi i znate ih pojednostaviti pomoću zakona zbrajanja i množenja. Na primjer, 2a ∙ (-4 b ) = -8 ab . U dobivenom izrazu broj -8 naziva se koeficijent izraza.

Da li izraz CD koeficijent? Tako. Jednako je 1 jer cd - 1 ∙ cd .

Podsjetimo se da se pretvaranje izraza sa zagradama u izraz bez zagrada naziva proširivanje zagrada. Na primjer: 5(2x + 4) = 10x+ 20.

Obrnuta radnja u ovom primjeru je izbacivanje zajedničkog faktora iz zagrada.

Pojmovi koji sadrže iste faktore slova nazivaju se slični pojmovi. Izvlačenjem zajedničkog faktora iz zagrada, dobivaju se slični pojmovi:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6 y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =

B x+ 7y - 5.

Pravila za otvaranje zagrada

1. Ako ispred zagrada stoji znak “+”, tada se pri otvaranju zagrada čuvaju znakovi pojmova u zagradama;

2. Ako ispred zagrada stoji znak “-”, tada se pri otvaranju zagrada znakovi pojmova u zagradama mijenjaju u suprotne.

Zadatak 1. Pojednostavite izraz:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 y -(-8 + 7 y ).

Rješenja. 1. Ispred zagrada stoji znak “+” pa se pri otvaranju zagrada čuvaju znakovi svih pojmova:

4x +(-7x + 5) = 4x - 7x + 5=-3x + 5.

2. Ispred zagrada stoji znak “-”, pa pri otvaranju zagrada: znakovi svih pojmova su obrnuti:

15 - (- 8 + 7y) = 15y + 8 - 7y = 8y +8.

Za otvaranje zagrada upotrijebite svojstvo distribucije množenja: a( b + c ) = ab + ak. Ako je a > 0, tada su predznaci članova b a sa ne mijenjaju. Ako a< 0, то знаки слагаемых b i promijeniti u suprotno.

Zadatak 2. Pojednostavite izraz:

1) 2(6 y -8) + 7 y ;

2)-5(2-5x) + 12.

Rješenja. 1. Faktor 2 ispred zagrada je pozitivan, stoga pri otvaranju zagrada zadržavamo predznake svih članova: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y = 19 y -16.

2. Faktor -5 ispred zagrada je negativan, pa prilikom otvaranja zagrada svim članovima mijenjamo predznake u suprotne:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Saznaj više

1. Riječ "zbir" dolazi iz latinskog summa , što znači “ukupno”, “ukupan iznos”.

2. Riječ "plus" dolazi iz latinskog plus što znači "više" a riječ "minus" je iz latinskog minus Što znači "manje"? Znakovi “+” i “-” koriste se za označavanje operacija zbrajanja i oduzimanja. Ove znakove uveo je češki znanstvenik J. Widman 1489. godine u knjizi “Brz i ugodan račun za sve trgovce”(Slika 138).

Riža. 138

ZAPAMTITE VAŽNO

1. Koji se pojmovi nazivaju sličnim? Kako su konstruirani takvi pojmovi?

2. Kako se otvaraju zagrade ispred kojih stoji znak “+”?

3. Kako se otvaraju zagrade ispred kojih stoji znak “-”?

4. Kako se otvaraju zagrade ispred kojih stoji pozitivan faktor?

5. Kako se otvaraju zagrade ispred kojih stoji negativan faktor?

1374". Imenujte koeficijent izraza:

1)12 a; 3) -5,6 xy;

2)4 6; 4)-s.

1375". Navedite članove koji se razlikuju samo po koeficijentu:

1) 10a + 76-26 + a; 3) 5 n + 5 m -4 n + 4;

2) bc -4 d - bc + 4 d ; 4) 5x + 4y-x + y.

Kako se zovu ovi pojmovi?

1376". Postoje li slični pojmovi u izrazu:

1)11a+10a; 3) 6 n + 15 n ; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4) 12 m + m ; 6)8 k +10 k - n ?

1377". Da li je potrebno mijenjati predznake pojmova u zagradama, otvarajući zagrade u izrazu:

1)4 + (a+ 3 b); 2)-c +(5-d); 3) 16-(5 m -8 n)?

1378°. Pojednostavite izraz i podcrtajte koeficijent:

1379°. Pojednostavite izraz i podcrtajte koeficijent:

1380°. Kombinirajte slične pojmove:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d - 12 + 4 d ;

2) 4 b - 5 b + 4 + 5 b ; 5) 5a - 12 b - 7a + 5 b;

3)-7 ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381°. Kombinirajte slične pojmove:

1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9 b +12-8-46; 4) -7 n + 8 m - 13 n - 3 m.

1382°. Izvadite zajednički faktor iz zagrada:

1)1,2 a +1,2 b; 3) -3 n - 1,8 m; 5) -5 p + 2,5 k -0,5 t ;

2) 0,5 s + 5 d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8r - 10k - 6t.

1383°. Izvadite zajednički faktor iz zagrada:

1) 6a-12 b; 3) -1,8 n -3,6 m;

2) -0,2 s + 1 4 d ; A) 3p - 0,9 k + 2,7 t.

1384°. Otvorite zagrade i spojite slične pojmove;

1) 5 + (4a -4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7(-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. Otvorite zagrade i spojite slične pojmove:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5 d) -(- d + 5c);

2) -(46- 10) + (4- 56); 4)-(5 n + m) + (-4 n + 8 m)-(2 m -5 n).

1386°. Otvorite zagrade i pronađite značenje izraza:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Otvorite zagrade i pronađite značenje izraza:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Otvorena zagrada:

1)0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);

2)-s ∙ (2,7-1,2 d ); 5)3 ∙ (-1,5 r + k - 0,2 t);

3) 1,6 ∙ (2 n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. Otvorena zagrada:

1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 y );

2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4)6- (-r + 0,3 k - 1,2 t).

1390. Pojednostavite izraz:

1391. Pojednostavite izraz:

1392. Spoji slične pojmove:

1393. Kombinirajte slične pojmove:

1394. Pojednostavite izraz:

1)2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, prema ) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.

1395. Pojednostavite izraz:

1396. Pronađite značenje izraza;

1) 4-(0,2 a-3)-(5,8 a-16), ako je a = -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), ako je = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Pronađite značenje izraza:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), ako je x = -0,25;

1398*. Pronađite grešku u rješenju:

1)5- (a-2,4)-7 ∙ (-a+ 1,2) = 5a - 12-7a + 8,4 = -2a-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) = -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a = -5,5 a + 8,26.

1399*. Otvorite zagrade i pojednostavite izraz:

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. Rasporedite zagrade da dobijete točnu jednakost:

1)a-6-a + 6 = 2a; 2) a -2 b -2 a + b = 3 a -3 b .

1401*. Dokažite da za bilo koje brojeve a i b ako je a > b , tada vrijedi jednakost:

1) (a + b) + (a- b) = 2a; 2) (a + b) - (a - b) = 2 b.

Hoće li ova jednakost biti točna ako: a) a< b ; b) a = 6?

1402*. Dokažite da je za svaki prirodni broj a aritmetička sredina prethodnog i sljedećih brojeva jednaka broju a.

PRIMJENITE TO U PRAKSU

1403. Za pripremu voćnog deserta za tri osobe potrebno vam je: 2 jabuke, 1 naranča, 2 banane i 1 kivi. Kako napraviti slovni izraz za određivanje količine voća potrebne za pripremu deserta za goste? Pomozite Marinu izračunati koliko voća treba kupiti ako: 1) joj u posjet dođe 5 prijatelja; 2) 8 prijatelja.

1404. Napravite slovni izraz kako biste odredili vrijeme potrebno za izradu domaće zadaće iz matematike ako:

1) min je potrošeno na rješavanje problema; 2) pojednostavljenje izraza je 2 puta veće nego kod rješavanja problema. Koliko je vremena Vasilko utrošio na zadaću ako je rješavao zadatke 15 minuta?

1405. Ručak u školskoj kantini sastoji se od salate, boršča, sarmice i kompota. Trošak salate je 20%, boršča - 30%, kupusa - 45%, kompota - 5% ukupne cijene cijelog ručka. Napiši izraz kojim ćeš pronaći cijenu ručka u školskoj blagovaonici. Koliko košta ručak ako je cijena salate 2 UAH?

PREGLED PROBLEMA

1406. Riješi jednadžbu:

1407. Tanya potrošila na sladoledsav raspoloživi novac, a za slatkiše -ostatak. Koliko je novca ostalo Tanji?

ako bombon košta 12 UAH?