किसी बंद क्षेत्र में दो चर वाले फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान। किसी खंड पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान

क्या आप यहां हैं: मातृत्व

किसी कार्य का चरम क्या है और चरम के लिए आवश्यक शर्त क्या है?

किसी फ़ंक्शन का चरम फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम होता है।

किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम (चरम) के लिए आवश्यक शर्त निम्नलिखित है: यदि फ़ंक्शन f(x) का चरम बिंदु x = a पर है, तो इस बिंदु पर व्युत्पन्न या तो शून्य है, या अनंत है, या करता है मौजूद नहीं।

यह शर्त आवश्यक है, परंतु पर्याप्त नहीं है। बिंदु x = a पर व्युत्पन्न शून्य, अनंत तक जा सकता है, या इस बिंदु पर चरम सीमा वाले फ़ंक्शन के बिना मौजूद नहीं हो सकता है।

किसी फ़ंक्शन के चरम (अधिकतम या न्यूनतम) के लिए पर्याप्त स्थिति क्या है?

पहली शर्त:

यदि, बिंदु x = a के पर्याप्त निकटता में, व्युत्पन्न f?(x) a के बाईं ओर सकारात्मक है और a के दाईं ओर नकारात्मक है, तो बिंदु x = a पर फ़ंक्शन f(x) है अधिकतम

यदि, बिंदु x = a के पर्याप्त निकटता में, व्युत्पन्न f?(x) a के बाईं ओर नकारात्मक और a के दाईं ओर सकारात्मक है, तो बिंदु x = a पर फ़ंक्शन f(x) है न्यूनतमबशर्ते कि यहां फलन f(x) सतत है।

इसके बजाय, आप किसी फ़ंक्शन के चरम के लिए दूसरी पर्याप्त शर्त का उपयोग कर सकते हैं:

मान लीजिए बिंदु x = a पर पहला अवकलज f?(x) लुप्त हो जाता है; यदि दूसरा व्युत्पन्न f??(a) नकारात्मक है, तो फ़ंक्शन f(x) का बिंदु x = a पर अधिकतम है, यदि यह सकारात्मक है, तो इसका न्यूनतम है।

किसी फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु क्या है और इसे कैसे खोजें?

यह फ़ंक्शन तर्क का मान है जिस पर फ़ंक्शन का चरम (यानी अधिकतम या न्यूनतम) होता है। इसे खोजने के लिए आपको चाहिए व्युत्पन्न खोजेंफ़ंक्शन f?(x) और, इसे शून्य के बराबर करते हुए, प्रश्न हल करें f?(x) = 0. इस समीकरण की जड़ें, साथ ही वे बिंदु जिन पर इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, महत्वपूर्ण बिंदु हैं, अर्थात, तर्क के मान जिस पर चरम हो सकता है। इन्हें देखकर आसानी से पहचाना जा सकता है व्युत्पन्न ग्राफ: हम तर्क के उन मूल्यों में रुचि रखते हैं जिन पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ एब्सिस्सा अक्ष (ऑक्स अक्ष) को काटता है और जिन पर ग्राफ़ में असंतोष होता है।

उदाहरण के लिए, आइए खोजें परवलय का चरम.

फलन y(x) = 3x2 + 2x - 50.

फलन का व्युत्पन्न: y?(x) = 6x + 2

समीकरण हल करें: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

इस मामले में, क्रांतिक बिंदु x0=-1/3 है। यह इस तर्क मान के साथ है कि फ़ंक्शन में है चरम. उसे खोजो, फ़ंक्शन के लिए अभिव्यक्ति में पाए गए नंबर को "x" के बजाय प्रतिस्थापित करें:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

किसी फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम कैसे निर्धारित करें, अर्थात। इसका सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान?

यदि क्रांतिक बिंदु x0 से गुजरते समय व्युत्पन्न का चिह्न "प्लस" से "माइनस" में बदल जाता है, तो x0 है अधिकतम बिंदु; यदि अवकलज का चिन्ह ऋण से धन में बदल जाता है, तो x0 है न्यूनतम बिंदु; यदि चिह्न नहीं बदलता है, तो बिंदु x0 पर न तो अधिकतम है और न ही न्यूनतम।

उदाहरण के लिए विचार किया गया:

हम महत्वपूर्ण बिंदु के बाईं ओर के तर्क का एक मनमाना मान लेते हैं: x = -1

x = -1 पर, अवकलज का मान y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 होगा (अर्थात् चिह्न "ऋण" है)।

अब हम महत्वपूर्ण बिंदु के दाईं ओर के तर्क का एक मनमाना मान लेते हैं: x = 1

x = 1 पर, अवकलज का मान y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 होगा (अर्थात चिह्न "प्लस" है)।

जैसा कि आप देख सकते हैं, महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरते समय व्युत्पन्न का चिह्न माइनस से प्लस में बदल गया। इसका मतलब यह है कि क्रांतिक मान x0 पर हमारे पास न्यूनतम बिंदु है।

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान अंतराल पर(एक खंड पर) एक ही प्रक्रिया का उपयोग करके पाए जाते हैं, केवल इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि, शायद, सभी महत्वपूर्ण बिंदु निर्दिष्ट अंतराल के भीतर नहीं होंगे। वे महत्वपूर्ण बिंदु जो अंतराल के बाहर हैं, उन्हें विचार से बाहर रखा जाना चाहिए। यदि अंतराल के भीतर केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है, तो इसका अधिकतम या न्यूनतम होगा। इस मामले में, फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान को निर्धारित करने के लिए, हम अंतराल के अंत में फ़ंक्शन के मानों को भी ध्यान में रखते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजें

y(x) = 3sin(x) - 0.5x

अंतरालों पर:

तो, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

हम समीकरण 3cos(x) - 0.5 = 0 को हल करते हैं

क्योंकि(x) = 0.5/3 = 0.16667

x = ±arccos(0.16667) + 2πk.

हम अंतराल पर महत्वपूर्ण बिंदु पाते हैं [-9; 9]:

x = आर्ककोस(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (अंतराल में शामिल नहीं)

x = -arccos(0.16667) – 2π*1 = -7.687

x = आर्ककोस(0.16667) - 2π*1 = -4.88

x = -arccos(0.16667) + 2π*0 = -1.403

x = आर्ककोस(0.16667) + 2π*0 = 1.403

x = -arccos(0.16667) + 2π*1 = 4.88

x = आर्ककोस(0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (अंतराल में शामिल नहीं)

हम तर्क के महत्वपूर्ण मूल्यों पर फ़ंक्शन मान पाते हैं:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

यह देखा जा सकता है कि अंतराल पर [-9; 9] फ़ंक्शन का मान x = -4.88 पर सबसे बड़ा है:

एक्स = -4.88, वाई = 5.398,

और सबसे छोटा - x = 4.88 पर:

एक्स = 4.88, वाई = -5.398.

अंतराल पर [-6; -3] हमारे पास केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है: x = -4.88। x = -4.88 पर फ़ंक्शन का मान y = 5.398 के बराबर है।

अंतराल के अंत में फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

अंतराल पर [-6; -3] हमारे पास फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मूल्य है

y = 5.398 x = -4.88 पर

सबसे छोटा मान -

y = 1.077 x = -3 पर

फ़ंक्शन ग्राफ़ के विभक्ति बिंदु कैसे खोजें और उत्तल और अवतल पक्षों का निर्धारण कैसे करें?

रेखा y = f(x) के सभी विभक्ति बिंदुओं को खोजने के लिए, आपको दूसरा व्युत्पन्न ढूंढना होगा, इसे शून्य के बराबर करना होगा (समीकरण को हल करना होगा) और x के उन सभी मानों का परीक्षण करना होगा जिनके लिए दूसरा व्युत्पन्न शून्य है, अनंत या अस्तित्व में नहीं है. यदि, इनमें से किसी एक मान से गुजरते समय, दूसरा व्युत्पन्न संकेत बदलता है, तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ में इस बिंदु पर एक विभक्ति होती है। यदि यह नहीं बदलता है, तो कोई मोड़ नहीं है।

समीकरण की जड़ें एफ? (x) = 0, साथ ही फ़ंक्शन और दूसरे व्युत्पन्न के असंततता के संभावित बिंदु, फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र को कई अंतरालों में विभाजित करते हैं। उनके प्रत्येक अंतराल पर उत्तलता दूसरे व्युत्पन्न के चिह्न द्वारा निर्धारित की जाती है। यदि अध्ययन के तहत अंतराल पर एक बिंदु पर दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो रेखा y = f(x) ऊपर की ओर अवतल है, और यदि नकारात्मक है, तो नीचे की ओर है।

दो चरों वाले किसी फलन का चरम कैसे ज्ञात करें?

फ़ंक्शन f(x,y) के चरम को खोजने के लिए, जो इसके विनिर्देशन के क्षेत्र में भिन्न है, आपको चाहिए:

1) महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, और इसके लिए - समीकरणों की प्रणाली को हल करें

एफх? (x,y) = 0, fу? (एक्स,वाई) = 0

2) प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु P0(a;b) के लिए जांच करें कि क्या अंतर का चिह्न अपरिवर्तित रहता है

सभी बिंदुओं (x;y) के लिए P0 के पर्याप्त करीब। यदि अंतर सकारात्मक रहता है, तो बिंदु P0 पर हमारे पास न्यूनतम है, यदि नकारात्मक है, तो हमारे पास अधिकतम है। यदि अंतर अपना चिह्न बरकरार नहीं रखता है, तो बिंदु P0 पर कोई चरम सीमा नहीं है।

किसी फ़ंक्शन के चरम को बड़ी संख्या में तर्कों के लिए समान रूप से निर्धारित किया जाता है।

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इनडोर पौधों को खरीदने के बाद, माली को इस कार्य का सामना करना पड़ता है कि खरीदे गए विदेशी फूलों को बिना किसी नुकसान के कैसे वितरित किया जाए। इनडोर पौधों की पैकिंग और परिवहन के बुनियादी नियमों का ज्ञान इस समस्या को हल करने में मदद करेगा। ले जाने या ले जाने के लिए पौधों को पैक किया जाना चाहिए। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि पौधों को कितनी कम दूरी तक ले जाया जाता है, वे क्षतिग्रस्त हो सकते हैं, सूख सकते हैं, और सर्दियों में भी

किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों की खोज करने की प्रक्रिया एक हेलीकॉप्टर में किसी वस्तु (फ़ंक्शन का ग्राफ़) के चारों ओर एक आकर्षक उड़ान की याद दिलाती है, लंबी दूरी की तोप से कुछ बिंदुओं पर फायरिंग और बहुत चयन करना नियंत्रण शॉट्स के लिए इन बिंदुओं से विशेष अंक। अंकों का चयन एक निश्चित तरीके से और कुछ नियमों के अनुसार किया जाता है। किस नियम से? इस बारे में हम आगे बात करेंगे.

यदि फ़ंक्शन य = एफ(एक्स) अंतराल पर निरंतर है [ ए, बी] , तो यह इस सेगमेंट पर पहुंचता है कम से कम और उच्चतम मूल्य . ऐसा किसी में भी हो सकता है चरम बिंदु, या खंड के अंत में। इसलिए, खोजने के लिए कम से कम और फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान , अंतराल पर निरंतर [ ए, बी], आपको इसके सभी मूल्यों की गणना करने की आवश्यकता है महत्वपूर्ण बिंदुऔर खंड के अंत में, और फिर उनमें से सबसे छोटा और सबसे बड़ा चुनें।

उदाहरण के लिए, आप फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान निर्धारित करना चाहते हैं एफ(एक्स) खंड पर [ ए, बी] . ऐसा करने के लिए, आपको इसके सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं को ढूंढना होगा [ ए, बी] .

महत्वपूर्ण बिन्दू उस बिंदु को कहा जाता है जिस पर फ़ंक्शन परिभाषित, और वह यौगिकया तो शून्य के बराबर है या अस्तित्व में नहीं है। फिर आपको महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करनी चाहिए। और अंत में, किसी को महत्वपूर्ण बिंदुओं और खंड के अंत में फ़ंक्शन के मूल्यों की तुलना करनी चाहिए ( एफ(ए) और एफ(बी)). इनमें से सबसे बड़ी संख्या होगी खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान [ए, बी] .

खोजने की समस्याएँ सबसे छोटे फ़ंक्शन मान .

हम फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मानों को एक साथ खोजते हैं

उदाहरण 1. किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर [-1, 2] .

समाधान। इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें। आइए व्युत्पन्न को शून्य () के बराबर करें और दो महत्वपूर्ण बिंदु प्राप्त करें: और। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान को खोजने के लिए, खंड के अंत और बिंदु पर इसके मानों की गणना करना पर्याप्त है, क्योंकि बिंदु खंड से संबंधित नहीं है [-1, 2]. ये फ़ंक्शन मान हैं: , , . यह इस प्रकार है कि सबसे छोटा फ़ंक्शन मान(नीचे ग्राफ़ पर लाल रंग में दर्शाया गया है), -7 के बराबर, खंड के दाहिने छोर पर - बिंदु पर प्राप्त किया जाता है, और महानतम(ग्राफ़ पर भी लाल), महत्वपूर्ण बिंदु पर 9 के बराबर है।

यदि कोई फ़ंक्शन एक निश्चित अंतराल में निरंतर है और यह अंतराल एक खंड नहीं है (उदाहरण के लिए, एक अंतराल है; एक अंतराल और एक खंड के बीच का अंतर: अंतराल के सीमा बिंदु अंतराल में शामिल नहीं हैं, लेकिन खंड के सीमा बिंदु खंड में शामिल हैं), तो फ़ंक्शन के मूल्यों के बीच सबसे छोटा और सबसे बड़ा नहीं हो सकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया फ़ंक्शन ]-∞, +∞[ पर निरंतर है और इसका सबसे बड़ा मान नहीं है।

हालाँकि, किसी भी अंतराल (बंद, खुले या अनंत) के लिए, निरंतर कार्यों की निम्नलिखित संपत्ति सत्य है।

उदाहरण 4. किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर [-1, 3] .

समाधान। हम इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को भागफल के व्युत्पन्न के रूप में पाते हैं:

हम व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हैं, जो हमें एक महत्वपूर्ण बिंदु देता है:। यह खंड [-1,3] से संबंधित है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान को खोजने के लिए, हम खंड के अंत में और पाए गए महत्वपूर्ण बिंदु पर इसके मान पाते हैं:

आइए इन मूल्यों की तुलना करें। निष्कर्ष: -5/13 के बराबर, बिंदु पर और उच्चतम मूल्यबिंदु पर 1 के बराबर.

हम फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मानों को एक साथ खोजना जारी रखते हैं

ऐसे शिक्षक हैं, जो किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान खोजने के विषय पर, छात्रों को हल करने के लिए ऐसे उदाहरण नहीं देते हैं जो अभी चर्चा की गई तुलना में अधिक जटिल हैं, यानी, जिनमें फ़ंक्शन एक बहुपद या एक है भिन्न, जिसके अंश और हर बहुपद हैं। लेकिन हम खुद को ऐसे उदाहरणों तक सीमित नहीं रखेंगे, क्योंकि शिक्षकों के बीच ऐसे लोग भी हैं जो छात्रों को पूर्ण रूप से सोचने के लिए मजबूर करना पसंद करते हैं (व्युत्पन्न तालिका)। इसलिए, लघुगणक और त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का उपयोग किया जाएगा।

उदाहरण 6. किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर .

समाधान। हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न इस प्रकार पाते हैं उत्पाद का व्युत्पन्न :

हम व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हैं, जो एक महत्वपूर्ण बिंदु देता है:। यह खंड के अंतर्गत आता है. किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान को खोजने के लिए, हम खंड के अंत में और पाए गए महत्वपूर्ण बिंदु पर इसके मान पाते हैं:

सभी कार्यों का परिणाम: फ़ंक्शन अपने न्यूनतम मान तक पहुँच जाता है, 0 के बराबर, बिंदु पर और बिंदु पर तथा उच्चतम मूल्य, बराबर इ², बिंदु पर.

उदाहरण 7. किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर .

समाधान। इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

हम व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हैं:

एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु खंड से संबंधित है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान को खोजने के लिए, हम खंड के अंत में और पाए गए महत्वपूर्ण बिंदु पर इसके मान पाते हैं:

निष्कर्ष: फ़ंक्शन अपने न्यूनतम मान तक पहुँच जाता है, के बराबर , बिंदु पर और उच्चतम मूल्य, बराबर , बिंदु पर .

लागू चरम समस्याओं में, किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे (अधिकतम) मान को ढूंढना, एक नियम के रूप में, न्यूनतम (अधिकतम) को खोजने के लिए नीचे आता है। लेकिन यह स्वयं न्यूनतम या अधिकतम नहीं हैं जो अधिक व्यावहारिक रुचि के हैं, बल्कि तर्क के वे मूल्य हैं जिन पर उन्हें हासिल किया जाता है। लागू समस्याओं को हल करते समय, एक अतिरिक्त कठिनाई उत्पन्न होती है - ऐसे कार्यों की रचना करना जो विचाराधीन घटना या प्रक्रिया का वर्णन करते हैं।

उदाहरण 8. 4 लोगों की क्षमता वाला एक टैंक, जिसका आधार वर्गाकार है और शीर्ष पर खुला है, उसका आकार समान्तर चतुर्भुज जैसा है, उसे टिन किया जाना चाहिए। टैंक किस आकार का होना चाहिए ताकि उसे ढकने में कम से कम सामग्री का उपयोग हो?

समाधान। होने देना एक्स- आधार पक्ष, एच- टैंक की ऊंचाई, एस- इसका सतह क्षेत्र बिना आवरण के, वी- इसकी मात्रा. टैंक का सतह क्षेत्र सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है, अर्थात। दो चरों का एक फलन है। ज़ाहिर करना एसएक चर के एक फलन के रूप में, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि, कहाँ से। मिली अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करना एचके लिए सूत्र में एस:

आइए इस फ़ंक्शन की चरम सीमा तक जांच करें। यह ]0, +∞[, और में हर जगह परिभाषित और भिन्न है

हम व्युत्पन्न को शून्य () के बराबर करते हैं और महत्वपूर्ण बिंदु पाते हैं। इसके अलावा, जब व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, लेकिन यह मान परिभाषा के क्षेत्र में शामिल नहीं है और इसलिए चरम बिंदु नहीं हो सकता है। तो, यही एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु है। आइए दूसरे पर्याप्त संकेत का उपयोग करके एक चरम की उपस्थिति के लिए इसकी जाँच करें। आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें। जब दूसरा व्युत्पन्न शून्य () से अधिक हो। इसका मतलब यह है कि जब फ़ंक्शन न्यूनतम पर पहुंच जाता है . इसके बाद से न्यूनतम इस फ़ंक्शन का एकमात्र चरम है, यह इसका सबसे छोटा मान है. तो, टैंक के आधार का किनारा 2 मीटर होना चाहिए, और इसकी ऊंचाई होनी चाहिए।

उदाहरण 9.बिंदु से एरेलवे लाइन पर स्थित, बिंदु तक साथ, उससे कुछ दूरी पर स्थित है एल, माल का परिवहन किया जाना चाहिए। रेल द्वारा प्रति इकाई दूरी तक एक वजन इकाई परिवहन की लागत के बराबर है, और राजमार्ग द्वारा यह के बराबर है। किस हद तक एमरेलवे लाइन को राजमार्ग के रूप में बनाया जाना चाहिए ताकि माल का परिवहन किया जा सके एवी साथसबसे किफायती था (अनुभाग अबरेलवे को सीधा माना जाता है)?

किसी कार्य का चरम क्या है और चरम के लिए आवश्यक शर्त क्या है?

किसी फ़ंक्शन का चरम फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम होता है।

किसी फ़ंक्शन के चरम (अधिकतम या न्यूनतम) के लिए पर्याप्त स्थिति क्या है?

पहली शर्त:

किसी फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु क्या है और इसे कैसे खोजें?

उदाहरण के लिए, आइए खोजें परवलय का चरम.

फलन y(x) = 3x2 + 2x - 50.

फलन का व्युत्पन्न: y?(x) = 6x + 2

समीकरण हल करें: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

उदाहरण के लिए विचार किया गया:

हम महत्वपूर्ण बिंदु के बाईं ओर के तर्क का एक मनमाना मान लेते हैं: x = -1

x = -1 पर, अवकलज का मान y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 होगा (अर्थात् चिह्न "ऋण" है)।

अब हम महत्वपूर्ण बिंदु के दाईं ओर के तर्क का एक मनमाना मान लेते हैं: x = 1

x = 1 पर, अवकलज का मान y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 होगा (अर्थात चिह्न "प्लस" है)।

उदाहरण के लिए, आइए फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजें

y(x) = 3sin(x) - 0.5x

अंतरालों पर:

तो, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

हम समीकरण 3cos(x) - 0.5 = 0 को हल करते हैं

क्योंकि(x) = 0.5/3 = 0.16667

x = ±arccos(0.16667) + 2πk.

हम अंतराल पर महत्वपूर्ण बिंदु पाते हैं [-9; 9]:

x = आर्ककोस(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (अंतराल में शामिल नहीं)

x = -arccos(0.16667) – 2π*1 = -7.687

x = आर्ककोस(0.16667) - 2π*1 = -4.88

x = -arccos(0.16667) + 2π*0 = -1.403

x = आर्ककोस(0.16667) + 2π*0 = 1.403

x = -arccos(0.16667) + 2π*1 = 4.88

x = आर्ककोस(0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (अंतराल में शामिल नहीं)

हम तर्क के महत्वपूर्ण मूल्यों पर फ़ंक्शन मान पाते हैं:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

यह देखा जा सकता है कि अंतराल पर [-9; 9] फ़ंक्शन का मान x = -4.88 पर सबसे बड़ा है:

एक्स = -4.88, वाई = 5.398,

और सबसे छोटा - x = 4.88 पर:

एक्स = 4.88, वाई = -5.398.

अंतराल के अंत में फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

अंतराल पर [-6; -3] हमारे पास फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मूल्य है

y = 5.398 x = -4.88 पर

सबसे छोटा मान -

y = 1.077 x = -3 पर

दो चरों वाले किसी फलन का चरम कैसे ज्ञात करें?

1) महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, और इसके लिए - समीकरणों की प्रणाली को हल करें

एफх? (x,y) = 0, fу? (एक्स,वाई) = 0

कौन सा कार्बोनेटेड शीतल पेय सतहों को साफ करता है?
एक राय है कि कार्बोनेटेड शीतल पेय कोका-कोला मांस को घोल सकता है। लेकिन, दुर्भाग्य से, इसका कोई प्रत्यक्ष प्रमाण नहीं है। इसके विपरीत, इस बात की पुष्टि करने वाले सकारात्मक तथ्य हैं कि कोका-कोला पेय में दो दिनों तक छोड़ा गया मांस उपभोक्ता गुणों में बदल जाता है और कहीं भी गायब नहीं होता है।

मानक अपार्टमेंट के लेआउट, घरों के विवरण और तस्वीरें वेबसाइटों पर देखी जा सकती हैं: - www.kvadroom.ru/planirovki - www.prime-realty.ru/tip/tip.htm - Goodgoods.ru/pages/1093353787.html - www.cnko. नेट/कला

न्यूरोसिस का इलाज कैसे करें
न्यूरोसिस (नोवोलेट। न्यूरोसिस, प्राचीन ग्रीक νε?ρον - तंत्रिका से आता है; पर्यायवाची शब्द - साइकोन्यूरोसिस, न्यूरोटिक विकार) - क्लिनिक में: कार्यात्मक मनोवैज्ञानिक प्रतिवर्ती विकारों के एक समूह के लिए एक सामूहिक नाम जो लगातार बने रहते हैं

अपहेलियन क्या है
एपोसेंटर कक्षा में वह बिंदु है जिस पर एक पिंड दूसरे पिंड के चारों ओर अण्डाकार कक्षा में घूमता हुआ दूसरे पिंड से अपनी अधिकतम दूरी तक पहुंचता है। उसी बिंदु पर, केप्लर के दूसरे नियम के अनुसार, कक्षीय गति की गति न्यूनतम हो जाती है। एपोसेंटर पेरीएप्सिस के बिल्कुल विपरीत बिंदु पर स्थित होता है। विशेष मामलों में, विशेष शब्दों का उपयोग करने की प्रथा है:

मैमन क्या है?
मैमोन (m.r.), मैमोन (f.r.) - ग्रीक से लिया गया एक शब्द। मैमोनास और अर्थ धन, सांसारिक खजाने, आशीर्वाद। कुछ प्राचीन बुतपरस्त लोगों के बीच, वह धन और लाभ का देवता था। इंजीलवादी मैथ्यू और ल्यूक द्वारा पवित्र धर्मग्रंथों में उल्लेख किया गया है: "कोई भी दो स्वामियों की सेवा नहीं कर सकता: क्योंकि वह एक से और दूसरे से घृणा करेगा।"

2049 में ऑर्थोडॉक्स ईस्टर कब है?
2015 में, रूढ़िवादी ईस्टर 12 अप्रैल को होगा, और कैथोलिक ईस्टर 5 अप्रैल को होगा। चर्च कैलेंडर जूलियन कैलेंडर (पुरानी शैली) के अनुसार रूढ़िवादी ईस्टर की तारीखें देते हैं, जबकि कैथोलिक ईस्टर की गणना आधुनिक ग्रेगोरियन कैलेंडर (नई शैली) के अनुसार की जाती है, इसलिए तारीखों की तुलना करने के लिए कुछ मानसिक प्रयास की आवश्यकता होती है

एक रूबल क्या है?
रूबल रूस, बेलारूस (बेलारूसी रूबल), ट्रांसनिस्ट्रिया (ट्रांसनिस्ट्रियन रूबल) की आधुनिक मुद्राओं का नाम है। रूसी रूबल का उपयोग दक्षिण ओसेशिया और अब्खाज़िया में भी किया जाता है। अतीत में - रूसी गणराज्यों और रियासतों की मौद्रिक इकाई, मॉस्को की ग्रैंड डची, रूसी ज़ारडोम, लिथुआनिया की ग्रैंड डची, रूसी साम्राज्य और कई अन्य

एरियल शेरोन कितने समय तक कोमा में थी?
एरियल एरिक शेरोन (शीनरमैन) - इजरायली सैन्य, राजनीतिक और राजनेता, 2001 से 2006 तक इजरायल के प्रधान मंत्री। जन्म तिथि: 26 फरवरी, 1928 जन्म स्थान: कफर सावा, इज़राइल के पास कफर मलाल बस्ती मृत्यु तिथि: 11 जनवरी, 2014 मृत्यु स्थान: रामत गण, गुश दान, इज़

निएंडरथल कौन थे?
निएंडरथल, निएंडरथल मानव (अव्य. होमो निएंडरथेलेंसिस या होमो सेपियन्स निएंडरथेलेंसिस) 300-24 हजार साल पहले रहने वाले लोगों की एक जीवाश्म प्रजाति है। नाम की उत्पत्ति ऐसा माना जाता है कि निएंडरथल खोपड़ी पहली बार 1856 में मिली थी

जेफ्री रश कितने साल के हैं
जेफ्री रश एक ऑस्ट्रेलियाई फिल्म और मंच अभिनेता हैं। ऑस्कर (1997), बाफ्टा (1996, 1999), गोल्डन ग्लोब (1997, 2005) के विजेता। उनकी भागीदारी वाली सबसे प्रसिद्ध फ़िल्में "शाइन" हैं।

किसी फ़ंक्शन ग्राफ़ की उत्तलता और अवतलता अंतराल का निर्धारण कैसे करें
किसी कार्य का चरम क्या है और चरम के लिए आवश्यक शर्त क्या है? किसी फ़ंक्शन का चरम फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम होता है। किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम (चरम) के लिए आवश्यक शर्त निम्नलिखित है: यदि फ़ंक्शन f(x) का चरम बिंदु x = a पर है, तो इस बिंदु पर व्युत्पन्न या तो शून्य है, या अनंत है, या करता है मौजूद नहीं। यह शर्त आवश्यक है, परंतु पर्याप्त नहीं है। टी में व्युत्पन्न

इस तरह की एक लघु और काफी सरल समस्या जो एक तैरते हुए छात्र के लिए जीवन रक्षक के रूप में कार्य करती है। यह प्रकृति में जुलाई के मध्य का समय है, इसलिए समुद्र तट पर अपने लैपटॉप के साथ आराम करने का समय है। सुबह-सुबह, अभ्यास पर ध्यान केंद्रित करने के लिए, सिद्धांत की धूप बजने लगी, जिसमें घोषित आसानी के बावजूद, रेत में कांच के टुकड़े शामिल थे। इस संबंध में, मेरा सुझाव है कि आप इस पृष्ठ के कुछ उदाहरणों पर ईमानदारी से विचार करें। व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में आपको सक्षम होना चाहिए डेरिवेटिव खोजेंऔर लेख की सामग्री को समझें एकरसता अंतराल और कार्य की चरम सीमा.

सबसे पहले, संक्षेप में मुख्य बात के बारे में। के बारे में पाठ में कार्य की निरंतरतामैंने एक बिंदु पर निरंतरता और एक अंतराल पर निरंतरता की परिभाषा दी। किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का अनुकरणीय व्यवहार इसी तरह तैयार किया जाता है। एक फलन एक अंतराल पर सतत होता है यदि:

1) यह अंतराल पर निरंतर है;
2) एक बिंदु पर निरंतर दायी ओरऔर बिंदु पर बाएं.

दूसरे पैराग्राफ में हमने तथाकथित के बारे में बात की एकतरफ़ा निरंतरताएक बिंदु पर कार्य करता है। इसे परिभाषित करने के कई दृष्टिकोण हैं, लेकिन मैं उस पंक्ति पर कायम रहूंगा जो मैंने पहले शुरू की थी:

बिंदु पर फलन सतत है दायी ओर, यदि इसे किसी दिए गए बिंदु पर परिभाषित किया गया है और इसकी दाहिनी ओर की सीमा किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के मान से मेल खाती है: . यह बिंदु पर निरंतर है बाएं, यदि किसी दिए गए बिंदु पर परिभाषित किया गया है और इसकी बाईं ओर की सीमा इस बिंदु पर मान के बराबर है:

कल्पना करें कि हरे बिंदु वे नाखून हैं जिनके साथ एक जादुई इलास्टिक बैंड जुड़ा हुआ है:

मानसिक रूप से लाल रेखा को अपने हाथों में लें। जाहिर है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम ग्राफ़ को कितनी दूर तक ऊपर और नीचे (अक्ष के साथ) खींचते हैं, फ़ंक्शन अभी भी बना रहेगा सीमित- शीर्ष पर एक बाड़, नीचे एक बाड़, और हमारा उत्पाद मेढक में चरता है। इस प्रकार, एक अंतराल पर निरंतर एक फलन उस पर परिबद्ध होता है. गणितीय विश्लेषण के दौरान, यह प्रतीत होता है कि सरल तथ्य बताया गया है और सख्ती से सिद्ध किया गया है। वीयरस्ट्रैस का पहला प्रमेय....बहुत से लोग इस बात से नाराज़ हैं कि गणित में प्राथमिक कथनों को कठिनता से प्रमाणित किया जाता है, लेकिन इसका एक महत्वपूर्ण अर्थ है। मान लीजिए कि टेरी मध्य युग के एक निश्चित निवासी ने दृश्यता की सीमा से परे आकाश में एक ग्राफ खींचा, इसे डाला गया। दूरबीन के आविष्कार से पहले, अंतरिक्ष में सीमित कार्य बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं था! सचमुच, आप कैसे जानते हैं कि क्षितिज पर हमारा क्या इंतजार है? आख़िरकार, पृथ्वी को कभी चपटा माना जाता था, इसलिए आज साधारण टेलीपोर्टेशन के लिए भी प्रमाण की आवश्यकता होती है =)

के अनुसार वीयरस्ट्रैस का दूसरा प्रमेय, एक खंड पर निरंतरफ़ंक्शन अपने तक पहुंचता है सटीक ऊपरी सीमाऔर तुम्हारा सटीक निचला किनारा .

नंबर भी कहा जाता है खंड पर फ़ंक्शन का अधिकतम मानऔर द्वारा निरूपित किये जाते हैं, और संख्या है खंड पर फ़ंक्शन का न्यूनतम मानचिह्नित ।

हमारे मामले में:

टिप्पणी : सिद्धांत रूप में, रिकॉर्डिंग आम हैं .

मोटे तौर पर कहें तो, सबसे बड़ा मान वह है जहां ग्राफ़ पर उच्चतम बिंदु है, और सबसे छोटा मान वह है जहां सबसे निचला बिंदु है।

महत्वपूर्ण!जैसा कि लेख में पहले ही जोर दिया जा चुका है समारोह की चरम सीमा, सबसे बड़ा फ़ंक्शन मानऔर सबसे छोटा फ़ंक्शन मान – एक ही नहीं, क्या अधिकतम कार्यऔर न्यूनतम कार्य. इसलिए, विचाराधीन उदाहरण में, संख्या फ़ंक्शन का न्यूनतम है, लेकिन न्यूनतम मान नहीं है।

वैसे, सेगमेंट के बाहर क्या होता है? हाँ, यहाँ तक कि बाढ़ भी, विचाराधीन समस्या के सन्दर्भ में, इसमें हमारी कोई दिलचस्पी नहीं है। कार्य में केवल दो संख्याएँ ढूँढना शामिल है और बस!

इसके अलावा, समाधान पूरी तरह से विश्लेषणात्मक है कोई चित्र बनाने की आवश्यकता नहीं!

एल्गोरिथ्म सतह पर है और उपरोक्त चित्र से स्वयं सुझाता है:

1) फ़ंक्शन के मान ज्ञात करें महत्वपूर्ण बिंदु, जो इस सेगमेंट से संबंधित हैं.

एक और बोनस पकड़ें: यहां चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थिति की जांच करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि, जैसा कि अभी दिखाया गया है, न्यूनतम या अधिकतम की उपस्थिति अभी तक गारंटी नहीं देता, न्यूनतम या अधिकतम मूल्य क्या है। प्रदर्शन फ़ंक्शन अधिकतम तक पहुंचता है और, भाग्य की इच्छा से, वही संख्या खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मूल्य है। लेकिन, ज़ाहिर है, ऐसा संयोग हमेशा नहीं होता है।

इसलिए, पहले चरण में, सेगमेंट से संबंधित महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करना तेज़ और आसान है, बिना इस बात की परवाह किए कि उनमें एक्स्ट्रेमा हैं या नहीं।

2) हम खंड के अंत में फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं।

3) पहले और दूसरे पैराग्राफ में पाए गए फ़ंक्शन मानों में से सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या का चयन करें और उत्तर लिखें।

हम नीले समुद्र के तट पर बैठते हैं और अपनी एड़ियों से उथले पानी से टकराते हैं:

उदाहरण 1

किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें

समाधान:
1) आइए इस खंड से संबंधित महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें:

आइए दूसरे महत्वपूर्ण बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें:

2) आइए खंड के अंत में फ़ंक्शन के मानों की गणना करें:

3) "बोल्ड" परिणाम घातांक और लघुगणक के साथ प्राप्त किए गए थे, जो उनकी तुलना को काफी जटिल बनाता है। इस कारण से, आइए अपने आप को एक कैलकुलेटर या एक्सेल से लैस करें और अनुमानित मानों की गणना करें, यह न भूलें:

अब सब कुछ स्पष्ट हो गया है.

उत्तर:

स्वतंत्र समाधान के लिए भिन्नात्मक-तर्कसंगत उदाहरण:

उदाहरण 6

किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करें

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