समांतर चतुर्भुज का कोण कितना होता है? चतुर्भुज

समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसकी सम्मुख भुजाएँ जोड़े में समांतर होती हैं। साथ ही, एक समांतर चतुर्भुज में निम्नलिखित गुण होते हैं: सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, सम्मुख कोण बराबर होते हैं, और सभी कोणों का योग 360 डिग्री होता है।

आपको चाहिये होगा

• ज्यामिति का ज्ञान.

निर्देश

1. आइए कल्पना करें कि समांतर चतुर्भुज का एक कोण दिया गया है और वह A के बराबर है। आइए शेष 3 का मान ज्ञात करें। समांतर चतुर्भुज के गुण के अनुसार, सम्मुख कोण बराबर होते हैं। इसका मतलब यह है कि दिए गए कोण के विपरीत कोण दिए गए कोण के बराबर है और इसका मान A के बराबर है।

2. आइए शेष दो कोने खोजें। क्योंकि एक समांतर चतुर्भुज में सभी कोणों का योग 360 डिग्री के बराबर होता है, और विपरीत कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं, यह पता चलता है कि दिए गए कोण की एक ही भुजा का कोण (360 - 2A)/2 के बराबर है। ठीक है, या तो सुधार के बाद हमें 180 - ए मिलता है। इस प्रकार, एक समांतर चतुर्भुज में, दो कोण ए के बराबर होते हैं, और अन्य दो कोण 180 - ए के बराबर होते हैं।

टिप्पणी!
एक कोण का मान 180 डिग्री से अधिक नहीं हो सकता। प्राप्त कोण मानों को आसानी से सत्यापित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, उन्हें जोड़ें और, यदि योग 360 है, तो सब कुछ सही ढंग से गणना की जाती है।

मददगार सलाह
एक आयत और एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज के विशेष मामले हैं; इसलिए, कोणों की गणना के लिए सभी गुण और विधियाँ उन पर लागू होती हैं।

जिस तरह यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक बिंदु और एक सीधी रेखा विमानों के सिद्धांत के मुख्य तत्व हैं, उसी तरह एक समांतर चतुर्भुज उत्तल चतुर्भुज के प्रमुख आंकड़ों में से एक है। इसमें से, एक गेंद से धागे की तरह, "आयत", "वर्ग", "रोम्बस" और अन्य ज्यामितीय मात्राओं की अवधारणाएँ प्रवाहित होती हैं।

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समांतर चतुर्भुज की परिभाषा

उत्तल चतुर्भुज,खंडों से मिलकर, जिनमें से प्रत्येक जोड़ी समानांतर है, ज्यामिति में समांतर चतुर्भुज के रूप में जाना जाता है।

एक क्लासिक समांतर चतुर्भुज कैसा दिखता है, इसे एक चतुर्भुज ABCD द्वारा दर्शाया गया है। भुजाओं को आधार (AB, BC, CD और AD) कहा जाता है, किसी शीर्ष से इस शीर्ष के विपरीत भुजा पर खींचा गया लम्ब ऊँचाई (BE और BF) कहलाता है, रेखाएँ AC और BD विकर्ण कहलाती हैं।

ध्यान!वर्ग, समचतुर्भुज और आयत समांतर चतुर्भुज के विशेष मामले हैं।

पक्ष और कोण: रिश्ते की विशेषताएं

मुख्य गुण, कुल मिलाकर, पदनाम से ही पूर्वनिर्धारित, वे प्रमेय द्वारा सिद्ध होते हैं। ये विशेषताएँ इस प्रकार हैं:

1. जो भुजाएँ विपरीत हैं वे जोड़े में समान हैं।
2. एक दूसरे के विपरीत कोण जोड़े में बराबर होते हैं।

प्रमाण: ∆ABC और ∆ADC पर विचार करें, जो चतुर्भुज ABCD को सीधी रेखा AC से विभाजित करने पर प्राप्त होते हैं। ∠BCA=∠CAD और ∠BAC=∠ACD, क्योंकि AC उनके लिए उभयनिष्ठ है (क्रमशः BC||AD और AB||CD के लिए ऊर्ध्वाधर कोण)। इससे यह निष्कर्ष निकलता है: ∆ABC = ∆ADC (त्रिभुजों की समानता का दूसरा चिह्न)।

∆ABC में खंड AB और BC, ∆ADC में रेखाओं CD और AD के जोड़े में हैं, जिसका अर्थ है कि वे समान हैं: AB = CD, BC = AD। इस प्रकार, ∠B, ∠D से मेल खाता है और वे बराबर हैं। चूँकि ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, जो जोड़ीवार भी समान हैं, तो ∠A = ∠C. संपत्ति सिद्ध हो चुकी है.

किसी आकृति के विकर्णों की विशेषताएँ

मुख्य विशेषतासमांतर चतुर्भुज की इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु उन्हें आधे में विभाजित करता है।

प्रमाण: मान लीजिए आकृति ABCD के विकर्ण AC और BD का प्रतिच्छेदन बिंदु है। वे दो समानुपाती त्रिभुज बनाते हैं - ∆ABE और ∆CDE।

AB=CD क्योंकि वे विपरीत हैं। रेखाओं और छेदक रेखाओं के अनुसार, ∠ABE = ∠CDE और ∠BAE = ∠DCE।

समानता की दूसरी कसौटी के अनुसार, ∆ABE = ∆CDE. इसका मतलब है कि तत्व ∆ABE और ∆CDE: AE = CE, BE = DE और साथ ही वे AC और BD के आनुपातिक भाग हैं। संपत्ति सिद्ध हो चुकी है.

आसन्न कोनों की विशेषताएं

आसन्न भुजाओं के कोणों का योग 180° के बराबर होता है, क्योंकि वे समानांतर रेखाओं और एक तिर्यक रेखा के एक ही तरफ स्थित हैं। चतुर्भुज ABCD के लिए:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

द्विभाजक के गुण:

1. , एक तरफ से नीचे, लंबवत हैं;
2. विपरीत शीर्षों में समानांतर समद्विभाजक होते हैं;
3. समद्विभाजक खींचने से प्राप्त त्रिभुज समद्विबाहु होगा।

प्रमेय का उपयोग करके समांतर चतुर्भुज की विशिष्ट विशेषताओं का निर्धारण

इस आकृति की विशेषताएँ इसके मुख्य प्रमेय से अनुसरण करती हैं, जो निम्नलिखित बताती है: चतुर्भुज को समांतर चतुर्भुज माना जाता हैइस घटना में कि इसके विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं, और यह बिंदु उन्हें समान खंडों में विभाजित करता है।

प्रमाण: मान लीजिए कि चतुर्भुज ABCD की रेखाएँ AC और BD बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। चूँकि ∠AED = ∠BEC, और AE+CE=AC BE+DE=BD, तो ∆AED = ∆BEC (त्रिकोणों की समानता के लिए पहले मानदंड के अनुसार)। अर्थात, ∠EAD = ∠ECB. वे रेखाओं AD और BC के लिए सेकेंट AC के आंतरिक क्रॉस कोण भी हैं। इस प्रकार, समांतरता की परिभाषा के अनुसार - AD || ईसा पूर्व रेखाओं BC और CD का समान गुण भी प्राप्त होता है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना

इस आकृति का क्षेत्रफल कई तरीकों से पाया गयासबसे सरल में से एक: ऊंचाई और जिस आधार पर इसे खींचा गया है उसे गुणा करना।

प्रमाण: शीर्ष B और C से लंब BE और CF खींचिए। ∆ABE और ∆DCF बराबर हैं, क्योंकि AB = CD और BE = CF है। एबीसीडी आकार में आयत ईबीसीएफ के बराबर है, क्योंकि उनमें आनुपातिक आंकड़े शामिल हैं: एस एबीई और एस ईबीसीडी, साथ ही एस डीसीएफ और एस ईबीसीडी। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि इस ज्यामितीय आकृति का क्षेत्रफल एक आयत के समान है:

एस एबीसीडी = एस ईबीसीएफ = बीई×बीसी=बीई×एडी।

समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सामान्य सूत्र निर्धारित करने के लिए, आइए हम ऊँचाई को इस प्रकार निरूपित करें मॉडिफ़ाइड अमेरिकन प्लान, और पक्ष - बी. क्रमश:

क्षेत्रफल ज्ञात करने के अन्य तरीके

क्षेत्र की गणना समांतर चतुर्भुज की भुजाओं और कोण के माध्यम से, जो वे बनाते हैं, दूसरी ज्ञात विधि है।

,

स्प्र-मा - क्षेत्र;

a और b इसकी भुजाएँ हैं

α खंड a और b के बीच का कोण है।

यह विधि व्यावहारिक रूप से पहले पर आधारित है, लेकिन मामले में यह अज्ञात है। हमेशा एक समकोण त्रिभुज को काटता है जिसके पैरामीटर त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं द्वारा पाए जाते हैं, अर्थात। रिश्ते को बदलने पर, हमें मिलता है। पहली विधि के समीकरण में, हम ऊँचाई को इस उत्पाद से प्रतिस्थापित करते हैं और इस सूत्र की वैधता का प्रमाण प्राप्त करते हैं।

एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों और कोण के माध्यम से,जिसे वे प्रतिच्छेद करते समय बनाते हैं, आप क्षेत्र का भी पता लगा सकते हैं।

प्रमाण: AC और BD प्रतिच्छेद करके चार त्रिभुज बनाते हैं: ABE, BEC, CDE और AED। इनका योग इस चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है।

इनमें से प्रत्येक ∆ का क्षेत्रफल अभिव्यक्ति द्वारा पाया जा सकता है, जहां a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. चूंकि, गणना एकल साइन मान का उपयोग करती है। वह है । चूँकि AE+CE=AC= d 1 और BE+DE=BD= d 2, क्षेत्रफल सूत्र कम हो जाता है:

.

वेक्टर बीजगणित में अनुप्रयोग

इस चतुर्भुज के घटक भागों की विशेषताओं को वेक्टर बीजगणित में आवेदन मिला है, अर्थात् दो वैक्टरों का योग। समांतर चतुर्भुज नियम यह बताता है यदि सदिश दिए गए हैंऔरनहींसंरेख हैं, तो उनका योग इस आकृति के विकर्ण के बराबर होगा, जिसके आधार इन सदिशों के अनुरूप हैं।

प्रमाण: मनमाने ढंग से चुनी गई शुरुआत से - यानी। - वैक्टर का निर्माण करें और। इसके बाद, हम एक समांतर चतुर्भुज OASV बनाते हैं, जहाँ खंड OA और OB भुजाएँ हैं। इस प्रकार, ओएस वेक्टर या योग पर स्थित है।

समांतर चतुर्भुज के मापदंडों की गणना के लिए सूत्र

पहचान निम्नलिखित शर्तों के तहत दी गई हैं:

1. ए और बी, α - भुजाएँ और उनके बीच का कोण;
2. डी 1 और डी 2, γ - विकर्ण और उनके चौराहे के बिंदु पर;
3. एच ए और एच बी - पक्षों ए और बी से कम ऊँचाई;

पैरामीटर	FORMULA
पक्षों का पता लगाना
विकर्णों के अनुदिश और उनके बीच के कोण की कोज्या
विकर्णों और भुजाओं के अनुदिश
ऊँचाई और विपरीत शीर्ष से होकर
विकर्णों की लंबाई ज्ञात करना
किनारों पर और उनके बीच शीर्ष का आकार

समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसकी सम्मुख भुजाएँ जोड़े में समांतर होती हैं। यह परिभाषा पहले से ही पर्याप्त है, क्योंकि समांतर चतुर्भुज के शेष गुण इसी से अनुसरण करते हैं और प्रमेयों के रूप में सिद्ध होते हैं।

समांतर चतुर्भुज के मुख्य गुण हैं:

• एक समांतर चतुर्भुज एक उत्तल चतुर्भुज है;
• एक समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ जोड़े में बराबर होती हैं;
• एक समांतर चतुर्भुज में, सम्मुख कोण जोड़े में बराबर होते हैं;
• समांतर चतुर्भुज के विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा आधे में विभाजित किया जाता है।

समांतर चतुर्भुज - उत्तल चतुर्भुज

आइए पहले हम इस प्रमेय को सिद्ध करें समांतर चतुर्भुज एक उत्तल चतुर्भुज है. एक बहुभुज उत्तल होता है यदि इसकी किसी भी भुजा को एक सीधी रेखा तक बढ़ाया जाए, तो बहुभुज की अन्य सभी भुजाएँ इस सीधी रेखा के एक ही तरफ होंगी।

मान लीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज ABCD दिया गया है, जिसमें AB, CD के लिए विपरीत भुजा है, और BC, AD के लिए विपरीत भुजा है। फिर समांतर चतुर्भुज की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि AB || सीडी, बीसी || ईसा पश्चात

समानांतर खंडों में कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता और वे प्रतिच्छेद नहीं करते। इसका मतलब है कि CD, AB के एक तरफ स्थित है। चूँकि खंड BC खंड AB के बिंदु B को खंड CD के बिंदु C से जोड़ता है, और खंड AD अन्य बिंदुओं AB और CD को जोड़ता है, खंड BC और AD भी रेखा AB के उसी तरफ स्थित हैं जहाँ CD स्थित है। इस प्रकार, तीनों भुजाएँ - CD, BC, AD - AB के एक ही तरफ स्थित हैं।

इसी प्रकार, यह सिद्ध है कि समांतर चतुर्भुज की अन्य भुजाओं के संबंध में, अन्य तीन भुजाएँ एक ही तरफ स्थित होती हैं।

सम्मुख भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं

समांतर चतुर्भुज का एक गुण यह है एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ और सम्मुख कोण जोड़े में बराबर होते हैं. उदाहरण के लिए, यदि एक समांतर चतुर्भुज ABCD दिया गया है, तो इसमें AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D है। यह प्रमेय इस प्रकार सिद्ध होता है।

समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज है। इसका मतलब है कि इसके दो विकर्ण हैं। चूँकि एक समांतर चतुर्भुज एक उत्तल चतुर्भुज है, उनमें से कोई भी इसे दो त्रिभुजों में विभाजित करता है। समांतर चतुर्भुज ABCD में, विकर्ण AC खींचकर प्राप्त त्रिभुज ABC और ADC पर विचार करें।

इन त्रिभुजों में एक भुजा उभयनिष्ठ है - AC। कोण बीसीए कोण सीएडी के बराबर है, क्योंकि बीसी और एडी समानांतर होने पर ऊर्ध्वाधर होते हैं। जब AB और CD समानांतर हों तो कोण BAC और ACD भी ऊर्ध्वाधर कोणों के बराबर होते हैं। इसलिए, दो कोणों और उनके बीच की भुजा पर ∆ABC = ∆ADC है।

इन त्रिभुजों में, भुजा AB, भुजा CD से मेल खाती है, और भुजा BC, AD से मेल खाती है। इसलिए, एबी = सीडी और बीसी = एडी।

कोण B, कोण D से मेल खाता है, अर्थात ∠B = ∠D. समांतर चतुर्भुज का कोण A दो कोणों - ∠BAC और ∠CAD का योग है। कोण C, ∠BCA और ∠ACD के बराबर है। चूँकि कोणों के जोड़े एक दूसरे के बराबर हैं, तो ∠A = ∠C.

इस प्रकार, यह सिद्ध है कि एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं।

विकर्णों को आधे में विभाजित किया गया है

चूँकि एक समांतर चतुर्भुज एक उत्तल चतुर्भुज है, इसमें दो विकर्ण होते हैं, और वे प्रतिच्छेद करते हैं। मान लीजिए समांतर चतुर्भुज ABCD दिया गया है, इसके विकर्ण AC और BD बिंदु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। उनसे बने त्रिभुज ABE और CDE पर विचार करें।

इन त्रिभुजों की भुजाएँ AB और CD एक समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाओं के बराबर हैं। कोण ABE, कोण CDE के बराबर है क्योंकि यह समानांतर रेखाओं AB और CD के साथ स्थित है। इसी कारण से, ∠BAE = ∠DCE. इसका मतलब है कि दो कोणों पर ∆ABE = ∆CDE और उनके बीच की भुजा।

आप यह भी देख सकते हैं कि कोण AEB और CED ऊर्ध्वाधर हैं और इसलिए एक दूसरे के बराबर भी हैं।

चूँकि त्रिभुज ABE और CDE एक दूसरे के बराबर हैं, तो उनके सभी संगत तत्व भी बराबर हैं। पहले त्रिभुज की भुजा AE दूसरे त्रिभुज की भुजा CE से मेल खाती है, जिसका अर्थ है AE = CE। इसी प्रकार BE = DE. समान खंडों का प्रत्येक जोड़ा एक समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण बनाता है। इस प्रकार यह सिद्ध हो गया है समांतर चतुर्भुज के विकर्णों को उनके प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा विभाजित किया जाता है.

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समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें सम्मुख भुजाएँ जोड़े में समांतर होती हैं।

एक समांतर चतुर्भुज में चतुर्भुज के सभी गुण होते हैं, लेकिन इसके अलावा इसकी अपनी विशिष्ट विशेषताएं भी होती हैं। इन्हें जानकर हम किसी समांतर चतुर्भुज की दोनों भुजाएँ और कोण आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।

समांतर चतुर्भुज के गुण

1. किसी भी चतुर्भुज की तरह, किसी भी समांतर चतुर्भुज में कोणों का योग 360° होता है।
2. एक समांतर चतुर्भुज की मध्य रेखाएं और उसके विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इसके द्वारा समद्विभाजित होते हैं। इस बिंदु को आमतौर पर समांतर चतुर्भुज की समरूपता का केंद्र कहा जाता है।
3. समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ सदैव बराबर होती हैं।
4. साथ ही, इस आकृति में सदैव समान सम्मुख कोण होते हैं।
5. समांतर चतुर्भुज की किसी भी भुजा से सटे कोणों का योग सदैव 180° होता है।
6. एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी दो आसन्न भुजाओं के वर्गों के योग के दोगुने के बराबर होता है। इसे सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है:
   • डी 1 2 + डी 2 2 = 2 (ए 2 + बी 2), जहां डी 1 और डी 2 विकर्ण हैं, ए और बी आसन्न भुजाएं हैं।
7. अधिक कोण की कोज्या सदैव शून्य से कम होती है।

व्यवहार में इन गुणों का उपयोग करके किसी दिए गए समांतर चतुर्भुज के कोण कैसे ज्ञात करें? और कौन से अन्य सूत्र इसमें हमारी सहायता कर सकते हैं? आइए उन विशिष्ट कार्यों को देखें जिनकी आवश्यकता है: समांतर चतुर्भुज के कोण ज्ञात करें।

समांतर चतुर्भुज के कोण ज्ञात करना

केस 1. एक अधिक कोण का माप ज्ञात है; हमें एक न्यून कोण खोजने की आवश्यकता है।

उदाहरण: समांतर चतुर्भुज ABCD में, कोण A 120° है। शेष कोणों का माप ज्ञात कीजिए।

समाधान: संपत्ति संख्या 5 का उपयोग करके, हम कार्य में दिए गए कोण के निकटवर्ती कोण बी का माप पा सकते हैं। यह इसके बराबर होगा:

• 180°-120°= 60°

और अब, संपत्ति संख्या 4 का उपयोग करके, हम यह निर्धारित करते हैं कि शेष दो कोण सी और डी उन कोणों के विपरीत हैं जो हमने पहले ही पाए हैं। कोण C, कोण A के विपरीत है, कोण D, कोण B के विपरीत है। इसलिए, वे जोड़े में बराबर हैं।

• उत्तर: बी = 60°, सी = 120°, डी=60°

केस 2. भुजाओं और विकर्णों की लंबाई ज्ञात है

इस मामले में, हमें कोसाइन प्रमेय का उपयोग करने की आवश्यकता है।

हम पहले एक सूत्र का उपयोग करके आवश्यक कोण की कोज्या की गणना कर सकते हैं, और फिर एक विशेष तालिका का उपयोग करके यह पता लगा सकते हैं कि कोण स्वयं किसके बराबर है।

न्यून कोण के लिए सूत्र है:

• कोसा = (ए² + बी² - डी²) / (2 * ए * बी), कहां
• a वांछित न्यूनकोण है,
• A और B समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ हैं,
• डी - छोटा विकर्ण

अधिक कोण के लिए, सूत्र थोड़ा बदल जाता है:

• cosß = (A² + B² - D²) / (2 * A * B), जहां
• ß एक अधिक कोण है,
• A और B भुजाएँ हैं
• डी - बड़ा विकर्ण

उदाहरण: आपको एक समांतर चतुर्भुज का न्यून कोण ज्ञात करना होगा जिसकी भुजाएँ 6 सेमी और 3 सेमी हैं, और छोटा विकर्ण 5.2 सेमी है

न्यून कोण ज्ञात करने के लिए मानों को सूत्र में रखें:

• कोसा = (6 2 + 3 2 - 5.2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27.04) / (2 * 18) = 17.96/36 ~ 18/36 ~1/2
• कोसा = 1/2. तालिका से हमें पता चलता है कि वांछित कोण 60° है।