Simetrala trougla je segment koji dijeli ugao trougla na dva jednaka ugla. Na primjer, ako je ugao trokuta 120 0, onda ćemo crtanjem simetrale konstruisati dva ugla od po 60 0.

A pošto u trouglu postoje tri ugla, mogu se nacrtati tri simetrale. Svi imaju jednu graničnu tačku. Ova tačka je centar kružnice upisane u trokut. Na drugi način, ova tačka preseka se naziva središte trougla.

Kada se dvije simetrale unutrašnjeg i vanjskog ugla sijeku, dobije se ugao od 90 0. Vanjski ugao u trouglu je ugao koji graniči sa unutrašnjim uglom trougla.

Rice. 1. Trokut koji sadrži 3 simetrale

Simetrala dijeli suprotnu stranu na dva segmenta koji su povezani sa stranicama:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

Simetrale su jednako udaljene od stranica ugla, što znači da su na istoj udaljenosti od stranica ugla. Odnosno, ako iz bilo koje točke simetrale ispustimo okomice na svaku od strana kuta trokuta, tada će te okomite biti jednake.

Ako povučete medijanu, simetralu i visinu iz jednog vrha, tada će medijana biti najduži segment, a visina najkraća.

Neka svojstva simetrale

U određenim vrstama trouglova simetrala ima posebna svojstva. Ovo se prvenstveno odnosi na jednakokraki trougao. Ova figura ima dvije identične strane, a treća se zove baza.

Ako povučete simetralu iz vrha ugla jednakokračnog trougla do osnove, tada će ona imati svojstva visine i medijane. Prema tome, dužina simetrale poklapa se sa dužinom medijane i visine.

definicije:

• Visina- okomicu povučenu iz vrha trougla na suprotnu stranu.
• Medijan– segment koji spaja vrh trougla i sredinu suprotne stranice.

Rice. 2. Simetrala u jednakokračnom trouglu

Ovo važi i za jednakostranični trougao, odnosno trougao u kome su sve tri strane jednake.

Primjer zadatka

U trouglu ABC: BR je simetrala, sa AB = 6 cm, BC = 4 cm i RC = 2 cm.

Rice. 3. Simetrala u trouglu

Rješenje:

Simetrala dijeli stranicu trokuta u određenoj proporciji. Iskoristimo ovu proporciju i izrazimo AR. Tada ćemo pronaći dužinu treće stranice kao zbir segmenata na koje je ova stranica podijeljena simetralom.

• $(AB\preko(BC)) = (AR\preko(RC))$
• $RC=(6\preko(4))*2=3 cm$

Tada je cijeli segment AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 cm.

Ukupno primljenih ocjena: 107.

Geometrija je jedna od najsloženijih i najzbunjujućih nauka. U njemu se ono što se na prvi pogled čini očiglednim vrlo rijetko ispostavi da je tačno. Simetrale, visine, medijane, projekcije, tangente - ogroman broj zaista teških pojmova, koje je vrlo lako zbuniti.

U stvari, uz odgovarajuću želju, možete razumjeti teoriju bilo koje složenosti. Kada su u pitanju simetrale, medijane i visine, morate shvatiti da oni nisu jedinstveni za trouglove. Na prvi pogled, to su jednostavne linije, ali svaka od njih ima svoja svojstva i funkcije, čije poznavanje uvelike pojednostavljuje rješavanje geometrijskih problema. Dakle, šta je simetrala trougla?

Definicija

Sam izraz "simetrala" dolazi od kombinacije latinskih riječi "dva" i "rezati", "rezati", što indirektno ukazuje na njegova svojstva. Obično, kada se djeca upoznaju s ovim zrakom, dobiju kratku frazu koju treba zapamtiti: “Simetrala je štakor koji trči oko uglova i dijeli ugao na pola.” Naravno, takvo objašnjenje nije prikladno za starije školarce, a osim toga, obično se pitaju ne o kutu, već o geometrijskoj figuri. Dakle, simetrala trougla je zraka koja povezuje vrh trougla sa suprotnom stranom, dok ugao dijeli na dva jednaka dijela. Tačka na suprotnoj strani na koju dolazi simetrala bira se nasumično za proizvoljan trougao.

Osnovne funkcije i svojstva

Ova greda ima nekoliko osnovnih svojstava. Prvo, pošto simetrala trougla deli ugao na pola, svaka tačka koja leži na njemu biće jednako udaljena od stranica koje čine vrh. Drugo, u svakom trokutu možete nacrtati tri simetrale, prema broju dostupnih uglova (dakle, u istom četvorouglu će ih već biti četiri, i tako dalje). Tačka u kojoj se sijeku sve tri zrake je centar kružnice upisane u trokut.

Svojstva postaju složenija

Hajde da malo zakomplikujemo teoriju. Još jedno zanimljivo svojstvo: simetrala ugla trougla dijeli suprotnu stranu na segmente, čiji je omjer jednak omjeru stranica koje čine vrh. Na prvi pogled, ovo je komplikovano, ali zapravo je sve jednostavno: na predloženoj slici, RL: LQ = PR: PK. Inače, ovo svojstvo nazvano je "Teorema simetrale" i prvi put se pojavilo u djelima starogrčkog matematičara Euklida. To se u jednom od ruskih udžbenika setilo tek u prvoj četvrtini XVII veka.

Malo je komplikovanije. U četverokutu simetrala odsijeca jednakokraki trokut. Ova slika prikazuje sve jednake uglove za srednji AF.

A u četverokutima i trapezima simetrale jednostranih uglova su okomite jedna na drugu. Na prikazanom crtežu ugao APB je 90 stepeni.

U jednakokračnom trouglu

Simetrala jednakokračnog trougla je mnogo korisnija zraka. To je istovremeno ne samo djelitelj ugla na pola, već i medijana i visina.

Medijan je segment koji dolazi iz nekog ugla i pada na sredinu suprotne strane, dijeleći ga na jednake dijelove. Visina je okomita spuštena od vrha na suprotnu stranu, uz nju se svaki problem može svesti na jednostavnu i primitivnu Pitagorinu teoremu. U ovoj situaciji, simetrala trokuta jednaka je korijenu razlike između kvadrata hipotenuze i drugog kraka. Inače, ovo svojstvo se najčešće susreće u geometrijskim problemima.

Za konsolidaciju: u ovom trouglu, simetrala FB je medijana (AB = BC) i visina (uglovi FBC i FBA su 90 stepeni).

U obrisima

Dakle, šta treba da zapamtite? Simetrala trougla je zraka koja deli njegov vrh. Na presjeku tri zraka nalazi se centar kružnice upisan u ovaj trokut (jedini nedostatak ovog svojstva je što nema praktičnu vrijednost i služi samo za kompetentno izvođenje crteža). Također dijeli suprotnu stranu na segmente, čiji je omjer jednak omjeru strana između kojih je ovaj zrak prošao. U četvorouglu svojstva postaju malo komplikovanija, ali se, doduše, praktički ne pojavljuju u problemima na nivou škole, pa se obično ne dotiču u programu.

Simetrala jednakokračnog trougla je krajnji san svakog školarca. To je i medijana (odnosno, dijeli suprotnu stranu na pola) i visina (okomita na tu stranu). Rješavanje problema s takvom simetralom svodi se na Pitagorinu teoremu.

Poznavanje osnovnih funkcija simetrale, kao i njenih osnovnih svojstava, neophodno je za rešavanje geometrijskih problema srednjeg i visokog nivoa složenosti. Zapravo, ovaj zrak se nalazi samo u planimetriji, tako da se ne može reći da će vam pamćenje informacija o njemu omogućiti da se nosite sa svim vrstama zadataka.

Kolika je simetrala ugla trougla? Na ovo pitanje poznati pacov koji trči po uglovima i deli ugao na pola izlazi iz usta nekih ljudi." Ako odgovor treba da bude "šaljiv", onda je možda i tačan. Ali sa naučnog stanovišta Sa stanovišta, odgovor na ovo pitanje trebao bi biti: otprilike ovako: počevši od vrha ugla i podijeliti ga na dva jednaka dijela." U geometriji se ova figura također doživljava kao segment simetrale sve dok se ne siječe sa suprotnom stranom trougla. Ovo nije zabluda. Šta se još zna o simetrali ugla, osim njene definicije?

Kao i svaki geometrijski lokus tačaka, on ima svoje karakteristike. Prvi od njih, prije, nije čak ni znak, već teorema, koja se može ukratko izraziti na sljedeći način: „Ako je strana suprotna njoj podijeljena na dva dijela simetralom, tada će njihov omjer odgovarati omjeru stranice velikog trougla.”

Drugo svojstvo koje ima: tačka presjeka simetrala svih uglova naziva se središte.

Treći znak: simetrale jednog unutrašnjeg i dva vanjska ugla trougla seku se u centru jedne od tri upisane kružnice.

Četvrto svojstvo simetrale ugla trougla je da ako je svaki od njih jednak, onda je potonji jednakokračan.

Peti znak se također odnosi na jednakokraki trokut i glavna je smjernica za njegovo prepoznavanje na crtežu po simetralama, naime: u jednakokračnom trokutu on istovremeno služi i kao medijan i kao visina.

Simetrala ugla može se konstruisati pomoću šestara i ravnala:

Šesto pravilo kaže da je nemoguće konstruisati trougao koristeći potonje samo sa postojećim simetralama, kao što je nemoguće konstruisati na ovaj način udvostručenje kocke, kvadraturu kruga i trisekciju ugla. Strogo govoreći, ovo su sva svojstva simetrale ugla trougla.

Ako ste pažljivo pročitali prethodni pasus, onda vas je možda zanimala jedna fraza. "Šta je trisekcija ugla?" - verovatno ćete pitati. Trisektor je malo sličan simetrali, ali ako nacrtate potonju, ugao će se podijeliti na dva jednaka dijela, a pri konstruiranju trisekcije podijelit će se na tri. Naravno, simetralu ugla je lakše zapamtiti, jer se trisekcija ne uči u školi. Ali radi kompletnosti, ispričat ću vam i o tome.

Trisektor, kao što sam već rekao, ne može se konstruisati samo sa šestarom i lenjirom, već se može napraviti korišćenjem Fujitinih pravila i nekih krivulja: Pascalovih puževa, kvadratriksa, Nikomedovih konhoida, konusnih preseka,

Problemi sa trisekcijom ugla vrlo jednostavno se rješavaju pomoću nevsisa.

U geometriji postoji teorema o trisektorima ugla. To se zove Morleyeva teorema. Ona kaže da će tačke preseka trisektora svakog ugla koji se nalazi u sredini biti vrhovi

Mali crni trokut unutar velikog će uvijek biti jednakostraničan. Ovu teoremu je otkrio britanski naučnik Frank Morley 1904. godine.

Evo koliko možete naučiti o podjeli ugla: Trisektor i simetrala ugla uvijek zahtijevaju detaljna objašnjenja. Ali ovdje su date mnoge definicije koje još nisam otkrio: Pascalov puž, Nikomedov konhoid itd. Budite sigurni, ima još mnogo toga za pisati o njima.

Sorokina Vika

Dati su dokazi svojstva simetrale trokuta i razmatrana je primjena teorije na rješavanje problema

Skinuti:

Pregled:

Odbor za obrazovanje uprave Saratov, Oktjabrski okrug, općinska autonomna obrazovna ustanova Licej br. 3 po imenu. A. S. Puškin.

Opštinska naučno-praktična

konferencija

"Prvi koraci"

Predmet: Simetrala i njena svojstva.

Rad uradio: učenik 8.razreda

Sorokina VictoriaNaučni rukovodilac: Nastavnik matematike najviše kategorijePopova Nina Fedorovna.

Saratov 2011

1. Naslovna stranica……………………………………………………………1
2. Sadržaj…………………………………………………………………2
3. Uvod i ciljevi………………………………………………………………….. ..3
4. Razmatranje svojstava simetrale

• Treći lokus tačaka………………………………….3
• Teorema 1…………………………………………………………………………...4
• Teorema 2…………………………………………………………………………4
• Glavno svojstvo simetrale trougla:

1. Teorema 3…………………………………………………………………………...4
2. Zadatak 1………………………………………………………………………… ….7
3. Zadatak 2………………………………………………………………………….8
4. Zadatak 3…………………………………………………………………………...9
5. Zadatak 4……………………………………………………………………….9-10

• Teorema 4………………………………………………………10-11
• Formule za pronalaženje simetrale:

1. Teorema 5………………………………………………………………………….11
2. Teorema 6………………………………………………………………………….11
3. Teorema 7………………………………………………………………………….12
4. Zadatak 5………………………………………………………………………12-13

• Teorema 8………………………………………………………………………….13
• Zadatak 6………………………………………………………………………….14
• Zadatak 7…………………………………………………………………………14-15
• Određivanje kardinalnih pravaca pomoću simetrale………………15

1. Zaključak i zaključak…………………………………………………………………..15
2. Spisak referenci………………………………………………..16

Simetrala

Na času geometrije, proučavajući temu sličnih trouglova, naišao sam na problem o teoremi o odnosu simetrale prema suprotnim stranicama. Čini se da bi moglo biti nečeg zanimljivog u temi simetrale, ali ova tema me je zainteresirala i htio sam je proučiti dublje. Uostalom, simetrala je vrlo bogata svojim nevjerovatnim svojstvima koja pomažu u rješavanju raznih problema.

Kada razmatrate ovu temu, primijetit ćete da udžbenici geometrije vrlo malo govore o svojstvima simetrale, ali na ispitima, poznavajući ih, možete mnogo lakše i brže rješavati zadatke. Osim toga, da bi položili Državni ispit i Jedinstveni državni ispit, savremeni učenici trebaju sami učiti dodatne materijale za školski program. Zato sam odlučio detaljnije proučiti temu simetrale.

Simetrala (od latinskog bi- "dvostruko" i sectio „rezanje“) ugla je zraka s početkom u vrhu ugla, koja dijeli ugao na dva jednaka dijela. Simetrala ugla (zajedno sa njegovom produžetkom) je geometrijsko mesto tačaka jednako udaljenih od stranica ugla (ili njihovih produžetaka)

Treći lokus tačaka

Slika F je lokus tačaka (skup tačaka) koji imaju neko svojstvo A, ako su ispunjena dva uslova:

1. iz činjenice da tačka pripada figuri F, proizilazi da ima imovinu A;
2. od činjenice da tačka zadovoljava svojstvo A, iz toga sledi da pripada figuri F.

Prvo mjesto tačaka koje se razmatraju u geometriji je kružnica, tj. lokus tačaka jednako udaljenih od jedne fiksne tačke. Drugi je okomita simetrala segmenta, tj. lokus tačaka jednako udaljenih od kraja segmenta. I konačno, treća - simetrala - geometrijski lokus tačaka jednako udaljenih od strana ugla

Teorema 1:

Simetrale su jednako udaljene od stranica on je u uglu.

dokaz:

Neka R - simetrala A. Hajdemo s temeP okomice RV and PC na stranama ugla. Tada je VAR = SAR hipotenuzom i oštrim uglom. Dakle, PB = PC

Teorema 2:

Ako je tačka P jednako udaljena od stranica ugla A, onda leži na simetrali.

Dokaz: PB = PC => VAR = CAP => BAP= CAP => AR je simetrala.

Među osnovnim geometrijskim činjenicama je teorema da simetrala dijeli suprotnu stranu u odnosu na suprotne stranice. Ova činjenica je dugo ostala u sjeni, ali posvuda ima problema koje je mnogo lakše riješiti ako znate ovu i druge činjenice o simetrali. Zainteresovao sam se i odlučio sam da dublje istražim ovo svojstvo simetrale.

Glavno svojstvo simetrale ugla trougla

Teorema 3. Simetrala dijeli suprotnu stranu trougla u odnosu na susjedne stranice.

Dokaz 1:

Dato: AL - simetrala trougla ABC

dokazati:

Dokaz: Neka je F tačka preseka linije AL i prava koja prolazi kroz tačku IN paralelno sa AC stranom.

Tada je BFA = FAC = BAF. Stoga, B.A.F. jednakokraki i AB = BF. Iz sličnosti trouglova Imamo ALC i FLB

odnos

gdje

Dokazi 2

Neka je F tačka koju sijeku prava AL i prava linija koja prolazi kroz tačku C paralelnu sa bazom AB. Zatim možete ponoviti obrazloženje.

Dokazi 3

Neka su K i M osnove okomica spuštenih na pravu AL iz tačaka B i C respektivno. Trokuti ABL i ACL su slični pod dva ugla. Zbog toga
. A iz sličnosti BKL i CML imamo

Odavde

Dokaz 4

Koristimo metodu površine. Izračunajmo površine trouglova ABL i ACL dva načina.

Odavde.

Dokazi 5

Neka je α= VI,φ= BLA. Po teoremi sinusa u trouglu ABL

I u trouglu ACL.

jer ,

Zatim, dijeleći obje strane jednakosti na odgovarajuće dijelove druge, dobivamo.

Problem 1

Dato: U trouglu ABC, VC je simetrala, BC = 2, KS = 1,

Rješenje:

Problem 2

Dato:

Nađi simetrale oštrih uglova pravokutnog trokuta s katetama 24 i 18

Rješenje:

Neka je strana AC = 18, strana BC = 24,

A.M. - simetrala trougla.

Koristeći Pitagorinu teoremu nalazimo,

da je AB = 30.

Od tada

Na sličan način pronađimo drugu simetralu.

odgovor:

Problem 3

U pravouglu ABC sa pravim uglom B simetrala ugla A prelazi stranu B.C.

U tački D. Poznato je da je BD = 4, DC = 6.

Pronađite površinu trokuta ADC

Rješenje:

Po svojstvu simetrale trougla

Označimo AB = 2 x, AC = 3 x. Po teoremu

Pitagora BC 2 + AB 2 = AC 2, ili 100 + 4 x 2 = 9 x 2

Odavde to nalazimo x = Tada je AB = , S ABC=

dakle,

Problem 4

Dato:

U jednakokračnom trouglu ABC strana AB jednako 10, baza Klima je 12.

Simetrale uglova A i C seku u tački D. Pronađite BD.

Rješenje:

Budući da se simetrale trokuta sijeku u

Jedna tačka, tada je BD simetrala od B. Nastavimo BD do raskrsnice sa AC u tački M. Tada je M središte AC, BM AC. Zbog toga

Jer CD - simetrala trougla BMC onda

Stoga,.

odgovor:

Teorema 4. Tri simetrale trougla seku se u jednoj tački.

Zaista, hajde da prvo razmotrimo tačku P preseka dve simetrale, na primer AK 1 i VK 2 . Ova tačka je podjednako udaljena od stranica AB i AC, jer leži na simetraliA, i jednako je udaljena od stranica AB i BC, jer pripada simetraliB. To znači da je jednako udaljena od stranica AC i BC i stoga pripada trećoj simetrali SC 3 , odnosno u tački P sijeku se sve tri simetrale.

Formule za pronalaženje simetrale
Teorema 5: (prva formula za simetralu): Ako je u trouglu ABC odsječak AL simetrala A, tada AL² = AB·AC - LB·LC.

dokaz: Neka je M tačka preseka prave AL sa kružnicom opisanom oko trougla ABC (slika 41). Ugao BAM je po uvjetu jednak kutu MAC. Uglovi BMA i BCA su kongruentni kao upisani uglovi savijeni istom tetivom. To znači da su trouglovi BAM i LAC slični u dva ugla. Prema tome, AL: AC = AB: AM. To znači AL · AM = AB · AC AL · (AL + LM) = AB · AC AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Q.E.D.

Teorema 6: . (druga formula za simetralu): U trouglu ABC sa stranicama AB=a, AC=b iA jednako 2α i simetrala l, vrijedi jednakost:
l = (2ab / (a+b)) cosα.

Dokaz : Neka je ABC dati trougao, AL njegova simetrala, a=AB, b=AC, l=AL. Zatim S ABC = S ALB + S ALC . Dakle, ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. Teorema je dokazana.

Teorema 7: Ako su a, b stranice trokuta, Y je ugao između njih,je simetrala ovog ugla. Onda.

SVOJSTVA BISEKTRIKE

Svojstvo simetrale: U trouglu, simetrala dijeli suprotnu stranu na segmente proporcionalne susjednim stranicama.

Simetrala vanjskog ugla Simetrala vanjskog ugla trougla siječe produžetak njegove stranice u tački, udaljenosti od koje do krajeva ove stranice su proporcionalne susjednim stranicama trougla, respektivno. C B A D

Formule za dužinu simetrale:

Formula za određivanje dužina segmenata na koje simetrala dijeli suprotnu stranu trokuta

Formula za pronalaženje omjera dužina odsječaka na koje je simetrala podijeljena točkom presjeka simetrala

Zadatak 1. Jedna od simetrala trougla podijeljena je točkom presjeka simetrala u omjeru 3:2, računajući od temena. Nađite obim trokuta ako je dužina stranice trougla na koju je povučena ova simetrala 12 cm.

Rješenje Koristimo formulu da pronađemo omjer dužina odsječaka na koje je podijeljena simetrala točkom presjeka simetrala u trokutu:   a + c = = 18  P ∆ ABC = a + b + c = b +(a + c) = 12 + 18 = 30. Odgovor: P = 30cm.

Zadatak 2. Simetrale BD i CE ∆ ABC seku se u tački O. AB=14, BC=6, AC=10. Pronađite O D.

Rješenje. Koristimo formulu da pronađemo dužinu simetrale: Imamo: BD = BD = = Prema formuli za omjer segmenata na koje je simetrala podijeljena točkom presjeka simetrala: l = . 2 + 1 = ukupno 3 dijela.

ovo je dio 1  OD = Odgovor: OD =

Zadaci U ∆ ABC nacrtane su simetrale AL i BK. Odredite dužinu odsječka KL ako je AB = 15, AK =7,5, BL = 5. Na ∆ ABC nalazi se simetrala AD, a kroz tačku D prava paralelna sa AC i siječe AB u tački E. Nađite omjer površine ∆ ABC i ∆ BDE , ako je AB = 5, AC = 7. Nađi simetrale oštrih uglova pravouglog trougla sa katetama 24 cm i 18 cm. U pravokutnom trokutu simetrala oštrog ugla dijeli suprotnu nogu na segmente dužine 4 i 5 cm. Odredite površinu trokuta.

5. U jednakokrakom trouglu osnovica i stranica jednake su 5, odnosno 20 cm. Naći simetralu ugla u osnovi trougla. 6. Naći simetralu pravog ugla trougla čiji su kraci jednaki a i b. 7. Izračunaj dužinu simetrale ugla A trougla ABC sa dužinama stranica a = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm. 8. U trouglu ABC, dužine stranica AB, BC i AC su u odnos 2:4:5, respektivno. Odrediti omjer u kojem su simetrale unutrašnjih uglova podijeljene u tački njihovog sjecišta.

Odgovori: Odgovor: Odgovor: Odgovor: Odgovor: Odgovor: Odgovor: Odgovor: Odgovor: Odgovor: Odgovor: AP = 6 AP = 10 cm KL = CP =