Uparivanje naziva se glatki prijelaz duž krive od jedne linije do druge. Konjugacije mogu biti kružne ili zakrivljene. Njihova konstrukcija se zasniva na svojstvima tangenti na krive linije. Konjugacija ravnih segmenata sa kružnim krivuljama bit će moguća ako je tačka konjugacije i tačka tangente prave linije na luk krive. Prema tome, radijus ugla mora biti okomit na liniju u tački kontakta.

Konjugacija kružnih krivulja je moguća kada je tačka konjugacije ujedno i tačka tangente spojnih lukova. Prema tome, tačka dodira mora biti na liniji centara kružnih lukova.

Konjugacija linija koje se seku:

Primjer 1. Date su prave koje se seku AB i BC i poluprečnik konjugacije R; potrebno je upariti linije (sl. 66, a, b, c).

Konjugacija će biti moguća ako su prave AB i BC tangente na kružnicu poluprečnika R. Da biste pronašli centar ove kružnice

potrebno je povući pomoćne prave na rastojanju R paralelno sa datim pravima sve dok se ne seku u tački 0. Iz tačke O, kao iz centra, povučen je luk poluprečnika R. Vezne tačke će biti tačke M i H, određene presjekom pravih AB i BC sa okomitima na njih palim iz tačke O.

Primjer 2. Date su prave koje se seku AB i BC i konjugirani poluprečniki R i R1. Konstruisanje konjugacije je moguće ako je ugao a<90.

Metoda za konstruisanje takvog uparivanja prikazana je na Sl. 66, g.

Konjugirajte paralelne prave

Primjer 1. Date su dvije paralelne prave AB i CE i spojne tačke B i C (sl. 67).

Potrebno je konstruisati glatku konjugaciju pomoću kružnih krivulja tako da ona prolazi kroz datu tačku K, u sredini segmenta BC.

Da bismo odredili polumjere i središta lukova konjugacije, dijelimo segmente BK i KS pravim linijama tako da budu okomiti na te segmente i dijelimo ih na pola. Budući da polumjer konjugacije mora biti okomit na pravu u tački konjugacije, da bismo pronašli središta O lukova konjugacije, vraćamo okomite iz tačaka B i C sve dok se ne sijeku s prethodno nacrtanim okomicama na pravu BC.

Točke sjecišta ovih okomica odredit će položaj centara spojeva O-O, a jednaki segmenti 05 i OS će dati vrijednosti poluprečnika spojeva.

Primjer 2(Sl. 68), Ovaj primjer se razlikuje od prethodnog

činjenica da je tačka K na pravoj BC uzeta proizvoljno, na određenoj udaljenosti e od prave CE; stoga su radijusi spojeva R i R1 različiti po veličini. Proces konstruisanja spojeva je isti kao u prethodnom primjeru.

P i m e p 3. Dato je: rastojanje između dve paralelne prave AB i CE, jednako zbiru konjugiranih poluprečnika R i R1, i konjugirajuće tačke B (Sl. 69).

Da biste konstruirali konjugaciju, povucite paralelno sa AB na udaljenosti R pomoćnu pravu liniju 0-01. Centar mate 0 za poluprečnik R će biti na preseku okomice povučene iz tačke B na pomoćnu liniju. Opisujući luk poluprečnika R iz tačke O, nalazimo tačku K, iz koje sa poluprečnikom R1 pravimo zarez na pomoćnoj liniji koja definiše centar konjugacije O1. Iz tačke O1 spuštamo okomicu na pravu liniju CE i, nakon što smo pronašli tačku konjugacije C, konjugiramo tačke K i C sa lukom poluprečnika R1.

Konjugacija kružnog luka sa pravom linijom

Primjer 1. Konstruirajmo konjugaciju luka poluprečnika R sa pravom linijom AB poluprečnika R1 (slika 70). Da biste to učinili, morate pronaći centar konjugacije 0 i tačke konjugacije C i a. Tačka C je također tačka njihove dodirne tačke i mora ležati na liniji centara ovih lukova. Poluprečnik ugla mora biti okomit na pravu AB u tački tangente a. Dakle, iz centra O opisujemo luk poluprečnika jednak zbiru R+R1.

Na njemu će se nalaziti centar konjugacije 0, da bismo odredili koji povlačimo pomoćnu liniju paralelnu sa AB na udaljenosti R1 sve dok se ne siječe s nacrtanim lukom. Povezivanjem tačaka O1 i O nalazimo tačku konjugacije C. Da bismo odredili tačku a, ispustimo okomicu sa O1 na AB. Zatim, poluprečnikom R1 iz centra O1 konjugiramo tačke a i C.

Primjer 2. Dati su: luk polumjera R, prava AB i tačka konjugacije a. Potrebno je pronaći tačku spajanja C i radijus spajanja R1 (Sl. 71). Kroz tačku a povučemo okomicu na AB, na koju položimo odsječak aK, jednak R. Povezujemo centar O sa tačkom K. Da bismo pronašli centar konjugacije O1, povlačimo okomitu liniju kroz sredinu odsječak OK, koji će se sjeći pravom aK u tački O1, povezujući O1 sa O, pronaći tačku konjugacije C.

Konjugacija kružnih lukova sa kružnim lukom

Konjugacija kružnih lukova može biti spoljašnja (Sl. 72) ili unutrašnja (Sl. 73). U oba slučaja konjugacije su izvodljive: 1) ako je rastojanje C između centara O i 01 spojnih lukova veće od zbira njihovih poluprečnika R i R1 (sl. 72, a i 73, a), tj. C>R+R1 i 2) kada je C =C+R1 ili R1>=C+R. Za vanjsku konjugaciju lukova, konjugacija će također biti nemoguća ako je polumjer konjugirajućeg luka R2 manji od polurazlike C - (R+R1), tj. R2<

<(C-(R+R1))/2. Во всех случаях решение за­дачи сводится к на­хождению центра 02 сопрягающей дуги ра­диуса R2 и точек со­пряжения A и В.

Eksterno uparivanje. Dati su: lukovi poluprečnika R i R1, rastojanje C između centara ovih lukova i poluprečnik konjugacije R2 (slika 72,a). Potrebno je konstruisati konjugaciju pod uslovom da je C>R+R1.

Za konstruiranje konjugacije potrebno je odrediti centar 02 i tačke konjugacije L i B. Da biste pronašli centar 02, povucite luk poluprečnika R2+R iz centra O, a luk poluprečnika R2+R1 iz centra O. centar O1 Presjek ovih lukova odredit će centar 02. Povezivanjem centara O i 01 pravim linijama sa centrom 02, nalazimo na sjecištu ovih pravih sa odgovarajućim lukovima tačke konjugacije A i B. Konjugiramo tačke. rezultirajuće tačke poluprečnika R2.

Izrada konjugacije za slučaj kada je C

Interno uparivanje. Dati su: lukovi poluprečnika R i R1, rastojanje C između centara ovih lukova i poluprečnik konjugacije R2 (slika 73, a). Potrebno je konstruisati konjugaciju ako je C>R+R1 Rješenje ovog problema je isto kao i prethodnog, s jedinom razlikom što su lukovi polumjera R2 - R i R2 - R1 povučeni iz centara O i O1.

Na sl. 73, b prikazuje konstrukciju konjugacije za slučaj kada je C

List br. 4

Svrha zadatka: upoznavanje sa pravilima za konstruisanje glatkog prelaza iz jedne linije u drugu.

Dovršite zadatak “Konjugacija” na A4 listu, uzimajući podatke za svoju opciju iz Tabele 6 (str. 38-41).

Povezivanjem vodova naziva se glatki prijelaz duž krive od jedne linije do druge. Tačka spajanja linija Zove se zajednička tačka dve konjugirane prave, to je tačka u kojoj jedna prava prelazi u drugu.

Konjugacija se zasniva na geometrijskim konceptima pravih linija, tangenta na kružnice i na svojstvima kružnica koje se međusobno dodiruju.

Da biste ispravno završili crteže, morate biti u stanju da konstruišete spojeve, koji se zasnivaju na dve odredbe:

1. Za konjugaciju prave linije i luka potrebno je da centar kružnice kojoj luk pripada leži na okomici na pravu liniju, vraćenu iz tačke konjugacije (slika 38). Prilikom spajanja prave i krive, prava linija mora biti istovremeno tangenta na krivu.

2. Za konjugaciju dva luka potrebno je da centri kružnica kojima lukovi pripadaju leže na pravoj liniji koja prolazi kroz tačku konjugacije i okomita na zajedničku tangentu ovih lukova (slika 38). Tačka konjugacije nalazi se na pravoj liniji koja povezuje središta krugova. Tačka konjugacije (B) je granica dvije linije ovdje jedna linija završava, a druga počinje. Prema tome, tačke konjugacije su u isto vrijeme tangente prave linije i luka ili dva luka.

Slika 38 – Izgradnja parnika

Hajde da razmotrimo konstruisanje spojeva strana ugla(oštar, tup, pravi) lukom datog radijusa R (slika 39).

Na slici 39a je konstruisano uparivanje stranica oštrog ugla sa lukom, na slici 39b - tupi ugao, na slici 39c - pravi ugao.

Konjugacija se izvodi na sljedeći način: dvije pomoćne ravne linije povlače se paralelno sa stranama ugla na udaljenosti jednakoj polumjeru luka R. Tačka preseka ovih linija biće centar luka poluprečnika R, tj. centar za parenje. Od centra O opisuju luk koji se glatko pretvara u ravne linije - strane ugla. Luk se završava u tačkama M i N - to su tačke konjugacije, to su osnove okomica spuštenih od centra O do strana ugla.

Slika 39 – Izgradnja parnika

Hajde da razmotrimo konstruisanje interfejsa luka-luka.

Konjugacija dva luka kružnica može biti unutrašnja, eksterna ili mješovita.

Kod unutrašnje konjugacije, centri O i O 1 spojnih lukova nalaze se unutar spojnog luka poluprečnika R (Slika 40a).

Kod eksterne konjugacije, centri O i O 1 spojnih lukova poluprečnika R 1 i R 2 nalaze se izvan spojnog luka poluprečnika R (slika 40b).

Kod mješovite konjugacije, centar O 1 jednog od spojnih lukova leži unutar spojnog luka poluprečnika R, a centar O drugog spojnog luka nalazi se izvan njega (slika 40c).

A) b) V)

Slika 40 – Izgradnja parnika

Izgradnja internog interfejsa.

a) radijusi spojnih kružnica R 1 i R 2;

b) udaljenost l 1 I l 2 između centara ovih lukova;

c) poluprečnik R konjugovanog luka.

Obavezno:

c) nacrtati spojni luk.

Konstrukcija interfejsa je prikazana na slici 40a. Na određenim udaljenostima između centara l 1 I l 2 na crtežu su označeni centri O i O 1 iz kojih su opisani konjugirani lukovi poluprečnika R 1 i R 2. Iz središta O 1 povučen je pomoćni luk kružnice poluprečnika koji je jednak razlici poluprečnika spojnog luka R i spojnog luka R 2 , a iz centra O - poluprečnika jednakim razlici u poluprečnika spojnog luka R i spojnog luka R 1 . Pomoćni lukovi će se ukrštati u tački O 2, koja će biti željeni centar konjugovanog luka.

Za pronalaženje tačaka spajanja, tačka O 2 se pravim linijama povezuje sa tačkama O i O 1. Tačke preseka nastavka linija O 2 O i O 2 O 1 sa spojnim lukovima su tražene tačke konjugacije (tačke S i S 1).

Sa poluprečnikom R od centra O 2, između tačaka spajanja S i S 1 povučen je vezni luk.

Izgradnja eksternog interfejsa.

b) udaljenost l 1 I l 2 između centara ovih lukova;

c) poluprečnik R konjugovanog luka.

Obavezno:

a) odrediti položaj centra O 2 spojnog luka;

b) naći spojne tačke S i S 1;

c) nacrtati spojni luk.

Konstrukcija eksternog interfejsa prikazana je na slici 40b. Na određenim razmacima između centara l 1 I l 2 na crtežu su označeni centri O i O 1 iz kojih su opisani konjugirani lukovi poluprečnika R 1 i R 2. Iz centra O nacrtajte pomoćni luk kruga poluprečnika jednakim zbroju poluprečnika spojnog luka R 1 i spojnog luka R, a iz centra O 1 - poluprečnika jednakim zbroju poluprečnika spojnog luka R 2 i spojnog luka R. Pomoćni lukovi će se ukrštati u tački O 2, koja će biti željeni centar spojnog luka.

Da bismo pronašli spojne tačke, centri lukova su povezani pravim linijama OO 2 i O 1 O 2. Ove dvije prave sijeku konjugirane lukove u tačkama konjugacije S i S1.

Iz centra O 2 polumjera R povlači se konjugacijski luk koji ga ograničava na konjugacijske točke S i S 1.

Konstrukcija mješovite konjugacije.

a) radijusi R 1 i R 2 spojenih kružnih lukova;

b) udaljenost l 1 I l 2 između centara ovih lukova;

c) poluprečnik R konjugovanog luka.

Obavezno:

a) odrediti položaj centra O 2 spojnog luka;

b) naći spojne tačke S i S 1;

c) nacrtati spojni luk.

Primjer mješovitog uparivanja prikazan je na slici 41 a, b.

a) b)

Slika 41 – Izgradnja parnika

Na određenim razmacima između centara l 1 I l 2 na crtežu su označeni centri O i O 1 iz kojih su opisani konjugirani lukovi poluprečnika R 1 i R 2. Iz centra O povlači se pomoćni luk kruga polumjera jednakim zbroju polumjera spojnog luka R 1 i spojnog luka R, a iz središta O 1 - polumjera jednakim razlici između radijusi R i R 2. Pomoćni lukovi će se ukrštati u tački O 2, koja će biti željeni centar konjugovanog luka.

Povezivanjem tačaka O i O 2 pravom linijom dobijamo tačku konjugacije S 1, povezivanjem tačaka O 1 i O 2 nalazimo tačku konjugacije S. Iz centra O 2 povucite konjugacijski luk od S do S 1 .

Tabela 6 – Opcije za grafički rad za konstruisanje interfejsa

Nastavak tabele 6

U ovom kratkom članku će se raspravljati o glavnim vrstama konjugacija i naučit ćete kako konstruirati konjugaciju uglova, ravnih linija, krugova i lukova, kružnica s ravnom linijom.

Uparivanje se zove glatki prelazak iz jedne linije u drugu. Da biste izgradili partnera, morate pronaći centar partnera i tačke za sparivanje.

Tačka parenja– ovo je zajednička tačka za linije parenja. Tačka spajanja se takođe naziva prelazna tačka.

U nastavku ćemo razgovarati o glavnom tipovi partnera.

Konjugacija uglova (Konjugacija linija koje se seku)

Konjugacija pod pravim uglom (Konjugacija linija koje se seku pod pravim uglom)

U ovom primjeru ćemo razmotriti konstrukciju pravi ugao kolega sa datim radijusom konjugacije R. Prije svega, pronađimo točke konjugacije. Da biste pronašli spojne tačke, morate postaviti šestar na vrh pravog ugla i nacrtati luk polumjera R dok se ne siječe sa stranama ugla. Rezultirajuće tačke će biti tačke povezivanja. Zatim morate pronaći centar partnera. Središte spojnice će biti tačka jednako udaljena od strana ugla. Nacrtajmo dva luka sa radijusom konjugacije R iz tačaka a i b dok se ne sijeku jedan s drugim. Tačka O dobijena na raskrsnici će biti centar konjugacije. Sada, iz centra konjugacije tačke O, opisujemo luk sa radijusom konjugacije R od tačke a do tačke b. Konstruisana je konjugacija pravog ugla.

Konjugacija oštrog ugla (Konjugacija linija koje se seku pod oštrim uglom)

Još jedan primjer konjugiranja ugla. Ovaj primjer će se izgraditi uparivanje
oštar ugao. Da bismo konstruirali konjugaciju oštrog ugla sa otvorom kompasa jednakim poluprečniku konjugacije R, povlačimo dva luka iz dvije proizvoljne tačke na svakoj strani ugla. Zatim povlačimo tangente na lukove dok se ne sijeku u tački O, centru konjugacije. Iz rezultirajućeg mate centra spuštamo okomitu stranu na svaku stranu kuta. Na ovaj način dobijamo spojne tačke a i b. Zatim, iz centra spoja, tačke O, povlačimo luk sa poluprečnikom spojnice R, koji povezuje tačke parenja a
i b. Konstruira se konjugacija oštrog ugla.

Konjugacija tupog ugla (Konjugacija linija koje se seku pod tupim uglom)

Konstruira se po analogiji sa konjugacijom oštrog ugla. Također prvo povlačimo dva luka sa radijusom konjugacije R iz dvije proizvoljno odabrane točke sa svake strane, a zatim povlačimo tangente na ove lukove dok se ne sijeku u tački O, centru konjugacije. Zatim spuštamo okomice iz središta konjugacije na svaku od strana i spojimo rezultirajuće točke a i b s lukom jednakim polumjeru konjugacije tupog kuta R.

Uparivanje paralelnih pravih linija

Hajde da gradimo konjugacija dve paralelne prave. Data nam je tačka konjugacije a koja leži na istoj pravoj. Iz tačke a povlačimo okomicu dok se ne siječe s drugom pravom u tački b. Tačke a i b su spojne tačke pravih linija. Crtajući luk iz svake tačke poluprečnika većeg od segmenta ab, nalazimo centar konjugacije - tačku O. Iz centra konjugacije povlačimo luk datog poluprečnika konjugacije R.

Uparivanje krugova (lukova) sa pravom linijom

Eksterna konjugacija luka i prave linije

U ovom primeru, konjugacija prave linije definisane segmentom AB i kružnog luka poluprečnika R biće konstruisana sa datim poluprečnikom r.

Prvo, pronađimo centar konjugacije. Da biste to učinili, nacrtajte ravnu liniju paralelnu segmentu AB i udaljenu od njega razmakom radijusa konjugacije r i luk od centra kružnice OR polumjera R+r. Točka presjeka luka i prave bit će centar konjugacije - tačka Or.

Iz centra konjugacije, tačke Or, spuštamo okomicu na pravu AB. Tačka D, dobijena na sjecištu okomice i segmenta AB, bit će tačka konjugacije. Nađimo drugu tačku konjugacije na luku kružnice. Da biste to učinili, povežite centar kruga ILI i centar konjugacije Ili linijom. Dobijamo drugu tačku konjugacije - tačku C. Iz centra konjugacije povlačimo konjugacijski luk radijusa r, koji povezuje tačke konjugacije.

Unutrašnja konjugacija prave linije sa lukom

Po analogiji se konstruiše unutrašnja konjugacija prave linije sa lukom. Razmotrimo primjer konstruiranja konjugacije prave linije poluprečnika r, određenog segmentom AB, i kružnog luka poluprečnika R. Nađimo centar konjugacije. Da bismo to uradili, konstruisaćemo pravu liniju paralelnu sa segmentom AB i udaljenu od njega rastojanjem poluprečnika r, i luk od centra kružnice OR poluprečnika R-r. Tačka Or, dobijena na presjeku prave linije i luka, bit će centar konjugacije.

Iz centra konjugacije (tačka Or) spuštamo okomicu na pravu liniju AB. Tačka D, dobijena na osnovu okomice, biće tačka spajanja.

Da biste pronašli drugu tačku konjugacije na luku kružnice, povežite centar konjugacije Or i centar kruga OR pravom linijom. Na presjeku prave sa lukom kružnice, dobijamo drugu tačku konjugacije - tačku C. Iz tačke Or, centra konjugacije, povlačimo luk poluprečnika r, koji povezuje tačke konjugacije.

Konjugirani krugovi (lukovi)

Eksterno uparivanje razmatra se konjugacija u kojoj se centri spojnih krugova (lukova) O1 (radijus R1) i O2 (radijus R2) nalaze iza konjugirajućeg luka poluprečnika R. U primjeru se razmatra eksterna konjugacija lukova. Prvo nalazimo centar konjugacije. Centar konjugacije je tačka preseka lukova kružnica poluprečnika R+R1 i R+R2, konstruisanih iz centara kružnica O1(R1) i O2(R2), respektivno. Zatim povezujemo centre kružnica O1 i O2 pravim linijama sa središtem spoja, tačkom O, i na presjeku pravih sa kružnicama O1 i O2 dobijamo tačke spoja A i B. Nakon toga, iz čvorište konstruišemo luk datog radijusa spoja R i povezujemo tačke A i B sa njim.

Interno uparivanje naziva se konjugacija u kojoj se centri spojnih lukova O1, poluprečnika R1 i O2, poluprečnika R2, nalaze unutar konjugiranog luka datog poluprečnika R. Na slici ispod prikazan je primer konstruisanja unutrašnje konjugacije kružnica (lukova) . Prvo, nalazimo centar konjugacije, a to je tačka O, tačka preseka kružnih lukova poluprečnika R-R1 i R-R2 povučenih iz centara kružnica O1 i O2, respektivno. Zatim povezujemo centre kružnica O1 i O2 pravim linijama sa centrom za spajanje i na presjeku pravih sa kružnicama O1 i O2 dobijamo mate tačke A i B. Zatim iz mate centra konstruišemo spojni luk poluprečnika R i konstruirajte srodnu vezu.

Mixed arc mate je konjugacija u kojoj centar jednog od spojenih lukova (O1) leži izvan konjugiranog luka poluprečnika R, a centar drugog kruga (O2) leži unutar njega. Ilustracija ispod prikazuje primjer mješovite konjugacije krugova. Prvo nalazimo centar spojnice, tačku O. Da bismo pronašli centar spojnice, gradimo lukove krugova poluprečnika R+R1, od centra kružnice poluprečnika R1 tačke O1, i R-R2, iz centra kružnice poluprečnika R2 tačke O2. Zatim pravimo povezujemo centar konjugacijske tačke O sa centrima kružnica O1 i O2 i na preseku sa linijama odgovarajućih kružnica dobijamo tačke konjugacije A i B. Zatim gradimo konjugaciju.

Poglavlje 3. NEKE GEOMETRIJSKE KONSTRUKCIJE

§ 14. Opšte informacije

Prilikom izvođenja grafičkih radova morate riješiti mnoge građevinske probleme. Najčešći zadaci u ovom slučaju su dijeljenje pravih segmenata, uglova i kružnica na jednake dijelove, konstruiranje različitih veza linija s lukovima kružnica i lukovima kružnica međusobno. Konjugacija je glatki prijelaz kružnog luka u pravu liniju ili u luk drugog kruga.

Najčešći zadaci uključuju konstruiranje sljedećih konjugacija: dvije ravne linije sa kružnim lukom (zaokruživanje uglova); dva luka kružnica u pravoj liniji; dva luka kružnica sa trećim lukom; luk i pravi drugi luk.

Konstrukcija spojeva je povezana sa grafičkim određivanjem centara i tačaka spoja. Prilikom konstruiranja konjugacije široko se koriste geometrijske lokacije tačaka (prave tangentne na kružnicu; kružnice tangentne jedna na drugu). To je zato što se zasnivaju na principima i teoremama geometrije.

10. Pitanja za samotestiranje

PITANJA ZA SAMOTEST

15. Koja ravna kriva se zove evolventa?

15. Podjela segmenta linije

§ 15. Podjela segmenta linije

Za podjelu datog segmenta AB na dva jednaka dijela, tačke njegovog početka i kraja uzimaju se kao centri iz kojih se povlače lukovi poluprečnika koji prelazi polovinu segmenta AB. Lukovi se povlače do međusobnog preseka, gde se dobijaju tačke WITH I D. Prava koja povezuje ove tačke će podijeliti segment u tački TO na dva jednaka dela (sl. 30, A).

Za podjelu linije AB za dati broj jednakih sekcija P, pod bilo kojim oštrim uglom do AB nacrtati pomoćnu ravnu liniju na kojoj odlaze od zajedničke date prave tačke P jednaki preseci proizvoljne dužine (Sl. 30, b). Od poslednje tačke (šeste na crtežu) povucite pravu liniju do tačke IN i kroz tačke 5, 4, 3, 2, 1 povući prave linije paralelne sa segmentom 6B. Ove ravne linije će se odsjeći na segmentu AB dati broj jednakih segmenata (u ovom slučaju 6).

Rice. 30 Podjela datog segmenta AB na dva jednaka dijela

slika:

16. Podjela kruga

§ 16. Podjela kruga

Da biste krug podijelili na četiri jednaka dijela, nacrtajte dva međusobno okomita prečnika: u njihovom preseku sa kružnicom dobijamo tačke koje dele krug na četiri jednaka dela (slika 31, a).

Da bi se krug podijelio na osam jednakih dijelova, lukovi jednaki četvrtini kruga dijele se na pola. Da biste to učinili, iz dvije točke koje ograničavaju četvrtinu luka, kao iz središta polumjera kruga, izrađuju se zarezi izvan njegovih granica. Rezultirajuće tačke se povezuju sa središtem krugova i na njihovom preseku sa linijom kružnice dobijaju se tačke koje dele četvrtine preseka na pola, odnosno dobija se osam jednakih preseka kružnice (slika 31, b).

Krug je podijeljen na dvanaest jednakih dijelova na sljedeći način. Podijelite krug na četiri dijela sa međusobno okomitim prečnicima. Uzimanje tačaka preseka prečnika sa kružnicom A B C D iza centara povlače se četiri luka istog polumjera dok se ne ukrste s kružnicom. Rezultirajući bodovi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i bodovi A B C D podijelite krug na dvanaest jednakih dijelova (slika 31, c).

Koristeći radijus, lako je podijeliti krug na 3, 5, 6, 7 jednakih dijelova.

Rice. 31 Koristeći radijus, lako je podijeliti krug na nekoliko jednakih dijelova.

slika:

17. Zaokruživanje uglova

§ 17. Zaokruživanje uglova

Konjugacija dvije prave linije koje se seku sa lukom datog radijusa naziva se zaokruživanje ugla. Izvodi se na sljedeći način (slika 32). Paralelno sa stranama ugla koji formiraju podaci

prave linije, nacrtajte pomoćne prave linije na udaljenosti jednakoj poluprečniku. Točka presjeka pomoćnih linija je središte luka zavoja.

Iz primljenog centra O spuštaju okomite na stranice zadanog ugla i na njihovom presjeku dobijaju spojne tačke A a B. Između ovih tačaka nacrtajte konjugirani luk poluprečnika R od centra O.

Rice. 32 Konjugacija dviju pravih linija koje se seku sa lukom datog radijusa naziva se zaokruženje uglova

slika:

18. Konjugacija kružnih lukova sa pravom linijom

§ 18. Konjugacija kružnih lukova sa pravom linijom

Prilikom konstruiranja konjugacije kružnih lukova s ​​pravom linijom, mogu se uzeti u obzir dva problema: konjugirana prava linija ima vanjsku ili unutrašnju tangentnost. U prvom problemu (slika 33, A) od centra luka

manji radijus R1 povući tangentu na pomoćnu kružnicu povučenu radijusom R- R.I. Njena kontaktna tačka Co. koristi se za izgradnju spojne tačke A na luku poluprečnika R.

Da dobijem drugu tačku partnera A 1 na luku poluprečnika R 1 nacrtati pomoćnu liniju O 1 A 1 paralelno O A. Tačke A i A 1 presjek vanjske tangente će biti ograničen.

Zadatak konstruisanja unutrašnje tangente (sl. 33, b) može se riješiti ako se konstruira pomoćni krug s polumjerom jednakim R + R 1,

Rice. 33 Konjugacija kružnih lukova sa pravom linijom

slika:

19. Konjugacija dva kružna luka sa trećim lukom

§ 19. Konjugacija dva luka kružnica sa trećim lukom

Kada se konstruiše konjugacija dva kružna luka sa trećim lukom datog poluprečnika, mogu se uzeti u obzir tri slučaja: kada je konjugujući luk poluprečnika R dodiruje date lukove poluprečnika R 1 I R 2 spolja (sl. 34, a); kada stvori unutrašnji dodir (slika 34, b); kada se kombinuju unutrašnji i spoljašnji dodiri (slika 34, c).

Izgradnja centra O radijus konjugovanog luka R kada se dodiruje spolja, vrši se sledećim redosledom: od centra O 1 poluprečnik jednak R + R 1, nacrtajte pomoćni luk i iz centra O2 nacrtati pilot luk sa radijusom R + R 2 . Na presjeku lukova dobija se centar O radijus konjugovanog luka R, i na raskrsnici sa radijusom R + R 1 I R + R 2 s lukovi krugova se koriste za dobijanje tačaka spajanja A I A 1.

Izgradnja centra O sa unutrašnjim dodirom, po tome se razlikuje od centra O 1 R- R 1 a od centra O 2 radijus R- R2. Prilikom kombinovanja unutrašnjeg i spoljašnjeg dodira iz centra O 1 nacrtajte pomoćnu kružnicu poluprečnika jednakim R- R1, i iz centra O 2- radijus jednak R + R 2 .

20. Konjugacija kružnog luka i prave linije sa drugim lukom

§ 20. Konjugacija kružnog luka i prave linije sa drugim lukom

Ovdje se mogu uzeti u obzir dva slučaja: eksterna sprega (slika 35, a) i unutrašnja (slika 35, b). U oba slučaja, kada se konstruiše konjugirani luk radijusa R mate center O leži na presjeku geometrije tačaka jednako udaljenih od prave linije i luka polumjera R po iznosu R1.

Prilikom konstruiranja vanjskog ugla paralelnog datoj pravoj liniji na udaljenosti R 1 povucite pomoćnu liniju prema krugu i od centra O poluprečnik jednak R + R 1,- pomoćni krug, a na njihovom preseku se dobija tačka O 1- centar konjugiranog kruga. Iz ovog centra sa radijusom R nacrtati konjugirani luk između tačaka A I A 1,čija se konstrukcija vidi sa crteža.

Konstrukcija unutrašnje konjugacije razlikuje se od centralne O nacrtati pomoćni luk poluprečnika jednak R- R1.

Slika 34 Eksterna konjugacija kružnog luka i prave linije sa drugim lukom

slika:

Slika 35 Unutrašnja konjugacija kružnog luka i prave linije sa drugim lukom

slika:

21. Ovali

§21. Ovale

Glatke konveksne krivulje ocrtane kružnim lukovima različitih polumjera nazivaju se ovali. Ovale se sastoje od dva potporna kruga sa unutrašnjim spojnicama između njih.

Postoje ovalni sa tri i više centara. Prilikom crtanja mnogih dijelova, kao što su bregovi, prirubnice, poklopci i drugi, njihove konture se ocrtavaju ovalima. Razmotrimo primjer konstruiranja ovala duž datih osa. Neka je oval sa četiri centra ocrtan sa dva noseća luka polumjera R i dva konjugirana luka polumjera r , glavna osa je specificirana AB i mala osa CD. Veličina radijusa R u r mora biti određena konstrukcijom (Sl. 36). Spojite krajeve velike i male ose sa segmentom A SA, na kojoj ucrtavamo razliku SE velika i mala poluosovina ovala. Nacrtajte okomicu na sredinu segmenta AF, koji će presijecati veliku i malu os ovala u tačkama O 1 I O 2. Ove tačke će biti centri konjugirajućih lukova ovala, a konjugirajuća tačka će ležati na samoj okomici.

Rice. 36 Glatke konveksne krivulje ocrtane lukovima krugova različitih polumjera nazivaju se ovali

22. Krive uzoraka

§ 22. Krive uzorka

Patterned nazivaju se ravne krive nacrtane pomoću uzoraka iz prethodno konstruiranih tačaka. Krive uzorka uključuju: elipsu, parabolu, hiperbolu, cikloidu, sinusoidu, evolventu, itd.

Elipsa je zatvorena ravna kriva drugog reda. Karakterizira ga činjenica da je zbir udaljenosti od bilo kojeg od njegovih

Rice. 37

tačke do dvije fokusne tačke je konstantna vrijednost jednaka velikoj osi elipse. Postoji nekoliko načina da se konstruiše elipsa. Na primjer, možete konstruirati elipsu od njenog najvećeg AB i mali CD ose (slika 37, a). Na osi elipse, kao i na prečnicima, konstruisana su dva kruga, koji se poluprečnikom mogu podeliti na više delova. Kroz podjelne točke velikog kruga povlače se ravne paralelne s malom osom elipse, a kroz podjelne točke malog kruga povlače se prave paralelne s velikom osom elipse. Tačke preseka ovih pravih su tačke elipse.

Možete dati primjer konstruiranja elipse koristeći dva konjugirana prečnika (slika 37, b ) MN i KL. Dva prečnika se nazivaju konjugiranim ako svaki od njih deli tetive paralelne drugom prečniku. Paralelogram se konstruiše na konjugovanim prečnicima. Jedan od prečnika MN podijeljeno na jednake dijelove; Stranice paralelograma paralelne sa drugim prečnikom takođe su podeljene na iste delove, numerišući ih kao što je prikazano na crtežu. Od krajeva drugog prečnika konjugata KL Zraci se prolaze kroz tačke podjele. Na preseku istoimenih zraka dobijaju se tačke elipse.

Parabola naziva se otvorena kriva drugog reda, čije su sve tačke podjednako udaljene od jedne tačke - fokusa i od date prave linije - direktrise.

Razmotrimo primjer konstruiranja parabole iz njenog vrha O i bilo koje tačke IN(Sl. 38, A). WITH u tu svrhu se gradi pravougaonik OABC i podijelite njegove strane na jednake dijelove, crtajući zrake iz tačaka podjele. Na preseku istoimenih zraka dobijaju se parabola tačke.

Možete dati primjer konstruiranja parabole u obliku krivulje tangente na pravu liniju s točkama datim na njima A I IN(Sl. 38, b). Stranice ugla koje formiraju ove prave linije podijeljene su na jednake dijelove i

mjere se podjele. Istoimene tačke povezane su pravim linijama. Parabola je nacrtana kao omotač ovih linija.

Hiperbola je ravna, nezatvorena kriva drugog reda, koja se sastoji od dvije grane, čiji se krajevi kreću u beskonačnost, težeći svojim asimptotama. Hiperbola se odlikuje činjenicom da svaka tačka ima posebno svojstvo: razlika u njenoj udaljenosti od dvije date žarišne tačke je konstantna vrijednost jednaka udaljenosti između vrhova krive. Ako su asimptote hiperbole međusobno okomite, ona se naziva jednakokračna. Jednakostranična hiperbola se široko koristi za konstruisanje različitih dijagrama kada je jedna tačka data njenim koordinatama M(Sl. 38, V). U ovom slučaju, linije se povlače kroz datu tačku AB I KL paralelno sa koordinatnim osama. Iz dobijenih presječnih tačaka povlače se linije paralelne sa koordinatnim osa. Na njihovom preseku dobijaju se hiperboličke tačke.

Konjugacija luka i pravog luka kružnice datog polumjera

Mogu postojati dva slučaja takve konjugacije: spoljašnji kontakt spojnog luka sa datim i unutrašnji kontakt. U oba slučaja zadatak se svodi na određivanje centra spojnog luka i dodirnih tačaka.

Prilikom dodira spolja (Slika 52, a) iz centra datog luka - tačka O 1 nacrtati pilot luk sa radijusom R + R sa . Na udaljenosti jednakoj radijusu R c konjugirani luk, nacrtati pravu liniju paralelnu datoj pravoj liniji. Dot O presjek pomoćnog luka i prave linije je centar konjugiranog luka. Na raskrsnici linije koja spaja tačke O I O 1 sa datim lukom, označite tačku kontakta A . Druga dodirna tačka IN definisana kao tačka preseka date prave sa okomicom koja je na nju spuštena iz tačke O .

Sa unutrašnjim dodirom (slika 52, b), određivanje centra spojnog luka i dodirnih tačaka je slično kao u prethodnom slučaju sa jedinom razlikom što je poluprečnik pomoćnog luka jednak R c – R .

Slika 52

Postoje tri vrste takvog spoja:

1) spoljašnja konjugacija kada konjugacioni luk spolja dodiruje dva data;

2) unutrašnja konjugacija kada konjugacijski luk iznutra dodiruje dva data;

3) mješovita konjugacija sa vanjskim kontaktom spojnog luka s jednim datim i unutrašnjim kontaktom s drugim.

At eksterni interfejs (Slika 53, a) središte tačke spojnog luka O koji se nalazi u tački preseka pomoćnih lukova sa radijusima r + R c I R + R c , izvučeni iz centara konjugiranih lukova - tačaka O2 I O 1 . Dodirne tačke A I B su definisane kao tačke preseka datih lukova sa pravim linijama OO 1 I OO 2 .

Interno uparivanje radijusi luka r I R polumjer luka R c prikazano na slici 53, b. Za određivanje centra spojnog luka - tačka O nacrtati pomoćne lukove sa radijusima R c – r I R c – R odnosno iz centara datih lukova - tačaka O2 I O 1 . Dot O presek ovih lukova će biti centar konjugovanog luka. Sa tačke gledišta O kroz tačke O 1 I O2 crtati prave dok se ne seku sa datim lukovima i dobiju, respektivno, dvije tačke dodira - A I B .

Slika 53

At mješovito uparivanje centar veznog luka – tačka O se definiše kao tačka preseka dva pomoćna luka poluprečnika R c +R I R sa – r (Slika 53, c) ili R sa – R I R sa + r , povučeni redom iz centara datih lukova - tačaka O 1 I O2 . Da biste odredili tačke dodira spojnog luka sa datim, povucite dvije prave: jednu kroz tačke O I O 1 , drugi niz tačaka O I O2 . Tačke preseka svakog od njih sa datim lukovima daju tražene tačke dodira A I B .