Съвременни проблеми на науката и образованието. Надлъжни вибрации на хомогенен прът. Примери за решаване на задачи

Прътът е тяло, единият от размерите на който, наречен надлъжен, значително надвишава размерите му в равнина, перпендикулярна на надлъжната посока, т.е. напречни размери. Основното свойство на пръта е съпротивлението, осигурено при надлъжно натиск (опън) и огъване. Това свойство фундаментално отличава пръчката от струната, която не се разтяга и не се съпротивлява на огъване. Ако плътността на материала на пръта е еднаква във всичките му точки, тогава прътът се нарича хомогенен.

Обикновено удължените тела, ограничени от затворена цилиндрична повърхност, се считат за пръти. В този случай площта на напречното сечение остава постоянна. Ние ще изследваме поведението на точно такава пръчка с еднаква дължина л, като се приеме, че е обект само на компресия или опън, подчинявайки се на закона на Хук. При изследване на малки надлъжни деформации на прът, т.нар хипотеза за равнинни сечения.Той се крие във факта, че напречните сечения, движещи се под натиск или напрежение по пръта, остават плоски и успоредни един на друг.

Нека насочим оста хпо надлъжната ос на пръта (фиг. 19) и ще приемем, че в началния момент от време краищата на пръта са в точки х=0И x=l. Нека вземем произволно сечение от пръта с координата х. Нека означим с u(х,T) изместване на този участък в момента T, след това преместването на сечението с координат в същия момент от време ще бъде равен

След това относителното удължение на пръта в сечение хще бъдат равни

Съпротивителната сила на това удължение според закона на Хук ще бъде равна на

Където д– модул на еластичност на материала на пръта (модул на Юнг), и С -площ на напречното сечение. В границите на участък от прът с дълж dxвърху него действат сили TxИ T x + dx, насочена по оста х. Резултатът от тези сили ще бъде равен на

,

и ускорението на разглежданата секция на пръта е равно на , тогава уравнението на движението на тази секция на пръта ще има формата:

, (67)

Където ρ – плътност на материала на пръта. Ако тази плътност и модулът на Юнг са постоянни, тогава можем да въведем количеството чрез и като разделим двете страни на уравнението на Sdx, най-накрая получи уравнение на надлъжните вибрации на прътапри липса на външни сили

(68)

Това уравнение има същата форма като уравнение за напречни вибрации на струнатаи методите за решение за него са същите, но коеф аТези уравнения представляват различни количества. В уравнението на низа, количеството а 2представлява дроб, чийто числител е постоянната сила на опън на струната - T, а в знаменателя линейната плътност ρ , а в уравнението на низа числителите съдържат модула на Йънг и знаменателя – обемниплътност на материала на пръта ρ . Оттук и физическият смисъл на количеството ав тези уравнения е различен. Ако за струна този коефициент е скоростта на разпространение на малко напречно преместване, то за прът това е скоростта на разпространение на малко надлъжно разтягане или компресия и се нарича скорост на звука, тъй като именно при тази скорост малките надлъжни вибрации, представляващи звук, ще се разпространяват по пръта.

За уравнение (68) се задават начални условия, които определят преместването и скоростта на преместване на всяка секция на пръта в началния момент:

За ограничен прът условията за закрепване или прилагане на сила в краищата му са посочени под формата на гранични условия от 1-ви, 2-ри и 3-ти вид.

Граничните условия от първи вид определят надлъжно изместване в краищата на пръта:

Ако краищата на пръта са фиксирани неподвижно, тогава при условия (6) . В този случай, както и в задачата за трептене на захваната струна, прилагаме метода на разделяне на променливите.

В граничните условия от втория вид в краищата на пръта се задават еластични сили, които се получават от деформация според закона на Хук в зависимост от времето. Съгласно формула (66) тези сили с точност до постоянен коефициент са равни на производната u x, следователно в краищата тези производни са посочени като функции на времето:

Ако единият край на пръта е свободен, тогава в този край u x = 0.

Граничните условия от третия вид могат да бъдат представени като условия, при които към всеки край на пръта е прикрепена пружина, чийто другият край се движи по оста според даден времеви закон θ (T), както е показано на фиг. 20. Тези условия могат да бъдат записани по следния начин

, (72)

Където к 1 и к 2 – коравина на пружината.

Ако върху пръта по оста действа и външна сила стр(х,T), изчислено за единица обем, тогава вместо уравнение (50) трябва да се напише нехомогенното уравнение

,

Което след разделяне на приема формата

, (73)

Където . Уравнение (73) е уравнението на принудителните надлъжни вибрации на пръта, което се решава по аналогия с уравнението на принудителните вибрации на струната.

Коментирайте.Трябва да се отбележи, че и струната, и прътът са модели на реални тела, които в действителност могат да проявяват както свойствата на струната, така и на пръта, в зависимост от условията, в които се намират. В допълнение, получените уравнения не отчитат силите на съпротивление на околната среда и силите на вътрешно триене, в резултат на което тези уравнения описват незатихващи трептения. За отчитане на ефекта на затихване в най-простия случай се използва дисипативна сила, пропорционална на скоростта и насочена в посока, обратна на движението, т.е. скорост. В резултат на това уравнение (73) приема формата

(74)

1

Предложен е честотен метод за решаване на проблема с надлъжните вибрации на пръти със стъпаловидно променливо напречно сечение със или без отчитане на разсейването на енергия при удар с твърдо препятствие. Уравнението на надлъжните вибрации на пръта се трансформира според Лаплас при наличие на ненулеви начални условия. Решава се гранична задача, която се състои в намиране на преобразуваните по Лаплас надлъжни сили на ръба като функции на преместванията на ръба. След това се съставя система от уравнения на равновесие за възлите, като се решават амплитудно-фазово-честотните характеристики (APFC) за сеченията на пръта, който представлява интерес. Чрез извършване на обратното преобразуване на Лаплас се изгражда процес на преход. Като тестов пример се разглежда прът с постоянно напречно сечение с крайна дължина. Дадено е сравнение с известното вълново решение. Предложеният метод за динамично изчисляване на прът при сблъсък с твърдо препятствие позволява обобщение до произволна прътова система при наличие на неограничен брой еластично закрепени маси, с произволна сила, приложена в краищата и по дължината на пръта. прът.

Честотен метод

надлъжни вибрации на пръта

1. Бидерман, В.Л. Приложна теория на механичните вибрации / V.L. Бидърман. – М.: Висше училище, 1972. – 416 с.

2. Лаврентиев, М.А. Методи на теорията на функциите на комплексна променлива / M.A. Лаврентиев, Б.В. Шабат. – М.: Наука, 1973. – 736 с.

3. Санкин, Ю.Н. Динамични характеристики на вискоеластични системи с разпределени параметри / Ю.Н. Санкин. – Саратов: Издателство Сарат. университет, 1977. – 312 с.

4. Санкин, Ю.Н. Нестабилни вибрации на прътови системи при сблъсък с препятствие / Yu.N. Санкин, Н.А. Юганова; под общ изд. Ю.Н. Санкина. – Уляновск: Уляновски държавен технически университет, 2010. – 174 с.

5. Санкин, Ю.Н. Надлъжни вибрации на еластични пръти със стъпаловидно напречно сечение, сблъскващи се с твърдо препятствие \ Ю. Н. Санкин и Н.А. Юганова, J. ​​Appl. Математически механизми, том. 65, № 3, стр. 427–433, 2001 г.

Нека разгледаме честотния метод за решаване на проблема с надлъжните вибрации на пръти със стъпково променливо напречно сечение със или без отчитане на разсейването на енергия при удар с твърдо препятствие, което ще сравним с известното вълново решение и решението в под формата на поредица от режими на вибрация (14).

Диференциалното уравнение за надлъжните вибрации на пръта, като се вземат предвид силите на вътрешно съпротивление, има формата:

Нека зададем следните гранични и начални условия:

. (2)

Нека трансформираме уравнение (1) и гранични условия (2) според Лаплас за дадените начални условия (2). Тогава уравнение (2) и гранични условия (2) ще бъдат записани, както следва:

; (3)

,

където са трансформираните по Лаплас премествания на върховете на пръта; p е параметърът на трансформацията на Лаплас.

Уравнение (3), без да се вземе предвид разсейването на енергия (при = 0), ще приеме формата:

. (4)

За полученото нехомогенно диференциално уравнение се решава гранична задача, която се състои в намиране на преобразуваните по Лаплас надлъжни сили на ръба като функции на преместванията на ръба.

За да направите това, разгледайте хомогенното уравнение на надлъжните вибрации на пръта, като вземете предвид разсейването на енергия

(5)

Обозначаване

и преминавайки към нова променлива, получаваме вместо (5)

(6)

Ако, къде е честотният параметър, тогава

.

Решението на хомогенното уравнение (6) има формата:

Намираме интеграционните константи c1 и c2 от началните условия:

u = u0; N = N0,

Тези. ;

Това решение съответства на следната трансферна матрица:

. (7)

Замествайки получените изрази за елементите на трансферната матрица във формулите на метода на изместване, получаваме:

; (8)

;

Индексите n и k показват съответно началото и края на секцията на пръта. А геометричните и физическите константи с индекси nk и kn се отнасят за конкретно сечение на пръта.

Разделяйки пръта на елементи, използвайки формули (8), ще съставим уравнения за динамичното равновесие на възлите. Тези уравнения представляват система от уравнения за неизвестни възлови премествания. Тъй като съответните коефициенти се получават чрез точно интегриране, дължината на прътовите секции не е ограничена.

Чрез решаване на получената система от уравнения за , ние конструираме амплитудно-фазово-честотни характеристики за участъците на пръта, които ни интересуват. Тези AFC могат да се разглеждат като графично изображение на еднопосочна трансформация на Фурие, която съвпада с трансформацията на Лаплас при импулсно въздействие. Тъй като всички особени точки на съответните изрази лежат отляво на въображаемата ос, обратното преобразуване може да се извърши, като се приеме , т.е. използвайки конструираните AFC. Задачата за конструиране на AFC, където полето от начални скорости, умножено по плътността на пръта, се явява като силови действие, е спомагателна. Обикновено AFC се конструират от влиянието на смущаващи сили, след което обратното преобразуване на Лаплас се извършва чрез числено интегриране или някакъв друг метод.

Като прост пример, разгледайте прав прът с дължина l, който се сблъсква надлъжно с твърдо препятствие със скорост V0 (фиг. 1).

Нека определим изместването на точките на пръта след удара. Ще приемем, че след удара контактът между препятствието и пръта остава, т.е. няма отскок на пръта. Ако връзката е несъдържаща, тогава проблемът може да се разглежда като частично линеен. Критерият за преминаване към друг вариант на решение е промяна на знака на скоростта в точката на контакт.

В монографията на Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. вълновото решение на уравнение (4) е дадено:

и оригиналът му е намерен

, (9)

където е единична стъпкова функция.

Друг подход за решаване на този проблем може да бъде осъществен чрез честотния метод, описан в. Във връзка с този проблем ще имаме:

; ;

; ;

; ;

. (10)

Да намерим оригинала (11)

Нека решим същата задача, използвайки честотния метод. От уравнението на равновесието на 1-ви възел:

(12)

получаваме формула за преместване на края на пръта.

Сега, ако тестова пръчка с постоянно напречно сечение е разделена на две произволни секции с дължина l1 и l2 (виж Фиг. 1), тогава условията на равновесие за възлите ще бъдат както следва:

(13)

В резултат на решаването на системата (13) получаваме графики на фазово-честотния спектър за измествания в 1-ва и 2-ра секции (съответно U1 и U2). По този начин изображението за изместване на ръба в затворена форма, като се вземе предвид разсейването на енергията, в случая на (12) и (13) съвпада и има формата:

. (14)

Нека проверим съвпадението на резултатите в края на пръта. На фиг. Фигура 2 показва графики на решение (10) при x = l0.1 и в резултат на решаване на системата (13). Те са напълно еднакви.

Дискретното преобразуване на Фурие може да се използва за получаване на преходния процес. Резултатът може да се получи чрез извършване на числено интегриране при t=0... като се използва формулата

. (15)

В AFC (виж фиг. 2) само един видим завой се проявява значително. Следователно трябва да се вземе един член от серия (15). Графиките на фигура 3 показват колко точно решението (9) и решението за вибрационните режими (11) съвпадат с предложеното честотно решение. Грешката не надвишава 18%. Полученото несъответствие се обяснява с факта, че решенията (9) и (11) не отчитат разсейването на енергия в материала на пръта.

Ориз. 3. Преходен процес за края на пръта; 1, 2, 3 - графики, изградени по формули (9), (11), (15).

Като по-сложен пример, разгледайте проблема с надлъжните вибрации на стъпаловиден прът (фиг. 4) с товар в края, сблъскващ се с твърдо препятствие със скорост V0, и нека масата на товара е равна на масата на съседния участък на пръта:.

Ориз. 4. Изчислителна схема на надлъжни вибрации на стъпаловиден прът с товар в края

Нека въведем характерни сечения 1,2,3 на пръта, в които ще изчисляваме преместванията. Нека създадем система от решаващи уравнения:

(16)

В резултат на решаването на системата (16) получаваме графики на фазово-честотната характеристика (фиг. 5) за преместванията във втория и третия участък (съответно U2() и U3(). Изчисленията са извършени със следните постоянни стойности: l = 2 m; E = 2,1 × 1011 Pa; F = 0,06 m2; = 7850 kg/m3; V = 10 m/s. В получените AFC само две видими завои се проявяват значително. Следователно, когато конструираме процеса на преход в избрани секции, ние вземаме два члена на серия (16). За да направите това, първо трябва да определите

Ориз. 5. AFC на премествания във втората и третата секции на стъпаловиден прът (виж фиг. 4)

Процесът на преход се конструира по подобен начин, като се използва формула (15).

Заключение: разработен е метод за изчисляване на надлъжни вибрации на пръти при удар с препятствие.

Рецензенти:

Лебедев A.M., доктор на техническите науки, доцент, професор на Уляновското висше авиационно училище (институт), Уляновск.

Антонец И.В., доктор на техническите науки, професор в Уляновския държавен технически университет, Уляновск.

Библиографска връзка

Юганова Н.А. НАДЪЛЖНИ ВИБРАЦИИ НА Пръчки при сблъсък с твърдо препятствие // Съвременни проблеми на науката и образованието. – 2014. – № 2.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=12054 (дата на достъп: 15.01.2020 г.). Предлагаме на вашето внимание списания, издадени от издателство "Академия за естествени науки"

Свободни трептения на системи с разпределени параметри

Основната характеристика на процеса на свободни трептения на системи с безкраен брой степени на свобода се изразява в безкрайността на броя на собствените честоти и форми на мода. Това е свързано и с математически особености: вместо обикновени диференциални уравнения, които описват трептенията на системи с краен брой степени на свобода, тук трябва да се занимаваме с частични диференциални уравнения. В допълнение към началните условия, които определят началните премествания и скорости, е необходимо да се вземат предвид и граничните условия, които характеризират фиксирането на системата.

6.1. Надлъжни вибрации на пръти

Когато анализираме надлъжните вибрации на прав прът (фиг. 67, а), ще приемем, че напречните сечения остават плоски и че частиците на пръта не извършват напречни движения, а се движат само в надлъжна посока.

Позволявам u - надлъжно движение на текущото сечение на пръта по време на вибрации; това движение зависи от местоположението на сечението (координати x) и от времето t. Така че има функция на две променливи; неговото определение представлява основната задача. Преместването на безкрайно близко сечение е равно на , следователно абсолютното удължение на безкрайно малък елемент е равно (фиг. 67, b), а относителното му удължение е .

Съответно надлъжната сила в сечението с координат хможе да се напише като

,(173)

където е твърдостта на пръта при опън (компресия). Силата N също е функция на два аргумента - координатите хи време t.

Нека разгледаме прътов елемент, разположен между две безкрайно близки секции (фиг. 67, c). Сила N се прилага към лявата страна на елемента и сила се прилага към дясната страна. Ако означим плътността на материала на пръта, тогава масата на въпросния елемент е . Следователно уравнението на движението в проекция върху оста х

,

Обмисляне (173) и приемане А= const, получаваме

Следвайки метода на Фурие, ние търсим конкретно решение на диференциалното уравнение (175) във формата

,(177)

тези. да предположим, че движението uможе да се представи като произведение на две функции, едната от които зависи само от аргумента х, а другият само от аргумента t. Тогава, вместо да се дефинира функция на две променливи u (x, t), е необходимо да се дефинират две функции X(x) и T(t), всяка от които зависи само от една променлива.

Замествайки (177) в (174), получаваме

където простите числа показват операцията на диференциране по отношение на х, и по точки T. Нека пренапишем това уравнение по следния начин:

Тук лявата страна зависи само от x, а дясната страна само от t. За да се запази това равенство идентично (за всяко хи t) необходимо е всяка негова част да е равна на константа, която означаваме с:

; .(178)

Това води до две уравнения:

;.(179)

Първото уравнение има решение:

,(180)

което показва колебателен характер, а от (180) става ясно, че неизвестното количество има значението на честотата на свободните трептения.

Второто от уравненията (179) има решение:

,(181)

определяне на формата на вибрациите.

Честотното уравнение, което определя стойността, се съставя чрез използване на гранични условия. Това уравнение винаги е трансцендентално и има безкраен брой корени. По този начин броят на естествените честоти е безкраен и всяка стойност на честотата съответства на собствената си функция T n (t), определена от зависимостта (180), и собствената си функция Xn (x), определена от зависимостта (181). Решение (177) е само частично и не предоставя пълно описание на движението. Пълното решение се получава чрез наслагване на всички частични решения:

.

Функциите X n (x) се наричат собствени функциипроблеми и описват собствените си режими на вибрация. Те не зависят от началните условия и отговарят на условието за ортогоналност, което за A = const има вида

, Ако .

Нека разгледаме някои опции за гранични условия.

Фиксиран край на пръта(Фиг. 68, а). В крайния участък преместването u трябва да бъде нула; следва, че в този раздел

X=0(182)

Свободен край на пръта(Фиг. 68, b). В крайния участък, надлъжната сила

(183)

трябва да бъде идентично равен на нула, което е възможно, ако в края на участъка X"=0.

Еластичен край на пръта(Фиг. 68, c).

При движение uкраен прът, възниква еластична опорна реакция , където C o е твърдостта на опората. Отчитайки (183) за надлъжната сила, получаваме граничното условие

ако опората е разположена в левия край на пръта (фиг. 68, c), и

ако опората е разположена в десния край на пръта (фиг. 68, d).

Концентрирана маса в края на пръта.

Инерционна сила, развита от масата:

.

Тъй като според първото от уравненията (179), , инерционната сила може да бъде записана във формата . Получаваме граничното условие

,

ако масата е в левия край (фиг. 68, d), и

, (184)

ако масата е свързана към десния край (фиг. 68, д).

Нека определим собствените честоти на конзолния прът (фиг. 68,а").

Съгласно (182) и (183), граничните условия

X=0 при x=0;

X"=0 при x= .

Замествайки тези условия едно по едно в решение (181), получаваме

Условието C0 води до честотното уравнение:

Корените на това уравнение

(n=1,2,…)

определя естествените честоти:

(n=1,2,…).(185)

Първа (най-ниска) честота при n=1:

.

Втора честота (при n=2):

Нека определим собствените честоти на прът с маса в края (фиг. 68, f).

Съгласно (182) и (184) имаме

X=0 при x=0;

при x= .

Замествайки тези условия в решение (181), получаваме:

D=0; .

Следователно честотното уравнение, когато се вземе предвид (176), има формата

.

Тук дясната страна представлява съотношението на масата на пръта към масата на крайния товар.

За да се реши полученото трансцендентно уравнение, е необходимо да се използва някакъв приблизителен метод.

At и стойностите на най-важния най-нисък корен ще бъдат съответно 0,32 и 0,65.

При малко съотношение натоварването има решаващо влияние и приблизителното решение дава добри резултати

.

За пръти с променливо напречно сечение, т.е. за Аconst, от (173) и (174) се получава уравнението на движението във вида

.

Това диференциално уравнение не може да бъде решено в затворена форма. Следователно в такива случаи е необходимо да се прибегне до приблизителни методи за определяне на собствените честоти.

6.2. Торсионни вибрации на валове

Торсионните вибрации на валове с непрекъснато разпределена маса (фиг. 69, а) се описват с уравнения, които по структура напълно съвпадат с горните уравнения за надлъжни вибрации на пръти.

Въртящ момент M в сечение с абсцисата хе свързан с ъгъла на въртене чрез диференциална зависимост, подобна на (173):

Където Jp-полярен инерционен момент на напречното сечение.

В участък, разположен на разстояние dx, въртящият момент е равен на (фиг. 69, b):

Означавайки чрез (където е плътността на материала на вала) интензитета на инерционния момент на масата на вала спрямо неговата ос (т.е. инерционния момент на единица дължина), уравнението на движение на елементарно сечение на вала може да се напише по следния начин:

,

или подобни (174):

.

Заместване на израз (186) тук, с Jp=const получаваме, подобно на (175):

, (187)

Общото решение на уравнение (187), подобно на уравнение (175), има формата

,

(188)

Собствените честоти и собствените функции се определят от специфични гранични условия.

В основните случаи на фиксиране на краищата, подобно на случая на надлъжни вибрации, получаваме

а) фиксиран край (=0): X=0;

b) свободен край (М=0): X"=0;

V) издръжливляв край: CoХ=GJpX "(Коефициент на коравина);

G) издръжливдесен край: -CoX=GJpX ";

д) диск в левия край: (Jo е инерционният момент на диска спрямо оста на пръта);

д) диск в десния край: .

Ако валът е фиксиран в левия край (x=0), а десният край (x=) е свободен, тогава X=0 при x=0 и X"=0 при x=; естествените честоти се определят подобно на ( 185):

(n=1,2,…).

Ако левият край е фиксиран и има диск в десния край, получаваме трансценденталното уравнение:

.

Ако двата края на вала са фиксирани, тогава граничните условия ще бъдат X=0 за x=0 и x=. В този случай от (188) получаваме

тези.

(n=1,2,...),

оттук намираме естествените честоти:

Ако левият край на вала е свободен и има диск в десния край, тогава X"=0 за x=0;Jo X=GJpX "за x=.

Използвайки (188), намираме

C=0; ,

или трансцендентно честотно уравнение:

.

6.3. Огъващи вибрации на греди

6.3.1 Основно уравнение

От курса по якост на материалите са известни диференциалните зависимости за огъване на греди:

където EJ е твърдост на огъване; y=y (x, t) - деформация; M=M(x, t) - огъващ момент; q е интензитетът на разпределения товар.

Комбинирайки (189) и (190), получаваме

.(191)

В задачата за свободните вибрации натоварването за еластичния скелет е разпределените инерционни сили:

където m е интензитетът на масата на лъча (маса на единица дължина), а уравнение (191) приема формата

.

В специалния случай на постоянно напречно сечение, когато EJ = const, m = const, имаме:

.(192)

За да решим уравнение (192), приемаме, както по-горе,

г= X ( х)× T ( t ).(193)

Замествайки (193) в (192), стигаме до уравнението:

.

За да се изпълни това равенство еднакво, е необходимо всяка от частите на равенството да е постоянна. Означавайки тази константа с , получаваме две уравнения:

.(195)

Първото уравнение показва, че движението е осцилаторно с честота.

Второто уравнение определя формата на вибрациите. Решението на уравнение (195) съдържа четири константи и има формата

Удобно е да се използва вариантът за писане на общото решение, предложено от А. Н. Крилов:

(198)

представляват функциите на А. Н. Крилов.

Нека обърнем внимание на факта, че S=1, T=U=V=0 при x=0. Функциите S,T,U,V са свързани помежду си, както следва:

Следователно производните изрази (197) се записват във формата

(200)

В задачите от разглеждания клас броят на собствените честоти е безкрайно голям; всеки от тях има своя собствена времева функция T n и своя собствена фундаментална функция X n . Общото решение се получава чрез налагане на частични решения от вида (193)

.(201)

За да се определят естествените честоти и формули, е необходимо да се вземат предвид граничните условия.

6.3.2. Гранични условия

За всеки край на лентата можете да зададете две гранични условия .

Свободен край на пръта(Фиг. 70, а). Напречната сила Q=EJX""T и огъващият момент M=EJX""T са равни на нула. Следователно граничните условия имат формата

X""=0; X"""=0 .(202)

Шарнирно поддържан край на пръта(Фиг. 70, b). Деформацията y=XT и огъващият момент M=EJX""T са равни на нула. Следователно граничните условия са:

X=0; X""=0 .(203)

Прищипан край(Фиг. 70, c). Деформацията y=XT и ъгълът на завъртане са равни на нула. Гранични условия:

X=0; X"=0 . (204)

В края на пръта има точкова маса(Фиг. 70, d). Неговата инерционна сила може да се запише с помощта на уравнение (194), както следва: ; тя трябва да бъде равна на силата на срязване Q=EJX"""T, така че граничните условия приемат формата

; X""=0 .(205)

При първото условие се взема знак плюс, когато точковият товар е свързан към левия край на пръта, и знак минус, когато е свързан към десния край на пръта. Второто условие следва от липсата на огъващ момент.

Еластично поддържан край на пръта(Фиг. 70, d). Тук огъващият момент е нула, а напречната сила Q=EJX"""T е равна на опорната реакция (C o - коефициент на твърдост на опората).

Гранични условия:

X""=0 ; (206)

(знак минус се взема, когато еластичната опора е отляво, и знак плюс, когато е отдясно).

6.3.3. Честотно уравнение и собствени форми

Разширеният запис на граничните условия води до хомогенни уравнения по отношение на константите C 1, C 2, C 3, C 4.

За да не бъдат тези константи равни на нула, детерминантата, съставена от коефициентите на системата, трябва да е равна на нула; това води до честотно уравнение. При тези операции се изясняват връзките между С 1, С 2, С 3, С 4, т.е. определят се естествените режими на трептене (до постоянен коефициент).

Нека проследим състава на честотните уравнения, използвайки примери.

За греда с шарнирни краища, съгласно (203), имаме следните гранични условия: X=0; X""=0 за x=0 и x= . Използвайки (197)-(200) получаваме от първите две условия: C 1 =C 3 =0. Двете останали условия могат да бъдат записани като

За да не бъдат C 2 и C 4 равни на нула, детерминантата трябва да е равна на нула:

.

Така честотното уравнение има формата

.

Замествайки изразите T и U, получаваме

Тъй като , крайното честотно уравнение се записва, както следва:

. (207)

Корените на това уравнение са:

,(n =1,2,3,...).

Като вземем предвид (196), получаваме

.(208)

Нека да преминем към определяне на нашите собствени форми. От хомогенните уравнения, написани по-горе, следва следната връзка между константите C 2 и C 4:

.

Следователно (197) приема формата

Според (207) имаме

,(209)

където е нова константа, чиято стойност остава несигурна, докато не бъдат взети под внимание началните условия.

6.3.4. Определяне на движение въз основа на начални условия

Ако е необходимо да се определи движението след първоначалното смущение, тогава е необходимо да се посочат както началните премествания, така и началните скорости за всички точки на лъча:

(210)

и използвайте свойството за ортогоналност на собствените форми:

.

Записваме общото решение (201) по следния начин:

.(211)

Скоростта се дава от

.(212)

Замествайки първоначалните премествания и скорости, за които се предполага, че са известни, в дясната страна на уравнения (211) и (212) и в лявата страна, получаваме

.

Умножавайки тези изрази по и интегрирайки по цялата дължина, имаме

(213)

Безкрайните суми от дясната страна са изчезнали поради свойството за ортогоналност. От (213) следват формулите за константи и

(214)

Сега тези резултати трябва да бъдат заменени в решение (211).

Нека отново подчертаем, че изборът на скалата на собствените форми е маловажен. Ако, например, в израза на собствената форма (209) вместо това вземем стойност, която е пъти по-голяма, тогава (214) ще даде резултати, които са пъти по-малки; след заместване в разтвор (211), тези разлики се компенсират взаимно. Независимо от това, те често използват нормализирани собствени функции, като избират техния мащаб така, че знаменателите на изразите (214) да са равни на единица, което опростява изразите и .

6.3.5. Ефект на постоянна надлъжна сила

Нека разгледаме случая, когато осцилираща греда изпитва надлъжна сила N, чиято величина не се променя по време на процеса на трептене. В този случай уравнението за статично огъване става по-сложно и приема формата (при условие, че силата на натиск се счита за положителна)

.

Приемайки и отчитайки константата на коравина, получаваме уравнението на свободните вибрации

.(215)

Продължаваме да приемаме конкретно решение във формуляра.

Тогава уравнение (215) се разделя на две уравнения:

Първото уравнение изразява осцилаторния характер на решението, второто определя формата на трептенията и също така ви позволява да намерите честотите. Нека го пренапишем по следния начин:

(216)

Където Ксе определя по формула (196), и

Решението на уравнение (216) има формата

Нека разгледаме случая, когато двата края на пръта имат шарнирни опори. Условия в левия край даде . Удовлетворявайки същите условия в десния край, получаваме

Приравнявайки на нула детерминантата, съставена от коефициенти за величините и , стигаме до уравнението

Корените на това честотно уравнение са:

Следователно собствената честота се определя от уравнението

.

От тук, като вземем предвид (217), намираме

.(219)

При разтягане честотата се увеличава, при компресия намалява. Когато силата на натиск N достигне критична стойност, коренът клони към нула.

6.3.6. Ефект на верижните сили

Преди това надлъжната сила се смяташе за дадена и независима от преместванията на системата. В някои практически задачи надлъжната сила, придружаваща процеса на напречни вибрации, възниква поради огъването на гредата и има характер на опорна реакция. Помислете например за греда върху две шарнирни и фиксирани опори. Когато се огъва, възникват хоризонтални реакции на опорите, което води до разтягане на гредата; обикновено се нарича съответната хоризонтална сила сила на веригата. Ако лъчът осцилира напречно, силата на веригата ще се промени с времето.

Ако в момент t отклоненията на гредата се определят от функцията, тогава удължението на оста може да се намери с помощта на формулата

.

Намираме съответната верижна сила, използвайки закона на Хук

.

Нека заместим този резултат в (215) вместо надлъжната сила N (като вземем предвид знака)

.(220)

Получената нелинейна интегродиференциалуравнението се опростява чрез заместване

,(221)

където е безразмерна функция на времето, чиято максимална стойност може да бъде зададена равна на всяко число, например единица; амплитуда на трептенията.

Замествайки (221) в (220), получаваме обикновеното диференциално уравнение

,(222)

чиито коефициенти имат следните стойности:

;.

Диференциалното уравнение (222) е нелинейно, следователно честотата на свободните трептения зависи от тяхната амплитуда.

Точното решение за честотата на напречните вибрации има формата

където е честотата на напречните вибрации, изчислена без отчитане на силите на веригата; коефициент на корекция в зависимост от съотношението на амплитудата на трептенията към радиуса на въртене на напречното сечение; стойността е дадена в справочната литература.

Когато амплитудата и радиусът на въртене на напречното сечение са съизмерими, корекцията на честотата става значителна. Ако например амплитудата на вибрациите на кръгъл прът е равна на неговия диаметър, тогава , а честотата е почти два пъти по-голяма, отколкото в случай на свободно преместване на опорите.

Случаят съответства на нулева стойност на радиуса на инерция, когато твърдостта на огъване на гредата е изчезващо малка - низ. В същото време формулата за дава несигурност. Разкривайки тази несигурност, получаваме формула за честотата на вибрациите на струната

.

Тази формула се прилага за случая, когато напрежението е нула в равновесно положение. Често проблемът с трептенията на струните се поставя при други предположения: смята се, че преместванията са малки, а силата на опън е дадена и остава непроменена по време на процеса на трептене.

В този случай формулата за честота има формата

където N е постоянна сила на опън.

6.4. Ефект на вискозно триене

Преди това се предполагаше, че материалът на пръчките е идеално еластичен и няма триене. Нека разгледаме влиянието на вътрешното триене, като приемем, че то е вискозно; тогава връзката между напрежението и деформацията се описва от отношенията

;.(223)

Нека прът с разпределени параметри извършва свободни надлъжни вибрации. В този случай надлъжната сила ще бъде записана във формуляра

От уравнението на движение на прътовия елемент се получава съотношението (174).

Замествайки (224) тук, стигаме до основното диференциално уравнение

,(225)

което се различава от (175) с втория член, който изразява влиянието на силите на вискозно триене.

Следвайки метода на Фурие, търсим решение на уравнение (225) във формата

,(226)

където функцията е само координатите x, а функцията е само времето t.

В този случай всеки член на серията трябва да отговаря на граничните условия на задачата, а цялата сума също трябва да отговаря на началните условия. Заместване на (226) в (225) и изискване равенството да бъде изпълнено за всяко число r, получаваме

,(227)

където простите числа показват диференциране по отношение на координатата х, а точките са диференциране по време t.

Деление (227) на произведението , стигаме до равенство

,(228)

лявата страна, която може да зависи само от координатата х, а дясната - само от време t. За да се изпълни еднакво равенството (228), е необходимо и двете части да са равни на една и съща константа, която означаваме с .

От това следват уравненията

(229)

.(230)

Уравнение (229) не зависи от коефициента на вискозитет K и по-специално остава същото в случай на идеално еластична система, когато . Следователно числата напълно съвпадат с тези, открити по-рано; обаче, както ще бъде показано по-долу, стойността дава само приблизителна стойност на естествената честота. Имайте предвид, че собствените форми са напълно независими от вискозните свойства на пръта, т.е. формите на свободните затихващи трептения съвпадат с формите на свободните незатихващи трептения.

Сега нека преминем към уравнение (230), което описва процеса на затихнали трептения; неговото решение има формата

.(233)

Израз (232) определя скоростта на затихване, а (233) определя честотата на трептене.

По този начин пълното решение на уравнението на проблема

.(234)

Константа и винаги може да бъде намерена въз основа на дадени начални условия. Нека началните премествания и началните скорости на всички секции на пръта са определени, както следва:

;,(235)

където и са известни функции.

Тогава за , съгласно (211) и (212), имаме

умножавайки двете страни на тези равенства по и интегрирайки по цялата дължина на пръта, получаваме

(236)

Съгласно условието за ортогоналност на собствените форми, всички други членове, включени в дясната част на тези равенства, стават нула. Сега от равенства (236) е лесно да се намери за всяко число r.

Като се има предвид (232) и (234), ние отбелязваме, че колкото по-голям е номерът на вибрационния режим, толкова по-бързо е неговото затихване. В допълнение, членовете, включени в (234), описват затихнали трептения, ако има реално число. От (233) е ясно, че това се случва само за няколко начални стойности на r, докато неравенството е изпълнено

За достатъчно големи стойности rнеравенството (237) се нарушава и количеството става имагинерно. В този случай съответните членове на общото решение (234) вече няма да описват затихнали трептения, а ще представляват апериодично затихнало движение. С други думи, вибрациите, в обичайния смисъл на думата, се изразяват само с определена крайна част от сумата (234).

Всички тези качествени заключения се отнасят не само за случая на надлъжни вибрации, но и за случаите на усукващи и огъващи вибрации.

6.5. Вибрации на пръти с променливо напречно сечение

В случаите, когато разпределената маса и напречното сечение на пръта са променливи по дължината му, вместо уравнението на надлъжната вибрация (175), трябва да се изхожда от уравнението

.(238)

Уравнението на усукващата вибрация (187) трябва да бъде заменено с уравнението

,(239)

и уравнението на напречните вибрации (192) е уравнението

.(240)

Уравнения (238)-(240) с помощта на подобни замествания ;;могат да бъдат сведени до обикновени диференциални уравнения за функцията

МЕХАНИКА

UDC 531.01/534.112

НАДЪЛЖНИ ВИБРАЦИИ НА ПАКЕТ ПРЪТОВЕ

А.М. Павлов, А.Н. Темнов

MSTU im. Н.Е. Бауман, Москва, Руска федерация e-mail: [имейл защитен]; [имейл защитен]

По въпросите на динамиката на ракетите с течно гориво важна роля играе проблемът за стабилността на движението на ракетата при възникване на надлъжни еластични колебания. Появата на такива трептения може да доведе до установяване на собствени трептения, които, ако ракетата е нестабилна в надлъжна посока, могат да доведат до бързото й разрушаване. Формулирана е задачата за надлъжните трептения на пакетна ракета; като изчислителен модел се използва пакет от пръти. Приема се, че течността в резервоарите на ракетата е „замразена“, т.е. собствените движения на течността не се вземат предвид. Формулиран е законът за пълния енергиен баланс за разглежданата задача и е дадена неговата операторна формулировка. Даден е числен пример, за който са определени честотите и са конструирани и анализирани формите на собствените трептения.

Ключови думи: надлъжни вибрации, честота и форма на вибрации, пакет от пръти, закон за пълния енергиен баланс, самонасочен оператор, вибрационен спектър, POGO.

СИСТЕМА ОТ НАДЪЛЖНИ ВИБРАЦИИ НА ПРЪТОВЕ A.M. Павлов, АЛ. Темнов

Московски държавен технически университет „Бауман“, Москва, Руска федерация e-mail: [имейл защитен]; [имейл защитен]

По въпросите на динамиката на ракетите с течно гориво проблемът за стабилността на движението на тази ракета играе важна роля с появата на надлъжни еластични вибрации. Появата на такъв вид вибрации може да предизвика автовибрации, които могат да причинят бързо разрушаване на ракетата в случай на нестабилност на ракетата в надлъжна посока. Проблемът за надлъжните вибрации на ракетата с течно гориво, базирана на пакетната схема, е формулиран с помощта на пакетни пръти като изчислителен модел. Предполага се, че течността в резервоарите на ракетата е "замразена", т.е. правилните движения на течността не са включени. За тази задача е формулиран принципът на енергоспестяване и е дадена операторната му постановка. Има числен пример, за който са определени честотите, изградени и анализирани са форми на собствена вибрация.

Ключови думи: надлъжни вибрации, собствени форми и честоти, прътов модел, принцип на запазване на енергията, самоставен оператор, вибрационен спектър, POGO.

Въведение. Понастоящем в Русия и в чужбина ракети-носители с пакетно оформление с еднакви странични блокове, равномерно разпределени около централния блок, често се използват за извеждане на полезен товар в необходимата орбита.

Изследванията на вибрациите на пакетните конструкции срещат определени трудности, свързани с динамичния ефект на страничните и централните блокове. В случай на симетрия на разположението на ракетата-носител, сложното пространствено взаимодействие на блоковете на конструкцията на опаковката може да бъде разделено на краен брой видове вибрации, една от които е надлъжната вибрация на централния и страничните блокове. Математическият модел на надлъжните вибрации на такава структура под формата на пакет от тънкостенни пръти е разгледан подробно в работата. Ориз. 1. Схема на централно- Тази статия представя теоретичния прът и изчислителните резултати на надлъжната

вибрации на пакет от пръти, допълващи изследването, извършено от A.A. Жалко.

Формулиране на проблема. Нека разгледаме други надлъжни вибрации на пакет от пръти, състоящ се от централен прът с дължина l0 и N странични пръти със същата дължина j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, закрепени в точка А (xA = l) (фиг. 1) с централни пружинни елементи с коравина k.

Нека въведем фиксирана отправна система OX и приемем, че твърдостта на прътите EFj (x), разпределената маса mj (x) и смущението q (x,t) са ограничени функции на координатата x:

0

0 < mj < mj (x) < Mj; (1)

0

Нека по време на надлъжни вибрации възникват премествания Uj (x, t) в сечения на пръти с координата x, определени от уравненията

mj (x) ^ - ¿(eFj (x) ^ = qj (x,t), j = 0,1, 2,..., N, (2)

гранични условия за липса на нормални сили в краищата на прътите

3 =0, x = 0, ^ = 1, 2,

0, x = 0, x = l0;

условия на равенство на нормалните сили, възникващи в прътите,

EF-3 = F x = l

еластични сили на пружинните елементи

FпPJ = к (ш (ха) - у (¡,)); (4)

EUodX (xa - 0) - EFodX (xa + 0) = , x = xa;

условие за равенство на преместванията в точка xa на централния прът

Shch (ha-o) = Shch (xa+o) и начални условия

Shch y (x, 0) - Shch (x); , _

u(x, 0) = u(x),

където u(x, 0) = "d^1(x, 0).

Закон за общия енергиен баланс. Нека умножим уравнение (2) по u(x,ξ), интегрираме по дължината на всеки прът и сумираме резултатите, като използваме гранични условия (3) и съвпадащо условие (4). В резултат на това получаваме

(( 1 ^ [ (diL 2

TZ (x) "BT" (x+

dt | 2 ^ J 3 w V dt

N x „ h 2 .. N „ i.

1 ^ Г „„ , f dп3\ , 1 ^ Гj

1 N /* i dpl 2 1 N fl j

EF3 dx +2^Уо И (x - -)(no - Uj)2 dx

= / ^ (x, £) тях y (x, £) (x, (6)

където 8 (x - ¡y) е делта функцията на Дирак. В уравнение (6) първият член във къдрави скоби представлява кинетичната енергия T (¿) на системата, вторият е потенциалната енергия Pr (£), причинена от деформацията на прътите, а третият е потенциалната енергия Pk (£) на пружинните елементи, които при наличие на еластични деформации пръти могат да бъдат записани във формата

Pk (*) = 2 £ / Cy (¡y) 8 (x - ¡1) E^ (¡y) (ddit (¡1)) 2 (x, Cy = Eu.

Уравнение (6) показва, че промяната в общата енергия за единица време на разглежданата механична система е равна на мощността

външно влияние. При липса на външни смущения q (x,t), получаваме закона за запазване на общата енергия:

T (t) + Pr (t) + Pk (t) = T (0) + Pr (0) + Pk (0).

Кинематография. Законът за енергийния баланс показва, че за всяко време t функциите Uj (x, t) могат да се разглеждат като елементи на хилбертовото пространство L2j(; m3 (x)), определено на дължината ¡i от скаларното произведение

(us,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0

и съответната норма.

Нека въведем хилбертовото пространство H, равно на ортогоналната сума L2j, H = L20 Ф L21 Ф... Ф L2N, векторната функция U = (uo, Ui,..., uN)т и оператора A, действащ в пространство H според релацията

AU = диаг. (A00U0, A11U1,..., Annun).

mj(x)dx\jdx"

оператори, дефинирани на

множество B (A33) СН от функции, удовлетворяващи условия (3) и (4).

Първоначалният проблем (1)-(5) заедно с началните условия ще бъдат записани във формуляра

Au = f (*), u (0) = u0, 17(0) = u1, (7)

където f (*) = (до (*),51 (*),..., Yam (¿))t.

Лема. 1. Ако първите две условия (1) са изпълнени, тогава операторът A в еволюционния проблем (7) е неограничен, самосъпряжен, положително определен оператор в пространството H

(Au,K)n = (u,AK)n, (Au, u)i > c2 (i, u)i.

2. Оператор А генерира енергийно пространство NA с норма, равна на удвоената потенциална енергия на трептения на пакет от пръти

3\^I h)2 = 2П > 0. (8)

IIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2П > 0.

< Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно:

(AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+

+£ jm(x) (- jx) | (ef-(x) dndxa))v-(x) dx=... =

EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x)

J EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) uo (x) ?o (x)

+ ^^ / EF- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ EF- (x) u- (x) v- (x)

J EFo (x) uo (x) v" (x) dx - EFo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0

EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) +

J EF- (x) u- (x) v- (x) dx = J EFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -=100

+ £ / EF.,- (x) u- (x) g?- (x) dx+ o

O(xa)-

£ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?"o (x) dx+ -=10

+ £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -=1 0 -

+ £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H

(AU, U)H = ... = I EF0 (x) u"2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x)

J EF0 (x) u"0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x)

+ ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x)

"J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx

У^ k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) =

EF0 (x) u"2 (x) dx + / EF0 (x) u"0 (x) dx +

S / EFj (x) u"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H

От горните резултати следва, че енергийната норма на оператора А се изразява с формула (8).

Разрешимост на еволюционния проблем. Нека формулираме следната теорема.

Теорема 1. Нека условията са изпълнени

U0 £ D (A1/2), U0 £ H, f (t) £ C (; H),

тогава задача (7) има единствено слабо решение U (t) на интервала, определен от формулата

U (t) = U0 cos (tA1/2) +U1 sin (tA1/2) +/sin ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds.

5 при липса на външни смущения f (£), законът за запазване на енергията е изпълнен

1 II A 1/2UИ2 = 1

1 II A1/2U 0|H.

< Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости .

Естествени вибрации на пакет пръти. Да приемем, че прътовата система не се влияе от полето на външните сили: f (t) = 0. В този случай движенията на прътите ще се наричат ​​свободни. Свободните движения на прътите, в зависимост от времето t по закона exp (iwt), ще се наричат ​​собствени вибрации. Вземайки U (x, t) = U (x) eiWÍ в уравнение (7), получаваме спектралната задача за оператора A:

AU - AEU = 0, L = w2. (9)

Свойствата на оператора A ни позволяват да формулираме теорема за спектъра и свойствата на собствените функции.

Теорема 2. Спектралната задача (9) за собствените вибрации на пакет от пръти има дискретен положителен спектър

0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то

и система от собствени функции (Uk (x))^=0, пълна и ортогонална в пространствата H и HA, и следните формули за ортогоналност са изпълнени:

(Ufe, Us)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0

(Uk= £/T^) d*+

K („feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. j=i

Изследване на спектралния проблем в случай на хомогенен пакет от пръчки. Представяйки функцията на изместване m- (x, £) във формата m- (x, £) = m- (x), след разделяне на променливите получаваме спектрални задачи за всеки прът:

^Oi + Lm = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10)

които записваме в матрична форма

4 £ + Li = 0,

A = -,-,-,...,-

\ t0 t1 t2 t «

u = (u0, u1, u2,..., u«)t.

Решение и анализ на получените резултати. Нека означим функциите на преместване за централния прът в сечението като u01 и в сечението като u02 (g). В този случай за функцията u02 преместваме началото на координатите в точката с координата /. За всеки прът представяме решението на уравнение (10) във формата

За да намерим неизвестните константи в (11), използваме граничните условия, формулирани по-горе. От хомогенни гранични условия е възможно да се определят някои константи, а именно:

C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN 2 = 0.

В резултат на това остава да се намерят N + 3 константи: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1. За да направим това, решаваме N + 3 уравнения за N + 3 неизвестни.

Нека запишем получената система в матрична форма: (A) (C) = (0) . Тук (C) = (C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1)t е векторът на неизвестните; (A) - характеристична матрица,

cos (A1) EF0 A sin (A1) +

L sin (L (Zo - 1)) L cos (L (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000

0 г. 00 00 0 000 г

a = k soe ^ ^A-L^ ; in = -k co8((.40-01L)1/2 ^ ;

7 = (A4"-1 l) 1/2 ap ((A"1l) 1/2 + k sov ((A"1l) 1/2;

(~ \ 1/2 ~ Л= ^Л] ; A--: 3 = 0.

За да намерим нетривиално решение, вземаме като променлива константата C01 € M. Имаме две възможности: C01 = 0; C01 = 0.

Нека C01 = 0, тогава C03 = C04 = 0. В този случай може да се получи нетривиално решение, ако 7 = 0 от (12), когато е изпълнено допълнителното условие

£ s-1 = 0, (13)

което може да се получи от третото уравнение на системата (12). В резултат на това получаваме просто честотно уравнение

EP (A"1 L)1/2 W ((A"1^1/2 P +

zz \V zz

K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0, j G ,

съвпадаща с честотното уравнение за прът, еластично фиксиран в единия край, което може да се разглежда като първата частична система.

В този случай всички възможни комбинации от движения на страничните пръти, които отговарят на условие (13), могат условно да бъдат разделени на групи, съответстващи на различни комбинации от фази (в разглеждания случай фазата се определя от знака C.d). Ако приемем, че страничните пръти са идентични, тогава имаме две възможности:

1) Сд = 0, тогава броят на такива комбинации n за различни N може да се изчисли по формулата n = N 2, където е функцията за деление без остатък;

2) всяка (или всяка) от константите C- е равна на 0, тогава броят на възможните комбинации се увеличава и може да се определи по формулата

£ [(N - m) div 2].

Нека Coi = 0, тогава Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = = C01 (-v/t), където in и y са комплексите, включени в (12). От система (12) имаме още: C03 = C01 cos (А/); C04=C03 tg (L (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (L (/0 - /)), т.е. всички константи се изразяват чрез C01. Честотното уравнение приема формата

EFo U-o1 L tg A-1 L) " (lo - l)) -

K2 cos | í a!-,1 л

Като пример, разгледайте система с четири странични ленти. В допълнение към метода, описан по-горе, за този пример можете да запишете уравнението на честотата за цялата система, като изчислите детерминантата на матрица A и я приравните към нула. Нека да го разгледаме

Y4 (L sin (L (/o - /)) cos (L/) EFoЛ+

L cos (L (/o - /)) (EFoЛ sin (L/) + 4v)) -

4av3L cos (L(/0 - /)) = 0.

Графиките на трансценденталните честотни уравнения за разгледаните по-горе случаи са представени на фиг. 2. За изходни данни са взети: EF = 2,109 N; EF0 = 2.2·109 N; k = 7 107 N/m; m = 5900 kg/m; mo = 6000 kg/m; / = 23; /о = 33 м. Стойностите на първите три честоти на трептене на разглежданата верига са дадени по-долу:

н......................................

и, радвам се.................................

1 2 3 20,08 31,53 63,50

Ориз. 2. Графики на трансцендентални честотни уравнения за Coi = 0 (i) и Coi = 0 (2)

Нека представим режимите на вибрации, съответстващи на получените решения (в общия случай режимите на вибрации не са нормализирани). Формите на вибрации, съответстващи на първата, втората, третата, четвъртата, 13 и 14 честоти, са показани на фиг. 3. При първата честота на вибрация страничните пръти вибрират с еднаква форма, но по двойки в противофаза

Фиг.3. Форми на вибрации на страничните (1) и централните (2) пръти, съответстващи на първия V = 3,20 Hz (a), втория V = 5,02 Hz (b), третия V = 10,11 Hz (c), четвъртия V = 13,60 Hz (d), 13-та V = 45,90 Hz (d) и 14-та V = 50,88 Hz (f) честоти

(фиг. 3, а), при втория централната пръчка трепти, а страничните трептят в същата форма във фаза (фиг. 3, б). Трябва да се отбележи, че първата и втората честота на вибрациите на разглежданата прътова система съответстват на вибрациите на система, състояща се от твърди тела.

Когато системата осцилира с третата собствена честота, за първи път се появяват възли (фиг. 3в). Третата и следващите честоти (фиг. 3d) съответстват на еластични вибрации на системата. С увеличаване на честотата на вибрациите, свързано с намаляване на влиянието на еластичните елементи, честотите и формите на вибрациите са склонни да бъдат частични (фиг. 3, д, е).

Кривите на функциите, чиито точки на пресичане с абсцисната ос са решения на трансцендентни уравнения, са представени на фиг. 4. Според фигурата собствените честоти на трептенията на системата са разположени близо до парциалните честоти. Както беше отбелязано по-горе, с увеличаване на честотата се увеличава сближаването на собствените честоти с частичните. В резултат на това честотите, при които осцилира цялата система, условно се разделят на две групи: близки до частичните честоти на страничния прът и честоти, близки до частичните честоти на централния прът.

Изводи. Разглежда се проблемът с надлъжните вибрации на пакет пръти. Описани са свойствата на поставената гранична задача и спектъра на нейните собствени стойности. Предложено е решение на спектралната задача за произволен брой хомогенни странични пръти. За числен пример се намират стойностите на първите честоти на трептене и се конструират съответните форми. Бяха разкрити и някои характерни свойства на конструираните вибрационни режими.

Ориз. 4. Кривите на функциите, пресечните точки на които с абсцисната ос са решения на трансцендентни уравнения, за CoX = 0 (1), Cox = 0 (2) съвпадат с първата частична система (страничен прът, фиксиран към еластичния елемент в точка x = I) и втора частична система (5) (централен прът, фиксиран към четири еластични елемента в точка A)

ЛИТЕРАТУРА

1. Колесников К.С. Динамика на ракетите. М .: Машиностроене, 2003. 520 с.

2. Балистични ракети и ракети носители / O.M. Алифанов, А.Н. Андреев, В.Н. Гушчин и др., М.: Дропла, 2004. 511 с.

3. Рабинович B.I. Въведение в динамиката на ракетите носители на космически кораби. М .: Машиностроене, 1974. 396 с.

4. Изследване на параметрите на стабилността на POGO на течни ракети / Z. Zhao, G. Ren, Z. Yu, B. Tang, Q. Zhang // J. of Spacecraft and Rockets. 2011. том. 48. Е. 3. С. 537-541.

5. Балакирев Ю.Г. Методи за анализ на надлъжни вибрации на ракети носители с течно задвижване // Космонавтика и ракетна наука. 1995. № 5. С. 50-58.

6. Балакирев Ю.Г. Характеристики на математическия модел на течна ракета с партидно устройство като обект на управление // Избрани проблеми на якостта на съвременното машиностроене. 2008. стр. 43-55.

7. Докучаев Л.В. Подобряване на методите за изследване на динамиката на ракета-носител, като се вземе предвид тяхната симетрия // Космонавтика и ракетна наука. 2005. № 2. С. 112-121.

8. Пожалостин А.А. Разработване на приблизителни аналитични методи за изчисляване на естествени и принудени вибрации на еластични черупки с течност: дис. ... д-р техн. Sci. М., 2005. 220 с.

9. Крейн С.Г. Линейни диференциални уравнения в банахови пространства. М.: Наука, 1967. 464 с.

10. Копачевски И.Д. Операторни методи на математическата физика. Симферопол: ООО "Форма", 2008. 140 с.

Колесников К.С. Динамична ракета. Москва, Изд. Машиностроение, 2003. 520 с.

Алифанов О.Н., Андреев А.Н., Гушчин В.Н., изд. Балистически ракети и ракети-носители. Москва, Дрофа, 2003. 511 с.

Рабинович B.I. Введение в динамиката на ракетно-носителите на космическите апарати. Москва, Машиностроене, 1974. 396 с.

Zhao Z., Ren G., Yu Z., Tang B., Zhang Q. Изследване на параметрите на POGO стабилността на ракета с течно гориво. J. Космически кораби и ракети, 2011, том. 48, бр. 3, стр. 537-541.

Балакирев Ю.Г. Методи за анализ на надлъжни вибрации на ракети носители с двигател с течно гориво. Kosm. и ракетостр. , 1995, бр. 5, стр. 50-58 (на руски).

Балакирев Ю.Г. Osobennosti matematicheskoy modeli zhidkostnoy rakety paketnoy komponovki kak ob'ekta upravlenii. Sb. "Izbrannye problemy prochnosti sovremennogo mašinostroeniya". Москва, Fizmatlit Publ., 2008. 204 с. (цит. стр. 4355).

Докучаев Л.В. Усъвършенстване на методите за изследване на динамиката на групираните ракети-носители с оглед на тяхната симетрия. Kosm. и ракетостр. , 2005, бр. 2, стр. 112-121 (на руски).

Пожалостин А.А. Razrabotka priblizhennykh analiticheskikh metodov rascheta sobstvennykh i vynuzhdennykh kolebaniy uprugikh obolochek s zhidkost"yu. Diss. doct. tehn. nauk .

Крейн С.Г. Lineynye differentsial"nye uravneniya v Banakhovykh prostranstvakh. Moscow, Nauka Publ., 1967. 464 p. Kopachevskiy I.D. Operatornye metody matematicheskoy fiziki. Simferopol", Forma Publ., 2008. 140 p.

Статията е получена в редакцията на 28.04.2014 г

Павлов Арсений Михайлович - студент в катедрата по космически кораби и ракети-носители в Московския държавен технически университет. Н.Е. Бауман. Специализира в областта на ракетно-космическата техника.

MSTU im. Н.Е. Баумаш, Руска федерация, 105005, Москва, ул. 2-ра Бауманская, 5.

Павлов А.М. - студент в катедра "Космически кораби и ракети-носители" на Московския държавен технически университет "Бауман". Специалист в областта на ракетно-космическата техника. Московски държавен технически университет Бауман, ул. Бауманская 2 5, Москва, 105005 Руска федерация.

Темнов Александър Николаевич - д-р. физика и математика наук, доцент в катедрата по космически кораби и ракети-носители на Московския държавен технически университет. Н.Е. Бауман. Автор на повече от 20 научни труда в областта на механиката на флуидите и газовете и ракетно-космическата техника. MSTU im. Н.Е. Баумаш, Руска федерация, 105005, Москва, ул. 2-ра Бауманская, 5.

Темнов А.Н. - канд. Sci. (физ.-мат.), ст.н.с. професор по катедра "Космически кораби и ракети-носители" на Московския държавен технически университет "Бауман". Автор на повече от 20 публикации в областта на механиката на флуидите и газовете и ракетно-космическата техника.

Московски държавен технически университет Бауман, ул. Бауманская 2 5, Москва, 105005 Руска федерация.

> Надлъжни вълни

Научете разпространението, посоката и скоростта надлъжна вълна: какво представляват надлъжните вълни, как се разпространяват, примери и трептения, как възникват, графика.

Понякога надлъжните вълни се наричат ​​вълни на компресия. Те се колебаят в посоката на разпространение.

Учебна цел

• Идентифицирайте свойства и примери за тип надлъжна вълна.

Главни точки

• Трептенията на надлъжните вълни възникват в посоката на разпространение, но те са твърде малки и имат равновесни позиции, така че не изместват масата.
• Този тип може да се разглежда като импулси, които пренасят енергия по оста на разпространение.
• Те могат да се възприемат и като вълни на налягане с характерно компресиране и разреждане.

Условия

• Разреждането е намаляване на плътността на материала (предимно за течност).
• Надлъжно - по посока на дължината на оста.
• Компресия - увеличаване на плътността.

Пример

Какви вълни са надлъжни? Най-добрият пример е звукова вълна. Той съдържа импулси в резултат на компресия на въздуха.

Надлъжни вълни

По посока на вибрациите надлъжните вълни съвпадат с посоката на движение. Тоест движението на средата е разположено в същата посока като движението на вълната. Някои надлъжни вълни също се наричат ​​компресионни вълни. Ако искате да експериментирате, просто купете играчка Slinky (пружина) и я хванете за двата края. В момента на компресия и отслабване импулсът ще се придвижи към края.

Компресиран Slinky е пример за надлъжна вълна. Разпространява се в същата посока като вибрациите

Надлъжните (както и напречните) не изместват маса. Разликата е, че всяка частица в средата, през която се разпространява надлъжна вълна, ще осцилира по оста на разпространение. Ако мислите за Slinky, намотките осцилират в точки, но няма да се движат по дължината на пружината. Не забравяйте, че тук не се транспортира маса, а енергия под формата на импулс.

В някои случаи такива вълни действат като вълни на налягане. Ярък пример е звукът. Образуват се при компресия на среда (най-често въздух). Надлъжните звукови вълни са променливи отклонения на налягането от балансираното налягане, което води до локални области на компресия и разреждане.

Материята в средата периодично се измества от звукова вълна и осцилира. За да произведете звук, трябва да компресирате частиците въздух до определено количество. Така се образуват напречни вълни. Ушите реагират чувствително на различно налягане и преобразуват вълните в тонове.