Преобразуване на дроб към общ знаменател. Публикации с етикет "най-малък общ знаменател"

Как да сведем дроби до общ знаменател

Ако обикновените дроби имат еднакви знаменатели, тогава се казва, че са дробите се свеждат до общ знаменател.

Пример 1

Например дробите $\frac(3)(18)$ и $\frac(20)(18)$ имат еднакви знаменатели. Твърди се, че имат общ знаменател от $18$. Дробите $\frac(1)(29)$, $\frac(7)(29)$ и $\frac(100)(29)$ също имат еднакви знаменатели. Твърди се, че имат общ знаменател от $29$.

Ако дробите имат различни знаменатели, те могат да бъдат сведени до общ знаменател. За да направите това, трябва да умножите техните числители и знаменатели по определени допълнителни фактори.

Пример 2

Как да намалим две дроби $\frac(6)(11)$ и $\frac(2)(7)$ до общ знаменател.

Решение.

Нека умножим дробите $\frac(6)(11)$ и $\frac(2)(7)$ с допълнителни множители съответно $7$ и $11$ и да ги доведем до общ знаменател $77$:

$\frac(6\cdot 7)(11\cdot 7)=\frac(42)(77)$

$\frac(2\cdot 11)(7\cdot 11)=\frac(22)(77)$

По този начин, привеждане на дроби към общ знаменателе умножението на числителя и знаменателя на дадени дроби с допълнителни множители, което води до дроби с еднакви знаменатели.

Общ знаменател

Определение 1

Всяко положително общо кратно на всички знаменатели на някакъв набор от дроби се нарича общ знаменател.

С други думи, общият знаменател на дадените обикновени дроби е всяко естествено число, което може да бъде разделено на всички знаменатели на дадените дроби.

Дефиницията предполага безкраен брой общи знаменатели за даден набор от дроби.

Пример 3

Намерете общите знаменатели на дробите $\frac(3)(7)$ и $\frac(2)(13)$.

Решение.

Тези дроби имат знаменатели, равни съответно на $7$ и $13$. Положителните общи кратни на $2$ и $5$ са $91, 182, 273, 364$ и т.н.

Всяко от тези числа може да се използва като общ знаменател на дробите $\frac(3)(7)$ и $\frac(2)(13)$.

Пример 4

Определете дали дробите $\frac(1)(2)$, $\frac(16)(7)$ и $\frac(11)(9)$ могат да бъдат приведени до общ знаменател $252$.

Решение.

За да определите как да преобразувате дроб в общ знаменател $252$, трябва да проверите дали числото $252$ е общо кратно на знаменателите $2, 7$ и $9$. За да направите това, разделете числото $252$ на всеки от знаменателите:

$\frac(252)(2)=126,$ $\frac(252)(7)=36$, $\frac(252)(9)=28$.

Числото $252$ се дели на всички знаменатели, т.е. е общо кратно на $2, 7$ и $9$. Това означава, че дадените дроби $\frac(1)(2)$, $\frac(16)(7)$ и $\frac(11)(9)$ могат да бъдат намалени до общ знаменател $252$.

Отговор: можете.

Най-малък общ знаменател

Определение 2

Сред всички общи знаменатели на дадени дроби можем да различим най-малкото естествено число, което се нарича най-малък общ знаменател.

защото LCM е най-малкият положителен общ делител на даден набор от числа, тогава LCM на знаменателите на дадените дроби е най-малкият общ знаменател на дадените дроби.

Следователно, за да намерите най-малкия общ знаменател на дроби, трябва да намерите LCM на знаменателите на тези дроби.

Пример 5

Дадените дроби са $\frac(4)(15)$ и $\frac(37)(18)$. Намерете техния най-малък общ знаменател.

Решение.

Знаменателите на тези дроби са $15$ и $18$. Нека намерим най-малкия общ знаменател като LCM на числата $15$ и $18$. За да направим това, използваме разлагането на числата на прости множители:

$15=3\cdot 5$, $18=2\cdot 3\cdot 3$

$NOK(15, 18)=2\cdot 3\cdot 3\cdot 5=90$.

Отговор: $90$.

Правило за свеждане на дроби до най-малък общ знаменател

Най-често при решаване на задачи от алгебра, геометрия, физика и др. Обичайно е обикновените дроби да се свеждат до най-малкия общ знаменател, а не до който и да е общ знаменател.

Алгоритъм:

1. Намерете най-малкия общ знаменател, като използвате LCM на знаменателите на дадените дроби.
2. 2.Изчислете допълнителния множител за дадените дроби. За да направите това, намереният най-малък общ знаменател трябва да бъде разделен на знаменателя на всяка дроб. Полученото число ще бъде допълнителен фактор на тази дроб.
3. Умножете числителя и знаменателя на всяка дроб по намерения допълнителен фактор.

Пример 6

Намерете най-малкия общ знаменател на дробите $\frac(4)(16)$ и $\frac(3)(22)$ и редуцирайте двете дроби до него.

Решение.

Нека използваме алгоритъм за редуциране на дроби до най-малкия общ знаменател.

Нека изчислим най-малкото общо кратно на числата $16$ и $22$:

Нека разделим знаменателите на прости множители: $16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$, $22=2\cdot 11$.

$NOK(16, 22)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 11=176$.

Нека изчислим допълнителни фактори за всяка фракция:

$176\div 16=11$ – за дробта $\frac(4)(16)$;

$176\div 22=8$ – за дробта $\frac(3)(22)$.

Нека умножим числителите и знаменателите на дробите $\frac(4)(16)$ и $\frac(3)(22)$ с допълнителни множители съответно $11$ и $8$. Получаваме:

$\frac(4)(16)=\frac(4\cdot 11)(16\cdot 11)=\frac(44)(176)$

$\frac(3)(22)=\frac(3\cdot 8)(22\cdot 8)=\frac(24)(176)$

И двете дроби се свеждат до най-малкия общ знаменател $176$.

Отговор: $\frac(4)(16)=\frac(44)(176)$, $\frac(3)(22)=\frac(24)(176)$.

Понякога намирането на най-малкия общ знаменател изисква поредица от отнемащи време изчисления, които може да не оправдаят целта за решаване на проблема. В този случай можете да използвате най-простия метод - да намалите дробите до общ знаменател, който е продуктът на знаменателите на тези дроби.

Схема на привеждане към общ знаменател

1. Трябва да определите какво ще бъде най-малкото общо кратно на знаменателите на дробите. Ако имате работа със смесено или цяло число, първо трябва да го превърнете във фракция и едва след това да определите най-малкото общо кратно. За да превърнете цяло число в дроб, трябва да запишете самото число в числителя и единица в знаменателя. Например числото 5 като дроб би изглеждало така: 5/1. За да превърнете смесено число в дроб, трябва да умножите цялото число по знаменателя и да добавите числителя към него. Пример: 8 цели числа и 3/5 като дроб = 8x5+3/5 = 43/5.
2. След това е необходимо да се намери допълнителен фактор, който се определя чрез разделяне на NZ на знаменателя на всяка фракция.
3. Последната стъпка е да умножите дробта с допълнителен коефициент.

Важно е да запомните, че привеждането до общ знаменател е необходимо не само за добавяне или изваждане. За да сравните няколко дроби с различни знаменатели, първо трябва да намалите всяка от тях до общ знаменател.

Привеждане на дроби към общ знаменател

За да разберете как да намалите дроб до общ знаменател, трябва да разберете някои свойства на дробите. По този начин важно свойство, използвано за редуциране до NZ, е равенството на дробите. С други думи, ако числителят и знаменателят на дроб се умножат по число, резултатът е дроб, равен на предишния. Да вземем за пример следния пример. За да намалите дробите 5/9 и 5/6 до техния най-малък общ знаменател, изпълнете следните стъпки:

1. Първо намираме най-малкото общо кратно на знаменателите. В този случай за числата 9 и 6 LCM ще бъде 18.
2. Определяме допълнителни фактори за всяка от фракциите. Това става по следния начин. Разделяме LCM на знаменателя на всяка фракция, в резултат на което получаваме 18: 9 = 2 и 18: 6 = 3. Тези числа ще бъдат допълнителни фактори.
3. Привеждаме две дроби към NOS. Когато умножавате дроб по число, трябва да умножите както числителя, така и знаменателя. Дробта 5/9 може да се умножи с допълнителен коефициент 2, което води до дроб, равна на дадената - 10/18. Правим същото с втората дроб: умножаваме 5/6 по 3, което води до 15/18.

Както можем да видим от примера по-горе, и двете дроби са сведени до най-малкия им общ знаменател. За да разберете най-накрая как да намерите общ знаменател, трябва да овладеете още едно свойство на дробите. Той се крие във факта, че числителят и знаменателят на една дроб могат да бъдат намалени с едно и също число, което се нарича общ делител. Например, дробта 12/30 може да се намали до 2/5, ако се раздели на нейния общ делител - числото 6.

В този урок ще разгледаме свеждането на дроби до общ знаменател и ще решим задачи по тази тема. Нека да дефинираме концепцията за общ знаменател и допълнителен множител и да си спомним за относително простите числа. Нека да дефинираме концепцията за най-малкия общ знаменател (LCD) и да решим редица задачи, за да го намерим.

Тема: Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели

Урок: Привеждане на дроби към общ знаменател

Повторение. Основното свойство на дробта.

Ако числителят и знаменателят на дроб се умножат или разделят на едно и също естествено число, получавате еднаква дроб.

Например числителят и знаменателят на дроб могат да бъдат разделени на 2. Получаваме дробта. Тази операция се нарича редуциране на дроб. Можете също така да извършите обратната трансформация, като умножите числителя и знаменателя на дробта по 2. В този случай казваме, че сме намалили дробта до нов знаменател. Числото 2 се нарича допълнителен фактор.

Заключение.Една дроб може да бъде намалена до всеки знаменател, който е кратен на знаменателя на дадената дроб. За да приведете дроб към нов знаменател, нейният числител и знаменател се умножават по допълнителен коефициент.

1. Намалете дробта до знаменател 35.

Числото 35 е кратно на 7, тоест 35 се дели на 7 без остатък. Това означава, че тази трансформация е възможна. Нека намерим допълнителен фактор. За да направите това, разделете 35 на 7. Получаваме 5. Умножете числителя и знаменателя на оригиналната дроб по 5.

2. Намалете дробта до знаменател 18.

Нека намерим допълнителен фактор. За да направите това, разделете новия знаменател на оригиналния. Получаваме 3. Умножете числителя и знаменателя на тази дроб по 3.

3. Намалете дробта до знаменател 60.

Разделянето на 60 на 15 дава допълнителен фактор. Равно е на 4. Умножете числителя и знаменателя по 4.

4. Намалете дробта до знаменателя 24

В прости случаи редуцирането до нов знаменател се извършва мислено. Обичайно е само допълнителният фактор да се посочи зад скоба малко вдясно и над оригиналната дроб.

Една дроб може да бъде намалена до знаменател 15 и една дроб може да бъде намалена до знаменател 15. Дробите също имат общ знаменател 15.

Общият знаменател на дробите може да бъде всяко общо кратно на техните знаменатели. За простота дробите се свеждат до най-малкия им общ знаменател. То е равно на най-малкото общо кратно на знаменателите на дадените дроби.

Пример. Редуцирайте до най-малкия общ знаменател на дробта и .

Първо, нека намерим най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби. Това число е 12. Нека намерим допълнителен множител за първата и втората дроби. За да направите това, разделете 12 на 4 и 6. Три е допълнителен фактор за първата дроб, а две е за втората. Нека приведем дробите към знаменателя 12.

Доведохме дробите до общ знаменател, тоест намерихме равни дроби, които имат еднакъв знаменател.

правило.За да намалите дробите до най-малкия им общ знаменател, трябва

Първо, намерете най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби, то ще бъде техният най-малък общ знаменател;

Второ, разделете най-малкия общ знаменател на знаменателите на тези дроби, т.е. намерете допълнителен фактор за всяка дроб.

Трето, умножете числителя и знаменателя на всяка дроб по нейния допълнителен коефициент.

а) Сведете дробите и до общ знаменател.

Най-малкият общ знаменател е 12. Допълнителният множител за първата дроб е 4, за втората - 3. Свеждаме дробите до знаменател 24.

б) Сведете дробите и до общ знаменател.

Най-малкият общ знаменател е 45. Разделянето на 45 на 9 на 15 дава съответно 5 и 3. Намаляваме дробите до знаменател 45.

в) Сведете дробите и до общ знаменател.

Общият знаменател е 24. Допълнителните множители са съответно 2 и 3.

Понякога може да е трудно да се намери устно най-малкото общо кратно на знаменателите на дадени дроби. След това общият знаменател и допълнителните множители се намират чрез разлагане на прости множители.

Сведете дробите и до общ знаменател.

Нека разложим числата 60 и 168 на прости множители. Нека напишем разширението на числото 60 и добавим липсващите множители 2 и 7 от второто разширение. Нека умножим 60 по 14 и получим общ знаменател 840. Допълнителният множител за първата дроб е 14. Допълнителният множител за втората дроб е 5. Нека приведем дробите към общ знаменател 840.

Библиография

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонски В.В., Якир М.С. Математика 6 клас. - Гимназия, 2006г.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. Зад страниците на учебник по математика. - Просвещение, 1989г.

4. Рурукин А.Н., Чайковски И.В. Задачи за курса по математика за 5-6 клас. - ЗШ МИФИ, 2011.

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковски К.Г. Математика 5-6. Ръководство за ученици от 6 клас в задочната школа на МИФИ. - ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О. и др.Математика: Учебник-беседник за 5-6 клас на СОУ. Библиотека на учителя по математика. - Просвещение, 1989г.

Можете да изтеглите книгите, посочени в точка 1.2. на този урок.

Домашна работа

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. (вижте връзката 1.2)

Домашна работа: No297, No298, No300.

Други задачи: No270, No290

Привеждане на дроби към общ знаменател

Дроби Имам еднакви знаменатели. Те казват, че имат общ знаменател 25. Дробите имат различни знаменатели, но те могат да бъдат сведени до общ знаменател, като се използва основното свойство на дробите. За да направим това, ще намерим число, което се дели на 8 и 3, например 24. Нека приведем дробите към знаменателя 24, за да направим това, умножаваме числителя и знаменателя на дробта по допълнителен множител 3. Допълнителният фактор обикновено се записва вляво над числителя:

Умножете числителя и знаменателя на дробта с допълнителен коефициент 8:

Нека приведем дробите към общ знаменател. Най-често дробите се свеждат до най-малък общ знаменател, който е най-малкото общо кратно на знаменателите на дадените дроби. Тъй като LCM (8, 12) = 24, тогава дробите могат да бъдат намалени до знаменател 24. Нека намерим допълнителни множители на дробите: 24:8 = 3, 24:12 = 2. Тогава

Няколко дроби могат да бъдат сведени до общ знаменател.

Пример. Нека приведем дробите към общ знаменател. Тъй като 25 = 5 2, 10 = 2 5, 6 = 2 3, тогава LCM (25, 10, 6) = 2 3 5 2 = 150.

Нека намерим допълнителни множители на дроби и ги доведем до знаменателя 150:

Сравнение на дроби

На фиг. Фигура 4.7 показва отсечка AB с дължина 1. Тя е разделена на 7 равни части. Отсечката AC има дължина, а отсечката AD има дължина.

Дължината на отсечката AD е по-голяма от дължината на отсечката AC, т.е. дробта е по-голяма от дробта

От две дроби с общ знаменател по-голяма е тази с по-голям числител, т.е.

Например, или

За да сравните произволни две дроби, сведете ги до общ знаменател и след това приложете правилото за сравняване на дроби с общ знаменател.

Пример. Сравнете дроби

Решение. LCM (8, 14) = 56. Тогава Тъй като 21 > 20, тогава

Ако първата дроб е по-малка от втората, а втората е по-малка от третата, тогава първата е по-малка от третата.

Доказателство. Нека са дадени три дроби. Нека ги приведем под общ знаменател. Нека тогава изглеждат като Тъй като първата дроб е по-малка

второ, след това r< s. Так как вторая дробь меньше третьей, то s < t. Из полученных неравенств для натуральных чисел следует, что r < t, тогда первая дробь меньше третьей.

Дробта се нарича правилно, ако числителят му е по-малък от знаменателя.

Дробта се нарича грешно, ако неговият числител е по-голям или равен на знаменателя.

Например, дробите са правилни и дробите са неправилни.

Правилната дроб е по-малка от 1, а неправилната дроб е по-голяма или равна на 1.