Как да решим цяло рационално уравнение. Решаване на рационални уравнения

Решаване на дробни рационални уравнения

Справочно ръководство

Рационалните уравнения са уравнения, в които и лявата, и дясната страна са рационални изрази.

(Запомнете: рационалните изрази са цели и дробни изрази без радикали, включително операциите събиране, изваждане, умножение или деление - например: 6x; (m – n)2; x/3y и т.н.)

Дробните рационални уравнения обикновено се свеждат до формата:

Където П(х) И Q(х) са полиноми.

За да разрешите такива уравнения, умножете двете страни на уравнението по Q(x), което може да доведе до появата на външни корени. Следователно, когато се решават дробни рационални уравнения, е необходимо да се проверят намерените корени.

Рационалното уравнение се нарича цяло или алгебрично, ако не се дели на израз, съдържащ променлива.

Примери за цяло рационално уравнение:

5x – 10 = 3(10 – x)

3x
- = 2x – 10
4

Ако в рационално уравнение има деление с израз, съдържащ променлива (x), тогава уравнението се нарича дробно рационално.

Пример за дробно рационално уравнение:

15
x + - = 5x – 17
х

Дробните рационални уравнения обикновено се решават, както следва:

1) намерете общия знаменател на дробите и умножете двете страни на уравнението по него;

2) решаване на полученото цяло уравнение;

3) изключете от корените си онези, които намаляват общия знаменател на дробите до нула.

Примери за решаване на цели и дробни рационални уравнения.

Пример 1. Да решим цялото уравнение

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Решение:

Намиране на най-малкия общ знаменател. Това е 6. Разделете 6 на знаменателя и умножете получения резултат по числителя на всяка дроб. Получаваме уравнение, еквивалентно на това:

3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Тъй като лявата и дясната страна имат един и същ знаменател, той може да бъде пропуснат. Тогава получаваме по-просто уравнение:

3(x – 1) + 4x = 5x.

Решаваме го, като отворим скобите и комбинираме подобни термини:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

Примерът е решен.

Пример 2. Решаване на дробно рационално уравнение

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x (x – 5)

Намиране на общ знаменател. Това е x(x – 5). Така:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Сега отново се отърваваме от знаменателя, тъй като той е един и същ за всички изрази. Намаляваме подобни членове, приравняваме уравнението към нула и получаваме квадратно уравнение:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0.

След като решихме квадратното уравнение, намираме неговите корени: –2 и 5.

Нека проверим дали тези числа са корените на оригиналното уравнение.

При x = –2 общият знаменател x(x – 5) не изчезва. Това означава –2 е коренът на първоначалното уравнение.

При x = 5 общият знаменател отива на нула и два от три израза стават безсмислени. Това означава, че числото 5 не е коренът на първоначалното уравнение.

Отговор: x = –2

Още примери

Пример 1.

x 1 =6, x 2 = - 2,2.

Отговор: -2,2;6.

Пример 2.

Решаване на дробни рационални уравнения

Ако сте ученик в осми клас и изведнъж се е случило, че сте пропуснали урок или сте пренебрегнали това, за което учителят говори, тази статия е за вас!

Първо, нека разберем какво е това - дробни рационални уравнения? Във всеки учебник има следната дефиниция: Дробно-рационално уравнение е уравнение на формата\(fxg(x)=0\) .

И разбира се, това определение не ви казва нищо. След това давам примери, а вие се опитвате да идентифицирате модел, да намерите нещо общо.

\(((-2x-4)\над (x^2-4))=((x+5)\над (x-2))\)\(((3x^2-6)\върху 2(x+1)) =x-1\)\((x\над x-2 ) + (8\над(4-x^2)) - (1\над x+2)=0\)

И тези уравнения не са дробно-рационални:

\(3x^2+x-25=0 \) \(((2-x)\над (2))+((3x\над 5))=4\)\(((2x-1)\над 2)+(5x\над 6)-(1-x\над 3)=3x-2\)

Последните две уравнения определено не са дробно-рационални, въпреки факта, че се състоят от дроби. Но най-важното е, че в знаменателя няма променлива (буква). Но в дробно рационално уравнение винаги има променлива в знаменателя.

И така, след като сте определили правилно кое уравнение е пред вас, нека започнем да го решаваме. Първото нещо, което трябва да направите, е обозначено с три главни букви,О.Д.З.Какво означават тези букви?ОТНОСНО■ площ дпропуснато Зпостижения. Сега няма да обяснявам какво означава това в науката математика; нашата цел е да се научим да решаваме уравнения, а не да повтаряме темата „Алгебрични дроби“. Но за нашата цел това означава следното: вземаме знаменателя или знаменателите на нашите дроби, записваме ги отделно и отбелязваме, че не са равни на нула.

Ако използваме нашите уравнения като пример\(((-2x-4)\върху x^2-4)=(x+5\върху x-2)\), направите това:

ODZ: \(x^2-4≠0\)

\(x-2≠0\)

\((3x^2-6\върху 2(x+1)) =x-1 \)

ODZ: \(x+1≠0\)

Защо не са посочили множител 2? Толкова е ясно, че 2≠0

\((x\върху x-2)+(8\върху 4-x^2)-(1\върху x+2)=0\)

ODZ: \(x-2≠0\)

\(4-x^2≠0\)

\(x+2≠0\)

Дотук всичко изглежда просто. Какво следва? Следващата стъпка ще зависи от това колко сте напреднали в математиката. Ако можете, тогава решете тези уравнения със знак, а ако не можете, оставете го както е засега. И продължаваме напред.

След това всички дроби, включени в уравненията, трябва да бъдат представени като една дроб. За да направите това, трябва да намерите общия знаменател на дробта. И накрая запишете какво се е случило в числителя и приравнете този израз на нула. И след това решете уравнението.

Да се ​​върнем към нашите примери:\((-2x-4\по x^2-4)=(x+5 \по x-2)\) ODZ: \(x^2-4≠0\)

\((-2x-4\по x^2-4)-(x+5 \по x-2)=0 \)\(x-2≠0\)

Преместихме дроба наляво и в същото време променихме знака. Забелязваме, че знаменателят\(x^2-4\) може да се разложи на множители с помощта на формулата за съкратено умножение\(x^2-4=(x-2)(x+2)\) , а в числителя можете да извадите общия множител „-2“ извън скоби.

\((-2(x+2)\върху (x+2)(x-2)) -(x+5\върху x-2)=0\)

Да погледнем отново ODZ, имаме ли го? Яжте! След това можете да намалите първата дроб сх+2 . Ако няма ODZ, не можете да го намалите! Получаваме:

\((-2\върху x-2)-(x+5 \върху x-2)=0\)

Дробите имат общ знаменател, което означава, че могат да бъдат извадени:

\((-2-x-5\върху x-2)=0\)

Моля, обърнете внимание, че тъй като изваждаме дроби, променяме знака „+“ във втората дроб на минус! Представяме подобни термини в числителя:

\((-x-7 \над x-2)=0\)

Спомнете си, че една дроб е равна на нула, когато числителят е нула, а знаменателят не е равен на нула. В ОДЗ посочихме, че знаменателят не е нула. Време е да посочим, че числителят е нула:

\(-x-7=0\)

Това е линейно уравнение, преместете "-7" надясно, сменете знака:

\(-x=7\)

\(x=7:(-1)\)

\(x=-7\)

Да си спомним за ODZ:\(x^2-4≠0\) \(x-2≠0\). Ако можете да го решите, значи сте го решили по следния начин:\(x^2≠4\) \(x≠2\)

\(x_1≠2\) \(x_2≠-2\)

И ако не можем да го решим, тогава заместваме в ODZ вместо "x" това, което имаме. Ние имаме\(x=-7\)

Тогава: \((-7)^2-4≠0\) ? Изпълнено? Изпълнено!

Така че отговорът на нашето уравнение е:\(x=-7\)

Разгледайте следното уравнение: \((3x^2-6\върху 2(x+1))=(x-1)\)

Решаваме го по същия начин. Първо посочваме ODZ:\(x+1≠0\)

След това преместваме x-1 отляво, веднага присвояваме знаменател 1 на този израз; това може да се направи, тъй като знаменателят 1 не влияе на нищо.

Получаваме: \((3x^2-6\над 2(x+1)) -(x-1\над 1)=0\)

Търсим общ знаменател, това\(2(x+1)\) . Умножаваме втората дроб по този израз.

Има: \((3x^2-6\over2(x+1)) -((x-1)⋅2(x+1)\over2(x+1)) =0\)

\(( 3x^2-6-2x^2+2\over2(x+1)) =0 \)

Ако е трудно, нека обясня:\(2(x+1)(x-1)=2x^2-2 \) И тъй като втората фракция е предшествана от знак „-“, когато комбинираме тези дроби в една, ние променяме знаците на противоположните.

Забелязваме, че \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) и го препишете така:\(((x-2)(x+2)\over2(x+1)) =0\)

След това използваме определението за дроб, равна на нула. Една дроб е равна на нула, когато числителят е нула, а знаменателят не е нула. В ОДЗ посочихме, че знаменателят не е равен на нула, ще посочим, че числителят е равен на нула.\((x-2)(x+2)=0\) . И нека решим това уравнение. Състои се от два фактора x-2 и x+2 . Запомнете, че произведението на два фактора е равно на нула, когато един от факторите е равен на нула.

Така че: x+2 =0 или x-2 =0

От първото уравнение получаваме x=-2 , от второто x=2 . Прехвърляме номера и сменяме табелата.

На последния етап проверяваме ODZ: x+1≠0

Вместо x, заменете числата 2 и -2.

Получаваме 2+1≠0 . Изпълнено? да Така че x=2 е нашият корен. Нека проверим следното:-2+1≠0 . Изпълнено. да Това означава, че x=-2 също е нашият корен. Така че отговорът е: 2 и -2.

Нека решим последното уравнение без обяснение. Алгоритъмът е същият:

Нека продължим да говорим за решаване на уравнения. В тази статия ще разгледаме подробно рационални уравненияи принципи за решаване на рационални уравнения с една променлива. Първо, нека разберем какъв тип уравнения се наричат ​​рационални, да дадем дефиниция на цели рационални и дробни рационални уравнения и да дадем примери. След това ще получим алгоритми за решаване на рационални уравнения и, разбира се, ще разгледаме решения на типични примери с всички необходими обяснения.

Навигация в страницата.

Въз основа на посочените дефиниции даваме няколко примера за рационални уравнения. Например, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , всички са рационални уравнения.

От показаните примери става ясно, че рационалните уравнения, както и уравненията от други видове, могат да бъдат с една променлива или с две, три и т.н. променливи. В следващите параграфи ще говорим за решаване на рационални уравнения с една променлива. Решаване на уравнения с две променливии големият им брой заслужава специално внимание.

Освен че рационалните уравнения се делят на броя на неизвестните променливи, те се делят и на цели и дробни. Нека дадем съответните определения.

Определение.

Рационалното уравнение се нарича цяло, ако и лявата, и дясната му страна са цели рационални изрази.

Определение.

Ако поне една от частите на рационално уравнение е дробен израз, тогава такова уравнение се нарича частично рационален(или дробно рационален).

Ясно е, че целите уравнения не съдържат деление на променлива; напротив, дробните рационални уравнения задължително съдържат деление на променлива (или променлива в знаменателя). Така че 3 x+2=0 и (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– това са цели рационални уравнения, двете им части са цели изрази. A и x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 са примери за дробни рационални уравнения.

Завършвайки тази точка, нека обърнем внимание на факта, че известните до този момент линейни уравнения и квадратни уравнения са цели рационални уравнения.

Решаване на цели уравнения

Един от основните подходи за решаване на цели уравнения е свеждането им до еквивалентни алгебрични уравнения. Това винаги може да се направи чрез извършване на следните еквивалентни трансформации на уравнението:

• първо, изразът от дясната страна на оригиналното цяло числово уравнение се прехвърля в лявата страна с обратен знак, за да се получи нула от дясната страна;
• след това, от лявата страна на уравнението, получената стандартна форма.

Резултатът е алгебрично уравнение, което е еквивалентно на оригиналното цяло число. Така в най-простите случаи решаването на цели уравнения се свежда до решаване на линейни или квадратни уравнения, а в общия случай до решаване на алгебрично уравнение от степен n. За по-голяма яснота нека разгледаме решението на примера.

Пример.

Намерете корените на цялото уравнение 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Решение.

Нека намалим решението на цялото това уравнение до решението на еквивалентно алгебрично уравнение. За да направите това, първо прехвърляме израза от дясната страна наляво, в резултат на което стигаме до уравнението 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. И, второ, трансформираме израза, образуван от лявата страна, в полином със стандартна форма, като попълним необходимото: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. По този начин решаването на първоначалното целочислено уравнение се свежда до решаване на квадратното уравнение x 2 −5·x−6=0.

Изчисляваме неговия дискриминант D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, то е положително, което означава, че уравнението има два реални корена, които намираме с помощта на формулата за корените на квадратно уравнение:

За да сме напълно сигурни, нека го направим проверка на намерените корени на уравнението. Първо проверяваме корена 6, заместваме го вместо променливата x в оригиналното цяло число: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, което е същото, 63=63. Това е валидно числено уравнение, следователно x=6 наистина е коренът на уравнението. Сега проверяваме корена −1, имаме 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, откъдето 0=0 . Когато x=−1, първоначалното уравнение също се превръща в правилно числово равенство, следователно x=−1 също е корен на уравнението.

Отговор:

6 , −1 .

Тук също трябва да се отбележи, че терминът „степен на цялото уравнение“ се свързва с представянето на цялото уравнение под формата на алгебрично уравнение. Нека дадем съответното определение:

Определение.

Силата на цялото уравнениесе нарича степен на еквивалентно алгебрично уравнение.

Според тази дефиниция цялото уравнение от предишния пример има втора степен.

Това можеше да е краят на решаването на цели рационални уравнения, ако не беше едно... Както е известно, решаването на алгебрични уравнения със степен над втората е свързано със значителни трудности, а за уравнения със степен над четвъртата изобщо няма общи коренни формули. Следователно, за да се решат цели уравнения от трета, четвърта и по-високи степени, често е необходимо да се прибягва до други методи за решаване.

В такива случаи подход за решаване на цели рационални уравнения, базиран на метод на факторизация. В този случай се спазва следният алгоритъм:

• първо, те гарантират, че има нула от дясната страна на уравнението; за да направят това, те прехвърлят израза от дясната страна на цялото уравнение вляво;
• след това полученият израз от лявата страна е представен като продукт на няколко фактора, което ни позволява да преминем към набор от няколко по-прости уравнения.

Даденият алгоритъм за решаване на цяло уравнение чрез факторизация изисква подробно обяснение с помощта на пример.

Пример.

Решете цялото уравнение (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Решение.

Първо, както обикновено, прехвърляме израза от дясната страна в лявата страна на уравнението, като не забравяме да променим знака, получаваме (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Тук е съвсем очевидно, че не е препоръчително да трансформирате лявата страна на полученото уравнение в полином от стандартната форма, тъй като това ще даде алгебрично уравнение от четвърта степен на формата x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, чието решение е трудно.

От друга страна, очевидно е, че от лявата страна на полученото уравнение можем да x 2 −10 x+13 , като по този начин го представяме като продукт. Ние имаме (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Полученото уравнение е еквивалентно на първоначалното цяло уравнение и то от своя страна може да бъде заменено с набор от две квадратни уравнения x 2 −10·x+13=0 и x 2 −2·x−1=0. Намирането на техните корени с помощта на известни коренни формули чрез дискриминант не е трудно; корените са равни. Те са желаните корени на първоначалното уравнение.

Отговор:

Също полезен за решаване на цели рационални уравнения метод за въвеждане на нова променлива. В някои случаи ви позволява да преминете към уравнения, чиято степен е по-ниска от степента на първоначалното цяло уравнение.

Пример.

Намерете реалните корени на рационално уравнение (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Решение.

Свеждането на цялото това рационално уравнение до алгебрично уравнение е, меко казано, не много добра идея, тъй като в този случай ще стигнем до необходимостта да решим уравнение от четвърта степен, което няма рационални корени. Следователно ще трябва да потърсите друго решение.

Тук е лесно да се види, че можете да въведете нова променлива y и да замените израза x 2 +3·x с нея. Тази замяна ни води до цялото уравнение (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , което след преместване на израза −2·(y−4) в лявата страна и последваща трансформация на израза образувано там, се свежда до квадратно уравнение y 2 +4·y+3=0. Корените на това уравнение y=−1 и y=−3 са лесни за намиране, например те могат да бъдат избрани въз основа на теоремата, обратна на теоремата на Виета.

Сега преминаваме към втората част от метода за въвеждане на нова променлива, тоест към извършване на обратна замяна. След извършване на обратното заместване, получаваме две уравнения x 2 +3 x=−1 и x 2 +3 x=−3, които могат да бъдат пренаписани като x 2 +3 x+1=0 и x 2 +3 x+3 =0. Използвайки формулата за корените на квадратно уравнение, намираме корените на първото уравнение. А второто квадратно уравнение няма реални корени, тъй като неговият дискриминант е отрицателен (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Отговор:

Като цяло, когато имаме работа с цели уравнения от високи степени, винаги трябва да сме готови да търсим нестандартен метод или изкуствена техника за решаването им.

Решаване на дробни рационални уравнения

Първо, ще бъде полезно да разберете как да решавате дробни рационални уравнения от вида , където p(x) и q(x) са цели рационални изрази. И тогава ще покажем как да сведем решението на други частично рационални уравнения до решението на уравнения от посочения тип.

Един подход за решаване на уравнението се основава на следното твърдение: числената дроб u/v, където v е ненулево число (в противен случай ще срещнем , което е недефинирано), е равна на нула тогава и само ако нейният числител е равно на нула, тогава е, ако и само ако u=0 . По силата на това твърдение решаването на уравнението се свежда до изпълнение на две условия p(x)=0 и q(x)≠0.

Този извод съответства на следното алгоритъм за решаване на дробно рационално уравнение. За да решите дробно рационално уравнение от формата , трябва

• решаване на цялото рационално уравнение p(x)=0 ;
• и проверете дали условието q(x)≠0 е изпълнено за всеки намерен корен, докато
• ако е вярно, тогава този корен е коренът на оригиналното уравнение;
• ако не е изпълнено, тогава този корен е страничен, тоест не е коренът на първоначалното уравнение.

Нека да разгледаме пример за използване на обявения алгоритъм при решаване на дробно рационално уравнение.

Пример.

Намерете корените на уравнението.

Решение.

Това е дробно рационално уравнение и има формата , където p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Съгласно алгоритъма за решаване на дробни рационални уравнения от този тип, първо трябва да решим уравнението 3 x−2=0. Това е линейно уравнение, чийто корен е x=2/3.

Остава да проверим за този корен, тоест да проверим дали той отговаря на условието 5 x 2 −2≠0. Заместваме числото 2/3 в израза 5 x 2 −2 вместо x и получаваме . Условието е изпълнено, така че x=2/3 е коренът на първоначалното уравнение.

Отговор:

2/3 .

Можете да подходите към решаването на дробно рационално уравнение от малко по-различна позиция. Това уравнение е еквивалентно на целочисленото уравнение p(x)=0 върху променливата x на оригиналното уравнение. Тоест, можете да се придържате към това алгоритъм за решаване на дробно рационално уравнение :

• решаване на уравнението p(x)=0 ;
• намиране на ODZ на променлива x;
• вземете корени, принадлежащи към областта на приемливите стойности - те са желаните корени на първоначалното дробно рационално уравнение.

Например, нека решим дробно рационално уравнение с помощта на този алгоритъм.

Пример.

Решете уравнението.

Решение.

Първо решаваме квадратното уравнение x 2 −2·x−11=0. Неговите корени могат да бъдат изчислени с помощта на формулата за корена за четния втори коефициент, който имаме D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, И .

Второ, намираме ODZ на променливата x за първоначалното уравнение. Състои се от всички числа, за които x 2 +3·x≠0, което е същото като x·(x+3)≠0, откъдето x≠0, x≠−3.

Остава да проверим дали намерените в първата стъпка корени са включени в ODZ. Очевидно да. Следователно първоначалното дробно рационално уравнение има два корена.

Отговор:

Имайте предвид, че този подход е по-изгоден от първия, ако ODZ е лесен за намиране и е особено полезен, ако корените на уравнението p(x) = 0 са ирационални, например, или рационални, но с доста голям числител и /или знаменател, например 127/1101 и −31/59. Това се дължи на факта, че в такива случаи проверката на условието q(x)≠0 ще изисква значителни изчислителни усилия и е по-лесно да се изключат външни корени с помощта на ODZ.

В други случаи при решаването на уравнението, особено когато корените на уравнението p(x) = 0 са цели числа, е по-изгодно да се използва първият от дадените алгоритми. Тоест, препоръчително е незабавно да се намерят корените на цялото уравнение p(x)=0 и след това да се провери дали условието q(x)≠0 е изпълнено за тях, вместо да се намери ODZ и след това да се реши уравнението p(x)=0 на този ODZ. Това се дължи на факта, че в такива случаи обикновено е по-лесно да се провери, отколкото да се намери ДЗ.

Нека разгледаме решението на два примера, за да илюстрираме посочените нюанси.

Пример.

Намерете корените на уравнението.

Решение.

Първо, нека намерим корените на цялото уравнение (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, съставен с помощта на числителя на дробта. Лявата страна на това уравнение е продукт, а дясната страна е нула, следователно, според метода за решаване на уравнения чрез факторизация, това уравнение е еквивалентно на набор от четири уравнения 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Три от тези уравнения са линейни и едно е квадратно; можем да ги решим. От първото уравнение намираме x=1/2, от второто - x=6, от третото - x=7, x=−2, от четвъртото - x=−1.

С намерените корени е доста лесно да се провери дали знаменателят на дробта от лявата страна на оригиналното уравнение изчезва, но определянето на ODZ, напротив, не е толкова просто, тъй като за това ще трябва да решите алгебрично уравнение от пета степен. Следователно ще се откажем от намирането на ODZ в полза на проверката на корените. За да направим това, ние ги заместваме един по един вместо променливата x в израза x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, получени след заместване, и ги сравнете с нула: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Така 1/2, 6 и −2 са желаните корени на първоначалното дробно рационално уравнение, а 7 и −1 са външни корени.

Отговор:

1/2 , 6 , −2 .

Пример.

Намерете корените на дробно рационално уравнение.

Решение.

Първо, нека намерим корените на уравнението (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Това уравнение е еквивалентно на набор от две уравнения: квадратно 5 x 2 −7 x−1=0 и линейно x−2=0. Използвайки формулата за корените на квадратно уравнение, намираме два корена, а от второто уравнение имаме x=2.

Проверката дали знаменателят отива на нула при намерените стойности на x е доста неприятна. И определянето на обхвата на допустимите стойности на променливата x в оригиналното уравнение е доста просто. Затова ще действаме през ОДЗ.

В нашия случай ODZ на променливата x на първоначалното дробно рационално уравнение се състои от всички числа, с изключение на тези, за които условието x 2 +5·x−14=0 е изпълнено. Корените на това квадратно уравнение са x=−7 и x=2, от което правим заключение за ODZ: то се състои от всички x такива, че .

Остава да проверим дали намерените корени и x=2 принадлежат към диапазона на допустимите стойности. Корените принадлежат, следователно, те са корени на оригиналното уравнение, а x=2 не принадлежи, следователно, това е външен корен.

Отговор:

Също така ще бъде полезно да се спрем отделно на случаите, когато в дробно рационално уравнение от вида има число в числителя, т.е. когато p(x) е представено от някакво число. При което

• ако това число е различно от нула, тогава уравнението няма корени, тъй като една дроб е равна на нула тогава и само ако нейният числител е равен на нула;
• ако това число е нула, тогава коренът на уравнението е произволно число от ODZ.

Пример.

Решение.

Тъй като числителят на дробта от лявата страна на уравнението съдържа ненулево число, тогава за всяко x стойността на тази дроб не може да бъде равна на нула. Следователно това уравнение няма корени.

Отговор:

без корени.

Пример.

Решете уравнението.

Решение.

Числителят на дробта от лявата страна на това дробно рационално уравнение съдържа нула, така че стойността на тази дроб е нула за всяко x, за което има смисъл. С други думи, решението на това уравнение е всяка стойност на x от ODZ на тази променлива.

Остава да се определи този диапазон от допустими стойности. Той включва всички стойности на x, за които x 4 +5 x 3 ≠0. Решенията на уравнението x 4 +5 x 3 =0 са 0 и −5, тъй като това уравнение е еквивалентно на уравнението x 3 (x+5)=0, а то от своя страна е еквивалентно на комбинацията от две уравнения x 3 =0 и x +5=0, откъдето се виждат тези корени. Следователно желаният диапазон от приемливи стойности е всеки x с изключение на x=0 и x=−5.

По този начин едно дробно рационално уравнение има безкрайно много решения, които са всякакви числа с изключение на нула и минус пет.

Отговор:

И накрая, време е да поговорим за решаването на дробни рационални уравнения с произволна форма. Те могат да бъдат записани като r(x)=s(x), където r(x) и s(x) са рационални изрази и поне един от тях е дробен. Гледайки напред, нека кажем, че тяхното решение се свежда до решаване на уравнения във формата, която вече ни е позната.

Известно е, че прехвърлянето на член от една част на уравнението в друга с противоположен знак води до еквивалентно уравнение, следователно уравнението r(x)=s(x) е еквивалентно на уравнението r(x)−s(x )=0.

Също така знаем, че всеки , идентично равен на този израз, е възможен. По този начин винаги можем да трансформираме рационалния израз от лявата страна на уравнението r(x)−s(x)=0 в еднакво равна рационална дроб от формата .

Така че преминаваме от първоначалното дробно рационално уравнение r(x)=s(x) към уравнението и неговото решение, както разбрахме по-горе, се свежда до решаването на уравнението p(x)=0.

Но тук е необходимо да се вземе предвид факта, че при замяна на r(x)−s(x)=0 с , а след това с p(x)=0, обхватът на допустимите стойности на променливата x може да се разшири .

Следователно първоначалното уравнение r(x)=s(x) и уравнението p(x)=0, до което стигнахме, може да се окажат неравни и чрез решаване на уравнението p(x)=0 можем да получим корени които ще бъдат външни корени на оригиналното уравнение r(x)=s(x) . Можете да идентифицирате и да не включвате външни корени в отговора, като извършите проверка или като проверите дали принадлежат към ODZ на оригиналното уравнение.

Нека обобщим тази информация в алгоритъм за решаване на дробно рационално уравнение r(x)=s(x). За да решите дробно-рационалното уравнение r(x)=s(x) , трябва

• Вземете нула отдясно, като преместите израза от дясната страна с противоположния знак.
• Извършвайте операции с дроби и полиноми от лявата страна на уравнението, като по този начин го трансформирате в рационална дроб от формата.
• Решете уравнението p(x)=0.
• Идентифицирайте и елиминирайте външни корени, което се прави чрез заместването им в оригиналното уравнение или чрез проверка на принадлежността им към ODZ на оригиналното уравнение.

За по-голяма яснота ще покажем цялата верига от решаване на дробни рационални уравнения:
.

Нека да разгледаме решенията на няколко примера с подробно обяснение на процеса на решаване, за да изясним дадения блок информация.

Пример.

Решаване на дробно рационално уравнение.

Решение.

Ще действаме в съответствие с току-що получения алгоритъм за решение. И първо преместваме членовете от дясната страна на уравнението вляво, като резултат преминаваме към уравнението.

Във втората стъпка трябва да преобразуваме дробния рационален израз от лявата страна на полученото уравнение във формата на дроб. За да направим това, свеждаме рационалните дроби до общ знаменател и опростяваме получения израз: . Така стигаме до уравнението.

В следващата стъпка трябва да решим уравнението −2·x−1=0. Намираме x=−1/2.

Остава да проверим дали намереното число −1/2 не е страничен корен на първоначалното уравнение. За да направите това, можете да проверите или намерите VA на променливата x на оригиналното уравнение. Нека демонстрираме и двата подхода.

Да започнем с проверката. Заместваме числото −1/2 в оригиналното уравнение вместо променливата x и получаваме същото нещо, −1=−1. Заместването дава правилното числово равенство, така че x=−1/2 е коренът на първоначалното уравнение.

Сега ще покажем как се изпълнява последната точка от алгоритъма чрез ODZ. Диапазонът на допустимите стойности на първоначалното уравнение е множеството от всички числа с изключение на −1 и 0 (при x=−1 и x=0 знаменателите на дробите се равняват на нула). Коренът x=−1/2, намерен в предишната стъпка, принадлежи на ODZ, следователно x=−1/2 е коренът на оригиналното уравнение.

Отговор:

−1/2 .

Нека да разгледаме друг пример.

Пример.

Намерете корените на уравнението.

Решение.

Трябва да решим дробно рационално уравнение, нека преминем през всички стъпки на алгоритъма.

Първо преместваме члена от дясната страна наляво, получаваме .

Второ, трансформираме израза, образуван от лявата страна: . В резултат на това стигаме до уравнението x=0.

Коренът му е очевиден - той е нула.

На четвъртата стъпка остава да разберем дали намереният корен е чужд на първоначалното дробно рационално уравнение. Когато се замести в първоначалното уравнение, се получава изразът. Очевидно няма смисъл, защото съдържа деление на нула. Откъдето заключаваме, че 0 е външен корен. Следователно първоначалното уравнение няма корени.

7, което води до ур. От това можем да заключим, че изразът в знаменателя на лявата страна трябва да бъде равен на този на дясната страна, т.е. Сега изваждаме от двете страни на тройката: . По аналогия откъде и по-нататък.

Проверката показва, че и двата открити корена са корени на първоначалното дробно рационално уравнение.

Отговор:

Библиография.

• Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г.Алгебра. 8 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Алгебра: 9 клас: учебен. за общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2009. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Вече научихме как да решаваме квадратни уравнения. Сега нека разширим изучаваните методи към рационални уравнения.

Какво е рационален израз? Вече сме се сблъсквали с тази концепция. Рационални изразиса изрази, съставени от числа, променливи, техните степени и символи на математически операции.

Съответно рационалните уравнения са уравнения от вида: , където - рационални изрази.

Преди това разглеждахме само онези рационални уравнения, които могат да бъдат сведени до линейни. Сега нека разгледаме тези рационални уравнения, които могат да бъдат сведени до квадратни уравнения.

Пример 1

Решете уравнението: .

Решение:

Една дроб е равна на 0 тогава и само ако нейният числител е равен на 0 и знаменателят й не е равен на 0.

Получаваме следната система:

Първото уравнение на системата е квадратно уравнение. Преди да го решим, нека разделим всичките му коефициенти на 3. Получаваме:

Получаваме два корена: ; .

Тъй като 2 никога не е равно на 0, трябва да бъдат изпълнени две условия: . Тъй като нито един от корените на полученото по-горе уравнение не съвпада с невалидните стойности на променливата, получени при решаването на второто неравенство, и двете са решения на това уравнение.

Отговор:.

И така, нека формулираме алгоритъм за решаване на рационални уравнения:

1. Преместете всички членове вляво, така че дясната страна да завършва с 0.

2. Трансформирайте и опростете лявата страна, приведете всички дроби към общ знаменател.

3. Приравнете получената дроб на 0, като използвате следния алгоритъм: .

4. Запишете онези корени, които са получени в първото уравнение и отговарят на второто неравенство в отговора.

Нека да разгледаме друг пример.

Пример 2

Решете уравнението: .

Решение

В самото начало преместваме всички членове наляво, така че отдясно да остане 0. Получаваме:

Сега нека приведем лявата страна на уравнението към общ знаменател:

Това уравнение е еквивалентно на системата:

Първото уравнение на системата е квадратно уравнение.

Коефициенти на това уравнение: . Изчисляваме дискриминанта:

Получаваме два корена: ; .

Сега нека решим второто неравенство: произведението на факторите не е равно на 0 тогава и само ако никой от факторите не е равен на 0.

Трябва да бъдат изпълнени две условия: . Откриваме, че от двата корена на първото уравнение само един е подходящ - 3.

Отговор:.

В този урок си спомнихме какво е рационален израз и също научихме как да решаваме рационални уравнения, които се свеждат до квадратни уравнения.

В следващия урок ще разгледаме рационалните уравнения като модели на реални ситуации, а също така ще разгледаме проблемите с движението.

Библиография

1. Башмаков M.I. Алгебра 8 клас. - М.: Образование, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.. Алгебра, 8. 5-то изд. - М.: Образование, 2010.
3. Николски С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 клас. Учебник за общообразователните институции. - М.: Образование, 2006.

1. Фестивал на педагогическите идеи "Открит урок" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Домашна работа

„Рационални уравнения с полиноми“ е една от най-често срещаните теми в тестовите задачи на Единния държавен изпит по математика. Поради тази причина на тяхното повторение трябва да се обърне специално внимание. Много ученици са изправени пред проблема с намирането на дискриминанта, прехвърлянето на индикатори от дясната страна в лявата и привеждането на уравнението към общ знаменател, поради което изпълнението на такива задачи създава трудности. Решаването на рационални уравнения при подготовката за Единния държавен изпит на нашия уебсайт ще ви помогне бързо да се справите със задачи от всякаква сложност и да преминете теста с летящи цветове.

Изберете образователния портал Школково, за да се подготвите успешно за Единния изпит по математика!

За да знаете правилата за изчисляване на неизвестни и лесно да получите правилни резултати, използвайте нашата онлайн услуга. Порталът Школково е единствена по рода си платформа, където се събират материали, необходими за подготовка за Единния държавен изпит. Нашите учители систематизираха и представиха в разбираема форма всички математически правила. Освен това каним учениците да опитат силите си в решаването на стандартни рационални уравнения, чиято основа непрекъснато се актуализира и разширява.

За по-ефективна подготовка за тестване препоръчваме да следвате нашия специален метод и да започнете с повтаряне на правилата и решаване на прости задачи, като постепенно преминете към по-сложни. Така завършилият ще може да идентифицира най-трудните теми за себе си и да се съсредоточи върху тяхното изучаване.

Започнете да се подготвяте за последния тест с Школково днес и резултатите няма да закъснеят! Изберете най-лесния пример от дадените. Ако усвоите израза бързо, преминете към по-трудна задача. По този начин можете да подобрите знанията си до степен да решавате USE задачи по математика на специализирано ниво.

Обучението е достъпно не само за възпитаници от Москва, но и за ученици от други градове. Прекарайте няколко часа на ден в обучение на нашия портал например и много скоро ще можете да се справите с уравнения от всякаква сложност!