Как да различим пряка и обратна пропорционалност. Обратната пропорционалност в математиката и в живота

Изпълнител: Чепкасов Родион

Ученик в 6 клас

МБОУ "Средно училище № 53"

Барнаул

Ръководител: Буликина О.Г.

учител по математика

МБОУ "Средно училище № 53"

Барнаул

Въведение. 1

Отношения и пропорции. 3

Прави и обратнопропорционални зависимости. 4

Приложение на права и обратно пропорционална 6

зависимости при решаване на различни проблеми.

Заключение. единадесет

Литература. 12

Въведение.

Думата пропорция идва от латинската дума proportion, която най-общо означава пропорционалност, подравняване на частите (определено съотношение на частите една към друга). В древни времена учението за пропорциите е било високо почитано от питагорейците. С пропорциите те свързваха мисли за реда и красотата в природата, за съзвучните акорди в музиката и хармонията във Вселената. Те наричат ​​някои видове пропорции музикални или хармонични.

Още в древни времена човекът е открил, че всички явления в природата са свързани помежду си, че всичко е в непрекъснато движение, промяна и, изразено в числа, разкрива удивителни модели.

Питагорейците и техните последователи са търсили цифров израз за всичко в света. Те откриха; че математическите пропорции са в основата на музиката (съотношението на дължината на струната към височината, връзката между интервалите, съотношението на звуците в акордите, които дават хармоничен звук). Питагорейците се опитват да обосноват математически идеята за единството на света и твърдят, че основата на Вселената са симетрични геометрични форми. Питагорейците са търсили математическа основа за красотата.

Следвайки питагорейците, средновековният учен Августин нарича красотата „числово равенство“. Философът-схоластик Бонавентура пише: "Няма красота и удоволствие без пропорционалност, а пропорционалността съществува предимно в числа. Необходимо е всичко да бъде изброимо." Леонардо да Винчи пише за използването на пропорцията в изкуството в своя трактат за живописта: „Художникът въплъщава под формата на пропорция същите модели, скрити в природата, които ученият познава под формата на числовия закон.“

Пропорциите са били използвани за решаване на различни проблеми както през Античността, така и през Средновековието. Определени видове проблеми сега се решават лесно и бързо с помощта на пропорции. Пропорциите и пропорционалността се използват и се използват не само в математиката, но и в архитектурата и изкуството. Пропорцията в архитектурата и изкуството означава поддържане на определени отношения между размерите на различните части на сграда, фигура, скулптура или друго произведение на изкуството. Съразмерността в такива случаи е условие за правилно и красиво изграждане и изобразяване

В работата си се опитах да разгледам използването на пряка и обратно пропорционална зависимост в различни области на живота, да проследя връзката с учебните предмети чрез задачи.

Отношения и пропорции.

Частното на две числа се нарича поведениетези числа.

Отношението показва, колко пъти първото число е по-голямо от второто или каква част е първото число от второто.

Задача.

В магазина са докарани 2,4 тона круши и 3,6 тона ябълки. Каква част от донесените плодове са круши?

Решение . Нека намерим колко плодове са донесли: 2,4+3,6=6(t). За да намерим каква част от донесените плодове са круши, правим отношението 2,4:6=. Отговорът може да бъде записан и като десетична дроб или като процент: = 0,4 = 40%.

Взаимно обратниНаречен числа, чиито произведения са равни на 1. Следователно връзката се нарича обратна на връзката.

Помислете за две равни съотношения: 4,5:3 и 6:4. Нека да поставим знак за равенство между тях и да получим пропорцията: 4,5:3=6:4.

Пропорцияе равенството на две отношения: a : b =c :d или = , където a и d са крайни условия на пропорция, c и b – средни членове(всички членове на пропорцията са различни от нула).

Основно свойство на пропорцията:

в правилната пропорция произведението на крайните членове е равно на произведението на средните членове.

Прилагайки комутативното свойство на умножението, откриваме, че в правилното съотношение крайните членове или средните членове могат да се разменят. Получените пропорции също ще бъдат правилни.

Използвайки основното свойство на пропорцията, можете да намерите неговия неизвестен член, ако всички други членове са известни.

За да намерите неизвестния екстремен член на пропорцията, трябва да умножите средните членове и да разделите на известния екстремен член. x : b = c : d , x =

За да намерите неизвестния среден член на пропорция, трябва да умножите крайните членове и да разделите на известния среден член. a : b =x : d , x = .

Прави и обратнопропорционални зависимости.

Стойностите на две различни величини могат да бъдат взаимно зависими една от друга. И така, площта на квадрат зависи от дължината на неговата страна и обратно - дължината на страната на квадрат зависи от неговата площ.

Казват, че две количества са пропорционални, ако с нарастване

(намалява) едното от тях няколко пъти, другото се увеличава (намалява) същия брой пъти.

Ако две количества са правопропорционални, тогава съотношенията на съответните стойности на тези количества са равни.

Пример пряка пропорционална зависимост .

На бензиностанция 2 литра бензин тежат 1,6 кг. Колко ще тежат 5 литра бензин?

Решение:

Теглото на керосина е пропорционално на неговия обем.

2л - 1,6 кг

5л - х кг

2:5=1,6:x,

х=5*1,6 х=4

Отговор: 4 кг.

Тук съотношението тегло/обем остава непроменено.

Две величини се наричат ​​обратно пропорционални, ако когато едната се увеличи (намалее) няколко пъти, другата се намали (увеличи) със същото количество.

Ако количествата са обратно пропорционални, тогава отношението на стойностите на едно количество е равно на обратното съотношение на съответните стойности на друго количество.

П примеробратно пропорционална връзка.

Два правоъгълника имат еднаква площ. Дължината на първия правоъгълник е 3,6 м, а ширината е 2,4 м. Дължината на втория правоъгълник е 4,8 м. Намерете ширината на втория правоъгълник.

Решение:

1 правоъгълник 3,6 м 2,4 м

2 правоъгълника 4,8 m x m

3,6 м х м

4,8 м 2,4 м

x = 3,6*2,4 = 1,8 m

Отговор: 1,8 m.

Както можете да видите, проблемите, включващи пропорционални количества, могат да бъдат решени с помощта на пропорции.

Не всеки две количества са правопропорционални или обратно пропорционални. Например, височината на детето се увеличава с нарастването на възрастта му, но тези стойности не са пропорционални, тъй като когато възрастта се удвои, височината на детето не се удвоява.

Практическо приложение на права и обратно пропорционална зависимост.

Задача No1

Училищната библиотека разполага с 210 учебника по математика, което е 15% от целия библиотечен фонд. Колко книги има в библиотеката?

Решение:

Общо учебници - ? - 100%

математици - 210 -15%

15% 210 акад.

X = 100* 210 = 1400 учебника

100% x сметка. 15

Отговор: 1400 учебника.

Проблем No2

Велосипедист изминава 75 км за 3 часа. Колко време ще отнеме на велосипедист да измине 125 km със същата скорост?

Решение:

3 ч. – 75 км

H – 125 км

Следователно времето и разстоянието са правопропорционални величини

3: x = 75: 125,

x=
,

х=5.

Отговор: след 5 часа.

Проблем No3

8 еднакви тръби пълнят басейн за 25 минути. За колко минути ще се напълни басейн с 10 такива тръби?

Решение:

8 тръби – 25 минути

10 тръби - ? минути

Броят на тръбите е обратно пропорционален на времето, така че

8:10 = х:25,

x =

х = 20

Отговор: след 20 минути.

Проблем No4

Екип от 8 работници изпълнява задачата за 15 дни. Колко работници могат да изпълнят задачата за 10 дни, като работят със същата производителност?

Решение:

8 работни дни – 15 дни

Работници - 10 дни

Броят на работниците е обратно пропорционален на броя на дните, т.е

x: 8 = 15: 10,

x=
,

х=12.

Отговор: 12 работници.

Проблем No5

От 5,6 кг домати се получават 2 литра сос. Колко литра сос могат да се получат от 54 кг домати?

Решение:

5,6 кг – 2л

54 кг - ? л

Броят на килограмите домати е правопропорционален на количеството получен сос, следователно

5.6:54 = 2:x,

x =
,

х = 19.

Отговор: 19 л.

Проблем No6

За отопление на училищната сграда са складирани въглища за 180 дни при разходната норма

0,6 тона въглища на ден. Колко дни ще продължи този запас, ако се изразходват 0,5 тона дневно?

Решение:

Номер на дните

Разходна норма

Следователно броят на дните е обратно пропорционален на потреблението на въглища

180: x = 0,5: 0,6,

x = 180*0,6:0,5,

х = 216.

Отговор: 216 дни.

Проблем No7

В желязната руда на всеки 7 части желязо има 3 части примеси. Колко тона примеси има в рудата, която съдържа 73,5 тона желязо?

Решение:

Брой части

Тегло

Желязо

73,5

Примеси

Следователно броят на частите е право пропорционален на масата

7: 73,5 = 3: x.

x = 73,5 * 3:7,

х = 31,5.

Отговор: 31,5 т

Проблем No8

Колата е изминала 500 км, като е изразходвала 35 литра бензин. Колко литра бензин ще са необходими за изминаване на 420 км?

Решение:

Разстояние, км

Бензин, л

Разстоянието е право пропорционално на разхода на бензин, т.н

500:35 = 420:x,

x = 35*420:500,

х = 29,4.

Отговор: 29,4 л

Проблем No9

За 2 часа хванахме 12 каракуди. Колко каракуди ще бъдат хванати за 3 часа?

Решение:

Броят на каракудите не зависи от времето. Тези количества не са нито правопропорционални, нито обратно пропорционални.

Отговор: Няма отговор.

Задача No10

Минното предприятие трябва да закупи 5 нови машини за определена сума пари на цена от 12 хиляди рубли за една. Колко от тези машини може да купи едно предприятие, ако цената на една машина стане 15 хиляди рубли?

Решение:

Брой автомобили, бр.

Цена, хиляди рубли

Броят на автомобилите е обратно пропорционален на разходите, така че

5: x = 15: 12,

x=5*12:15,

х=4.

Отговор: 4 коли.

Задача No11

В града N на площад P има магазин, чийто собственик е толкова строг, че за закъснение удържа 70 рубли от заплатата за 1 закъснение на ден. Две момичета, Юлия и Наташа, работят в един отдел. Заплащането им зависи от броя на работните дни. Юлия получи 4100 рубли за 20 дни, а Наташа трябваше да получи повече за 21 дни, но закъсня 3 дни подред. Колко рубли ще получи Наташа?

Решение:

Работни дни

Заплата, търкайте.

Джулия

4100

Наташа

Следователно заплатата е правопропорционална на броя на работните дни

20:21 = 4100:x,

х=4305.

4305 рубли. Наташа трябваше да го получи.

4305 - 3 * 70 = 4095 (търкайте)

Отговор: Наташа ще получи 4095 рубли.

Задача No12

Разстоянието между два града на картата е 6 см. Намерете разстоянието между тези градове на земята, ако мащабът на картата е 1: 250000.

Решение:

Нека обозначим разстоянието между градовете на земята с x (в сантиметри) и да намерим съотношението на дължината на сегмента на картата към разстоянието на земята, което ще бъде равно на мащаба на картата: 6: x = 1 : 250000,

x = 6*250000,

х = 1500000.

1500000 см = 15 км

Отговор: 15 км.

Задача No13

4000 g разтвор съдържа 80 g сол. Каква е концентрацията на сол в този разтвор?

Решение:

Тегло, g

Концентрация, %

Решение

4000

Сол

4000: 80 = 100: x,

x =
,

х = 2.

Отговор: Концентрацията на сол е 2%.

Задача No14

Банката отпуска заем при 10% годишно. Получихте заем от 50 000 рубли. Колко трябва да върнете на банката за една година?

Решение:

50 000 rub.

100%

х търкайте.

50000: x = 100: 10,

x= 50000*10:100,

х=5000.

5000 rub. е 10%.

50 000 + 5000 = 55 000 (руб.)

Отговор: за една година банката ще получи обратно 55 000 рубли.

Заключение.

Както можем да видим от дадените примери, пряката и обратнопропорционалната зависимост са приложими в различни области на живота:

икономика,

търговия,

В производството и индустрията,

Училищен живот,

готвене,

Строителство и архитектура.

спорт,

животновъдство,

топографии,

физици,

Химия и др.

В руския език има и пословици и поговорки, които установяват пряка и обратна връзка:

Както се върне, така ще отговори.

Колкото по-висок е пънът, толкова по-висока е сянката.

Колкото повече хора, толкова по-малко кислород.

И е готово, но глупаво.

Математиката е една от най-старите науки, възникнала е на базата на нуждите и желанията на човечеството. След като премина през историята на своето формиране от Древна Гърция, той все още остава актуален и необходим в ежедневието на всеки човек. Концепцията за пряка и обратна пропорционалност е известна от древни времена, тъй като именно законите на пропорцията са мотивирали архитектите по време на всяка конструкция или създаване на всяка скулптура.

Знанието за пропорциите се използва широко във всички сфери на човешкия живот и дейност - без него не може да се рисува (пейзажи, натюрморти, портрети и др.), широко е разпространено и сред архитектите и инженерите - като цяло е трудно да се представете си да създадете нещо, без да използвате знания за пропорциите и техните взаимоотношения.

Литература.

Математика-6, Н.Я. Виленкин и др.

Алгебра -7, Г.В. Дорофеев и др.

Математика-9, GIA-9, под редакцията на F.F. Лисенко, С.Ю. Кулабухова

Математика-6, дидактически материали, П.В. Чулков, А.Б. Единов

Задачи по математика за 4-5 клас, И. В. Баранова и др., М. "Просвещение" 1988 г.

Сборник задачи и примери по математика 5-6 клас, Н.А. Терешин,

Т.Н. Терешина, М. “Аквариум” 1997г

Основни цели:

• въведе понятието пряка и обратнопропорционална зависимост на величините;
• научите как да решавате проблеми, като използвате тези зависимости;
• насърчаване на развитието на умения за решаване на проблеми;
• консолидират умението за решаване на уравнения с помощта на пропорции;
• повторете стъпките с обикновени и десетични дроби;
• развиват логическото мислене на учениците.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

аз Самоопределение за дейност(Време за организиране)

- Момчета! Днес в урока ще се запознаем със задачи, решавани с помощта на пропорции.

II. Актуализиране на знанията и записване на затруднения в дейностите

2.1. Устна работа (3 минути)

– Намерете значението на изразите и разберете думата, криптирана в отговорите.

14 – s; 0,1 – и; 7 – l; 0,2 – а; 17 – в; 25 – до

– Получената дума е сила. Много добре!
– Мотото на днешния ни урок: Силата е в знанието! Търся - значи уча!
– Съставете пропорция от получените числа. (14:7 = 0,2:0,1 и т.н.)

2.2. Нека разгледаме връзката между количествата, които знаем (7 минути)

– разстоянието, изминато от автомобила при постоянна скорост, и времето на неговото движение: S = v t (с увеличаване на скоростта (времето), разстоянието се увеличава);
– скорост на превозното средство и време, прекарано в пътуването: v=S:t(с увеличаване на времето за изминаване на пътя скоростта намалява);
– цената на стоките, закупени на една цена и тяхното количество: C = a · n (с увеличение (намаление) на цената, покупната цена се увеличава (намалява));
– цена на продукта и неговото количество: a = C: n (с увеличаване на количеството цената намалява)
– площ на правоъгълника и неговата дължина (ширина): S = a · b (с увеличаване на дължината (ширината), площта се увеличава;
– дължина и ширина на правоъгълник: a = S: b (с увеличаване на дължината ширината намалява;
– броят на работниците, които извършват някаква работа със същата производителност на труда, и времето, необходимо за извършване на тази работа: t = A: n (с увеличаване на броя на работниците времето, изразходвано за извършване на работата, намалява) и т.н. .

Получихме зависимости, при които при няколкократно увеличение на едно количество друго веднага се увеличава със същото (примерите са показани със стрелки) и зависимости, при които при няколкократно увеличение на едно количество второто количество намалява с същия брой пъти.
Такива зависимости се наричат ​​пряка и обратна пропорционалност.
Право пропорционална зависимост– връзка, при която една стойност се увеличава (намалява) няколко пъти, втората стойност се увеличава (намалява) със същото количество.
Обратно пропорционална връзка– връзка, при която една стойност се увеличава (намалява) няколко пъти, втората стойност намалява (увеличава) със същото количество.

III. Поставяне на учебна задача

– Какъв проблем стои пред нас? (Научете се да правите разлика между пряка и обратна зависимост)
- Това - мишенанашият урок. Сега формулирайте темаурок. (Права и обратно пропорционална зависимост).
- Много добре! Запишете темата на урока в тетрадките си. (Учителят записва темата на дъската.)

IV. „Откриване“ на нови знания(10 минути)

Нека разгледаме задача No199.

1. Принтерът отпечатва 27 страници за 4,5 минути. Колко време ще отнеме отпечатването на 300 страници?

27 страници – 4,5 мин.
300 страници - х?

2. Кутията съдържа 48 опаковки чай по 250гр. Колко опаковки от 150 г от този чай ще получите?

48 опаковки – 250гр.
Х? – 150 гр.

3. Колата е изминала 310 км, изразходвайки 25 литра бензин. Колко може да измине кола с пълен резервоар от 40 литра?

310 км – 25л
Х? – 40 л

4. Едното зъбно колело на съединителя има 32 зъба, а другото 40. Колко оборота ще направи второто зъбно колело, докато първото 215 оборота?

32 зъба – 315 об.
40 зъба – x?

За съставяне на пропорция е необходима една посока на стрелките, за това при обратна пропорционалност едно съотношение се заменя с обратното.

На дъската учениците откриват значението на количествата, а на място решават една задача по избор.

– Формулирайте правило за решаване на задачи с права и обратно пропорционална зависимост.

На дъската се появява таблица:

V. Първично затвърдяване във външна реч(10 минути)

Задачи на работния лист:

1. От 21 кг памучно семе се получават 5,1 кг масло. Колко масло ще се получи от 7 кг памучно семе?
2. За изграждането на стадиона 5 булдозера разчистиха площадката за 210 минути. Колко време ще отнеме на 7 булдозера да разчистят това място?

VI. Самостоятелна работа със самопроверка по стандарт(5 минути)

Двама ученици решават задача No 225 самостоятелно на скрити дъски, а останалите - в тетрадки. След това проверяват работата на алгоритъма и го сравняват с решението на дъската. Грешките се коригират и се установяват причините за тях. Ако задачата е изпълнена правилно, учениците поставят знак „+“ до тях.
Студентите, които допускат грешки при самостоятелна работа, могат да ползват консултанти.

VII. Включване в системата от знания и повторение№ 271, № 270.

На борда работят шест души. След 3-4 минути учениците, работещи на дъската, представят своите решения, а останалите проверяват задачите и участват в обсъждането им.

VIII. Рефлексия върху дейността (обобщение на урока)

– Какво ново научихте в урока?
- Какво повториха?
– Какъв е алгоритъмът за решаване на задачи с пропорции?
– Постигнахме ли целта си?
– Как оценявате работата си?

Пример

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 и т.н.

Фактор на пропорционалност

Постоянна връзка на пропорционалните величини се нарича фактор на пропорционалност. Коефициентът на пропорционалност показва колко единици от една величина са на единица от друга.

Пряка пропорционалност

Пряка пропорционалност- функционална зависимост, при която определено количество зависи от друго количество по такъв начин, че съотношението им остава постоянно. С други думи, тези променливи се променят пропорционално, в равни части, тоест, ако аргументът се промени два пъти в която и да е посока, тогава функцията също се променя два пъти в същата посока.

Математически пряката пропорционалност се записва като формула:

f(х) = ах,а = ° СонсT

Обратна пропорционалност

Обратна пропорционалност- това е функционална зависимост, при която нарастването на независимата стойност (аргумент) предизвиква пропорционално намаляване на зависимата стойност (функция).

Математически обратната пропорционалност се записва като формула:

Свойства на функцията:

Източници

Фондация Уикимедия. 2010 г.

I. Право пропорционални величини.

Нека стойността гзависи от размера х. Ако при увеличаване хняколко пъти по-голям от размера присе увеличава със същата сума, тогава такива стойности хИ присе наричат ​​правопропорционални.

Примери.

1 . Количеството на закупените стоки и покупната цена (с фиксирана цена за една единица стока - 1 брой или 1 кг и т.н.) Колкото пъти повече стоки са закупени, толкова пъти повече са платили.

2 . Изминатото разстояние и времето, прекарано на него (при постоянна скорост). Колко пъти по-дълъг е пътят, толкова пъти повече време ще отнеме, за да го завършите.

3 . Обемът на тялото и неговата маса. ( Ако една диня е 2 пъти по-голяма от друга, тогава нейната маса ще бъде 2 пъти по-голяма)

II. Свойство на права пропорционалност на количествата.

Ако две количества са пряко пропорционални, тогава съотношението на две произволно взети стойности на първото количество е равно на съотношението на две съответни стойности на второто количество.

Задача 1.За сладко от малини взехме 12 кгмалини и 8 кгСахара. Колко захар ще ви трябва, ако сте го взели? 9 кгмалини?

Решение.

Разсъждаваме така: нека е необходимо х кгзахар за 9 кгмалини Масата на малините и масата на захарта са право пропорционални величини: колко пъти по-малко са малините, толкова пъти по-малко захар е необходима. Следователно, съотношението на взетите малини (по тегло) ( 12:9 ) ще бъде равно на съотношението на взетата захар ( 8:x). Получаваме пропорцията:

12: 9=8: Х;

х=9 · 8: 12;

х=6. Отговор:На 9 кгтрябва да се вземат малини 6 кгСахара.

Решението на проблемаМоже да се направи така:

Нека 9 кгтрябва да се вземат малини х кгСахара.

(Стрелките на фигурата са насочени в една посока и нагоре или надолу нямат значение. Значение: колко пъти числото 12 повече брой 9 , същия брой пъти 8 повече брой х, т.е. тук има пряка връзка).

Отговор:На 9 кгТрябва да взема малко малини 6 кгСахара.

Задача 2.Кола за 3 часаизмина разстоянието 264 км. Колко време ще му отнеме пътуването? 440 км, ако кара със същата скорост?

Решение.

Нека за x часаколата ще измине разстоянието 440 км.

Отговор:колата ще мине 440 км за 5 часа.

Задача 3.Водата тече от тръбата в басейна. Отзад 2 часатя изпълва 1/5 басейн Коя част от басейна е пълна с вода 5 часа?

Решение.

Отговаряме на въпроса на задачата: за 5 часаще бъдат запълнени 1/xчаст от басейна. (Целият басейн се приема като едно цяло).