Bilim ve eğitimin modern sorunları. Homojen bir çubuğun boyuna titreşimleri Problem çözme örnekleri

Çubuk, boylamasına adı verilen boyutlarından biri, uzunlamasına yöne dik bir düzlemdeki boyutlarını önemli ölçüde aşan bir gövdedir; enine boyutlar. Çubuğun ana özelliği, uzunlamasına sıkıştırmaya (gerilmeye) ve bükülmeye karşı sağladığı dirençtir. Bu özellik temel olarak çubuğu, esnemeyen ve bükülmeye karşı direnç göstermeyen bir ipten ayırır. Çubuğun malzemesinin yoğunluğu tüm noktalarda aynıysa, o zaman çubuğa homojen denir.

Tipik olarak kapalı bir silindirik yüzeyle sınırlanan uzatılmış gövdeler çubuk olarak kabul edilir. Bu durumda kesit alanı sabit kalır. Bu kadar düzgün uzunluktaki bir çubuğun davranışını inceleyeceğiz. ben Hooke yasasına uygun olarak yalnızca sıkıştırma veya çekme etkisine maruz kaldığını varsayarak. Bir çubuğun küçük boyuna deformasyonlarını incelerken, sözde Düzlem kesitlerin hipotezi.Çubuk boyunca sıkıştırma veya gerilim altında hareket eden kesitlerin düz ve birbirine paralel kalması gerçeğinde yatmaktadır.

Ekseni yönlendirelim Xçubuğun uzunlamasına ekseni boyunca (Şekil 19) ve zamanın ilk anında çubuğun uçlarının belirli noktalarda olduğunu varsayacağız. x=0 Ve x=l. Çubuğun koordinatı ile keyfi bir bölümünü alalım X. ile belirtelim sen(X,T) bu bölümün o anki yer değiştirmesi T, daha sonra kesitin koordinatla yer değiştirmesi aynı anda eşit olacak

Daha sonra çubuğun kesitteki bağıl uzaması X eşit olacak

Hooke kanununa göre bu uzamaya karşı direnç kuvveti şuna eşit olacaktır:

Nerede e– çubuk malzemesinin elastik modülü (Young modülü) ve S - kesit alanı. Uzunluğu olan bir çubuğun bir bölümünün sınırlarında dx kuvvetler ona etki ediyor Tx Ve T x + dx, eksen boyunca yönlendirilmiş X. Bu kuvvetlerin sonucu şuna eşit olacaktır:

,

ve söz konusu çubuğun bölümünün ivmesi eşittir , o zaman çubuğun bu bölümünün hareket denklemi şu şekilde olacaktır:

, (67)

Nerede ρ – çubuk malzemesinin yoğunluğu. Eğer bu yoğunluk ve Young modülü sabitse, denklemin her iki tarafını da bölerek miktarı girebiliriz. Sdx sonunda al çubuğun boyuna titreşimlerinin denklemi dış güçlerin yokluğunda

(68)

Bu denklem şu şekilde aynı forma sahiptir: enine sicim titreşimleri denklemi ve bunun için çözüm yöntemleri aynıdır ancak katsayı A Bu denklemler farklı miktarları temsil eder. Sicim denkleminde miktar bir 2 payı ipin sabit gerilim kuvveti olan bir kesri temsil eder - T ve paydada doğrusal yoğunluk ρ , ve dize denkleminde paylar Young modülünü ve paydayı içerir – hacimselçubuk malzeme yoğunluğu ρ . Dolayısıyla miktarın fiziksel anlamı A bu denklemlerde farklıdır. Bir sicim için bu katsayı, küçük bir enine yer değiştirmenin yayılma hızı ise, o zaman bir çubuk için, küçük bir uzunlamasına gerilmenin veya sıkışmanın yayılma hızıdır ve denir. Sesin hızıçünkü sesi temsil eden küçük boylamasına titreşimler bu hızda çubuk boyunca yayılacaktır.

Denklem (68) için, çubuğun herhangi bir bölümünün başlangıç ​​zamanında yer değiştirmesini ve yer değiştirme hızını belirleyen başlangıç ​​koşulları ayarlanır:

Sınırlı bir çubuğun uçlarına bağlanması veya kuvvet uygulanmasına ilişkin koşullar, 1., 2. ve 3. tür sınır koşulları şeklinde belirtilir.

Birinci türden sınır koşulları, çubuğun uçlarındaki boylamasına yer değiştirmeyi belirtir:

Çubuğun uçları hareketsiz olarak sabitlenmişse, o zaman (6) koşulları altında . Bu durumda, kenetlenmiş bir ipin salınımı probleminde olduğu gibi, değişkenlerin ayrılması yöntemini uyguluyoruz.

İkinci tür sınır koşullarında, Hooke kanununa göre zamana bağlı deformasyondan kaynaklanan, çubuğun uçlarında elastik kuvvetler belirlenir. Formül (66)'ya göre, bu kuvvetler sabit bir faktöre kadar türevlere eşittir. sen x bu nedenle uçlarda bu türevler zamanın fonksiyonları olarak belirtilir:

Çubuğun bir ucu serbest ise bu uçta sen x = 0.

Üçüncü türden sınır koşulları, çubuğun her iki ucuna bir yayın bağlandığı, diğer ucunun belirli bir zaman yasasına göre eksen boyunca hareket ettiği koşullar olarak temsil edilebilir. θ (T), Şekil 2'de gösterildiği gibi. 20. Bu koşullar aşağıdaki gibi yazılabilir

, (72)

Nerede k 1 ve k 2 – yay sertliği.

Çubuğa eksen boyunca bir dış kuvvet de etki ediyorsa P(X,T), birim hacim başına hesaplanırsa, denklem (50) yerine homojen olmayan denklem yazılmalıdır.

,

Bölündükten sonra şu formu alır:

, (73)

Nerede . Denklem (73), ipin zorlanmış titreşimleri denklemine benzetilerek çözülen, çubuğun zorlanmış boyuna titreşimlerinin denklemidir.

Yorum. Hem ipin hem de çubuğun, gerçekte bulundukları koşullara bağlı olarak hem ipin hem de çubuğun özelliklerini sergileyebilen gerçek cisimlerin modelleri olduğu unutulmamalıdır. Ek olarak, ortaya çıkan denklemler çevresel direnç kuvvetlerini ve iç sürtünme kuvvetlerini hesaba katmaz; bunun sonucunda bu denklemler sönümsüz salınımları tanımlar. Sönümleme etkisini hesaba katmak için, en basit durumda, hıza orantılı ve harekete ters yönde yönlendirilen bir enerji tüketen kuvvet kullanılır; hız. Sonuç olarak denklem (73) şu şekli alır:

(74)

1

Kademeli değişken kesitli çubukların uzunlamasına titreşimleri sorununu, sert bir engele çarpma sırasında enerji kaybını hesaba katarak veya hesaba katmadan çözmek için bir frekans yöntemi önerilmiştir. Çubuğun boyuna titreşim denklemi, sıfır olmayan başlangıç ​​koşullarının varlığında Laplace'a göre dönüştürülür. Kenar yer değiştirmelerinin fonksiyonu olarak Laplace ile dönüştürülmüş kenar boyuna kuvvetlerinin bulunmasını içeren bir sınır değeri problemi çözülmüştür. Daha sonra düğümler için bir denge denklemleri sistemi derlenir ve çözülerek ilgilenilen çubuğun bölümleri için genlik-faz-frekans özellikleri (APFC) oluşturulur. Ters Laplace dönüşümü gerçekleştirilerek bir geçiş süreci oluşturulur. Bir test örneği olarak, sonlu uzunluktaki sabit kesitli bir çubuk ele alınmıştır. Bilinen dalga çözümüyle bir karşılaştırma verilmiştir. Sert bir engelle çarpışma durumunda bir çubuğun dinamik olarak hesaplanması için önerilen yöntem, sınırsız sayıda elastik olarak bağlanmış kütlelerin varlığında, uçlara ve çubuğun uzunluğu boyunca isteğe bağlı bir kuvvetin uygulandığı isteğe bağlı bir çubuk sistemine genellemeye izin verir. kamış.

Frekans yöntemi

çubuğun boyuna titreşimleri

1. Biderman, V.L. Uygulamalı mekanik titreşim teorisi / V.L. Biderman. – M.: Yüksekokul, 1972. – 416 s.

2. Lavrentiev, M.A. Karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisinin yöntemleri / M.A. Lavrentyev, B.V. Şabat. – M.: Nauka, 1973. – 736 s.

3. Sankin, Yu.N. Dağıtılmış parametrelere sahip viskoelastik sistemlerin dinamik özellikleri / Yu.N. Sankin. – Saratov: Sarat yayınevi. Üniversite, 1977. – 312 s.

4. Sankin, Yu.N. Bir engelle çarpışma durumunda çubuk sistemlerinin kararsız titreşimleri / Yu.N. Sankin, N.A. Yuganova; genel altında ed. Yu.N. Sankina. – Ulyanovsk: Ulyanovsk Devlet Teknik Üniversitesi, 2010. – 174 s.

5. Sankin, Y.N. Rijit bir engelle çarpışan kademeli değişken kesitli elastik çubukların boyuna titreşimleri \ Yu. N. Sankin ve N.A. Yuganova, J. Appl. Matematik Mechs, Cilt. 65, sayı 3, s. 427–433, 2001.

Adım değişken kesitli çubukların uzunlamasına titreşim problemini, katı bir engele çarpma sırasında enerji kaybını hesaba katarak veya hesaba katmadan çözmek için, bilinen dalga çözümü ve çözümle karşılaştıracağımız frekans yöntemini ele alalım. bir dizi titreşim modu (14) şeklindedir.

Çubuğun boyuna titreşimleri için iç direnç kuvvetlerini hesaba katan diferansiyel denklem şu şekildedir:

Aşağıdaki sınır ve başlangıç ​​koşullarını oluşturalım:

. (2)

Verilen başlangıç ​​koşulları (2) için denklem (1) ve sınır koşullarını (2) Laplace'a göre dönüştürelim. Daha sonra denklem (2) ve sınır koşulları (2) şu şekilde yazılacaktır:

; (3)

,

çubuğun noktalarının Laplace ile dönüştürülmüş yer değiştirmeleri nerede; p, Laplace dönüşüm parametresidir.

Denklem (3), enerji kaybı dikkate alınmadan (=0'da) şu şekli alacaktır:

. (4)

Ortaya çıkan homojen olmayan diferansiyel denklem için, Laplace ile dönüştürülmüş kenar boyuna kuvvetlerinin kenar yer değiştirmelerinin fonksiyonu olarak bulunmasını içeren bir sınır değeri problemi çözülür.

Bunu yapmak için, enerji kaybını hesaba katarak çubuğun uzunlamasına titreşimlerinin homojen denklemini göz önünde bulundurun

(5)

Belirleme

ve yeni bir değişkene geçerek (5) yerine şunu elde ederiz:

(6)

Frekans parametresi nerede ise, o zaman

.

Homojen denklemin (6) çözümü şu şekildedir:

İntegral sabitleri c1 ve c2'yi başlangıç ​​koşullarından buluyoruz:

sen = u0; N = N0,

Onlar. ;

Bu çözüm aşağıdaki transfer matrisine karşılık gelir:

. (7)

Transfer matrisinin elemanları için elde edilen ifadeleri yer değiştirme yönteminin formüllerinde değiştirerek şunu elde ederiz:

; (8)

;

n ve k endeksleri sırasıyla çubuk bölümünün başlangıcını ve sonunu gösterir. Ve nk ve kn endeksli geometrik ve fiziksel sabitler çubuğun belirli bir bölümünü ifade eder.

Çubuğu elemanlara bölerek formül (8)'i kullanarak düğümlerin dinamik dengesi için denklemler oluşturacağız. Bu denklemler bilinmeyen düğüm yer değiştirmeleri için bir denklem sistemini temsil eder. Karşılık gelen katsayılar tam entegrasyonla elde edildiğinden çubuk bölümlerinin uzunluğu sınırlı değildir.

Ortaya çıkan denklem sistemini çözerek çubuğun bizi ilgilendiren bölümleri için genlik-faz-frekans özelliklerini oluşturuyoruz. Bu AFC'ler, darbeli etkiler altında Laplace dönüşümüyle örtüşen tek yönlü Fourier dönüşümünün grafiksel bir görüntüsü olarak düşünülebilir. Karşılık gelen ifadelerin tüm tekil noktaları hayali eksenin solunda yer aldığından, ters dönüşüm şu varsayımla gerçekleştirilebilir: Oluşturulan AFC'leri kullanarak. Başlangıç ​​hızları alanının çubuğun yoğunluğuyla çarpımının bir kuvvet etkisi olarak göründüğü bir AFC oluşturma görevi yardımcıdır. Tipik olarak, AFC'ler rahatsız edici kuvvetlerin etkisiyle oluşturulur, daha sonra ters Laplace dönüşümü sayısal entegrasyon veya başka bir yöntemle gerçekleştirilir.

Basit bir örnek olarak, V0 hızıyla sert bir engelle uzunlamasına çarpışan l uzunluğunda düz bir çubuğu düşünün (Şekil 1).

Çarpma sonrasında çubuğun noktalarının yer değiştirmesini belirleyelim. Çarpma sonrasında engel ile çubuk arasındaki temasın devam ettiğini varsayacağız; çubuğun geri tepmesi yoktur. Eğer bağlantı kapsayıcı değilse problem parçalı doğrusal olarak düşünülebilir. Başka bir çözüm seçeneğine geçmenin kriteri, temas noktasındaki hızın işaretinin değişmesidir.

Lavrentyev M.A.'nın monografisinde Shabat B.V. Denklemin (4) dalga çözümü verilmiştir:

ve aslı bulundu

, (9)

birim adım fonksiyonu nerede.

Bu sorunu çözmeye yönelik başka bir yaklaşım, yukarıda açıklanan frekans yöntemiyle gerçekleştirilebilir. Bu sorunla ilgili olarak elimizde şunlar olacak:

; ;

; ;

; ;

. (10)

Orijinalini bulalım (11)

Aynı problemi frekans yöntemini kullanarak çözelim. 1. düğümün denge denkleminden:

(12)

çubuğun ucunu hareket ettirmek için bir formül elde ederiz.

Şimdi, eğer sabit kesitli bir test çubuğu uzunlukları l1 ve l2 olan iki isteğe bağlı bölüme ayrılırsa (bkz. Şekil 1), o zaman düğümler için denge koşulları aşağıdaki gibi olacaktır:

(13)

Sistemin (13) çözülmesi sonucunda 1. ve 2. kısımlardaki (sırasıyla U1 ve U2) yer değiştirmeler için faz-frekans tepkisinin grafiklerini elde ederiz. Böylece, (12) ve (13) durumunda enerji dağılımını hesaba katarak kapalı formdaki kenar yer değiştirmesinin görüntüsü çakışır ve şu forma sahiptir:

. (14)

Çubuğun ucundaki sonuçların çakışmasını kontrol edelim. İncirde. Şekil 2'de çözüm (10)'un x = 10.1'deki ve çözüm sistemi (13) sonucundaki grafikleri gösterilmektedir. Tamamen aynılar.

Geçici süreci elde etmek için ayrık Fourier dönüşümü kullanılabilir. Sonuç, aşağıdaki formül kullanılarak t=0... noktasında sayısal entegrasyon yapılarak elde edilebilir.

. (15)

AFC'de (bkz. Şekil 2), yalnızca bir görünür dönüş önemli ölçüde kendini gösterir. Bu nedenle serinin bir terimi (15) alınmalıdır. Şekil 3'teki grafikler, çözümün (9) ve titreşim modları çözümünün (11) önerilen frekans çözümüyle ne kadar doğru örtüştüğünü göstermektedir. Hata %18'i geçmiyor. Ortaya çıkan tutarsızlık, çözümlerin (9) ve (11) çubuk malzemesindeki enerji dağılımını hesaba katmamasıyla açıklanmaktadır.

Pirinç. 3. Çubuğun ucuna yönelik geçici süreç; 1, 2, 3 - formüller (9), (11), (15)'e göre oluşturulmuş grafikler.

Daha karmaşık bir örnek olarak, ucunda bir yük bulunan, V0 hızına sahip sert bir engelle çarpışan kademeli bir çubuğun (Şekil 4) boyuna titreşimleri problemini düşünün ve yükün kütlesinin kütleye eşit olduğunu varsayalım. çubuğun bitişik bölümünün:.

Pirinç. 4. Ucunda yük bulunan kademeli bir çubuğun boyuna titreşimlerinin hesaplama şeması

Yer değiştirmeleri hesaplayacağımız çubuğun 1,2,3 karakteristik kesitlerini tanıtalım. Denklemleri çözmek için bir sistem oluşturalım:

(16)

Sistemin (16) çözülmesinin bir sonucu olarak, ikinci ve üçüncü bölümlerdeki (sırasıyla U2() ve U3()) yer değiştirmeler için faz-frekans tepkisinin grafiklerini (Şekil 5) elde ederiz. Hesaplamalar aşağıdaki sabit değerlerle gerçekleştirildi: l = 2 m; E = 2,1×1011 Pa; F = 0,06 m2; = 7850 kg/m3; V = 10 m/sn. Elde edilen AFC'lerde yalnızca iki görünür dönüş önemli ölçüde kendini göstermektedir. Bu nedenle seçilen bölümlerde geçiş sürecini oluştururken serinin iki terimini alıyoruz (16). Bunu yapmak için öncelikle belirlemelisiniz

Pirinç. 5. Kademeli çubuğun ikinci ve üçüncü bölümlerindeki yer değiştirmelerin AFC'si (bkz. Şekil 4)

Geçiş süreci benzer şekilde formül (15) kullanılarak oluşturulur.

Sonuç: Çubukların bir engele çarpması durumunda boyuna titreşimlerini hesaplamak için bir yöntem geliştirilmiştir.

İnceleyenler:

Lebedev A.M., Teknik Bilimler Doktoru, Doçent, Ulyanovsk Yüksek Havacılık Okulu (Enstitü) Profesörü, Ulyanovsk.

Antonets I.V., Teknik Bilimler Doktoru, Ulyanovsk Devlet Teknik Üniversitesi Profesörü, Ulyanovsk.

Bibliyografik bağlantı

Yuganova N.A. SERT BİR ENGEL İLE ÇARPIŞAN ÇUBUKLARIN BOYUNA TİTREŞİMLERİ // Modern bilim ve eğitim sorunları. – 2014. – Sayı 2.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=12054 (erişim tarihi: 15.01.2020). "Doğa Bilimleri Akademisi" yayınevinin yayınladığı dergileri dikkatinize sunuyoruz

Dağıtılmış parametrelere sahip sistemlerin serbest salınımları

Sonsuz sayıda serbestlik derecesine sahip sistemlerin serbest titreşim sürecinin temel özelliği, doğal frekansların ve mod şekillerinin sayısının sonsuzluğunda ifade edilir. Bu aynı zamanda matematiksel özelliklerle de ilişkilidir: Sonlu sayıda serbestlik derecesine sahip sistemlerin salınımlarını tanımlayan sıradan diferansiyel denklemler yerine, burada kısmi diferansiyel denklemlerle uğraşmak zorundayız. Başlangıç ​​yer değiştirmelerini ve hızlarını belirleyen başlangıç ​​koşullarına ek olarak sistemin sabitlenmesini karakterize eden sınır koşullarının da dikkate alınması gerekir.

6.1. Çubukların boyuna titreşimleri

Düz bir çubuğun uzunlamasına titreşimlerini analiz ederken (Şekil 67, a), enine kesitlerin düz kaldığını ve çubuk parçacıklarının enine hareketler yapmadığını, yalnızca uzunlamasına yönde hareket ettiğini varsayacağız.

İzin vermek sen - titreşimler sırasında çubuğun mevcut bölümünün uzunlamasına hareketi; bu hareket kesitin konumuna (x koordinatlarına) ve t zamanına bağlıdır. Yani iki değişkenli bir fonksiyon var; tanımı ana görevi temsil eder. Sonsuz derecede yakın bir bölümün yer değiştirmesi eşittir , bu nedenle sonsuz küçük bir elemanın mutlak uzaması eşittir (Şekil 67, b) ve göreceli uzaması .

Buna göre koordinatlı bölümdeki boyuna kuvvet X olarak yazılabilir

,(173)

çubuğun gerginlikteki (sıkıştırma) sertliği nerede. N kuvveti aynı zamanda iki argümanın bir fonksiyonudur: koordinatlar X ve zaman t.

Sonsuz derecede yakın iki bölüm arasında yer alan bir çubuk elemanını düşünelim (Şekil 67, c). Elemanın sol tarafına N kuvveti, sağ tarafına ise N kuvveti uygulanmaktadır. Çubuğun malzemesinin yoğunluğunu belirtirsek söz konusu elemanın kütlesi olur. Bu nedenle eksene izdüşümdeki hareket denklemi X

,

Düşünüyor(173)ve kabul ediyorum A= sabit, şunu elde ederiz

Fourier yöntemini izleyerek, diferansiyel denklemin (175) şu şekildeki özel bir çözümünü ararız:

,(177)

onlar. hareket olduğunu varsayalım sen biri yalnızca argümana bağlı olan iki fonksiyonun ürünü olarak temsil edilebilir X, diğeri ise yalnızca t argümanından. Daha sonra, iki değişkenli u(x, t) bir fonksiyonu tanımlamak yerine, her biri yalnızca bir değişkene bağlı olan iki X(x) ve T(t) fonksiyonunu tanımlamak gerekir.

(177)'yi (174)'te yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

burada asal sayılar farklılaşmanın işleyişini gösterir X ve noktalara göre T. Bu denklemi şu şekilde yeniden yazalım:

Burada sol taraf yalnızca x'e, sağ taraf ise yalnızca t'ye bağlıdır. Bu eşitliğin aynı şekilde geçerli olması için (herhangi bir X ve t) her bir parçasının bir sabite eşit olması gerekir; bunu şu şekilde ifade ederiz:

; .(178)

Bu iki denkleme yol açar:

;.(179)

İlk denklemin bir çözümü var:

,(180)

salınımlı bir yapıya işaret eder ve (180)'den bilinmeyen miktarın serbest salınımların frekansı anlamına geldiği açıktır.

Denklemlerden ikincisinin (179) bir çözümü vardır:

,(181)

Titreşimlerin şeklinin belirlenmesi.

Değeri belirleyen frekans denklemi sınır koşulları kullanılarak derlenir. Bu denklem her zaman aşkındır ve sonsuz sayıda kökü vardır. Dolayısıyla, doğal frekansların sayısı sonsuzdur ve her frekans değeri, bağımlılık (180) tarafından belirlenen kendi T n (t) fonksiyonuna ve bağımlılık (181) tarafından belirlenen kendi Xn (x) fonksiyonuna karşılık gelir. Çözüm (177) yalnızca kısmidir ve hareketin tam bir tanımını sağlamaz. Tam çözüm, tüm kısmi çözümlerin üst üste bindirilmesiyle elde edilir:

.

X n (x) fonksiyonları çağrılır kendi fonksiyonları problemleri çözer ve kendi titreşim modlarını tanımlar. Başlangıç ​​koşullarına bağlı değildirler ve A = const için şu şekilde olan diklik koşulunu karşılarlar:

, Eğer .

Sınır koşulları için bazı seçenekleri ele alalım.

Çubuğun sabit ucu(Şekil 68, a). Uç kısımda u yer değiştirmesi sıfır olmalıdır; bu bölümde şu şekildedir

X=0(182)

Çubuğun serbest ucu(Şekil 68, b). Uç kısımda boyuna kuvvet

(183)

aynı şekilde sıfıra eşit olmalıdır; bu, son bölümde X"=0 olması durumunda mümkündür.

Dayanıklı çubuğun sonu(Şekil 68, c).

Hareket ederken sen uç çubukta elastik bir destek reaksiyonu meydana gelir burada C o desteğin sertliğidir. Boyuna kuvveti (183) hesaba katarak sınır koşulunu elde ederiz.

destek çubuğun sol ucunda bulunuyorsa (Şekil 68, c) ve

destek çubuğun sağ ucunda bulunuyorsa (Şek. 68, d).

Çubuğun ucundaki konsantre kütle.

Kütlenin geliştirdiği atalet kuvveti:

.

Denklemlerden ilkine (179) göre atalet kuvveti şu şekilde yazılabilir: Sınır koşulunu elde ederiz

,

kütle sol uçta ise (Şekil 68, d) ve

, (184)

kütle sağ uca bağlıysa (Şekil 68, e).

Konsol çubuğunun doğal frekanslarını belirleyelim (Şekil 68,a").

(182) ve (183)'e göre sınır koşulları

X=0'da x=0;

X"=0 x= .

Bu koşulları birer birer çözümde (181) yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

C0 koşulu frekans denklemine yol açar:

Bu denklemin kökleri

(n=1,2,…)

doğal frekansları belirleyin:

(n=1,2,…).(185)

n=1'de ilk (en düşük) frekans:

.

İkinci frekans (n=2'de):

Ucunda bir kütle bulunan bir çubuğun doğal frekanslarını belirleyelim (Şekil 68, f).

(182) ve (184)'e göre, elimizde

x=0'da X=0;

x='da.

Bu koşulları çözüm (181)'de yerine koyarsak şunu elde ederiz:

D=0; .

Sonuç olarak, (176) dikkate alındığında frekans denklemi şu şekildedir:

.

Burada sağ taraf, çubuğun kütlesinin uç yükün kütlesine oranını temsil eder.

Ortaya çıkan aşkın denklemi çözmek için bazı yaklaşık yöntemlerin kullanılması gerekir.

At ve en önemli en düşük kökün değerleri sırasıyla 0,32 ve 0,65 olacaktır.

Küçük bir oranda yükün belirleyici etkisi vardır ve yaklaşık çözüm iyi sonuçlar verir

.

Değişken kesitli çubuklar için; Аconst için (173) ve (174)'ten hareket denklemi şu şekilde elde edilir:

.

Bu diferansiyel denklem kapalı biçimde çözülemez. Dolayısıyla bu gibi durumlarda doğal frekansların belirlenmesinde yaklaşık yöntemlere başvurulması gerekmektedir.

6.2. Şaftların burulma titreşimleri

Sürekli olarak dağılmış bir kütleye sahip şaftların burulma titreşimleri (Şekil 69, a), yapı olarak çubukların uzunlamasına titreşimleri için yukarıdaki denklemlerle tamamen örtüşen denklemlerle tanımlanır.

Apsisli kesitte M torku X(173)'e benzer bir diferansiyel bağımlılıkla dönme açısıyla ilişkilidir:

Nerede Jp- kesitin kutupsal atalet momenti.

Uzakta bulunan bir bölümde dx, tork şuna eşittir (Şekil 69, b):

Şaft kütlesinin eksenine göre atalet momentinin yoğunluğunu (yani, birim uzunluk başına atalet momentini), şaftın temel bölümünün hareket denklemini (şaft malzemesinin yoğunluğu nerede) belirtir aşağıdaki gibi yazılabilir:

,

veya benzeri (174):

.

Burada (186) ifadesini değiştirerek, Jp=const (175)'e benzer şekilde şunu elde ederiz:

, (187)

Denklemin (187) genel çözümü, denklem (175) gibi şu şekildedir:

,

(188)

Doğal frekanslar ve özfonksiyonlar belirli sınır koşullarıyla belirlenir.

Uçların sabitlendiği ana durumlarda, boyuna titreşimlere benzer şekilde, şunu elde ederiz:

a) sabit uç (=0): X=0;

b) serbest uç (M=0): X"=0;

V) dayanıklı sol uç: CoХ=GJpX "(Ortak sertlik katsayısı);

G) dayanıklı sağ uç: -CoX=GJpX ";

e) sol uçtaki disk: (Jo, diskin çubuğun eksenine göre eylemsizlik momentidir);

e) sağ uçtaki disk: .

Milin sol ucu (x=0) sabitse ve sağ ucu (x=) serbestse, x=0'da X=0 ve x='de X"=0; doğal frekanslar ('ye benzer şekilde belirlenir) 185):

(n=1,2,…).

Sol uç sabitse ve sağ uçta bir disk varsa, aşkın denklemi elde ederiz:

.

Şaftın her iki ucu da sabitse, x=0 ve x= için sınır koşulları X=0 olacaktır. Bu durumda (188)'den şunu elde ederiz:

onlar.

(n=1,2,…),

buradan doğal frekansları buluyoruz:

Şaftın sol ucu serbestse ve sağ ucunda bir disk varsa, x=0 için X"=0; x= için Jo X=GJpX " olur.

(188)'i kullanarak şunu buluruz:

C=0; ,

veya aşkın frekans denklemi:

.

6.3.Kirişlerin eğilme titreşimleri

6.3.1 Temel denklem

Malzemelerin mukavemeti kursundan, kirişlerin bükülmesine yönelik diferansiyel bağımlılıklar bilinmektedir:

burada EJ bükülme sertliğidir; y=y (x, t) - sapma; M=M(x, t) - eğilme momenti; q dağıtılan yükün yoğunluğudur.

(189) ve (190)'ı birleştirirsek, şunu elde ederiz:

.(191)

Serbest titreşim probleminde elastik iskeletin yükü dağıtılmış atalet kuvvetleridir:

burada m, kirişin kütlesinin yoğunluğudur (birim uzunluk başına kütle) ve denklem (191) şu formu alır:

.

Sabit bir kesitin özel durumunda, EJ = sabit, m = sabit olduğunda, elimizde:

.(192)

Denklemi (192) çözmek için yukarıdaki gibi varsayıyoruz:

sen= X ( X)× T ( t).(193)

(193)'ü (192) yerine koyarsak, denkleme ulaşırız:

.

Bu eşitliğin aynı şekilde gerçekleşmesi için eşitliğin her bir parçasının sabit olması gerekir. Bu sabiti ile göstererek iki denklem elde ederiz:

.(195)

İlk denklem, hareketin frekansla salınımlı olduğunu gösterir.

İkinci denklem titreşimlerin şeklini belirler. Denklemin (195) çözümü dört sabit içerir ve şu şekildedir:

A.N. Krylov tarafından önerilen genel çözümü yazma seçeneğini kullanmak uygundur:

(198)

A.N. Krylov'un işlevlerini temsil eder.

x=0'da S=1, T=U=V=0 olmasına dikkat edelim. S,T,U,V fonksiyonları aşağıdaki şekilde birbirine bağlıdır:

Bu nedenle türev ifadeleri (197) şeklinde yazılır.

(200)

Söz konusu sınıfın problemlerinde doğal frekansların sayısı sonsuz derecede büyüktür; her birinin kendi zaman fonksiyonu Tn ve kendi temel fonksiyonu Xn vardır. Genel çözüm, formun kısmi çözümlerinin uygulanmasıyla elde edilir (193)

.(201)

Doğal frekansları ve formülleri belirlemek için sınır koşullarını dikkate almak gerekir.

6.3.2. Sınır koşulları

Çubuğun her bir ucu için iki sınır koşulu belirtebilirsiniz .

Çubuğun serbest ucu(Şekil 70, a). Enine kuvvet Q=EJX""T ve eğilme momenti M=EJX""T sıfıra eşittir. Bu nedenle sınır koşulları şu şekildedir:

X""=0; X"""=0 .(202)

Çubuğun menteşeli destekli ucu(Şekil 70, b). Sapma y=XT ve eğilme momenti M=EJX""T sıfıra eşittir. Bu nedenle sınır koşulları şöyledir:

X=0; X""=0 .(203)

Sıkıştırılmış uç(Şekil 70, c). Sapma y=XT ve dönme açısı sıfıra eşittir. Sınır koşulları:

X=0; X"=0 . (204)

Çubuğun ucunda noktasal bir kütle vardır(Şekil 70, d). Onun eylemsizlik kuvveti Denklem (194) kullanılarak aşağıdaki şekilde yazılabilir: ; kesme kuvvetine eşit olmalıdırQ=EJX"""T, dolayısıyla sınır koşulları şu formu alır:

; X""=0 .(205)

Birinci durumda nokta yük çubuğun sol ucuna bağlandığında artı işareti, sağ ucuna bağlandığında ise eksi işareti alınır. İkinci durum ise eğilme momentinin yokluğundan kaynaklanmaktadır.

Çubuğun elastik olarak desteklenen ucu(Şekil 70, d). Burada bükülme momenti sıfırdır ve enine kuvvet Q=EJX"""T destek reaksiyonuna eşittir (C o - destek sağlamlık katsayısı).

Sınır koşulları:

X""=0 ; (206)

(Elastik destek soldayken eksi işareti, sağdayken artı işareti alınır).

6.3.3. Frekans denklemi ve özformlar

Sınır koşullarının genişletilmiş bir kaydı, C 1, C 2, C 3, C 4 sabitlerine göre homojen denklemlere yol açar.

Bu sabitlerin sıfıra eşit olmaması için sistemin katsayılarından oluşan determinantın sıfıra eşit olması gerekir; bu bir frekans denklemine yol açar. Bu işlemler sırasında C1, C2, C3, C4 arasındaki ilişkiler netleştirilir, yani. doğal titreşim modları belirlenir (sabit bir faktöre kadar).

Örnekleri kullanarak frekans denklemlerinin bileşimini izleyelim.

Uçları mafsallı bir kiriş için (203)'e göre aşağıdaki sınır şartlarına sahibiz: X=0; x=0 ve x= için X""=0. (197)-(200)'ü kullanarak ilk iki koşulu elde ederiz: C 1 =C 3 =0. Kalan iki koşul şu şekilde yazılabilir:

C2 ve C4'ün sıfıra eşit olmaması için determinantın sıfıra eşit olması gerekir:

.

Böylece, frekans denklemi şu şekle sahiptir:

.

T ve U ifadelerini değiştirerek şunu elde ederiz:

olduğundan, son frekans denklemi şu şekilde yazılır:

. (207)

Bu denklemin kökleri:

,(n =1,2,3,...).

(196)’yı dikkate alarak şunu elde ederiz:

.(208)

Kendi formlarımızı tanımlamaya geçelim. Yukarıda yazılan homojen denklemlerden, C2 ve C4 sabitleri arasında aşağıdaki ilişki şöyledir:

.

Sonuç olarak, (197) formunu alır

(207)’ye göre, elimizde

,(209)

burada değeri başlangıç ​​koşulları dikkate alınana kadar belirsiz kalan yeni bir sabittir.

6.3.4. Başlangıç ​​koşullarına göre hareketin belirlenmesi

İlk bozulmayı takip eden hareketin belirlenmesi gerekiyorsa, kirişin tüm noktaları için hem başlangıç ​​yer değiştirmelerini hem de başlangıç ​​hızlarını belirtmek gerekir:

(210)

ve özformların diklik özelliğini kullanın:

.

Genel çözümü (201) şu şekilde yazıyoruz:

.(211)

Hız şu şekilde verilir:

.(212)

Bilindiği varsayılan başlangıç ​​yer değiştirmelerini ve hızlarını denklemlerin (211) ve (212) sağ taraflarına ve sol taraflarına koyarak, şunu elde ederiz:

.

Bu ifadeleri tüm uzunluk boyunca çarparak ve integre ederek, şunu elde ederiz:

(213)

Diklik özelliğinden dolayı sağ taraftaki sonsuz toplamlar kaybolmuştur. (213)'ten sabitler için formülleri takip edin ve

(214)

Şimdi bu sonuçların çözüme (211) dönüştürülmesi gerekir.

Özformların ölçek seçiminin önemsiz olduğunu bir kez daha vurgulayalım. Örneğin, özformun (209) ifadesinde bunun yerine kat daha büyük bir değer alırsak, o zaman (214) kat daha küçük sonuçlar verecektir; çözeltiye (211) yerleştirildikten sonra bu farklar birbirini telafi eder. Bununla birlikte, genellikle normalleştirilmiş özfonksiyonları kullanırlar ve ölçeklerini ifadelerin paydaları (214) bire eşit olacak şekilde seçerler, bu da ve ifadelerini basitleştirir.

6.3.5. Sabit boyuna kuvvetin etkisi

Salınımlı bir kirişin, salınım işlemi sırasında büyüklüğü değişmeyen uzunlamasına bir N kuvvetine maruz kaldığı durumu ele alalım. Bu durumda statik eğilme denklemi daha karmaşık hale gelir ve (basınç kuvvetinin pozitif kabul edilmesi şartıyla) şeklini alır.

.

Sertlik sabitini varsayarak ve dikkate alarak serbest titreşim denklemini elde ederiz

.(215)

Formdaki belirli bir çözümü kabul etmeye devam ediyoruz.

Daha sonra denklem (215) iki denkleme ayrılır:

İlk denklem çözümün salınımlı doğasını ifade eder, ikincisi salınımların şeklini belirler ve ayrıca frekansları bulmanızı sağlar. Bunu şu şekilde yeniden yazalım:

(216)

Nerede k formül (196) ile belirlenir ve

Denklemin (216) çözümü şu şekildedir:

Çubuğun her iki ucunun da menteşeli desteklere sahip olduğu durumu ele alalım. Sol taraftaki koşullar vermek . Sağ tarafta aynı koşulları yerine getirirsek, şunu elde ederiz:

Büyüklüklerin katsayılarından oluşan determinantı sıfıra eşitleyerek denkleme ulaşırız

Bu frekans denkleminin kökleri:

Bu nedenle doğal frekans denklemden belirlenir.

.

Buradan (217)'yi dikkate alarak şunu buluruz:

.(219)

Uzatıldığında frekans artar, sıkıştırıldığında azalır. Basınç kuvveti N kritik bir değere yaklaştığında kök sıfıra doğru yönelir.

6.3.6. Zincir Kuvvetlerinin Etkisi

Daha önce boyuna kuvvetin belirli olduğu ve sistemin yer değiştirmelerinden bağımsız olduğu düşünülüyordu. Bazı pratik problemlerde, enine titreşim sürecine eşlik eden boyuna kuvvet, kirişin bükülmesinden dolayı ortaya çıkar ve bir destek reaksiyonu niteliğindedir. Örneğin iki menteşeli ve sabit destek üzerindeki bir kirişi düşünün. Büküldüğünde desteklerin yatay reaksiyonları meydana gelir ve bu da kirişin gerilmesine neden olur; karşılık gelen yatay kuvvete genellikle denir zincir kuvveti. Kiriş enine yönde salınırsa zincir kuvveti zamanla değişecektir.

t anında kirişin sapmaları fonksiyon tarafından belirleniyorsa, eksenin uzaması aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

.

Karşılık gelen zincir kuvvetini Hooke yasasını kullanarak buluyoruz

.

Bu sonucu boyuna kuvvet N yerine (işaretini dikkate alarak) (215) olarak yazalım.

.(220)

Ortaya çıkan doğrusal olmayan bütünleşik diferansiyel denklem ikame kullanılarak basitleştirilmiştir

,(221)

Maksimum değeri herhangi bir sayıya, örneğin birliğe eşit olarak ayarlanabilen boyutsuz bir zaman fonksiyonu nerede; salınımların genliği.

(221)'i (220)'ye değiştirerek, sıradan diferansiyel denklemi elde ederiz.

,(222)

katsayıları aşağıdaki değerlere sahiptir:

;.

Diferansiyel denklem (222) doğrusal değildir, bu nedenle serbest salınımların frekansı genliklerine bağlıdır.

Enine titreşimlerin frekansının kesin çözümü şu şekildedir:

zincir kuvvetleri dikkate alınmadan hesaplanan enine titreşimlerin frekansı nerede; salınım genliğinin kesitin dönme yarıçapına oranına bağlı düzeltme faktörü; değer referans literatüründe verilmiştir.

Kesitin genliği ve dönme yarıçapı orantılı olduğunda frekanstaki düzeltme önemli hale gelir. Örneğin, yuvarlak bir çubuğun titreşim genliği çapına eşitse ve frekans, desteklerin serbest yer değiştirmesi durumunda neredeyse iki kat daha büyüktür.

Bu durum, kirişin (bir ip) bükülme sertliği yok denecek kadar küçük olduğunda atalet yarıçapının sıfır değerine karşılık gelir. Aynı zamanda formülü belirsizlik verir. Bu belirsizliği ortaya çıkararak telin titreşim frekansı için bir formül elde ederiz.

.

Bu formül, denge konumunda gerilimin sıfır olduğu durum için geçerlidir. Çoğunlukla ip salınımları sorunu başka varsayımlar altında ortaya çıkar: yer değiştirmelerin küçük olduğuna ve çekme kuvvetinin salınım işlemi sırasında verildiğine ve değişmeden kaldığına inanılır.

Bu durumda frekans formülü şu şekildedir:

burada N sabit bir çekme kuvvetidir.

6.4. Viskoz sürtünmenin etkisi

Daha önce çubukların malzemesinin tamamen elastik olduğu ve sürtünmenin olmadığı varsayılmıştı. Viskoz olduğunu varsayarak iç sürtünmenin etkisini ele alalım; daha sonra stres ve deformasyon arasındaki ilişki ilişkilerle tanımlanır.

;.(223)

Dağıtılmış parametrelere sahip bir çubuğun serbest uzunlamasına titreşimler gerçekleştirmesine izin verin. Bu durumda boyuna kuvvet şu şekilde yazılacaktır:

Çubuk elemanın hareket denkleminden (174) bağıntısı elde edildi

(224)'ü burada değiştirerek ana diferansiyel denkleme ulaşırız.

,(225)

(175)'ten viskoz sürtünme kuvvetlerinin etkisini ifade eden ikinci terimle farklılık gösterir.

Fourier yöntemini takiben, (225) numaralı denklemin çözümünü şu şekilde ararız:

,(226)

burada fonksiyon sadece x koordinatlarıdır ve fonksiyon sadece t zamanıdır.

Bu durumda serinin her bir üyesinin problemin sınır koşullarını sağlaması ve toplamın tamamının da başlangıç ​​koşullarını sağlaması gerekir. (226)'yı (225)'e koymak ve herhangi bir sayı için eşitliğin sağlanmasını istemek R, alıyoruz

,(227)

burada asal sayılar koordinata göre farklılaşmayı gösterir X ve noktalar t zamanına göre farklılaşmadır.

(227)'nin çarpıma bölünmesi , eşitliğe geliyoruz

,(228)

yalnızca koordinata bağlı olabilen sol taraf X ve doğru olanı - yalnızca t zamanından itibaren. (228) eşitliğinin aynı şekilde karşılanabilmesi için her iki parçanın da ile gösterdiğimiz aynı sabite eşit olması gerekir.

Buradan denklemleri takip edin

(229)

.(230)

Denklem (229), K viskozite katsayısına bağlı değildir ve özellikle mükemmel elastik bir sistem durumunda aynı kalır. Dolayısıyla sayılar daha önce bulunanlarla tamamen örtüşüyor; ancak aşağıda gösterileceği gibi bu değer doğal frekansın yalnızca yaklaşık değerini verir. Özşekillerin çubuğun viskoz özelliklerinden tamamen bağımsız olduğuna dikkat edin; serbest sönümlü salınımların biçimleri, serbest sönümsüz salınımların biçimleriyle çakışır.

Şimdi sönümlü salınım sürecini tanımlayan denklem (230)'a geçelim; çözümü şu şekildedir

.(233)

İfade (232) bozunma hızını belirler ve (233) salınım frekansını belirler.

Böylece problem denkleminin tam çözümü

.(234)

Sabittir ve her zaman verilen başlangıç ​​koşullarına göre bulunabilir. Çubuğun tüm bölümlerinin başlangıç ​​yer değiştirmeleri ve başlangıç ​​hızları aşağıdaki gibi belirtilsin:

;,(235)

nerede ve bilinen fonksiyonlardır.

O halde (211) ve (212)'ye göre, elimizde

bu eşitliklerin her iki tarafını çubuğun tüm uzunluğu boyunca çarparak ve entegre ederek şunu elde ederiz:

(236)

Özformların diklik şartına göre bu eşitliklerin sağ taraflarında yer alan diğer tüm terimler sıfır olur. Şimdi eşitliklerden (236) herhangi bir r sayısını bulmak kolaydır.

(232) ve (234) göz önüne alındığında, titreşim modunun sayısı ne kadar yüksek olursa sönümlemenin de o kadar hızlı olduğunu görüyoruz. Ayrıca (234)'te yer alan terimler, gerçel sayı varsa sönümlü salınımları açıklamaktadır. (233)'ten, eşitsizlik sağlandığı sürece bunun sadece r'nin birkaç başlangıç ​​değeri için meydana geldiği açıktır.

Yeterince büyük değerler için R eşitsizliği (237) ihlal edilir ve miktar hayali hale gelir. Bu durumda, genel çözümün (234) karşılık gelen terimleri artık sönümlü salınımları tanımlamayacaktır ancak periyodik olmayan sönümlü hareketi temsil edecektir. Başka bir deyişle, kelimenin genel anlamıyla titreşimler, toplamın (234) yalnızca belirli bir sonlu kısmı ile ifade edilir.

Tüm bu niteliksel sonuçlar sadece boyuna titreşimler için değil aynı zamanda burulma ve bükülme titreşimleri için de geçerlidir.

6.5. Değişken kesitli çubukların titreşimleri

Çubuğun dağıtılmış kütlesinin ve kesitinin uzunluğu boyunca değişken olduğu durumlarda, boyuna titreşim denklemi (175) yerine denklemden yola çıkılmalıdır.

.(238)

Burulma titreşimi denklemi (187) denklemle değiştirilmelidir.

,(239)

ve enine titreşimlerin denklemi (192) denklemdir

.(240)

Denklemler (238)-(240) benzer ikamelerin yardımıyla fonksiyon için sıradan diferansiyel denklemlere indirgenebilir

MEKANİK

UDC531.01/534.112

BİR ÇUBUK PAKETİNİN BOYUNA TİTREŞİMLERİ

sabah Pavlov, A.N. Temnov

MSTU im. N.E. Bauman, Moskova, Rusya Federasyonu e-postası: [e-posta korumalı]; [e-posta korumalı]

Sıvı yakıtlı roketlerin dinamiği konularında, uzunlamasına elastik salınımlar meydana geldiğinde roket hareketinin stabilitesi sorunu önemli bir rol oynar. Bu tür salınımların ortaya çıkması, kendi kendine salınımların oluşmasına yol açabilir; bu, roketin uzunlamasına yönde dengesiz olması durumunda hızlı bir şekilde tahrip olmasına yol açabilir. Bir paket roketin boylamasına salınım problemi formüle edilmiştir; hesaplama modeli olarak bir çubuk paketi kullanılmıştır. Roket tanklarındaki sıvının “donmuş” olduğu kabul edilmektedir. akışkanın kendi hareketleri dikkate alınmaz. Söz konusu problem için toplam enerji dengesi kanunu formüle edilmiş ve operatör formülasyonu verilmiştir. Frekansların belirlendiği ve doğal salınımların şekillerinin oluşturulup analiz edildiği sayısal bir örnek verilmiştir.

Anahtar kelimeler: boyuna titreşimler, titreşimlerin frekansı ve şekli, çubuk paketi, toplam enerji dengesi yasası, kendine eşlenik operatör, titreşim spektrumu, POGO.

ÇUBUKLAR SİSTEMİ BOYUNA TİTREŞİMLER A.M. Pavlov, AL. Temnov

Bauman Moskova Devlet Teknik Üniversitesi, Moskova, Rusya Federasyonu e-posta: [e-posta korumalı]; [e-posta korumalı]

Sıvı yakıtlı roketlerin dinamiği sorularında, bu roketin hareket kararlılığı sorunu, uzunlamasına elastik titreşimlerin ortaya çıkmasıyla önemli bir role sahiptir. Bu tür titreşimlerin meydana gelmesi, roketin uzunlamasına yönde kararsızlığı durumunda roketin hızlı bir şekilde tahrip olmasına neden olabilecek kendi kendine titreşimlere neden olabilir. Paket şemasına dayalı olarak sıvı yakıtlı roketin boylamasına titreşimleri ile ilgili problem, hesaplamalı model olarak paket çubukları kullanılarak formüle edilmiştir. Roket tanklarındaki sıvının "donmuş" olduğu varsayılmaktadır, yani. Sıvının öz hareketleri dahil değildir. Bu problem için enerji tasarrufu prensibi formüle edilmiş ve operatör aşamaları verilmiştir. Frekansların belirlendiği, Öz titreşim formlarının oluşturulduğu ve analiz edildiği sayısal bir örnek var.

Anahtar Kelimeler: boyuna titreşimler, öz modlar ve frekanslar, çubuk modeli, enerji korunumu ilkesi, kendine eşlenik operatör, titreşim spektrumu, POGO.

Giriiş. Şu anda, Rusya'da ve yurt dışında, merkezi bloğun etrafına eşit olarak dağıtılmış aynı yan bloklara sahip paket düzenine sahip fırlatma araçları genellikle bir yükü gerekli yörüngeye fırlatmak için kullanılıyor.

Paket yapıların titreşimleri üzerine yapılan araştırmalar, yan ve orta blokların dinamik etkisiyle ilgili bazı zorluklarla karşılaşmaktadır. Fırlatma aracı düzeninin simetrik olması durumunda, paket tasarımındaki blokların karmaşık, uzamsal etkileşimi, sonlu sayıda titreşim türüne bölünebilir; bunlardan biri, merkezi ve yan blokların uzunlamasına titreşimleridir. İnce duvarlı çubuklardan oluşan bir paket şeklindeki böyle bir yapının boyuna titreşimlerinin matematiksel modeli, çalışmada ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Pirinç. 1. Merkezi şema - Bu makale, boyuna kirişin teorik çubuğunu ve hesaplama sonuçlarını sunmaktadır.

tarafından yürütülen çalışmayı tamamlayan bir çubuk paketinin titreşimleri. Acımak.

Sorunun formülasyonu. l0 uzunluğunda bir merkezi çubuk ve aynı uzunlukta j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, sabitlenmiş N yan çubuktan oluşan bir çubuk paketinin diğer uzunlamasına titreşimlerini ele alalım. A noktasında (xA = l) (Şekil 1) k sertliğindeki merkezi yay elemanları ile.

Sabit bir referans çerçevesi OX'u tanıtalım ve EFj (x) çubuklarının sertliğinin, mj (x) dağıtılmış kütlesinin ve q (x, t) bozukluğunun x koordinatının sınırlı fonksiyonları olduğunu varsayalım:

0

0 < mj < mj (x) < Mj; (1)

0

Boyuna titreşimler sırasında, denklemlerle belirlenen x koordinatlı çubuk bölümlerinde Uj (x, t) yer değiştirmelerinin ortaya çıkmasına izin verin.

mj (x) ^ - ¿(eFj (x) ^ = qj (x,t), j = 0,1, 2,..., N, (2)

Çubukların uçlarında normal kuvvetlerin bulunmadığı sınır koşulları

3 =0, x = 0, ^ = 1, 2,

0, x = 0, x = 10;

Çubuklarda ortaya çıkan normal kuvvetlerin eşitliği koşulları,

EF-3 = F x = l

Yay elemanlarının elastik kuvvetleri

FпPJ = к (ш (ха) - у (¡,)); (4)

EUodX (xa - 0) - EFodX (xa + 0) = , x = xa;

merkezi çubuğun xa noktasındaki yer değiştirmelerin eşitliği koşulu

Shch (ha-o) = Shch (xa+o) ve başlangıç ​​koşulları

Shch y (x, 0) - Shch (x); , _

u(x, 0) = u(x),

burada u(x, 0) = "d^1(x, 0).

Toplam enerji dengesi kanunu. Denklem (2)'yi u(x,ξ) ile çarpalım, her çubuğun uzunluğu üzerinden integral alalım ve sınır koşullarını (3) ve eşleştirme koşulunu (4) kullanarak sonuçları toplayalım. Sonuç olarak elde ederiz

(( 1 ^ [ (diL 2

TZ (x) "BT" (x+

dt | 2 ^ J 3 w V dt

N x „ h 2 .. N „ i.

1 ^ Г "" , f dп3\ , 1 ^ Гj

1 N /* i dpl 2 1 N fl j

EF3 dx +2^Уо И (x - -)(hayır - Uj)2 dx

= / ^ (x, £) onları y (x, £) (x, (6)

burada 8 (x - ¡y) Dirac delta fonksiyonudur. Denklem (6)'da süslü parantez içindeki ilk terim sistemin kinetik enerjisini T (¿), ikincisi çubukların deformasyonundan kaynaklanan potansiyel enerji Pr (£) ve üçüncüsü ise potansiyel enerjiyi temsil eder. Yay elemanlarının Pk(£) şeklinde yazılabilen elastik deformasyonların varlığında çubuklar

Pk (*) = 2 £ / Cy (¡y) 8 (x - ¡1) E^ (¡y) (ddit (¡1)) 2 (x, Cy = Eu.

Denklem (6), söz konusu mekanik sistemin birim zaman başına toplam enerjisindeki değişimin güce eşit olduğunu göstermektedir.

dış etki. Dış müdahale q(x,t) olmadığında, toplam enerjinin korunumu yasasını elde ederiz:

T (t) + Pr (t) + Pk (t) = T (0) + Pr (0) + Pk (0).

Sinematografi. Enerji dengesi kanunu, herhangi bir t zamanı için Uj (x, t) fonksiyonlarının, skaler çarpım ile ¡i uzunluğu üzerinde tanımlanan L2j(; m3 (x)) Hilbert uzayının elemanları olarak düşünülebileceğini göstermektedir.

(biz,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0

ve karşılık gelen norm.

L2j dik toplamına eşit olan H Hilbert uzayını, H = L20 Ф L21 Ф... Ф L2N'yi, U = (uo, Ui,..., uN)т vektör fonksiyonunu ve şu şekilde hareket eden A operatörünü tanıtalım: ilişkiye göre H alanı

AU = diag (A00U0, A11U1,..., Annun).

mj(x)dx\jdx"

üzerinde tanımlanan operatörler

(3) ve (4) koşullarını karşılayan fonksiyonların B (A33) С Н ayarını yapın.

Orijinal problem (1)-(5) başlangıç ​​koşullarıyla birlikte formda yazılacaktır.

Au = f (*), u (0) = u0, 17(0) = u1, (7)

burada f (*) = ((*),51 (*),..., Yam (¿))t'ye.

Lemma. 1. İlk iki koşul (1) karşılanırsa, evrim problemindeki (7) A operatörü, H uzayında sınırsız, kendine eşlenik, pozitif tanımlı bir operatördür

(Au,K)n = (u,AK)n, (Au, u)i > c2 (i, u)i.

2. Operatör A, bir çubuk paketinin salınımlarının potansiyel enerjisinin iki katına eşit bir norma sahip bir NA enerji alanı üretir

3\^I h)2 = 2П > 0. (8)

IIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2П > 0.

< Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно:

(AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+

+£ jm(x) (- jx) | (ef- (x) dndxa))v-(x) dx=... =

EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x)

J EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) uo (x) ?o (x)

+ ^^ / EF- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ EF- (x) u- (x) v- (x)

J EFo (x) uo (x) v" (x) dx - EFo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0

EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) +

J EF- (x) u- (x) v- (x) dx = J EFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -=100

+ £ / EF.,- (x) u- (x) g?- (x) dx+ o

O(xa)-

£ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?"o (x) dx+ -=10

+ £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -=1 0 -

+ £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H

(AU, U)H = ... = I EF0 (x) u"2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x)

J EF0 (x) u"0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x)

+ ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x)

"J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx

У^ k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) =

EF0 (x) u"2 (x) dx + / EF0 (x) u"0 (x) dx +

S / EFj (x) u"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H

Yukarıdaki sonuçlardan, A operatörünün enerji normunun formül (8) ile ifade edildiği anlaşılmaktadır.

Evrimsel problemin çözülebilirliği. Aşağıdaki teoremi formüle edelim.

Teorem 1. Koşullar sağlansın

U0 £ D (A1/2), U0 £ H, f (t) £ C (; H),

o zaman problem (7)'nin aralıkta formülle tanımlanan benzersiz bir zayıf çözümü U(t) vardır

U (t) = U0 cos (tA1/2) +U1 sin (tA1/2) +/sin ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds.

5 dış müdahalenin yokluğunda f (£), enerjinin korunumu yasası sağlanır

1 II A 1/2UИ2 = 1

1 II A1/2U 0|H.

< Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости .

Bir çubuk paketinin doğal titreşimleri. Çubuk sisteminin dış kuvvetlerin alanından etkilenmediğini varsayalım: f(t) = 0. Bu durumda çubukların hareketleri serbest olarak adlandırılacaktır. Çubukların exp (iwt) yasasına göre t zamanına bağlı olarak serbest hareketlerine doğal titreşimler adı verilecektir. Denklem (7)'deki U (x, t) = U (x) eiWÍ'yi alarak, A operatörü için spektral problemi elde ederiz:

AU - AEU = 0, L = w2. (9)

A operatörünün özellikleri, özfonksiyonların spektrumu ve özellikleri hakkında bir teorem formüle etmemizi sağlar.

Teorem 2. Bir çubuk paketinin doğal titreşimleriyle ilgili spektral problem (9) ayrı bir pozitif spektruma sahiptir

0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то

ve H ve HA uzaylarında tam ve dik olan bir özfonksiyonlar sistemi (Uk (x))^=0) ve aşağıdaki diklik formülleri sağlanır:

(Ufe, ABD)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0

(İngiltere= £/T^) d*+

K (“feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. j=i

Homojen bir çubuk paketi durumunda spektral problemin incelenmesi. Yer değiştirme fonksiyonunu m- (x, £) m- (x, £) = m- (x) formunda sunarak, değişkenleri ayırdıktan sonra her çubuk için spektral problemler elde ederiz:

^Oi + Lm = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10)

bunu matris formunda yazıyoruz

4 £ + Li = 0,

A = -,-,-,...,-

\ t0 t1 t2 t «

u = (u0, u1, u2,..., u«)t.

Elde edilen sonuçların çözümü ve analizi. Merkezi çubuk için kesitteki yer değiştirme fonksiyonlarını u01 ve kesitteki u02(g) olarak gösterelim. Bu durumda u02 fonksiyonu için koordinatların orijinini / koordinatına taşırız. Her çubuk için denklemin (10) çözümünü şu şekilde sunuyoruz:

(11)'deki bilinmeyen sabitleri bulmak için yukarıda formüle edilen sınır koşullarını kullanırız. Homojen sınır koşullarından bazı sabitleri belirlemek mümkündür:

C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN 2 = 0.

Sonuç olarak geriye N + 3 sabit bulmak kalıyor: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1. Bunu yapmak için N + 3 bilinmeyen için N + 3 denklem çözüyoruz.

Ortaya çıkan sistemi matris formunda yazalım: (A) (C) = (0) . Burada (C) = (C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1)t bilinmeyenlerin vektörüdür; (A) - karakteristik matris,

cos (A1) EF0 A günah (A1) +

L sin (L (Zo - 1)) L cos (L (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000

0 y 00 00 0 000Y

a = k soe ^ ^A-L^ ; in = -k co8((.40-01L)1/2 ^ ;

7 = (A4"-1 l) 1/2 ap ((A"1l) 1/2 + k sov ((A"1l) 1/2;

(~ \ 1/2 ~ Л= ^Л] ; A--: 3 = 0.

Önemsiz olmayan bir çözüm bulmak için C01 € M sabitini değişken olarak alıyoruz.İki seçeneğimiz var: C01 = 0; C01 = 0.

C01 = 0, sonra C03 = C04 = 0 olsun. Bu durumda, ek koşul sağlandığında (12)'den 7 = 0 ise önemsiz olmayan bir çözüm elde edilebilir.

£ s-1 = 0, (13)

(12) sisteminin üçüncü denkleminden elde edilebilir. Sonuç olarak basit bir frekans denklemi elde ederiz

EP (A"1 L)1/2 W ((A"1^1/2 P +

zz \V zz

K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0, j G ,

birinci kısmi sistem olarak kabul edilebilecek bir ucu elastik olarak sabitlenmiş bir çubuğun frekans denklemiyle örtüşmektedir.

Bu durumda, koşulu (13) karşılayan yan çubukların tüm olası hareket kombinasyonları, şartlı olarak farklı faz kombinasyonlarına karşılık gelen gruplara ayrılabilir (göz önünde bulundurulan durumda, faz C.d işaretiyle belirlenir). Yan çubukların aynı olduğunu varsayarsak iki seçeneğimiz vardır:

1) Сд = 0, o zaman farklı N için bu tür kombinasyonların sayısı n, n = N2 formülü kullanılarak hesaplanabilir; burada kalansız bölme fonksiyonu;

2) C- sabitlerinden herhangi biri (veya herhangi biri) 0'a eşitse, olası kombinasyonların sayısı artar ve formülle belirlenebilir

£ [(N - m) böl 2].

Coi = 0 olsun, o zaman Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = = C01 (-v/t), burada in ve y (12)'de yer alan komplekslerdir. Sistem (12)'den ayrıca şunu elde ederiz: C03 = C01 cos (А/); C04=C03 tg (L (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (L (/0 - /))), yani. tüm sabitler C01 aracılığıyla ifade edilir. Frekans denklemi şu şekli alır

EFo U-o1 L tg A-1 L) " (lo - l)) -

K2 çünkü | í a!-,1 L

Örnek olarak dört kenar çubuğu olan bir sistemi düşünün. Yukarıda anlatılan yönteme ek olarak, bu örnekte, A matrisinin determinantını hesaplayıp sıfıra eşitleyerek tüm sistemin frekans denklemini yazabilirsiniz. Hadi bakalım

Y4 (L sin (L (/o - /)) cos (L/) EFoЛ+

L cos (L (/o - /)) (EFoЛ sin (L/) + 4v)) -

4av3L çünkü (L(/0 - /)) = 0.

Yukarıda ele alınan durumlar için aşkın frekans denklemlerinin grafikleri Şekil 2'de sunulmaktadır. 2. Başlangıç ​​verileri olarak aşağıdakiler alınmıştır: EF = 2,109 N; EF0 = 2,2 109 N; k = 7 107 N/m; m = 5900 kg/m; mo = 6000 kg/m; / = 23; /о = 33 m.Ele alınan devrenin ilk üç salınım frekansının değerleri aşağıda verilmiştir:

N......................................

ve, sevindim/ler....................................

1 2 3 20,08 31,53 63,50

Pirinç. 2. Coi = 0 (i) ve Coi = 0 (2) için aşkın frekans denklemlerinin grafikleri

Elde edilen çözümlere karşılık gelen titreşim modlarını sunalım (genel durumda titreşim modları normalleştirilmez). Birinci, ikinci, üçüncü, dördüncü, 13 ve 14 frekanslara karşılık gelen titreşim formları Şekil 2'de gösterilmektedir. 3. İlk titreşim frekansında, yan çubuklar aynı şekilde ancak çiftler halinde antifazda titreşir

Şek. 3. Birinci V = 3,20 Hz (a), ikinci V = 5,02 Hz (b), üçüncü V = 10,11 Hz (c), dördüncüye karşılık gelen yan (1) ve orta (2) çubukların titreşim biçimleri V = 13,60 Hz (d), 13. V = 45,90 Hz (d) ve 14. V = 50,88 Hz (f) frekansları

(Şekil 3, a), ikinci ile merkezi çubuk salınır ve yan çubuklar aynı fazda salınır (Şekil 3, b). Söz konusu çubuk sisteminin birinci ve ikinci titreşim frekanslarının, katı cisimlerden oluşan bir sistemin titreşimlerine karşılık geldiğine dikkat edilmelidir.

Sistem üçüncü doğal frekansla salındığında, düğümler ilk kez ortaya çıkar (Şekil 3c). Üçüncü ve sonraki frekanslar (Şekil 3d), sistemin elastik titreşimlerine karşılık gelir. Elastik elemanların etkisindeki azalmayla ilişkili olarak titreşim frekansındaki artışla birlikte, titreşimlerin frekansları ve şekilleri kısmi olma eğilimindedir (Şekil 3, e, f).

Apsis ekseni ile kesişme noktaları aşkın denklemlerin çözümleri olan fonksiyonların eğrileri Şekil 2'de sunulmaktadır. 4. Şekle göre sistemin salınımlarının doğal frekansları kısmi frekanslara yakın konumdadır. Yukarıda belirtildiği gibi, frekans arttıkça doğal frekansların kısmi frekanslara yakınsaması artar. Sonuç olarak, tüm sistemin salındığı frekanslar şartlı olarak iki gruba ayrılır: yan çubuğun kısmi frekanslarına yakın olanlar ve merkezi çubuğun kısmi frekanslarına yakın frekanslar.

Sonuçlar. Bir çubuk paketinin boyuna titreşimleri problemi ele alınmıştır. Pozlanan sınır değer probleminin özellikleri ve özdeğerlerinin spektrumu açıklanmaktadır. Rasgele sayıda homojen yan çubuk için spektral probleme bir çözüm önerilmiştir. Sayısal bir örnek olarak, ilk salınım frekanslarının değerleri bulunur ve karşılık gelen şekiller oluşturulur. Oluşturulan titreşim modlarının bazı karakteristik özellikleri de tanımlanmıştır.

Pirinç. 4. CoX = 0 (1), Cox = 0 (2) için apsis ekseni ile kesişme noktaları transandantal denklemlerin çözümleri olan fonksiyonların eğrileri, birinci kısmi sistemle (elastiğe sabitlenmiş yan çubuk) çakışır. x = I noktasındaki eleman ve ikinci kısmi sistem (5) (A noktasında dört elastik elemana sabitlenmiş merkezi çubuk)

EDEBİYAT

1. Kolesnikov K.S. Roketlerin dinamiği. M.: Makine Mühendisliği, 2003. 520 s.

2. Balistik füzeler ve fırlatma araçları / O.M. Alifanov, A.N. Andreev, V.N. Gushchin ve diğerleri M.: Bustard, 2004. 511 s.

3. Rabinovich B.I. Uzay aracı fırlatma araçlarının dinamiklerine giriş. M.: Makine Mühendisliği, 1974. 396 s.

4. Sıvı roketlerin POGO stabilitesi üzerine parametre çalışması / Z. Zhao, G. Ren, Z. Yu, B. Tang, Q. Zhang // J. of Spacecraft and Rockets. 2011. Cilt. 48. Var. 3. S. 537-541.

5. Balakirev Yu.G. Sıvı tahrikli fırlatma araçlarının boyuna titreşimlerini analiz etme yöntemleri // Kozmonotik ve Roket Bilimi. 1995. No. 5. S. 50-58.

6. Balakirev Yu.G. Bir kontrol nesnesi olarak toplu düzenlemenin sıvı roketinin matematiksel modelinin özellikleri // Modern makine mühendisliğinin seçilmiş mukavemet problemleri. 2008. s. 43-55.

7. Dokuchaev L.V. Simetrilerini dikkate alarak bir paket fırlatma aracının dinamiklerini incelemek için yöntemlerin geliştirilmesi // Kozmonotik ve Roket Bilimi. 2005. No. 2. S. 112-121.

8.Pozhalostin A.A. Sıvı ile elastik kabukların doğal ve zorlanmış titreşimlerinin hesaplanması için yaklaşık analitik yöntemlerin geliştirilmesi: dis. ... Dr. Tech. Bilim. M., 2005. 220 s.

9. Vinç S.G. Banach uzaylarında doğrusal diferansiyel denklemler. M.: Nauka, 1967. 464 s.

10. Kopachevski Kimliği. Matematiksel fiziğin operatör yöntemleri. Simferopol: LLC "Forma", 2008. 140 s.

Kolesnikov K.S. Dinamik raket. Moskova, Mashinostroenie Yayını, 2003. 520 s.

Alifanov O.N., Andreev A.N., Gushchin V.N., eds. Balistik ve rakety-nositeli. Moskova, Drofa Yayını, 2003. 511 s.

Rabinovich B.I. Vvedenie v dinamiku raket-nositeley kosmicheskikh aparatı. Moskova, Mashinostroenie Yayını, 1974. 396 s.

Zhao Z., Ren G., Yu Z., Tang B., Zhang Q. Sıvı yakıtlı roketin POGO stabilitesi üzerine parametre çalışması. J. Uzay Aracı ve Roketler, 2011, cilt. 48, s. 3, s. 537-541.

Balakirev Yu.G. Sıvı yakıtlı motora sahip fırlatma araçlarının boyuna titreşimlerinin analiz yöntemleri. Kosm. ben raketostr. , 1995, hayır. 5, s. 50-58 (Rusça).

Balakirev Yu.G. Osobennosti matematicheskoy modeli zhidkostnoy rakety paketnoy komponovki kak ob'ekta upravlenii. Sb. "Izbrannye problemy prochnosti sovremennogo mashinostroeniya". Moskova, Fizmatlit Yayını, 2008. 204 s. (alıntı s. 4355).

Dokuchaev L.V. Simetrileri dikkate alınarak kümelenmiş fırlatma araçlarının dinamiklerini incelemek için yöntemlerin geliştirilmesi. Kosm. ben raketostr. , 2005, hayır. 2, s. 112-121 (Rusça).

Pozhalostin A.A. Razrabotka priblizhennykh analiticheskikh metodov rascheta sobstvennykh i vynuzhdennykh kolebaniy uprugikh obolochek s zhidkost"yu. Diss. doct. tekhn. nauk .

Kreyn S.G. Lineynye Differentsial"nye uravneniya v Banakhovykh prostranstvakh. Moskova, Nauka Yayını., 1967. 464 s. Kopachevskiy I.D. Operatornye metody matematicheskoy fiziki. Simferopol", Forma Yayını, 2008. 140 s.

Makale editör tarafından 28 Nisan 2014'te teslim alındı.

Pavlov Arseniy Mihayloviç - Moskova Devlet Teknik Üniversitesi Uzay Aracı ve Fırlatma Araçları Bölümü öğrencisi. N.E. Bauman. Roket ve uzay teknolojisi alanında uzmanlaşmıştır.

MSTU im. N.E. Baumash, Rusya Federasyonu, 105005, Moskova, 2nd Baumanskaya st., 5.

Pavlov A.M. - Bauman Moskova Devlet Teknik Üniversitesi "Uzay Araçları ve Fırlatma Araçları" bölümü öğrencisi. Roket ve uzay teknolojisi alanında uzman. Bauman Moskova Devlet Teknik Üniversitesi, 2-ya Baumanskaya st. 5, Moskova, 105005 Rusya Federasyonu.

Temnov Alexander Nikolaevich - Ph.D. fizik ve matematik Bilimler, Uzay Aracı ve Fırlatma Araçları Bölümü Doçenti, Moskova Devlet Teknik Üniversitesi. N.E. Bauman. Akışkan ve gaz mekaniği ile roket ve uzay teknolojisi alanında 20'den fazla bilimsel makalenin yazarı. MSTU im. N.E. Baumash, Rusya Federasyonu, 105005, Moskova, 2nd Baumanskaya st., 5.

Temnov A.N. - Cand. Bilim. (Fiz.-Math.), Doç. Bauman Moskova Devlet Teknik Üniversitesi "Uzay Araçları ve Fırlatma Araçları" bölümünde profesör. Akışkan ve gaz mekaniği ile roket ve uzay teknolojisi alanında 20'den fazla yayının yazarıdır.

Bauman Moskova Devlet Teknik Üniversitesi, 2-ya Baumanskaya st. 5, Moskova, 105005 Rusya Federasyonu.

> Boyuna dalgalar

Yayılımı, yönü ve hızı öğrenin boyuna dalga: Boyuna dalgalar nelerdir, nasıl yayılırlar, örnekler ve salınımlar, nasıl ortaya çıkarlar, grafik.

Bazen boyuna dalgalara sıkıştırma dalgaları denir. Yayılma yönünde dalgalanırlar.

Öğrenme Hedefi

• Boyuna dalga tipinin özelliklerini ve örneklerini tanımlayın.

Ana noktaları

• Boyuna dalgaların salınımları yayılma yönünde meydana gelir, ancak bunlar çok küçüktür ve denge konumlarına sahiptirler, dolayısıyla kütleyi değiştirmezler.
• Bu tip, enerjiyi yayılma ekseni boyunca taşıyan darbeler olarak düşünülebilir.
• Ayrıca karakteristik sıkışma ve seyrekleşmeye sahip basınç dalgaları olarak da algılanabilirler.

Şartlar

• Seyrekleşme, bir malzemenin (öncelikle sıvı için) yoğunluğundaki azalmadır.
• Boyuna - eksen uzunluğu yönünde.
• Sıkıştırma – artan yoğunluk.

Örnek

Hangi dalgalar boyunadır? En iyi örnek ses dalgasıdır. Hava sıkıştırmasından kaynaklanan darbeleri içerir.

Uzunlamasına dalgalar

Titreşim yönünde, boyuna dalgalar hareket yönü ile çakışır. Yani ortamın hareketi dalga hareketi ile aynı yönde yer almaktadır. Bazı uzunlamasına dalgalara sıkıştırma dalgaları da denir. Denemek istiyorsanız, bir Slinky oyuncağı (yay) satın alın ve onu her iki ucundan tutun. Sıkıştırma ve zayıflama anında dürtü sonuna doğru ilerleyecektir.

Sıkıştırılmış bir Slinky, uzunlamasına bir dalganın bir örneğidir. Titreşimlerle aynı yönde yayılır.

Boyuna (aynı zamanda enine) kütlenin yerini değiştirmez. Aradaki fark, boylamsal bir dalganın yayıldığı ortamdaki her parçacığın yayılma ekseni boyunca salınmasıdır. Bir Slinky düşünürseniz, bobinler belirli noktalarda salınım yapar ancak yayın uzunluğu boyunca hareket etmez. Burada taşınan şeyin kütle değil, momentum formundaki enerji olduğunu unutmayın.

Bazı durumlarda bu tür dalgalar basınç dalgaları gibi davranır. Çarpıcı bir örnek sestir. Bir ortamın (çoğunlukla hava) sıkıştırılmasıyla oluşturulurlar. Boyuna ses dalgaları, dengeli basınçtan değişen basınç sapmalarıdır ve bu da yerel sıkıştırma ve seyrekleşme alanlarına yol açar.

Ortamdaki madde periyodik olarak bir ses dalgasıyla yer değiştirir ve salınır. Ses üretebilmek için hava parçacıklarını belli bir miktara kadar sıkıştırmanız gerekir. Enine dalgalar bu şekilde oluşur. Kulaklar farklı basınçlara duyarlı bir şekilde tepki verir ve dalgaları tonlara dönüştürür.