Mantıksal bir fonksiyona birleşik normal form denir. Mantıksal işlevleri temsil etmenin bağlaçlı biçimleri

Mantıksal fonksiyonların normal formları Bir Boolean fonksiyonunun, Ki 2.7 biriminin bileşenlerinin birleşik terimlerinin ayrılması biçiminde temsiline, bu fonksiyonun DNF'sinin ayırıcı normal formu denir. Olumsuzlamalarla veya olumsuzlamalar olmadan alınan tüm mantıksal değişkenlerden tam olarak birini içeriyorsa, bir fonksiyonun bu temsil biçimine, bu fonksiyonun mükemmel ayrık normal formu SDNF'si denir. Gördüğünüz gibi, bir SDNF işlevi oluştururken, işlevin 1 değerini aldığı tüm mintermlerin bir ayrımını oluşturmanız gerekir.

Bu çalışma size uymuyorsa sayfanın alt kısmında benzer çalışmaların listesi bulunmaktadır. Arama butonunu da kullanabilirsiniz

Ders 1.xx

Mantıksal fonksiyonların normal biçimleri

Bir Boole fonksiyonunun bağlaç terimlerinin ayrılması biçiminde temsili (birim kurucu) Ki

, (2.7)

isminde ayırıcı normal form(DNF) bu işlevin.

DNF'deki tüm birleşik terimler ise mintermler , yani olumsuzlamalarla veya olumsuzlamalar olmadan alınan tüm mantıksal değişkenlerden tam olarak birini içeriyorsa, bu fonksiyon gösterimi biçimine denirmükemmel ayırıcı normal form(SDNF ) bu fonksiyon. Buna SDNF denir mükemmel çünkü ayrımdaki her terim tüm değişkenleri içerir; ayırıcı çünkü formüldeki ana işlem ayırmadır. Konsept “normal şekil”, belirli bir işlevi uygulayan bir formül yazmanın açık bir yolu anlamına gelir.

Yukarıdakiler dikkate alındığında, Teorem 2.1'den aşağıdaki teorem çıkar.

Teorem 2. Herhangi bir Boole işlevi(aynı değil 0) SDNF'de sunulabilir, .

Örnek 3. Fonksiyon verilen bir tablomuz olsun f (x 1 , x 2 , x 3 ) (Tablo 10).

Tablo 10

Formül (2.6)'ya dayanarak şunu elde ederiz:

Gördüğünüz gibi, bir SDNF işlevi oluştururken, işlevin 1 değerini aldığı tüm mintermlerin bir ayrımını oluşturmanız gerekir.

Bir Boole fonksiyonunun ayırıcı terimlerin birleşimi (sıfır bileşen) biçiminde temsili D ben

, (2.8)

isminde birleşik normal form(CNF) bu işlevin.

Tüm ayırıcı CNF terimleri maxterms , yani fonksiyonun olumsuzlamalı veya olumsuzlamasız alınan tüm mantıksal değişkenlerinden tam olarak birini içeriyorsa, böyle bir CNF denirmükemmel konjonktif normal form(SKNF) bu işlevin.

Teorem 3. Herhangi bir Boole işlevi(1 ile aynı değil) SKNF'ye gönderilebilir, ve böyle bir temsil tek temsildir.

Teoremin ispatı, aşağıdaki bağlaçlı ayrıştırma Shannon lemmasına dayalı olarak Teorem 2.1'in ispatına benzer şekilde gerçekleştirilebilir.

Shannon'ın Lemması . Herhangi bir Boole işlevi f (x 1, x 2, …, x m) m'den değişkenler bu şekilde temsil edilebilir:

. (2.9)

Mantıksal bir fonksiyonun her iki temsil biçiminin (DNF ve CNF) teorik olarak yetenekleri açısından eşit olduğuna dikkat edilmelidir: herhangi bir mantıksal formül hem DNF'de (özdeş sıfır hariç) hem de CNF'de (özdeş olan hariç) temsil edilebilir. ). Duruma bağlı olarak bir fonksiyonun şu veya bu biçimde temsili daha kısa olabilir.

Pratikte DNF en sık kullanılır, çünkü bu form bir kişiye daha aşinadır: Çocukluğundan beri, toplamları çarpmak yerine ürün eklemeye daha alışkındır (ikinci durumda, sezgisel olarak parantezleri açma ve böylece DNF'ye geçme arzusu vardır).

Örnek 4. f (x 1 , x 2 , x 3) fonksiyonu için ), tablo tarafından verilmiştir. 10, bunu SKNF'ye yazın.

SDNF'den farklı olarak, SCNF'yi mantıksal bir fonksiyonun doğruluk tablosunda derlerken, fonksiyonun 0 değerini aldığı değişkenlerin kombinasyonlarına bakmanız ve karşılık gelen maksimum terimlerin bir birleşimini oluşturmanız gerekir,ancak değişkenler ters çevirme ile alınmalıdır:

Bir fonksiyonun SDNF'sinden SCNF'sine veya tersi yönde doğrudan geçişin mümkün olmadığı unutulmamalıdır. Bu tür dönüşümler denendiğinde, sonuçlar istenenlerin tam tersi olan işlevlerdir. SDNF ve SCNF fonksiyonlarına ilişkin ifadeler doğrudan yalnızca doğruluk tablosundan elde edilebilir.

Örnek 5. f (x 1 , x 2 , x 3) fonksiyonu için ), tablo tarafından verilmiştir. 10, SDNF'den SKNF'ye geçmeyi deneyin.

Örnek 2.3'ün sonucunu kullanarak şunu elde ederiz:

Gördüğünüz gibi, genel ters çevirme altında, örnek 2.4'te elde edilen fonksiyonun tersi olan mantıksal bir fonksiyonun SCNF'sini elde ettik:

çünkü söz konusu fonksiyonun SCNF ifadesinde bulunmayan tüm maksimum terimleri içerir.

1. İşlemlerin özelliklerini kullanarak (bkz. Tablo 9) kimlik (), toplam modulo 2 (), ima () işlemlerine geçiyoruz VE, VEYA, DEĞİL (Boolean temelinde).

2. Olumsuzlamanın özelliklerini ve De Morgan yasalarını kullanarak (bkz. Tablo 9), olumsuzlama işlemlerinin tüm ifadelere değil yalnızca bireysel değişkenlere uygulanmasını sağlıyoruz.

3. AND ve OR mantıksal işlemlerinin özelliklerini kullanarak (bkz. Tablo 9), normal formu (DNF veya CNF) elde ederiz.

4. Gerekirse mükemmel formlara (SDNF veya SKNF) geçin. Örneğin, SCNF'yi elde etmek için sıklıkla şu özelliği kullanmanız gerekir: .

Örnek 6. Mantıksal bir işlevi SKNF'ye dönüştürme

Yukarıdaki algoritmanın adımlarını sırayla uygulayarak şunu elde ederiz:

Absorbsiyon özelliğini kullanarak şunu elde ederiz:

Böylece CNF fonksiyonunu elde ettik. f (x 1 , x 2 , x 3 ). SCNF'sini elde etmek için, herhangi bir değişkenin eksik olduğu her ayırmayı, bu değişkenle ve onun olumsuzlamasıyla iki kez tekrarlamanız gerekir:

2.2.6. Mantık Fonksiyonlarını Minimize Etme

Aynı mantıksal fonksiyon şu şekilde temsil edilebildiğinden H kişisel formüller, ardından en basit formu bulma R Bir Boolean fonksiyonunu tanımlayan katır, Boolean fonksiyonunu uygulayan mantık devresini basitleştirir tion'a. Asgari form lÖ mantıksal fonksiyonbazı temellerde minimum sayıda eğlenceli süperpozisyon içeren bir tanesini düşünebilirizİle parantezlere izin verilerek tabana ilişkin açıklamalar. Ancak etkili bir yapı oluşturmak zordur. ben Minimum parantezi elde etmek için bu minimizasyona yönelik algoritma biz mi?

Bir fonksiyonun minimal parantez formunu değil, minimal DNF'sini aradığımız birleşimsel devrelerin sentezinde daha basit bir minimizasyon problemini ele alalım. Bu görev için basit, etkili algoritmalar vardır.

Quine'ın yöntemi

Minimize edilecek fonksiyon SDNF'de temsil edilir ve tüm olası eksik yapıştırma işlemleri ona uygulanır.

, (2.10)

ve sonra emilim

, (2.11)

ve bu adım çifti tekrar tekrar uygulanır. Böylece terimlerin sıralamasını azaltmak mümkündür. Bu işlem, başka bir terime bağlanabilecek tek bir terim kalmayıncaya kadar tekrarlanır.

Denklemin (2.10) sol tarafının hemen daha basit ve daha belirgin bir şekilde küçültülebileceğine dikkat edin:

Bu yöntem kötüdür, çünkü bu tür doğrudan küçültmeyle bağlaç terimleri ya kaybolur, ancak kalan terimlerle yapıştırma ve emme için kullanımları hala olasıdır.

Quine'ın yönteminin oldukça emek yoğun olduğunu, dolayısıyla dönüşümler sırasında hata yapma olasılığının oldukça yüksek olduğunu belirtmekte fayda var. Ancak avantajı teorik olarak herhangi bir sayıda argüman için kullanılabilmesi ve değişken sayısı arttıkça dönüşümlerin daha az karmaşık hale gelmesidir.

Karnaugh harita yöntemi

Carnot haritaları (tablolar) yöntemi, mantıksal fonksiyonları en aza indirmenin daha görsel, daha az emek yoğun ve güvenilir bir yoludur, ancak kullanımı pratik olarak 3-4 değişkenli, maksimum 5-6 değişkenli fonksiyonlarla sınırlıdır.

Carnot haritası bu, mantıksal fonksiyonların minimum DNF'lerini grafiksel bir görsel formda kolayca bulmanızı sağlayan, bir Boolean fonksiyonunun doğruluk tablosunu temsil eden iki boyutlu bir tablo şeklidir. Tablonun her hücresi, minimize edilen fonksiyonun SDNF min terimi ile ilişkilidir ve tablonun herhangi bir simetri ekseni, bazı değişkenlere göre karşılıklı olarak ters olan bölgelere karşılık gelecek şekildedir. Tablodaki hücrelerin bu şekilde düzenlenmesi, SDNF'nin (yalnızca bir değişkenin ters çevirme işaretinde farklılık gösteren) yapışkan terimlerinin belirlenmesini kolaylaştırır: bunlar tabloda simetrik olarak yerleştirilmiştir.

İki şeridin VE ve VEYA fonksiyonları için doğruluk tabloları ve Carnaugh haritaları e Değişkenler Şekil 2'de sunulmaktadır. 8. Kartın her hücresine bir değer yazılır A Bu hücreye karşılık gelen argüman değerleri kümesindeki bir fonksiyonun değeri N Yoldaş

A) VE b) VEYA

Pirinç. 8. İki değişkenli fonksiyonlar için Karnaugh haritaları örneği

Karnaugh haritasında Ve işlevi için yalnızca bir 1 vardır, dolayısıyla hiçbir şeye yapıştırılamaz. Minimal fonksiyonun ifadesi yalnızca bu 1'e karşılık gelen terimi içerecektir:

f = x y .

OR fonksiyonu için Carnot haritasında halihazırda üç adet 1 vardır ve 1'in terime karşılık geldiği iki bitişik çift oluşturabilirsiniz. xy , iki kez kullanılır. Minimal fonksiyon ifadesinde, birbirine yapıştırılan çiftlerin terimlerini yazmanız, bu çift için değişmeyen tüm değişkenleri içlerinde bırakmanız ve değerlerini değiştiren değişkenleri çıkarmanız gerekir. Yatay yapıştırma için şunu elde ederiz: X ve dikey için sen sonuç olarak ifadeyi elde ederiz

f = x + y.

İncirde. Şekil 9, üç değişkenli iki fonksiyonun doğruluk tablolarını göstermektedir ( A ) ve Carnot haritaları ( b ve c). Fonksiyon f2 üç değişken kümesinde tanımlanmaması nedeniyle ilkinden farklıdır (tabloda bu bir çizgi ile gösterilmiştir).

Minimum DNF fonksiyonunu belirlerken aşağıdaki kurallar kullanılır. 1 içeren tüm hücreler, adı verilen kapalı dikdörtgen alanlarda birleştirilir. k-küp, burada k = log 2 K, K Dikdörtgensel bir alanda miktar 1'dir. Bu durumda, her alan hücre sayısı 2 olan bir dikdörtgen olmalıdır. k, burada k = 0, 1, 2, 3,…. k = için 1 dikdörtgen denir biri küptür ve 2 1 = 2 birim içerir; k için = 2 dikdörtgen 2 içerir 2 = 4 birimdir ve denir iki küp; k = 3 2 3 bölgesi için = 8 birim denirüç küp ; vb. Dikdörtgenler halinde birleştirilemeyen birimler çağrılabilir sıfır küpler , yalnızca bir birim içeren (2 0 = 1). Hatta görüldüğü gibi k alanlar kare şeklinde olabilir (ancak zorunlu olarak değil) ve eğer tekse k yalnızca dikdörtgenler.

Pirinç. 9. Üç değişkenli fonksiyonlar için Karnaugh haritaları örneği

Bu bölgeler örtüşebilir, yani aynı hücreler farklı bölgelere girebilir. Daha sonra minimal DNF fonksiyonu, karşılık gelen tüm bağlaç terimlerinin ayrılması olarak yazılır. k - küpler.

Karnaugh haritasında belirtilen alanların her biri, minimum bir DNF'de bir bağlaçla temsil edilir; buradaki argüman sayısı k toplam işlev argümanı sayısından az M yani bu sayı eşittir mk . Minimal bir DNF'nin her bir birleşimi, yalnızca haritanın karşılık gelen alanı için ya ters çevirme olmadan ya da yalnızca ters çevirme ile değerlere sahip olan, yani anlamlarını değiştirmeyen argümanlardan oluşur.

Bu nedenle, harita hücrelerini kapalı alanlarla kaplarken, alan sayısının minimum olmasını ve her alanın mümkün olduğu kadar çok hücre içermesini sağlamak için çaba gösterilmelidir, çünkü bu durumda minimum DNF'deki terim sayısı minimum olacaktır ve karşılık gelen bağlaçtaki argüman sayısı minimum düzeyde olacaktır.

Şekil 2'deki Karnaugh haritasına göre fonksiyon için. 9, B buluruz

çünkü üst kapalı bölge için değişkenler x 1 ve x 2 daha düşük değerler için ters çevirme olmadan değerlere sahip x 1 ters çevirme ile ilgili konular ve x 3 ters çevirme olmadan.

Şekil 2'deki haritada tanımlanmamış değerler. 9, V sıfır veya bir ile değiştirilerek daha da tanımlanabilir. Bu fonksiyon için her iki tanımsız değeri de 1 ile değiştirmenin daha karlı olacağı açıktır. Bu durumda 2'li küplerin farklı türleri olan iki alan oluşur. O zaman minimum DNF fonksiyonunun ifadesi aşağıdaki gibi olacaktır:

Kapalı alanlar inşa edilirken Carnot haritasının hem yatay hem de dikey olarak silindir şeklinde katlanmasına izin verilir. R Zıt yüzlerin birleştiği tikal eksenler R siz, yani Carnot simetri haritasının kenarları boyunca yer alan birimler H ama aynı zamanda birleştirilebilir.

Carnaugh haritaları farklı şekillerde çizilebilir (Şekil 10).

bir b

Pirinç. 10. Carnaugh haritalarını tasvir etmenin farklı yolları
3 değişkenli bir fonksiyon için

Ancak 2-4 değişkenli fonksiyonlar için Karnaugh haritaları için en uygun seçenekler Şekil 1'de gösterilenlerdir. 11 tablo, çünkü her hücre için gösteriliyorlar A Tüm değişkenlerimiz doğrudan veya ters formdadır.

bir b

Pirinç. on bir. Carnaugh haritalarının en uygun görüntüsü
işlevler 3 için ( a) ve 4 (b) değişken

5 ve 6 değişkenli fonksiyonlar için, Şekil 2'de gösterilen yöntem. 10, V.

Pirinç. 12. 5 değişkenli bir fonksiyon için Karnaugh haritasının görüntüsü

Pirinç. 13. 6 değişkenli bir fonksiyon için Karnaugh haritasının görüntüsü

Standart temel. Temel formüller değişmez değerlerdir. Temel bağlaç (ayrılma). Ayırıcı (bağlaçlı) normal form ve mükemmel form. Teorem: 0'dan (1'den) farklı herhangi bir Boole fonksiyonu SDNF (SCNF) biçiminde temsil edilebilir. Standart temelin eksiksizliği. Tam baz örnekleri: Zhegalkin temeli, Schaeffer vuruşu, Peirce oku.

Standart temel Boole cebirinin üç temel işleminden oluşan bir kümedir: toplama (birleştirme), çarpma (kesişme) ve olumsuzlama.

İşte arayacağız gerçek x değişkeni veya onun olumsuzu x ve xˆ'yi gösterir. Farklı değişkenler tarafından tanımlanan birkaç değişmezin Boolean kesişimi, yani. X = xˆ 1 xˆ 2 formunun ifadesi. . . xˆl denir temel bağlaç . Tüm değişkenlerin farklı olması gerekliliği aşağıdaki şekilde belirlenir. Bir bağlaç birden fazla özdeş değişmez değer içeriyorsa, bağlacın değişme, birleşme ve eşgüçlülüğü nedeniyle, eşdeğer formüle geçerek yalnızca bir değişmez değer bırakmak mümkündür (örneğin, x 1 x 1 = x 1). Eğer bağlaç bir değişken ve onun olumsuzlanmasını içeriyorsa, x x = 0 olduğundan ve herhangi bir Y formülü için Y x x = 0 olduğundan formül 0 sabitine eşdeğerdir.

Birkaç temel bağlacın ayrılmasına denir ayırıcı normal form , veya DNF . Örneğin,

x 1 x 3 + x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 5 .

Belirli bir DNF'nin her temel birleşimindeki değişkenlerin bileşimi aynıysa, o zaman DNF denir mükemmel . Verilen örnek mükemmel olmayan bir DNF'dir. Tam tersine formül

x 1 x 2 x 3 x 4 +x 1 x 2 x 3 x 4 +x 1 x 2 x 3 x 4

mükemmel bir form var.

Boolean cebirinde toplama ve çarpma simetrik işlemler olduğundan ve toplamayı her zaman çarpma olarak, çarpmayı da toplama olarak yorumlayabildiğiniz için ikili bir kavram vardır - birleşik normal form (KNF ), temel ayrımların bir birleşimi olan ve mükemmel bağlaç formu (SKNF ). Simetrik yarı halkalar için dualite ilkesinden, DNF ile ilgili herhangi bir ifadenin, toplamanın (ayrılma) çarpma ile, çarpmanın (bağlaç) toplama ile, sabit 0'ın sabit 1 ile, sabit ile değiştirilmesiyle elde edilen CNF ile ilgili ikili bir ifadeyle yanıtlandığı sonucu çıkar. 1 sabiti ile 0, ikili (ters) sıralı sıra ilişkisi. Bu nedenle, yalnızca DNF'yi incelemeye odaklanacağız.

Teorem 1.4. 0 sabiti dışındaki herhangi bir Boolean işlevi, bir SDNF olarak temsil edilebilir.

◀X σ derken σ = 1 ise x formülünü, σ = 0 ise x formülünü kastettiğimiz konusunda hemfikir olalım. f(y 1 , . . , y n) fonksiyonu (t) vektörü üzerinde 1 değerini alsın. 1 , . . . , t n ) (böyle bir vektöre denir kurucu birim ). Daha sonra temel bağlaç da bu kümede 1 değerini alır, ancak diğer tüm n boyutlu Boolean vektörlerinde kaybolur. Formülü düşünün

burada toplam (birleşim), verilen fonksiyonun 1 değerini aldığı argüman değerlerinin tüm kümelerine (t 1, . . ., t n) kadar uzanır. Bu tür kümelerin kümesinin boş olmadığına dikkat edin, dolayısıyla toplam en az bir terim içerir.

Formül Φ'nin bunlar için ve yalnızca söz konusu fonksiyonun 1 olduğu değişkenlerin değerleri için 1 olduğunu görmek kolaydır. Bu, Ψ formülünün f fonksiyonunu temsil ettiği anlamına gelir.

Sonuç 1.1. Standart temel tamamlandı.

◀ Aslında, eğer bir fonksiyon 0 sabiti değilse, o zaman standart bir temele dayalı bir formül olan SDNF biçiminde de temsil edilebilir. 0 sabiti örneğin f(x 1, x 2, . . ., x n) = x 1 x 1 formülüyle temsil edilebilir.

Örnek 1.2.Üç değişkenli m(x 1, x 2, x 3) (Tablo 1.4) adlı bir fonksiyonu düşünün. çoğunluk işlevi ̆. Bu işlev, bağımsız değişkenlerinin yarısından fazlası 1 değerine sahipse 1 değerini alır. Bu nedenle buna genellikle oylama işlevi denir. Bunun için bir SDNF oluşturalım.

Standart temelin eksiksizliği, diğer eksiksiz işlev sistemlerinin seçilmesini mümkün kılar. F kümesinin tamlığı aşağıdaki hususlarla belirlenebilir. Üç standart veri yolu fonksiyonunun her birinin F üzerinde bir formülle temsil edilebildiğini varsayalım. Daha sonra Teorem 1.3'e göre F özdeşliği tamamlanmış olacaktır.

Örnek 1.3. Modulo 2 toplama, çarpma ve sabit 1 işlemleri kümesine denir Zhegalkin temeli . Toplama modulo 2 ve çarpma Z2 halkasının temel işlemleridir; bunların yardımıyla oluşturulan ifadeler Z2 halkası üzerindeki polinomlardır. Bu durumda sabit 1 serbest terimi yazmak için gereklidir. xx = x olduğundan, polinomdaki tüm faktörlerin derecesi 1'dir. Bu nedenle, bir polinom yazarken derece kavramı olmadan da yapabilirsiniz. Zhegalkin esasına göre formül örnekleri:

xy⊕x⊕y, x⊕1, xyz⊕xz⊕x⊕y⊕1.

Böyle herhangi bir formüle Zhegalkin polinomu denir. Aslında Zhegalkin polinomu Z2 halkası üzerinde bir polinomdur.

Standart bazın toplama ve olumsuzlama işlemlerini temsil eden Zhegalkin temeli üzerinde formüller oluşturmak zor değildir (iki bazın çarpımı yaygındır):

x+y=x⊕y⊕xy, x =x⊕1.

Bu nedenle Zhegalkin temeli tam bir settir.
Herhangi bir Boole fonksiyonu için Zhegalkin polinomunun benzersiz bir şekilde tanımlandığı gösterilebilir.

(daha doğrusu terimlerin sırasına göre). Az sayıda değişken içeren Zhegalkin polinomunun katsayıları belirsiz katsayılar yöntemi kullanılarak bulunabilir.

Örnek 1.4. Tek bir fonksiyon kümesini ele alalım: Schaeffer vuruşu*. Bu set, aşağıdaki kolaylıkla doğrulanabilir kimliklerle tamamlanmıştır:

x =x|x, xy=x|y =(x|y)|(x|y), x+y=x |y =(x|x)|(y|y).

Örnek 1.5. Tek bir fonksiyondan oluşan Peirce oku da tamdır. Bunun testi Schaeffer felç vakasına benzer. Ancak bu sonuca simetrik yarı halkalar için dualite ilkesi temel alınarak da ulaşılabilir.

*Schaeffer'in felci ikili bir operasyondur ancak ilişkisel değildir. Bu nedenle infix formunu kullanırken dikkatli olmalısınız: sonuç, işlem sırasına bağlıdır. Bu durumda, parantez kullanarak işlem sırasının açıkça belirtilmesi önerilir; örneğin write (x | y) | z, x değil | y | z, her iki form da eşdeğer olmasına rağmen.

Tanım 1.Konjonktif tek terimli (temel bağlaç) Değişkenlerin sayısı, bu değişkenlerin birleşimi veya olumsuzluklarıdır.

Örneğin, temel bir bağlaçtır.

Tanım 2.Ayırıcı tek terimli (temel ayrım) değişkenlerden ayrılması, bu değişkenlerin ayrılması veya olumsuzlanmasıdır.

Örneğin, temel bir ayrımdır.

Tanım 3. Belirli bir önermeli cebir formülüne eşdeğer olan ve temel birleşik monomların ayrıklığı olan bir formüle denir. ayırıcı normal form(DNF) bu formülün.

Örneğin,– DNF.

Tanım 4. Belirli bir önermeli cebir formülüne eşdeğer olan ve temel ayırıcı monomların birleşimi olan bir formüle denir. birleşik normal form(CNF) bu formülün.

Örneğin, –KNF.

Her önermeli cebir formülü için bir dizi ayırıcı ve birleştirici normal form bulunabilir.

Normal formlar oluşturmak için algoritma

Mantıksal cebirin eşdeğerliklerini kullanarak formüldeki tüm temel işlemleri değiştirin: bağlaç, ayırma, olumsuzlama:

Çift olumsuzluklardan kurtulun.

Gerekirse, dağılma ve soğurma formüllerinin özelliklerini birleşme ve ayrılma işlemlerine uygulayın.

2.6. Mükemmel ayırıcı ve mükemmel birleştirici normal formlar

Herhangi bir Boolean işlevi, DNF ve CNF biçiminde birçok temsile sahip olabilir. Bu temsiller arasında özel bir yer mükemmel DNF (SDNF) ve mükemmel CNF (SCNF) tarafından işgal edilmektedir.

Tanım 1. Mükemmel ayırıcı normal form(SDNF), her birleştirici tek terimli kümedeki her değişkenin kendisini veya olumsuzunu tam olarak bir kez içerdiği bir DNF'dir.

Yapısal olarak, bir DNF'ye indirgenmiş her önermeli cebir formülü için SDNF, aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

Tanım 2. Mükemmel ayırıcı normal form Bir önermeli cebir formülünün (SDNF), aşağıdaki özelliklere sahip olan DNF'si olarak adlandırılır:

Tanım 3. Mükemmel birleştirici normal form(SCNF), her ayırıcı tek terimlinin kümedeki her değişkeni tam olarak bir kez içerdiği ve kendisinin ya da olumsuzlamasının göründüğü bir CNF'dir.

Yapısal olarak, CNF'ye indirgenmiş her önermeli cebir formülü için SCNF aşağıdaki gibi tanımlanabilir.

Tanım 4. Mükemmel birleştirici normal form Belirli bir önermeli cebir formülünün (SCNF) aşağıdaki özellikleri karşılayan bir CNF'si olarak adlandırılır.

Teorem 1. Aynı şekilde yanlış olmayan değişkenlerin her Boolean işlevi, SDNF'de benzersiz bir şekilde temsil edilebilir.

SDNF bulma yöntemleri

1. yöntem

2. yöntem

formülün 1 değerini aldığı satırları seçin;

Bağlaçların ayrıklığını, bir değişkenin 1 değeriyle bağlaca dahil edilmesi durumunda bu değişkenin yazılması, 0 değeriyle birlikte olumsuzlanması koşuluyla oluştururuz. SDNF'yi alıyoruz.

Teorem 2. Değişkenlerin aynı şekilde doğru olmayan her Boolean işlevi, SCNF'de benzersiz bir şekilde temsil edilebilir.

SCNF'yi bulma yöntemleri

1. yöntem– eşdeğer dönüşümleri kullanarak:

2. yöntem– doğruluk tablolarını kullanma:

formülün 0 değerini aldığı satırları seçin;

ayrıklığa 0 değerinde bir değişken dahil edilirse bu değişkeni yazmamız, 1 değeri varsa bunun olumsuzlanması koşuluyla bir ayırma bağlacı oluştururuz. SKNF'yi alıyoruz.

Örnek 1. CNF işlevlerini oluşturun.

Çözüm

Değişkenlerin dönüşüm yasalarını kullanarak "" bağlacını ortadan kaldıralım:

= /de Morgan yasaları ve çift olumsuzlama/ =

/dağıtım yasaları/ =

Örnek 2. Formülü DNF'ye verin.

Çözüm

Mantıksal işlemleri ve kullanarak ifade edelim:

= /olumsuzlamayı değişken olarak sınıflandıralım ve çift olumsuzları azaltalım/ =

= /dağılım yasası/ .

Örnek 3. Formülü DNF ve SDNF'ye yazın.

Çözüm

Mantık yasalarını kullanarak bu formülü yalnızca temel bağlaçların ayrımlarını içeren bir biçime indirgeyebiliriz. Ortaya çıkan formül istenen DNF olacaktır:

SDNF'yi oluşturmak için bu formül için bir doğruluk tablosu oluşturalım:

Formülün (son sütun) 1 değerini aldığı tablonun satırlarını işaretliyoruz. Bu tür her satır için, bu satırın değişkenleri kümesinde doğru olan bir formül yazıyoruz:

satır 1: ;

satır 3: ;

satır 5: .

Bu üç formülün ayrılması yalnızca 1, 3, 5. satırlardaki değişken kümelerinde 1 değerini alacaktır ve bu nedenle istenen mükemmel ayırıcı normal form (PDNF) olacaktır:

Örnek 4. Formülü SKNF'ye iki şekilde getirin:

a) eşdeğer dönüşümlerin kullanılması;

b) doğruluk tablosunun kullanılması.

Çözüm:

İkinci temel ayrıklığı dönüştürelim:

Formül şuna benzer:

b) Bu formül için bir doğruluk tablosu hazırlayın:

Formülün (son sütun) 0 değerini aldığı tablonun satırlarını işaretliyoruz. Bu tür her satır için, bu satırın değişkenleri kümesinde doğru olan bir formül yazıyoruz:

hat 2: ;

satır 6: .

Bu iki formülün birleşimi yalnızca 2. ve 6. satırlardaki değişken kümelerinde 0 değerini alacaktır ve bu nedenle istenen mükemmel birleşik normal form (PCNF) olacaktır:

Bağımsız çözüm için sorular ve görevler

1. Eşdeğer dönüşümleri kullanarak formülleri DNF'ye düşürün:

2. Eşdeğer dönüşümleri kullanarak formülleri CNF'ye getirin:

3. İkinci dağıtım yasasını kullanarak DNF'yi CNF'ye dönüştürün:

A) ;

4. Verilen DNF'leri SDNF'lere dönüştürün:

5. Verilen CNF'yi SCNF'ye dönüştürün:

6. Verilen mantıksal formüller için SDNF ve SCNF'yi iki şekilde oluşturun: eşdeğer dönüşümler kullanarak ve doğruluk tablosu kullanarak.

B) ;

Önermesel cebirin ayırıcı ve bağlayıcı normal formları. Her önermesel mantık fonksiyonu için bir doğruluk tablosu oluşturulabilir. Ters problem de her zaman çözülebilir. Birkaç tanım sunalım.

Temel bağlaçlar (bağlaçlar) her değişkenin en fazla meydana geldiği değişkenlerin bağlaçları veya bunların olumsuzlamaları denir

bir kere.

Ayırıcı normal form(DNF), temel bağlaçların ayrılması biçiminde olan bir formüldür.

Temel ayrımlar (ayrılmalar) olumsuzlamalı veya olumsuzlamasız değişkenlerin ayrımları denir.

Bağlaç normal formu(CNF), temel ayrımların birleşimi biçiminde olan bir formüldür.

Her önermeli cebir fonksiyonu için bir dizi ayırıcı ve birleştirici normal form bulunabilir.

DNF oluşturmak için algoritma:

1. Eşdeğer dönüşüm formüllerini kullanarak Boolean işlemlerine gidin.

2. Yakın olumsuzluklara sahip formüllere gidin, yani olumsuzlukların değişkenlerin üstünde yer almadığı bir formüle gidin - De Morgan yasalarını uygulayın.

3. Parantezleri açın - dağıtım yasalarını uygulayın.

4. Tekrarlanan terimleri birer birer alın - eşitsizlik yasası.

5. Absorbsiyon ve yarı absorbsiyon yasalarını uygulayabilecektir.

Örnek 6. DNF formüllerini bulun: .

Boole cebirinde bu doğrudur dualite ilkesi. Aşağıdaki gibidir.

Fonksiyon çağrılır çift eğer işlevine. Onlar. Belirli bir fonksiyona ikili bir fonksiyon bulmak için, argümanların olumsuzlamalarından fonksiyonun olumsuzluğunu oluşturmak gerekir.

Örnek 7. ile ikili fonksiyonunu bulun.

Mantık cebirinin temel fonksiyonları arasında 1'in 0'a ikili olması ve bunun tersi, x'in ikili olması, x'in ikili olması, ikili olması ve tam tersidir.

Fonksiyonu temsil eden F 1 formülünde tüm bağlaçları değiştirirsek

ayrıklık üzerinde, bağlaç üzerinde ayrıklık, 0 üzerinde 1, 1 üzerinde 0, sonra * ikili fonksiyonunu temsil eden F * formülünü elde ederiz.

Birleşik normal form (CNF), DNF için ikili bir kavramdır, dolayısıyla aşağıdaki şemaya göre kolayca oluşturulabilir:

Örnek 8. CNF formülünü bulun: .

Örnek 6'nın sonucunu kullanarak,

Mükemmel ayırıcı ve mükemmel birleştirici normal formlar. Normal form türlerinin her birinde (ayırıcı ve bağlaçlı), mükemmel formlar SDNF ve SCNF sınıfını ayırt etmek mümkündür.

Mükemmel bir temel bağlaç, olumsuzlamalı veya olumsuzlamasız tüm değişkenlerin mantıksal ürünüdür ve her değişken, çarpımda yalnızca bir kez görünür.

Herhangi bir DNF, tüm değişkenleri içermeyen bağlaçların bölünmesiyle bir SDNF'ye indirgenebilir; eksik değişken için x i eklenerek dağıtım yasası kullanılarak çarpılır

Örnek 9.Örnek 6'nın DNF'si için SDNF'yi bulun

Mükemmel temel ayrım olumsuzlamalı veya olumsuzlamasız tüm değişkenlerin mantıksal toplamıdır ve her değişken toplama yalnızca bir kez dahil edilir.

Herhangi bir CNF, bağlaç yoluyla herhangi bir Xi değişkeni içermeyen bir bağlaç terimi eklenerek ve dağıtım yasası uygulanarak SCNF'ye indirgenebilir.

Örnek 10. KNF'yi SKNF'ye getirin:

SCNF'yi oluşturmak için diyagramı kullanabilirsiniz.

Örnek 11.Örnek 6'daki formül için SCNF'yi bulun.

Her işlevin bir SDNF'si ve dahası benzersiz bir SDNF'si vardır. Her fonksiyonun bir SCNF'si ve dahası benzersiz bir SCNF'si vardır.

Çünkü SDNF ve SKNF formüllerle benzersiz bir şekilde tanımlanır; formülün doğruluk tablosu kullanılarak oluşturulabilirler.

Bir SDNF oluşturmak için F'nin 1 değerini aldığı satırları seçmek ve bunlar için mükemmel temel bağlaçları yazmak gerekir. Doğruluk tablosunun istenen satırındaki bir değişkenin değeri bire eşitse, mükemmel bir birliktelikte olumsuzlama olmadan, sıfırsa olumsuzlukla alınır. Daha sonra mükemmel bağlaçlar (sayıları tablodaki birim sayısına eşittir) ayırma işaretleriyle bağlanır.

Doğruluk tablosu kullanarak bir SCNF oluşturmak için, içindeki F = 0 olan satırları seçmek, mükemmel temel ayrımları yazmak ve ardından bunları bağlaç işaretleriyle birleştirmek gerekir. Doğruluk tablosunun istenen satırında (F=0) değişkenin değeri sıfıra karşılık geliyorsa, mükemmel cümlede olumsuzlama olmadan, bir ise olumsuzlamayla alınır.

Örnek 12.Örnek 6'daki formül için doğruluk tablosunu kullanarak SDNF ve SCNF'yi bulun.

Tablo 14 yalnızca F=10101101 nihai değerini göstermektedir. Ayrıntılı bir doğruluk tablosu oluşturarak bu ifadenin geçerliliğini kendiniz doğrulamalısınız.

Tablo 14

Herhangi bir mantıksal formül için, özdeş dönüşümler kullanılarak, ona eşdeğer sonsuz sayıda formül oluşturulabilir. Mantık cebirinde ana görevlerden biri kanonik formların (yani tek bir kurala, yani kanona göre oluşturulan formüllerin) araştırılmasıdır.

Mantıksal bir fonksiyon değişkenlerin ayrılması, birleşimi ve olumsuzlanması yoluyla ifade ediliyorsa, bu temsil biçimine normal denir.

Normal formlar arasında mükemmel normal formlar (fonksiyonların benzersiz bir şekilde yazıldığı formlar) ayırt edilir.

Mükemmel ayırıcı normal form (PDNF)

Tanım. Bir formül, belirli sayıda değişkenin birleşiminden veya bunların olumsuzlanmasından oluşuyorsa temel bağlaç olarak adlandırılır.

Örnekler: y, ¬ y, x 1 ∧ ¬ x 2 ∧ x 3 ∧ x 4

Tanım. Bir formül, tekrarlanmayan temel bağlaçların ayrılması ise, ayırıcı normal form (DNF) olarak adlandırılır.

DNF şu biçimde yazılır: F 1 ∨ F 2 ∨ ... ∨ F n , burada F i temel bağlaçtır

Örnekler: ¬ x 1 ∧ x 2 ∨ x 1 ∧ ¬ x 2 ∨ x 1 ∧ ¬ x 2 ∧ x 3 , ¬ y 1 ∨ y 1 ∧ y 2 ∨ ¬ y 2

Tanım. Aşağıdaki durumlarda k değişkenli mantıksal bir formüle mükemmel ayırıcı normal form (PDNF) adı verilir:
1) formül bir DNF'dir; burada her temel bağlaç k değişken x 1, x 2, ..., x k'nin birleşimidir ve bu birleşimin i'inci yerinde ya bir x i değişkeni ya da onun olumsuzlaması vardır ;
2) böyle bir DNF'deki tüm temel bağlaçlar ikili olarak farklıdır.

Örnek: (¬ x 1 ∧ x 2 ∧ x 3) ∨ (x 1 ∧ ¬ x 2 ∧ x 3) ∨ (x 1 ∧ x 2 ∧ ¬ x 3)

Mükemmel konjonktif normal form (PCNF)

Tanım. Bir formül, belirli sayıda değişkenin ayrılması veya bunların olumsuzlanmasıyla oluşturulmuşsa, temel ayrım olarak adlandırılır.

Örnekler: ¬ x 3, x 1 ∨ x 2, x 1 ∨ x 2 ∨ ¬ x 3

Tanım. Bir formül, tekrarlanmayan temel ayrımların bir birleşimi ise, birleşik normal form (CNF) olarak adlandırılır.

CNF şu biçimde yazılır: F 1 ∧ F 2 ∧ ... ∧ F n , burada F i temel bir ayrımdır

Örnekler: (x 1 ∨ ¬ x 2) ∧ x 3, (x 1 ∨ x 2) ∧ (¬ x 1 ∨ x 2 ∨ x 3) ∧ (x 1 ∨ ¬ x 2 ∨ ¬ x 3)

Tanım. Aşağıdaki durumlarda k değişkenli mantıksal bir formüle mükemmel birleşik normal form (CPNF) adı verilir:
1) formül CNF'dir, burada her temel ayrım k değişken x 1, x 2, ..., x k'nin bir ayrıklığıdır ve bu ayrılığın i'inci yerinde ya bir xi değişkeni ya da onun olumsuzlaması vardır;
2) böyle bir CNF'deki tüm temel ayrımlar ikili olarak farklıdır.

Örnek: (x 1 ∨ x 2 ∨ x 3) ∧ (¬ x 1 ∨ ¬ x 2 ∨ x 3)

dikkat et ki 0 veya 1'e tam olarak eşit olmayan herhangi bir mantıksal işlev, SDNF veya SKNF olarak temsil edilebilir.

Doğruluk tablosu kullanarak SDNF oluşturmaya yönelik algoritma

1. İşlev değerinin bire eşit olduğu tüm tablo satırlarını seçin.
2. Bu tür her satır için, tüm değişkenlerin birleşimini şu şekilde yazın: Bu kümedeki bazı değişkenlerin değeri 1'e eşitse, o zaman değişkenin kendisini bağlaca dahil ederiz, aksi takdirde onun olumsuzunu.
3. Ortaya çıkan tüm bağlaçları ayırma işlemleriyle birleştiriyoruz.

Doğruluk tablosu kullanarak SCNF oluşturmaya yönelik algoritma

1. İşlev değerinin sıfır olduğu tüm tablo satırlarını seçin.
2. Bu tür her satır için, tüm değişkenlerin ayrımını şu şekilde yazın: eğer bu kümedeki bazı değişkenlerin değeri 0'a eşitse, o zaman değişkenin kendisini bağlaca dahil ederiz, aksi takdirde onun olumsuzunu.
3. Ortaya çıkan tüm ayrımları bağlaç işlemleriyle birleştiriyoruz.

Algoritmaların analizi, eğer doğruluk tablosunun satırlarının çoğunda fonksiyonun değeri 0 ise, o zaman mantıksal formülünü elde etmek için bir SDNF, aksi halde SCNF oluşturmanın daha iyi olduğunu gösterir.

Örnek: Üç değişkenli bir mantıksal fonksiyonun doğruluk tablosu verilmiştir. Bu işlevi uygulayan mantıksal bir formül oluşturun.

Çünkü Doğruluk tablosunun çoğu satırında fonksiyonun değeri 1 ise, o zaman SCNF'yi oluşturacağız. Sonuç olarak aşağıdaki mantıksal formülü elde ederiz:
F = (¬ x ∨ y ∨ z) ∧ (¬ x ∨ y ∨ ¬ z)

Ortaya çıkan formülü kontrol edelim. Bunu yapmak için fonksiyonun doğruluk tablosunu oluşturacağız.

Orijinal doğruluk tablosu ile mantıksal formül için oluşturulan tabloyu karşılaştırdığımızda, fonksiyon değerlerinin sütunlarının çakıştığını görüyoruz. Bu, mantıksal fonksiyonun doğru şekilde oluşturulduğu anlamına gelir.