การเพิ่มขึ้น การลดลง และสุดขั้วของฟังก์ชัน

การค้นหาช่วงของการเพิ่มขึ้น การลดลง และสุดขั้วของฟังก์ชันเป็นทั้งงานที่เป็นอิสระและเป็นส่วนสำคัญของงานอื่นๆ โดยเฉพาะ การศึกษาฟังก์ชั่นเต็มรูปแบบ- มีการระบุข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับการเพิ่มขึ้น การลดลง และสุดขั้วของฟังก์ชัน บททฤษฎีเกี่ยวกับอนุพันธ์ซึ่งผมแนะนำเป็นอย่างยิ่งสำหรับการศึกษาเบื้องต้น (หรือการทำซ้ำ)– นอกจากนี้ด้วยเหตุผลที่ว่าเนื้อหาต่อไปนี้มีพื้นฐานมาจากนั้นเอง โดยพื้นฐานแล้วอนุพันธ์เป็นความต่อเนื่องที่กลมกลืนของบทความนี้ แม้ว่าเวลามีน้อย การฝึกฝนตัวอย่างจากบทเรียนวันนี้อย่างเป็นทางการก็เป็นไปได้เช่นกัน

และวันนี้มีจิตวิญญาณแห่งความเป็นเอกฉันท์ที่หาได้ยากในอากาศและฉันรู้สึกได้โดยตรงว่าทุกคนที่อยู่ในปัจจุบันต่างก็มีความปรารถนาอันแรงกล้า เรียนรู้ที่จะสำรวจฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์ของมัน- ดังนั้นคำศัพท์ที่สมเหตุสมผลดีและเป็นนิรันดร์จะปรากฏบนหน้าจอมอนิเตอร์ของคุณทันที

เพื่ออะไร? สาเหตุหนึ่งที่ใช้งานได้จริงที่สุด: เพื่อให้ชัดเจนว่าโดยทั่วไปแล้วคุณต้องการอะไรในงานเฉพาะ!

ความน่าเบื่อหน่ายของฟังก์ชัน จุดสุดขีดและจุดสุดขีดของฟังก์ชัน

ลองพิจารณาฟังก์ชันบางอย่างกัน พูดง่ายๆ ก็คือ เราถือว่าเธอ อย่างต่อเนื่องบนเส้นจำนวนทั้งหมด:

เผื่อว่าเราจะกำจัดภาพลวงตาที่อาจเกิดขึ้นได้ทันที โดยเฉพาะผู้อ่านที่เพิ่งรู้จัก ช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชัน- ตอนนี้เรา ไม่สนใจวิธีที่กราฟของฟังก์ชันตั้งอยู่สัมพันธ์กับแกน (ด้านบน ด้านล่าง ซึ่งแกนตัดกัน) เพื่อให้น่าเชื่อ ให้ลบแกนในใจแล้วทิ้งกราฟไว้หนึ่งกราฟ เพราะนั่นคือสิ่งที่ความสนใจอยู่

การทำงาน เพิ่มขึ้นในช่วงเวลาหนึ่ง หากจุดสองจุดใดๆ ของช่วงเวลานี้เชื่อมต่อกันด้วยความสัมพันธ์ อสมการจะเป็นจริง นั่นคือค่าที่มากขึ้นของอาร์กิวเมนต์จะสอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน และกราฟของมันจะไป "จากล่างขึ้นบน" ฟังก์ชั่นการสาธิตจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา

ในทำนองเดียวกันฟังก์ชั่น ลดลงในช่วงเวลาหนึ่ง ถ้าจุดสองจุดใดๆ ในช่วงเวลาที่กำหนดนั้น ความไม่เท่าเทียมกันจะเป็นจริง นั่นคือค่าที่มากกว่าของอาร์กิวเมนต์จะสอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน และกราฟของมันจะไป "จากบนลงล่าง" ฟังก์ชั่นของเราลดลงตามช่วงเวลา .

หากฟังก์ชันเพิ่มขึ้นหรือลดลงในช่วงเวลาหนึ่ง ฟังก์ชันนั้นจะถูกเรียก ซ้ำซากจำเจอย่างเคร่งครัดในช่วงเวลานี้ ความน่าเบื่อคืออะไร? ใช้มันอย่างแท้จริง - ความน่าเบื่อหน่าย

คุณยังสามารถกำหนดได้ ไม่ลดลงฟังก์ชั่น (เงื่อนไขที่ผ่อนคลายในคำจำกัดความแรก) และ ไม่เพิ่มขึ้นฟังก์ชั่น (เงื่อนไขอ่อนลงในคำจำกัดความที่ 2) ฟังก์ชันที่ไม่ลดลงหรือไม่เพิ่มขึ้นในช่วงเวลาหนึ่งเรียกว่าฟังก์ชันโมโนโทนิกในช่วงเวลาที่กำหนด (ความซ้ำซากจำเจที่เข้มงวดเป็นกรณีพิเศษของความซ้ำซากจำเจแบบ "เรียบง่าย").

ทฤษฎียังพิจารณาวิธีการอื่นๆ ในการพิจารณาการเพิ่ม/ลดของฟังก์ชัน รวมถึงในช่วงครึ่งเวลา เซ็กเมนต์ แต่เพื่อไม่ให้น้ำมันเทน้ำมันบนหัวของคุณ เราจะตกลงที่จะดำเนินการโดยมีช่วงเวลาที่เปิดพร้อมคำจำกัดความที่เป็นหมวดหมู่ - สิ่งนี้ชัดเจนกว่าและสำหรับการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติมากมายก็เพียงพอแล้ว

ดังนั้น, ในบทความของฉันคำว่า "ความน่าเบื่อหน่ายของฟังก์ชัน" จะถูกซ่อนไว้เกือบตลอดเวลา ช่วงเวลาความน่าเบื่อหน่ายที่เข้มงวด(ฟังก์ชันเพิ่มหรือลดอย่างเข้มงวด)

บริเวณใกล้เคียงจุดหนึ่ง คำพูดหลังจากนั้นนักเรียนก็วิ่งหนีไปทุกที่ที่ทำได้และซ่อนตัวอยู่ในความสยดสยองที่มุมห้อง ...ถึงแม้ว่าหลังจากโพสต์ไปแล้วก็ตาม ขีดจำกัดของคอชี่พวกเขาอาจจะไม่ซ่อนตัวอีกต่อไป แต่แค่สั่นเล็กน้อย =) ไม่ต้องกังวล ตอนนี้จะไม่มีการพิสูจน์ทฤษฎีบทของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ฉันต้องการสภาพแวดล้อมเพื่อกำหนดคำจำกัดความที่เข้มงวดยิ่งขึ้น จุดสุดขั้ว- จำไว้ว่า:

บริเวณใกล้เคียงจุดหนึ่งช่วงเวลาที่ประกอบด้วยจุดที่กำหนดเรียกว่า และเพื่อความสะดวก ช่วงเวลามักจะถือว่าสมมาตร ตัวอย่างเช่น จุดหนึ่งและพื้นที่ใกล้เคียงมาตรฐาน:

จริงๆแล้วคำจำกัดความ:

ประเด็นนี้เรียกว่า จุดสูงสุดที่เข้มงวด, ถ้า มีอยู่จริงบริเวณใกล้เคียงของเธอ สำหรับทุกอย่างค่าซึ่งยกเว้นจุดนั้นเอง ความไม่เท่าเทียมกัน. ในตัวอย่างเฉพาะของเรา นี่คือจุด

ประเด็นนี้เรียกว่า จุดต่ำสุดที่เข้มงวด, ถ้า มีอยู่จริงบริเวณใกล้เคียงของเธอ สำหรับทุกอย่างค่าซึ่งยกเว้นจุดนั้นเอง ความไม่เท่าเทียมกัน. ในรูปวาดมีจุด "a"

บันทึก : ข้อกำหนดของความสมมาตรของพื้นที่ใกล้เคียงไม่จำเป็นเลย นอกจากนี้ก็เป็นสิ่งสำคัญ ความจริงของการดำรงอยู่พื้นที่ใกล้เคียง (ไม่ว่าจะเล็กหรือเล็ก) ที่ตรงตามเงื่อนไขที่กำหนด

จุดที่เรียกว่า จุดสุดขั้วอย่างเคร่งครัดหรือเพียงแค่ จุดสุดขั้วฟังก์ชั่น. นั่นคือเป็นคำทั่วไปสำหรับคะแนนสูงสุดและคะแนนต่ำสุด

เราจะเข้าใจคำว่า "สุดโต่ง" ได้อย่างไร? ใช่ เช่นเดียวกับความซ้ำซากจำเจโดยตรง จุดสูงสุดของรถไฟเหาะ

เช่นเดียวกับในกรณีของความซ้ำซากจำเจ สมมุติฐานที่หลวมๆ ก็มีอยู่และพบได้ทั่วไปในทางทฤษฎีด้วยซ้ำ (ซึ่งแน่นอนว่าคดีที่เข้มงวดถือว่าตกอยู่ภายใต้!):

ประเด็นนี้เรียกว่า จุดสูงสุด, ถ้า มีอยู่จริงบริเวณโดยรอบก็เป็นแบบนั้น สำหรับทุกอย่าง
ประเด็นนี้เรียกว่า จุดต่ำสุด, ถ้า มีอยู่จริงบริเวณโดยรอบก็เป็นแบบนั้น สำหรับทุกอย่างคุณค่าของย่านนี้ความไม่เท่าเทียมกันยังคงอยู่

โปรดทราบว่าตามคำจำกัดความสองข้อสุดท้าย จุดใดๆ ของฟังก์ชันคงที่ (หรือ "ส่วนแบน" ของฟังก์ชัน) ถือเป็นทั้งจุดสูงสุดและจุดต่ำสุด! อย่างไรก็ตามฟังก์ชันนี้เป็นทั้งแบบไม่เพิ่มขึ้นและไม่ลดลงนั่นคือโมโนโทนิก อย่างไรก็ตาม เราจะปล่อยให้การพิจารณาเหล่านี้ตกเป็นหน้าที่ของนักทฤษฎี เนื่องจากในทางปฏิบัติเรามักจะคำนึงถึง "เนินเขา" และ "โพรง" แบบดั้งเดิม (ดูภาพวาด) ที่มี "ราชาแห่งเนินเขา" หรือ "เจ้าหญิงแห่งหนองน้ำ" ที่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว ความหลากหลายก็เกิดขึ้น เคล็ดลับชี้ขึ้นหรือลง เช่น ค่าต่ำสุดของฟังก์ชันที่จุดนั้น

โอ้และพูดถึงราชวงศ์:
– ความหมายนี้เรียกว่า ขีดสุดฟังก์ชั่น;
– ความหมายนี้เรียกว่า ขั้นต่ำฟังก์ชั่น.

ชื่อสามัญ - สุดขั้วฟังก์ชั่น.

โปรดระวังคำพูดของคุณ!

จุดสุดขีด– นี่คือค่า “X”
สุดขั้ว– ความหมาย “เกม”

- บันทึก : บางครั้งคำศัพท์ที่แสดงไว้อ้างอิงถึงจุด "X-Y" ซึ่งอยู่บนกราฟของฟังก์ชัน ITSELF โดยตรง

ฟังก์ชันหนึ่งมีเอ็กซ์ตรีมได้กี่อัน?

ไม่มี, 1, 2, 3, ... ฯลฯ ไม่มีที่สิ้นสุด. ตัวอย่างเช่น ไซน์มีค่าต่ำสุดและสูงสุดมากมายไม่สิ้นสุด

สำคัญ!คำว่า "ฟังก์ชันสูงสุด" ไม่เหมือนกันคำว่า "ค่าสูงสุดของฟังก์ชัน" สังเกตได้ง่ายว่าค่าสูงสุดเฉพาะในพื้นที่ใกล้เคียงเท่านั้น และที่ด้านซ้ายบนคือ "สหายที่เย็นกว่า" ในทำนองเดียวกัน “ค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน” ไม่เหมือนกับ “ค่าขั้นต่ำของฟังก์ชัน” และในภาพวาดเราจะเห็นว่าค่าต่ำสุดในบางพื้นที่เท่านั้น ในเรื่องนี้เรียกอีกอย่างว่าจุดสุดขั้ว จุดสุดขั้วในท้องถิ่นและสุดขั้ว – สุดขั้วในท้องถิ่น- พวกเขาเดินและเดินเตร่อยู่ใกล้ ๆ และ ทั่วโลกพี่น้อง ดังนั้นพาราโบลาใดๆ ก็มีที่จุดยอดของมัน ขั้นต่ำทั่วโลกหรือ สูงสุดทั่วโลก- นอกจากนี้ฉันจะไม่แยกความแตกต่างระหว่างประเภทของความสุดขั้วและคำอธิบายจะถูกเปล่งออกมามากขึ้นเพื่อวัตถุประสงค์ทางการศึกษาทั่วไป - คำคุณศัพท์เพิ่มเติม "ท้องถิ่น" / "ทั่วโลก" ไม่ควรทำให้คุณประหลาดใจ

เรามาสรุปการสำรวจทฤษฎีสั้นๆ ของเราด้วยการทดลองยิงกัน: ภารกิจ “ค้นหาช่วงความน่าเบื่อและจุดสุดขั้วของฟังก์ชัน” หมายความว่าอย่างไร

ถ้อยคำสนับสนุนให้คุณค้นหา:

– ช่วงเวลาของฟังก์ชันเพิ่ม/ลด (การไม่ลดลง การไม่เพิ่มขึ้นปรากฏบ่อยน้อยกว่ามาก)

– คะแนนสูงสุดและ/หรือต่ำสุด (ถ้ามี) เพื่อหลีกเลี่ยงความล้มเหลว ควรค้นหาค่าต่ำสุด/สูงสุดด้วยตนเองจะดีกว่า ;-)

จะตรวจสอบทั้งหมดนี้ได้อย่างไร?การใช้ฟังก์ชันอนุพันธ์!

วิธีหาช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นลดลง
จุดสุดขีดและจุดสุดขีดของฟังก์ชัน?

จริงๆ แล้วกฎหลายข้อก็รู้และเข้าใจอยู่แล้ว บทเรียนเกี่ยวกับความหมายของอนุพันธ์.

อนุพันธ์แทนเจนต์ นำมาซึ่งข่าวสารอันน่ายินดีที่ฟังก์ชันมีเพิ่มมากขึ้นตลอด ขอบเขตของคำจำกัดความ.

ด้วยโคแทนเจนต์และอนุพันธ์ของมัน สถานการณ์มันตรงกันข้ามเลย

อาร์คไซน์เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา - อนุพันธ์ตรงนี้เป็นบวก: .
เมื่อมีการกำหนดฟังก์ชันแต่หาอนุพันธ์ไม่ได้ อย่างไรก็ตาม ที่จุดวิกฤติจะมีอนุพันธ์ทางมือขวาและแทนเจนต์ทางมือขวา และที่ขอบอีกด้านก็มีอนุพันธ์ทางมือซ้าย

ฉันคิดว่ามันคงไม่ยากเกินไปสำหรับคุณที่จะใช้เหตุผลที่คล้ายกันสำหรับอาร์คโคไซน์และอนุพันธ์ของมัน

จากทั้งหมดที่กล่าวมานี้มีหลายกรณี อนุพันธ์แบบตารางเตือนติดตามโดยตรงจาก คำจำกัดความอนุพันธ์.

เหตุใดจึงต้องสำรวจฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์ของมัน

เพื่อให้เข้าใจได้ดีขึ้นว่ากราฟของฟังก์ชันนี้มีลักษณะอย่างไร: โดยที่มันจะไปถึงจุดต่ำสุดและสูงสุด (ถ้าไปถึงเลย) ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันจะง่ายนัก ในกรณีส่วนใหญ่ เราไม่มีความรู้เกี่ยวกับกราฟของฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่งเลย

ถึงเวลาที่จะไปยังตัวอย่างที่มีความหมายมากขึ้นและพิจารณา อัลกอริธึมสำหรับการค้นหาช่วงเวลาของความน่าเบื่อและสุดขั้วของฟังก์ชัน:

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้น/ลดลงและสุดขั้วของฟังก์ชัน

สารละลาย:

1) ขั้นตอนแรกคือการหา โดเมนของฟังก์ชันและจดจุดพักไว้ด้วย (ถ้ามี) ในกรณีนี้ ฟังก์ชันจะต่อเนื่องกันบนเส้นจำนวนทั้งหมด และการดำเนินการนี้จะเป็นทางการในระดับหนึ่ง แต่ในหลายกรณี ความหลงใหลที่จริงจังปะทุขึ้นที่นี่ ดังนั้นเรามาปฏิบัติต่อย่อหน้าโดยไม่ดูหมิ่นกัน

2) จุดที่สองของอัลกอริทึมเกิดจากการ

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับภาวะสุดขั้ว:

หากมีจุดสุดขั้ว ณ จุดใดจุดหนึ่ง แสดงว่าไม่มีค่าใดค่าหนึ่งอยู่.

งงตอนจบมั้ย? สุดขั้วของฟังก์ชัน “โมดูลัส x” .

เงื่อนไขเป็นสิ่งที่จำเป็นแต่ ไม่พอและการสนทนาก็ไม่เป็นความจริงเสมอไป ดังนั้นจึงยังไม่เป็นไปตามความเท่าเทียมกันที่ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดหรือต่ำสุดที่จุด ตัวอย่างคลาสสิกได้ถูกเน้นไว้ด้านบนแล้ว - นี่คือพาราโบลาลูกบาศก์และจุดวิกฤต

แต่อย่างไรก็ตาม เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับจุดสุดยอดจะกำหนดความจำเป็นในการค้นหาจุดที่น่าสงสัย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ค้นหาอนุพันธ์และแก้สมการ:

ในตอนต้นของบทความแรก เกี่ยวกับกราฟฟังก์ชันฉันบอกคุณถึงวิธีสร้างพาราโบลาอย่างรวดเร็วโดยใช้ตัวอย่าง : “...เราหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งแล้วจัดให้เป็นศูนย์: ...ดังนั้น วิธีแก้สมการของเรา: - ณ จุดนี้เองที่จุดยอดของพาราโบลาตั้งอยู่...” ตอนนี้ ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจแล้วว่าทำไมจุดยอดของพาราโบลาจึงอยู่ที่จุดนี้พอดี =) โดยทั่วไป เราควรเริ่มต้นด้วยตัวอย่างที่คล้ายกันที่นี่ แต่มันง่ายเกินไป (แม้แต่กาน้ำชาด้วยซ้ำ) นอกจากนี้ยังมีอะนาล็อกที่ส่วนท้ายสุดของบทเรียนเกี่ยวกับ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน- ดังนั้นเรามาเพิ่มระดับกัน:

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาช่วงเวลาของความซ้ำซากจำเจและสุดขั้วของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์และตัวอย่างสุดท้ายของปัญหาโดยประมาณในตอนท้ายของบทเรียน

ระยะยาวมาแล้ว ช่วงเวลานี้พบกับฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน:

ตัวอย่างที่ 3

สำรวจฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์อันดับหนึ่ง

ให้ความสนใจว่าสามารถกำหนดรูปแบบงานเดียวและงานเดียวกันได้หลากหลายเพียงใด

สารละลาย:

1) ฟังก์ชั่นทนทุกข์ทรมานจากความไม่ต่อเนื่องไม่มีที่สิ้นสุดที่จุดต่างๆ

2) เราตรวจจับจุดวิกฤติ ลองหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งแล้วจัดให้เป็นศูนย์:

มาแก้สมการกัน. เศษส่วนจะเป็นศูนย์เมื่อตัวเศษเป็นศูนย์:

ดังนั้นเราจึงได้จุดวิกฤติสามจุด:

3) เราพล็อตจุดที่ตรวจพบทั้งหมดบนเส้นจำนวนและ วิธีช่วงเวลาเรากำหนดสัญญาณของอนุพันธ์:

ฉันขอเตือนคุณว่าคุณต้องหาจุดใดจุดหนึ่งในช่วงเวลานั้นและคำนวณมูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุดนั้น และกำหนดเครื่องหมายของมัน การไม่นับจะทำกำไรได้มากกว่า แต่เป็นการ "ประมาณ" ด้วยวาจา ลองใช้จุดที่เป็นของช่วงเวลาและทำการทดแทน: .

"บวก" สองอันและหนึ่ง "ลบ" ให้ "ลบ" ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์นั้นเป็นลบตลอดช่วงทั้งหมด

ตามที่คุณเข้าใจแล้ว จะต้องดำเนินการในแต่ละช่วงเวลาทั้งหกช่วง อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าตัวประกอบเศษและตัวส่วนเป็นบวกอย่างเคร่งครัดสำหรับจุดใดๆ ในช่วงเวลาใดๆ ซึ่งทำให้งานง่ายขึ้นมาก

อนุพันธ์บอกเราว่า FUNCTION ITSELF เพิ่มขึ้น และลดลงด้วย สะดวกในการเชื่อมต่อช่วงเวลาประเภทเดียวกันด้วยไอคอนเข้าร่วม

เมื่อถึงจุดที่ฟังก์ชันถึงจุดสูงสุด:
เมื่อถึงจุดที่ฟังก์ชันถึงค่าต่ำสุด:

ลองคิดดูว่าเหตุใดคุณจึงไม่ต้องคำนวณค่าที่สองใหม่ ;-)

เมื่อผ่านจุดใดจุดหนึ่ง อนุพันธ์จะไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย ดังนั้นฟังก์ชันจึงไม่มีจุดสุดขีดตรงนั้น - ทั้งคู่ลดลงและยังคงลดลงอยู่

- เรามาทำซ้ำจุดสำคัญกัน: คะแนนไม่ถือว่าสำคัญ - มีฟังก์ชัน ไม่ได้กำหนด- ตามนี้ครับ โดยหลักการแล้วจะต้องไม่มีความสุดขั้ว(แม้ว่าอนุพันธ์จะเปลี่ยนสัญญาณก็ตาม)

คำตอบ: ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นทีละ และลดลงเมื่อถึงจุดสูงสุดของฟังก์ชัน: และ ณ จุด – ขั้นต่ำ: .

ความรู้เกี่ยวกับช่วงความซ้ำซากจำเจและสุดขั้วควบคู่ไปกับการจัดตั้งขึ้น เส้นกำกับได้ให้แนวคิดที่ดีเกี่ยวกับรูปลักษณ์ของกราฟฟังก์ชันแล้ว บุคคลที่ได้รับการฝึกอบรมโดยเฉลี่ยสามารถระบุด้วยวาจาว่ากราฟของฟังก์ชันนั้นมีเส้นกำกับแนวตั้งสองตัวและเส้นกำกับเฉียง นี่คือฮีโร่ของเรา:

ลองเชื่อมโยงผลการศึกษากับกราฟของฟังก์ชันนี้อีกครั้ง
ไม่มีจุดสิ้นสุดที่จุดวิกฤติ แต่ก็มีอยู่ จุดสะท้อน(ซึ่งตามกฎแล้วจะเกิดขึ้นในกรณีที่คล้ายกัน)

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาจุดสุดขีดของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาช่วงความน่าเบื่อ ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน

...วันนี้เกือบจะเหมือนกับวันหยุด "X in a cube" เลย....
ซู่ ใครในแกลเลอรี่เสนอให้ดื่มเพื่อสิ่งนี้? -

แต่ละงานมีความแตกต่างที่สำคัญและรายละเอียดปลีกย่อยทางเทคนิคซึ่งมีการแสดงความคิดเห็นในตอนท้ายของบทเรียน

“ฟังก์ชันเพิ่มและลดฟังก์ชัน”

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

1. เรียนรู้การหาช่วงเวลาแห่งความซ้ำซากจำเจ

2. การพัฒนาความสามารถในการคิดที่ช่วยให้มั่นใจในการวิเคราะห์สถานการณ์และการพัฒนาวิธีการดำเนินการที่เหมาะสม (การวิเคราะห์ การสังเคราะห์ การเปรียบเทียบ)

3. การสร้างความสนใจในเรื่อง

ในระหว่างเรียน

วันนี้เรายังคงศึกษาการประยุกต์ใช้อนุพันธ์ต่อไปและพิจารณาคำถามเกี่ยวกับการประยุกต์กับการศึกษาฟังก์ชัน งานหน้า

ตอนนี้เรามาดูคำจำกัดความบางประการเกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชัน "การระดมความคิด" กัน

1. ฟังก์ชั่นเรียกว่าอะไร?

2. ตัวแปร X ชื่ออะไร

3. ตัวแปร Y ชื่ออะไร

4. โดเมนของฟังก์ชันคืออะไร?

5. ชุดค่าของฟังก์ชันคืออะไร?

6. ฟังก์ชันใดเรียกว่าคู่?

7. ฟังก์ชันใดเรียกว่าคี่

8. คุณจะพูดอะไรเกี่ยวกับกราฟของฟังก์ชันคู่ได้บ้าง?

9. คุณจะพูดอะไรเกี่ยวกับกราฟของฟังก์ชันคี่ได้บ้าง?

10. ฟังก์ชันใดเรียกว่าเพิ่มขึ้น?

11. ฟังก์ชันใดเรียกว่าการลดลง

12. ฟังก์ชันใดเรียกว่าคาบ?

คณิตศาสตร์คือการศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งคือฟังก์ชัน มีหลายวิธีในการอธิบายฟังก์ชัน อันไหนชัดเจนที่สุด?

– กราฟิก

– จะสร้างกราฟได้อย่างไร?

- ทีละจุด

วิธีนี้เหมาะหากคุณรู้ล่วงหน้าว่ากราฟจะเป็นอย่างไร ตัวอย่างเช่น กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง ฟังก์ชันเชิงเส้น สัดส่วนผกผัน หรือ y = sinx คืออะไร (สาธิตสูตรที่เกี่ยวข้อง นักเรียนตั้งชื่อเส้นโค้งที่เป็นกราฟ)

แต่ถ้าคุณต้องการพล็อตกราฟของฟังก์ชันหรือกราฟที่ซับซ้อนกว่านี้ล่ะ? คุณสามารถค้นหาได้หลายจุด แต่ฟังก์ชันทำงานอย่างไรระหว่างจุดเหล่านี้

วางจุดสองจุดบนกระดานและขอให้นักเรียนแสดงว่ากราฟ “ระหว่างจุดเหล่านั้น” อาจมีลักษณะอย่างไร:

อนุพันธ์ของมันช่วยให้คุณรู้ว่าฟังก์ชันมีพฤติกรรมอย่างไร

เปิดสมุดบันทึก จดตัวเลข เยี่ยมมาก

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: เรียนรู้ว่ากราฟของฟังก์ชันสัมพันธ์กับกราฟของอนุพันธ์อย่างไร และเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาสองประเภท:

1. ใช้กราฟอนุพันธ์ ค้นหาช่วงของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันเอง รวมถึงจุดปลายสุดของฟังก์ชัน

2. ใช้รูปแบบของเครื่องหมายอนุพันธ์ตามช่วงเวลา ค้นหาช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันนั้นเอง รวมถึงจุดปลายสุดของฟังก์ชันด้วย

งานที่คล้ายกันไม่ได้อยู่ในตำราเรียนของเรา แต่พบได้ในการทดสอบการสอบแบบรวมรัฐ (ส่วน A และ B)

วันนี้ในบทเรียนเราจะดูองค์ประกอบเล็ก ๆ ของงานในระยะที่สองของการศึกษากระบวนการการศึกษาคุณสมบัติอย่างใดอย่างหนึ่งของฟังก์ชัน - การกำหนดช่วงเวลาของความซ้ำซากจำเจ

เพื่อแก้ไขปัญหานี้ เราต้องนึกถึงบางประเด็นที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้

ลองเขียนหัวข้อของบทเรียนวันนี้: สัญญาณของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นและลดลง

สัญญาณของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นและลดลง:

หากอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดเป็นบวกสำหรับค่าทั้งหมดของ x ในช่วงเวลา (a; b) เช่น ฉ"(x) > 0 จากนั้นฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลานี้
หากอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดเป็นลบสำหรับค่าทั้งหมดของ x ในช่วงเวลา (a; b) เช่น ฉ"(x)< 0, то функция в этом интервале убывает

ลำดับการค้นหาช่วงเวลาของความน่าเบื่อ:

ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน

1. ค้นหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชัน

2. ตัดสินใจด้วยตัวเองบนกระดาน

ค้นหาจุดวิกฤต ตรวจสอบเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับแรกในช่วงเวลาที่จุดวิกฤตที่พบแบ่งโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน ค้นหาช่วงเวลาของความน่าเบื่อของฟังก์ชัน:

ก) ขอบเขตของคำจำกัดความ

b) ค้นหาอนุพันธ์อันดับแรก:

c) ค้นหาจุดวิกฤติ: ; , และ

3. ให้เราตรวจสอบเครื่องหมายของอนุพันธ์ในช่วงเวลาผลลัพธ์และนำเสนอวิธีแก้ปัญหาในรูปแบบของตาราง

ชี้ไปที่จุดสุดขั้ว

เรามาดูตัวอย่างการศึกษาฟังก์ชันสำหรับการเพิ่มขึ้นและลดลงกัน

เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการดำรงอยู่ของค่าสูงสุดคือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์เมื่อผ่านจุดวิกฤติจาก "+" เป็น "-" และขั้นต่ำจาก "-" เป็น "+" หากผ่านจุดวิกฤตแล้วหากเครื่องหมายของอนุพันธ์ไม่เปลี่ยนแปลงก็ไม่มีจุดสุดขั้ว ณ จุดนี้

1. หา D(f)

2. ค้นหา ฉ"(x)

3. ค้นหาจุดคงที่เช่น จุดที่ f"(x) = 0 หรือ f"(x) ไม่มีอยู่
(อนุพันธ์คือ 0 ที่เลข 0 ของตัวเศษ อนุพันธ์ไม่มีอยู่ที่ 0 ของตัวส่วน)

4. วาง D(f) และจุดเหล่านี้บนเส้นพิกัด

5. กำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ในแต่ละช่วง

6.ติดป้าย.

7. เขียนคำตอบ

การรวมวัสดุใหม่

นักเรียนทำงานเป็นคู่และจดวิธีแก้ปัญหาลงในสมุดบันทึก

ก) y = x³ - 6 x² + 9 x - 9;

ข) y = 3 x² - 5x + 4

คนสองคนกำลังทำงานอยู่ที่คณะกรรมการ

ก) y = 2 x³ – 3 x² – 36 x + 40

b) y = x4-2 x³

3. สรุปบทเรียน

การบ้าน: ทดสอบ (แตกต่าง)

จากสัญญาณที่เพียงพอ จะพบช่วงเวลาของฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและลดลง

ต่อไปนี้เป็นข้อความของป้าย:

• ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ย = ฉ(x)แง่บวกสำหรับใครก็ตาม xจากช่วงเวลา เอ็กซ์จากนั้นฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตาม เอ็กซ์;
• ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ย = ฉ(x)เชิงลบสำหรับใครก็ตาม xจากช่วงเวลา เอ็กซ์จากนั้นฟังก์ชันจะลดลง เอ็กซ์.

ดังนั้น เพื่อกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน จึงจำเป็น:

• ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

• ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

• ไปยังช่วงเวลาที่เป็นผลให้เพิ่มจุดขอบเขตที่กำหนดฟังก์ชันและต่อเนื่อง

ลองดูตัวอย่างเพื่ออธิบายอัลกอริทึม

ตัวอย่าง.

ค้นหาช่วงเวลาของฟังก์ชันเพิ่มและลด

สารละลาย.

ขั้นตอนแรกคือการหาคำจำกัดความของฟังก์ชัน ในตัวอย่างของเรา นิพจน์ในตัวส่วนไม่ควรเป็นศูนย์ ดังนั้น .

มาดูฟังก์ชันอนุพันธ์กันดีกว่า:

เพื่อกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันตามเกณฑ์ที่เพียงพอ เราจะแก้อสมการ และ บนขอบเขตของคำจำกัดความ ลองใช้ลักษณะทั่วไปของวิธีช่วงเวลา รากที่แท้จริงเพียงรากเดียวของตัวเศษคือ x = 2และตัวส่วนไปที่ศูนย์ที่ x = 0- จุดเหล่านี้จะแบ่งโดเมนของคำจำกัดความออกเป็นระยะโดยที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันยังคงมีเครื่องหมายอยู่ ลองทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนเส้นจำนวน ตามอัตภาพเราแสดงด้วยเครื่องหมายบวกและลบช่วงเวลาที่อนุพันธ์เป็นบวกหรือลบ ลูกศรด้านล่างแสดงการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่สอดคล้องกันตามแผนผัง

ดังนั้น, และ .

ตรงจุด x = 2ฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่อง ดังนั้นจึงควรเพิ่มทั้งช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้นและลดลง ตรงจุด x = 0ไม่ได้กำหนดฟังก์ชันไว้ ดังนั้นเราจึงไม่รวมจุดนี้ไว้ในช่วงเวลาที่ต้องการ

เรานำเสนอกราฟของฟังก์ชันเพื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับ

คำตอบ:ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นด้วย , ลดลงตามช่วงเวลา (0; 2] .

- จุดปลายสุดของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับสุดขั้ว

ปล่อยให้ฟังก์ชัน f(x) ซึ่งนิยามและต่อเนื่องในช่วงเวลานั้นไม่ซ้ำซากจำเจ มีหลายส่วน [ , ] ของช่วงเวลาที่ฟังก์ชันที่จุดภายในได้ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดคือ ระหว่างและ.

ฟังก์ชัน f(x) กล่าวกันว่ามีค่าสูงสุด (หรือต่ำสุด) ณ จุดหนึ่ง หากจุดนี้สามารถล้อมรอบด้วยย่านใกล้เคียงดังกล่าวได้ (x 0 - ,x 0 +) ที่มีอยู่ในช่วงเวลาที่ฟังก์ชันกำหนดว่าความไม่เท่าเทียมกัน ยึดถือทุกจุด

ฉ(x)< f(x 0)(или f(x)>ฉ(x 0))

กล่าวอีกนัยหนึ่งจุด x 0 ให้ฟังก์ชัน f(x) สูงสุด (ขั้นต่ำ) หากค่า f(x 0) กลายเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) ของค่าที่ฟังก์ชันยอมรับในบางส่วน (อย่างน้อยก็เล็ก) ย่านใกล้เคียงของจุดนี้ โปรดทราบว่าคำจำกัดความของค่าสูงสุด (ขั้นต่ำ) จะถือว่าฟังก์ชันถูกระบุไว้ทั้งสองด้านของจุด x 0

หากมีย่านใกล้เคียงที่ (ที่ x=x 0) ความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด

ฉ(x) ฉ(x 0)

จากนั้นพวกเขาก็บอกว่าฟังก์ชันมีค่าสูงสุด (ขั้นต่ำ) ของตัวเองที่จุด x 0 ไม่เช่นนั้นฟังก์ชันจะมีค่าสูงสุด (ขั้นต่ำ) ของตัวเอง

หากฟังก์ชันมีค่าสูงสุดที่จุด x 0 และ x 1 ดังนั้น เมื่อใช้ทฤษฎีบทไวเออร์สตราสที่สองกับช่วง เราจะเห็นว่าฟังก์ชันนั้นถึงค่าที่น้อยที่สุดในช่วงเวลานี้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง x 2 ระหว่าง x 0 ถึง x 1 และมี ขั้นต่ำที่นั่น ในทำนองเดียวกัน ระหว่างจุดต่ำสุดสองจุดจะต้องมีค่าสูงสุดอย่างแน่นอน ในกรณีที่ง่ายที่สุด (และในทางปฏิบัติที่สำคัญที่สุด) เมื่อฟังก์ชันโดยทั่วไปมีเพียงจำนวนสูงสุดและต่ำสุดที่จำกัด ฟังก์ชันก็จะสลับกัน

โปรดทราบว่าในการแสดงถึงค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ยังมีคำที่รวมค่าเหล่านั้นเข้าด้วยกัน - สุดขั้ว

แนวคิดเรื่องค่าสูงสุด (สูงสุด f(x)) และค่าต่ำสุด (ต่ำสุด f(x)) เป็นคุณสมบัติเฉพาะที่ของฟังก์ชันและเกิดขึ้นที่จุดใดจุดหนึ่ง x 0 แนวคิดของค่าที่ใหญ่ที่สุด (sup f(x)) และค่าที่เล็กที่สุด (inf f(x)) อ้างถึงเซ็กเมนต์ที่มีขอบเขตและเป็นคุณสมบัติส่วนกลางของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

จากรูปที่ 1 เห็นได้ชัดว่าที่จุด x 1 และ x 3 มีจุดสูงสุดเฉพาะจุด และที่จุด x 2 และ x 4 มีค่าต่ำสุดเฉพาะจุด อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันถึงค่าต่ำสุดที่จุด x=a และค่าสูงสุดที่จุด x=b

ให้เราสร้างปัญหาในการค้นหาค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ที่ทำให้ฟังก์ชันมีความสุดขั้ว เมื่อแก้โจทย์แล้วอนุพันธ์จะมีบทบาทหลัก

ก่อนอื่นให้เราสมมติว่าฟังก์ชัน f(x) มีอนุพันธ์จำกัดในช่วง (a,b) ถ้า ณ จุด x 0 ฟังก์ชันมีจุดสุดขั้ว ดังนั้น เมื่อนำทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ไปใช้กับช่วง (x 0 - , x 0 +) ที่กล่าวถึงข้างต้น เราจะสรุปได้ว่า f (x) = 0 นี่คือเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับจุดสุดขีด . ควรหาค่าสุดโต่งเฉพาะจุดที่อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์เท่านั้น

อย่างไรก็ตาม เราไม่ควรคิดว่าทุกจุดที่อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์จะทำให้ฟังก์ชันมีความสุดขั้ว เงื่อนไขที่จำเป็นที่เพิ่งระบุไว้นั้นไม่เพียงพอ

ฟังก์ชั่นการเพิ่มและลด

การทำงาน ย = ฉ(x) เรียกว่าเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา [ ก, ข] ถ้าเป็นคู่คะแนนใดๆ เอ็กซ์และ เอ็กซ์", a ≤ x ความไม่เท่าเทียมกันคงอยู่ ฉ(x) ≤ ฉ (เอ็กซ์") และเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด - หากเกิดความไม่เท่าเทียมกัน ฉ (x) ฉ(เอ็กซ์"- ฟังก์ชันการลดและการลดลงอย่างเคร่งครัดมีการกำหนดในทำนองเดียวกัน ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน ที่ = เอ็กซ์ 2 (ข้าว. , ก) เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดในกลุ่ม และ

(ข้าว. , b) ลดลงอย่างเคร่งครัดในส่วนนี้ มีการกำหนดฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ฉ (x) และลดลง ฉ (x). ฉ (xเพื่อให้มีฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ ) เพิ่มขึ้นในกลุ่ม [, ขก ฉ"(x] มีความจำเป็นและเพียงพอที่อนุพันธ์ของมัน ) เพิ่มขึ้นในกลุ่ม [, ข].

) ไม่เป็นลบใน [ ที่ = ฉ (xนอกจากการเพิ่มและลดฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์แล้ว เรายังพิจารณาการเพิ่มและลดฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งด้วย การทำงาน x) เรียกว่าเพิ่มขึ้น ณ จุดนั้น x 0 หากมีช่วงเวลา (α, β) ที่มีจุด เอ็กซ์ 0 ซึ่งสำหรับจุดใดๆ จาก (α, β), x x> ฉ (x 0) ≤ ฉ (x 0 ความไม่เท่าเทียมกันยังคงอยู่ เอ็กซ์ 0 ซึ่งสำหรับจุดใดๆ ) และสำหรับจุดใดๆ ฉ (x) x 0 , อสมการคงอยู่ (x≤ ฉ x 0) การเพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวดของฟังก์ชัน ณ จุดนั้นถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน ฉ"(x 0) > 0 . ถ้า ฉ(x 0 แล้วฟังก์ชัน x 0) การเพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวดของฟังก์ชัน ณ จุดนั้นถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน ฉ (x) เพิ่มขึ้นตรงจุดอย่างเคร่งครัด ก, ข) เพิ่มขึ้นในแต่ละจุดของช่วงเวลา (

) จากนั้นจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลานี้

เอส.บี. สเตคกิน.. 1969-1978 .

สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต - ม.: สารานุกรมโซเวียต

ดูว่า "ฟังก์ชันเพิ่มและลด" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร: แนวคิดการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชัน f(x) เรียกว่าอัตราส่วนของจำนวนกลุ่มอายุต่างๆ ของประชากรที่เพิ่มขึ้นในส่วน โครงสร้างอายุของประชากร ขึ้นอยู่กับอัตราการเกิดและการตาย อายุขัย ของคน...

พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่ แนวคิดการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชัน f(x) กล่าวกันว่าเพิ่มขึ้นบนเซ็กเมนต์ ถ้าจุดคู่ใดๆ x1 และ x2, a≤x1 ...

พจนานุกรมสารานุกรม<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)แนวคิดทางคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์. ฟังก์ชัน f(x) ถูกเรียก เพิ่มขึ้นบนเซ็กเมนต์ [a, b] หากเป็นคู่ของจุดใดๆ x1 และ x2 และ

วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ. พจนานุกรมสารานุกรม สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาอนุพันธ์และอนุพันธ์ของฟังก์ชันและการประยุกต์ในการศึกษาฟังก์ชัน การออกแบบของ D. และ. เข้าสู่วินัยทางคณิตศาสตร์ที่เป็นอิสระมีความเกี่ยวข้องกับชื่อของ I. Newton และ G. Leibniz (ครึ่งหลังของ 17 ...

สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่มีการศึกษาแนวคิดเกี่ยวกับอนุพันธ์และอนุพันธ์และวิธีการนำไปใช้กับการศึกษาฟังก์ชัน พัฒนาการของ D. และ. เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการพัฒนาแคลคูลัสอินทิกรัล เนื้อหาของพวกเขาก็แยกออกไม่ได้เช่นกัน ร่วมกันสร้างรากฐาน... ...

คำนี้มีความหมายอื่น โปรดดูที่ฟังก์ชัน คำขอ "แสดงผล" ถูกเปลี่ยนเส้นทางที่นี่ ดูความหมายอื่นด้วย... Wikipedia

อริสโตเติลและ Peripatetics- คำถามของอริสโตเติล ชีวิตของอริสโตเติล อริสโตเติลเกิดในปี 384/383 พ.ศ จ. ในเมืองสตากีรา ชายแดนติดกับมาซิโดเนีย บิดาของเขาชื่อนิโคมาคัส เป็นแพทย์ในสังกัดกษัตริย์อมินทัสแห่งมาซิโดเนีย บิดาของฟีลิป ร่วมกับครอบครัวของเขา หนุ่มน้อย อริสโตเติล... ... ปรัชญาตะวันตกตั้งแต่กำเนิดจนถึงปัจจุบัน

- (QCD) ทฤษฎีสนามควอนตัมของปฏิสัมพันธ์ที่รุนแรงของควาร์กและกลูออน ซึ่งสร้างขึ้นในรูปของควอนตัม อิเล็กโทรไดนามิกส์ (QED) ขึ้นอยู่กับความสมมาตรเกจ "สี" เฟอร์มิออนใน QCD ต่างจาก QED ที่มีคุณสมบัติเสริม ระดับความเป็นอิสระของควอนตัม ตัวเลข,… … สารานุกรมทางกายภาพ

I Heart หัวใจ (ละติน cor, Greek cardia) เป็นอวัยวะที่มีเส้นใยกล้ามเนื้อกลวงซึ่งทำหน้าที่เป็นเครื่องสูบน้ำเพื่อรับประกันการเคลื่อนไหวของเลือดในระบบไหลเวียนโลหิต กายวิภาคศาสตร์ หัวใจตั้งอยู่ในส่วนประจันหน้า (Mediastinum) ในเยื่อหุ้มหัวใจระหว่าง... ... สารานุกรมทางการแพทย์

ชีวิตของพืชก็เหมือนกับสิ่งมีชีวิตอื่นๆ คือชุดของกระบวนการที่ซับซ้อนซึ่งสัมพันธ์กัน สิ่งที่สำคัญที่สุดดังที่ทราบกันดีคือการแลกเปลี่ยนสารกับสิ่งแวดล้อม สิ่งแวดล้อมเป็นแหล่งกำเนิด... ... สารานุกรมชีวภาพ

1. ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

2. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

3. เทียบอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์แล้วค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชัน

4. ทำเครื่องหมายจุดวิกฤติบนพื้นที่คำจำกัดความ

5. คำนวณเครื่องหมายของอนุพันธ์ในแต่ละช่วงผลลัพธ์

6. ค้นหาพฤติกรรมของฟังก์ชันในแต่ละช่วงเวลา

ตัวอย่าง: ค้นหาช่วงเวลาของฟังก์ชันเพิ่มและลดฉ(x) = และจำนวนศูนย์ของฟังก์ชันนี้ในช่วงเวลา

สารละลาย:

1.ดี( ฉ) = อาร์

2. ฉ"(x) =

ง( ฉ") = ง( ฉ) = อาร์

3. ค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชันโดยการแก้สมการ ฉ"(x) = 0.

x(x – 10) = 0

จุดวิกฤติของฟังก์ชัน x= 0 และ x = 10.

4. ลองกำหนดสัญลักษณ์ของอนุพันธ์กัน

ฉ"(x) + – +

ฉ(x) 0 10x

ในช่วงเวลา (-∞; 0) และ (10; +∞) อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเป็นค่าบวกและอยู่ที่จุด x= 0 และ x = 10 ฟังก์ชัน ฉ(x) เป็นแบบต่อเนื่อง ดังนั้น ฟังก์ชันนี้จะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา: (-∞; 0]; .

ให้เรากำหนดสัญลักษณ์ของค่าฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์

ฉ(0) = 3, ฉ(0) > 0

ฉ(10) = , ฉ(10) < 0.

เนื่องจากฟังก์ชันลดลงบนเซ็กเมนต์และเครื่องหมายของค่าฟังก์ชันเปลี่ยนไป จึงมีฟังก์ชันหนึ่งศูนย์ในส่วนนี้

คำตอบ: ฟังก์ชัน f(x) เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา: (-∞; 0]; ;

ในช่วงเวลานั้น ฟังก์ชันจะมีหนึ่งฟังก์ชันเป็นศูนย์

2. จุดสุดขีดของฟังก์ชัน: จุดสูงสุดและจุดต่ำสุด เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการมีอยู่ของฟังก์ชันสุดขั้ว กฎสำหรับการศึกษาฟังก์ชันสำหรับสุดขั้ว .

คำจำกัดความ 1:จุดที่อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์เรียกว่าจุดวิกฤติหรือจุดคงที่

คำจำกัดความ 2. จุดเรียกว่าจุดต่ำสุด (สูงสุด) ของฟังก์ชันหากค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้น้อยกว่า (มากกว่า) ค่าที่ใกล้ที่สุดของฟังก์ชัน

ควรจำไว้ว่าค่าสูงสุดและต่ำสุดในกรณีนี้คือค่าท้องถิ่น

ในรูป 1. แสดงค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดเฉพาะที่

ค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันจะรวมกันเป็นชื่อสามัญ: extremum ของฟังก์ชัน

ทฤษฎีบท 1(สัญญาณที่จำเป็นของการมีอยู่ของฟังก์ชันสุดขั้ว) หากฟังก์ชันหาอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งมีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ณ จุดนี้ อนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นจะหายไป

ทฤษฎีบท 2(สัญญาณที่เพียงพอของการมีอยู่ของส่วนปลายของฟังก์ชัน) หากฟังก์ชันต่อเนื่องมีอนุพันธ์ ณ ทุกจุดของช่วงเวลาหนึ่งซึ่งมีจุดวิกฤติ (ยกเว้นจุดนี้เองที่เป็นไปได้) และ ถ้าอนุพันธ์เมื่ออาร์กิวเมนต์ส่งผ่านจากซ้ายไปขวาผ่านจุดวิกฤติ เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ ฟังก์ชัน ณ จุดนี้จะมีค่าสูงสุด และเมื่อเครื่องหมายเปลี่ยนจากลบเป็นบวก ก็จะมีค่าต่ำสุด