คู่มือการฝึกปฏิบัติ. “แรงเสียดทานสามารถละเลยได้” ตอนนี้เรามาดูกันว่าสิ่งนี้จะส่งผลต่อการแก้ปัญหาอย่างไร

นี่คือวิธีที่ฉันเห็นการแสดงออกของหลักการสำคัญที่ให้มนุษยชาติด้วยความเร็วอันมหาศาลมาโดยตลอดซึ่งมันรีบวิ่งไปที่ป้ายอย่างสงบและอิสระ "หยุด!" แน่นอนว่าหลักการนี้สามารถแสดงออกได้ในอีกทางหนึ่ง: " ลองเอาวัตถุ "A" เป็นจุด" หรือ " คะแนนเสียงสามสิบเปอร์เซ็นต์สำหรับแนวคิดอื่นสามารถละเลยได้".สามารถละเลยได้ อะไรก็ตามถ้าเพียงเท่านี้ บางสิ่งบางอย่างป้องกันไม่ให้เราตอบคำถามที่เราสนใจได้อย่างไม่คลุมเครือ และมีคำถามดังกล่าวมากมายที่เราสนใจมานานหลายปี และหากเราไม่สามารถได้รับคำตอบที่ชัดเจน เราก็จะจัดการข้อมูลเพื่อที่เราจะได้คำตอบที่ชัดเจน การจัดการข้อมูลส่วนใหญ่มักเกิดขึ้นจากการลดความซับซ้อนของระบบ เราละเลยข้อมูลบางอย่างและได้ผลลัพธ์ที่แน่นอน จึงเกิดคำถามต่อไปว่า เหตุใดเราจึงละเลยข้อมูลเหล่านี้โดยพิจารณาจากข้อพิจารณาใดบ้าง บางทีเราแค่พยายามปรับเงื่อนไขของปัญหาให้เป็นผลลัพธ์ที่คาดหวังไว้ก่อนหน้านี้ เหตุใดเราจึงแสร้งทำเป็นว่าข้อมูลที่เราเพิกเฉยไม่มีอยู่ในธรรมชาติและไม่ส่งผลกระทบใดๆ

"แน่นอนว่าพวกเขามีอิทธิพล, - นักคณิตศาสตร์หรือนักฟิสิกส์คนใดจะบอกคุณ - แต่อิทธิพลของพวกเขาไม่มีนัยสำคัญอย่างยิ่ง และเรายังคำนึงถึงอิทธิพลที่ไม่มีนัยสำคัญนี้ด้วยหากเราต้องการคำนึงถึงมันโดยฉับพลันโดยใช้แนวคิดดังกล่าวเป็นข้อผิดพลาด". (เป็นคำที่น่าสนใจมาก) แต่แม้กระทั่งจากคณิตศาสตร์ก็เป็นที่รู้กันว่าข้อผิดพลาดนั้นเพิ่มขึ้นตามจำนวนการกระทำที่เพิ่มขึ้นซึ่งบ่งบอกถึงการละเลยข้อมูลบางอย่าง ( ตัวอย่างเช่น ถ้าเราคูณตัวเลขสองตัวที่ถูกปัดเศษให้เป็นทศนิยมที่ถูกต้องเจ็ดตำแหน่ง เราจะได้ตัวเลขที่จะไม่มีทศนิยมที่ถูกต้องเจ็ดตำแหน่งอีกต่อไป เหล่านั้น. ข้อผิดพลาดกำลังเพิ่มขึ้น) มีปัจจัยเล็กๆ น้อยๆ ที่ไม่สามารถระบุได้ ที่นี่เราก็จะละเลยมันเช่นกัน และหลายๆ ครั้งในหลายๆ ครั้ง และท้ายที่สุดแล้ว เราไม่เพียงแต่ได้รับผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องเท่านั้น มันจะมีความไม่ถูกต้องที่ยอมรับไม่ได้อยู่แล้วจากมุมมองของการใช้ผลลัพธ์นี้เพื่อแก้ไขปัญหาอื่น ๆ อีกมากมาย แต่ผลลัพธ์ดังกล่าวมักจะได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวาง และแทบไม่มีใครสังเกตเห็นว่าความไม่ถูกต้องนั้นมีขนาดใหญ่จนไม่อาจยอมรับได้ เขาได้รับตัวอย่างทันทีว่าการใช้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องไม่สร้างปัญหาใดๆ อย่างน้อยนั่นคือสิ่งที่ดูเหมือนเมื่อมองแวบแรก เมื่อมีข้อผิดพลาดปรากฏขึ้นและอาจเกิดขึ้นหลังจากการแก้สมการสองสามสมการที่เกิดจากตรรกะก่อนหน้าหรืออาจเกิดขึ้นหลังจากผ่านไปหลายร้อยปี เราจะต้องย้อนกลับไปคำนวณและกระบวนทัศน์จนกว่าเราจะเห็นการทำให้เข้าใจง่ายที่ยอมรับไม่ได้ในบางขั้นตอน

ดังนั้นจึงไม่เสียประโยชน์ที่จะกล่าว" ปีศาจอยู่ในรายละเอียด“และค่อนข้างเป็นไปได้ว่าคำนั้นไม่ไร้ประโยชน์ "ข้อผิดพลาด“มีสัญญาณบ่งบอกถึงความเนรคุณอย่างชัดเจน

ตอนนี้ ลองมาดูปริมาณของข้อความ ซึ่งเพียงแต่อธิบายถึงการหักมุมและกลอุบายอันเชี่ยวชาญที่มนุษยชาติใช้ในการพยายามตอบคำถามที่สนใจ ท้ายที่สุดแล้ว มีโอกาสที่จะทำสิ่งที่แตกต่างออกไป และไม่พยายามบิดเบือนความเป็นจริงโดยรอบด้วยการเล่นกลข้อมูล และไม่พยายามค้นหาคำตอบสำหรับคำถามทุกข้อ เราสามารถเข้าใจและยอมรับความจริงที่ว่าเราไม่มีโอกาสที่จะรู้คำตอบสำหรับคำถามบางข้อหากเพียงเพราะคน ๆ หนึ่งยังไม่ได้เรียนรู้ที่จะกำหนดอย่างถูกต้องด้วยซ้ำ ในที่สุดก็เป็นไปได้ที่จะตกลงกับความจริงที่ว่าโลกมีความซับซ้อนมากกว่าแนวคิดแผนผังของเราเกี่ยวกับมัน เราอาจเข้าใจความจริงที่ว่าโลกเทคโนโลยีที่เราสร้างขึ้นนั้นมีพื้นฐานมาจากการทำให้เข้าใจง่าย ดังนั้นเห็นได้ชัดว่ามีโครงสร้างที่เรียบง่ายกว่า และดังนั้นจึงไม่เหมาะ และสิ่งนี้สามารถให้อภัยได้ และเราก็สามารถได้รับการอภัยสำหรับเรื่องนี้เช่นกัน ในที่สุดเราก็สามารถตกลงกับความจริงที่ว่าผู้น้อยกว่าไม่สามารถรับรู้สิ่งที่ใหญ่กว่าได้ นั่นคือระบบที่มีโครงสร้างที่ซับซ้อนน้อยกว่านั้นไม่สามารถรับรู้ถึงระบบที่มีโครงสร้างที่ซับซ้อนกว่าได้ และใครๆ ก็สามารถมีชีวิตอยู่ได้เพียงรักโลกนี้อย่างที่มันเป็น และรักตัวเองในโลกนี้และโดยทั่วไปทุกสิ่งที่อยู่ในโลกนี้ และมีคนแบบนี้เชื่อฉัน =) แต่ก็ยังมีคนที่ไม่ต้องการรัก - พวกเขาต้องการสำรวจและในขณะเดียวกันหัวข้อการวิจัยก็ไม่รีบร้อนที่จะออกจากหมวดนี้” สำรวจน้อยเกินไป" และ " อย่าไปบ้านยาย“ผู้คนจะไม่เป็นที่รู้จักไปอีกนานแสนนาน โดยทั่วไปแล้ว ผู้คนมีความแตกต่างกัน

กระบวนการที่อธิบายไว้ในปัญหาสามารถแบ่งออกเป็นสองขั้นตอน:

1) กระสุนกระทบร่างกายทำให้มีความเร็วที่แน่นอน

2) ด้วยความเร็วเริ่มต้นนี้ ร่างกายจะเบี่ยงเบนไปบนเกลียวในมุมหนึ่ง

ในระยะแรก ปฏิสัมพันธ์ที่ไม่ยืดหยุ่นของร่างกายจะเกิดขึ้น ในกรณีนี้ แรงที่ไม่อนุรักษ์นิยม (แรงเสียดทานหรือความต้านทานต่อการเคลื่อนที่ของกระสุนในร่างกาย) ทำหน้าที่ในระบบ (ตัวถัง + กระสุน) และพลังงานส่วนหนึ่งของกระสุนจะถูกแปลงเป็นความร้อน ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ กฎการอนุรักษ์พลังงานกลไม่เป็นที่พอใจ ดังนั้นเราจะใช้เฉพาะกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเท่านั้น ในขั้นตอนนี้ จะต้องคงเส้นโครงแนวนอนของแรงกระตุ้นไว้ จากจุดที่สามารถพบแรงกระตุ้นเริ่มต้นของร่างกายได้หลังจากที่กระสุนโดน

ในระยะที่สอง ไม่มีกองกำลังที่ไม่อนุรักษ์นิยม ดังนั้นเราจึงใช้กฎการอนุรักษ์พลังงานโดยเชื่อมโยงมุมโก่งของเกลียวกับการเปลี่ยนแปลงพลังงานของร่างกายในสนามโน้มถ่วง จากที่นี่เราจะพบความเร็วที่ต้องการ

ให้เราเลือกระบบอ้างอิงเฉื่อยที่เกี่ยวข้องกับพื้นผิวโลก กำหนดทิศทางแกนตามทิศทางการเคลื่อนที่ของกระสุนและแกนขึ้นในแนวตั้ง ให้เราเขียนกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมในการฉายภาพบนแกนสำหรับการชนกันของวัตถุ:

โดยที่ความเร็วของร่างกายทันทีหลังจากการชน เราละเลยมวลของกระสุนเพราะว่า ตามเงื่อนไข ขั้นที่ 2 ให้เขียนกฎการอนุรักษ์พลังงานในรูปแบบ

,(2)

ความสูงในการยกของร่างกายอยู่ที่ไหน พลังงานจลน์ของร่างกายที่จุดเริ่มต้นของระยะจะเท่ากับพลังงานศักย์ในสนามโน้มถ่วงที่จุดสิ้นสุด จากรูปที่เราพบ , ที่ไหน

พลังงาน งาน พลังงาน กฎหมายการอนุรักษ์ในกลศาสตร์

สนามแรงโน้มถ่วง การเคลื่อนไหวในสนามของกองกำลังส่วนกลาง

องค์ประกอบของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ

2.1. ตัวอย่างการแก้ปัญหา

1. เลื่อนที่เคลื่อนที่บนน้ำแข็งแนวนอนด้วยความเร็ว v = 2 m/s เข้าสู่ยางมะตอย (รูปที่ 2.1) สมมติว่าความยาวของตัวเลื่อนคือ ë=0.8 ม. และสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานบนแอสฟัลต์คือ μ=0.2 ให้กำหนดเส้นทาง S ที่เลื่อนบนแอสฟัลต์ ถ้าทราบ S>L พิจารณาว่ามวลของเลื่อนจะกระจายเท่าๆ กันตามความยาวของนักวิ่ง ละเลยการเสียดสีของการเลื่อนบนน้ำแข็ง

สารละลาย- เมื่อเลื่อนเข้าสู่แอสฟัลต์ แรงกด N ของนักวิ่งบนแอสฟัลต์จะเพิ่มขึ้นทีละน้อยจากศูนย์ถึงค่าสูงสุดเท่ากับแรงโน้มถ่วง มก. ของเลื่อน ในเรื่องนี้แรงเสียดทานก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน
ทำหน้าที่เลื่อนจากด้านข้างของยางมะตอย

เนื่องจากเลื่อนเลื่อนภายใต้อิทธิพลของแรงแปรผัน เราจะใช้แนวคิดเรื่องงานและพลังงานในการแก้ปัญหา การทำงานของแรงเสียดทานที่กระทำบนเลื่อนจะถูกกำหนดโดยการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ของมันจาก
ถึงW2 =0. แล้วขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์

สามารถเขียนลงไปได้

. (1)

ในทางกลับกัน งาน A tr สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร

,

โดยที่ F tr – แรงเสียดทาน;

α คือมุมระหว่างทิศทางการเคลื่อนที่และทิศทางของแรงกระทำ ในกรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณา α=180 0.

ในการทำเช่นนี้ เราจะแบ่งเส้นทางทั้งหมด S ที่เลื่อนไปตามเลื่อนออกเป็นสองส่วน S=LR+S " บนเส้นทาง ë แรงเสียดทานแบบแปรผันจะกระทำบนเลื่อน
- มาดูงาน A 1 ที่ทำเสร็จแล้วกันดีกว่า ปล่อยให้เลื่อนครอบคลุมเส้นทาง x บนยางมะตอยแล้ว (รูปที่ 2.1) จากนั้นแรงกดของนักวิ่งบนยางมะตอยจะเท่ากับ

,

แรงเสียดทาน

,

และการทำงานของพลังนี้บนเส้นทาง ̵

. (2)

อินทิกรัลมีเครื่องหมาย “ ลบ"เพราะค่า Ftr และ dx มีเครื่องหมายตรงกันข้าม บนเส้นทาง S " แรงเสียดทานจะคงที่และเท่ากับ μmg ดังนั้นงานที่ทำได้

.

งานทั้งหมดที่ทำโดยแรงเสียดทาน

. (3)

เราพบว่าการเท่ากันทางด้านขวามือของความเท่าเทียมกัน (1) และ (3) และการลดลงด้วยมวล

.

ดังนั้นเส้นทางทั้งหมดจึงถูกเลื่อนไป:

. (4)

ม.

คำตอบ:ส=1.42 ม.

2. น้ำหนักที่วางอยู่ที่ปลายด้านบนของสปริงเกลียวจะบีบอัด x 0 = 1.0 มม. สปริงจะถูกบีบอัดด้วยน้ำหนักเท่ากันที่โยนลงในแนวดิ่งจากความสูง h=0.20 m ด้วยความเร็ว v=1.0 m/s เท่าใด

สารละลาย.ค่าที่ต้องการ x ของการเปลี่ยนรูปสปริงถูกกำหนดจากสูตรสำหรับพลังงานศักย์ของสปริงอัด:

.

ดังนั้นเราจึงสามารถใช้กฎการอนุรักษ์พลังงานได้ เนื่องจากแรงโน้มถ่วงกระทำต่อน้ำหนัก ให้พิจารณาระบบน้ำหนักโลก-สปริง เนื่องจากแทบไม่มีแรงเสียดทานเมื่อน้ำหนักเคลื่อนที่และสปริงถูกบีบอัด พลังงานกลทั้งหมดของระบบแยกนี้จะถูกอนุรักษ์ไว้

มาคำนวณพลังงานของระบบในสถานะเริ่มต้น (I) และสถานะสุดท้าย (II) (รูปที่ 2.2) ให้เราเลือกตำแหน่งต่ำสุดของน้ำหนักซึ่งสอดคล้องกับสปริงอัด เป็นระดับการอ้างอิงความสูงเป็นศูนย์ ในสถานะเริ่มต้นพลังงานของระบบ W 1 ประกอบด้วยพลังงานศักย์และพลังงานจลน์ของน้ำหนัก:

. (1)

ในสถานะสุดท้าย น้ำหนักจะไม่มีพลังงานจลน์ แต่สปริงอัดจะมีพลังงานการเปลี่ยนรูปแบบยืดหยุ่น ดังนั้นพลังงานทั้งหมดของระบบ W 2 จะเท่ากับ:

, (2)

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์การเปลี่ยนรูปแบบยืดหยุ่น k ตามคำจำกัดความจะเท่ากับ

. (3)

เมื่อปรับด้านขวามือของนิพจน์ (1) และ (2) ตามกฎการอนุรักษ์พลังงาน โดยคำนึงถึงความสัมพันธ์ (3) เราจะได้สมการกำลังสองสำหรับ x: หลังจากการแปลงอย่างง่าย

เมื่อแก้สมการแล้วเราจะพบว่า

.

รากที่เป็นลบไม่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา เนื่องจาก x<0 означает растяжение пружины, тогда как на самом деле она сжимается.

ม.

คำตอบ:x=8  10 -2 ม.

3. วัตถุขนาดเล็กไถลลงมาจากความสูง h=1.0 m ไปตามรางที่มีความลาดเอียง กลายเป็น “dead loop” ที่มีรัศมี R=0.80 m (รูปที่ 2.3) ร่างกายหลุดออกจากวงที่ระดับความสูงเท่าใด? ละเลยแรงเสียดทาน

สารละลาย.ก่อนอื่น เรามาดูกันว่าเหตุใดการเคลื่อนไปตามวงทำให้ร่างกายสามารถแยกตัวออกจากมันได้ วัตถุในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่งของการเคลื่อนที่ขึ้นไปบนวงแหวนจะถูกกระทำโดยแรงสองแรง: แรงโน้มถ่วง m กและแรงกดทับ เอ็นวนเป็นวงกลมมุ่งตรงไปยังศูนย์กลางของวงกลม ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน จะได้ว่า

. (1)

ลองกำหนดแกนฉาย x และ y ตามเวกเตอร์ของความเร่งปกติและวงสัมผัส ก n กτ นั่นคือ ตามรัศมีและแทนเจนต์กับวงกลม เมื่อพิจารณาแล้วว่า

และ
,

ให้เราเขียนสมการสเกลาร์สองสมการสำหรับแกน x และ y แทน (1) ตามลำดับ:

, (2)

. (3)

เนื่องจากเมื่อเลื่อนค่าลูปขึ้น
เพิ่มขึ้นและ ลดลงแล้วจึงมีค่า
ในสมการ (2) ควรลดลงด้วยซ้ำ เมื่อ N ไปที่ศูนย์ ร่างกายจะหลุดออกจากวง

เมื่อรับ N=0 เราจะเขียนใหม่ โดยลดค่าของ m สมการ (2) และ (3) สำหรับโมเมนต์ของการแยกตัวออกจากลูป:

, (2 ")

. (3 ")

ระบบ (2 ") และ (3") ไม่ได้รวมค่าที่ต้องการไว้อย่างชัดเจน h "อย่างไรก็ตามมันเกี่ยวข้องกับมุม α อย่างมาก ดังที่เห็นได้จากรูปที่ 2.3

. (4)

ดังนั้นการหาค่าของ α ก็เพียงพอแล้ว อย่างไรก็ตาม เป็นไปไม่ได้ที่จะค้นหาจากระบบ (2"), (3") เนื่องจากระบบนี้มีสิ่งแปลกปลอมมากกว่าสองตัว

เนื่องจากไม่มีแรงเสียดทาน ดังนั้น มีเพียงแรงที่เป็นไปได้เท่านั้นที่กระทำต่อร่างกาย พลังงานกลทั้งหมดของร่างกาย (หรือที่แม่นยำกว่านั้นคือ ระบบร่องลึกก้นสมุทร-โลกแบบปิด) จะถูกอนุรักษ์ไว้ในระหว่างการเคลื่อนที่

ในช่วงเริ่มต้นร่างกายจะมีพลังงานศักย์เท่านั้น

ในขณะแยกวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v ซึ่งเป็นพลังงานทั้งหมด

ว 2 =
.

เราได้รับปริมาณ W 1 และ W 2 ตามกฎการอนุรักษ์พลังงาน

. (5)

ตอนนี้จาก (2"), (4) และ (5) เราจะได้

.

การแสดงปริมาณที่รวมอยู่ในสูตรในหน่วย SI และแทนที่ค่าตัวเลขเราได้รับ:

ม.

คำตอบ:
ม.

ความคิดเห็นควรสังเกตว่าเนื้อหาจะไม่หลุดออกจากวงสำหรับค่า h ใดๆ อันที่จริงเนื่องจาก h "ไม่สามารถมากกว่า 2R และน้อยกว่า R (สำหรับ h "

,
.

ดังนั้นเมื่อ
,
ร่างกายไม่หลุดออกจากวง

4- บนชานชาลารถไฟ เคลื่อนที่ด้วยความเฉื่อยด้วยความเร็ว v=10 m/s ปืนถูกติดตั้ง โดยลำกล้องของปืนหันไปในทิศทางการเคลื่อนที่ของชานชาลาและยกขึ้นเหนือขอบฟ้าที่มุม α=30 0 ( มะเดื่อ 2.4) ปืนยิงออกไปส่งผลให้ความเร็วของแท่นพร้อมปืนลดลง 3 เท่า ค้นหาความเร็ว v " ของกระสุนปืน (สัมพันธ์กับปืน) เมื่อออกจากลำกล้อง มวลของกระสุนปืนคือ m = 10 กก. มวลของแท่นพร้อมปืนคือ M = 1,000 กก.

สารละลาย.บนแพลตฟอร์มระบบด้วย กระสุนปืนแรงสองแรงกระทำจากภายนอก: แรงโน้มถ่วงของระบบ
และแรงกดปกติ เอ็นราง ก่อนการยิง แรงเหล่านี้มีความสมดุล เนื่องจากระบบเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอ ในระหว่างการยิง แรงปฏิสัมพันธ์ระหว่างแท่นและรางจะเพิ่มขึ้นเนื่องจากปรากฏการณ์การหดตัว ดังนั้นความสมดุลของแรงที่ใช้กับระบบจึงหยุดชะงัก:

.

ผลก็คือ ในระหว่างการยิง ระบบไม่ได้ปิด โมเมนตัมของมันเปลี่ยนไป อย่างไรก็ตาม แรงทั้งสองที่อยู่ระหว่างการพิจารณาจะกระทำในแนวตั้ง ในขณะที่ในแนวนอนจะไม่มีแรงกระทำต่อระบบ (เราละเลยแรงเสียดทานของแท่นบนราง) ดังนั้น การฉายภาพโมเมนตัมของระบบไปยังทิศทางแนวนอน (บนแกน x) จึงเป็นค่าคงที่:

. (1)

ให้สถานะของระบบก่อนและหลังช็อตสอดคล้องกับค่าของปริมาณ , เท่ากัน และ
- เมื่อพิจารณาการเคลื่อนไหวทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับโลก เราได้รับ:

, (2)

, (3)

ที่ไหน
– การฉายภาพไปยังแกนความเร็ว v จากโพรเจกไทล์ที่สัมพันธ์กับโลก

ในการเชื่อมต่อค่า v c ด้วยความเร็วที่ต้องการ v "เราจะถือว่าการเคลื่อนที่ของโพรเจกไทล์สัมพันธ์กับโลกนั้นซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยสอง: ด้วยความเร็ว โวลต์“สัมพันธ์กับปืนและความเร็ว โวลต์/3 ร่วมกับอาวุธที่เกี่ยวข้องกับโลก

จากนั้นตามกฎการบวกความเร็วเราจะได้:

. (4)

ให้เราฉายภาพเวกเตอร์ที่อยู่ใน (4) ลงบนแกน x:

. (5)

แทนที่ใน (3) ปริมาณ
ค่าของมันตาม (5) และเท่ากับด้านขวาของสูตร (2) และ (3) ตาม (1) เราพบ

.

การแสดงปริมาณที่รวมอยู่ในสูตรในหน่วย SI และแทนที่ค่าตัวเลขเราได้รับ:

นางสาว.

คำตอบ:โวลต์ " =774 เมตร/วินาที

5. ที่ท้ายเรือที่มีความยาว ë = 200 ซม. และมวล M = 120 กก. ให้คนที่มีมวล ม. = 80 กก. นั่ง จากการดันระยะสั้น เรือกับบุคคลจะได้ความเร็ว v 0 = 2 m/s และเริ่มเคลื่อนตัวจากฝั่งหนึ่งของคลองที่มีความกว้าง d = 10 m ไปยังฝั่งอื่น (รูปที่. 2.5) ขณะที่บุคคลเคลื่อนตัวจากท้ายเรือไปยังหัวเรือ ละเลยการกันน้ำ หาเวลาเคลื่อนที่ของเรือ

สารละลาย.กำลังดูระบบครับ คนพายเรือเป็นแบบปิดและใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม
เราได้ข้อสรุปว่าเนื่องจากเราไม่ทราบกฎการเคลื่อนที่ของมนุษย์ที่สัมพันธ์กับเรือ การเคลื่อนที่ของเรือที่สัมพันธ์กับน้ำ (หรือโลก) จึงไม่ถือว่าสม่ำเสมอ แต่ขึ้นอยู่กับอัตราส่วน
อาจเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลของระบบสัมพันธ์กับน้ำเป็นค่าคงที่:
- เป็นไปตามนั้นถึงเวลาที่ต้องการ

, (1)

โดยที่ C 1 และ C 2 เป็นตำแหน่งเริ่มต้นและตำแหน่งสุดท้ายของจุดศูนย์กลางความเฉื่อยของระบบ

v 0 คือความเร็วของจุดศูนย์กลางความเฉื่อย

จากสูตร (1) พบว่าคำตอบไม่ได้ขึ้นอยู่กับลักษณะการเคลื่อนไหวของบุคคล สมมติว่ามันมีความสม่ำเสมอตลอดระยะเวลาทั้งหมด จากนั้นการเคลื่อนที่ของเรือก็จะสม่ำเสมอ อนุญาต พี 0 และ พีคือแรงกระตุ้นของระบบในช่วงเริ่มต้นและช่วงกลางบางช่วงตามลำดับ จากนั้นตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม จะได้ว่า
, เช่น.

, (2)

ที่ไหน – ความเร็วของเรือ

– ความเร็วของมนุษย์ (ความเร็วทั้งหมดระบุไว้ในหน้าต่างอ้างอิงที่เกี่ยวข้องกับโลก)

เราได้แก้สมการ (2) สำหรับ t แล้ว

.

การแสดงปริมาณที่รวมอยู่ในสูตรในหน่วย SI และแทนที่ค่าตัวเลขเราได้รับ:

กับ.

คำตอบ:ที=4.4 วิ

6. บนผืนน้ำนิ่งสงบ มีเรือลำหนึ่งยาว L และมวล M ตั้งฉากกับฝั่ง โดยหันหัวเรือไปทางเรือ ชายมวล m ยืนอยู่ที่ท้ายเรือ เรือ S จะเคลื่อนออกจากฝั่งในระยะเท่าใดหากบุคคลเคลื่อนตัวจากท้ายเรือไปที่หัวเรือ? ละเลยแรงเสียดทานกับน้ำและอากาศ

สารละลาย- เพื่อให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น เราจะถือว่าบุคคลหนึ่งเดินไปตามเรือด้วยความเร็วคงที่ ในกรณีนี้เรือจะเคลื่อนที่เท่าๆ กันด้วย ดังนั้น เส้นทางที่เรือเดินทางสัมพันธ์กับฝั่งจึงถูกกำหนดโดยสูตร:

,

โดยที่ v คือความเร็วของเรือสัมพันธ์กับฝั่ง

t คือเวลาที่เรือเคลื่อนที่

เราจะหาความเร็ว v ของเรือโดยใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม (ปริมาณการเคลื่อนที่) เนื่องจากตามเงื่อนไขของปัญหาระบบ คนเรือโดดเดี่ยวและในช่วงเวลาแรกที่สัมพันธ์กับชายฝั่งก็หยุดนิ่งจากนั้นตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมโดยละเว้นเครื่องหมายลบเราได้รับ:

,

โดยที่ u คือความเร็วของคนเทียบกับฝั่ง

.

เวลา t การเคลื่อนไหวของเรือเท่ากับเวลาการเคลื่อนที่ของคนบนเรือนั่นคือ

,

โดยที่ S คือเส้นทางที่บุคคลหนึ่งเดินทางโดยสัมพันธ์กับฝั่ง

เราพบการแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ v และ t

.

.

คำตอบ:
.

7. เมื่อยิงขึ้นในแนวตั้งจากปืนพกสปริง กระสุนหนัก 20 กรัม จะลอยขึ้นสูง 5 เมตร จงหาค่าความแข็ง k ของสปริงปืนพก หากถูกบีบอัด 10 ซม.

สารละลาย.ในการแก้ปัญหาเราจะใช้กฎการอนุรักษ์พลังงานในกลศาสตร์ แต่ก่อนอื่น เรามาดูการเปลี่ยนแปลงพลังงานที่เกี่ยวข้องกับช็อตนี้กันก่อน

เมื่อโหลดปืนสปริงจะถูกบีบอัด ในกรณีนี้จะมีการทำงาน A 1 ซึ่งเป็นผลมาจากการที่สปริงได้รับพลังงานศักย์ W p1 เมื่อยิงออกไป พลังงานศักย์ของสปริงจะเปลี่ยนเป็นพลังงานจลน์ W  2 ของกระสุน จากนั้นเมื่อสปริงสูงขึ้นถึงความสูง h ก็จะกลายเป็นพลังงานศักย์ W p 2 ของกระสุน

หากเราละเลยการสูญเสียพลังงานในห่วงโซ่การเปลี่ยนแปลงพลังงานนี้ เราก็จะสามารถเขียนตามกฎการอนุรักษ์พลังงานได้

มาแสดงผลงาน A 1 กัน บังคับ เอฟ 1 การบีบอัดสปริงเป็นตัวแปร ในขณะใดขณะหนึ่ง มันจะอยู่ในทิศทางตรงกันข้ามกับแรงยืดหยุ่น เอฟและมีตัวเลขเท่ากับมัน แรงยืดหยุ่นที่เกิดขึ้นในสปริงระหว่างการเปลี่ยนรูปถูกกำหนดโดยกฎของฮุค:

โดยที่ x คือการเปลี่ยนรูปสัมบูรณ์ของสปริง

เราคำนวณงานของแรงแปรผันเป็นผลรวมของงานเบื้องต้น งานเบื้องต้นเมื่อบีบอัดสปริงด้วย dx จะแสดงเป็นสูตร

ดีเอ 1 =F 1 dx,

เราได้รับอินทิเกรตในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง s

.

พลังงานศักย์ของกระสุนที่ความสูง h ถูกกำหนดโดยสูตร

โดยที่ g คือความเร่งของการตกอย่างอิสระ

ดังนั้นเราจึงมี

.

.

ตอนนี้เราสามารถทดแทนค่าตัวเลขและทำการคำนวณได้

นิวตัน/ม.=0.2 กิโลนิวตัน/ม.

คำตอบ: k=0.2 กิโลนิวตัน/เมตร

8- ลูกบอลมวล m 1 เคลื่อนที่ในแนวนอนด้วยความเร็วคงที่ v 1 ชนกับลูกบอลมวล m 2 ที่อยู่นิ่งกับที่ ลูกบอลมีความยืดหยุ่นสูง แรงกระแทกตรงจุดศูนย์กลาง (รูปที่ 2.6) พลังงานจลน์ของลูกบอลลูกแรกถ่ายโอนไปยังลูกบอลลูกที่สองเป็นเศษส่วนเท่าใด

สารละลาย- เศษส่วนของพลังงานที่ถ่ายโอนโดยลูกบอลลูกแรกไปยังลูกบอลลูกที่สองจะแสดงตามความสัมพันธ์

,

โดยที่ W k1 คือพลังงานจลน์ของลูกบอลลูกแรกก่อนกระแทก

v 1 – ความเร็วของลูกบอลลูกแรกก่อนกระทบ;

W k2 – พลังงานจลน์ของลูกบอลลูกที่สองหลังการกระแทก

คุณ 2 – ความเร็วของลูกบอลลูกที่สองหลังจากการกระแทก

อย่างที่คุณเห็น เพื่อกำหนด  คุณต้องหา u 2 เมื่อวัตถุที่ยืดหยุ่นอย่างยิ่งชนกัน กฎการอนุรักษ์สองข้อจะสอดคล้องกัน: กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมและกฎการอนุรักษ์พลังงานในกลศาสตร์ เมื่อใช้กฎหมายเหล่านี้ เราจะพบคุณ 2

ตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม โดยคำนึงถึงว่าลูกบอลลูกที่สองอยู่นิ่งก่อนเกิดการกระแทก เรามี:

ตามกฎการอนุรักษ์พลังงาน

.

เราพบว่าการแก้สมการเหล่านี้ร่วมกัน

.

แทนที่นิพจน์นี้เป็นสูตรในการกำหนดเศษส่วนของพลังงานโดยลดลง v 1 และ m 1 เราจะได้

.

ดังที่เห็นได้จากความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้น ส่วนแบ่งของพลังงานที่ถูกถ่ายโอนจะขึ้นอยู่กับมวลของลูกบอลที่ชนกันเท่านั้น สัดส่วนของพลังงานที่ถ่ายโอนจะไม่เปลี่ยนแปลงหากลูกบอลถูกสลับ

คำตอบ:
.

9. กล่องที่มีมวล m 1 = 20 กก. เลื่อนไปตามถาดที่เรียบลื่น  = ยาว 2 ม. ขึ้นไปบนรถเข็นที่อยู่กับที่ซึ่งมีทรายและติดอยู่ในนั้น รถเข็นที่มีทรายน้ำหนัก ม. 2 =80 กก. สามารถเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระ (โดยไม่มีการเสียดสี) ไปตามรางในแนวนอน (รูปที่ 2.7) กำหนดความเร็ว ยูรถเข็นพร้อมกล่อง ถ้าถาดเอียงเป็นมุม =30 o กับราง

สารละลาย- รถเข็นและกล่องถือได้ว่าเป็นระบบของวัตถุสองชิ้นที่มีปฏิสัมพันธ์อย่างไม่ยืดหยุ่น แต่ระบบนี้ไม่ได้ปิด เนื่องจากผลรวมของแรงภายนอกที่กระทำต่อระบบคือแรงโน้มถ่วงสองแรง m 1 กและ ม.2 กและแรงปฏิกิริยา เอ็น 2 ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะนำกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมไปใช้กับระบบกล่องรถเข็น

แต่เนื่องจากการฉายภาพของผลรวมของแรงเหล่านี้ไปยังทิศทางของแกน x ซึ่งตรงกับทิศทางของรางมีค่าเท่ากับศูนย์ องค์ประกอบของโมเมนตัมของระบบในทิศทางนี้จึงถือว่าคงที่ กล่าวคือ

,

โดยที่ p 1x และ p 2x คือเส้นโครงของโมเมนตัมของกล่องและรถเข็นที่มีทรายในขณะที่กล่องตกลงไปบนรถเข็น

p 1x  และ p 2x  เป็นค่าเดียวกันหลังจากที่กล่องตกลง

ในสมการที่เขียนไว้ข้างต้น เราแสดงแรงกระตุ้นของวัตถุในแง่ของมวลและความเร็ว โดยคำนึงถึงว่า p 2x = 0 (รถเข็นเอียงก่อนที่จะมีปฏิสัมพันธ์กับกล่อง) และหลังจากการโต้ตอบกับวัตถุทั้งสอง ของระบบเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่าเดิม u:

โดยที่ v 1 คือ ความเร็วของกล่องก่อนตกลงไปบนรถเข็น

v 1x =v 1 cos – เส้นโครงของความเร็วนี้ไปบนแกน x

จากที่นี่เราแสดงความเร็วที่ต้องการ:

.

ความเร็ว v 1 ของกล่องก่อนตกจะถูกกำหนดจากกฎการอนุรักษ์พลังงาน

,

โดยที่ h=sin

หลังจากลดลง m 1 เราพบ

.

เราได้การแทนที่นิพจน์ที่พบสำหรับ v 1 ลงในสูตรสำหรับความเร็ว u

.

เมื่อตรวจสอบมิติของผลลัพธ์ที่ได้รับก่อนหน้านี้เราจะแทนที่ค่าตัวเลขและทำการคำนวณ:

คำตอบ: u=0.77 เมตร/วินาที

10. เมื่อนิวตรอนกระทบต่อนิวเคลียสของคาร์บอนอย่างยืดหยุ่น มันจะเคลื่อนที่หลังจากการชนในทิศทางตั้งฉากกับนิวเคลียสเริ่มต้น สมมติว่ามวล M ของนิวเคลียสคาร์บอนมากกว่ามวล m ของนิวตรอน n=12 เท่า ให้พิจารณาว่าพลังงานนิวตรอนลดลงกี่ครั้งอันเป็นผลมาจากการชน

สารละลาย.ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้: โวลต์– ความเร็วนิวตรอนก่อนชน โวลต์" – ความเร็วนิวตรอนหลังจากการชน วี– ความเร็วของนิวเคลียสคาร์บอนหลังการกระแทก (ก่อนการกระแทกจะเป็นศูนย์)

ผลจากการชนแบบยืดหยุ่น โมเมนตัมและพลังงานที่นิวตรอนครอบครองก่อนการกระแทกจะถูกกระจายระหว่างอนุภาคทั้งสอง ในกรณีนี้ ตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงาน ตามลำดับ เรามี:

, (1)

. (2)

ตามเงื่อนไขของปัญหา จำเป็นต้องค้นหาความสัมพันธ์

.

ในการคำนวณ จำเป็นต้องย้ายจากรูปแบบการเขียนสมการเวกเตอร์ (1) ไปเป็นรูปแบบสเกลาร์ ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้วิธีการฉายภาพซึ่งใช้มาหลายครั้ง อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ คุณสามารถทำได้ง่ายกว่านี้ ให้เราพรรณนาพัลส์ m ในรูปที่ 2.8 โวลต์" , ม วีและผลรวมเวกเตอร์ m โวลต์โดยคำนึงถึงมุมระหว่างเวกเตอร์ m โวลต์และม โวลต์" เท่ากับ π/2 จากสามเหลี่ยมโมเมนตัมที่เรามี

การหารสมการ (2) เทอมด้วย m และ (3) ด้วย m 2 เทอมต่อเทอมและคำนึงถึงเงื่อนไข M/m=n เราได้:

, (4)

. (5)

หากต้องการแยกค่า V ออกจากระบบ เราจะหารเทอมต่อเทอม (5) ด้วย (4):

,

และตัวเศษและส่วนของอัตราส่วนผลลัพธ์อยู่ที่ (v ") 2 จากนั้นเราจะพบ

,

.

คำตอบ: α=1.2

11. ค้อนมวล 5.00 กก. เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v=4.00 m/s กระแทกผลิตภัณฑ์เหล็กที่วางอยู่บนทั่งตีเหล็ก มวลของทั่งรวมกับผลิตภัณฑ์คือ M=95 กก. สมมติว่าการกระแทกไม่ยืดหยุ่นอย่างยิ่ง ให้พิจารณาพลังงานที่ใช้ในการตี (เปลี่ยนรูป) ผลิตภัณฑ์ ประสิทธิภาพของกระบวนการตีขึ้นรูปภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้เป็นอย่างไร?

สารละลาย.พูดอย่างเคร่งครัดระบบ ค้อน-ผลิตภัณฑ์-ทั่งตีเหล็กไม่ได้ปิด มันถูกกระทำภายนอกโดยแรงโน้มถ่วง (M+m)g และแรงกด N ของส่วนรองรับที่ทั่งตีตั้งอยู่ ในระหว่างการตีด้วยค้อน แรงที่สองหนึ่งระดับหรืออีกระดับหนึ่งที่กำหนดโดยคุณสมบัติความยืดหยุ่นของส่วนรองรับจะเกินแรงแรกและแรงผลลัพธ์จะถูกนำไปใช้กับระบบภายใต้การพิจารณาจากภายนอก

อย่างไรก็ตาม แรงกระแทกระหว่างวัตถุต่างๆ มีขนาดใหญ่มาก เห็นได้ชัดว่า เงื่อนไขของปัญหาสันนิษฐานว่าเมื่อเปรียบเทียบกับแรงเหล่านี้ ค่าของ R สามารถละเลยได้ และด้วยเหตุนี้ ระบบจึงถือว่าปิดได้

ตามกฎการอนุรักษ์พลังงานอาจเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าพลังงานที่ใช้ในการเปลี่ยนรูปของผลิตภัณฑ์นั้นมีค่าเท่ากับความแตกต่างในค่าของพลังงานกลก่อนและหลังการกระแทก เนื่องจากในระหว่างการกระแทกพลังงานจลน์ของร่างกายเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลง (เราละเลยการเคลื่อนไหวในแนวตั้งที่ไม่มีนัยสำคัญของร่างกายในระหว่างการกระแทก) ดังนั้นสำหรับพลังงานการเปลี่ยนรูปที่เราได้รับ

, (1)

โดยที่ v " คือความเร็วรวมของส่วนต่างๆ ของระบบหลังจากการกระแทกแบบไม่ยืดหยุ่น ซึ่งสามารถกำหนดได้ตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม:

. (2)

.

แทนค่า v " ลงในสูตร (1) เราจะได้:

. (3)

เนื่องจากพลังงานที่ใช้ในการตีขึ้นรูปผลิตภัณฑ์มีประโยชน์ตามความหมายของงาน ประสิทธิภาพของกระบวนการตีขึ้นรูป

. (4)

แทนที่ค่าตัวเลขของปริมาณที่กำหนดเป็นสูตร (3) และ (4) และทำการคำนวณเราได้รับ:

เจ;

.

คำตอบ:
เจ;
.

ความคิดเห็น จากสูตร (4) เห็นได้ชัดว่ายิ่งมวลของทั่งตีเหล็กมากขึ้นเมื่อเปรียบเทียบกับมวลของค้อน ประสิทธิภาพของกระบวนการตีขึ้นรูปก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น ที่ (ม/ ม)  0 η  1.

12. มู่เล่ซึ่งทำในรูปแบบของดิสก์ที่มีรัศมี 0.4 ม. และมีมวล 1 กก. หมุนด้วยความเร็วการหมุน 480 รอบต่อนาทีแล้วปล่อยทิ้งไว้ในอุปกรณ์ของตัวเอง ภายใต้อิทธิพลของแรงเสียดทานระหว่างเพลาและแบริ่ง ทำให้หมุนได้ 240 รอบจนกระทั่งหยุดสนิท กำหนดโมเมนต์แรงเสียดทานระหว่างเพลาและแบริ่ง

สารละลาย- เนื่องจากคำชี้แจงปัญหาให้จำนวนรอบการหมุนที่ทำโดยมู่เล่จนกระทั่งหยุดสนิท เราจะใช้สมการที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างงานกับการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์สำหรับการเคลื่อนที่แบบหมุน:

โดยที่ A=M – งานของแรงเสียดทาน

– การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์

 – มุมการหมุน;

– โมเมนต์ความเฉื่อยของมู่เล่สัมพันธ์กับแกนการหมุนที่กำหนด

 1 และ  2 – ความเร็วเชิงมุมเริ่มต้นและสุดท้ายของมู่เล่ ในขณะที่  2 =0

.

มีมิติของผลลัพธ์ที่ได้ชัดเจน ให้เราแทนที่ค่าตัวเลขของปริมาณอินพุตเป็นนิพจน์ที่ได้รับสำหรับ M 2 และทำการคำนวณ:

นิวตันเมตร

เข้าสู่ระบบ " ลบ" หมายความว่าแรงเสียดทานนั้นกระทำต่อมู่เล่จริงๆ

คำตอบ: ม 2 =-6.7 นิวตันเมตร

13. แท่นในรูปของจานแข็งที่มีรัศมี R=1.5 ม. และมวล ม. 1 =180 กก. หมุนด้วยความเฉื่อยรอบแกนตั้งที่มีความถี่ n=10 นาที -1 (รูปที่ 2.9) คนที่มีน้ำหนัก m 2 =60 กก. ยืนอยู่ตรงกลางแท่น ถ้าเดินไปที่ขอบชานชาลา คนๆ หนึ่งจะมีความเร็วเชิงเส้นสัมพันธ์กับพื้นห้องเป็นเท่าใด

สารละลาย- แพลตฟอร์มหมุนด้วยความเฉื่อย ดังนั้น โมเมนต์ของแรงภายนอกที่สัมพันธ์กับแกนหมุน z ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกันกับแกนเรขาคณิตของแท่นจะเท่ากับศูนย์ ภายใต้เงื่อนไขนี้ โมเมนตัมเชิงมุม L z ของระบบแพลตฟอร์มบุคคลจะคงที่:

L z =ฉัน z =const,

โดยที่ I z คือโมเมนต์ความเฉื่อยของแท่นกับบุคคลที่สัมพันธ์กับแกน z

 – ความเร็วเชิงมุมของแท่น

โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่รวมอยู่ในระบบ ดังนั้น

โดยที่ I 1 คือโมเมนต์ความเฉื่อยของแท่น

ฉัน 2 – โมเมนต์ความเฉื่อยของบุคคล

โดยคำนึงถึงสิ่งนี้ที่เรามี

(ผม 1 +ผม 2)=const

(ฉัน 1 +ฉัน 2)=(ฉัน 1 +ฉัน 2 ),

โดยที่ค่าที่ไม่ได้กำหนดไว้ของปริมาณหมายถึงสถานะเริ่มต้นของระบบ และค่าที่ฟักออกมาหมายถึงสถานะสุดท้าย

โมเมนต์ความเฉื่อยของแพลตฟอร์ม (โซลิดดิสก์) ที่สัมพันธ์กับแกน z ในระหว่างการเปลี่ยนแปลงของบุคคลจะไม่เปลี่ยนแปลง:

.

โมเมนต์ความเฉื่อยของบุคคลนั้นจะเปลี่ยนไป หากบุคคลหนึ่งถูกพิจารณาว่าเป็นจุดวัตถุ โมเมนต์ความเฉื่อย I z ของเขาในตำแหน่งเริ่มต้น (ตรงกลางแท่น) ก็ถือว่าเท่ากับศูนย์ ในตำแหน่งสุดท้าย (บนขอบของแท่น) ช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยของบุคคล

.

ขอให้เราแทนนิพจน์ที่พบสำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยลงในสูตรของกฎการอนุรักษ์ ความเร็วเชิงมุมเริ่มต้นของการหมุนของแท่นกับบุคคล ซึ่งแสดงผ่านความถี่การหมุน n (=2n) และความเร็วเชิงมุมสุดท้าย โดยแสดงผ่านความเร็วเชิงเส้น v ของบุคคลที่สัมพันธ์กับพื้น (=v/R ) เราจะได้:

.

หลังจากการแปลงอย่างง่าย เราจะพบความเร็วที่เราสนใจ:

.

เมื่อตรวจสอบมิติของผลลัพธ์ที่ได้รับแล้ว เราจะแทนที่ค่าตัวเลขของปริมาณทางกายภาพในระบบ SI และทำการคำนวณ:

คำตอบ:โวลต์ = 0.96 ม./วินาที

14. แท่นวงกลมที่มีรัศมี R=1.00 m ซึ่งโมเมนต์ความเฉื่อย I=130 kgm 2 หมุนด้วยความเฉื่อยรอบแกนตั้ง ทำให้ n 1 =1.00 r/s บุคคลยืนอยู่บนขอบแท่นซึ่งมีมวล m = 70 กก. (รูปที่ 2.10) แพลตฟอร์มจะทำการปฏิวัติกี่ครั้งต่อวินาทีหากบุคคลเคลื่อนไปที่ศูนย์กลาง โมเมนต์ความเฉื่อยของบุคคลคำนวณตามจุดวัสดุ

สารละลาย.บุคคลหนึ่งจะเคลื่อนที่ไปรอบๆ แพลตฟอร์ม เราไม่รู้อะไรเกี่ยวกับธรรมชาติของการโต้ตอบนี้ ดังนั้นจึงไม่สามารถใช้สมการพื้นฐานสำหรับพลวัตของการเคลื่อนที่แบบหมุนกับแท่นได้ ในปัญหานี้ไม่มีพื้นฐานสำหรับการประยุกต์ใช้กฎการอนุรักษ์พลังงานเนื่องจากเป็นไปได้ว่าเมื่อเคลื่อนที่ไปตามแท่นหมุนบุคคลจะทำงานเปลี่ยนพลังงานกลของระบบหมุน บุคคลแพลตฟอร์ม.

ตามเงื่อนไขของปัญหา แพลตฟอร์มกับบุคคลจะหมุนด้วยความเฉื่อย ซึ่งหมายความว่าแรงบิดผลลัพธ์ของแรงภายนอกทั้งหมดที่ใช้กับระบบที่กำลังหมุนจะเป็นศูนย์ ดังนั้นสำหรับระบบ บุคคลแพลตฟอร์มเป็นไปตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมซึ่งเราเขียนดังนี้:

. (1)

โมเมนตัมเชิงมุมเริ่มต้นของระบบ L 1 (บุคคลที่ยืนอยู่บนขอบของแท่น) และโมเมนตัมเชิงมุมสุดท้ายของแท่น L 2 (บุคคลที่ยืนอยู่ตรงกลางแท่น) มีค่าเท่ากันตามลำดับ:

ที่ไหน
– โมเมนต์ความเฉื่อยของมนุษย์

– โมเมนต์ความเฉื่อยเริ่มต้นของระบบ

I – โมเมนต์ความเฉื่อยของแพลตฟอร์ม

ω 1 – ความเร็วเชิงมุมเริ่มต้นของระบบ

n 1 – จำนวนรอบเริ่มต้นของระบบ

I 2 =I – โมเมนต์สุดท้ายของความเฉื่อยของระบบ

ω 2 – ความเร็วเชิงมุมสุดท้ายของระบบ

n 2 – จำนวนการปฏิวัติระบบครั้งสุดท้าย

การแก้ระบบสมการ (1)–(3) เราจะได้:

.

เมื่อตรวจสอบมิติของผลลัพธ์ที่ได้รับแล้วแทนที่ค่าตัวเลขของปริมาณทางกายภาพในระบบ SI เราจะทำการคำนวณต่อไปนี้:

r/s

คำตอบ:n 2 =1.54 รอบ/วินาที

15. มู่เล่ที่มีรูปร่างเหมือนจานรัศมี R และมวล M สามารถหมุนรอบแกนนอนได้ เชือกผูกติดอยู่กับพื้นผิวทรงกระบอก โดยที่ปลายอีกด้านหนึ่งมีมวล m แขวนอยู่ น้ำหนักถูกยกขึ้นแล้วปล่อย เมื่อตกลงมาจากที่สูงอย่างอิสระ h โหลดจึงดึงสายไฟและทำให้มู่เล่หมุน (รูปที่ 2.11) มู่เล่ได้รับความเร็วเชิงมุม ω ในกรณีนี้?

สารละลาย.เมื่อตุ้มน้ำหนักที่ตกลงมาดึงบนเชือก ปฏิกิริยาจะเกิดขึ้นผ่านเชือกระหว่างตุ้มน้ำหนักกับมู่เล่ ลักษณะของปฏิกิริยาขึ้นอยู่กับคุณสมบัติความยืดหยุ่นของลำตัว (ส่วนใหญ่เป็นสาย) จากการทำงานร่วมกันนี้ ความเร็วของจุดบนพื้นผิวทรงกระบอกของมู่เล่จะเพิ่มขึ้น และความเร็วที่น้ำหนักลดลงจะลดลง สายไฟถูกยืดออกจนความเร็วเท่าเดิม ปฏิกิริยาระหว่างโหลดกับมู่เล่ในระยะสั้นดังกล่าวถือได้ว่าเป็นการกระแทกที่ไม่ยืดหยุ่น ในระหว่างที่มีการกระแทกอย่างไม่ยืดหยุ่น กฎการอนุรักษ์พลังงานกลไม่เป็นที่พอใจ ดังนั้นกฎหมายฉบับนี้จึงใช้ไม่ได้ในการแก้ไขปัญหานี้ อย่างไรก็ตามเพื่อให้ระบบ มู่เล่น้ำหนักสามารถใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมได้

ระบบที่อยู่ระหว่างการพิจารณาจะถูกกระทำโดยแรงภายนอกสามประการ ได้แก่ แรงโน้มถ่วงของมู่เล่ ปฏิกิริยาของแรงรองรับ และแรงโน้มถ่วงของโหลด เนื่องจากแรงสองแรงแรกตั้งฉากกับแกนของจาน โมเมนต์ของแรงทั้งสองรอบแกนนี้จึงเป็นศูนย์ ผลกระทบของโมเมนต์แรงโน้มถ่วงของโหลดเท่ากับ mgR ในระหว่างการกระแทกสามารถถูกละเลยเมื่อเปรียบเทียบกับโมเมนต์ของแรงปฏิสัมพันธ์ระหว่างโหลดและมู่เล่ระหว่างการกระแทก ดังนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าโมเมนต์ผลลัพธ์ของแรงภายนอกทั้งหมดสัมพันธ์กับแกนมู่เล่ระหว่างการกระแทกจะเท่ากับศูนย์ จากนั้นตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม จะได้ว่า

, (1)

โดยที่ L 1 และ L 2 คือโมเมนตัมเชิงมุมของระบบ โหลด - มู่เล่ที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของการระเบิดตามลำดับ

เนื่องจากดิสก์ยังคงนิ่งอยู่ที่จุดเริ่มต้นของการกระแทก ค่า L 1 แสดงถึงโมเมนตัมเชิงมุมของภาระที่ตกลงมาโดยสัมพันธ์กับแกนการหมุนของมู่เล่ เราสามารถเขียนโหลดเป็นจุดวัสดุได้

, (2)

โดยที่ v 1 คือความเร็วของน้ำหนัก ซึ่งสามารถพบได้โดยใช้สูตรที่รู้จักกันดีสำหรับความเร็วในการตกอย่างอิสระ:

. (3)

ค่าของ L 2 เท่ากับโมเมนตัมเชิงมุมรวมของน้ำหนักและมู่เล่หมุนเมื่อความเร็วของการโหลดและจุดของพื้นผิวทรงกระบอกของดิสก์จะเท่ากัน:

, (4)

โดยที่ปริมาณ v 2 และ ω สัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์

. (5)

การแทนค่าของ L 1 และ L 2 ลงในสมการ (1) ต้องแก้ไขให้ ω โดยคำนึงถึงสูตรบัญชี (3), (5) และ
, เราได้รับ

.

คำตอบ:
.

16. ลูกตุ้มในรูปแบบของลูกบอลที่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งติดอยู่กับแท่งบาง ๆ อย่างแน่นหนาซึ่งมีความยาวเท่ากับรัศมีของลูกบอลสามารถเคลื่อนที่แบบสั่นรอบแกนนอนที่ผ่านปลายแท่งได้ (รูปที่. 2.12) กระสุนมวล m = 10.0 g บินในแนวนอนด้วยความเร็ว v = 800 m/s กระแทกลูกบอลจนติดผิวดินจนติดอยู่ในลูกบอล มวลของลูกบอลคือ M=10.0 กก. รัศมีของมัน R=15 ซม. ลูกตุ้มจะเบี่ยงเบนไปที่มุมใดอันเป็นผลมาจากกระสุนกระทบ ละเลยมวลของไม้เรียว

สารละลาย.ดังที่เห็นได้จากรูป มุม α ที่ต้องการสัมพันธ์กับความสูง h ของการเพิ่มขึ้นของจุดศูนย์กลางของลูกบอล:

. (1)

เนื่องจากค่าของ h เป็นตัวกำหนดพลังงานศักย์ที่ลูกบอลได้รับเนื่องจากการกระแทกของกระสุน เนื่องจากผลของกระสุนกระทบลูกบอล ความเร็วของวัตถุทั้งสองจะเท่ากัน การกระแทกจึงถือว่าไม่ยืดหยุ่น ด้วยเหตุนี้ พลังงานกลจึงไม่ถูกอนุรักษ์ไว้ในระหว่างการกระแทก (บางส่วนเปลี่ยนเป็นพลังงานภายใน) อย่างไรก็ตามหลังจากการกระแทกพลังงานกลของระบบเคลื่อนที่ ลูกตุ้มกระสุนจะถูกเก็บรักษาไว้เนื่องจากตอนนี้มีเพียงกองกำลังที่มีศักยภาพเท่านั้นที่กระทำการนั้น ดังนั้นเมื่อลูกบอลถูกยกขึ้นพร้อมกับกระสุน พลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่แบบหมุนของระบบจะถูกแปลงเป็นพลังงานศักย์ของวัตถุที่ถูกยกขึ้น ตามกฎการอนุรักษ์พลังงาน

, (2)

โดยที่ I คือโมเมนต์ความเฉื่อยของลูกตุ้มพร้อมกับกระสุนที่ติดอยู่ในนั้น

h " – ความสูงของกระสุน

ตามเงื่อนไขของปัญหา M>>m ดังนั้น เมื่อละเลยมวลของกระสุนไปเปรียบเทียบกับมวลของลูกบอลแล้วค่า
ในสมการ (2) สามารถละเลยได้

สำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยของลูกตุ้มตามทฤษฎีบทของสไตเนอร์ เราจะได้:

ในการหาความเร็วเชิงมุม ω เราใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม การใช้งานนั้นขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าระหว่างที่มีผลกระทบต่อระบบ ลูกตุ้มกระสุนปฏิกิริยาแรงโน้มถ่วงและแรงสนับสนุนกระทำจากภายนอก แรงที่สองเคลื่อนผ่านตั้งฉากกับแกนของลูกตุ้ม ดังนั้นโมเมนต์ของมันคือศูนย์ เมื่อพิจารณาว่าในระหว่างการกระแทก ลูกตุ้มไม่มีเวลาที่จะเบี่ยงเบนไปจากแนวตั้งอย่างเห็นได้ชัด และเมื่อคำนึงถึงเงื่อนไข M>>m เราสามารถสรุปได้ว่าแรงแรกในระหว่างการกระแทกนั้นผ่านแนวตั้งฉากกับแกนการหมุนด้วย ดังนั้นโมเมนต์ของมันจึงเป็นศูนย์เช่นกัน

ตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมของระบบระหว่างการชน จะต้องเป็นไปตามความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

, (4)

ที่ไหน , และ คือช่วงเวลาแห่งแรงกระตุ้นของระบบตามลำดับที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของกระบวนการกระแทก

ขนาด คือโมเมนตัมเชิงมุมของกระสุนที่กำลังบินสัมพันธ์กับแกนการหมุนของลูกตุ้ม (ตัวลูกตุ้มเองยังคงนิ่งอยู่) ตามคำจำกัดความที่เรามี

. (5)

โมเมนตัม ของลูกตุ้มที่มีกระสุนติดอยู่ตามนิยามมีค่าเท่ากับ

. (6)

การแก้ระบบสมการ (4)–(6) เราได้รับความเร็วเชิงมุม

. (7)

เมื่อแยกสิ่งที่ไม่รู้จัก I, ω และ h ออกจากระบบ (1)–(3), (7) เราพบ

.

เราได้รับค่าตัวเลขของปริมาณที่แสดงในหน่วย SI ลงในสูตรนี้และทำการคำนวณ:

-

α=26 0 . 0 .

คำตอบ: α=26

สารละลาย 17. ด้ายที่บางและยืดหยุ่นถูกโยนผ่านบล็อกที่ทำในรูปแบบของดิสก์และมีมวล m = 80 g จนถึงปลายซึ่งน้ำหนักที่มีมวล m 1 = 100 g และ m 2 = 200 g ถูกระงับ ( มะเดื่อ 2.13) โหลดจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่งเท่าใดหากปล่อยให้อยู่กับอุปกรณ์ของตัวเอง ละเว้นแรงเสียดทาน

- ให้เรานำไปใช้กับการแก้ปัญหากฎการอนุรักษ์พลังงานซึ่งหากไม่มีแรงเสียดทานพลังงานทั้งหมดของระบบแยกจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ในกรณีนี้ พลังงานสามารถเปลี่ยนจากศักยภาพไปเป็นจลน์เท่านั้น และในทางกลับกัน ขอให้เราจำไว้ว่าในกลศาสตร์ พลังงานทั้งหมดของร่างกายคือผลรวมของศักยภาพและพลังงานจลน์ของมัน

สมมติว่าในช่วงเวลาเริ่มต้นของการเคลื่อนที่ พลังงานศักย์ของโหลดแรกเท่ากับ W p1 และของวินาทีคือ W p2 หลังจากนั้นครู่หนึ่ง ความสูงของการโหลดครั้งแรกเพิ่มขึ้นโดย h ความสูงของการโหลดครั้งที่สองลดลงโดย h พลังงานศักย์ของโหลดครั้งแรกมีค่าเท่ากัน

W 1 =W p1 + ม. 1 gh,

ก 2 =ว p2 – ม. 2 กฮ. กซึ่งได้มาในช่วงเวลานี้ ความเร็ว v และพลังงานจลน์เท่ากับ ตามลำดับ

และ
.

ในทำนองเดียวกัน ดิสก์ที่หมุนด้วยความเร่งสม่ำเสมอ ได้รับความเร็วเชิงมุมและพลังงานจลน์ที่สอดคล้องกัน

,

ที่ไหน
– โมเมนต์ความเฉื่อยของดิสก์

-ความเร็วเชิงมุม.

จากนั้นเราจะได้พลังงานจลน์ของดิสก์หลังจากการแปลงที่เหมาะสม

.

ขอแนะนำให้ใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมในการแก้ปัญหาที่จำเป็นในการกำหนดความเร็ว แทนที่จะใช้แรงหรือความเร่ง แน่นอนว่าปัญหาดังกล่าวสามารถแก้ไขได้โดยใช้กฎของนิวตัน แต่การใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมจะทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น

ก่อนที่จะแก้ไขปัญหาโดยใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม จำเป็นต้องค้นหาว่าในกรณีนี้สามารถนำมาใช้ได้หรือไม่ กฎนี้สามารถนำไปใช้กับระบบปิดหรือในกรณีที่ผลรวมของเส้นโครงของแรงในทิศทางใดๆ เท่ากับศูนย์ และเมื่อสามารถละเลยแรงกระตุ้นจากภายนอกได้

ในการแก้ปัญหา คุณต้องเขียนกฎหมายในรูปแบบเวกเตอร์ (5.3.7)

หลังจากนั้นสมการเวกเตอร์จะถูกเขียนเป็นการฉายภาพบนแกนของระบบพิกัดที่เลือก (1)

การเลือกทิศทางของแกนนั้นขึ้นอยู่กับความสะดวกในการแก้ไขปัญหา ตัวอย่างเช่น หากวัตถุทั้งหมดเคลื่อนที่ไปตามเส้นตรงเส้นเดียว แนะนำให้กำหนดแกนพิกัดไปตามเส้นตรงนี้

เมื่อแก้ไขปัญหาบางอย่างจำเป็นต้องใช้สมการจลนศาสตร์เพิ่มเติม

ปัญหาบางอย่างแก้ไขได้โดยใช้สมการโมเมนตัมในรูปแบบ (5.3.5)

ปัญหาที่ 1

ลูกเหล็กมวล 0.05 กก. หล่นจากความสูง 5 เมตร ลงบนแผ่นเหล็ก หลังจากการชน ลูกบอลจะกระดอนออกจากจานด้วยความเร็วสัมบูรณ์เท่ากัน ค้นหาแรงที่กระทำต่อแผ่นเมื่อกระแทก โดยถือว่าแรงคงที่ เวลาในการชนคือ 0.01 วินาที

สารละลาย. เมื่อกระแทก ลูกบอลและแผ่นเปลือกโลกจะกระทำต่อกันด้วยแรงที่มีขนาดเท่ากัน แต่มีทิศทางตรงกันข้าม เมื่อพิจารณาแรงที่กระทำต่อลูกบอลจากด้านข้างของจานแล้ว เราจะหาแรงที่ลูกบอลกระทำบนจานในช่วงเวลา ∆t ในระหว่างที่เกิดการชนกัน

ในระหว่างการชน แรงสองแรงกระทำต่อลูกบอล: แรงโน้มถ่วง m และแรงจากแผ่นเปลือกโลก (รูปที่ 5.13)

ข้าว. 5.13

ตามสมการ (5.2.3)

ให้เราแสดงด้วย 1 ความเร็วของลูกบอลทันทีก่อนชนจาน และ 2 ความเร็วหลังจากการกระแทก จากนั้นการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมของลูกบอล Δ = m 2 - m 1 ดังนั้น

ในการฉายภาพลงบนแกน Y สมการนี้จะถูกเขียนดังนี้:

เมื่อพิจารณาว่า v 2 = v 1 = v เราก็จะได้

โมดูลัสความเร็วของลูกบอลเมื่อตกลงมาจากความสูง h ถูกกำหนดโดยสูตร v = = 10 m/s ตอนนี้เมื่อใช้นิพจน์ (5.7.1) เราจะพบโมดูลัสแรง:

ตามกฎข้อที่สามของนิวตัน

ดังนั้น F 1 = 100.5 N; แรงนี้ถูกนำไปใช้กับจานและชี้ลง

โปรดทราบว่ายิ่งเวลาโต้ตอบ Δt สั้นลง ค่าของปริมาณในสูตร (5.7.1) ก็จะยิ่งมากขึ้นเมื่อเทียบกับ มก. ดังนั้นในระหว่างการชน แรงโน้มถ่วงจึงสามารถมองข้ามไปได้ หากลูกบอลทำจากดินน้ำมัน มันจะเกาะติดกับแผ่นและโมดูลัสการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมจะมีขนาดใหญ่เพียงครึ่งหนึ่ง ดังนั้นแรงที่กระทำบนจานก็จะน้อยลงสองเท่าเช่นกัน

ปัญหาที่ 2

ในระหว่างการซ้อมรบที่สถานีรถไฟ ชานชาลาสองแห่งที่มีมวล m 1 = 2.4 10 4 กก. และ ม. 2 = 1.6 10 4 กก. เคลื่อนเข้าหากันด้วยความเร็วซึ่งมีโมดูลเท่ากับ v 1 = 0.5 m/s และ v 2 = 1 m /วิ ค้นหาความเร็วของการเคลื่อนที่ของข้อต่อหลังจากเปิดใช้งานข้อต่ออัตโนมัติ

สารละลาย. ให้เราอธิบายแผนผังที่เคลื่อนที่ก่อนการชนกัน (รูปที่ 5.14) แรงภายนอก 1 และ m 1, 2 และ m 2 ที่กระทำต่อร่างกายของระบบนั้นมีความสมดุลกัน ชานชาลายังขึ้นอยู่กับแรงเสียดทานที่อยู่ภายนอกระบบด้วย

ข้าว. 5.14

เมื่อชานชาลากลิ้งบนราง แรงเสียดทานจะมีน้อย ดังนั้นในช่วงเวลาการชนที่สั้น จึงไม่เปลี่ยนโมเมนตัมของระบบอย่างเห็นได้ชัด ดังนั้นเราจึงสามารถใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมได้:

ความเร็วของแพลตฟอร์มหลังการเชื่อมต่อคือที่ไหน

ในการฉายภาพบนแกน X เรามี:

เนื่องจาก v 1x = v 1 a v 2x = -v 2 ดังนั้น

เครื่องหมายลบของการฉายภาพความเร็วบ่งชี้ว่าความเร็วนั้นพุ่งตรงข้ามกับแกน X (จากขวาไปซ้าย)

ปัญหา 3

ลูกบอลดินน้ำมันสองลูกซึ่งมีอัตราส่วนมวล = 4 ติดกันหลังจากการชนและเริ่มเคลื่อนที่ไปตามพื้นผิวแนวนอนเรียบด้วยความเร็ว . (รูปที่ 5.15 มุมมองด้านบน)

ข้าว. 5.15

กำหนดความเร็วของลูกบอลแสงก่อนชน (2) ถ้ามันเคลื่อนที่เร็วกว่าลูกบอลหนักสามเท่า (v 1 = Зv 2) และทิศทางการเคลื่อนที่ของลูกบอลตั้งฉากกัน ละเว้นแรงเสียดทาน

สารละลาย. เนื่องจากความเร็วของลูกบอล 1 และ 2 ตั้งฉากกัน จึงสะดวกในการกำหนดแกนของระบบพิกัดสี่เหลี่ยมขนานกับความเร็วเหล่านี้

ตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเราจะได้:

ลองเขียนสมการนี้เป็นการฉายภาพบนแกน X และ Y ดังแสดงในรูปที่ 5.15:

เนื่องจาก v 1x = v 1, v 2x = 0, v 1y = 0 และ v 2y = v 2 แล้ว

โมดูลความเร็วเท่ากับ:

ดังนั้น v 1 = u ดังนั้น v 1 = Зu

ปัญหาที่ 4

ตั๊กแตนตัวหนึ่งนั่งอยู่บนปลายฟางยาว l ซึ่งวางอยู่บนพื้นเรียบ ตั๊กแตนกระโดดและตกลงไปอีกด้านหนึ่งของฟาง เขาควรกระโดดด้วยความเร็วเริ่มต้นขั้นต่ำสุดที่สัมพันธ์กับพื้นหากมวลของเขาคือ M และมวลของฟางคือ m ละเว้นแรงต้านของอากาศและแรงเสียดทาน

สารละลาย. ให้แกน Y ขึ้นไปและแกน X ไปตามฟางในทิศทางของการกระโดดของตั๊กแตน (รูปที่ 5.16) เส้นโครงของความเร็วของตั๊กแตน v บนแกนพิกัดจะเท่ากับ:

v x = vcos α และ v y = vsin α

ข้าว. 5.16

พิจารณาระบบตั๊กแตน-ฟาง แรงภายนอกกระทำต่อร่างกายของระบบในทิศทางแนวตั้งเท่านั้น (ไม่มีแรงเสียดทาน)

เนื่องจากผลรวมของเส้นโครงของแรงภายนอกบนแกน X จึงเป็นศูนย์ ผลรวมของเส้นโครงของแรงกระตุ้นของตั๊กแตนและฟางบนแกน X จึงยังคงอยู่:

โดยที่ v 1x คือเส้นโครงของความเร็วของฟางที่สัมพันธ์กับพื้น จากที่นี่

ในแนวนอน ตั๊กแตนจะบินเป็นระยะทาง l สัมพันธ์กับฟาง

ดังนั้น โมดูลัสขององค์ประกอบแนวนอนของความเร็วที่สัมพันธ์กับฟางที่กำลังเคลื่อนที่จึงเท่ากับ:

แต่ในอีกทางหนึ่ง

ดังนั้น,

แน่นอนว่าความเร็วสัมบูรณ์ของตั๊กแตนนั้นน้อยมากเมื่อตัวหารของเศษส่วนของนิพจน์ผลลัพธ์นั้นมีค่าสูงสุด ดังที่คุณทราบ ค่าของไซน์ต้องไม่มากกว่า 1 ดังนั้น

ปัญหาที่ 5

ในช่วงเวลาเริ่มต้น จรวดมวล M มีความเร็ว v0 ในตอนท้ายของแต่ละวินาที ก๊าซส่วนหนึ่งที่มีมวล m จะถูกขับออกจากจรวด ความเร็วของก๊าซส่วนหนึ่งแตกต่างจากความเร็วของจรวดก่อนการเผาไหม้ของมวลก๊าซที่กำหนดด้วยค่าคงที่เท่ากับ u นั่นคือความเร็วของการไหลของก๊าซคงที่ กำหนดความเร็วของจรวดหลังจากผ่านไป n วินาที ละเว้นผลกระทบของแรงโน้มถ่วง

สารละลาย. ให้เราแสดงด้วย v k ความเร็วของจรวดเมื่อสิ้นสุดวินาทีที่ k เมื่อสิ้นสุดวินาที (k + 1) ก๊าซมวล m จะถูกขับออกจากจรวด ซึ่งมีโมเมนตัมเท่ากับ m(-u + v k) จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมที่เขียนขึ้นสำหรับเวกเตอร์สัมบูรณ์ จะได้ดังนี้

การเปลี่ยนแปลงความเร็วจรวดใน 1 วินาทีเท่ากับ:

เมื่อทราบการเปลี่ยนแปลงของความเร็วในช่วง 1 วินาที เราสามารถเขียนนิพจน์สำหรับความเร็วเมื่อสิ้นสุดวินาทีที่ n ได้:

แบบฝึกหัดที่ 10

1. ลูกบอลตะกั่วที่มีมวล 200 กรัม เคลื่อนที่ตั้งฉากกับกำแพงด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที แล้วชนกับกำแพง ค้นหาแรงที่กระทำต่อผนังเมื่อมีการกระแทก โดยถือว่าแรงคงที่ เวลาในการชนคือ 0.01 วินาที ลูกบอลไม่กระดอนออกจากกำแพง
2. ลูกบอลเหล็กที่มีมวล 100 กรัมเคลื่อนที่ไปตามพื้นผิวแนวนอนโดยไม่มีการเสียดสีในทิศทางตั้งฉากกับผนัง ความเร็วของลูกบอลก่อนชนคือ 10 เมตร/วินาที หลังจากการชน ลูกบอลจะกระเด้งออกจากกำแพงด้วยความเร็วสัมบูรณ์เท่ากัน แต่ไปในทิศทางตรงกันข้าม ค้นหาแรงที่กระทำต่อผนังเมื่อมีการกระแทก โดยถือว่าแรงคงที่ เวลากระแทก 0.01 วินาที
3. รถเข็นที่เต็มไปด้วยทรายม้วนไปตามรางในแนวนอน ทรายถูกเทระหว่างรางผ่านรูที่ด้านล่าง ความเร็วของรถเข็นเปลี่ยนไปหรือไม่? ละเว้นแรงเสียดทาน
4. หินบด 200 กิโลกรัมถูกเทลงบนแท่นที่มีน้ำหนัก 600 กิโลกรัม โดยเคลื่อนที่ในแนวนอนด้วยความเร็ว 1 เมตร/วินาที ความเร็วของแพลตฟอร์มคืออะไร?
5. จรวดซึ่งมีมวลรวม 250 กรัม บินขึ้นไปในแนวตั้งและสูงถึง 150 เมตร กำหนดความเร็วของการไหลของก๊าซจากจรวด โดยสมมติว่าการเผาไหม้ของประจุเกิดขึ้นทันที มวลประจุคือ 50 กรัม
6. ปริซึมมวล M ที่มีมุมเอียง a วางอยู่บนน้ำแข็งเรียบ สุนัขมวล m ยืนอยู่บนปริซึมที่ฐานของมัน ปริซึมจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่าใด หากสุนัขวิ่งขึ้นไปบนปริซึมด้วยความเร็ว v สัมพันธ์กับมัน
7. ระเบิดมือที่ถูกโยนลงมาจากพื้นผิวโลกแตกออกเป็นสองชิ้นที่เหมือนกันที่จุดสูงสุดของวิถีในระยะห่าง a จากจุดขว้างโดยนับในแนวนอน เศษชิ้นส่วนหนึ่งบินไปในทิศทางตรงกันข้ามด้วยความเร็วสัมบูรณ์เท่ากับระเบิดมือก่อนเกิดการระเบิด ชิ้นส่วนที่สองจะตกลงไปในระยะใด l จากจุดขว้าง?
8. จรวดมวล M สองลูกบินไปในทิศทางเดียวกัน โดยลูกหนึ่งมีความเร็ว v และอีกลูกหนึ่งมีความเร็ว v 1 = 1.1v เมื่อจรวดลูกหนึ่งชนกับอีกลูกหนึ่ง เครื่องยนต์ของจรวดลูกแรกก็เปิดทำงานในช่วงเวลาสั้นๆ เชื้อเพลิงใช้แล้วมวลใดที่ต้องขับออกมาด้วยความเร็ว v 2 = 3 สัมพันธ์กับจรวด เพื่อให้ความเร็วของจรวดในการเทียบท่าที่ปลอดภัยเท่ากัน
9. เรือสองลำกำลังเคลื่อนที่ในเส้นทางคู่ขนานเข้าหากันด้วยความเร็วสัมบูรณ์เท่ากัน เมื่อเรือมาบรรจบกันก็จะแลกเปลี่ยนสิ่งของที่มีมวลเท่ากัน การแลกเปลี่ยนสามารถเกิดขึ้นได้สองวิธี: 1) ขั้นแรก สินค้าจะถูกโอนจากเรือลำหนึ่งไปยังอีกลำหนึ่ง จากนั้นสินค้าจะถูกโอนจากเรือลำที่สองกลับไปยังเรือลำแรก 2) สินค้าจะถูกถ่ายโอนจากเรือหนึ่งไปอีกเรือหนึ่งพร้อมกัน ความเร็วของเรือหลังการขนถ่ายสินค้าจะเร็วขึ้นในทางใด?
10. เรือ 3 ลำที่มีมวล M เท่ากัน เคลื่อนที่ด้วยแรงเฉื่อยทีละลำด้วยความเร็วเท่ากัน v จากเรือลำกลางไปยังเรือลำนอก น้ำหนัก m จะถูกถ่ายโอนไปพร้อมๆ กันด้วยความเร็ว u ที่สัมพันธ์กับเรือ เรือจะมีความเร็วเท่าใดหลังจากขนถ่ายสินค้า? ละเว้นการกันน้ำและเพิ่มมวล
11. กระสุนปืนแตกออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กันที่จุดสูงสุดของวิถี ครึ่งหนึ่งของกระสุนปืนได้รับความเร็วในแนวตั้งลงด้านล่างและตกลงไปใต้จุดที่เกิดการระเบิด และครึ่งหลังของกระสุนปืนจบลงที่ระยะแนวนอน l จากสถานที่นี้ หาโมดูลัสความเร็วของกระสุนปืนก่อนการระเบิดและโมดูลัสความเร็วของชิ้นส่วนที่สอง หากทราบว่าการระเบิดเกิดขึ้นที่ความสูง H และชิ้นส่วนแรกถึงพื้นผิวโลกหลังจากช่วงเวลาเท่ากับ t
12. คนในเรือเคลื่อนตัวจากหัวเรือไปทางท้ายเรือ เรือที่มีความยาว l จะเคลื่อนที่สัมพันธ์กับน้ำได้ไกลแค่ไหน หากมวลของบุคคลคือ m 1 และมวลของเรือคือ m 2 ละเว้นการกันน้ำและเพิ่มมวล

(1) บางครั้ง แนะนำให้แก้ปัญหาโดยใช้กฎการบวกเวกเตอร์

(2) ถ้าหลังจากการชนวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่ากัน การชนดังกล่าวเรียกว่าไม่ยืดหยุ่นอย่างยิ่ง

สิ่งนี้หมายความว่าอย่างไรและจะส่งผลต่อการแก้ปัญหาอย่างไร

ก่อนอื่น เรามาดูกันว่าแรงต้านอากาศคืออะไร และเหตุใดจึงเกิดขึ้น ดังที่คุณทราบ (คุณควรรู้ เมื่อคุณไปโรงเรียน) สารทั้งหมดประกอบด้วยโมเลกุลหรืออะตอม อะตอมเป็นอนุภาคที่เล็กที่สุด (ลองจินตนาการว่าสิ่งเหล่านี้เป็นลูกบอลเล็ก ๆ ) และโมเลกุลก็เป็นสิ่งเล็ก ๆ เช่นกัน แต่ประกอบด้วยอะตอมหลายอะตอมแล้ว

ตัวอย่างเช่น โมเลกุลของน้ำ H 2 O ประกอบด้วยไฮโดรเจน 2 อะตอม H และออกซิเจน 1 อะตอม O (นั่นคือลูกบอลสามลูกติดกันเป็นชิ้นเดียว)

เนื่องจากเราบอกไปแล้วว่า “สารทั้งหมด”ประกอบด้วยพวกมัน จากนั้นอากาศก็ประกอบด้วยอะตอมและโมเลกุล (เราหายใจเอาออกซิเจนซึ่งหมายความว่า 100% ของออกซิเจนอยู่ในอากาศ) เมื่อเราโยนลูกบอลหรือวัตถุบางอย่างลงไป มันจะเริ่มชนกับลูกบอลเล็ก ๆ (อะตอมและโมเลกุล) ของอากาศ การชนเหล่านี้เรียกว่าแรงต้านอากาศ

ทีนี้ลองมองข้ามแนวต้านนี้ไป ในการทำเช่นนี้ เราเพียงแค่เอาลูกบอลเล็กๆ เหล่านี้ (อะตอมและโมเลกุล) ออกจากอากาศ เห็นด้วย เตือนใจ. สุญญากาศ (หรือพื้นที่ไร้อากาศ)?นั่นคือเมื่อศพตกลงมาพวกมันจะไม่ชนกับใครเลย แต่จะบินลงมาเท่านั้น

ตอนนี้เรามาดูกันว่าสิ่งนี้จะส่งผลต่อการแก้ปัญหาอย่างไร

ลองจินตนาการว่าเราขว้างลูกบอลและขนนกจากความสูงเท่ากัน อันไหนจะพังเร็วกว่ากัน? ลูกบอล? เลขที่- ขนนก? เลขที่- จะล้มเท่ากันมั้ย? เลขที่. ทำไมจะไม่ล่ะ?ใช่ เพราะเราไม่รู้ว่าสิ่งนี้จะเกิดขึ้นในอากาศ (ที่มีความต้านทาน) หรือในสุญญากาศ (ไม่มีความต้านทาน) ลูกบอลจะตกลงไปกลางอากาศเร็วขึ้น เพราะมันหนักกว่าและง่ายกว่าที่จะผลักอะตอม/โมเลกุลของอากาศออกนอกเส้นทาง และขนจะเบากว่าเมื่อชนกันก็จะช้าลงเล็กน้อย ถ้าเราโยนมันลงในสุญญากาศ มันก็จะตกลงมาเท่ากัน เพราะจะได้ไม่ต้องชนกับใคร

ไม่เชื่อฉันเหรอ? ดูวิดีโอ (คุณไม่จำเป็นต้องฟัง มันเป็นภาษาอังกฤษ)

นี่คือวิดีโออื่นในหัวข้อเดียวกัน